Kako proširiti logaritam sume. Logaritamska jednadžba: osnovne formule i tehnike. Inverzna trigonometrijska funkcija
Logaritamske jednačine i nejednačine na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike kojem je posvećen problem C3 . Svaki student mora naučiti rješavati zadatke C3 sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike ako želi da položi predstojeći ispit sa „dobar“ ili „odličan“. Ovaj članak daje kratak pregled uobičajenih logaritamskih jednačina i nejednačina, kao i osnovne metode za njihovo rješavanje.
Dakle, pogledajmo danas nekoliko primjera. logaritamske jednačine i nejednačine, koji su bili ponuđeni učenicima na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike prethodnih godina. Ali počet će kratkim sažetkom glavnih teorijskih tačaka koje će nam trebati da ih riješimo.
Logaritamska funkcija
Definicija
Funkcija forme
0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
pozvao logaritamska funkcija.
Osnovna svojstva
Osnovna svojstva logaritamske funkcije y= log sjekira:
Grafikon logaritamske funkcije je logaritamska kriva:
Svojstva logaritama
Logaritam proizvoda dva pozitivna broja jednaka su zbroju logaritama ovih brojeva:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Logaritam količnika dva pozitivna broja jednaka su razlici logaritama ovih brojeva:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Ako a I b a≠ 1, zatim za bilo koji broj r jednakost je istinita:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Jednakost log a t= log a s, Gdje a > 0, a ≠ 1, t > 0, s> 0, vrijedi ako i samo ako t = s.
Ako a, b, c su pozitivni brojevi, i a I c razlikuju se od jedinice, onda je jednakost ( formula za prelazak na novu bazu logaritma):
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Teorema 1. Ako f(x) > 0 i g(x) > 0, zatim log logaritamske jednadžbe a f(x) = log a g(x) (Gdje a > 0, a≠ 1) je ekvivalentno jednačini f(x) = g(x).
Rješavanje logaritamskih jednadžbi i nejednačina
Primjer 1. Riješite jednačinu:
Rješenje. Raspon prihvatljivih vrijednosti uključuje samo one x, za koji je izraz pod predznakom logaritma veći od nule. Ove vrijednosti su određene slijedećim sistemom nejednakosti:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
S obzirom na to
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
dobijamo interval koji definira raspon dozvoljenih vrijednosti ove logaritamske jednadžbe:
Na osnovu teoreme 1, čiji su svi uslovi ovde zadovoljeni, prelazimo na sledeću ekvivalentnu kvadratnu jednačinu:
Raspon prihvatljivih vrijednosti uključuje samo prvi korijen.
odgovor: x = 7.
Primjer 2. Riješite jednačinu:
Rješenje. Raspon prihvatljivih vrijednosti jednadžbe određen je sistemom nejednačina:
ql-right-eqno">
Rješenje. Raspon prihvatljivih vrijednosti jednadžbe se ovdje lako određuje: x > 0.
Koristimo zamjenu:
Jednačina postaje:
Obrnuta zamjena:
Oba odgovori su unutar raspona prihvatljivih vrijednosti jednadžbe jer su pozitivni brojevi.
Primjer 4. Riješite jednačinu:
Rješenje. Započnimo ponovno rješenje određivanjem raspona prihvatljivih vrijednosti jednadžbe. Određuje se sledećim sistemom nejednakosti:
ql-right-eqno">
Osnove logaritama su iste, tako da u rasponu prihvatljivih vrijednosti možemo prijeći na sljedeću kvadratnu jednadžbu:
Prvi korijen nije unutar raspona prihvatljivih vrijednosti jednadžbe, ali drugi jeste.
odgovor: x = -1.
Primjer 5. Riješite jednačinu:
Rješenje. Tražit ćemo rješenja između x > 0, x≠1. Hajde da transformišemo jednačinu u ekvivalentnu:
Oba odgovori su unutar raspona prihvatljivih vrijednosti jednadžbe.
Primjer 6. Riješite jednačinu:
Rješenje. Sistem nejednačina koji definira raspon dozvoljenih vrijednosti jednadžbe ovog puta ima oblik:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Koristeći svojstva logaritma, transformiramo jednačinu u jednačinu koja je ekvivalentna u rasponu prihvatljivih vrijednosti:
Koristeći formulu za prelazak na novu bazu logaritma, dobijamo:
Raspon prihvatljivih vrijednosti uključuje samo jednu odgovor: x = 4.
Idemo sada na logaritamske nejednakosti . Upravo s tim ćete morati da se pozabavite na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike. Za rješavanje daljnjih primjera potrebna nam je sljedeća teorema:
Teorema 2. Ako f(x) > 0 i g(x) > 0, onda:
at a> 1 logaritamska nejednakost log a f(x) > log a g(x) je ekvivalentna nejednakosti istog značenja: f(x) > g(x);
u 0< a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > log a g(x) je ekvivalentna nejednakosti sa suprotnim značenjem: f(x) < g(x).
Primjer 7. Riješite nejednačinu:
Rješenje. Počnimo s definiranjem raspona prihvatljivih vrijednosti nejednakosti. Izraz pod znakom logaritamske funkcije mora imati samo pozitivne vrijednosti. To znači da je traženi raspon prihvatljivih vrijednosti određen sljedećim sistemom nejednakosti:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Budući da je osnova logaritma broj manji od jedan, odgovarajuća logaritamska funkcija će biti opadajuća, pa će prema teoremi 2 prijelaz na sljedeću kvadratnu nejednakost biti ekvivalentan:
Konačno, uzimajući u obzir raspon prihvatljivih vrijednosti, dobijamo odgovor:
Primjer 8. Riješite nejednačinu:
Rješenje. Počnimo ponovo definiranjem raspona prihvatljivih vrijednosti:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Na skupu dopuštenih vrijednosti nejednakosti vršimo ekvivalentne transformacije:
Nakon redukcije i prelaska na nejednakost ekvivalentnu teoremom 2, dobijamo:
Uzimajući u obzir raspon prihvatljivih vrijednosti, dobijamo konačnu odgovor:
Primjer 9. Riješite logaritamsku nejednačinu:
Rješenje. Raspon prihvatljivih vrijednosti nejednakosti određen je sljedećim sistemom:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Može se vidjeti da je u rasponu prihvatljivih vrijednosti izraz u osnovi logaritma uvijek veći od jedan, pa će prema teoremi 2 prijelaz na sljedeću nejednakost biti ekvivalentan:
Uzimajući u obzir raspon prihvatljivih vrijednosti, dobijamo konačni odgovor:
Primjer 10. Riješite nejednačinu:
Rješenje.
