Matrice, njihova klasifikacija, aritmetičke operacije nad matricama. Matrice. Osnovne definicije i vrste matrica. Akcije na matrice. Koncept ranga matrice. Operacije na matricama. Pojam i pronalaženje inverzne matrice Posebne vrste matrica

Matrica je poseban objekat u matematici. Prikazuje se u obliku pravokutne ili kvadratne tablice, sastavljene od određenog broja redova i stupaca. U matematici postoji veliki izbor tipova matrica koje se razlikuju po veličini ili sadržaju. Brojevi njegovih redova i kolona nazivaju se nalozima. Ovi objekti se koriste u matematici za organizaciju snimanja sistema linearne jednačine i pogodna pretraga njihovih rezultata. Jednadžbe pomoću matrice rješavaju se metodom Carla Gausa, Gabriela Cramera, minora i algebarskih sabiranja, kao i mnogim drugim metodama. Osnovna vještina pri radu s matricama je svođenje na Međutim, prvo, hajde da shvatimo koje vrste matrica razlikuju matematičari.

Null tip

Sve komponente ove vrste matrice su nule. U međuvremenu, broj njegovih redova i stupaca je potpuno drugačiji.

Kvadratni tip

Broj kolona i redova ove vrste matrice je isti. Drugim riječima, to je sto u obliku kvadrata. Broj njegovih kolona (ili redova) naziva se red. Posebnim slučajevima smatra se postojanje matrice drugog reda (matrica 2x2), četvrtog reda (4x4), desetog reda (10x10), sedamnaestog reda (17x17) i tako dalje.

Kolumni vektor

Ovo je jedna od najjednostavnijih vrsta matrica, koja sadrži samo jednu kolonu, koja uključuje tri numeričke vrijednosti. Predstavlja niz slobodnih termina (brojeva nezavisnih od varijabli) u sistemima linearnih jednačina.

Pogled sličan prethodnom. Sastoji se od tri numerička elementa, zauzvrat organizirana u jednu liniju.

Dijagonalni tip

Numeričke vrijednosti u dijagonalnom obliku matrice uzimaju samo komponente glavne dijagonale (označene zelenom bojom). Glavna dijagonala počinje elementom koji se nalazi u gornjem lijevom kutu, a završava se elementom u donjem desnom kutu. Preostale komponente su jednake nuli. Dijagonalni tip je samo kvadratna matrica nekog reda. Među dijagonalnim matricama može se razlikovati skalarna. Sve njegove komponente imaju iste vrijednosti.

Podtip dijagonalne matrice. Sva ona numeričke vrijednosti su jedinice. Koristeći jednu vrstu matrične tablice, izvodi se njene osnovne transformacije ili pronalazi matricu inverznu originalnoj.

Kanonski tip

Kanonski oblik matrice smatra se jednim od glavnih; Svođenje na to je često neophodno za rad. Broj redova i stupaca u kanonskoj matrici varira i ne mora nužno pripadati kvadratnom tipu. Ona je donekle slična matrici identiteta, ali u njenom slučaju sve komponente glavne dijagonale ne poprimaju vrijednost jednaku jedan. Mogu postojati dvije ili četiri glavne dijagonalne jedinice (sve ovisi o dužini i širini matrice). Ili možda uopće nema jedinica (onda se smatra nulom). Preostale komponente kanonskog tipa, kao i dijagonalni i jedinični elementi, jednaki su nuli.

Trokutasti tip

Jedna od najvažnijih vrsta matrice, koja se koristi pri traženju njene determinante i pri izvođenju jednostavnih operacija. Trokutasti tip dolazi od dijagonalnog tipa, tako da je matrica također kvadratna. Trokutasti tip matrice podijeljen je na gornji trokutasti i donji trokutasti.

U gornjoj trouglastoj matrici (slika 1), samo elementi koji su iznad glavne dijagonale imaju vrijednost jednaku nuli. Komponente same dijagonale i dio matrice koji se nalazi ispod nje sadrže numeričke vrijednosti.

