Ovaj priručnik će vam pomoći da naučite kako to izvoditi operacije sa matricama: sabiranje (oduzimanje) matrica, transpozicija matrice, množenje matrica, pronalaženje inverzne matrice. Sav materijal je predstavljen u jednostavnom i pristupačnom obliku, dati su relevantni primjeri, tako da čak i nepripremljena osoba može naučiti kako izvoditi radnje s matricama. Za samokontrolu i samotestiranje možete besplatno preuzeti matrični kalkulator >>>.

Pokušaću da minimiziram teorijske proračune, ponegde su moguća objašnjenja „na prste“ i upotreba nenaučnih termina. Ljubitelji čvrste teorije, molim vas da se ne upuštate u kritiku, naš zadatak je nauči da izvodi operacije sa matricama.

Za SUPER BRZU pripremu na temu (ko gori) postoji intenzivni pdf kurs Matrica, determinanta i test!

Matrica je pravokutna tablica nekih elementi. As elementi razmatraćemo brojeve, odnosno numeričke matrice. ELEMENT je pojam. Preporučljivo je zapamtiti termin, često će se pojavljivati, nije slučajno što sam koristio podebljan font da ga istaknem.

Oznaka: matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

primjer: Razmotrite matricu dva po tri:

Ova matrica se sastoji od šest elementi:

Svi brojevi (elementi) unutar matrice postoje sami za sebe, odnosno nema govora o bilo kakvom oduzimanju:

To je samo tabela (skup) brojeva!

I mi ćemo se složiti nemojte preuređivati brojeva, osim ako je drugačije navedeno u objašnjenjima. Svaki broj ima svoju lokaciju i ne može se miješati!

Matrica u pitanju ima dva reda:

i tri kolone:

STANDARD: kada govorimo o veličinama matrice, onda kao prvo označite broj redova, a tek onda broj kolona. Upravo smo razbili matricu dva po tri.

Ako je broj redova i stupaca matrice isti, tada se matrica naziva kvadrat, Na primjer: – matrica tri po tri.

Ako matrica ima jedan stupac ili jedan red, tada se takve matrice također nazivaju vektori.

U stvari, koncept matrice poznajemo još od škole; uzmite u obzir, na primjer, tačku sa koordinatama “x” i “y”: . U suštini, koordinate tačke se upisuju u matricu jedan po dva. Usput, evo primjera zašto je red brojeva bitan: a to su dvije potpuno različite tačke na ravni.

A sada pređimo na učenje operacije sa matricama:

1) Prvi čin. Uklanjanje minusa iz matrice (uvođenje minusa u matricu).

Vratimo se našoj matrici . Kao što ste vjerovatno primijetili, u ovoj matrici ima previše negativnih brojeva. Ovo je vrlo nezgodno sa stanovišta izvođenja raznih radnji s matricom, nezgodno je pisati toliko minusa i jednostavno izgleda ružno u dizajnu.

Pomaknimo minus izvan matrice promjenom predznaka SVAKOG elementa matrice:

Na nuli, kao što razumijete, znak se ne mijenja; nula je također nula u Africi.

Obrnuti primjer: . Ružno izgleda.

Hajde da unesemo minus u matricu promjenom predznaka SVAKOGA elementa matrice:

Pa, ispalo je mnogo ljepše. I, što je najvažnije, biće LAKŠE izvršiti sve radnje s matricom. Jer postoji takav matematički narodni znak: što više minusa, to je više zabune i grešaka.

2) Drugi čin. Množenje matrice brojem.

primjer:

Jednostavno je, da biste pomnožili matricu brojem, trebate svaki matrični element pomnožen datim brojem. U ovom slučaju - trojka.

Još jedan koristan primjer:

– množenje matrice sa razlomkom

Prvo da pogledamo šta da radimo NO NEED:

NEMA POTREBE unositi razlomak u matricu; prvo, to samo komplikuje dalje radnje sa matricom, a drugo, nastavniku otežava provjeru rješenja (posebno ako – konačni odgovor zadatka).

a posebno, NO NEED podijelite svaki element matrice sa minus sedam:

Iz članka Matematika za lutke ili odakle početi, sjećamo se da u višoj matematici na svaki mogući način pokušavaju izbjeći decimalne razlomke sa zarezima.

