Kako riješiti jednadžbe metodom zamjene. Rješavanje sistema jednačina. Jednostavne i složene metode za rješavanje sistema jednačina
2. Metoda algebarskog sabiranja.
3. Metoda uvođenja nove varijable (metoda zamjene varijable).
definicija: Sistem jednačina se odnosi na nekoliko jednačina za jednu ili više varijabli koje se moraju izvršavati istovremeno, tj. sa istim vrijednostima varijabli za sve jednadžbe. Jednačine u sistemu su kombinovane sa sistemskim znakom – vitičastom zagradom.
Primjer 1:
- sistem od dvije jednačine sa dvije varijable x I y.
Rješenje sistema su korijeni. Kada se ove vrijednosti zamijene, jednačine postaju pravi identiteti:
Rješavanje sistema linearnih jednačina.
Najčešća metoda za rješavanje sistema je metoda zamjene.
Metoda zamjene.
Metoda zamjene za rješavanje sistema jednačina je da se varijabla iz jedne jednačine sistema izrazi u terminima drugih i da se ovaj izraz zamijeni u preostale jednačine sistema umjesto izražene varijable.
Primjer 2:
Riješite sistem jednačina:
Rješenje:
Dat je sistem jednačina koje je potrebno riješiti metodom zamjene.
Izrazimo varijablu y iz druge jednačine sistema.
komentar:“Izražavanje varijable” znači transformaciju jednakosti tako da ova varijabla ostane lijevo od znaka jednakosti sa koeficijentom 1, a svi ostali pojmovi se pomjeraju na desnu stranu jednakosti.
Druga jednačina sistema:
Ostavimo samo lijevo y:
I zamenimo (odavde naziv metode) u prvu jednačinu umjesto u at izraz kojem je jednaka, tj. .
Prva jednadžba:
Zamenimo: 
Hajde da riješimo ovu banalnu kvadratnu jednačinu. Za one koji su zaboravili kako se to radi, postoji članak Rješavanje kvadratnih jednadžbi. . 
Dakle, vrijednosti varijabli x pronađeno.
Zamijenimo ove vrijednosti u izraz za varijablu y. Ovdje postoje dva značenja x, tj. za svaki od njih treba pronaći vrijednost y .
1) Neka
Zamjenjujemo ga u izraz.
2) Neka
Zamjenjujemo ga u izraz.
Na sve se može odgovoriti:
komentar: U ovom slučaju, odgovor treba napisati u parovima kako ne bi došlo do zabune koja vrijednost varijable y odgovara kojoj vrijednosti varijable x.
odgovor:
komentar: U primjeru 1 samo je jedan par naznačen kao rješenje sistema, tj. ovaj par je rješenje za sistem, ali ne i kompletno. Dakle, kako riješiti jednačinu ili sistem znači naznačiti rješenje i pokazati da nema drugih rješenja. A evo još jednog para.
Formalizirajmo rješenje ovog sistema u školskom stilu:
komentar: Znak “” znači “ekvivalentno”, tj. sljedeći sistem ili izraz je ekvivalentan prethodnom.
Hajde da analiziramo dve vrste rešenja sistema jednačina:
1. Rješavanje sistema metodom zamjene.
2. Rješavanje sistema sabiranjem (oduzimanjem) sistemskih jednačina po članu.
Da bi se riješio sistem jednačina metodom supstitucije morate slijediti jednostavan algoritam:
1. Express. Iz bilo koje jednačine izražavamo jednu varijablu.
2. Zamjena. Dobivenu vrijednost zamjenjujemo u drugu jednačinu umjesto izražene varijable.
3. Riješi rezultirajuću jednačinu s jednom promjenljivom. Pronalazimo rješenje za sistem.
Riješiti sistem metodom sabiranja (oduzimanja) pojam treba:
1. Odaberite varijablu za koju ćemo napraviti identične koeficijente.
2. Sabiramo ili oduzimamo jednačine, što rezultira jednačinom s jednom promjenljivom.
3. Riješi rezultirajuću linearnu jednačinu. Pronalazimo rješenje za sistem.
Rješenje sistema su tačke preseka grafova funkcija.
Razmotrimo detaljno rješenja sistema na primjerima.