U donjoj trokutastoj matrici (slika 2), naprotiv, elementi koji se nalaze u donjem dijelu matrice jednaki su nuli.

Tip je neophodan za pronalaženje ranga matrice, kao i za elementarne operacije nad njima (zajedno sa trouglastim tipom). Matrica koraka je tako nazvana jer sadrži karakteristične "korake" nula (kao što je prikazano na slici). U tipu koraka formira se dijagonala nula (ne nužno glavna), a svi elementi ispod ove dijagonale također imaju vrijednosti jednake nuli. Preduvjet je sljedeći: ako postoji nulti red u matrici koraka, onda preostali redovi ispod njega također ne sadrže numeričke vrijednosti.

Stoga smo ispitali najvažnije vrste matrica potrebnih za rad s njima. Pogledajmo sada problem pretvaranja matrice u traženi oblik.

Svođenje na trouglasti oblik

Kako dovesti matricu u trouglasti oblik? Najčešće u zadacima trebate transformirati matricu u trokutni oblik kako biste pronašli njenu determinantu, inače determinantu. Prilikom izvođenja ovog postupka izuzetno je važno "sačuvati" glavnu dijagonalu matrice, jer je determinanta trokutaste matrice jednaka umnošku komponenti njene glavne dijagonale. Dozvolite mi da se podsetim i alternativnih metoda za pronalaženje determinante. Determinanta tipa kvadrata nalazi se pomoću posebnih formula. Na primjer, možete koristiti metodu trokuta. Za ostale matrice koristi se metoda dekompozicije po redu, stupcu ili njihovim elementima. Također možete koristiti metodu minora i sabiranja algebarske matrice.

Analizirajmo detaljno proces svođenja matrice na trokutasti oblik koristeći primjere nekih zadataka.

Vježba 1

Potrebno je pronaći determinantu prikazane matrice metodom svođenja na trokutasti oblik.

Matrica koja nam je data je kvadratna matrica trećeg reda. Stoga, da bismo ga pretvorili u trokutasti oblik, morat ćemo nulirati dvije komponente prvog stupca i jednu komponentu drugog.

Da bismo ga doveli u trokutasti oblik, počinjemo transformaciju od donjeg lijevog ugla matrice - od broja 6. Da biste ga pretvorili na nulu, pomnožite prvi red sa tri i oduzmite ga od posljednjeg reda.

Bitan! Gornji red se ne mijenja, ali ostaje isti kao u originalnoj matrici. Nema potrebe pisati string četiri puta veći od originalnog. Ali vrijednosti stringova čije komponente treba postaviti na nulu se stalno mijenjaju.

Ostaje samo posljednja vrijednost - element trećeg reda druge kolone. Ovo je broj (-1). Da biste ga pretvorili na nulu, oduzmite drugi od prvog reda.

provjerimo:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

To znači da je odgovor na zadatak -22.

Zadatak 2

Potrebno je pronaći determinantu matrice svođenjem na trokutasti oblik.

Prikazana matrica pripada kvadratnom tipu i matrica je četvrtog reda. To znači da je potrebno tri komponente prve kolone, dvije komponente druge kolone i jednu komponentu trećeg okrenuti na nulu.

Počnimo ga smanjivati s elementom koji se nalazi u donjem lijevom kutu - sa brojem 4. Ovaj broj trebamo okrenuti na nulu. Najlakši način da to učinite je da pomnožite gornju liniju sa četiri, a zatim je oduzmete od četvrte. Zapišimo rezultat prve faze transformacije.

Dakle, komponenta četvrtog reda je postavljena na nulu. Pređimo na prvi element treće linije, na broj 3. Izvodimo sličnu operaciju. Pomnožimo prvi red sa tri, oduzmemo ga od trećeg reda i zapišemo rezultat.

Uspjeli smo sve komponente prvog stupca ove kvadratne matrice okrenuti na nulu, s izuzetkom broja 1 - elementa glavne dijagonale koji ne zahtijeva transformaciju. Sada je važno sačuvati rezultirajuće nule, pa ćemo transformacije izvoditi s redovima, a ne sa stupcima. Pređimo na drugu kolonu predstavljene matrice.