Jedina stvar je poželjno Ono što treba učiniti u ovom primjeru je dodati minus u matricu:

Ali ako samo SVE matrični elementi su podijeljeni sa 7 bez traga, tada bi bilo moguće (i potrebno!) podijeliti.

primjer:

U ovom slučaju, možete NEED TO pomnožite sve elemente matrice sa , jer su svi brojevi matrice djeljivi sa 2 bez traga.

Napomena: u teoriji matematike više škole ne postoji koncept “podjele”. Umjesto da kažete “ovo podijeljeno s onim”, uvijek možete reći “ovo pomnoženo s razlomkom”. Odnosno, dijeljenje je poseban slučaj množenja.

3) Treći čin. Matrix Transpose.

Da biste transponovali matricu, potrebno je da njene redove upišete u kolone transponovane matrice.

primjer:

Transponovana matrica

Ovdje je samo jedan red i po pravilu ga treba pisati u stupac:

– transponovana matrica.

Transponovana matrica se obično označava superskriptom ili prostim brojem u gornjem desnom uglu.

Korak po korak primjer:

Transponovana matrica

Prvo prepisujemo prvi red u prvu kolonu:

Zatim prepisujemo drugi red u drugi stupac:

I konačno, prepisujemo treći red u treću kolonu:

Spreman. Grubo rečeno, transponovanje znači okretanje matrice na stranu.

4) Četvrti čin. Zbir (razlika) matrica.

Zbir matrica je jednostavna operacija.
NE MOGU SE SVE MATRICE SAVIJATI. Za obavljanje sabiranja (oduzimanja) matrica potrebno je da budu ISTE VELIČINE.

Na primjer, ako je data matrica dva po dva, onda se može dodati samo sa matricom dva po dva i ničim drugim!

primjer:

Dodajte matrice I

Da biste dodali matrice, morate dodati njihove odgovarajuće elemente:

Za razliku matrica pravilo je slično, potrebno je pronaći razliku odgovarajućih elemenata.

primjer:

Pronađite razliku matrice ,

Kako možete lakše riješiti ovaj primjer, da se ne zbunite? Preporučljivo je da se riješite nepotrebnih minusa; da biste to učinili, dodajte minus u matricu:

Napomena: u teoriji matematike više škole ne postoji koncept „oduzimanja“. Umjesto da kažete „oduzmi ovo od ovoga“, uvijek možete reći „ovome dodajte negativan broj“. Odnosno, oduzimanje je poseban slučaj sabiranja.

5) Čin peti. Množenje matrice.

Koje matrice se mogu množiti?

Da bi se matrica pomnožila sa matricom, neophodno je tako da je broj stupaca matrice jednak broju redova matrice.

primjer:
Da li je moguće pomnožiti matricu sa matricom?

To znači da se matrični podaci mogu množiti.

Ali ako se matrice preurede, tada, u ovom slučaju, množenje više nije moguće!

Dakle, množenje nije moguće:

Nije tako rijetko naići na zadatke sa trikom, kada se od učenika traži da pomnoži matrice čije je množenje očigledno nemoguće.

Treba napomenuti da je u nekim slučajevima moguće množiti matrice na oba načina.
Na primjer, za matrice, moguće su i množenje i množenje

>> Matrice

4.1. Matrice. Operacije na matricama

Pravokutna matrica veličine mxn je kolekcija mxn brojeva raspoređenih u obliku pravokutne tablice koja sadrži m redova i n stupaca. Napisaćemo to u formularu

ili skraćeno kao A = (a i j) (i = ; j = ), brojevi a i j se nazivaju njegovim elementima; Prvi indeks označava broj reda, drugi - broj kolone. A = (a i j) i B = (b i j) iste veličine nazivaju se jednakima ako su njihovi elementi koji stoje na istim mjestima parno jednaki, odnosno A = B ako je a i j = b i j.

Matrica koja se sastoji od jednog reda ili jedne kolone naziva se vektor reda ili vektor stupca, respektivno. Vektori stupaca i vektori reda se jednostavno nazivaju vektori.

Matrica koja se sastoji od jednog broja identificira se sa ovim brojem. A veličine mxn, čiji su svi elementi jednaki nuli, nazivaju se nula i označavaju se sa 0. Elementi sa istim indeksima nazivaju se elementi glavne dijagonale. Ako je broj redaka jednak broju stupaca, odnosno m = n, tada se matrica naziva kvadratna matrica reda n. Kvadratne matrice u kojima su samo elementi glavne dijagonale različiti od nule nazivaju se dijagonale i pišu se na sljedeći način:

.

Ako su svi elementi a i i dijagonale jednaki 1, tada se naziva jedinica i označava se slovom E:

.