Raspon prihvatljivih vrijednosti nejednakosti određen je sistemom nejednakosti:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Metoda I Upotrijebimo formulu za prijelaz na novu bazu logaritma i prijeđimo na nejednakost koja je ekvivalentna u rasponu prihvatljivih vrijednosti.
Logaritmi, kao i svi brojevi, mogu se sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.
Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.
Sabiranje i oduzimanje logaritama
Razmotrimo dva logaritma sa istim osnovama: log a x i log a y. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:
- log a x+ log a y= log a (x · y);
- log a x− log a y= log a (x : y).
Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je jednaka logaritmu količnika. Imajte na umu: ključna stvar je ovdje identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne funkcionišu!
Ove formule će vam pomoći da izračunate logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju “Šta je logaritam”). Pogledajte primjere i pogledajte:
Dnevnik 6 4 + log 6 9.
Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.
Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.
Opet su baze iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od „loših“ logaritama, koji se ne računaju zasebno. Ali nakon transformacija dobijaju se sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, izrazi poput testa se nude u potpunosti (ponekad i bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.
Izdvajanje eksponenta iz logaritma
Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:
Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.
Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x> 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. Možete unijeti brojeve prije znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 7 49 6 .
Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
[Natpis za sliku]
Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:
[Natpis za sliku] Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.
Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac sadrže isti broj: log 2 7. Pošto je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.
Prelazak na novu osnovu
Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?
Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:
Neka je dat log logaritam a x. Zatim za bilo koji broj c takav da c> 0 i c≠ 1, jednakost je tačna:
[Natpis za sliku]
Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:
[Natpis za sliku]
Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.
Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.
Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.
Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Sada "obrnimo" drugi logaritam:
[Natpis za sliku]Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.
Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:
[Natpis za sliku]Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:
[Natpis za sliku]Osnovni logaritamski identitet
Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:
U prvom slučaju broj n postaje indikator stepena statusa u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo šta, jer je to samo logaritamska vrijednost.
Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. To se zove: osnovni logaritamski identitet.
U stvari, šta će se dogoditi ako broj b podići na takav stepen da broj b ovoj potenciji daje broj a? Tako je: dobijate isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi zaglave u njemu.
Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
[Natpis za sliku]
Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - jednostavno uzet kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:
[Natpis za sliku]Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita :)
Logaritamska jedinica i logaritamska nula
U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima – radije su to posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i „naprednim“ učenicima.
- log a a= 1 je logaritamska jedinica. Zapamtite jednom za svagda: logaritam na bilo koju bazu a iz same ove baze jednak je jedan.
- log a 1 = 0 je logaritamska nula. Baza a može biti bilo šta, ali ako argument sadrži jedan, logaritam je jednak nuli! Jer a 0 = 1 je direktna posljedica definicije.
To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.
U vezi sa
može se postaviti zadatak pronalaženja bilo kojeg od tri broja od druga dva data. Ako su dati a i zatim N, oni se nalaze eksponencijalnom. Ako su N i zatim a dati uzimanjem korijena stepena x (ili podizanjem na stepen). Sada razmotrite slučaj kada, za date a i N, trebamo pronaći x.
Neka je broj N pozitivan: broj a pozitivan i nije jednak jedinici: .
Definicija. Logaritam broja N prema bazi a je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobio broj N; logaritam je označen sa
Dakle, u jednakosti (26.1) eksponent se nalazi kao logaritam od N prema bazi a. Postovi
imaju isto značenje. Jednakost (26.1) se ponekad naziva glavnim identitetom teorije logaritama; u stvarnosti izražava definiciju pojma logaritma. Prema ovoj definiciji, baza logaritma a je uvijek pozitivna i različita od jedinice; logaritamski broj N je pozitivan. Negativni brojevi i nula nemaju logaritme. Može se dokazati da bilo koji broj sa datom bazom ima dobro definiran logaritam. Stoga jednakost podrazumijeva . Imajte na umu da je uvjet ovdje bitan; inače, zaključak ne bi bio opravdan, jer je jednakost istinita za sve vrijednosti x i y.
Primjer 1. Pronađite
Rješenje. Da biste dobili broj, morate podići bazu 2 na stepen.
Prilikom rješavanja takvih primjera možete praviti bilješke u sljedećem obliku:
Primjer 2. Pronađite .
Rješenje. Imamo
U primjerima 1 i 2 lako smo pronašli željeni logaritam predstavljajući broj logaritma kao stepen baze s racionalnim eksponentom. U opštem slučaju, na primjer, za itd., to se ne može učiniti, jer logaritam ima iracionalnu vrijednost. Obratimo pažnju na jedno pitanje vezano za ovu izjavu. U paragrafu 12 dali smo koncept mogućnosti određivanja bilo koje realne snage datog pozitivnog broja. To je bilo neophodno za uvođenje logaritama, koji, generalno govoreći, mogu biti iracionalni brojevi.
Pogledajmo neka svojstva logaritama.
Svojstvo 1. Ako su broj i baza jednaki, onda je logaritam jednak jedinici, i obrnuto, ako je logaritam jednak jedinici, tada su broj i baza jednaki.
Dokaz. Neka Po definiciji logaritma imamo i odakle
Obrnuto, neka Onda po definiciji
Svojstvo 2. Logaritam od jedan prema bilo kojoj osnovi je jednak nuli.
Dokaz. Po definiciji logaritma (nulta snaga bilo koje pozitivne baze jednaka je jedan, vidi (10.1)). Odavde
Q.E.D.
Obrnuti iskaz je također istinit: ako je , tada je N = 1. Zaista, imamo .
Prije nego što formulišemo sljedeće svojstvo logaritama, dogovorimo se da dva broja a i b leže na istoj strani trećeg broja c ako su oba veća od c ili manja od c. Ako je jedan od ovih brojeva veći od c, a drugi manji od c, onda ćemo reći da leže na suprotnim stranama od c.
Svojstvo 3. Ako broj i baza leže na istoj strani jedinice, onda je logaritam pozitivan; Ako broj i baza leže na suprotnim stranama od jedan, tada je logaritam negativan.
Dokaz svojstva 3 zasniva se na činjenici da je stepen a veći od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent pozitivan ili je baza manja od jedan, a eksponent negativan. Potencija je manja od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent negativan ili je baza manja od jedan, a eksponent pozitivan.
Postoje četiri slučaja za razmatranje:
Ograničićemo se samo na analizu prvog od njih, a ostale će čitalac razmotriti sam.
Neka onda u jednakosti eksponent ne može biti ni negativan ni jednak nuli, dakle pozitivan je, tj. kako se traži da se dokaže.
