Matematičko očekivanje tablice raspodjele. Osobine matematičkog očekivanja. Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable
Kao što je već poznato, zakon raspodjele u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu. Međutim, često je zakon distribucije nepoznat i čovjek se mora ograničiti na manje informacija. Ponekad je čak isplativije koristiti brojeve koji ukupno opisuju slučajnu varijablu; takvi brojevi se nazivaju numeričke karakteristike slučajna varijabla .
Jedna od važnih numeričkih karakteristika je matematičko očekivanje.
Očekivana vrijednost približno jednaka prosječnoj vrijednosti slučajne varijable.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih njegovih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća.
Ako je slučajna varijabla karakterizirana konačnim nizom distribucije:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | p 1 | p 2 | p 3 | … | r p |
zatim matematičko očekivanje M(X) određena formulom:
Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable određeno je jednakošću:
gdje je gustina vjerovatnoće slučajne varijable X.
Primjer 4.7. Pronađite matematičko očekivanje broja poena koji se pojavljuju pri bacanju kocke.
Rješenje:
Slučajna vrijednost X uzima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kreirajmo zakon njegove distribucije:
| X | ||||||
| R |
Tada je matematičko očekivanje:
Svojstva matematičkog očekivanja:
1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti:
M (S) = S.
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja:
M (CX) = CM (X).
3. Matematičko očekivanje proizvoda dvije nezavisne slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:
M(XY) = M(X)M(Y).
Primjer 4.8. Nezavisne slučajne varijable X I Y dati su sljedećim zakonima o distribuciji:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable XY.
Rješenje.
Nađimo matematička očekivanja svake od ovih veličina:
Slučajne varijable X I Y nezavisno, stoga je traženo matematičko očekivanje:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Posljedica. Matematičko očekivanje proizvoda nekoliko međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.
4. Matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Posljedica. Matematičko očekivanje sume nekoliko slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja termina.
Primjer 4.9. Ispaljuju se 3 hica sa vjerovatnoćom pogađanja mete jednakim p 1 = 0,4; p2= 0,3 i p 3= 0,6. Pronađite matematičko očekivanje ukupnog broja pogodaka.
Rješenje.
Broj pogodaka na prvom mecu je nasumična varijabla X 1, koji može uzeti samo dvije vrijednosti: 1 (pogodan) sa vjerovatnoćom p 1= 0,4 i 0 (promašaj) sa vjerovatnoćom q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Matematičko očekivanje broja pogodaka pri prvom metku jednako je vjerovatnoći pogotka:
Slično, nalazimo matematička očekivanja broja pogodaka za drugi i treći hitac:
M(X 2)= 0,3 i M(X 3)= 0,6.
Ukupan broj pogodaka je također slučajna varijabla koja se sastoji od zbira pogodaka u svakom od tri hica:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Potrebna matematička očekivanja X Nalazimo ga koristeći teoremu o matematičkom očekivanju sume.
Magnituda
Osnovne numeričke karakteristike slučajnog
Zakon raspodjele gustine karakterizira slučajnu varijablu. Ali često je nepoznat, i čovjek se mora ograničiti na manje informacija. Ponekad je još isplativije koristiti brojeve koji ukupno opisuju slučajnu varijablu. Takvi brojevi se nazivaju numeričke karakteristike slučajna varijabla. Pogledajmo glavne.
definicija:Matematičko očekivanje M(X) diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti ove veličine i njihovih vjerovatnoća:
Ako je diskretna slučajna varijabla X tada uzima prebrojivo mnogo mogućih vrijednosti
Štaviše, matematičko očekivanje postoji ako je ovaj niz apsolutno konvergentan.
Iz definicije proizilazi da M(X) diskretna slučajna varijabla je neslučajna (konstantna) varijabla.
primjer: Neka X– broj pojavljivanja događaja A u jednom testu, P(A) = p. Moramo pronaći matematičko očekivanje X.
Rješenje: Kreirajmo tabelarni zakon raspodjele X:
| X | 0 | 1 |
| P | 1 - str | str |
Nađimo matematičko očekivanje:
dakle, matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u jednom pokušaju jednako je vjerovatnoći ovog događaja.
Poreklo termina očekivanu vrijednost povezan sa početnim periodom nastanka teorije verovatnoće (XVI-XVII stoljeće), kada je obim njene primjene bio ograničen na kockanje. Igrača je zanimala prosječna vrijednost očekivane pobjede, tj. matematičko očekivanje pobjede.
