Kvadratna funkcija

Funkcija f(x)=ax2+bx2+c, Gdje a, b, c- neki realni brojevi ( a 0), pozvan kvadratna funkcija. Poziva se graf kvadratne funkcije parabola.

Kvadratna funkcija se može svesti na oblik

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a, (1)

izraz b2-4ac pozvao diskriminatorno kvadratni trinom. Predstavljanje kvadratne funkcije u obliku (1) naziva se selekcija pun kvadrat.

Svojstva kvadratne funkcije i njenog grafa

Područje definicije kvadratne funkcije je cijela brojevna prava.

At b 0 funkcija nije ni parna ni neparna. At b=0 kvadratna funkcija - parna.

Kvadratna funkcija je kontinuirana i diferencibilna u cijelom svom domenu definicije.

Funkcija ima jednu kritičnu tačku

x=-b/(2a). Ako a>0, zatim u tački x=-b/(2a) funkcija ima minimum. At x<-b/(2a) funkcija se monotono smanjuje, kada x>-b/(2a) monotono raste.

Ako A<0, то в точке x=-b/(2a) funkcija ima maksimum. At x<-b/(2a) funkcija raste monotono, sa x>-b/(2a) monotono opada.

Tačkasti graf kvadratne funkcije sa apscisom x=-b/(2a) i ordinate y= -((b2-4ac)/4a) pozvao vrh parabole.

Područje promjene funkcije: kada a>0 - skup vrijednosti funkcije [-((b2-4ac)/4a); +); at a<0 - множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].

Graf kvadratne funkcije siječe os 0g u tački y=c. U slučaju b2-4ac>0, graf kvadratne funkcije siječe os 0x u dvije tačke (različiti realni korijeni kvadratne jednačine); Ako b2-4ac=0 (kvadratna jednačina ima jedan korijen višestrukosti 2), graf kvadratne funkcije dodiruje os 0x u tački x=-b/(2a); Ako b2-4ac<0 , sjecišta s osom 0x br.

Iz prikaza kvadratne funkcije u obliku (1) također slijedi da je graf funkcije simetričan u odnosu na pravu liniju x=-b/(2a)- slika ordinatne ose tokom paralelnog prevođenja r=(-b/(2a); 0).

Grafikon funkcije

f(x)=ax2+bx+c

• (ili f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) može se dobiti iz grafa funkcije f(x)=x2 sa sljedećim transformacijama:
  • a) paralelni prenos r=(-b/(2a); 0);
  • b) kompresija (ili istezanje) na x-osu c A jednom;
  • c) paralelni prenos

r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija naziva se funkcija forme f(x)=ax, Gdje A- zove se neki pozitivni realni broj osnova diplome. At a=1 vrijednost eksponencijalne funkcije za bilo koju vrijednost argumenta je jednaka jedan, a slučaj A=1 neće se dalje razmatrati.

Svojstva eksponencijalne funkcije.

Područje definicije funkcije je cijela brojevna prava.

Domen funkcije je skup svih pozitivnih brojeva.

Funkcija je kontinuirana i diferencibilna u cijelom svom domenu definicije. Izvod eksponencijalne funkcije se izračunava pomoću formule

(a x) = a xln a

At A>1 funkcija raste monotono, sa A<1 монотонно убывает.

Eksponencijalna funkcija ima inverznu funkciju koja se zove logaritamska funkcija.

Graf bilo koje eksponencijalne funkcije siječe os 0g u tački y=1.

Graf eksponencijalne funkcije je kriva usmjerena konkavno prema gore.

Grafikon eksponencijalne funkcije na vrijednosti A=2 je prikazano na Sl. 5

Logaritamska funkcija

Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije y= a x se zove logaritamski i označiti

y=loga x.

Broj A pozvao osnovu logaritamska funkcija. Logaritamska funkcija s bazom 10 je označena sa

i logaritamsku funkciju sa bazom e označiti

Svojstva logaritamske funkcije

Područje definicije logaritamske funkcije je interval (0; +).

Opseg logaritamske funkcije je cijeli numerički raspon.

Logaritamska funkcija je kontinuirana i diferencibilna u cijelom svom domenu definicije. Izvod logaritamske funkcije izračunava se pomoću formule

(loga x) = 1/(x ln a).

Logaritamska funkcija se monotono povećava ako A>1. U 0<a<1 логарифмическая функция с основанием A monotono opada. Iz bilo kojeg razloga a>0, a 1, jednakosti vrijede

loga 1 = 0, loga =1.

At A>1 graf logaritamske funkcije - kriva usmjerena konkavno prema dolje; u 0<a<1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

Grafikon logaritamske funkcije na A=2 je prikazano na Sl. 6.

Osnovni logaritamski identitet

Inverzna funkcija za eksponencijalnu funkciju y= a x će biti logaritamska funkcija x =log a y. Prema svojstvima međusobno inverznih funkcija f i f-I za sve x iz domena definicije funkcije f-I(x). Konkretno, za eksponencijalnu i logaritamsku funkciju, jednakost (1) ima oblik

a log a y=y.

