Koji su slučajevi relativne pozicije prave i ravni. Relativni položaj prave i ravni, dvije ravni. Prizma. Definicija. Elementi. Vrste prizmi

Prava linija može ili ne mora pripadati ravni. Pripada ravni ako barem dvije njene tačke leže na ravni. Slika 93 prikazuje ravan Sum (axb). Pravo l pripada ravni Sum, pošto njene tačke 1 i 2 pripadaju ovoj ravni.

Ako prava ne pripada ravni, može biti paralelna s njom ili je sijeći.

Prava je paralelna s ravninom ako je paralelna s drugom pravom koja leži u toj ravni. Na slici 93 nalazi se prava linija m || Suma, budući da je paralelna pravoj l koji pripada ovom avionu.

Prava linija može seći ravan pod različitim uglovima i, posebno, biti okomita na nju. Konstrukcija linija preseka prave i ravni data je u §61.

Slika 93 - Prava linija koja pripada ravni

Tačka u odnosu na ravan može se locirati na sljedeći način: pripadati joj ili joj ne pripadati. Tačka pripada ravni ako se nalazi na pravoj liniji koja se nalazi u ovoj ravni. Na slici 94 prikazan je složeni crtež ravni Zbroja definisan sa dve paralelne linije l I P. U avionu je linija m. Tačka A leži u ravni Sum, budući da leži na pravoj m. Dot IN ne pripada ravni, jer njena druga projekcija ne leži na odgovarajućim projekcijama prave.

Slika 94 - Složeni crtež ravni definisan sa dve paralelne prave

Konične i cilindrične površine

Konusne površine uključuju površine nastale kretanjem pravolinijske generatrike l duž zakrivljene vodilice m. Posebnost formiranja konične površine je u tome što je u ovom slučaju jedna točka generatriksa uvijek nepomična. Ova tačka je vrh konusne površine (slika 95, A). Determinanta konične površine uključuje vrh S i vodič m, pri čemu l"~S; l"^ m.

Cilindrične površine su one koje formira ravna generatriksa / koja se kreće duž zakrivljene vodilice T paralelno sa datim pravcem S(Slika 95, b). Cilindrična površina se može smatrati posebnim slučajem konične površine s beskonačnim vrhom S.

Odrednica cilindrične površine sastoji se od vodilice T i pravci formiranja S l, dok l" || S; l"^m.

Ako su generatori cilindrične površine okomiti na ravan projekcije, tada se takva površina naziva projektovanje. Na slici 95, V prikazana je horizontalno isturena cilindrična površina.

Na cilindričnim i konusnim površinama date tačke se konstruišu pomoću generatrija koje prolaze kroz njih. Linije na površinama, kao što je linija A do cifre 95, V ili horizontalno h na slici 95, a, b, se konstruiraju korištenjem pojedinačnih tačaka koje pripadaju ovim pravima.

Slika 95 - Konične i cilindrične površine

Površine torza

Površina torza je površina koju formira pravolinijska generatriksa l, dodirujući tokom svog kretanja u svim svojim položajima neku prostornu krivu T, pozvao povratna ivica(Slika 96). Povratna ivica u potpunosti definira torzo i geometrijski je dio površinske determinante. Algoritamski dio je indikacija tangente generatora na ivicu vrha.

Konusna površina je poseban slučaj torza, koji ima povratnu ivicu T degenerisao u tačku S- vrh konusne površine. Cilindrična površina je poseban slučaj torza, čija je povratna ivica beskonačna tačka.

Slika 96 – Površina torza

Fasetirane površine

Fasetirane površine uključuju površine nastale kretanjem pravolinijske generatrike l duž pokvarenog vodiča m.Štaviše, ako jedan bod S generatrika je nepomična, stvara se piramidalna površina (slika 97), ako je generatrisa paralelna sa datim smjerom kada se kreće S, tada se stvara prizmatična površina (slika 98).

Elementi fasetiranih površina su: vrh S(blizu prizmatične površine nalazi se u beskonačnosti), lice (dio ravnine ograničen jednim dijelom vodilice m i ekstremne pozicije generatrise u odnosu na nju l) i ivica (linija presjeka susjednih lica).

Determinanta piramidalne površine uključuje vrh S, kroz koje prolaze generatori i vodilice: l" ~ S; l^ T.

Odrednica prizmatične površine koja nije vodič T, sadrži pravac S, kojoj su svi generatori paralelni l površine: l||S; l^ t.

Slika 97 - Površina piramide

Slika 98 - Prizmatična površina

Zatvorene fasetirane površine formirane određenim brojem (najmanje četiri) lica nazivaju se poliedri. Od poliedara izdvaja se grupa pravilnih poliedara u kojoj su sva lica pravilni i podudarni poligoni, a poliedarski uglovi na vrhovima su konveksni i sadrže isti broj lica. Na primjer: heksaedar - kocka (slika 99, A), tetraedar - pravilan četverougao (Slika 99, 6) oktaedar - poliedar (Slika 99, V). Kristali imaju oblik raznih poliedara.

Slika 99 - Poliedri

Piramida- poliedar čija je osnova proizvoljni poligon, a bočne strane su trokuti sa zajedničkim vrhom S.

U složenom crtežu, piramida je definirana projekcijama njenih vrhova i ivica, uzimajući u obzir njihovu vidljivost. Vidljivost ivice se određuje pomoću konkurentskih tačaka (Slika 100).

Slika 100 – Određivanje vidljivosti ruba korištenjem konkurentskih tačaka

Prizma- poliedar čija su osnova dva identična i međusobno paralelna poligona, a bočne strane su paralelogrami. Ako su rubovi prizme okomiti na ravan osnove, takva prizma se naziva ravna. Ako su rubovi prizme okomiti na bilo koju ravan projekcije, onda bočna površina to se zove projektovanje. Slika 101 prikazuje sveobuhvatan crtež prave četverokutne prizme s horizontalno izbačenom površinom.

Slika 101 - Složeni crtež prave četvorougaone prizme sa horizontalno izbačenom površinom

Kada radite sa složenim crtežom poliedra, morate graditi linije na njegovoj površini, a pošto je linija skup tačaka, morate biti u mogućnosti da gradite tačke na površini.

Bilo koja tačka na fasetiranoj površini može se konstruisati korišćenjem generatrike koja prolazi kroz ovu tačku. Na slici je 100 u licu ACS tačka izgrađena M koristeći generatricu S-5.

Spiralne površine

Zavojne površine uključuju površine nastale spiralnim kretanjem pravolinijske generatrike. Liniran spiralne površine se nazivaju helikoidi.

Pravi helikoid nastaje kretanjem pravolinijske generatrike i duž dvije vodilice: helix T i njegove ose i; prilikom formiranja l siječe os vijka pod pravim uglom (Slika 102, a). Ravni helikoid se koristi za izradu spiralnih stepenica, svrdla, kao i električnih navoja u alatnim mašinama.

Nagnuti helikoid se formira pomeranjem generatrikse duž vijčane vodilice T i njegove ose i tako da generator l prelazi osu i pod konstantnim uglom φ, različitom od prave linije, tj. u bilo kojoj poziciji generatriksa l paralelno sa jednom od generatrisa vodećeg konusa sa vršnim uglom jednakim 2φ (Slika 102, b). Kosi helikoidi ograničavaju površine navoja.

Slika 102 - Helikoidi

Površine revolucije

Površine okretanja uključuju površine nastale rotacijom linije l oko prave linije i , što je os rotacije. Mogu biti linearne, kao što je stožac ili cilindar okretanja, i nelinearne ili zakrivljene, kao što je sfera. Odrednica površine okretanja uključuje generatricu l i osovina i . Tokom rotacije, svaka tačka generatrise opisuje krug čija je ravan okomita na os rotacije. Takvi krugovi površine okretanja nazivaju se paralelama. Najveća od paralela se zove ekvator. Ekvator određuje horizontalni obris površine ako je i _|_ P 1 . U ovom slučaju, paralele su horizontale ove površine.

Krivulje okretne površine koje nastaju presjekom površine ravninama koje prolaze kroz os rotacije nazivaju se meridijani. Svi meridijani jedne površine su kongruentni. Frontalni meridijan se naziva glavni meridijan; određuje frontalni obris površine rotacije. Meridijan profila određuje obris profila površine rotacije.

Najprikladnije je konstruirati tačku na zakrivljenim površinama okretanja koristeći površinske paralele. Na slici su 103 tačke M izgrađen na paralelnom h4.

Slika 103 – Konstruisanje tačke na zakrivljenoj površini

Površine revolucije našle su najširu primjenu u tehnologiji. Oni ograničavaju površine većine inženjerskih dijelova.

Konusna površina okretanja se formira rotacijom prave linije i oko prave linije koja se sa njim seče - ose i(Slika 104, A). Dot M na površini se konstruira pomoću generatrikse l i paralele h. Ova površina se također naziva konus okretanja ili pravi kružni konus.

Cilindrična površina okretanja formira se rotacijom prave linije l oko ose koja je paralelna s njim i(Slika 104, b). Ova površina se također naziva cilindar ili desni kružni cilindar.

Sfera se formira rotacijom kruga oko svog prečnika (slika 104, V). Tačka A na površini sfere pripada glavnom meridijanu f, dot IN- ekvator h, tačka M izgrađena na pomoćnoj paraleli h".

Slika 104 - Formiranje okretnih površina

Torus se formira rotacijom kruga ili njegovog luka oko ose koja leži u ravnini kružnice. Ako se os nalazi unutar rezultirajućeg kruga, onda se takav torus naziva zatvorenim (slika 105, a). Ako je os rotacije izvan kruga, onda se takav torus naziva otvorenim (slika 105, b). Otvoreni torus se još naziva i prsten.

Slika 105 – Formiranje torusa

Površine okretanja mogu se formirati i drugim krivuljama drugog reda. Elipsoid rotacije (slika 106, A) formirana rotacijom elipse oko jedne od svojih osa; paraboloid rotacije (slika 106, b) - rotacija parabole oko svoje ose; hiperboloid okretanja jednog lista (slika 106, V) nastaje rotacijom hiperbole oko zamišljene ose i dvolista (slika 106, G) - rotacija hiperbole oko realne ose.

Slika 106 – Formiranje okretnih površina krivuljama drugog reda

U općem slučaju, površine su prikazane kao neograničene u smjeru prostiranja generirajućih linija (vidi slike 97, 98). Za rješenja specifične zadatke i primanje geometrijski oblici ograničeno na rezne ravni. Na primjer, da bi se dobio kružni cilindar, potrebno je ograničiti dio cilindrične površine na ravni rezanja (vidi sliku 104, b). Kao rezultat, dobivamo njegovu gornju i donju bazu. Ako su rezne ravnine okomite na os rotacije, cilindar će biti ravan; ako nisu, cilindar će biti nagnut.