Hajde da razmotrimo vjerovatnoća značenja matematičkog očekivanja.
Neka se proizvede n testovi u kojima je slučajna varijabla X prihvaćeno m 1 puta vrijednost x 1, m 2 puta vrijednost x 2, i tako dalje, i na kraju je prihvatila m k puta vrijednost x k, i m 1 + m 2 +…+ + m k = n.
Zatim zbir svih vrijednosti koje uzima slučajna varijabla X, je jednako x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Aritmetička sredina svih vrijednosti koje uzima slučajna varijabla X,jednako:
budući da je relativna frekvencija vrijednosti za bilo koju vrijednost i = 1, …, k.
Kao što je poznato, ako je broj testova n je dovoljno velika, onda je relativna frekvencija približno jednaka vjerovatnoći da će se događaj dogoditi, dakle,
Dakle, .
zaključak:Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable približno je jednako (što je preciznije, to je veći broj testova) aritmetičkoj sredini posmatranih vrijednosti slučajne varijable.
Razmotrimo osnovna svojstva matematičkog očekivanja.
Nekretnina 1:Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstantnoj vrijednosti:
M(C) = C.
dokaz: Konstantno WITH može se smatrati , što ima jedno moguće značenje WITH i prihvata to sa vjerovatnoćom p = 1. dakle, M(C) =C 1= S.
Hajde da definišemo proizvod konstantne varijable C i diskretne slučajne varijable X kao diskretna slučajna varijabla CX, čije su moguće vrijednosti jednake umnošku konstante WITH do mogućih vrednosti X CX jednaka vjerovatnoćama odgovarajućih mogućih vrijednosti X:
| CX | C | C | … | C |
| X | … | |||
| R | … |
Nekretnina 2:Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja:
M(CX) = CM(X).
dokaz: Neka je slučajna varijabla X je dato zakonom distribucije vjerovatnoće:
| X | … | |||
| P | … |
Napišimo zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable CX:
| CX | C | C | … | C |
| P | … |
M(CX) = C +C =C + ) = C M(X).
definicija:Dvije slučajne varijable nazivaju se neovisnim ako zakon raspodjele jedne od njih ne ovisi o mogućim vrijednostima koje je druga varijabla uzela. Inače, slučajne varijable su zavisne.
definicija:Za nekoliko slučajnih varijabli se kaže da su međusobno neovisne ako zakoni distribucije bilo kojeg broja njih ne ovise o mogućim vrijednostima koje su preostale varijable uzele.
Hajde da definišemo proizvod nezavisnih diskretnih slučajnih varijabli X i Y kao diskretna slučajna varijabla XY, čije su moguće vrijednosti jednake proizvodima svake moguće vrijednosti X za svaku moguću vrijednost Y. Vjerovatnoće mogućih vrijednosti XY jednaki su proizvodima vjerovatnoća mogućih vrijednosti faktora.
Neka su date distribucije slučajnih varijabli X I Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Zatim distribucija slučajne varijable XY ima oblik:
| XY | … | |||
| P | … |
Neki radovi mogu biti jednaki. U ovom slučaju, vjerovatnoća moguće vrijednosti proizvoda jednaka je zbiru odgovarajućih vjerovatnoća. Na primjer, ako je = , tada je vjerovatnoća vrijednosti
Svojstvo 3:Matematičko očekivanje proizvoda dvije nezavisne slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:
M(XY) = M(X) M(Y).
dokaz: Neka su nezavisne slučajne varijable X I Y specificirani su vlastitim zakonima raspodjele vjerovatnoće:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Da bismo pojednostavili proračune, ograničit ćemo se na mali broj mogućih vrijednosti. U opštem slučaju dokaz je sličan.
Kreirajmo zakon raspodjele slučajne varijable XY:
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) M(Y).
Posljedica:Matematičko očekivanje proizvoda nekoliko međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.
dokaz: Dokažimo za tri međusobno nezavisne slučajne varijable X,Y,Z. Slučajne varijable XY I Z nezavisno, onda dobijamo:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) M(Y) M(Z).
Za proizvoljan broj međusobno nezavisnih slučajnih varijabli, dokaz se izvodi metodom matematičke indukcije.
primjer: Nezavisne slučajne varijable X I Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Treba pronaći M(XY).