Kvadratna matrica se naziva trokutastom ako su svi elementi iznad (ili ispod) glavne dijagonale jednaki nuli. Transpozicija je transformacija u kojoj se redovi i stupci zamjenjuju uz zadržavanje njihovog broja. Transpozicija je označena sa T na vrhu.

Ako preuredimo redove i stupce u (4.1), dobićemo

,

koji će biti transponovan u odnosu na A. Konkretno, kada se transponuje vektor kolone, dobija se vektor reda i obrnuto.

Proizvod A i broja b je matrica čiji se elementi dobijaju iz odgovarajućih elemenata iz A množenjem sa brojem b: b A = (b a i j).

Zbir A = (a i j) i B = (b i j) iste veličine naziva se C = (c i j) iste veličine, čiji su elementi određeni formulom c i j = a i j + b i j.

Proizvod AB je određen pod pretpostavkom da je broj stupaca A jednak broju redova B.

Proizvod AB, gdje je A = (a i j) i B = (b j k), gdje je i = , j= , k= , dat određenim redom AB, naziva se C = (c i k), čiji su elementi određeni pomoću sljedeće pravilo:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Drugim riječima, element proizvoda AB definiran je na sljedeći način: element i-tog reda i k-tog stupca C jednak je zbiru proizvoda i-tog reda A i odgovarajući elementi k-te kolone B.

Primjer 2.1. Pronađite proizvod AB i .

Rješenje. Imamo: A veličine 2x3, B veličine 3x3, tada proizvod AB = C postoji i elementi C su jednaki

Od 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, od 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, od 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, a proizvod BA ne postoji.

Primjer 2.2. U tabeli je prikazan broj jedinica proizvoda koje se dnevno otpremaju iz mlekara 1 i 2 u prodavnice M 1, M 2 i M 3, a dostava jedinice proizvoda iz svake mlekare do prodavnice M 1 košta 50 den. jedinica, do prodavnice M 2 - 70, a do M 3 - 130 den. jedinice Izračunajte dnevne troškove transporta svake biljke.

Mliječna fabrika

Rješenje. Označimo sa A matricu koja nam je data u uslovu, i sa
B - matrica koja karakteriše trošak isporuke jedinice proizvoda u prodavnice, tj.

,

Tada će matrica troškova transporta izgledati ovako:

.

Dakle, prva fabrika dnevno troši 4.750 deniera na transport. jedinica, drugi - 3680 novčanih jedinica.

Primjer 2.3. Šivaća kompanija proizvodi zimske kapute, demi sezonske kapute i kabanice. Planirani proizvod za jednu deceniju karakteriše vektor X = (10, 15, 23). Koriste se četiri vrste tkanina: T 1, T 2, T 3, T 4. Tabela prikazuje stope potrošnje tkanine (u metrima) za svaki proizvod. Vektor C = (40, 35, 24, 16) specificira cijenu metra tkanine svake vrste, a vektor P = (5, 3, 2, 2) specificira cijenu transporta metra tkanine svake vrste.

	Potrošnja tkanine
Zimski kaput
Demi-sezonski kaput

1. Koliko metara svake vrste tkanine će biti potrebno za završetak plana?

2. Pronađite trošak tkanine potrošen na šivanje svake vrste proizvoda.

3. Odredite cijenu cjelokupnog materijala potrebnog za završetak plana.

Rješenje. Označimo sa A matricu koja nam je data u uslovu, tj.

,

zatim da biste pronašli broj metara tkanine potrebnih za završetak plana, trebate pomnožiti vektor X sa matricom A:

Pronalazimo trošak tkanine potrošen na šivanje proizvoda svake vrste množenjem matrice A i vektora C T:

.

Trošak sve tkanine potrebne za završetak plana odredit će se formulom:

Konačno, uzimajući u obzir transportne troškove, ceo iznos će biti jednak ceni tkanine, odnosno 9472 den. jedinice, plus vrijednost

X A P T =
.

Dakle, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (novčane jedinice).