Da biste dobili kružni konus (pogledajte sliku 104, A), potrebno je podrezati po vrhu i dalje. Ako je rezna ravnina osnove cilindra okomita na os rotacije, konus će biti ravan, a ako nije, bit će nagnut. Ako obje ravni sečenja ne prolaze kroz vrh, konus će biti skraćen.

Koristeći sečenu ravninu, možete dobiti prizmu i piramidu. Na primjer, heksagonalna piramida će biti ravna ako sve njene ivice imaju isti nagib prema ravni sečenja. U drugim slučajevima bit će nagnuta. Ako je završen With koristeći sečne ravnine i nijedna od njih ne prolazi kroz vrh - piramida je skraćena.

Prizma (vidi sliku 101) se može dobiti ograničavanjem presjeka površine prizme na dvije ravni sečenja. Ako je rezna ravan okomita na rubove, na primjer, osmougaone prizme, ona je ravna; ako nije okomita, nagnuta je.

Odabirom odgovarajuće pozicije reznih ravnina možete dobiti različite oblike geometrijskih figura u zavisnosti od uslova zadatka koji se rješava.

Daljinski element.

daljinski element.

• a) nemaju zajedničkih tačaka;

Teorema.

Označavanje rezova

GOST 2.305-2008 predviđa sljedeće zahtjeve za označavanje sekcije:

1. Položaj rezne ravni je na crtežu označen linijom presjeka.

2. Za liniju presjeka treba koristiti otvorenu liniju (debljina od S do 1,5S, dužina linije 8-20 mm).

3. U slučaju složenog reza, potezi se izvode i na presjeku ravnih sečenja međusobno.

4. Strelice treba postaviti na početni i završni potez koji označavaju smjer gledanja, a strelice treba postaviti na udaljenosti od 2-3 mm od vanjskog kraja poteza.

5. Dimenzije strelica moraju odgovarati onima prikazanim na slici 14.

6. Početni i završni potezi ne bi trebalo da sijeku konturu odgovarajuće slike.

7. Na početku i na kraju linije presjeka, a po potrebi i na sjecištu ravnina sečenja, postaviti isto veliko slovo rusko pismo. Slova su postavljena u blizini strelica koje ukazuju na smjer gledanja, te na presjecima iz vanjskog ugla (slika 24).

Slika 24 - Primjeri označavanja sekcija

8. Rez mora biti označen natpisom poput “AA” (uvijek dva slova odvojena crticom).

9. Kada se sekantna ravan poklapa sa ravninom simetrije objekta u cjelini, a odgovarajuće slike se nalaze na istom listu u direktnoj projekcionoj vezi i nisu odvojene nikakvim drugim slikama, za horizontalne, frontalne i profilne presjeke položaj sekantne ravni nije zabeležen, a rez nije praćen natpisom.

10. Frontalni i profilni presjeci, po pravilu, dobijaju položaj koji odgovara onom prihvaćenom za datu stavku na glavnoj slici crteža.

11. Horizontalni, frontalni i profilni presjeci mogu se postaviti na mjesto odgovarajućih glavnih pogleda.

12. Dozvoljeno je postavljanje preseka bilo gde u polju za crtanje, kao i sa rotacijom uz dodatak konvencionalne grafičke oznake - ikone „Rotirano“ (Slika 25).

Slika 25 – Grafički simbol – ikona „Rotirana“.

Oznake sekcija su slične oznaka rezova i sastoji se od tragova sekantne ravni i strelice koja pokazuje smjer gledanja, kao i slova postavljenog na vanjskoj strani strelice (slika 1c, slika 3). Pomakni presjek nije označen i rezna ravnina nije prikazana ako se linija presjeka poklapa sa osom simetrije presjeka, a sam presjek se nalazi na nastavku traga rezne ravnine ili u razmaku između dijelova pogled. Za simetričan presek koji se nalazi iznad, rezna ravnina takođe nije prikazana. Ako je presjek asimetričan i nalazi se u procjepu ili je prekriven (slika 2b), linija presjeka se crta strelicama, ali nije označena slovima.

Odeljak se može pozicionirati rotirajući, obezbeđujući natpis iznad sekcije sa rečju „rotirano“. Za nekoliko identičnih presjeka koji se odnose na jedan objekt, linije presjeka se označavaju istim slovom i crta se jedna sekcija. U slučajevima kada se pokaže da se dio sastoji od zasebnih dijelova, treba koristiti rezove.

Pravo opšti položaj

Prava linija u opštem položaju (slika 2.2) je prava linija koja nije paralelna ni sa jednom od datih ravni projekcije. Svaki segment takve prave linije projektovan je iskrivljeno u datom sistemu ravni projekcije. Uglovi nagiba ove prave linije prema ravnima projekcije takođe se projektuju iskrivljeno.

Rice. 2.2.

Direktne privatne odredbe
Linije određenog položaja uključuju linije paralelne s jednom ili dvije ravni projekcije.
Svaka linija (prava ili kriva) paralelna sa ravninom projekcije naziva se linija nivoa. U inženjerskoj grafici postoje tri glavne linije nivoa: horizontalne, frontalne i profilne linije.

Rice. 2.3-a

Horizontalna je svaka linija paralelna s horizontalnom ravninom projekcija (slika 2.3-a). Frontalna projekcija horizontale je uvijek okomita na komunikacijske linije. Bilo koji horizontalni segment na horizontalnoj ravni projekcije se projektuje na svoju pravu veličinu. Prava veličina se projektuje na ovu ravan i ugao nagiba horizontale (prave) prema frontalnoj ravni projekcija. Kao primjer, slika 2.3-a prikazuje vizuelnu sliku i sveobuhvatan horizontalni crtež h, nagnut prema ravni P 2 pod uglom b .
Rice. 2.3-b

Frontalna je linija paralelna sa frontalnom ravninom projekcija (slika 2.3-b). Horizontalna projekcija fronta je uvijek okomita na komunikacijske linije. Svaki segment frontala na frontalnu ravan projekcija projektuje se do svoje prave veličine. Prava veličina se projektuje na ovu ravan, a ugao nagiba fronte (prave) na horizontalnu ravan projekcija (ugao a).
Rice. 2.3-v

Profilna linija je prava paralelna sa profilnom ravninom projekcija (slika 2.3-c). Horizontalne i frontalne projekcije linije profila su paralelne sa linijama spajanja ovih projekcija. Svaki segment profilne linije (prava linija) se projektuje na ravan profila do svoje prave veličine. Uglovi nagiba ravne linije profila prema ravnima projekcije se projektuju na istu ravan u pravoj veličini. P 1 i P 2. Kada specificirate liniju profila u složenom crtežu, morate navesti dvije tačke ove linije.

Linije ravni paralelne sa dvije ravni projekcije bit će okomite na treću ravninu projekcije. Takve linije se nazivaju projektovane linije. Postoje tri glavne projekcijske linije: horizontalne, frontalne i profilne projekcijske linije.
Rice. 2,3-g Rice. 2.3-d Rice. 2.3rd

Horizontalna prava linija (slika 2.3-d) je prava linija okomita na ravan P 1 . Bilo koji segment ove linije se projektuje na ravan P P 1 - do tačke.

Frontalno izbačena prava linija (slika 2.H-e) naziva se prava prava okomita na ravan P 2. Bilo koji segment ove linije se projektuje na ravan P 1 bez izobličenja, ali u ravni P 2 - do tačke.

Profil koji štrči pravu liniju (slika 2.3-f) je prava linija okomita na ravan P 3, tj. prava linija paralelna sa ravnima projekcije P 1 i P 2. Bilo koji segment ove linije se projektuje na ravan P 1 i P 2 bez izobličenja, ali u ravni P 3 - do tačke.

Glavne linije u avionu

Među pravim linijama koje pripadaju ravni, posebno mjesto zauzimaju prave koje zauzimaju određenu poziciju u prostoru:

1. Horizontali h - prave linije koje leže u datoj ravni i paralelne su sa horizontalnom ravninom projekcija (h//P1) (slika 6.4).

Slika 6.4 Horizontalno

2. Frontovi f - prave linije, koje se nalaze u ravni i paralelne sa frontalnom ravninom projekcija (f//P2) (slika 6.5).

Slika 6.5 Prednja strana

3. Profilne prave p - prave koje su u datoj ravni i paralelne sa profilnom ravninom projekcija (p//P3) (sl. 6.6). Treba napomenuti da se tragovi aviona mogu pripisati i glavnim linijama. Horizontalni trag je horizontala ravnine, frontalni je frontalni, a profil je profilna linija ravnine.

Slika 6.6 Ravni profil

4. Linija najvećeg nagiba i njena horizontalna projekcija formiraju linearni ugao j, koji meri diedarski ugao koji formira ova ravan i horizontalna ravan projekcija (slika 6.7). Očigledno, ako prava linija nema dvije zajedničke tačke s ravninom, onda je ili paralelna s ravninom ili je seče.

Slika 6.7 Linija najvećeg nagiba

Kinematička metoda formiranja površine. Određivanje površine na crtežu.

U inženjerskoj grafici, površina se smatra skupom uzastopnih pozicija linije koja se kreće u prostoru prema određenom zakonu. Tokom formiranja površine, linija 1 može ostati nepromijenjena ili promijeniti svoj oblik.
Za jasnoću slike površine u složenom crtežu, preporučljivo je grafički specificirati zakon kretanja u obliku porodice linija (a, b, c). Zakon kretanja linije 1 može se specificirati sa dvije (a i b) ili jednom (a) linijom i dodatnim uslovima koji pojašnjavaju zakon kretanja 1.
Pokretna linija 1 naziva se generatrisa, a fiksne linije a, b, c se nazivaju vodilice.
Razmotrimo proces formiranja površine koristeći primjer prikazan na slici 3.1.
Ovdje se kao generatrisa uzima prava linija 1. Zakon kretanja generatrike je dat vodičem a i pravom b. To znači da generatrisa 1 klizi duž vodilice a, ostajući sve vrijeme paralelna s pravom b.
Ova metoda formiranja površine naziva se kinematička. Uz njegovu pomoć možete kreirati i definirati različite površine na crtežu. Konkretno, slika 3.1 prikazuje najopštiji slučaj cilindrične površine.

Rice. 3.1.

Drugi način da se formira površina i prikaže na crtežu je da odredite površinu skupom tačaka ili linija koje joj pripadaju. U ovom slučaju, točke i linije se biraju tako da omogućavaju određivanje oblika površine s dovoljnim stupnjem točnosti i rješavanje različitih problema na njoj.
Skup tačaka ili linija koje definiraju površinu naziva se njezin okvir.
Ovisno o tome da li je površinski okvir definiran točkama ili linijama, okviri se dijele na tačkaste i linearne.
Slika 3.2 prikazuje površinski okvir koji se sastoji od dvije ortogonalno locirane porodice linija a1, a2, a3, ..., an i b1, b2, b3, ..., bn.