Rješenje: Pošto slučajne varijable X I Y su dakle nezavisni M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
Hajde da definišemo zbir diskretnih slučajnih varijabli X i Y kao diskretna slučajna varijabla X+Y, čije su moguće vrijednosti jednake zbiru svake moguće vrijednosti X sa svakom mogućom vrednošću Y. Vjerovatnoće mogućih vrijednosti X+Y za nezavisne slučajne varijable X I Y jednaki su proizvodima vjerovatnoća termina, a za zavisne slučajne varijable - proizvodima vjerovatnoće jednog člana uslovnom vjerovatnoćom drugog.
Ako su = i vjerovatnoće ovih vrijednosti respektivno jednake, tada je vjerovatnoća (isto kao ) jednaka .
Svojstvo 4:Matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable (zavisne ili nezavisne) jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
dokaz: Neka dvije slučajne varijable X I Y dati su sljedećim zakonima o distribuciji:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Da bismo pojednostavili zaključak, ograničit ćemo se na dvije moguće vrijednosti svake veličine. U opštem slučaju dokaz je sličan.
Sastavimo sve moguće vrijednosti slučajne varijable X+Y(pretpostavimo, radi jednostavnosti, da su ove vrijednosti različite; ako nisu, onda je dokaz sličan):
| X+Y | ||||
| P |
Nađimo matematičko očekivanje ove vrijednosti.
M(X+Y) = + + + +
Dokažimo da je + = .
Događaj X = ( njegovu vjerovatnoću P(X = ) uključuje događaj da je slučajna varijabla X+Yće uzeti vrijednost ili (vjerovatnoća ovog događaja, prema teoremi sabiranja, jednaka je ) i obrnuto. Tada = .
Jednakosti = = = dokazuju se na sličan način
Zamjenom desne strane ovih jednakosti u rezultirajuću formulu za matematičko očekivanje, dobivamo:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Posljedica:Matematičko očekivanje sume nekoliko slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja termina.
dokaz: Dokažimo za tri slučajne varijable X,Y,Z. Nađimo matematičko očekivanje slučajnih varijabli X+Y I Z:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
Za proizvoljan broj slučajnih varijabli, dokaz se izvodi metodom matematičke indukcije.
primjer: Pronađite prosjek zbira broja bodova koji se mogu dobiti bacanjem dvije kocke.
Rješenje: Neka X– broj bodova koji se mogu pojaviti na prvom kocku, Y- Na drugom. Očigledno je da su slučajne varijable X I Y imaju iste distribucije. Zapišimo podatke o distribuciji X I Y u jednu tabelu:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Dakle, prosječna vrijednost zbira broja poena koji se mogu pojaviti pri bacanju dvije kocke je 7 .
Teorema:Matematičko očekivanje M(X) broja pojavljivanja događaja A u n nezavisnih pokušaja jednako je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće pojave događaja u svakom pokušaju: M(X) = np.
dokaz: Neka X– broj pojavljivanja događaja A V n nezavisni testovi. Očigledno, ukupan broj X pojave događaja A u ovim ispitivanjima je zbir broja pojavljivanja događaja u pojedinačnim ispitivanjima. Zatim, ako je broj pojavljivanja događaja u prvom pokušaju, u drugom i tako dalje, konačno, broj pojavljivanja događaja u n-ti test, tada se ukupan broj pojavljivanja događaja izračunava po formuli:
By svojstvo 4 matematičkog očekivanja imamo:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Budući da je matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u jednom pokušaju jednako vjerovatnoći događaja, tada
M( ) = M( )= … = M( ) = str.
dakle, M(X) = np.
primjer: Vjerovatnoća pogađanja mete pri pucanju iz pištolja je p = 0,6. Pronađite prosječan broj pogodaka ako je ostvaren 10 shots.
Rješenje: Pogodak za svaki hitac ne zavisi od ishoda drugih hitaca, stoga su događaji koji se razmatraju nezavisni i stoga je potrebno matematičko očekivanje jednako:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Dakle, prosječan broj pogodaka je 6.
Sada razmotrite matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable.
definicija:Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable X, čije moguće vrijednosti pripadaju intervalu,pozvao definitivni integral:
gdje je f(x) gustina distribucije vjerovatnoće.
Ako moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable X pripadaju cijeloj osi Ox, onda
Pretpostavlja se da je ovo nepravilan integral apsolutno konvergira, tj. integral konvergira Ako ovaj zahtjev nije ispunjen, tada bi vrijednost integrala ovisila o brzini kojom (posebno) donja granica teži -∞, a gornja granica +∞.