Počnimo ponovo od dna - s elementom druge kolone posljednjeg reda. Ovaj broj je (-7). Međutim, u u ovom slučaju Pogodnije je početi s brojem (-1) - elementom druge kolone trećeg reda. Da biste ga pretvorili na nulu, oduzmite drugi od trećeg reda. Zatim množimo drugi red sa sedam i oduzimamo ga od četvrtog. Dobili smo nulu umjesto elementa koji se nalazi u četvrtom redu druge kolone. Pređimo sada na treću kolonu.

U ovoj koloni trebamo okrenuti samo jedan broj na nulu - 4. To nije teško učiniti: jednostavno dodamo trećinu posljednjem redu i vidimo nulu koja nam je potrebna.

Nakon svih izvršenih transformacija, predloženu matricu smo doveli u trouglasti oblik. Sada, da biste pronašli njegovu determinantu, trebate samo pomnožiti rezultirajuće elemente glavne dijagonale. Dobijamo: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Dakle, rješenje je 160.

Dakle, sada vas pitanje svođenja matrice na trokutasti oblik neće mučiti.

Svođenje na stepenastu formu

Za elementarne operacije nad matricama, stepenasti oblik je manje „tražen“ od trokutastog. Najčešće se koristi za pronalaženje ranga matrice (tj. broj njenih redova koji nisu nula) ili za određivanje linearno zavisnih i nezavisnih redova. Međutim, stepenasti tip matrice je univerzalniji, jer je pogodan ne samo za kvadratni tip, već i za sve ostale.

Da biste matricu sveli na stepenasti oblik, prvo morate pronaći njenu determinantu. Gore navedene metode su pogodne za to. Svrha pronalaženja determinante je da se utvrdi da li se ona može pretvoriti u matricu koraka. Ako je determinanta veća ili manja od nule, onda možete sigurno nastaviti sa zadatkom. Ako je jednak nuli, neće biti moguće svesti matricu na stepenasti oblik. U tom slučaju morate provjeriti da li ima grešaka u zapisu ili u transformacijama matrice. Ako nema takvih netačnosti, zadatak se ne može riješiti.

Pogledajmo kako svesti matricu na postupni oblik koristeći primjere nekoliko zadataka.

Vježba 1. Odrediti rang date matrice.

Pred nama je kvadratna matrica trećeg reda (3x3). Znamo da je za pronalaženje ranga potrebno ga svesti na stepenasti oblik. Stoga, prvo moramo pronaći determinantu matrice. Koristimo metodu trougla: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinanta = 12. Veća je od nule, što znači da se matrica može svesti na stepenasti oblik. Počnimo da ga transformišemo.

Počnimo sa elementom lijevog stupca trećeg reda - brojem 2. Pomnožite gornji red sa dva i oduzmite ga od trećeg. Zahvaljujući ovoj operaciji, i element koji nam je potreban i broj 4 - element drugog stupca trećeg reda - okrenuli su se na nulu.

Vidimo da je kao rezultat redukcije nastala trokutasta matrica. U našem slučaju ne možemo nastaviti transformaciju, jer se preostale komponente ne mogu svesti na nulu.

To znači da zaključujemo da je broj redova koji sadrže numeričke vrijednosti u ovoj matrici (ili njenom rangu) 3. Odgovor na zadatak: 3.

Zadatak 2. Odrediti broj linearno nezavisnih redova ove matrice.

Moramo pronaći nizove koji se ne mogu pretvoriti u nulu nijednom transformacijom. U stvari, moramo pronaći broj redova koji nisu nula, odnosno rang prikazane matrice. Da bismo to učinili, pojednostavimo ga.

Vidimo matricu koja ne pripada tipu kvadrata. Dimenzije su 3x4. Započnimo i smanjenje elementom donjeg lijevog ugla - brojem (-1).

Njegove dalje transformacije su nemoguće. To znači da zaključujemo da je broj linearno nezavisnih linija u njemu i odgovor na zadatak 3.

Sada svođenje matrice na stepenasti oblik za vas nije nemoguć zadatak.