Rešavanje matrica– koncept koji generalizuje operacije na matricama. Matematička matrica je tabela elemenata. Slična tabela sa m redova i n kolona kaže se da je matrica m po n.
Opšti pogled na matricu

Glavni elementi matrice:
Glavna dijagonala. Sastoji se od elemenata a 11, a 22.....a mn
Bočna dijagonala. Sastoji se od elemenata a 1n, i 2n-1.....a m1.
Prije nego što pređemo na rješavanje matrica, razmotrimo glavne vrste matrica:
Square– u kojoj je broj redova jednak broju kolona (m=n)
Nula – svi elementi ove matrice su jednaki 0.
Transponovana matrica- matrica B dobijena iz originalne matrice A zamjenom redaka kolonama.
Single– svi elementi glavne dijagonale su jednaki 1, svi ostali su 0.
inverzna matrica- matrica, kada se pomnoži s kojom originalna matrica rezultira matricom identiteta.
Matrica može biti simetrična u odnosu na glavnu i sekundarnu dijagonalu. To jest, ako je a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. a m-1n =a mn-1. tada je matrica simetrična oko glavne dijagonale. Samo kvadratne matrice su simetrične.
Pređimo sada direktno na pitanje kako riješiti matrice.

Sabiranje matrice.

Matrice se mogu algebarski dodavati ako imaju istu dimenziju. Da dodate matricu A sa matricom B, potrebno je da dodate element prvog reda prvog stupca matrice A sa prvim elementom prvog reda matrice B, element drugog stupca prvog reda matrice A sa elementom druge kolone prvog reda matrice B, itd.
Svojstva sabiranja
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Množenje matrice.

Matrice se mogu množiti ako su konzistentne. Matrice A i B se smatraju konzistentnim ako je broj stupaca matrice A jednak broju redova matrice B.
Ako je A dimenzija m sa n, B je dimenzija n sa k, tada će matrica C=A*B biti dimenzije m sa k i bit će sastavljena od elemenata

Gdje je C 11 zbir parnih proizvoda elemenata reda matrice A i stupca matrice B, odnosno, element je zbir proizvoda elementa prvog stupca prvog reda matrice A sa elementom prve kolone prvog reda matrice B, elementom druge kolone prvog reda matrice A sa elementom prve kolone matrice drugog reda B, itd.
Prilikom množenja važan je redoslijed množenja. A*B nije jednako B*A.

Pronalaženje determinante.

Bilo koja kvadratna matrica može generirati determinantu ili determinantu. Piše det. Ili | matrični elementi |
Za matrice dimenzija 2 sa 2. Odrediti da postoji razlika između umnoška elemenata glavne i elemenata sekundarne dijagonale.

Za matrice dimenzija 3 puta 3 ili više. Operacija pronalaženja determinante je složenija.
Hajde da predstavimo koncepte:
Element minor– je determinanta matrice dobijene iz originalne matrice precrtavanjem reda i stupca originalne matrice u kojoj se ovaj element nalazio.
Algebarski komplement element matrice je umnožak minora ovog elementa za -1 na stepen zbira reda i stupca originalne matrice u kojoj se ovaj element nalazio.
Determinanta bilo koje kvadratne matrice jednaka je zbroju umnožaka elemenata bilo kojeg reda matrice sa njihovim odgovarajućim algebarskim komplementima.

Inverzija matrice

Inverzija matrice je proces pronalaženja inverza matrice, čiju smo definiciju dali na početku. Inverzna matrica se označava na isti način kao i originalna uz dodatak stepena -1.
Pomoću formule pronađite inverznu matricu.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Gdje je A * T transponirana matrica algebarskih komplementa.

Napravili smo primjere rješavanja matrica u obliku video tutorijala

:

Ako želite da shvatite, svakako ga pogledajte.

Ovo su osnovne operacije za rješavanje matrica. Ako imate dodatnih pitanja o kako riješiti matrice, slobodno pišite u komentarima.

Ako i dalje ne možete to shvatiti, pokušajte kontaktirati stručnjaka.

Svrha usluge. Matrični kalkulator dizajniran za rješavanje matričnih izraza, kao što su 3A-CB 2 ili A -1 +B T .

Instrukcije. Za online rješenje, morate specificirati matrični izraz. U drugoj fazi bit će potrebno razjasniti dimenziju matrica.

Akcije na matrice

Važeće operacije: množenje (*), sabiranje (+), oduzimanje (-), inverzna matrica A^(-1), eksponencijacija (A^2, B^3), transpozicija matrice (A^T).