To se može dokazati sva svojstva matematičkog očekivanja diskretne slučajne varijable su sačuvana za kontinuiranu slučajnu varijablu. Dokaz se zasniva na svojstvima određenih i nepravih integrala.
Očigledno je da je matematičko očekivanje M(X) veća od najmanje i manja od najveće moguće vrijednosti slučajne varijable X. One. na brojevnoj osi moguće vrijednosti slučajne varijable nalaze se lijevo i desno od njenog matematičkog očekivanja. U tom smislu, matematičko očekivanje M(X) karakterizira lokaciju distribucije i stoga se često naziva distributivni centar.
1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti M(S)=C
.
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja: M(CX)=CM(X)
3. Matematičko očekivanje proizvoda dvije nezavisne slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Teorema. Matematičko očekivanje M(x) broja pojavljivanja događaja A u n nezavisnih pokušaja jednako je umnošku ovih pokušaja sa vjerovatnoćom pojave događaja u svakom ogledu: M(x) = np.
Neka X - slučajna varijabla i M(X) – njegovo matematičko očekivanje. Uzmimo razliku kao novu slučajnu varijablu X - M(X).
Devijacija je razlika između slučajne varijable i njenog matematičkog očekivanja.
Devijacija ima sljedeći zakon raspodjele:
Rješenje: Nađimo matematičko očekivanje:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Napišimo zakon raspodjele kvadratne devijacije:
Rješenje: Nađimo matematičko očekivanje od M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5
Napišimo zakon raspodjele slučajne varijable X 2
| X 2 | |||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Nađimo matematičko očekivanje M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Tražena varijansa je D(x)=M(x 2)- 2 =13,3-(3,5) 2 =1,05
Svojstva disperzije:
1. Varijanca konstantne vrijednosti WITH
jednako nuli: D(C)=0
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije kvadriranjem. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Varijanca zbira nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru varijansi ovih varijabli. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Varijanca binomna distribucija jednak umnošku broja pokušaja i vjerovatnoće nastanka i nepostojanja događaja u jednom pokušaju D(X)=npq
Za procjenu disperzije mogućih vrijednosti slučajne varijable oko njene srednje vrijednosti, osim disperzije, koriste se i neke druge karakteristike. To uključuje standardnu devijaciju.
Standardna devijacija slučajne varijable X naziva se kvadratni korijen varijanse:
σ(X) = √D(X) (4)
Primjer. Slučajna varijabla X je data zakonom raspodjele
| X | |||
| P | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Pronađite standardnu devijaciju σ(x)
Rješenje: Nađimo matematičko očekivanje za X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Nađimo matematičko očekivanje za X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Nađimo varijansu: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Tražena standardna devijacija σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61
Teorema. Standardna devijacija sume konačnog broja međusobno nezavisnih slučajnih varijabli je jednaka kvadratni korijen iz zbira kvadrata standardnih devijacija ovih veličina:
Primjer. Na polici 6 knjiga, 3 knjige iz matematike i 3 iz fizike. Tri knjige se biraju nasumično. Naći zakon raspodjele broja knjiga iz matematike među odabranim knjigama. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable.
D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45
Rješenje:
6.1.2 Svojstva matematičkog očekivanja
1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti.
2. Konstantni faktor se može uzeti kao znak matematičkog očekivanja. 
3. Matematičko očekivanje proizvoda dvije nezavisne slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.
Ovo svojstvo vrijedi za proizvoljan broj slučajnih varijabli.
4. Matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova.
Ovo svojstvo vrijedi i za proizvoljan broj slučajnih varijabli.
primjer: M(X) = 5, M(Y)= 2. Naći matematičko očekivanje slučajne varijable Z, primjenjujući svojstva matematičkog očekivanja, ako je to poznato Z=2X+3Y.
Rješenje: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) matematičko očekivanje sume jednako je zbiru matematičkih očekivanja
2) konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja
Neka se izvede n nezavisnih pokušaja, vjerovatnoća pojave događaja A u kojem je jednaka p. Tada vrijedi sljedeća teorema:
Teorema. Matematičko očekivanje M(X) broja pojavljivanja događaja A u n nezavisnih pokušaja jednako je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće da će se događaj dogoditi u svakom pokušaju.