Rice. 3.2.

Konusni presjeci.

KONUSNI PRESJECI, ravne krive koje se dobijaju presecanjem pravog kružnog konusa sa ravninom koja ne prolazi kroz njegov vrh (slika 1). Sa stanovišta analitičke geometrije, konusni presjek je mjesto tačaka koje zadovoljavaju jednačinu drugog reda. Osim degeneriranih slučajeva o kojima se govori u posljednjem dijelu, konusni presjeci su elipse, hiperbole ili parabole.

Konusni presjeci se često nalaze u prirodi i tehnologiji. Na primjer, orbite planeta koje se okreću oko Sunca imaju oblik elipse. Krug je poseban slučaj elipse u kojoj je glavna osa jednaka maloj. Parabolično ogledalo ima svojstvo da se svi upadni zraci paralelni njegovoj osi konvergiraju u jednoj tački (fokus). Ovo se koristi u većini reflektirajućih teleskopa koji koriste parabolična ogledala, kao i u radarskim antenama i specijalnim mikrofonima s paraboličnim reflektorima. Snop paralelnih zraka izlazi iz izvora svjetlosti smještenog u fokusu paraboličnog reflektora. Zbog toga se parabolični retrovizori koriste u reflektorima velike snage i farovima automobila. Hiperbola je graf mnogih važnih fizičkih odnosa, kao što je Boyleov zakon (odnos pritiska i zapremine idealan gas) i Ohmov zakon, koji određuje električnu struju kao funkciju otpora pri konstantnom naponu.

RANA ISTORIJA

Smatra se da je pronalazač konusnih presjeka Menehmus (4. vek pne), Platonov učenik i učitelj Aleksandra Velikog. Menehmus je koristio parabolu i jednakostranu hiperbolu da riješi problem udvostručavanja kocke.

Rasprave o konusnim presjecima koje su napisali Aristej i Euklid krajem 4. stoljeća. prije Krista, izgubljeni su, ali su materijali iz njih uvršteni u čuvene Konične preseke Apolonija iz Perge (oko 260–170. pne), koji su preživjeli do danas. Apolonije je odustao od zahtjeva da sekantna ravan generatrike konusa bude okomita i, mijenjajući ugao njenog nagiba, dobio je sve konusne presjeke iz jednog kružnog konusa, pravog ili kosog. Apoloniju dugujemo i moderna imena krivih - elipsa, parabola i hiperbola.

Apolonije je u svojim konstrukcijama koristio kružni konus od dva lista (kao na slici 1), pa je po prvi put postalo jasno da je hiperbola kriva sa dvije grane. Od Apolonijevog vremena, konusni presjeci su podijeljeni u tri tipa u zavisnosti od nagiba rezne ravni prema generatrisi konusa. Elipsa (slika 1a) nastaje kada rezna ravan siječe sve generatrise konusa u tačkama jedne njegove šupljine; parabola (slika 1,b) - kada je rezna ravan paralelna sa jednom od tangentnih ravni konusa; hiperbola (slika 1, c) - kada rezna ravnina siječe obje šupljine konusa.

KONSTRUKCIJA KONUSNIH PRESJEKA

Proučavajući konusne preseke kao preseke ravnina i konusa, starogrčki matematičari su ih takođe smatrali putanjama tačaka na ravni. Utvrđeno je da se elipsa može definirati kao mjesto tačaka, zbir udaljenosti od kojih je do dvije date tačke konstantan; parabola - kao lokus tačaka jednako udaljenih od dati poen i datu pravu liniju; hiperbola - kao lokus tačaka, razlika u udaljenostima od kojih do dvije date tačke je konstantna.

Ove definicije konusnih presjeka kao ravnih krivulja također sugeriraju metodu za njihovu konstrukciju korištenjem istegnute žice.

Elipsa.

Ako su krajevi niti date dužine učvršćeni u tačkama F1 i F2 (slika 2), tada kriva opisana točkom olovke koja klizi duž čvrsto zategnutog konca ima oblik elipse. Tačke F1 i F2 nazivaju se fokusi elipse, a segmenti V1V2 i v1v2 između tačaka presjeka elipse sa koordinatnom osom su velika i mala osa. Ako se tačke F1 i F2 poklapaju, tada se elipsa pretvara u krug.

pirinač. 2 Elipsa

Hiperbola.

Prilikom konstruiranja hiperbole, tačka P, vrh olovke, pričvršćena je na konac, koji slobodno klizi duž klinova postavljenih u tačkama F1 i F2, kao što je prikazano na sl. 3, a. Udaljenosti se biraju tako da segment PF2 bude duži od segmenta PF1 za fiksni iznos manji od udaljenosti F1F2. U tom slučaju, jedan kraj konca prolazi ispod klina F1, a oba kraja konca prolaze preko igle F2. (Vrška olovke ne bi smjela kliziti duž konca, pa se mora osigurati tako što ćete napraviti malu petlju na niti i provući vrh kroz nju.) Crtamo jednu granu hiperbole (PV1Q), pazeći da konac ostaje zategnut u svakom trenutku, i povlačenjem oba kraja konca nadole preko tačke F2, a kada je tačka P ispod segmenta F1F2, držanje konca na oba kraja i pažljivo urezivanje (tj. otpuštanje). Crtamo drugu granu hiperbole (PŭV2Qŭ), nakon što smo prethodno zamenili uloge igle F1 i F2.

pirinač. 3 hiperbola

Grane hiperbole približavaju se dvije prave linije koje se sijeku između grana. Ove linije, koje se nazivaju asimptote hiperbole, konstruisane su kao što je prikazano na Sl. 3, b. Ugaoni koeficijenti ovih pravih jednaki su ± (v1v2)/(V1V2), gdje je v1v2 simetrala ugla između asimptota, okomita na segment F1F2; segment v1v2 naziva se konjugirana osa hiperbole, a segment V1V2 je njena poprečna osa. Dakle, asimptote su dijagonale pravougaonika sa stranicama koje prolaze kroz četiri tačke v1, v2, V1, V2 paralelne sa osama. Da biste konstruirali ovaj pravougaonik, morate odrediti lokaciju tačaka v1 i v2. Na istoj su udaljenosti, jednaki

od tačke preseka osa O. Ova formula pretpostavlja konstrukciju pravougaonog trougla sa kracima Ov1 i V2O i hipotenuzom F2O.

Ako su asimptote hiperbole međusobno okomite, onda se hiperbola naziva jednakostranična. Dvije hiperbole koje imaju zajedničke asimptote, ali s preuređenim poprečnim i konjugiranim osama, nazivaju se međusobno konjugiranim.

Parabola.

Fokusi elipse i hiperbole bili su poznati Apoloniju, ali fokus parabole je očigledno prvi ustanovio Papus (2. polovina 3. veka), koji je definisao ovu krivu kao geometriju tačaka jednako udaljenih od date tačke (fokus) i datu pravu liniju, koja se zove direktor. Konstrukciju parabole pomoću istegnute niti, na osnovu Papove definicije, predložio je Isidor iz Mileta (6. vek). Postavimo ravnalo tako da mu se ivica poklapa sa direktrisom LLŭ (slika 4), i pričvrstimo krak AC trougla za crtanje ABC na ovu ivicu. Pričvrstimo jedan kraj konca dužine AB u vrh B trougla, a drugi u fokus parabole F. Nakon što ste vrhom olovke povukli konac, pritisnite vrh u promjenljivoj tački P na slobodni krak AB nacrtanog trougla. Kako se trokut kreće duž ravnala, tačka P će opisivati ​​luk parabole sa fokusom F i direktrisom LLŭ, budući da je ukupna dužina niti jednaka AB, komad niti je u blizini slobodnog kraka trougla, te stoga preostali komad konca PF mora biti jednak preostalim dijelovima kraka AB, tj. PA. Tačka presjeka V parabole sa osom naziva se vrh parabole, a prava linija koja prolazi kroz F i V je osa parabole. Ako se kroz fokus povuče prava linija, okomita na osu, tada se segment ove prave linije odsječen parabolom naziva žarišnim parametrom. Za elipsu i hiperbolu, fokalni parametar se određuje na sličan način.

ODGOVORI NA ULAZNICE: br. 1 (ne u potpunosti), 2 (ne u potpunosti), 3 (ne u potpunosti), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (ne u potpunosti), 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26,

Daljinski element.

Prilikom izrade crteža u nekim slučajevima postaje potrebno izraditi dodatnu zasebnu sliku bilo kojeg dijela objekta koji zahtijeva objašnjenje u pogledu oblika, veličine ili drugih podataka. Ova slika se zove daljinski element. Obično se izvodi uvećano. Detalj se može postaviti kao pogled ili kao presjek.

Prilikom konstruiranja elementa oblačića, odgovarajuće mjesto glavne slike označeno je zatvorenom punom tankom linijom, obično ovalnom ili kružnom, i označeno je velikim slovom ruske abecede na polici vodeće linije. Za daljinski element je napravljen unos tipa A (5:1). Na sl. 191 pokazuje primjer implementacije udaljenog elementa. Postavlja se što bliže odgovarajućem mjestu na slici objekta.

1. Metoda pravokutne (ortogonalne) projekcije. Osnovna invarijantna svojstva pravokutne projekcije. Epure Monge.

Ortogonalna (pravokutna) projekcija je poseban slučaj paralelne projekcije, kada su sve projektovane zrake okomite na ravan projekcije. Ortogonalne projekcije imaju sva svojstva paralelnih projekcija, ali kod pravokutne projekcije projekcija segmenta, ako nije paralelna s ravninom projekcije, uvijek je manja od samog segmenta (Sl. 58). Ovo se objašnjava činjenicom da je sam segment u prostoru hipotenuza pravouglog trougla, a njegova projekcija je krak: A "V" = ABcos a.

Kod pravokutne projekcije, pravi ugao se projektuje u punoj veličini kada su obje njegove strane paralelne s ravninom projekcije i kada je samo jedna njegova strana paralelna s ravninom projekcije, a druga strana nije okomita na ovu ravninu projekcije.

Relativni položaj prave i ravni.

Prava linija i ravan u prostoru mogu:

• a) nemaju zajedničkih tačaka;
• b) imaju tačno jednu zajedničku tačku;
• c) imaju najmanje dvije zajedničke tačke.

Na sl. 30 prikazuje sve ove mogućnosti.

U slučaju da je a) prava b paralelna sa ravninom: b || .

U slučaju b) prava l seče ravan u jednoj tački O; l = O.

U slučaju c) prava a pripada ravni: a ili a.

Teorema. Ako je prava b paralelna sa najmanje jednom pravom a koja pripada ravni, tada je prava paralelna sa ravninom.

Pretpostavimo da prava m seče ravan u tački Q. Ako je m okomita na svaku pravu ravni koja prolazi kroz tačku Q, onda se kaže da je prava m okomita na ravan.