Važeće operacije: množenje (*), sabiranje (+), oduzimanje (-), inverzna matrica A^(-1), eksponencijacija (A^2, B^3), transpozicija matrice (A^T).
Da biste izvršili listu operacija, koristite tačku i zarez (;) za razdvajanje. Na primjer, da izvršite tri operacije:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
morat ćete to napisati ovako: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matrica je pravokutna numerička tablica s m redaka i n stupaca, tako da se matrica može shematski prikazati kao pravougaonik.
Nulta matrica (nulta matrica) je matrica čiji su svi elementi jednaki nuli i označeni sa 0.
Matrica identiteta naziva se kvadratna matrica oblika

Dvije matrice A i B su jednake, ako su iste veličine i njihovi odgovarajući elementi su jednaki.
Singularna matrica je matrica čija je determinanta jednaka nuli (Δ = 0).

Hajde da definišemo osnovne operacije na matricama.

Matrično dodavanje

Definicija . Zbir dvije matrice iste veličine je matrica istih dimenzija, čiji se elementi nalaze prema formuli . Označava se sa C = A+B.

Primjer 6. .
Operacija sabiranja matrice proteže se na slučaj bilo kojeg broja pojmova. Očigledno A+0=A .
Naglasimo još jednom da se mogu dodati samo matrice iste veličine; Za matrice različitih veličina operacija sabiranja nije definirana.

Oduzimanje matrica

Definicija . Razlika B-A matrica B i A iste veličine je matrica C takva da je A+ C = B.

Množenje matrice

Definicija . Proizvod matrice brojem α je matrica dobijena iz A množenjem svih njenih elemenata sa α, .
Definicija . Neka su date dvije matrice i , i broj stupaca A je jednak broju redova B. Proizvod A sa B je matrica čiji se elementi nalaze prema formuli .
Označava se sa C = A·B.
Šematski, operacija množenja matrice može se prikazati na sljedeći način:

i pravilo za izračunavanje elementa u proizvodu:

Naglasimo još jednom da proizvod A·B ima smisla ako i samo ako je broj stupaca prvog faktora jednak broju redova drugog, a proizvod proizvodi matricu čiji je broj redova jednak broj redova prvog faktora, a broj kolona jednak je broju kolona drugog. Rezultat množenja možete provjeriti pomoću posebnog online kalkulatora.

Primjer 7. Zadane matrice I . Pronađite matrice C = A·B i D = B·A.
Rješenje. Prije svega, imajte na umu da proizvod A·B postoji jer je broj stupaca A jednak broju redova B.

Imajte na umu da u opštem slučaju A·B≠B·A, tj. proizvod matrica je antikomutativan.
Nađimo B·A (množenje je moguće).

Primjer 8. Zadana matrica . Pronađite 3A 2 – 2A.
Rješenje.

.
; .
.
Zapazimo sljedeću zanimljivu činjenicu.
Kao što znate, proizvod dva broja različita od nule nije jednak nuli. Za matrice se možda neće dogoditi slična okolnost, odnosno proizvod matrica različitih od nule može se pokazati jednakim nultoj matrici.

Linearna algebra 1

Matrice 1

Operacije nad matricama 2

Matrične determinante 6

Inverzna matrica 13

Matrični rang 16

Linearna nezavisnost 21

Sistemi linearnih jednačina 24

Metode rješavanja sistema linearnih jednačina 27

Metoda inverzne matrice 27

Metoda za rješavanje sistema linearnih jednadžbi sa kvadratnom matricom koristeći Cramerove formule 29

Gausova metoda (metoda sekvencijalne eliminacije varijabli) 31

Linearne algebarske matrice

Matrix veličina mxn je pravokutna tablica brojeva koja sadrži m redova i n kolona. Brojevi koji čine matricu nazivaju se matričnim elementima.

Matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima, a elementi istim, ali malim slovima sa dvostrukim indeksom.

Na primjer, razmotrite matricu 2 x 3 A:

Ova matrica ima dva reda (m= 2) i tri kolone (n= 3), tj. sastoji se od šest elemenata a ij, gdje je i broj reda, j broj kolone. U ovom slučaju uzima vrijednosti od 1 do 2, te od jedan do tri (pismeno
). Naime, a 11 = 3; a 12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Pozivaju se matrice A i B iste veličine (mxn). jednaka, ako se poklapaju element po element, tj. a ij =b ij for
, tj. za bilo koje i i j (može se napisati i, j).

Matrica-red je matrica koja se sastoji od jednog reda, i matrica-kolona je matrica koja se sastoji od jednog stupca.

Na primjer,
je matrica reda, i
.

Kvadratna matrica n-ti red je matrica, broj redova je jednak broju kolona i jednak n.

Na primjer,
- kvadratna matrica drugog reda.