6.1.3 Disperzija diskretne slučajne varijable
Matematičko očekivanje ne može u potpunosti okarakterizirati slučajni proces. Pored matematičkog očekivanja, potrebno je unijeti vrijednost koja karakterizira odstupanje vrijednosti slučajne varijable od matematičkog očekivanja.
Ovo odstupanje je jednako razlici između slučajne varijable i njenog matematičkog očekivanja. U ovom slučaju, matematičko očekivanje odstupanja je nula. To se objašnjava činjenicom da su neka moguća odstupanja pozitivna, druga negativna, a kao rezultat njihovog međusobnog poništavanja dobija se nula.
disperzija (raspršenje) diskretne slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
U praksi je ova metoda izračunavanja varijanse nezgodna, jer dovodi do glomaznih proračuna za veliki broj vrijednosti slučajnih varijabli.
Stoga se koristi druga metoda.
Teorema. Varijanca je jednaka razlici između matematičkog očekivanja kvadrata slučajne varijable X i kvadrata njenog matematičkog očekivanja.
Dokaz. Uzimajući u obzir činjenicu da su matematičko očekivanje M(X) i kvadrat matematičkog očekivanja M2(X) konstantne veličine, možemo napisati:
Primjer. Pronađite varijansu diskretne slučajne varijable date zakonom raspodjele.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Rješenje: .
6.1.4 Svojstva disperzije
1. Varijanca konstantne vrijednosti je nula. .
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije kvadriranjem. 
.
3. Varijanca zbira dvije nezavisne slučajne varijable jednaka je zbiru varijansi ovih varijabli. .
4. Varijanca razlike između dvije nezavisne slučajne varijable jednaka je zbiru varijansi ovih varijabli. .
Teorema. Varijanca broja pojavljivanja događaja A u n nezavisnih pokušaja, u svakom od kojih je vjerovatnoća p pojave događaja konstantna, jednaka je umnošku broja pokušaja sa vjerovatnoćama pojave i ne- pojavljivanje događaja u svakom ispitivanju.
Primer: Naći varijansu DSV X - broj pojavljivanja događaja A u 2 nezavisna ispitivanja, ako je verovatnoća pojave događaja u ovim ogledima ista i poznato je da je M(X) = 1,2.
Primijenimo teoremu iz odjeljka 6.1.2:
M(X) = np
M(X) = 1,2; n= 2. Nađimo str:
1,2 = 2∙str
str = 1,2/2
q = 1 – str = 1 – 0,6 = 0,4
Pronađimo varijansu koristeći formulu:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Standardna devijacija diskretne slučajne varijable
Standardna devijacija slučajna varijabla X naziva se kvadratni korijen varijanse.
(25)
Teorema. Standardna devijacija sume konačnog broja međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata standardnih devijacija ovih varijabli.
6.1.6 Mod i medijan diskretne slučajne varijable
Moda M o DSV naziva se najvjerovatnija vrijednost slučajne varijable (tj. vrijednost koja ima najveću vjerovatnoću)
Median M e DSV je vrijednost slučajne varijable koja dijeli distribucijsku seriju na pola. Ako je broj vrijednosti slučajne varijable paran, tada se medijan nalazi kao aritmetička sredina dvije prosječne vrijednosti.
Primjer: Pronađite mod i medijan DSV-a X:
| X | ||||
| str | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
M e = = 5,5
Napredak
1. Upoznati se sa teorijskim dijelom ovog rada (predavanja, udžbenik).
2. Dovršite zadatak prema vlastitoj verziji.
3. Sačiniti izvještaj o radu.
4. Zaštitite svoj posao.
2. Svrha rada.
3. Napredak rada.
4. Rješavanje vlastite opcije.
6.4 Opcije zadatka za samostalan rad
Opcija #1
1. Naći matematičko očekivanje, disperziju, standardnu devijaciju, mod i medijan DSV X, dato zakonom distribucije.
| X | ||||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Naći matematičko očekivanje slučajne varijable Z ako su poznata matematička očekivanja za X i Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. Naći varijansu DSV X - broj pojavljivanja događaja A u dva nezavisna ispitivanja, ako su vjerovatnoće pojave događaja u ovim ogledima iste i poznato je da je M (X) = 1.
4. Dat je popis mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3= 5, a poznata su i matematička očekivanja ove vrijednosti i njenog kvadrata: , . Pronađite vjerovatnoće , , , koje odgovaraju mogućim vrijednostima , , i sastavite DSV zakon raspodjele.