Tramvajske šine ilustruju da prave linije pripadaju ravni zemlje. Električni vodovi su paralelni s ravninom zemlje, a stabla drveća su primjeri pravih linija koje prelaze površinu zemlje, neke su okomite na ravninu zemlje, druge nisu okomite (kose).

Lokacija

znak: ako je prava koja ne leži u datoj ravni paralelna nekoj pravoj koja leži u ovoj ravni, onda je ona paralelna datoj ravni.

1. ako ravan prolazi kroz datu pravu paralelnu drugoj ravni i siječe ovu ravan, tada je linija presjeka ravni paralelna sa datom pravom.

2. ako je jedna od 2 prave paralelna sa datom, onda je i druga prava ili paralelna datoj ravni ili leži u ovoj ravni.

MEĐUSOBNI POLOŽAJ AVIONA. PARALELNOST RAVNINA

Lokacija

1. ravni imaju najmanje 1 zajedničku tačku, tj. seku u pravoj liniji

2. ravni se ne seku, tj. nemaju 1 zajedničku tačku, u kom slučaju se nazivaju paralelnim.

sign

ako su 2 prave linije 1 ravni koje se seku paralelne sa 2 prave druge ravni, onda su ove ravni paralelne.

Sveto

1. ako se sijeku 2 paralelne ravni 3, tada su linije njihovog presjeka paralelne

2. segmenti paralelnih pravih koji se nalaze između paralelnih ravni su jednaki.

PERENDIKULARNOST PRAVE I RAVNI. ZNAK PERENDIKULARNOSTI PRAVE I RAVNE.

Direktna imena okomito, ako se sijeku ispod<90.

Lema: Ako je 1 od 2 paralelne prave okomita na 3. pravu, onda je druga prava okomita na ovu pravu.

Za pravu se kaže da je okomita na ravan, ako je okomita na bilo koju pravu u ovoj ravni.

Teorema: Ako je 1 od 2 paralelne prave okomita na ravan, onda je druga prava okomita na ovu ravan.

Teorema: Ako su 2 prave okomite na ravan, onda su paralelne.

Potpiši

Ako je prava okomita na 2 prave koje se ukrštaju koje leže u ravni, onda je ona okomita na ovu ravan.

KOMITAN I KOSI

Hajde da konstruišemo ravan i tako dalje, ne pripadajući ravni. Njihov t.A ćemo povući pravu liniju, okomitu na ravan. Tačka preseka prave sa ravninom označena je H. Segment AN je okomit povučen iz tačke A na ravan. T.N – osnova okomice. Uzmimo ravan t.M, koja se ne poklapa sa H. Segment AM je nagnut, povučen iz t.A u ravan. M – nagnuta osnova. Segment MH je projekcija nagnute ravni na ravan. Okomita AN - udaljenost od t.A do ravni. Bilo koja udaljenost je dio okomice.

Teorema o 3 okomice:

Prava linija povučena u ravni kroz osnovu nagnute ravni okomita na njenu projekciju na ovu ravan je također okomita na samu nagnutu ravan.

UGAO IZMEĐU PRAVE I RAVNI

Ugao između prave linije i Ravan je ugao između ove prave i njene projekcije na ravan.

DIHEDRALNI UGAO. UGAO IZMEĐU RAVNI

Diedarski ugao naziva se figura koju čine prava linija i 2 poluravnine sa zajedničkom granicom a, koje ne pripadaju istoj ravni.

Granica a – ivica diedralnog ugla. Pola aviona – Diedral ugao lica. Za mjerenje diedralnog ugla. Morate konstruisati linearni ugao unutar njega. Označimo neku tačku na ivici diedarskog ugla i nacrtajmo zrak iz te tačke na svakoj strani, okomito na ivicu. Ugao koji formiraju ove zrake naziva se linearni diedarski ugao. Može ih biti beskonačan broj unutar diedralnog ugla. Svi imaju istu veličinu.

PERENDIKULARNOST DVIJE RAVNE

Zovu se dvije ravni koje se ukrštaju okomito, ako je ugao između njih 90.

znak:

Ako 1 od 2 ravni prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, tada su te ravni okomite.

POLYhedra

Poliedar– površina sastavljena od poligona i koja omeđuje određeno geometrijsko tijelo. Ivice– poligoni od kojih se prave poliedri. Rebra– strane lica. Vrhovi- krajevi rebara. Dijagonala poliedra naziva se segment koji povezuje 2 vrha koji ne pripadaju jednom licu. Zove se ravan na kojoj se na obje strane nalaze tačke poliedra . reznu ravninu. Zajednički dio poliedra i sekantne površine naziva se presjek poliedra. Poliedri mogu biti konveksni ili konkavni. Poliedar se zove konveksan, ako se nalazi na jednoj strani ravni svake njegove strane (tetraedar, paralelepiped, oktaedar). U konveksnom poliedru, zbir svih ravnih uglova u svakom vrhu je manji od 360.

PRISM

Poliedar sastavljen od 2 jednaka poligona smještena u paralelnim ravnima i n-paralelograma naziva se prizma.

Poligoni A1A2..A(p) i B1B2..B(p) – baza prizme. A1A2V2V1…- paralelograma, A(p)A1B1B(p) – bočne ivice. Segmenti A1B1, A2B2..A(p)B(p) – bočna rebra. U zavisnosti od poligona koji leži ispod prizme, prizma nazvan p-ugalj. Zove se okomita povučena iz bilo koje tačke jedne baze na ravan druge baze visina. Ako su bočne ivice prizme okomite na osnovu, tada je prizma – ravno, a ako nije okomito – koso je. Visina ravne prizme jednaka je dužini njene bočne ivice. Direktna prizma je ispravna, ako je njegova osnova pravilni poligoni, sve bočne strane su jednaki pravokutnici.

PARALLEPIPED

ABCD//A1B1S1D1, AA1//BB1//CC1//DD1, AA1=BB1=CC1=DD1 (prema prirodi paralelnih ravni)

Paralelepiped se sastoji od 6 paralelograma. Paralelogrami se nazivaju ivice. ABCD i A1V1S1D1 su baze, preostala lica se zovu bočno. Tačke A B C D A1 B1 C1 D1 – vrhovi. Segmenti linija koji povezuju vrhove - rebra AA1, BB1, SS1, DD1 – bočna rebra.

Dijagonala paralelepipeda je naziva se segment koji povezuje 2 vrha koji ne pripadaju jednom licu.

Sveci

1. Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake. 2. Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i tom tačkom se dijele popola.

PIRAMIDA

Razmotrimo poligon A1A2..A(n), tačku P koja ne leži u ravni ovog poligona. Spojimo tačku P sa vrhovima poligona i dobijemo n trouglova: RA1A2, RA2A3....RA(p)A1.

Poliedar sastavljen od n-ugla i n-trokuta nazvana piramida. Poligon – temelj. trokuti – bočne ivice. R - vrh piramide. Segmenti A1P, A2P..A(p)P – bočna rebra. U zavisnosti od poligona koji leži u osnovi, piramida se naziva p-ugalj. Visina piramide naziva se okomica povučena od vrha do ravni baze. Piramida se naziva ispravnom, ako njegova baza sadrži pravilan poligon i njegova visina pada u centar baze. Apothem– visina bočne strane pravilne piramide.

TRUNCATED PYRAMID

Razmotrimo piramidu PA1A2A3A(n). Nacrtajmo reznu ravan paralelnu sa bazom. Ova ravan dijeli našu piramidu na 2 dijela: gornji je piramida slična ovoj, donji je skraćena piramida. Bočna površina se sastoji od trapeza. Bočna rebra povezuju vrhove baza.

Teorema: Površina bočne površine pravilne skraćene piramide jednaka je umnošku polovine zbroja opsega baza i apoteme.

REGULAR POLYHEDES

Konveksni poliedar se naziva regularan, ako su sva njegova lica jednaki pravilni poligoni i isti broj ivica konvergira na svakom od njegovih vrhova. Primjer pravilnog poliedra je kocka. Sve njegove strane su jednaki kvadrati, a 3 ivice se sastaju na svakom vrhu.

Regularni tetraedar sastavljena od 4 jednakostranična trougla. Svaki vrh je vrh 3 trougla. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 180.

Regularni oktaedar sastavljena od 8 jednakostraničnih trouglova. Svaki vrh je vrh 4 trougla. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu = 240

Regularni ikosaedar sastavljena od 20 jednakostraničnih trouglova. Svaki vrh je vrh 5 trougao. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 300.

Kocka sastavljena od 6 kvadrata. Svaki vrh je vrh od 3 kvadrata. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu = 270.

Regularni dodekaedar sastavljen od 12 pravilnih pentagona. Svaki vrh je vrh 3 pravilna pentagona. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu = 324.

Ne postoje druge vrste pravilnih poliedara.

CILINDAR

Tijelo ograničeno cilindričnom površinom i dvije kružnice s granicama L i L1 naziva se cilindar. Zovu se krugovi L i L1 osnove cilindra. Segmenti MM1, AA1 – formativno. Formiranje cilindrične ili bočne površine cilindra. Prava linija koja povezuje centre baza O i O1 osi cilindra. Dužina generatora - visina cilindra. Radijus osnove (r) – poluprečnik cilindra.

Sekcije cilindra

Aksijalni prolazi kroz osu i prečnik baze

Okomito na os

Cilindar je tijelo rotacije. Dobiva se rotacijom pravougaonika oko jedne od njegovih stranica.

KORNET

Razmotrimo kružnicu (o;r) i pravu liniju OP okomitu na ravan ove kružnice. Kroz svaku tačku kružnice L i sl. nacrtaćemo segmente, kojih ima beskonačno mnogo. Oni čine konusnu površinu i nazivaju se formativno.

R- vertex, ILI – osa konične površine.

Tijelo ograničeno konusnom površinom i kružnicom s granicom L nazvan konus. Krug - osnovu konusa. Vrh konične površine - vrh konusa. Formiranje konične površine - formiranje konusa. Konusna površina - bočna površina konusa. RO – konus osi. Udaljenost od P do O – visina konusa. Konus je tijelo okretanja. Dobiva se rotacijom pravouglog trougla oko noge.

Cone section

Aksijalni presek

Presjek okomit na osu

SFERA I LOPTA

Sfera naziva se površina koja se sastoji od svih tačaka u prostoru koje se nalaze na datoj udaljenosti od date tačke. Ova tačka je centar sfere. Ova udaljenost je poluprečnik sfere.

Segment koji povezuje 2 tačke sfere i prolazi kroz njeno središte naziva prečnik sfere.

Tijelo ograničeno sferom tzv lopta. Zovu se centar, poluprečnik i prečnik sfere centar, poluprečnik i prečnik lopte.