Primjer 3. Saznajte koji su od logaritama u nastavku pozitivni, a koji negativni:
Rješenje, a) pošto se broj 15 i osnova 12 nalaze na istoj strani jedinice;
b) pošto se 1000 i 2 nalaze na jednoj strani jedinice; u ovom slučaju nije važno da je baza veća od logaritamskog broja;
c) pošto 3,1 i 0,8 leže na suprotnim stranama jedinice;
G) ; Zašto?
d) ; Zašto?
Sljedeća svojstva 4-6 se često nazivaju pravilima logaritmiranja: ona omogućavaju, znajući logaritme nekih brojeva, da se pronađu logaritmi njihovog proizvoda, količnika i stepena svakog od njih.
Svojstvo 4 (pravilo logaritma proizvoda). Logaritam proizvoda više pozitivnih brojeva na datu bazu jednak je zbroju logaritama ovih brojeva na istu bazu.
Dokaz. Neka su dati brojevi pozitivni.
Za logaritam njihovog proizvoda zapisujemo jednakost (26.1) koja definira logaritam:
Odavde ćemo naći
Upoređujući eksponente prvog i posljednjeg izraza, dobijamo traženu jednakost:
Imajte na umu da je uslov bitan; logaritam proizvoda dva negativna broja ima smisla, ali u ovom slučaju dobijamo
Općenito, ako je proizvod nekoliko faktora pozitivan, tada je njegov logaritam jednak zbroju logaritama apsolutnih vrijednosti ovih faktora.
Svojstvo 5 (pravilo za uzimanje logaritama količnika). Logaritam količnika pozitivnih brojeva jednak je razlici između logaritama dividende i djelitelja, uzetih na istu bazu. Dokaz. Konstantno nalazimo
Q.E.D.
Svojstvo 6 (pravilo logaritma stepena). Logaritam stepena bilo kojeg pozitivnog broja jednak je logaritmu tog broja pomnoženom sa eksponentom.
Dokaz. Napišimo ponovo glavni identitet (26.1) za broj:
Q.E.D.
Posljedica. Logaritam korijena pozitivnog broja jednak je logaritmu radikala podijeljenom sa eksponentom korijena:
Valjanost ovog zaključka može se dokazati zamišljanjem kako i korištenjem svojstva 6.
Primjer 4. Uzmite logaritam za bazu a:
a) (pretpostavlja se da su sve vrijednosti b, c, d, e pozitivne);
b) (pretpostavlja se da ).
Rješenje, a) Zgodno je prijeći na razlomke u ovom izrazu:
Na osnovu jednakosti (26.5)-(26.7), sada možemo napisati:
Primjećujemo da se nad logaritmima brojeva izvode jednostavnije operacije nego nad samim brojevima: pri množenju brojeva se sabiraju njihovi logaritmi, pri dijeljenju oduzimaju itd.
Zbog toga se u računarskoj praksi koriste logaritmi (vidi paragraf 29).
Inverzno djelovanje logaritma naziva se potenciranje, naime: potenciranje je radnja kojom se sam broj nalazi iz datog logaritma broja. U suštini, potenciranje nije neka posebna radnja: ona se svodi na podizanje baze na stepen (jednak logaritmu broja). Termin "potenciranje" može se smatrati sinonimom za izraz "potenciranje".
Prilikom potenciranja morate koristiti pravila inverzna pravilima logaritma: zamijenite zbir logaritama logaritmom umnoška, razliku logaritama logaritmom količnika, itd. Posebno, ako je ispred faktora znaka logaritma, onda se tokom potenciranja mora preneti na stepene eksponenta pod znakom logaritma.
Primjer 5. Naći N ako je to poznato
Rješenje. U vezi sa upravo navedenim pravilom potenciranja, faktore 2/3 i 1/3 koji stoje ispred predznaka logaritama na desnoj strani ove jednakosti prenećemo u eksponente pod predznacima ovih logaritama; dobijamo
Sada zamjenjujemo razliku logaritama sa logaritmom količnika:
da bismo dobili posljednji razlomak u ovom lancu jednakosti, oslobodili smo prethodni razlomak od iracionalnosti u nazivniku (klauzula 25).
Svojstvo 7. Ako je baza veća od jedan, tada veći broj ima veći logaritam (a manji manji), ako je baza manja od jedan, onda veći broj ima manji logaritam (i manji jedan ima veći).
Ovo svojstvo je također formulirano kao pravilo za uzimanje logaritama nejednačina, čije su obje strane pozitivne:
Kada se logaritam nejednakosti na osnovicu veću od jedan, čuva se znak nejednakosti, a kada se logaritam na osnovicu manju od jedan, predznak nejednakosti se mijenja u suprotan (vidi i paragraf 80).
Dokaz se zasniva na svojstvima 5 i 3. Razmotrimo slučaj kada Ako , tada i, uzimajući logaritme, dobijamo
(a i N/M leže na istoj strani jedinice). Odavde
Slučaj a slijedi, čitalac će to sam shvatiti.
Ovim videom započinjem dugu seriju lekcija o logaritamskim jednadžbama. Sada imate tri primjera pred sobom na osnovu kojih ćemo naučiti rješavati najjednostavnije probleme koji se zovu - protozoa.
log 0,5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Da vas podsjetim da je najjednostavnija logaritamska jednadžba sljedeća:
log a f (x) = b
U ovom slučaju važno je da je varijabla x prisutna samo unutar argumenta, odnosno samo u funkciji f (x). A brojevi a i b su samo brojevi i ni u kom slučaju nisu funkcije koje sadrže varijablu x.
Osnovne metode rješenja
Postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Na primjer, većina nastavnika u školi nudi ovu metodu: Odmah izrazite funkciju f (x) koristeći formulu f ( x ) = a b . Odnosno, kada naiđete na najjednostavniju konstrukciju, možete odmah prijeći na rješenje bez dodatnih radnji i konstrukcija.
Da, naravno, odluka će biti ispravna. Međutim, problem sa ovom formulom je što većina studenata ne razumijem, odakle dolazi i zašto slovo a dižemo na slovo b.
Kao rezultat toga, često vidim vrlo dosadne greške kada se, na primjer, ova slova zamjene. Ovu formulu se mora ili razumjeti ili nagurati, a druga metoda dovodi do grešaka u najnepovoljnijim i najpresudnijim trenucima: na ispitima, testovima itd.
Zato svim svojim učenicima predlažem da napuste standardnu školsku formulu i koriste drugi pristup za rješavanje logaritamskih jednadžbi, koji se, kao što ste vjerovatno iz naziva pogodili, zove kanonski oblik.