Opcija br. 2
| X | ||||
| P | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Naći matematičko očekivanje slučajne varijable Z ako su poznata matematička očekivanja za X i Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. Naći varijansu DSV X - broj pojavljivanja događaja A u tri nezavisna ispitivanja, ako su vjerovatnoće pojave događaja u ovim ogledima iste i poznato je da je M (X) = 0,9.
4. Dat je popis mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10, a poznata su i matematička očekivanja ove vrijednosti i njenog kvadrata: , . Pronađite vjerovatnoće , , , koje odgovaraju mogućim vrijednostima , , i sastavite DSV zakon raspodjele.
Opcija #3
1. Naći matematičko očekivanje, disperziju i standardnu devijaciju DSV X, dato zakonom raspodjele.
| X | ||||
| P | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Naći matematičko očekivanje slučajne varijable Z ako su poznata matematička očekivanja za X i Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. Naći varijansu DSV X - broj pojavljivanja događaja A u četiri nezavisna ispitivanja, ako su vjerovatnoće pojave događaja u ovim ogledima iste i poznato je da je M (x) = 1,2.
Koncept matematičkog očekivanja može se razmotriti na primjeru bacanja kocke. Sa svakim bacanjem bilježe se izbačeni poeni. Za njihovo izražavanje koriste se prirodne vrijednosti u rasponu od 1 do 6.
Nakon određenog broja bacanja, koristeći jednostavne proračune, možete pronaći aritmetički prosjek ubačenih poena.
Baš kao i pojavljivanje bilo koje vrijednosti u rasponu, ova vrijednost će biti nasumična.
Šta ako povećate broj bacanja nekoliko puta? Sa velikim brojem bacanja, aritmetički prosjek bodova će se približiti određenom broju, koji se u teoriji vjerovatnoće naziva matematičko očekivanje.
Dakle, pod matematičkim očekivanjem podrazumijevamo prosječnu vrijednost slučajne varijable. Ovaj indikator se takođe može predstaviti kao ponderisani zbir verovatnih vrednosti vrednosti.
Ovaj koncept ima nekoliko sinonima:
- prosječna vrijednost;
- prosječna vrijednost;
- indikator centralne tendencije;
- prvi trenutak.
Drugim riječima, to nije ništa više od broja oko kojeg su raspoređene vrijednosti slučajne varijable.
U različitim sferama ljudske aktivnosti, pristupi razumijevanju matematičkih očekivanja bit će donekle drugačiji.
Može se smatrati kao:
- prosječna korist dobijena od donošenja odluke, kada se takva odluka posmatra sa stanovišta teorije velikih brojeva;
- mogući iznos dobitka ili gubitka (teorija kockanja), izračunat u prosjeku za svaku opkladu. U slengu zvuče kao „prednost igrača“ (pozitivno za igrača) ili „prednost kazina“ (negativno za igrača);
- postotak dobiti dobijene od dobitaka.
Očekivanje nije obavezno za apsolutno sve slučajne varijable. Ne postoji za one koji imaju neslaganje u odgovarajućem zbroju ili integralu.
Osobine matematičkog očekivanja
Kao i svaki statistički parametar, matematičko očekivanje ima sljedeća svojstva:
Osnovne formule za matematičko očekivanje
Izračun matematičkog očekivanja može se izvršiti i za slučajne varijable koje karakterizira i kontinuitet (formula A) i diskretnost (formula B):
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, gdje su xi vrijednosti slučajne varijable, pi su vjerovatnoće:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, gdje je f(x) data gustina vjerovatnoće.
Primjeri izračunavanja matematičkog očekivanja
Primjer A.
Da li je moguće saznati prosječnu visinu patuljaka u bajci o Snjeguljici. Poznato je da je svaki od 7 patuljaka imao određenu visinu: 1,25; 0,98; 1.05; 0,71; 0,56; 0,95 i 0,81 m.
Algoritam izračuna je prilično jednostavan:
- nalazimo zbir svih vrijednosti indikatora rasta (slučajna varijabla):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Dobivenu količinu podijelite s brojem patuljaka:
6,31:7=0,90.
Dakle, prosječna visina patulja u bajci je 90 cm. Drugim riječima, ovo je matematičko očekivanje rasta patulja.