Sfera i lopta su tijela rotacije. Sfera se dobija rotiranjem polukruga oko prečnika, i lopta dobijeno rotiranjem polukruga oko prečnika.

u pravougaonom koordinatnom sistemu, jednadžba sfere poluprečnika R sa centrom C(x(0), y(0), Z(0) ima oblik (x-x(0))(2)+(y-y(0) )(2 )+(z-z(0))(2)= R(2)

Direct can pripadaju avionu, budi ona paralelno ili krst avion. Prava pripada ravni ako dvije tačke koje pripadaju pravoj i ravni imaju iste visine. Zaključak koji sledi iz rečenog: tačka pripada ravni ako pripada pravoj koja leži u ovoj ravni.

Prava je paralelna s ravninom ako je paralelna s pravom koja leži u ovoj ravni.

Prava linija koja seče ravan. Da biste pronašli tačku preseka prave sa ravninom, potrebno je (slika 3.28):

1) povući pomoćnu ravan kroz datu pravu m T;

2) izgraditi liniju n presek date ravni Σ sa pomoćnom ravninom T;

3) označiti tačku raskrsnice R, data prava linija m sa linijom raskrsnice n.

Razmotrimo problem (slika 3.29) Prava linija m je na planu definisana tačkom A 6 i ugao nagiba od 35°. Kroz ovu liniju je povučena pomoćna vertikalna ravan T, koji siječe ravan Σ duž prave n (B 2 C 3). Dakle, pomiče se iz relativnog položaja prave i ravni na relativni položaj dvije prave koje leže u istoj vertikalnoj ravni. Ovaj problem se rješava konstruiranjem profila ovih pravih linija. Presjek linija m I n na profilu određuje željenu tačku R. Visina tačke R određena vertikalnom skalom.

Prava linija okomita na ravan. Prava je okomita na ravan ako je okomita na bilo koje dvije linije ove ravni koje se seku. Slika 3.30 prikazuje pravu liniju m, okomita na ravan Σ i siječe je u tački A. Na planu je projekcija prave m a horizontalne ravni su međusobno okomite (pravi ugao, čija je jedna strana paralelna s ravninom projekcije, projektuje se bez izobličenja. Obje prave leže u istoj vertikalnoj ravni, pa su položaji takvih pravih međusobno inverzni po veličini : l m = ll u. Ali l uΣ = lΣ, dakle l m = llΣ, odnosno položaj prave linije m obrnuto je proporcionalan položaju ravni. Padovi prave i ravni su usmjereni u različitim smjerovima.

3.4. Projekcije sa numeričkim oznakama. Površine

3.4.1. Poliedri i zakrivljene površine. Topografska površina

U prirodi mnoge tvari imaju kristalnu strukturu u obliku poliedra. Poliedar je skup ravnih mnogouglova koji ne leže u istoj ravni, pri čemu je svaka strana jedne od njih ujedno i strana druge. Kada se prikazuje poliedar, dovoljno je naznačiti projekcije njegovih vrhova, povezujući ih određenim redoslijedom ravnim linijama - projekcijama rubova. U tom slučaju potrebno je na crtežu označiti vidljive i nevidljive ivice. Na sl. Slika 3.31 prikazuje prizmu i piramidu, kao i nalaženje oznaka tačaka koje pripadaju ovim površinama.

Posebna grupa konveksnih poligona je grupa pravilnih poligona u kojoj su sva lica jednaki pravilni poligoni i svi poligonalni uglovi jednaki. Postoji pet vrsta pravilnih poligona.

Tetrahedron- pravilan četvorougao, omeđen jednakostraničnim trouglovima, ima 4 vrha i 6 ivica (sl. 3.32 a).

Heksaedar- pravilni šestougao (kocka) - 8 vrhova, 12 ivica (sl. 3.32b).

Oktaedar- pravilan oktaedar, omeđen sa osam jednakostraničnih trouglova - 6 vrhova, 12 ivica (slika 3.32c).

Dodecahedron- pravilan dodekaedar, omeđen sa dvanaest pravilnih pentagona, povezanih sa tri blizu svakog vrha.

Ima 20 vrhova i 30 ivica (slika 3.32 d).

Ikosaedar- pravilan dvadesetostrani trougao, omeđen sa dvadeset jednakostraničnih trouglova, povezanih sa pet u blizini svakog vrha, 12 vrhova i 30 ivica (slika 3.32 d).

Prilikom konstruisanja tačke koja leži na licu poliedra, potrebno je povući pravu liniju koja pripada ovoj plohi i označiti projekciju tačke na njegovoj projekciji.

Konusne površine se formiraju pomeranjem pravolinijske generatrike duž zakrivljene vodilice tako da u svim pozicijama generatrisa prolazi kroz fiksnu tačku - vrh površine. Opće konusne površine na planu su predstavljene horizontalnom linijom i vrhom. Na sl. Slika 3.33 prikazuje lokaciju tačke na površini konične površine.

Pravi kružni konus je predstavljen nizom koncentričnih krugova nacrtanih u jednakim intervalima (slika 3.34a). Eliptični konus sa kružnom bazom - niz ekscentričnih krugova (slika 3.34 b)

Sferne površine. Sferna površina je klasifikovana kao površina okretanja. Nastaje rotacijom kruga oko svog prečnika. Na planu je sferna površina definirana centrom TO i projekcija jedne od njegovih horizontalnih linija (ekvator sfere) (slika 3.35).

Topografska površina. Topografska površina se klasifikuje kao geometrijski nepravilna površina, jer nema geometrijski zakon formiranja. Da biste okarakterisali površinu, odredite položaj njenih karakterističnih tačaka u odnosu na ravan projekcije. Na sl. 3.3 b a daje primjer presjeka topografske površine, koji pokazuje projekcije njenih pojedinačnih tačaka. Iako takav plan omogućava da se dobije predodžbu o obliku prikazane površine, on nije baš jasan. Da bi se crtežu pružila veća jasnoća i time olakšalo čitanje, projekcije tačaka sa identičnim oznakama povezane su glatkim zakrivljenim linijama, koje se nazivaju horizontalama (izolinijama) (slika 3.36 b).

Horizontalne linije topografske površine ponekad se definiraju kao linije presjeka ove površine s horizontalnim ravnima koje su međusobno razmaknute na istoj udaljenosti (slika 3.37). Razlika u nadmorskoj visini između dvije susjedne horizontalne linije naziva se visina presjeka.

Što je manja razlika u visinama između dvije susjedne horizontalne linije, to je slika topografske površine preciznija. Na planovima su konturne linije zatvorene unutar crteža ili izvan njega. Na strmijim padinama, površinske projekcije konturnih linija se približavaju, na ravnim padinama njihove se projekcije razilaze.

Najkraća udaljenost između projekcija dvije susjedne horizontalne linije na planu naziva se polaganje. Na sl. 3.38 kroz tačku A na topografskoj površini nacrtano je nekoliko pravih segmenata I TI I AD. Svi imaju različite uglove upada. Segment ima najveći upadni ugao AC, čija je lokacija od minimalnog značaja. Dakle, to će biti projekcija linije upada površine na datoj lokaciji.

Na sl. 3.39 prikazuje primjer konstruisanja projekcije upadne linije kroz datu tačku A. Od tačke A 100, kao da je iz centra, nacrtajte luk kruga koji dodiruje najbližu horizontalnu liniju u tački U 90. Dot u 90, horizontalno h 90, pripadaće liniji pada. Od tačke U 90 nacrtajte luk tangentu na sljedeću horizontalnu liniju u tački Od 80, itd. Iz crteža je jasno da je linija upada topografske površine isprekidana linija, čija je svaka karika okomita na horizontalu, koja prolazi kroz donji kraj karike, koji ima nižu kotu.

3.4.2. Presjek konične površine sa ravninom

Ako rezna ravan prolazi kroz vrh konične površine, tada je siječe duž pravih linija koje čine površinu. U svim ostalim slučajevima, linija presjeka će biti ravna kriva: krug, elipsa itd. Razmotrimo slučaj konične površine koja siječe ravan.

Primjer 1. Konstruirajte projekciju presječne linije kružnog konusa Φ( h o , S 5) sa ravninom Ω paralelnom generatrisi konusne površine.

Konusna površina sa zadatim položajem u ravnini siječe se duž parabole. Nakon interpolacije generatrise t gradimo horizontalne linije kružnog konusa - koncentrične krugove sa centrom S 5 . Zatim odredimo presečne tačke istih horizontala ravnine i konusa (slika 3.40).

3.4.3. Presjek topografske površine s ravninom i pravom linijom

Slučaj presjeka topografske površine s ravninom najčešće se susreće u rješavanju geoloških problema. Na sl. 3.41 daje primjer konstruisanja preseka topografske površine sa ravninom Σ. Krivulja koju tražim m određene su presječnim točkama istih horizontalnih ravnina i topografske površine.

Na sl. 3.42 daje primjer konstruisanja pravog pogleda na topografsku površinu sa vertikalnom ravninom Σ. Tražena prava m određena je točkama A, B, C... presjek horizontala topografske površine sa reznom ravninom Σ. Na planu se projekcija krive degeneriše u pravu liniju koja se poklapa sa projekcijom ravnine: m≡ Σ. Profil krivulje m se konstruiše uzimajući u obzir lokaciju projekcija njenih tačaka na planu, kao i njihove kote.

3.4.4. Površina jednakog nagiba

Površina jednakog nagiba je iscrtana površina, čije sve ravne linije čine konstantan ugao sa horizontalnom ravninom. Takva površina se može dobiti pomicanjem ravnog kružnog konusa s osom okomitom na ravan plana, tako da njen vrh klizi duž određene vodilice, a os ostaje okomita u bilo kojem položaju.

Na sl. Slika 3.43 prikazuje površinu jednakog nagiba (i=1/2), čiji je vodič prostorna kriva A B C D.

Diplomiranje aviona. Kao primjer, razmotrite ravni nagiba kolovoza.

Primjer 1. Uzdužni nagib kolovoza i=0, nagib nasipa i n =1:1,5, (sl. 3.44a). Potrebno je crtati horizontalne linije svaki 1 m. Rješenje se svodi na sljedeće. Nacrtamo skalu nagiba ravni okomito na ivicu kolovoza, označimo tačke na udaljenosti jednakoj intervalu od 1,5 m uzete sa linearne skale i odredimo oznake 49, 48 i 47. Preko dobijenih tačaka nacrtajte konture padine paralelno sa ivicom puta.

Primjer 2. Uzdužni nagib puta i≠0, nagib nasipa i n =1:1,5, (sl. 3.44b). Ravan kolovoza je nivelisana. Nagib kolovoza je stepenovan na sljedeći način. U tačku sa vrhom 50.00 (ili drugom tačkom) postavljamo vrh stošca, opisujemo krug poluprečnika jednak intervalu nagiba nasipa (u našem primeru l= 1,5m). Visina ove horizontalne linije stošca biće za jedan manji od elevacije vrha, tj. 49m. Crtamo niz krugova, dobijamo horizontalne oznake 48, 47, tangente na koje od rubnih tačaka sa oznakama 49, 48, 47 crtamo horizontale nagiba nasipa.