Jednakost (2) se često naziva osnovni logaritamski identitet. Za svaku pozitivu x, y za logaritamsku funkciju su tačne sljedeće jednakosti, koje se mogu dobiti kao posljedice glavnog logaritamskog identiteta (2) i svojstva eksponencijalne funkcije:

loga (xy)=loga x+loga y;

loga (x/y)= loga x-loga y;

loga(x)= logax(- bilo koji realni broj);

loga=1;

loga x =(logb x/ logb a) (b- realan broj, b>0, b 1).

Konkretno, iz posljednje formule za a=e, b=10 dobijamo jednakost

ln x = (1/(ln e))lg x.(3)

lg number e naziva se modulom prijelaza iz prirodnih logaritama u decimalne i označava se slovom M, a formula (3) se obično piše u obliku

lg x =M ln x.

Obrnuto proporcionalni odnos

Varijabilna y pozvao obrnuto proporcionalno varijabla x, ako su vrijednosti ovih varijabli povezane jednakošću y = k/x, Gdje k- neki realni broj različit od nule. Broj k naziva se koeficijent inverzne proporcionalnosti.

Svojstva funkcije y = k/x

Domen funkcije je skup svih realnih brojeva osim 0.

Domen funkcije je skup svih realnih brojeva osim 0.

Funkcija f(x) = k/x- neparan, a njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište. Funkcija f(x) = k/x kontinuirano i diferencirano u cijelom domenu definicije. f(x) = -k/x2. Funkcija nema kritične tačke.

Funkcija f(x) = k/x za k>0 monotono opada za (-, 0) i (0, +), a za k<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

Grafikon funkcije f(x) = k/x za k>0 u intervalu (0, +) je usmjerena konkavno prema gore, a u intervalu (-, 0) - konkavno prema dolje. Na k<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

Grafikon funkcije f(x) = k/x za vrijednost k=1 je prikazano na Sl. 7.

trigonometrijske funkcije

Funkcije sin, cos, tg, ctg su pozvani trigonometrijske funkcije ugao. Pored glavnih trigonometrijskih funkcija sin, cos, tg, ctg, postoje još dvije trigonometrijske funkcije ugla - secant I kosekans, označeno sec I cosec respektivno.

Sinus brojevi X je broj jednak sinusu ugla u radijanima.

Svojstva funkcije sin x.

Funkcija sin x je neparna: sin (-x)=- sin x.

Funkcija sin x je periodična. Najmanji pozitivni period je 2:

sin (x+2)= sin x.

Nule funkcije: sin x=0 na x= n, n Z.

Intervali konstantnosti znaka:

sin x>0 na x (2 n; +2n), n Z,

sin x<0 при x (+2n; 2+2n), n Z.

Funkcija sin x je kontinuirana i ima izvod za bilo koju vrijednost argumenta:

(sin x) =cos x.

Funkcija sin x raste kao x ((-/2)+2 n;(/2)+2n), n Z, i opada kao x ((/2)+2 n; ((3)/2)+ 2n),n Z.

Funkcija sin x ima minimalne vrijednosti jednake -1 na x=(-/2)+2 n, n Z, a maksimalne vrijednosti jednake 1 na x=(/2)+2 n, n Z.

Grafikon funkcije y=sin x prikazan je na sl. 8. Poziva se graf funkcije sin x sinusoida.

Svojstva funkcije cos x

Područje definicije je skup svih realnih brojeva.

Raspon vrijednosti je interval [-1; 1].

Funkcija cos x - parna: cos (-x)=cos x.

Funkcija cos x je periodična. Najmanji pozitivni period je 2:

cos (x+2)= cos x.

Nule funkcije: cos x=0 na x=(/2)+2 n, n Z.

Intervali konstantnosti znaka:

cos x>0 na x ((-/2)+2 n;(/2)+2n)), n Z,

cos x<0 при x ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)), n Z.

Funkcija cos x je kontinuirana i diferencibilna za bilo koju vrijednost argumenta:

(cos x) = -sin x.

Funkcija cos x raste kao x (-+2 n; 2n), n Z,

i opada kao x (2 n; + 2n),n Z.

Funkcija cos x ima minimalne vrijednosti jednake -1 na x=+2 n, n Z, a maksimalne vrijednosti jednake 1 pri x=2 n, n Z.

Grafikon funkcije y=cos x prikazan je na sl. 9.

Svojstva funkcije tg x

Domen funkcije je skup svih realnih brojeva osim broja x=/2+ n, n Z.

Funkcija tg x - neparna: tg (-x)=- tg x.

Funkcija tg x je periodična. Najmanji pozitivni period funkcije je:

tg (x+)= tg x.

Nule funkcije: tg x=0 na x= n, n Z.

Intervali konstantnosti znaka:

tan x>0 na x ( n; (/2)+n), n Z,

tg x<0 при x ((-/2)+n; n), n Z.

Funkcija tg x je kontinuirana i diferencibilna za bilo koju vrijednost argumenta iz domene definicije:

(tg x) =1/cos2 x.