Ideja o kanonskom obliku je jednostavna. Pogledajmo ponovo naš problem: na lijevoj strani imamo log a, a pod slovom a podrazumijevamo broj, a ni u kom slučaju funkciju koja sadrži varijablu x. Shodno tome, ovo slovo podliježe svim ograničenjima koja su nametnuta na osnovu logaritma. naime:
1 ≠ a > 0
S druge strane, iz iste jednačine vidimo da logaritam mora biti jednak broju b, a ovom slovu nisu nametnuta nikakva ograničenja, jer može imati bilo koju vrijednost - i pozitivnu i negativnu. Sve ovisi o tome koje vrijednosti zauzima funkcija f(x).
I ovdje se prisjećamo našeg divnog pravila da bilo koji broj b može biti predstavljen kao logaritam na osnovu a od a na stepen b:
b = log a a b
Kako zapamtiti ovu formulu? Da, vrlo jednostavno. Napišimo sljedeću konstrukciju:
b = b 1 = b log a a
Naravno, u ovom slučaju nastaju sva ograničenja koja smo zapisali na početku. Sada upotrijebimo osnovno svojstvo logaritma i uvedemo množitelj b kao stepen a. Dobijamo:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Kao rezultat toga, originalna jednačina će biti prepisana na sljedeći način:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
To je sve. Nova funkcija više ne sadrži logaritam i može se riješiti standardnim algebarskim tehnikama.
Naravno, neko će sada prigovoriti: zašto je uopće bilo potrebno smisliti nekakvu kanonsku formulu, zašto izvoditi dva dodatna nepotrebna koraka ako je bilo moguće odmah preći s originalnog dizajna na konačnu formulu? Da, makar samo zato što većina učenika ne razumije odakle dolazi ova formula i kao rezultat toga redovno griješe prilikom primjene.
Ali ovaj slijed radnji, koji se sastoji od tri koraka, omogućava vam da riješite originalnu logaritamsku jednadžbu, čak i ako ne razumijete odakle dolazi konačna formula. Usput, ovaj unos se zove kanonska formula:
log a f (x) = log a a b
Pogodnost kanonskog oblika je i u činjenici da se može koristiti za rješavanje vrlo široke klase logaritamskih jednadžbi, a ne samo onih najjednostavnijih koje danas razmatramo.
Primjeri rješenja
Pogledajmo sada stvarne primjere. Dakle, odlučimo:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Hajde da to prepišemo ovako:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Mnogi učenici žure i pokušavaju odmah podići broj 0,5 na stepen koji nam je došao iz prvobitnog problema. Zaista, kada ste već dobro obučeni za rješavanje takvih problema, možete odmah izvršiti ovaj korak.
Međutim, ako sada tek počinjete proučavati ovu temu, bolje je ne žuriti nigdje kako biste izbjegli uvredljive greške. Dakle, imamo kanonski oblik. Imamo:
3x − 1 = 0,5 −3
Ovo više nije logaritamska jednadžba, već linearna u odnosu na varijablu x. Da bismo ga riješili, pogledajmo prvo broj 0,5 na stepen −3. Imajte na umu da je 0,5 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Pretvorite sve decimalne razlomke u obične razlomke prilikom rješavanja logaritamske jednadžbe.
Prepisujemo i dobijamo:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
To je to, dobili smo odgovor. Prvi problem je riješen.
Drugi zadatak
Pređimo na drugi zadatak:
Kao što vidimo, ova jednačina više nije najjednostavnija. Ako samo zato što postoji razlika na lijevoj strani, a ni jedan logaritam prema jednoj bazi.
Stoga se moramo nekako riješiti ove razlike. U ovom slučaju, sve je vrlo jednostavno. Pogledajmo pobliže osnove: na lijevoj strani je broj ispod korijena:
Opća preporuka: u svim logaritamskim jednadžbama pokušajte se riješiti radikala, tj. unosa s korijenima i prijeći na funkcije stepena, jednostavno zato što se eksponenti ovih potencija lako izvlače iz predznaka logaritma i, na kraju, takvi unos značajno pojednostavljuje i ubrzava proračune. Hajde da to zapišemo ovako:
Sada se prisjetimo izvanredne osobine logaritma: stupnjevi se mogu izvesti iz argumenta, kao i iz baze. U slučaju osnova dešava se sljedeće:
log a k b = 1/k loga b
Drugim rečima, broj koji je bio u baznom stepenu se pomera unapred i istovremeno invertuje, odnosno postaje recipročan broj. U našem slučaju, osnovni stepen je bio 1/2. Stoga ga možemo uzeti kao 2/1. Dobijamo:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Imajte na umu: ni pod kojim okolnostima se ne smijete riješiti logaritama u ovom koraku. Zapamtite matematiku od 4. do 5. razreda i redosled operacija: prvo se vrši množenje, pa tek onda sabiranje i oduzimanje. U ovom slučaju oduzimamo jedan od istih elemenata od 10 elemenata:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Sada naša jednačina izgleda kako treba. Ovo je najjednostavnija konstrukcija, a rješavamo je koristeći kanonski oblik:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
To je sve. Drugi problem je riješen.
Treći primjer
Pređimo na treći zadatak:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Dozvolite mi da vas podsjetim na sljedeću formulu:
log b = log 10 b
Ako ste iz nekog razloga zbunjeni notacijom log b , tada prilikom izvođenja svih proračuna možete jednostavno napisati log 10 b . Sa decimalnim logaritmima možete raditi na isti način kao i sa ostalima: uzmite potencije, saberite i predstavite bilo koje brojeve u obliku lg 10.
Upravo ta svojstva ćemo sada koristiti za rješavanje problema, jer nije ono najjednostavnije koje smo zapisali na samom početku naše lekcije.
Prvo, imajte na umu da se faktor 2 ispred lg 5 može dodati i postaje stepen baze 5. Osim toga, slobodni član 3 može se također predstaviti kao logaritam - to je vrlo lako uočiti iz naše notacije.
Procijenite sami: bilo koji broj se može predstaviti kao dnevnik na osnovu 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Prepišimo originalni problem uzimajući u obzir dobijene promjene:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000
Pred nama je opet kanonski oblik, a dobili smo ga bez prolaska kroz fazu transformacije, tj. najjednostavnija logaritamska jednadžba se nigdje nije pojavila.
Upravo o tome sam govorio na samom početku lekcije. Kanonski oblik vam omogućava da riješite širu klasu problema od standardne školske formule koju daje većina školskih nastavnika.
Pa, to je to, riješili smo se predznaka decimalnog logaritma i dobili smo jednostavnu linearnu konstrukciju:
x + 3 = 25.000
x = 24,997
Sve! Problem je riješen.