Gradiranje površina.

Primjer 3. Ako je uzdužni nagib puta i = 0, a nagib nasipa i n = 1: 1,5, tada se konturne linije nagiba povlače kroz tačke skale nagiba, čiji je interval jednak do intervala padina nasipa (sl. 3.45a). Udaljenost između dvije projekcije susjednih horizontalnih linija u smjeru opće norme (skale nagiba) je svuda ista.

Primer 4. Ako je uzdužni nagib puta i≠0, a nagib nasipa i n =1:1,5, (Sl. 3.45b), tada se konturne linije konstruišu na isti način, osim što je nagib konture se ne crtaju u ravnim linijama, već u krivuljama.

3.4.5. Određivanje granične linije iskopa

Budući da većina tla nije u stanju održati vertikalne zidove, moraju se graditi kosine (vještačke konstrukcije). Nagib koji daje nagib zavisi od tla.

Da bi se dijelu zemljine površine dao izgled ravnine s određenim nagibom, potrebno je poznavati graničnu liniju iskopa i iskopnih radova. Ovu liniju, koja ograničava planirano područje, predstavljaju linije ukrštanja kosina nasipa i iskopa sa zadatom topografskom površinom.

Kako se svaka površina (pa i ravne) prikazuje konturama, linija presjeka površina konstruira se kao skup presječnih točaka kontura sa istim oznakama. Pogledajmo primjere.

Primjer 1. Na sl. 3.46 prikazuje zemljanu konstrukciju u obliku krnje četvorougaone piramide, koja stoji na ravni N. Gornja baza A B C D piramida ima oznaku 4m i bočne veličine 2×2,5 m. Bočne strane (kosine nasipa) imaju nagib 2:1 i 1:1, čiji je smjer prikazan strelicama.

Potrebno je izgraditi liniju presjeka nagiba konstrukcije s ravninom N i međusobno, kao i konstruisati uzdužni profil duž ose simetrije.

Prvo se konstruiše dijagram nagiba, intervala i razmjera naslaga i zadanih nagiba. Okomito na svaku stranu lokacije, skale kosina se crtaju u određenim intervalima, nakon čega su projekcije konturnih linija sa istim oznakama susjednih strana linije presjeka nagiba, koje su projekcije bočnih rubova ovu piramidu.

Donja osnova piramide poklapa se sa nultim horizontalnim nagibima. Ako ovu zemljanu konstrukciju presijeca okomita ravan Q, u presjeku ćete dobiti isprekidanu liniju - uzdužni profil konstrukcije.

Primjer 2. Izgradite liniju sjecišta padina jame sa ravnim nagibom i međusobno. dno ( A B C D) jama je pravougaona površina sa visinom od 10 m i dimenzijama 3x4 m. Osa lokacije čini ugao od 5° sa linijom jug-sjever. Nagibi iskopa imaju isti nagib 2:1 (sl. 3.47).

Linija nultih radova je postavljena prema planu gradilišta. Konstruiše se u tačkama preseka istoimenih projekcija horizontalnih linija razmatranih površina. Na mjestima sjecišta kontura padina i topografske površine sa istim oznakama nalazi se linija presjeka kosina, koje su projekcije bočnih rubova date jame.

U ovom slučaju, bočne padine iskopa su uz dno jame. Linija a b c d– željenu raskrsnicu. Aa, Bb, Cs, Dd– ivice jame, linije ukrštanja padina jedna s drugom.

4. Pitanja za samokontrolu i zadaci za samostalan rad na temu "Pravougaone projekcije"

Dot

4.1.1. Suština metode projekcije.

4.1.2. Šta je projekcija tačke?

4.1.3. Kako se nazivaju i označavaju projekcijske ravni?

4.1.4. Šta su projekcijske spojne linije na crtežu i kako se one nalaze na crtežu u odnosu na ose projekcije?

4.1.5. Kako konstruisati treću (profilnu) projekciju tačke?

4.1.6. Konstruišite tri projekcije tačaka A, B, C na crtežu sa tri slike, zapišite njihove koordinate i popunite tabelu.

4.1.7. Konstruisati nedostajuće osi projekcije, x A =25, y A =20. Napravi profilnu projekciju tačke A.

4.1.8. Konstruisati tri projekcije tačaka prema njihovim koordinatama: A(25,20,15), B(20,25,0) i C(35,0,10). Označite položaj tačaka u odnosu na ravnine i ose projekcija. Koja je tačka bliža ravni P3?

4.1.9. Materijalne tačke A i B počinju da padaju istovremeno. U kom će položaju biti tačka B kada tačka A dodirne tlo? Odredite vidljivost tačaka. Iscrtajte tačke na novoj poziciji.

4.1.10. Konstruisati tri projekcije tačke A, ako tačka leži u ravni P 3, a rastojanje od nje do ravni P 1 je 20 mm, do ravni P 2 - 30 mm. Zapišite koordinate tačke.

Pravo

4.2.1. Kako se ravna linija može definirati na crtežu?

4.2.2. Koja se linija naziva linija u općem položaju?

4.2.3. Koji položaj prava linija može zauzeti u odnosu na ravni projekcije?

4.2.4. U kom slučaju se projekcija prave linije okreće u tačku?

4.2.5. Šta je karakteristično za složeni ravni crtež?

4.2.6. Odredite relativni položaj ovih linija.

a…b a…b a…b

4.2.7. Konstruisati projekcije pravolinijskog segmenta AB dužine 20 mm, paralelnog sa ravnima: a) P 2; b) P 1; c) Osa vola. Označite uglove nagiba segmenta prema ravnima projekcije.

4.2.8. Konstruisati projekcije segmenta AB koristeći koordinate njegovih krajeva: A(30,10,10), B(10,15,30). Konstruirajte projekcije tačke C dijeleći segment u omjeru AC:CB = 1:2.

4.2.9. Odredite i zapišite broj ivica ovog poliedra i njihov položaj u odnosu na ravni projekcije.

4.2.10. Kroz tačku A povucite vodoravnu i frontalnu liniju koja siječe pravu liniju m.

4.2.11. Odrediti udaljenost između prave b i tačke A

4.2.12. Konstruisati projekcije segmenta AB dužine 20 mm, koji prolazi kroz tačku A i okomit na ravan a) P 2; b) P 1; c) P 3.

Stereometrija

Međusobni raspored pravih linija i ravni

U svemiru

Paralelizam pravih i ravni

Zovu se dvije linije u prostoru paralelno , ako leže u istoj ravni i ne seku se.

Prava linija i ravan se nazivaju paralelno , ako se ne sijeku.

Zovu se dva aviona paralelno , ako se ne sijeku.

Prave koje se ne seku i ne leže u istoj ravni nazivaju se ukrštanje .

Znak paralelizma između prave i ravni. Ako je prava koja ne pripada ravni paralelna sa nekom pravom u ovoj ravni, onda je paralelna sa samom ravninom.

Znak paralelnih ravni. Ako su dve prave jedne ravni koje se seku paralelne sa dvema pravima druge ravni, onda su ove ravni paralelne.

Znak ukrštanja linija. Ako jedna od dvije prave leži u ravni, a druga siječe ovu ravan u tački koja ne pripada prvoj liniji, tada se te prave sijeku.

Teoreme o paralelnim pravima i paralelnim ravnima.

1. Dvije prave paralelne s trećom linijom su paralelne.

2. Ako jedna od dvije paralelne prave siječe ravan, onda i druga prava siječe ovu ravan.

3. Kroz tačku van date prave možete povući pravu paralelnu datoj, i to samo jednu.

4. Ako je prava paralelna svakoj od dvije ravnine koje se sijeku, onda je paralelna s njihovom presječnom linijom.

5. Ako dvije paralelne ravni siječe treća ravan, tada su linije ukrštanja paralelne.

6. Kroz tačku koja ne leži u datoj ravni, možete povući ravan paralelnu datoj, i to samo jednu.

7. Dvije ravni paralelne trećoj su paralelne jedna s drugom.

8. Segmenti paralelnih pravih koji se nalaze između paralelnih ravni su jednaki.

Uglovi između pravih linija i ravnina

Ugao između prave i ravni ugao između prave i njene projekcije na ravan naziva se (ugao na sl. 1).

Ugao između linija koje se seku je ugao između linija koje se seku paralelne sa datim linijama koje se seku.

Diedarski ugao je figura koju čine dvije poluravnine sa zajedničkom linijom. Poluravnine se nazivaju ivice , ravno – rub diedarski ugao.

Linearni ugao Diedarski ugao je ugao između poluprava koje pripadaju stranama diedarskog ugla, koje izlaze iz jedne tačke na ivici i okomito na ivicu (ugao na slici 2).

Stepen (radijan) mjera diedarskog ugla je jednak stepenu (radijanskoj) mjeri njegovog linearnog ugla.

Okomitost pravih i ravnina

Zovu se dvije prave linije okomito ako se seku pod pravim uglom.

Zove se prava linija koja seče ravan okomito ovu ravan ako je okomita na bilo koju pravu u ravni koja prolazi kroz tačku preseka ove prave i ravni.

Zovu se dva aviona okomito , ako se sijeku, formiraju prave diedarske uglove.

Znak okomitosti prave i ravni. Ako je prava koja seče ravan okomita na dve prave koje se seku u ovoj ravni, onda je ona okomita na ravan.

Znak okomitosti dvije ravni. Ako ravan prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, tada su ove ravni okomite.

Teoreme o okomitim linijama i ravnima.

1. Ako je ravan okomita na jednu od dvije paralelne prave, onda je ona okomita i na drugu.

2. Ako su dvije prave okomite na istu ravan, onda su paralelne.

3. Ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne ravni, ona je također okomita na drugu.

4. Ako su dvije ravni okomite na istu pravu, onda su paralelne.

Okomito i koso

Teorema. Ako se iz jedne tačke izvan ravnine povuče okomita i nagnuta linija, tada:

1) kosi koji imaju jednake projekcije su jednaki;

2) od dva nagnuta, veća je ona čija je projekcija veća;

3) jednake kose imaju jednake projekcije;

4) od dvije projekcije, veća je ona koja odgovara većoj kosoj.

Teorema o tri okomite. Da bi prava koja leži u ravni bila okomita na nagnutu, potrebno je i dovoljno da ta prava bude okomita na projekciju nagnute (sl. 3).

Teorema o površini ortogonalne projekcije poligona na ravan. Površina ortogonalne projekcije poligona na ravan jednaka je proizvodu površine poligona i kosinusa ugla između ravnine poligona i ravnine projekcije.

Izgradnja.