Koristeći primjere ovih zadataka, ispitali smo redukciju matrice na trokutasti oblik i stepenasti oblik. Da biste željene vrijednosti matričnih tablica pretvorili na nulu, u nekim slučajevima trebate upotrijebiti svoju maštu i ispravno pretvoriti njihove stupce ili redove. Sretno u matematici i radu sa matricama!

Koncept/definicija matrice. Vrste matrica

Definicija matrice. Matrica je pravokutna tablica brojeva koja sadrži određeni broj m redaka i određeni broj n stupaca.

Osnovni koncepti matrice: Brojevi m i n nazivaju se redovima matrice. Ako je m=n, matrica se poziva kvadrat, a broj m=n je njegov red.

U daljem tekstu, notacija će se koristiti za pisanje matrice: Iako se ponekad notacija nalazi u literaturi: Međutim, da bi se ukratko označila matrica, često se koristi jedno veliko slovo latinice (na primjer, A), ili simbol ||aij||, a ponekad i s objašnjenjem: A=||aij||=(aij ) (i=1, 2,…,m; j=1,2,…n)

Brojevi aij uključeni u ovu matricu nazivaju se njenim elementima. U unosu aij, prvi indeks i je broj reda, a drugi indeks j je broj kolone.

Na primjer, matrica ovo je matrica reda 2×3, njeni elementi su a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, ...

Dakle, uveli smo definiciju matrice. Razmotrimo vrste matrica i damo odgovarajuće definicije.

Vrste matrica

Hajde da uvedemo koncept matrice: kvadrat, dijagonala, jedinica i nula.

Definicija kvadratne matrice: Kvadratna matrica Matrica n-tog reda naziva se matrica n×n.

U slučaju kvadratne matrice Uvodi se koncept glavne i sekundarne dijagonale. Glavna dijagonala matrice naziva se dijagonala koja ide od gornjeg lijevog ugla matrice do njenog donjeg desnog ugla. Bočna dijagonala iste matrice naziva se dijagonala koja ide od donjeg lijevog ugla do gornjeg desnog ugla. Koncept dijagonalne matrice: Dijagonala je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli. Koncept matrice identiteta: Single(označeno E ponekad I) naziva se dijagonalna matrica sa jedinicama na glavnoj dijagonali. Koncept nulte matrice: Null je matrica čiji su svi elementi nula. Za dvije matrice A i B kažemo da su jednake (A=B) ako su iste veličine (odnosno, imaju isti broj redova i isti broj stupaca i njihovi odgovarajući elementi su jednaki). Sta ako onda A=B, ako je a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22

Ovaj materijal je preuzet sa stranice highmath.ru

SAVEZNA DRŽAVNA BUDŽETSKA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG OBRAZOVANJA

"DRŽAVNI POLJOPRIVREDNI UNIVERZITET ORENBURG"

odjel" Računarstvo i Primijenjena matematika»

METODOLOŠKA UPUTSTVA ZA STUDENTE

O SAVLAĐIVANJU DISCIPLINE

Matematika

Smjer obuke (specijalnost): 040400Socijalni rad (dodiplomski nivo)