Napomena o obimu
Ovdje bih želio dati važnu napomenu u vezi s opsegom definicije. Sigurno će sada biti učenika i nastavnika koji će reći: “Kada rješavamo izraze logaritmima, moramo zapamtiti da argument f (x) mora biti veći od nule!” S tim u vezi postavlja se logično pitanje: zašto nismo zahtijevali da ova nejednakost bude zadovoljena ni u jednom od razmatranih problema?
Ne brini. U tim slučajevima neće se pojaviti dodatni korijeni. A ovo je još jedan sjajan trik koji vam omogućava da ubrzate rješenje. Samo znajte da ako se u problemu varijabla x pojavljuje samo na jednom mjestu (ili bolje rečeno, u jednom jedinom argumentu jednog logaritma), a nigdje drugdje u našem slučaju se varijabla x ne pojavljuje, onda zapišite domenu definicije nema potrebe, jer će se izvršiti automatski.
Procijenite sami: u prvoj jednačini dobili smo da je 3x − 1, tj. argument bi trebao biti jednak 8. To automatski znači da će 3x − 1 biti veće od nule.
Sa istim uspjehom možemo zapisati da u drugom slučaju x treba biti jednako 5 2, tj. sigurno je veće od nule. I u trećem slučaju, gdje je x + 3 = 25.000, tj., opet, očigledno veće od nule. Drugim riječima, opseg je zadovoljen automatski, ali samo ako se x pojavljuje samo u argumentu samo jednog logaritma.
To je sve što trebate znati za rješavanje najjednostavnijih problema. Samo ovo pravilo, zajedno sa pravilima transformacije, omogućiće vam da rešite veoma široku klasu problema.
Ali budimo iskreni: da biste konačno razumjeli ovu tehniku, da biste naučili kako primijeniti kanonski oblik logaritamske jednadžbe, nije dovoljno samo pogledati jednu video lekciju. Stoga, odmah preuzmite opcije za samostalna rješenja koje su u prilogu ove video lekcije i počnite rješavati barem jedan od ova dva samostalna rada.
Trebat će vam bukvalno nekoliko minuta. Ali učinak takvog treninga bit će mnogo veći nego da jednostavno pogledate ovu video lekciju.
Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da razumijete logaritamske jednačine. Koristite kanonski oblik, pojednostavite izraze koristeći pravila za rad s logaritmima - i nećete se bojati nikakvih problema. To je sve što imam za danas.
Uzimajući u obzir domen definicije
Hajde sada da razgovaramo o domenu definicije logaritamske funkcije i kako to utiče na rešenje logaritamskih jednačina. Razmotrite konstrukciju forme
log a f (x) = b
Takav izraz se naziva najjednostavnijim - sadrži samo jednu funkciju, a brojevi a i b su samo brojevi, a ni u kom slučaju funkcija koja ovisi o varijabli x. Može se vrlo jednostavno riješiti. Samo trebate koristiti formulu:
b = log a a b
Ova formula je jedno od ključnih svojstava logaritma, a prilikom zamjene u naš originalni izraz dobijamo sljedeće:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Ovo je poznata formula iz školskih udžbenika. Mnogi studenti će vjerovatno imati pitanje: budući da je u originalnom izrazu funkcija f (x) ispod log znaka, na nju su nametnuta sljedeća ograničenja:
f(x) > 0
Ovo ograničenje se primjenjuje jer logaritam negativnih brojeva ne postoji. Dakle, možda bi kao rezultat ovog ograničenja trebalo uvesti provjeru odgovora? Možda ih treba ubaciti u izvor?
Ne, u najjednostavnijim logaritamskim jednadžbama dodatna provjera je nepotrebna. I zato. Pogledajte našu konačnu formulu:
f (x) = a b
Činjenica je da je broj a u svakom slučaju veći od 0 - ovaj zahtjev također nameće logaritam. Broj a je baza. U ovom slučaju, nema ograničenja za broj b. Ali to nije važno, jer bez obzira na to na koju snagu podignemo pozitivan broj, na izlazu ćemo ipak dobiti pozitivan broj. Dakle, zahtjev f (x) > 0 je zadovoljen automatski.
Ono što zaista vrijedi provjeriti je domen funkcije ispod znaka dnevnika. Mogu postojati prilično složene strukture i svakako ih morate paziti tokom procesa rješavanja. Hajde da pogledamo.
Prvi zadatak:
Prvi korak: pretvoriti razlomak na desnoj strani. Dobijamo:
Riješimo se predznaka logaritma i dobivamo uobičajenu iracionalnu jednačinu:
Od dobijenih korijena odgovara nam samo prvi, jer je drugi korijen manji od nule. Jedini odgovor će biti broj 9. To je to, problem je riješen. Nisu potrebne dodatne provjere da bi se osiguralo da je izraz pod predznakom logaritma veći od 0, jer nije samo veći od 0, već je prema uvjetu jednačine jednak 2. Stoga je zahtjev „veći od nule ” se automatski zadovoljava.
Pređimo na drugi zadatak:
Ovdje je sve isto. Prepisujemo konstrukciju, zamjenjujući trojku:
Riješimo se predznaka logaritma i dobijamo iracionalnu jednačinu:
Kvadratiziramo obje strane uzimajući u obzir ograničenja i dobijemo:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Rezultujuću jednačinu rešavamo preko diskriminanta:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Ali x = −6 nam ne odgovara, jer ako ovaj broj zamenimo u našu nejednakost, dobićemo:
−6 + 4 = −2 < 0
U našem slučaju potrebno je da bude veći od 0 ili, u ekstremnim slučajevima, jednak. Ali nam odgovara x = −1:
−1 + 4 = 3 > 0
Jedini odgovor u našem slučaju će biti x = −1. To je rešenje. Vratimo se na sam početak naših proračuna.
Glavni zaključak iz ove lekcije je da ne morate provjeravati ograničenja funkcije u jednostavnim logaritamskim jednačinama. Zato što su tokom procesa rješavanja sva ograničenja automatski zadovoljena.
Međutim, to ni na koji način ne znači da možete potpuno zaboraviti na provjeru. U procesu rada na logaritamskoj jednadžbi ona se može pretvoriti u iracionalnu, koja će imati svoja ograničenja i zahtjeve za desnu stranu, što smo danas vidjeli na dva različita primjera.
Slobodno rješavajte takve probleme i budite posebno oprezni ako postoji korijen u svađi.