Radna formula - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6
Praktična implementacija matematičkog očekivanja
Izračunavanju statističkog pokazatelja matematičkog očekivanja pribjegava se u različitim oblastima praktične aktivnosti. Prije svega, govorimo o komercijalnoj sferi. Uostalom, Huygensovo uvođenje ovog indikatora povezano je s određivanjem šansi koje mogu biti povoljne, ili, naprotiv, nepovoljne za neki događaj.
Ovaj parametar se široko koristi za procjenu rizika, posebno kada su u pitanju finansijska ulaganja.
Dakle, u poslovanju obračun matematičkih očekivanja djeluje kao metoda za procjenu rizika prilikom izračunavanja cijena.
Ovaj indikator se također može koristiti za izračunavanje djelotvornosti određenih mjera, na primjer, zaštite na radu. Zahvaljujući njemu možete izračunati vjerovatnoću da će se neki događaj dogoditi.
Još jedno područje primjene ovog parametra je upravljanje. Takođe se može izračunati tokom kontrole kvaliteta proizvoda. Na primjer, korištenjem mat. očekivanja, možete izračunati mogući broj proizvedenih neispravnih dijelova.
Matematičko očekivanje se takođe pokazuje kao nezamjenjivo kada se vrši statistička obrada rezultata dobijenih tokom naučno istraživanje rezultate. Omogućava vam da izračunate vjerovatnoću željenog ili nepoželjnog ishoda eksperimenta ili studije u zavisnosti od nivoa postizanja cilja. Na kraju krajeva, njegovo postignuće može biti povezano s dobiti i koristi, a njegov neuspjeh može biti povezan s gubitkom ili gubitkom.
Korištenje matematičkog očekivanja na Forexu
Praktična upotreba ovaj statistički parametar je moguć pri obavljanju poslova na deviznom tržištu. Uz njegovu pomoć možete analizirati uspješnost trgovinskih transakcija. Štaviše, povećanje vrijednosti očekivanja ukazuje na povećanje njihovog uspjeha.
Također je važno zapamtiti da se matematičko očekivanje ne smije smatrati jedinim statističkim parametrom koji se koristi za analizu učinka trgovca. Upotreba nekoliko statističkih parametara uz prosječnu vrijednost značajno povećava tačnost analize.
Ovaj parametar se dobro pokazao u praćenju posmatranja trgovačkih računa. Zahvaljujući njemu, vrši se brza procjena obavljenog posla na depozitnom računu. U slučajevima kada je aktivnost trgovca uspješna i izbjegne gubitke, ne preporučuje se korištenje isključivo proračuna matematičkog očekivanja. U ovim slučajevima rizici se ne uzimaju u obzir, što smanjuje efikasnost analize.
Sprovedene studije taktike trgovaca pokazuju da:
- Najefikasnije taktike su one zasnovane na nasumičnom unosu;
- Najmanje efikasne su taktike zasnovane na strukturiranim inputima.
Za postizanje pozitivnih rezultata ništa manje važno je:
- taktike upravljanja novcem;
- izlazne strategije.
Koristeći takav pokazatelj kao što je matematičko očekivanje, možete predvidjeti koliki će biti dobit ili gubitak kada uložite 1 dolar. Poznato je da ovaj pokazatelj, izračunat za sve igre koje se praktikuju u kazinu, ide u prilog establišmentu. To je ono što vam omogućava da zaradite novac. U slučaju duge serije igara, vjerovatnoća da će klijent izgubiti novac značajno se povećava.
Igre koje igraju profesionalni igrači ograničene su na kratke vremenske periode, što povećava vjerovatnoću pobjede i smanjuje rizik od gubitka. Isti obrazac se uočava i kod izvođenja investicionih operacija.
Investitor može zaraditi značajan iznos ako ima pozitivna očekivanja i obavi veliki broj transakcija u kratkom vremenskom periodu.
Očekivanje se može posmatrati kao razlika između procenta dobiti (PW) pomnoženog sa prosečnom dobiti (AW) i verovatnoće gubitka (PL) pomnožene sa prosečnim gubitkom (AL).
Kao primjer možemo uzeti u obzir sljedeće: pozicija – 12,5 hiljada dolara, portfolio – 100 hiljada dolara, rizik depozita – 1%. Profitabilnost transakcija je 40% slučajeva sa prosječnom dobiti od 20%. U slučaju gubitka, prosječan gubitak je 5%. Izračunavanje matematičkog očekivanja za transakciju daje vrijednost od 625 dolara.
Učitavanje...