Obrazovni programski profil Socijalni rad

Forma studija: dopisivanje

Orenburg 2016

1. Bilješke s predavanja……………………………………………………...

1.1 Predavanje br……………………....................................

1.2 Predavanje br. 2…………………………………….

1.3 Predavanje br. 3………………………………………

1.4 Predavanje br. 4………………………………………………….

1.5 Predavanje br. 5……………………

1.6 Predavanje br. 6………………………………………..

1.7 Predavanje br. 7 ……………………………………………………………………..….

1.8 Predavanje br. 8.……………………...…………………………….

Predavanje br. 9

2. Smjernice za praktičnu obuku………

2.1 Praktična nastava br. PZ -1………………….

2.2 Praktična nastava br. PZ -2 ……………………

2.3 Praktična nastava br. PZ -3……………………...

2.4 Praktična nastava br. PZ -4……………………...

2.5 Praktična nastava br. PZ -5……………………..

2.6 Praktična nastava br. PZ -6 ………………………………………………….

2.7 Praktična nastava br. PZ -7…………………………………………………….

2.8 Praktična nastava br. PZ -8…………………………………………………...

2.9 Praktična nastava br. PZ -9……………………………………………………...

2.10 Praktična nastava br. PZ -10…………………..

2.11 Praktična nastava br. PZ -11……………………..

2.12 Praktična nastava br. PZ -12………………………………………………..

2.13 Praktična nastava br. PZ -13………………………………………………….

2.14 Praktična nastava br. PZ -14-15………………………………………………

2.15 Praktična nastava br. PZ - 16………………

2.16 Praktična nastava br. PZ - 17………………

2.17 Praktična nastava br. PZ - 18 ………………

BILJEŠKE S PREDAVANJA

1.1 Predavanje 1(2 sata)

Predmet: Elementi teorije matrica i determinanti. Elementi linearne algebre. Elementi analitičke geometrije

1.1.1 Pitanja za predavanje:

1. Matrice, njihova klasifikacija, aritmetičke operacije nad matricama.

2. Determinante 2. i 3. reda, metode računanja.

3. Sistemi linearnih jednačina, metode rješenja.

4. Jednačina prave linije na ravni, metode definisanja prave linije na ravni.

1.1.2. Sažetak pitanja:

Matrice, njihova klasifikacija, aritmetičke operacije nad matricama.

Matrix je tabela koja se sastoji od n redova i m kolona. Elementi matrice mogu biti brojevi ili drugi matematički objekti.

A= B= C=

Pravougaoni sto koji sadrži T linije P pozivaju se kolone realnih brojeva numerička matrica.

I m ´ n =
.

Brojevi a ij koji čine matricu nazivaju se njenim elementi, gdje je i=1,2,…m broj reda, j=1,2,…n broj kolone.

Matrice se označavaju velikim slovima latinice A, B, C..., elementi malim slovima.

Ako je broj redova i stupaca jedne matrice jednak broju redova i stupaca druge matrice, onda se oni nazivaju jednodimenzionalne matrice.

Poziva se matrica čiji je broj redova jednak broju kolona kvadratna matrica. Kvadratna matrica veličine n´n naziva se matrica n-ti red.

A 2 ´ 2 = - kvadratna matrica 2. reda

a 11 i a 22 elementa glavne dijagonale

a 12, a 21 elemenata sekundarne dijagonale

A 3 ´ 3 = kvadratna matrica 3. reda

a 11, a 22 i 33 su elementi glavne dijagonale

a 13, a 22, a 31 elementa sekundarne dijagonale

Zove se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi iznad (ispod) glavne dijagonale jednaki nuli trouglasta matrica.

Poziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi osim onih na glavnoj dijagonali jednaki nuli dijagonalna matrica.

Poziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi različiti od nule elementi jednaki skalarna matrica.

Poziva se dijagonalna matrica čiji su elementi različiti od nule 1 jedinična matrica.

E= Matrica identiteta 3. reda

Poziva se matrica čiji su svi elementi nula nulta matrica (0).

A= ; B=

Matrica veličine 1´1, koja se sastoji od jednog broja, identificira se sa ovim brojem, tj. (5) 1 ´ 1 je 5.

Jednodimenzionalne matrice jednake jedna drugoj, ako su svi odgovarajući elementi ovih matrica jednaki.

Kvadratna matrica A -1 se zove obrnuto u odnosu na matricu A. ako i samo ako je A*A -1 =A -1 *A=E

U ovoj temi ćemo razmotriti koncept matrice, kao i vrste matrica. Pošto u ovoj temi ima dosta pojmova, dodaću sažetak radi lakšeg snalaženja u materijalu.

Definicija matrice i njenog elementa. Notacija.

Matrix je tabela od $m$ redova i $n$ kolona. Elementi matrice mogu biti objekti potpuno različite prirode: brojevi, varijable ili, na primjer, druge matrice. Na primjer, matrica $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ sadrži 3 reda i 2 stupca; njegovi elementi su cijeli brojevi. Matrica $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ sadrži 2 reda i 4 kolone.