Logaritamske jednadžbe s različitim bazama
Nastavljamo proučavati logaritamske jednadžbe i razmatramo još dvije prilično zanimljive tehnike kojima je moderno rješavati složenije konstrukcije. Ali prvo, prisjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji problemi:
log a f (x) = b
U ovom unosu, a i b su brojevi, au funkciji f (x) varijabla x mora biti prisutna i samo tamo, to jest, x mora biti samo u argumentu. Takve logaritamske jednadžbe ćemo transformirati koristeći kanonski oblik. Da biste to učinili, zabilježite to
b = log a a b
Štaviše, a b je upravo argument. Prepišimo ovaj izraz na sljedeći način:
log a f (x) = log a a b
To je upravo ono što pokušavamo postići, tako da postoji logaritam za bazu a i na lijevoj i na desnoj strani. U ovom slučaju možemo, figurativno rečeno, precrtati znakove dnevnika, a sa matematičke tačke gledišta možemo reći da jednostavno izjednačavamo argumente:
f (x) = a b
Kao rezultat, dobićemo novi izraz koji će biti mnogo lakše rešiti. Primijenimo ovo pravilo na naše današnje probleme.
Dakle, prvi dizajn:
Prije svega, napominjem da je na desnoj strani razlomak čiji je imenilac log. Kada vidite ovakav izraz, dobra je ideja da zapamtite divno svojstvo logaritama:
Prevedeno na ruski, to znači da se bilo koji logaritam može predstaviti kao kvocijent dva logaritma sa bilo kojom osnovom c. Naravno 0< с ≠ 1.
Dakle: ova formula ima jedan divan poseban slučaj, kada je varijabla c jednaka varijabli b. U ovom slučaju dobijamo konstrukciju kao što je:
Upravo to je konstrukcija koju vidimo iz znaka desno u našoj jednadžbi. Zamenimo ovu konstrukciju sa log a b, dobićemo:
Drugim riječima, u poređenju sa originalnim zadatkom, zamijenili smo argument i bazu logaritma. Umjesto toga, morali smo obrnuti razlomak.
Podsjetimo da se bilo koji stepen može izvesti iz baze prema sljedećem pravilu:
Drugim riječima, koeficijent k, koji je snaga baze, izražava se kao obrnuti razlomak. Hajde da to prikažemo kao obrnuti razlomak:
Faktor razlomaka se ne može ostaviti ispred, jer u ovom slučaju nećemo moći da predstavimo ovu notaciju kao kanonski oblik (na kraju krajeva, u kanonskom obliku nema dodatnog faktora prije drugog logaritma). Stoga, dodajmo razlomak 1/4 argumentu kao stepen:
Sada izjednačavamo argumente čije su baze iste (a naše su baze zaista iste) i pišemo:
x + 5 = 1
x = −4
To je sve. Dobili smo odgovor na prvu logaritamsku jednačinu. Imajte na umu: u originalnom problemu, varijabla x se pojavljuje u samo jednom dnevniku, a pojavljuje se u njegovom argumentu. Dakle, nema potrebe provjeravati domen, a naš broj x = −4 je zaista odgovor.
Sada pređimo na drugi izraz:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Ovdje ćemo, pored uobičajenih logaritama, morati raditi i sa log f (x). Kako riješiti takvu jednačinu? Nespremnom učeniku može izgledati da je ovo neka vrsta teškog zadatka, ali u stvari sve se može riješiti na elementaran način.
Pogledajte izbliza pojam lg 2 log 2 7. Šta možemo reći o tome? Osnove i argumenti log i lg su isti, i to bi trebalo dati neke ideje. Prisjetimo se još jednom kako se potenci izvlače ispod znaka logaritma:
log a b n = nlog a b
Drugim riječima, ono što je u argumentu bilo potencija b postaje faktor ispred samog log. Primijenimo ovu formulu na izraz lg 2 log 2 7. Nemojte se plašiti lg 2 - ovo je najčešći izraz. Možete ga prepisati na sljedeći način:
Za njega vrijede sva pravila koja vrijede za bilo koji drugi logaritam. Konkretno, faktor ispred se može dodati stepenu argumenta. Hajde da to zapišemo:
Vrlo često učenici ovu radnju ne vide direktno, jer nije dobro ući u jedan dnevnik pod znakom drugog. U stvari, u ovome nema ništa kriminalno. Štaviše, dobijamo formulu koju je lako izračunati ako se sjetite važnog pravila:
Ova formula se može posmatrati i kao definicija i kao jedno od njenih svojstava. U svakom slučaju, ako pretvarate logaritamsku jednačinu, trebali biste znati ovu formulu baš kao što biste znali log reprezentaciju bilo kojeg broja.
Vratimo se našem zadatku. Prepisujemo ga uzimajući u obzir činjenicu da će prvi član desno od znaka jednakosti biti jednostavno jednak lg 7. Imamo:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Pomjerimo LG 7 ulijevo, dobićemo:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Oduzimamo izraze s lijeve strane jer imaju istu osnovu:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Sada pogledajmo pobliže jednačinu koju smo dobili. To je praktično kanonski oblik, ali na desnoj strani je faktor −3. Dodajmo to pravom lg argumentu:
log 8 = log (x + 4) −3
Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, pa precrtavamo lg predznake i izjednačavamo argumente:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
To je sve! Rešili smo drugu logaritamsku jednačinu. U ovom slučaju nisu potrebne dodatne provjere, jer je u originalnom problemu x bio prisutan samo u jednom argumentu.
Dozvolite mi da ponovo navedem ključne tačke ove lekcije.
Glavna formula koja se uči u svim lekcijama na ovoj stranici posvećene rješavanju logaritamskih jednačina je kanonski oblik. I neka vas ne plaši činjenica da vas većina školskih udžbenika uči da drugačije rješavate takve probleme. Ovaj alat radi vrlo efikasno i omogućava vam da riješite mnogo širu klasu problema od onih najjednostavnijih koje smo proučavali na samom početku naše lekcije.
Osim toga, za rješavanje logaritamskih jednadžbi bit će korisno poznavati osnovna svojstva. naime:
- Formula za prelazak na jednu bazu i poseban slučaj kada obrnemo log (ovo nam je bilo vrlo korisno u prvom problemu);
- Formula za sabiranje i oduzimanje potencija od znaka logaritma. Ovdje se mnogi studenti zaglave i ne vide da stepen koji se uzima i uvodi može sam sadržavati log f (x). Ništa loše u tome. Možemo uvesti jedan log prema predznaku drugog i istovremeno značajno pojednostaviti rješenje problema, što vidimo u drugom slučaju.
U zaključku, želim da dodam da nije potrebno provjeravati domen definicije u svakom od ovih slučajeva, jer je svuda varijabla x prisutna samo u jednom znaku log, a istovremeno je i u svom argumentu. Kao posljedica toga, svi zahtjevi opsega su ispunjeni automatski.