Primjer #1:
Rešimo metodom zamene
Rješavanje sistema jednačina metodom zamjene2x+5y=1 (1 jednadžba)
x-10y=3 (2. jednadžba)
1. Express
Vidi se da u drugoj jednačini postoji varijabla x sa koeficijentom 1, što znači da je varijablu x najlakše izraziti iz druge jednačine.
x=3+10y
2. Nakon što smo to izrazili, zamjenjujemo 3+10y u prvu jednačinu umjesto varijable x.
2(3+10y)+5y=1
3. Riješi rezultirajuću jednačinu s jednom promjenljivom.
2(3+10y)+5y=1 (otvorite zagrade)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Rešenje sistema jednačina su tačke preseka grafova, stoga treba da nađemo x i y, jer se presečna tačka sastoji od x i y. Nađimo x, u prvoj tački gde smo to izrazili zamenjujemo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Uobičajeno je da se zapisuju tačke na prvom mestu pišemo promenljivu x, a na drugom mestu promenljivu y.
Odgovor: (1; -0,2)
Primjer #2:
Rešimo metodom sabiranja (oduzimanja) po član.
Rješavanje sistema jednačina metodom sabiranja3x-2y=1 (1 jednadžba)
2x-3y=-10 (2. jednadžba)
1. Biramo varijablu, recimo da biramo x. U prvoj jednačini varijabla x ima koeficijent 3, u drugoj - 2. Moramo učiniti koeficijente istim, za to imamo pravo pomnožiti jednačine ili podijeliti s bilo kojim brojem. Prvu jednačinu pomnožimo sa 2, a drugu sa 3 i dobijemo ukupan koeficijent 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Oduzmite drugu od prve jednačine da biste se riješili varijable x. Riješite linearnu jednačinu.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. Pronađite x. Pronađeno y zamjenjujemo u bilo koju od jednadžbi, recimo u prvu jednačinu.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6
Tačka presjeka će biti x=4,6; y=6.4
Odgovor: (4,6; 6,4)
Želite li se besplatno pripremati za ispite? Tutor online besplatno. Bez šale.
U ovom slučaju, zgodno je izraziti x u terminima y iz druge jednačine sistema i zamijeniti rezultirajući izraz umjesto x u prvoj jednačini:
Prva jednadžba je jednadžba s jednom promjenljivom y. Hajde da to riješimo:
5(7-3y)-2y = -16
Dobivenu vrijednost y zamjenjujemo u izraz za x:
Odgovor: (-2; 3).
U ovom sistemu, lakše je izraziti y u terminima x iz prve jednačine i zamijeniti rezultirajući izraz umjesto y u drugoj jednačini:
Druga jednačina je jednačina sa jednom promenljivom x. Hajde da to riješimo:
3x-4(-1,5-3,5x)=23
U izrazu za y, umjesto x, zamjenjujemo x=1 i nalazimo y:
Odgovor: (1; -5).
Ovdje je zgodnije izraziti y u terminima x iz druge jednačine (pošto je dijeljenje sa 10 lakše nego sa 4, -9 ili 3):
Rešimo prvu jednačinu:
4x-9(1,6-0,3x)= -1
4x-14,4+2,7x= -1
Zamijenite x=2 i pronađite y:
Odgovor: (2; 1).
Prije primjene metode zamjene, ovaj sistem treba pojednostaviti. Obje strane prve jednačine se mogu pomnožiti najmanjim zajedničkim nazivnikom, u drugoj jednačini otvaramo zagrade i predstavljamo slične članove:
Dobili smo sistem linearnih jednačina sa dvije varijable. Sada primijenimo zamjenu. Zgodno je izraziti a kroz b iz druge jednačine:
Rješavamo prvu jednačinu sistema:
3(21,5 + 2,5b) – 7b = 63
Ostaje pronaći vrijednost a:
Prema pravilima oblikovanja, odgovor pišemo u zagradama odvojeno tačkom i zarezom po abecednom redu.
Odgovor: (14; -3).
Kada se jedna varijabla izražava kroz drugu, ponekad je zgodnije ostaviti je sa određenim koeficijentom.
Obično se jednačine sistema pišu u koloni jedna ispod druge i kombinuju sa vitičastom zagradom
Sistem jednačina ovog tipa, gdje a, b, c- brojevi, i x, y- varijable se pozivaju sistem linearnih jednačina.
Prilikom rješavanja sistema jednačina koriste se svojstva koja vrijede za rješavanje jednačina.