1. U avionu a sprovodimo direktnu A.

3. U avionu b kroz tačku A napravimo direktan b, paralelno sa linijom A.

4. Izgrađena je prava linija b paralelno sa ravninom a.

Dokaz. Na osnovu paralelizma prave i ravni, prava linija b paralelno sa ravninom a, budući da je paralelna pravoj A, koji pripada avionu a.

Studija. Problem ima beskonačan broj rješenja, od prave linije A u avionu a se bira nasumično.

Primjer 2. Odredite na kojoj se udaljenosti od ravni nalazi tačka A, ako je ravno AB seče ravan pod uglom od 45º, što je rastojanje od tačke A do tačke IN koja pripada ravni je jednaka cm?

Rješenje. Napravimo crtež (slika 5):

AC– okomito na ravan a, AB– nagnut, ugao ABC– ugao između prave linije AB i avion a. Trougao ABC– pravougaoni jer AC– okomito. Potrebna udaljenost od tačke A do aviona - ovo je noga AC pravougaonog trougla. Poznavajući ugao i hipotenuzu cm, naći ćemo nogu AC:

odgovor: 3 cm.

Primjer 3. Odredi na kojoj se udaljenosti od ravni jednakokračnog trougla nalazi tačka koja se nalazi 13 cm od svakog vrha trougla ako su osnova i visina trougla jednake 8 cm?

Rješenje. Napravimo crtež (slika 6). Dot S daleko od tačaka A, IN I WITH na istoj udaljenosti. Dakle, sklon S.A., S.B. I S.C. jednak, SO– zajednička okomica ovih kosih. Po teoremi kosih i projekcija AO = VO = CO.

Dot O– središte kružnice opisane oko trougla ABC. Nađimo njegov radijus:

Gdje Ned– baza;

AD– visina datog jednakokračnog trougla.

Pronalaženje stranica trougla ABC iz pravouglog trougla ABD prema Pitagorinoj teoremi:

Sada pronalazimo OB:

Zamislite trougao SOB: S.B.= 13 cm, OB= = 5 cm Nađi dužinu okomice SO prema Pitagorinoj teoremi:

odgovor: 12 cm.

Primjer 4. Date paralelne ravni a I b. Kroz tačku M, koji ne pripada nijednoj od njih, povlače se prave linije A I b taj krst a u tačkama A 1 i IN 1 i avion b– na tačkama A 2 i IN 2. Nađi A 1 IN 1 ako je to poznato MA 1 = 8 cm, A 1 A 2 = 12 cm, A 2 IN 2 = 25 cm.

Rješenje. Pošto uslov ne govori kako se tačka nalazi u odnosu na obe ravni M, tada su moguće dvije opcije: (slika 7, a) i (slika 7, b). Pogledajmo svaki od njih. Dvije linije koje se seku A I b definisati ravan. Ova ravan seče dve paralelne ravni a I b duž paralelnih linija A 1 IN 1 i A 2 IN 2 prema teoremi 5 o paralelnim pravima i paralelnim ravnima.

Trouglovi MA 1 IN 1 i MA 2 IN 2 su slična (uglovi A 2 MV 2 i A 1 MV 1 – okomito, uglovi MA 1 IN 1 i MA 2 IN 2 – unutrašnji poprečno ležeći sa paralelnim linijama A 1 IN 1 i A 2 IN 2 i sekansa A 1 A 2). Iz sličnosti trokuta slijedi proporcionalnost stranica:

Opcija a):

Opcija b):

odgovor: 10 cm i 50 cm.

Primjer 5. Kroz tačku A avion g povučena je direktna linija AB, formirajući ugao sa ravninom a. Preko direktnog AB nacrtana je ravan r, formirajući se sa ravninom g ugao b. Pronađite ugao između projekcije prave linije AB u avion g i avion r.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 8). Od tačke IN ispusti okomicu na ravan g. Linearni diedralni ugao između ravnina g I r- ovo je pravi ugao AD DBC, na osnovu okomitosti prave i ravni, kao i na osnovu okomitosti ravnina, ravan r okomito na ravan trougla DBC, budući da prolazi kroz liniju AD. Konstruišemo željeni ugao ispuštanjem okomice iz tačke WITH u avion r, označimo ga. Pronađite sinus ovog ugla pravokutnog trokuta MYSELF. Hajde da uvedemo pomoćni segment a = BC. Iz trougla ABC: Iz trougla Mornarica naći ćemo

Zatim traženi ugao

odgovor:

Zadaci za samostalno rješavanje

I nivo

1.1. Kroz tačku povucite pravu okomitu na dvije date prave koje se ukrštaju.

1.2. Odredite koliko različitih ravni se može nacrtati:

1) kroz tri različite tačke;

2) kroz četiri različite tačke, od kojih tri ne leže u istoj ravni?

1.3. Kroz vrhove trougla ABC koje leže u jednoj od dvije paralelne ravni, povlače se paralelne prave koje sijeku drugu ravan u tačkama A 1 , IN 1 , WITH 1 . Dokazati jednakost trokuta ABC I A 1 IN 1 WITH 1 .

1.4. Sa vrha A pravougaonik A B C D perpendikularno restaurirano AM na njenu ravan.

1) dokazati da su trouglovi MBC I MDC– pravougaone;

2) označiti među segmentima M.B., M.C., M.D. I M.A. segment najveće i najkraće dužine.

1.5. Lica jednog diedarskog ugla su shodno tome paralelna stranama drugog. Odredite odnos između vrijednosti ovih diedralnih uglova.

1.6. Odredite vrijednost diedralnog ugla ako je udaljenost od tačke uzete na jednoj strani do ivice 2 puta veća od udaljenosti od tačke do ravni drugog lica.

1.7. Iz tačke odvojene od ravnine povučene su dvije jednake nagnute kosine, koje tvore ugao od 60º. Kose projekcije su međusobno okomite. Pronađite dužine nagnutih.

1.8. Sa vrha IN kvadrat A B C D perpendikularno restaurirano BE na ravan kvadrata. Ugao nagiba ravni trougla ACE ravni kvadrata jednaka j, strana kvadrata je A ACE.

Nivo II

2.1. Kroz tačku koja ne pripada nijednoj od dve prave koje se seku, nacrtaj pravu koja seče obe date prave.

2.2. Paralelne linije A, b I With ne leže u istoj ravni. Kroz tačku A na pravoj liniji A povučene su okomite na prave linije b I With, sijekući ih u tačkama respektivno IN I WITH. Dokaži da je linija Ned okomito na prave linije b I With.

2.3. Kroz vrh A pravougaonog trougla ABC ravan je povučena paralelno sa Ned. Noge trougla AC= 20 cm, Ned= 15 cm.Projekcija jednog od kateta na ravan je 12 cm.Nađi projekciju hipotenuze.

2.4. U jednoj od strana ugla diedara jednakog 30º nalazi se tačka M. Udaljenost od nje do ruba ugla je 18 cm Nađite udaljenost od projekcije tačke M na drugo lice na prvo lice.

2.5. Krajevi segmenta AB pripadaju licima diedarskog ugla jednakog 90º. Udaljenost od tačaka A I IN do ivice su jednake respektivno aa 1 = 3 cm, BB 1 = 6 cm, rastojanje između tačaka na ivici Nađite dužinu segmenta AB.

2.6. Od tačke koja se nalazi na udaljenosti od aviona A, nacrtana su dva nagnuta, koja sa ravninom formiraju uglove od 45º i 30º, a između sebe ugao od 90º. Pronađite razmak između osnova nagnutih.

2.7. Stranice trougla su 15 cm, 21 cm i 24 cm M udaljeno od ravnine trokuta za 73 cm i nalazi se na istoj udaljenosti od njegovih vrhova. Pronađite ovu udaljenost.

2.8. Iz centra O krug upisan u trougao ABC, okomita je vraćena na ravan trokuta OM. Pronađite udaljenost od tačke M na strane trougla, ako AB = BC = 10 cm, AC= 12 cm, OM= 4 cm.

2.9. Udaljenosti od tačke M stranice i vrh pravog ugla su 4 cm, 7 cm i 8 cm. M na ravan pravog ugla.

2.10. Kroz bazu AB jednakokraki trougao ABC ravan je nacrtana pod uglom b na ravan trougla. Vertex WITH udaljen od aviona na udaljenosti A. Pronađite površinu trokuta ABC, ako je baza AB jednakokračnog trougla jednaka je njegovoj visini.

Nivo III

3.1. Rectangle Layout A B C D sa strankama A I b savijena dijagonalno BD tako da su ravni trouglova LOŠE I BCD postale međusobno okomite. Pronađite dužinu segmenta AC.

3.2. Dva pravougaona trapeza sa uglovima od 60º leže u okomitim ravnima i imaju veću zajedničku osnovu. Veće stranice su 4 cm i 8 cm.Nađi rastojanje između vrhova pravih i vrhova tupih uglova trapeza ako se vrhovi njihovih oštrih uglova poklapaju.

3.3. Kocka data ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Pronađite ugao između prave linije CD 1 i avion BDC 1 .

3.4. Na rubu AB Kuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 bod preuzet R- sredinu ovog rebra. Konstruišite deo kocke sa ravninom koja prolazi kroz tačke C 1 P.D. i pronađite površinu ovog presjeka ako je ivica kocke jednaka A.

3.5. Kroz stranu AD pravougaonik A B C D nacrtana je ravan a tako da dijagonala BDčini ugao od 30º sa ovom ravninom. Pronađite ugao između ravnine pravougaonika i ravnine a, Ako AB = A, AD = b. Odredite u kom omjeru A I b problem ima rješenje.

3.6. Nađite geometrijsko mjesto tačaka jednako udaljenih od linija definiranih stranicama trougla.

Prizma. Paralelepiped

Prizma je poliedar čija su dva lica jednaka n-uglova (baze) , koji leže u paralelnim ravnima, a preostalih n lica su paralelogrami (bočne strane) . Lateralno rebro Strana prizme koja ne pripada osnovi naziva se stranica prizme.

Zove se prizma čije su bočne ivice okomite na ravni baza ravno prizma (slika 1). Ako bočne ivice nisu okomite na ravni baza, tada se prizma naziva skloni . Tačno Prizma je prava prizma čije su osnove pravilni poligoni.

Visina prizma je rastojanje između ravnina baza. Dijagonala Prizma je segment koji spaja dva vrha koji ne pripadaju istom licu. Dijagonalni presjek naziva se presjek prizme ravninom koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju istoj površini. Okomiti presjek naziva se presjek prizme ravninom okomitom na bočni rub prizme.

Bočna površina prizme je zbir površina svih bočnih strana. Ukupna površina naziva se zbir površina svih površina prizme (tj. zbir površina bočnih strana i površina baza).

Za proizvoljnu prizmu sljedeće formule su tačne::

Gdje l– dužina bočnog rebra;

H- visina;

P

Q

S strana

S puna

S baza– površina baza;

V– zapremina prizme.