Problemi sa varijabilnom bazom
Danas ćemo se osvrnuti na logaritamske jednadžbe, koje se mnogim učenicima čine nestandardnim, ako ne i potpuno nerješivim. Govorimo o izrazima zasnovanim ne na brojevima, već na varijablama, pa čak i funkcijama. Takve konstrukcije ćemo rješavati našom standardnom tehnikom, odnosno kroz kanonsku formu.
Prvo, prisjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji problemi na temelju običnih brojeva. Dakle, najjednostavnija konstrukcija se zove
log a f (x) = b
Za rješavanje takvih problema možemo koristiti sljedeću formulu:
b = log a a b
Prepisujemo naš originalni izraz i dobijamo:
log a f (x) = log a a b
Zatim izjednačavamo argumente, tj. pišemo:
f (x) = a b
Tako se oslobađamo znaka dnevnika i rješavamo uobičajeni problem. U ovom slučaju, korijeni dobiveni iz rješenja bit će korijeni originalne logaritamske jednadžbe. Osim toga, zapis kada su i lijeva i desna strana u istom logaritmu s istom bazom, precizno se naziva kanonskim oblikom. Na takav rekord ćemo pokušati svesti današnje dizajne. Pa, idemo.
Prvi zadatak:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Zamijenite 1 sa log x − 2 (x − 2) 1 . Stepen koji opažamo u argumentu je zapravo broj b koji je stajao desno od znaka jednakosti. Dakle, hajde da prepišemo naš izraz. Dobijamo:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
šta vidimo? Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, tako da možemo sigurno izjednačiti argumente. Dobijamo:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Ali rješenje se tu ne završava, jer ova jednadžba nije ekvivalentna originalnoj. Na kraju krajeva, rezultirajuća konstrukcija se sastoji od funkcija koje su definirane na cijeloj brojevnoj pravoj, a naši originalni logaritmi nisu definirani svugdje i ne uvijek.
Stoga moramo posebno zapisati domen definicije. Nemojmo se cijepati i prvo napiši sve zahtjeve:
Prvo, argument svakog od logaritama mora biti veći od 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Drugo, baza ne samo da mora biti veća od 0, već i različita od 1:
x − 2 ≠ 1
Kao rezultat, dobijamo sistem:
Ali nemojte biti uznemireni: prilikom obrade logaritamskih jednačina, takav sistem se može značajno pojednostaviti.
Procijenite sami: s jedne strane, od nas se traži da kvadratna funkcija bude veća od nule, a s druge strane, ova kvadratna funkcija je izjednačena sa određenim linearnim izrazom, za koji se također traži da bude veća od nule.
U ovom slučaju, ako tražimo da je x − 2 > 0, tada će automatski biti zadovoljen zahtjev 2x 2 − 13x + 18 > 0. Stoga možemo bezbedno precrtati nejednačinu koja sadrži kvadratnu funkciju. Tako će se broj izraza sadržanih u našem sistemu smanjiti na tri.
Naravno, s istim uspjehom mogli bismo precrtati linearnu nejednačinu, odnosno precrtati x − 2 > 0 i zahtijevati da je 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ali složit ćete se da je rješavanje najjednostavnije linearne nejednakosti mnogo brže i jednostavnije, nego kvadratno, čak i pod uslovom da kao rezultat rješavanja cijelog ovog sistema dobijemo iste korijene.
Općenito, pokušajte optimizirati proračune kad god je to moguće. A u slučaju logaritamskih jednačina precrtajte najteže nejednačine.
Prepišimo naš sistem:
Evo sistema od tri izraza, od kojih smo dva, zapravo, već imali posla. Zapišimo kvadratnu jednačinu odvojeno i riješimo je:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Pred nama je reducirani kvadratni trinom i stoga možemo koristiti Vietine formule. Dobijamo:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Sada se vraćamo na naš sistem i nalazimo da nam x = 2 ne odgovara, jer se od nas traži da x bude striktno veći od 2.
Ali x = 5 nam savršeno odgovara: broj 5 je veći od 2, a istovremeno 5 nije jednako 3. Stoga će jedino rješenje za ovaj sistem biti x = 5.
To je to, problem je riješen, uključujući i ODZ. Pređimo na drugu jednačinu. Još zanimljivih i informativnih proračuna očekuju nas ovdje:
Prvi korak: kao i prošli put, cijelu ovu stvar dovodimo u kanonski oblik. Da bismo to učinili, možemo napisati broj 9 na sljedeći način:
Ne morate dodirivati osnovu s korijenom, ali je bolje transformirati argument. Prijeđimo s korijena na stepen s racionalnim eksponentom. Hajde da zapišemo:
Dozvolite mi da ne prepisujem cijelu našu veliku logaritamsku jednačinu, već samo odmah izjednačim argumente:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Pred nama je novosvedeni kvadratni trinom, upotrijebimo Vietine formule i zapišemo:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Dakle, dobili smo korijene, ali nam niko nije garantirao da će odgovarati originalnoj logaritamskoj jednadžbi. Na kraju krajeva, znakovi dnevnika nameću dodatna ograničenja (ovdje smo trebali zapisati sistem, ali zbog glomazne prirode cijele strukture, odlučio sam da izračunam domen definicije zasebno).
Prije svega, zapamtite da argumenti moraju biti veći od 0, naime:
Ovo su zahtjevi koje nameće obim definicije.
Odmah primijetimo da, pošto prva dva izraza sistema izjednačavamo jedan s drugim, možemo precrtati bilo koji od njih. Precrtajmo prvu jer izgleda opasnije od druge.
Osim toga, imajte na umu da će rješenje druge i treće nejednakosti biti isti skupovi (kocka nekog broja je veća od nule, ako je sam ovaj broj veći od nule; slično, s korijenom trećeg stepena - ove nejednačine su potpuno analogne, pa ih možemo precrtati).
Ali s trećom nejednakošću to neće funkcionirati. Riješimo se radikalnog znaka na lijevoj strani podizanjem oba dijela na kocku. Dobijamo:
Tako dobijamo sljedeće zahtjeve:
− 2 ≠ x > −3
Koji od naših korijena: x 1 = −3 ili x 2 = −1 ispunjava ove zahtjeve? Očigledno, samo x = −1, jer x = −3 ne zadovoljava prvu nejednakost (pošto je naša nejednakost stroga). Dakle, vraćajući se na naš problem, dobijamo jedan korijen: x = −1. To je to, problem rešen.