Različiti načini pisanja matrica: prikaži\sakrij

Matrica se može pisati ne samo u okruglim, već iu kvadratnim ili dvostrukim ravnim zagradama. Ispod je ista matrica u različitim oblicima notacije:

$$ \left(\begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(niz) \right]; \;\; \left \Vert \begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(niz) \right \Vert $$

Poziva se proizvod $m\puta n$ veličina matrice. Na primjer, ako matrica sadrži 5 redaka i 3 stupca, onda govorimo o matrici veličine $5\puta 3$. Matrica $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ ima veličinu $3 \puta 2$.

Tipično, matrice se označavaju velikim slovima latinice: $A$, $B$, $C$ i tako dalje. Na primjer, $B=\left(\begin(niz) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Numeracija redova ide od vrha do dna; kolone - s lijeva na desno. Na primjer, prvi red matrice $B$ sadrži elemente 5 i 3, a drugi stupac sadrži elemente 3, -87, 0.

Elementi matrica se obično označavaju malim slovima. Na primjer, elementi matrice $A$ su označeni sa $a_(ij)$. Dvostruki indeks $ij$ sadrži informacije o poziciji elementa u matrici. Broj $i$ je broj reda, a broj $j$ je broj kolone, na čijem se presjeku nalazi element $a_(ij)$. Na primjer, na presjeku drugog reda i pete kolone matrice $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $a_(25)= $59:

Na isti način, na presjeku prvog reda i prve kolone imamo element $a_(11)=51$; na preseku trećeg reda i druge kolone - element $a_(32)=-15$ i tako dalje. Imajte na umu da unos $a_(32)$ glasi “tri dva”, ali ne i “trideset dva”.

Za skraćenje matrice $A$, čija je veličina $m\puta n$, koristi se notacija $A_(m\times n)$. Često se koristi sljedeća notacija:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

Ovdje $(a_(ij))$ označava oznaku elemenata matrice $A$, tj. kaže da su elementi matrice $A$ označeni kao $a_(ij)$. U proširenom obliku, matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ može se napisati na sljedeći način:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Hajde da uvedemo još jedan termin - jednake matrice.

Dvije matrice iste veličine $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se nazivaju jednaka, ako su im odgovarajući elementi jednaki, tj. $a_(ij)=b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.

Objašnjenje za unos $i=\overline(1,m)$: show\hide

Oznaka "$i=\overline(1,m)$" znači da parametar $i$ varira od 1 do m. Na primjer, notacija $i=\overline(1,5)$ označava da parametar $i$ uzima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5.

Dakle, da bi matrice bile jednake, moraju biti ispunjena dva uslova: podudarnost veličina i jednakost odgovarajućih elemenata. Na primjer, matrica $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ nije jednaka matrici $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ jer matrica $A$ ima veličinu $3\put 2$ i matrica $B$ ima veličinu $2\ puta $2. Takođe, matrica $A$ nije jednaka matrici $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ , budući da $a_( 21)\neq c_(21)$ (tj. $0\neq 98$). Ali za matricu $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ možemo sigurno napisati $A= F$ jer se i veličine i odgovarajući elementi matrica $A$ i $F$ poklapaju.

Primjer br. 1

Odredite veličinu matrice $A=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(niz) \desno)$. Navedite čemu su jednaki elementi $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Ova matrica sadrži 5 redaka i 3 kolone, tako da je njena veličina $5\put 3$. Također možete koristiti notaciju $A_(5\times 3)$ za ovu matricu.

Element $a_(12)$ je na raskrsnici prvog reda i druge kolone, tako da je $a_(12)=-2$. Element $a_(33)$ je na raskrsnici trećeg reda i treće kolone, tako da je $a_(33)=23$. Element $a_(43)$ je na raskrsnici četvrtog reda i treće kolone, tako da je $a_(43)=-5$.

Odgovori: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Vrste matrica ovisno o njihovoj veličini. Glavna i sekundarna dijagonala. Matrični trag.