Za ravnu prizmu ispravne su sljedeće formule:

Gdje str– perimetar baze;

l– dužina bočnog rebra;

H- visina.

paralelepiped naziva se prizma čija je osnova paralelogram. Paralelepiped čije su bočne ivice okomite na osnovice naziva se direktno (Sl. 2). Ako bočne ivice nisu okomite na baze, onda se naziva paralelepiped skloni . Zove se pravi paralelepiped čija je osnova pravougaonik pravougaona. Zove se pravougaoni paralelepiped čiji su svi rubovi jednaki kocka

Lica paralelepipeda koja nemaju zajedničke vrhove nazivaju se suprotno . Zovu se dužine ivica koje izlaze iz jednog vrha mjerenja paralelepiped. Pošto je paralelepiped prizma, njegovi glavni elementi su definisani na isti način kao što su definisani za prizme.

Teoreme.

1. Dijagonale paralelepipeda seku se u jednoj tački i dijele je popola.

2. U pravokutnom paralelepipedu kvadrat dužine dijagonale jednak je zbiru kvadrata njegove tri dimenzije:

3. Sve četiri dijagonale pravougaonog paralelepipeda su jedna drugoj jednake.

Za proizvoljni paralelepiped važe sljedeće formule:

Gdje l– dužina bočnog rebra;

H- visina;

P– perimetar okomitog presjeka;

Q– okomita površina poprečnog presjeka;

S strana– bočna površina;

S puna– ukupna površina;

S baza– površina baza;

V– zapremina prizme.

Za pravi paralelepiped sljedeće formule su tačne:

Gdje str– perimetar baze;

l– dužina bočnog rebra;

H– visina desnog paralelepipeda.

Za pravougaoni paralelepiped sljedeće formule su tačne:

Gdje str– perimetar baze;

H- visina;

d– dijagonala;

a,b,c– mjerenja paralelepipeda.

Sljedeće formule su tačne za kocku:

Gdje a– dužina rebra;

d- dijagonala kocke.

Primjer 1. Dijagonala pravougaonog paralelepipeda je 33 dm, a njegove dimenzije su u omjeru 2:6:9. Nađi dimenzije paralelepipeda.

Rješenje. Za pronalaženje dimenzija paralelepipeda koristimo formulu (3), tj. činjenicom da je kvadrat hipotenuze kvadra jednak zbiru kvadrata njegovih dimenzija. Označimo sa k faktor proporcionalnosti. Tada će dimenzije paralelepipeda biti jednake 2 k, 6k i 9 k. Napišimo formulu (3) za podatke problema:

Rješavanje ove jednadžbe za k, dobijamo:

To znači da su dimenzije paralelepipeda 6 dm, 18 dm i 27 dm.

odgovor: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Primjer 2. Nađite zapreminu nagnute trouglaste prizme čija je osnova jednakostranični trokut sa stranicom od 8 cm, ako je bočna ivica jednaka stranici osnove i nagnuta pod uglom od 60º prema osnovici.

Rješenje . Napravimo crtež (slika 3).

Da biste pronašli zapreminu nagnute prizme, morate znati površinu njene osnove i visinu. Površina osnove ove prizme je površina jednakostraničnog trokuta sa stranicom od 8 cm. Izračunajmo je:

Visina prizme je rastojanje između njenih osnova. Sa vrha A 1 gornje baze, spustite okomicu na ravan donje baze A 1 D. Njegova dužina će biti visina prizme. Uzmite u obzir D A 1 AD: budući da je ovo ugao nagiba bočne ivice A 1 A na osnovnu ravan, A 1 A= 8 cm Iz ovog trougla nalazimo A 1 D:

Sada izračunavamo zapreminu koristeći formulu (1):

odgovor: 192 cm 3.

Primjer 3. Bočna ivica pravilne šesterokutne prizme je 14 cm. Površina najvećeg dijagonalnog presjeka je 168 cm 2. Pronađite ukupnu površinu prizme.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 4)

Najveći dijagonalni presjek je pravougaonik AA. 1 DD 1 od dijagonale AD pravilan heksagon ABCDEF je najveći. Da bi se izračunala bočna površina prizme, potrebno je znati stranu osnove i dužinu bočne ivice.

Poznavajući površinu dijagonalnog presjeka (pravokutnika), nalazimo dijagonalu baze.

Od tada

Od tada AB= 6 cm.

Tada je obim baze:

Nađimo površinu bočne površine prizme:

Površina pravilnog šestougla sa stranicom 6 cm je:

Pronađite ukupnu površinu prizme:

odgovor:

Primjer 4. Osnova pravog paralelepipeda je romb. Dijagonalne površine poprečnog presjeka su 300 cm2 i 875 cm2. Pronađite površinu bočne površine paralelepipeda.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 5).

Označimo stranu romba sa A, dijagonale romba d 1 i d 2, visina paralelepipeda h. Da biste pronašli površinu bočne površine desnog paralelepipeda, potrebno je pomnožiti obim baze sa visinom: (formula (2)). Perimetar baze p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, jer A B C D- romb H = AA 1 = h. To. Treba pronaći A I h.

Razmotrimo dijagonalne presjeke. aa 1 SS 1 – pravougaonik čija je jedna strana dijagonala romba AC = d 1, drugi – bočni rub aa 1 = h, Onda

Slično i za sekciju BB 1 DD 1 dobijamo:

Koristeći svojstvo paralelograma tako da je zbir kvadrata dijagonala jednak zbroju kvadrata svih njegovih stranica, dobijamo jednakost. Dobijamo sljedeće:

Izrazimo iz prve dvije jednakosti i zamijenimo ih trećom. Dobijamo: onda

1.3. U nagnutoj trouglastoj prizmi povučen je presjek okomit na bočnu ivicu jednak 12 cm.U dobijenom trouglu dvije stranice dužine cm i 8 cm čine ugao od 45°. Pronađite bočnu površinu prizme.

1.4. Osnova pravog paralelepipeda je romb sa stranicom od 4 cm i oštrim uglom od 60°. Pronađite dijagonale paralelepipeda ako je dužina bočne ivice 10 cm.

1.5. Osnova pravog paralelepipeda je kvadrat čija je dijagonala jednaka cm. Bočna ivica paralelepipeda je 5 cm. Nađite ukupnu površinu paralelepipeda.

1.6. Osnova kosog paralelepipeda je pravougaonik sa stranicama 3 cm i 4 cm. Bočna ivica jednaka cm je nagnuta prema ravni osnove pod uglom od 60°. Pronađite zapreminu paralelepipeda.

1.7. Izračunajte površinu pravokutnog paralelepipeda ako su dvije ivice i dijagonala koje izlaze iz jednog vrha 11 cm, cm i 13 cm, respektivno.

1.8. Odredite težinu kamenog stupa u obliku pravokutnog paralelepipeda dimenzija 0,3 m, 0,3 m i 2,5 m, ako je specifična težina materijala 2,2 g/cm 3.

1.9. Nađite površinu dijagonala poprečnog presjeka kocke ako je dijagonala njene površine jednaka dm.

1.10. Nađite zapreminu kocke ako je rastojanje između dva njena vrha koji ne leže na istoj površini jednaka cm.

Nivo II

2.1. Osnova nagnute prizme je jednakostranični trougao sa stranicom cm. Bočna ivica je nagnuta prema ravni osnove pod uglom od 30°. Nađite površinu poprečnog presjeka prizme koja prolazi kroz bočni rub i visinu prizme ako je poznato da je jedan od vrhova gornje osnove projektovan na sredinu stranice donje baze.

2.2. Osnova nagnute prizme je jednakostranični trougao ABC sa stranicom jednakom 3 cm.Tek A 1 projektovan je u centar trougla ABC. Rebro AA 1 čini ugao od 45° sa osnovnom ravninom. Pronađite bočnu površinu prizme.

2.3. Izračunajte zapreminu nagnute trouglaste prizme ako su stranice osnove 7 cm, 5 cm i 8 cm, a visina prizme je jednaka manjoj visini trougla osnove.

2.4. Dijagonala pravilne četvorougaone prizme nagnuta je prema bočnoj površini pod uglom od 30°. Pronađite ugao nagiba prema ravni baze.

2.5. Osnova ravne prizme je jednakokraki trapez, čije su osnovice 4 cm i 14 cm, a dijagonala 15 cm. Dvije bočne strane prizme su kvadrati. Pronađite ukupnu površinu prizme.

2.6. Dijagonale pravilne šestougaone prizme su 19 cm i 21 cm. Pronađite njen volumen.

2.7. Nađite mjere pravokutnog paralelepipeda čija je dijagonala 8 dm i sa svojim bočnim stranama tvori uglove od 30° i 40°.

2.8. Dijagonale osnove pravog paralelepipeda su 34 cm i 38 cm, a površine bočnih strana su 800 cm 2 i 1200 cm 2. Pronađite zapreminu paralelepipeda.

2.9. Odrediti zapreminu pravougaonog paralelepipeda u kojem su dijagonale bočnih strana koje izlaze iz jednog vrha 4 cm i 5 cm i čine ugao od 60°.

2.10. Nađite zapreminu kocke ako je rastojanje od njene dijagonale do ivice koja se sa njom ne seče mm.

Nivo III

3.1. U pravilnoj trokutastoj prizmi povučen je presjek kroz stranu osnove i sredinu suprotne bočne ivice. Površina osnove je 18 cm 2, a dijagonala bočne strane je nagnuta prema bazi pod uglom od 60°. Pronađite površinu poprečnog presjeka.

3.2. U osnovi prizme leži kvadrat ABCD, čiji su svi vrhovi jednako udaljeni od temena A 1 gornje baze. Ugao između bočne ivice i osnovne ravni je 60°. Stranica osnove je 12 cm Konstruirajte presjek prizme ravninom koja prolazi kroz vrh C, okomita na ivicu AA 1 i pronađite njenu površinu.

3.3. Osnova ravne prizme je jednakokraki trapez. Površina dijagonalnog poprečnog presjeka i površina paralelnih bočnih strana su 320 cm 2 , 176 cm 2 i 336 cm 2 . Pronađite bočnu površinu prizme.

3.4. Površina osnove prave trokutne prizme je 9 cm 2, površina bočnih strana je 18 cm 2, 20 cm 2 i 34 cm 2. Odrediti zapreminu prizme.

3.5. Nađite dijagonale pravokutnog paralelepipeda, znajući da su dijagonale njegovih strana 11 cm, 19 cm i 20 cm.

3.6. Uglovi formirani dijagonalom osnove pravougaonog paralelepipeda sa stranicom osnove i dijagonalom paralelepipeda jednaki su a i b, respektivno. Nađite bočnu površinu paralelepipeda ako je njegova dijagonala d.

3.7. Površina presjeka kocke koji je pravilan šesterokut jednaka je cm 2. Pronađite površinu kocke.