Još jednom, ključne tačke ovog zadatka:
- Slobodno primijenite i riješite logaritamske jednadžbe koristeći kanonski oblik. Učenici koji naprave takvu notaciju, umjesto da pređu direktno sa originalnog problema na konstrukciju kao što je log a f (x) = b, prave mnogo manje grešaka od onih koji negdje žure, preskačući međukorake proračuna;
- Čim se promenljiva baza pojavi u logaritmu, problem prestaje biti najjednostavniji. Stoga je pri rješavanju potrebno voditi računa o domenu definicije: argumenti moraju biti veći od nule, a baze ne samo da moraju biti veće od 0, već ne smiju biti ni jednake 1.
Konačni zahtjevi se mogu primijeniti na konačne odgovore na različite načine. Na primjer, možete riješiti cijeli sistem koji sadrži sve zahtjeve za domenu definicije. S druge strane, možete prvo riješiti sam problem, a zatim zapamtiti domen definicije, zasebno ga razraditi u obliku sistema i primijeniti na dobijene korijene.
Koju ćete metodu odabrati prilikom rješavanja određene logaritamske jednadžbe, ovisi o vama. U svakom slučaju, odgovor će biti isti.
Kao što znate, kada se množe izrazi sa stepenom, njihovi eksponenti se uvijek sabiraju (a b *a c = a b+c). Ovaj matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celobrojnih eksponenata. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje trebate pojednostaviti glomazno množenje jednostavnim sabiranjem. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavnim i pristupačnim jezikom.
Definicija u matematici
Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) “b” na njegovu bazu “a” smatra se stepenom “c ” na koju se baza “a” mora podići da bi se na kraju dobila vrijednost “b”. Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takvu snagu da od 2 do tražene snage dobijete 8. Nakon nekih proračuna u glavi, dobijamo broj 3! I to je tačno, jer 2 na stepen od 3 daje odgovor kao 8.
Vrste logaritama
Za mnoge učenike i studente ova se tema čini komplikovanom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri odvojene vrste logaritamskih izraza:
- Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Ojlerov broj (e = 2,7).
- Decimala a, gdje je osnova 10.
- Logaritam bilo kojeg broja b na osnovu a>1.
Svaki od njih se rješava na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritama, trebali biste zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji prilikom njihovog rješavanja.
Pravila i neka ograničenja
U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i predstavljaju istinu. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve sa nulom, a također je nemoguće izdvojiti paran korijen negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:
- Osnova “a” uvijek mora biti veća od nule, a ne jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su “1” i “0” u bilo kojem stepenu uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
- ako je a > 0, onda a b > 0, ispada da “c” takođe mora biti veće od nule.
Kako riješiti logaritme?
Na primjer, daje se zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x = 100. Ovo je vrlo lako, potrebno je odabrati stepen podizanjem broja deset na koji dobijamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 = 100.
Sada predstavimo ovaj izraz u logaritamskom obliku. Dobijamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve radnje se praktično konvergiraju da bi se pronašla potencija na koju je potrebno unijeti bazu logaritma da bi se dobio dati broj.
Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:
Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički um i poznavanje tablice množenja. Međutim, za veće vrijednosti trebat će vam stol za napajanje. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne znaju ništa o složenim matematičkim temama. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je vrijednost stepena c na koji je broj a podignut. Na raskrsnici ćelije sadrže brojčane vrijednosti koje su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najistinskiji humanista razumjeti!
Jednačine i nejednačine
Ispada da je pod određenim uslovima eksponent logaritam. Stoga se bilo koji matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednakost. Na primjer, 3 4 =81 se može napisati kao logaritam 81 na bazi 3 jednak četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapišemo to kao logaritam, dobijemo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". U nastavku ćemo pogledati primjere i rješenja jednadžbi, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.
Dat je sljedeći izraz: log 2 (x-1) > 3 - to je logaritamska nejednakost, jer je nepoznata vrijednost “x” ispod logaritamskog predznaka. I u izrazu se upoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja prema bazi dva je veći od broja tri.
Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednačina je u tome što jednadžbe sa logaritmima (na primjer, logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednadžbe uzimaju i raspon prihvatljivih vrijednosti i tačke se određuju kršenjem ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru na jednadžbu, već kontinuirani niz ili skup brojeva.
Osnovne teoreme o logaritmima
Prilikom rješavanja primitivnih zadataka pronalaženja vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednačine ili nejednačine, prije svega je potrebno jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo pogledati primjere jednadžbi; hajde da prvo pogledamo svako svojstvo detaljnije.
- Glavni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo kada je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
- Logaritam proizvoda se može predstaviti u sledećoj formuli: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, obavezan uslov je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu logaritamsku formulu, sa primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobijamo da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (osobine stepeni ), a zatim po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
- Logaritam količnika izgleda ovako: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.
Ova formula se naziva “svojstvo stepena logaritma”. Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer se sva matematika zasniva na prirodnim postulatima. Pogledajmo dokaz.
Neka log a b = t, ispada da je a t = b. Ako oba dijela podignemo na stepen m: a tn = b n ;
ali pošto je a tn = (a q) nt/q = b n, dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorema je dokazana.
Primjeri problema i nejednakosti
Najčešći tipovi zadataka o logaritmima su primjeri jednačina i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim knjigama zadataka, a također su obavezan dio ispita iz matematike. Da biste ušli na fakultet ili položili prijemne ispite iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve zadatke.
Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, ali se određena pravila mogu primijeniti na svaku matematičku nejednačinu ili logaritamsku jednačinu. Prije svega, trebali biste saznati da li se izraz može pojednostaviti ili svesti na opći oblik. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako pravilno koristite njihova svojstva. Hajde da ih brzo upoznamo.
Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi moramo odrediti koji tip logaritma imamo: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.
Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da treba odrediti snagu kojoj će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Da biste riješili prirodne logaritme, morate primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema različitih tipova.
Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima
Dakle, pogledajmo primjere korištenja osnovnih teorema o logaritmima.
- Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno rastaviti veliku vrijednost broja b na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo stepena logaritma, uspjeli smo riješiti naizgled složen i nerješiv izraz. Vi samo trebate faktorisati bazu, a zatim izvući vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.
Zadaci sa Jedinstvenog državnog ispita
Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, posebno mnogi logaritamski problemi na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši dio ispita), već i u dijelu C (najsloženiji i najobimniji zadaci). Ispit zahtijeva tačno i savršeno poznavanje teme „Prirodni logaritmi“.
Primjeri i rješenja problema preuzeti su iz službenih verzija Jedinstvenog državnog ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.
Dat log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17; x = 8,5.
- Najbolje je sve logaritme svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i zbunjujuće.
- Svi izrazi pod predznakom logaritma su označeni kao pozitivni, stoga, kada se eksponent izraza koji je pod predznakom logaritma i kao njegova baza izvadi kao množitelj, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.
Učitavanje...