Dijagonala matrični elementi su elementi čiji je broj reda jednak broju stupca (a ij ,i=j). Ovi elementi se formiraju glavna dijagonala matrice. U prethodnom primjeru, glavnu dijagonalu čine elementi a 11 = 3 i a 22 = 5.

Dijagonalna matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi ne-dijagonalni elementi nula. Na primjer,
- dijagonalna matrica trećeg reda. Ako su svi dijagonalni elementi jednaki jedan, tada se matrica naziva single(obično se označava slovom E). Na primjer,
je matrica identiteta trećeg reda.

Matrica se zove null, ako su svi njegovi elementi jednaki nuli.

Kvadratna matrica se zove trouglasti, ako su svi njegovi elementi ispod (ili iznad) glavne dijagonale jednaki nuli. Na primjer,
- trouglasta matrica trećeg reda.

Operacije na matricama

Na matricama se mogu izvesti sljedeće operacije:

1. Množenje matrice brojem. Proizvod matrice A i broja  je matrica B =A, čiji su elementi b ij =a ij za bilo koje i i j.

Na primjer, ako
, To
.

2. Sabiranje matrice. Zbir dvije matrice A i B iste veličine m x n je matrica C = A + B, čiji su elementi sa ij =a ij +b ij fori,j.

Na primjer, ako
To

.

Imajte na umu da se kroz prethodne operacije može odrediti oduzimanje matrice iste veličine: razlika A-B = A + (-1)*B.

3. Množenje matrice. Proizvod matrice A veličine mxn sa matricom B veličine nxp je matrica C, čiji je svaki element sa ij jednak zbiru proizvoda i-tog reda matrice A odgovarajućim elementi j-te kolone matrice B, tj.
.

Na primjer, ako

, tada će veličina matrice proizvoda biti 2 x 3, a izgledat će ovako:

U ovom slučaju se kaže da je matrica A konzistentna sa matricom B.

Na osnovu operacije množenja za kvadratne matrice, operacija je definirana eksponencijacija. Pozitivni cijeli broj A m (m > 1) kvadratne matrice A je proizvod m matrica jednakih A, tj.

Naglašavamo da sabiranje (oduzimanje) i množenje matrica nisu definirane ni za jednu dvije matrice, već samo za one koje zadovoljavaju određene zahtjeve za svoju dimenziju. Da biste pronašli zbir ili razliku matrica, njihova veličina mora biti ista. Da bi se pronašao umnožak matrica, broj stupaca prve od njih mora se podudarati s brojem redova druge (takve se matrice nazivaju ugovoren).

Razmotrimo neka svojstva razmatranih operacija, slična svojstvima operacija nad brojevima.

1) Komutativni (komutativni) zakon sabiranja:

A + B = B + A

2) Asocijativni (kombinativni) zakon sabiranja:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Distributivni (distributivni) zakon množenja u odnosu na sabiranje:

(A + B) = A +B

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) Asocijativni (kombinativni) zakon množenja:

(AB) = (A)B = A(B)

A(BC) = (AB)C

Naglašavamo da komutativni zakon množenja za matrice NIJE zadovoljen u opštem slučaju, tj. AB BA. Štaviše, postojanje AB ne podrazumeva nužno postojanje BA (matrice možda nisu konzistentne, a onda njihov proizvod uopšte nije definisan, kao u gornjem primeru množenja matrice). Ali čak i ako postoje oba djela, obično su različita.

U određenom slučaju, proizvod bilo koje kvadratne matrice A i matrice identiteta istog reda ima komutativni zakon, a ovaj proizvod je jednak A (množenje matricom identiteta ovdje je slično množenju s jedan kada se množe brojevi):

AE = EA = A

Zaista,

Istaknimo još jednu razliku između množenja matrice i množenja brojeva. Proizvod brojeva može biti jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od njih jednak nuli. Ovo se ne može reći za matrice, tj. proizvod različitih matrica može biti jednak matrici nula. Na primjer,

Nastavimo sa razmatranjem operacija nad matricama.

4. Matrix Transpose predstavlja operaciju prijelaza iz matrice A veličine mxn u matricu A T veličine nxm, u kojoj se redovi i stupci zamjenjuju:

%.

Svojstva operacije transponovanja:

1) Iz definicije slijedi da ako se matrica transponira dvaput, vraćamo se na originalnu matricu: (A T) T = A.

2) Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka transpozicije: (A) ​​T =A T .

3) Transpozicija je distributivna u odnosu na množenje i sabiranje matrice: (AB) T =B T A T i (A+B) T =B T +A T .