Neka je data određena matrica $A_(m\times n)$. Ako je $m=1$ (matrica se sastoji od jednog reda), tada se data matrica naziva matrica-red. Ako je $n=1$ (matrica se sastoji od jednog stupca), onda se takva matrica naziva matrica-kolona. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ je matrica reda, a $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ je matrica stupaca.

Ako matrica $A_(m\times n)$ zadovoljava uslov $m\neq n$ (tj. broj redova nije jednak broju kolona), onda se često kaže da je $A$ pravougaona matrica. Na primjer, matrica $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ima veličinu $2\puta 4 $, one. sadrži 2 reda i 4 kolone. Pošto broj redova nije jednak broju kolona, ova matrica je pravokutna.

Ako matrica $A_(m\times n)$ zadovoljava uslov $m=n$ (tj., broj redova je jednak broju stupaca), onda se za $A$ kaže da je kvadratna matrica reda $ n$. Na primjer, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ je kvadratna matrica drugog reda; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ je kvadratna matrica trećeg reda. Općenito, kvadratna matrica $A_(n\puta n)$ može se napisati na sljedeći način:

$$ A_(n\puta n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Za elemente $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ se kaže da su na glavna dijagonala matrice $A_(n\puta n)$. Ovi elementi se nazivaju glavni dijagonalni elementi(ili samo dijagonalni elementi). Elementi $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ su na bočna (sporedna) dijagonala; oni se nazivaju bočnih dijagonalnih elemenata. Na primjer, za matricu $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( niz) \desno)$ imamo:

Elementi $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ su glavni dijagonalni elementi; elementi $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ su bočni dijagonalni elementi.

Zove se zbir glavnih dijagonalnih elemenata nakon čega slijedi matrica i označava se sa $\Tr A$ (ili $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Na primjer, za matricu $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ imamo:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Koncept dijagonalnih elemenata se također koristi za nekvadratne matrice. Na primjer, za matricu $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ glavni dijagonalni elementi će biti $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Vrste matrica ovisno o vrijednostima njihovih elemenata.

Ako su svi elementi matrice $A_(m\times n)$ jednaki nuli, tada se takva matrica naziva null i obično se označava slovom $O$. Na primjer, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(niz) \desno)$ - nula matrice.

Razmotrimo neki red matrice $A$ koji nije nula, tj. niz koji sadrži najmanje jedan element osim nule. Vodeći element niza koji nije nula nazivamo njegov prvi (brojeći s lijeva na desno) element koji nije nula. Na primjer, razmotrite sljedeću matricu:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $

U drugom redu vodeći element će biti četvrti element, tj. $w_(24)=12$, a u trećem redu vodeći element će biti drugi element, tj. $w_(32)=-9$.

Matrica $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ se naziva stupio, ako ispunjava dva uslova:

Null redovi, ako postoje, nalaze se ispod svih redova koji nisu nuli.
Brojevi vodećih elemenata redova koji nisu nula čine striktno rastući niz, tj. ako su $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ vodeći elementi ne-nultih redova matrice $A$, tada je $k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt( k_r)$.

Primjeri matrica koraka:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \levo(\begin(niz)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(niz)\desno). $$

Za poređenje: matrica $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ nije matrica koraka, jer je prekršen drugi uslov u definiciji matrice koraka. Vodeći elementi u drugom i trećem redu $q_(24)=7$ i $q_(32)=10$ imaju brojeve $k_2=4$ i $k_3=2$. Za matricu koraka mora biti zadovoljen uslov $k_2\lt(k_3)$, koji je u ovom slučaju prekršen. Dozvolite mi da primijetim da ako zamijenimo drugi i treći red, dobijamo matricu postupno: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(array)\right)$.