Funkcija tg x raste u svakom od intervala

((-/2)+n; (/2)+n), n Z,

Grafikon funkcije y=tg x prikazan je na sl. 10. Poziva se graf funkcije tg x tangentoid.

Svojstva funkcije stg x.

n, n Z.

Opseg je skup svih realnih brojeva.

Funkcija stg x - neparna: stg (-h)=- stg x.

Funkcija stg x je periodična. Najmanji pozitivni period funkcije je:

ctg (x+) = ctg x.

Nule funkcije: ctg x=0 na x=(/2)+ n, n Z.

Intervali konstantnosti znaka:

krevetac x>0 na x ( n; (/2)+n), n Z,

ctg x<0 при x ((/2)+n; (n+1)), n Z.

Funkcija ctg x je kontinuirana i diferencibilna za bilo koju vrijednost argumenta iz domene definicije:

(ctg x) =-(1/sin2 x).

Funkcija ctg x opada u svakom od intervala ( n;(n+1)), n Z.

Grafikon funkcije y=stg x prikazan je na sl. 11.

Svojstva funkcije sec x.

Domen funkcije je skup svih realnih brojeva, osim brojeva oblika

x=(/2)+ n, n Z.

Opseg:

Funkcija sec x - parna: sec (-x)= sec x.

Funkcija sec x je periodična. Najmanji pozitivni period funkcije je 2:

sek (x+2)= sek x.

Funkcija sec x ne ide na nulu ni za jednu vrijednost argumenta.

Intervali konstantnosti znaka:

sec x>0 na x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,

sec x<0 при x ((/2)+2n; (3/2)+2n), n Z.

Funkcija sec x je kontinuirana i diferencibilna za bilo koju vrijednost argumenta iz domene definicije funkcije:

(sek x) = sin x/cos2 x.

Funkcija sec x raste u intervalima

(2n;(/2)+ 2n), ((/2)+ 2n; + 2n],n Z,

a između njih se smanjuje

[+ 2n; (3/2)+ 2n), ((3/2)+ 2n; 2(n+1)], n Z.

Grafikon funkcije y=sec x prikazan je na sl. 12.

Svojstva funkcije cosec x

Domen funkcije je skup svih realnih brojeva, osim brojeva oblika x= n, n Z.

Opseg:

Funkcija cosec x - odd: cosec (-x)= -cosec x.

Funkcija cosec x je periodična. Najmanji pozitivni period funkcije je 2:

cosec (x+2)= cosec x.

Funkcija cosec x ne ide na nulu ni za jednu vrijednost argumenta.

Intervali konstantnosti znaka:

kosec x>0 na x (2 n; +2n), n Z,

cosec x<0 при x (+2n; 2(n+1)), n Z.

Funkcija cosec x je kontinuirana i diferencibilna za bilo koju vrijednost argumenta iz domene funkcije:

(cosec x) =-(cos x/sin2 x).

Funkcija cosec x raste u intervalima

[(/2)+ 2n;+ 2n), (+ 2n; (3/2)+ 2n],n Z,

a između njih se smanjuje

(2n; (/2)+ 2n], ((3/2)+ 2n; 2+2n), n Z.

Grafikon funkcije y=cosec x prikazan je na sl. 13.

Funkcija oblika y =a*x^2+b*x+c, gdje su a,b,c neki realni brojevi, a a nije nula, a x,y su varijable, naziva se kvadratna funkcija. Grafikon kvadratne funkcije y =a*x^2+b*x+c je prava koja se u matematici naziva parabola. Opšti pogled na parabolu prikazan je na donjoj slici.

Vrijedi napomenuti da ako funkcija ima koeficijent a>0, onda je parabola usmjerena svojim granama prema gore, a ako je a graf kvadratne funkcije simetričan u odnosu na os simetrije. Osa simetrije parabole je prava linija povučena kroz tačku x=(-b)/(2*a), paralelna sa Oy osom.

Koordinate vrha parabole određene su sljedećim formulama:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

Slika ispod prikazuje graf proizvoljne kvadratne funkcije. Iscrtavanje grafa kvadratne funkcije. Na slici su također označeni vrh parabole i osa simetrije.

Ovisno o vrijednosti koeficijenta a, vrh parabole će biti minimalna ili maksimalna vrijednost kvadratne funkcije. Kada je a>0, vrh je minimalna vrijednost kvadratne funkcije, a ne postoji maksimalna vrijednost. Kada je a, os simetrije prolazi kroz vrh parabole. Područje definicije kvadratne funkcije je cijeli skup realnih brojeva R.

Kvadratna funkcija y =a*x^2+b*x+c uvijek se može transformirati u oblik y=a*(x+k)^2+p, gdje je k=b/(2*a), p= (4* a*c-b^2)/(4*a). Da biste to učinili, morate odabrati cijeli kvadrat.

Imajte na umu da će tačka sa koordinatama (-k;p) biti vrh parabole. Graf kvadratne funkcije y=a*(x+k)^2+p može se dobiti iz grafa funkcije y=a*x^2 korištenjem paralelnog prevođenja.

Trebate pomoć oko studija?