Rješavanje sistema linearnih jednačina metodom zamjene
Pogledajmo primjer 
1) Izrazite varijablu u jednoj od jednačina. Na primjer, izrazimo se y u prvoj jednačini dobijamo sistem:
2) Zamijenite u drugu jednačinu sistema umjesto y izraz 3x-7:
3) Riješi rezultirajuću drugu jednačinu:
4) Dobijeno rješenje zamjenjujemo u prvu jednačinu sistema:
Sistem jednačina ima jedinstveno rješenje: par brojeva x=1, y=-4. odgovor: (1; -4) , napisano u zagradama, na prvoj poziciji vrijednost x, na drugom - y.
Rješavanje sistema linearnih jednačina sabiranjem
Rešimo sistem jednačina iz prethodnog primera metoda dodavanja.
1) Transformirajte sistem tako da koeficijenti za jednu od varijabli postanu suprotni. Pomnožimo prvu jednačinu sistema sa "3".
2) Dodajte jednačine sistema član po član. Prepisujemo drugu jednačinu sistema (bilo koju) bez promjena.
3) Dobijeno rješenje zamjenjujemo u prvu jednačinu sistema:
Grafičko rješavanje sistema linearnih jednačina
Grafičko rješenje sistema jednačina sa dvije varijable svodi se na pronalaženje koordinata zajedničkih tačaka grafova jednačina.
Grafikon linearne funkcije je prava linija. Dvije prave na ravni mogu se sjeći u jednoj tački, biti paralelne ili se poklapati. Prema tome, sistem jednačina može: a) imati jedinstveno rješenje; b) nemaju rješenja; c) imaju beskonačan broj rješenja.
2) Rešenje sistema jednačina je tačka (ako su jednačine linearne) preseka grafova.
Grafičko rješenje sistema
Metoda za uvođenje novih varijabli
Promjena varijabli može dovesti do rješavanja jednostavnijeg sistema jednačina od prvobitnog.
Razmotrite rješenje sistema
Hajde da onda predstavimo zamjenu
Pređimo na početne varijable
Posebni slučajevi
Bez rješavanja sistema linearnih jednadžbi, možete odrediti broj njegovih rješenja iz koeficijenata odgovarajućih varijabli.
Sistem linearnih jednačina sa dvije nepoznate su dvije ili više linearnih jednačina za koje je potrebno pronaći sva njihova zajednička rješenja. Razmotrićemo sisteme dve linearne jednačine u dve nepoznanice. Opšti pogled na sistem od dve linearne jednačine sa dve nepoznate prikazan je na slici ispod:
( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2
Ovdje su x i y nepoznate varijable, a1, a2, b1, b2, c1, c2 su neki realni brojevi. Rješenje sistema dviju linearnih jednadžbi u dvije nepoznanice je par brojeva (x,y) takav da ako ove brojeve zamijenimo jednadžbama sistema, onda se svaka od jednačina sistema pretvara u pravu jednakost. Razmotrimo jedan od načina rješavanja sistema linearnih jednačina, odnosno metodu zamjene.
Algoritam rješenja metodom zamjene
Algoritam za rješavanje sistema linearnih jednadžbi metodom zamjene:
1. Odaberite jednu jednačinu (bolje je izabrati onu gdje su brojevi manji) i izrazite jednu varijablu iz nje u terminima druge, na primjer, x u terminima y. (možete koristiti i od y do x).
2. Zamijenite rezultirajući izraz umjesto odgovarajuće varijable u drugu jednačinu. Tako dobijamo linearnu jednačinu sa jednom nepoznatom.
3. Riješite rezultirajuću linearnu jednačinu i dobijete rješenje.
4. Dobijeno rješenje zamjenjujemo u izraz dobijen u prvom paragrafu, a iz rješenja dobijamo drugu nepoznatu.
5. Provjerite dobiveni rastvor.
Primjer
Da bi bilo jasnije, riješimo mali primjer.
Primjer 1. Riješite sistem jednačina:
(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18
Rješenje:
1. Iz prve jednačine ovog sistema izražavamo varijablu x. Imamo x= (12 -2*y);
2. Zamijenimo ovaj izraz u drugu jednačinu, dobićemo 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;
3. Riješi rezultirajuću linearnu jednačinu: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;
4. Dobijeni rezultat zamijeniti izrazom dobivenim u prvom pasusu. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;
5. Provjeravamo dobijeno rješenje, za to zamjenjujemo pronađene brojeve u originalni sistem.
(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;
{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;
{12 =12;
{-18=-18;
Dobili smo tačne jednakosti, dakle, našli smo ispravno rješenje.
Učitavanje...