Koračna matrica se zove trapezoidno ili trapezoidno, ako vodeći elementi $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ zadovoljavaju uslove $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, tj. vodeći su dijagonalni elementi. Općenito, trapezoidna matrica se može napisati na sljedeći način:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(niz)\desno) $$

Primjeri trapeznih matrica:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \levo(\begin(niz)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(niz)\desno). $$

Dajemo još nekoliko definicija za kvadratne matrice. Ako su svi elementi kvadratne matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki nuli, tada se takva matrica naziva gornja trokutasta matrica. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ je gornja trouglasta matrica. Imajte na umu da definicija gornje trokutaste matrice ne govori ništa o vrijednostima elemenata koji se nalaze iznad glavne dijagonale ili na glavnoj dijagonali. Mogu biti nula ili ne - nije bitno. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ je također gornja trokutna matrica.

Ako su svi elementi kvadratne matrice koji se nalaze iznad glavne dijagonale jednaki nuli, tada se takva matrica naziva donja trokutasta matrica. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - donja trokutasta matrica. Imajte na umu da definicija donje trokutaste matrice ne govori ništa o vrijednostima elemenata koji se nalaze ispod ili na glavnoj dijagonali. Mogu biti nula ili ne - nije bitno. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ i $\left(\ begin (niz) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ su također niže trokutaste matrice.

Kvadratna matrica se zove dijagonala, ako su svi elementi ove matrice koji ne leže na glavnoj dijagonali jednaki nuli. Primjer: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ kraj(niz)\desno)$. Elementi na glavnoj dijagonali mogu biti bilo koji (jednaki nuli ili ne) - nije važno.

Dijagonalna matrica se zove single, ako su svi elementi ove matrice koji se nalaze na glavnoj dijagonali jednaki 1. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matrica identiteta četvrtog reda; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ je matrica identiteta drugog reda.

Imajte na umu da elementi matrice ne mogu biti samo brojevi. Zamislimo da opisujete knjige koje se nalaze na vašoj polici. Neka vaša polica bude uredna i sve knjige na strogo određenim mjestima. Tabela, koja će sadržavati opis vaše biblioteke (po policama i redoslijedu knjiga na polici), također će biti matrica. Ali takva matrica neće biti numerička. Još jedan primjer. Umjesto brojeva postoje različite funkcije, ujedinjene nekom ovisnošću. Rezultirajuća tabela će se takođe zvati matrica. Drugim riječima, matrica je bilo koji pravokutni sto sastavljen od homogena elementi. Ovdje i dalje ćemo govoriti o matricama sastavljenim od brojeva.

Umjesto zagrada, uglaste zagrade ili ravne dvostruke okomite linije koriste se za pisanje matrica

(2.1*)

Definicija 2. Ako u izrazu(1) m = n, onda pričaju o tome kvadratna matrica, i ako , onda oh pravougaona.

Ovisno o vrijednostima m i n, razlikuju se neke posebne vrste matrica:

Najvažnija karakteristika kvadrat matrica je ona odrednica ili odrednica, koji se sastoji od matričnih elemenata i označava se

Očigledno, D E =1; .

Definicija 3. Ako , zatim matrica A pozvao nedegenerisan ili nije posebno.

Definicija 4. Ako detA = 0 , zatim matrica A pozvao degenerisati ili poseban.

Definicija 5. Dvije matrice A I B su pozvani jednaka i pisati A = B ako su iste dimenzije i njihovi odgovarajući elementi su jednaki, tj..

Na primjer, matrice i su jednake, jer jednake su veličine i svaki element jedne matrice jednak je odgovarajućem elementu druge matrice. Ali matrice se ne mogu nazvati jednakim, iako su determinante obje matrice jednake, a veličine matrica iste, ali nisu svi elementi koji se nalaze na istim mjestima jednaki. Matrice su različite jer imaju različite veličine. Prva matrica je veličine 2x3, a druga 3x2. Iako je broj elemenata isti - 6 i sami elementi su isti 1, 2, 3, 4, 5, 6, ali se nalaze na različitim mjestima u svakoj matrici. Ali matrice su jednake, prema definiciji 5.

Definicija 6. Ako popravite određeni broj stupaca matrice A i isti broj redova, tada elementi na preseku naznačenih kolona i redova formiraju kvadratnu matricu n- reda, čija je odrednica pozvao minor k – matrica th reda A.

Primjer. Zapišite tri minora drugog reda matrice