Metoda varijacije proizvoljnih konstanti. Primjeri rješenja Varijacija konstanti
Predavanje 44. Linearne nehomogene jednadžbe drugog reda. Metoda varijacije proizvoljnih konstanti. Linearne nehomogene jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima. (posebna desna strana).
Društvene transformacije. Država i crkva.
Socijalna politika Boljševici su uglavnom bili diktirani klasnim pristupom. Dekretom od 10. novembra 1917. uništen je staleški sistem, ukinuti su predrevolucionarni činovi, titule i nagrade. Ustanovljen je izbor sudija; izvršena je sekularizacija građanskih država. Ustanovljeno je besplatno školovanje i zdravstvena zaštita (ukaz od 31. oktobra 1918.). Žene su dobile jednaka prava sa muškarcima (dekreti od 16. i 18. decembra 1917.). Uredbom o braku uvedena je institucija građanskog braka.
Dekretom Veća narodnih komesara od 20. januara 1918. crkva je odvojena od države i od obrazovnog sistema. Većina crkvene imovine je oduzeta. Patrijarh moskovski i sve Rusije Tihon (izabran 5. novembra 1917.) anatemisan 19. januara 1918. Sovjetska vlast i pozvao na borbu protiv boljševika.
Razmotrimo linearnu nehomogenu jednačinu drugog reda
Struktura općeg rješenja takve jednačine određena je sljedećom teoremom:
Teorema 1. Zajednička odluka nehomogena jednačina(1) je predstavljen kao zbir nekog posebnog rješenja ove jednačine i općeg rješenja odgovarajuće homogene jednačine
Dokaz. Potrebno je dokazati da je iznos
Tu je zajednička odluka jednačina (1). Dokažimo prvo da je funkcija (3) rješenje jednadžbe (1).
Zamjena sume u jednačinu (1) umjesto at, imaće
Pošto postoji rješenje jednadžbe (2), izraz u prvim zagradama identično je jednak nuli. Pošto postoji rješenje jednačine (1), izraz u drugoj zagradi je jednak f(x). Dakle, jednakost (4) je identitet. Dakle, prvi dio teoreme je dokazan.
Dokažimo drugu tvrdnju: izraz (3) je general rješenje jednačine (1). Moramo dokazati da proizvoljne konstante uključene u ovaj izraz mogu biti odabrane tako da su početni uvjeti zadovoljeni:
kakve god da su brojke x 0 , y 0 i (ako samo x 0 preuzeta je iz područja gdje se obavljaju funkcije a 1, a 2 I f(x) kontinuirano).
Primjećujući da se može predstaviti u obliku . Tada ćemo, na osnovu uslova (5), imati
Hajde da riješimo ovaj sistem i odredimo C 1 I C 2. Prepišimo sistem u obliku:
Imajte na umu da je determinanta ovog sistema determinanta Wronskog za funkcije u 1 I u 2 u tački x=x 0. Pošto su ove funkcije linearno nezavisne po uslovu, determinanta Wronskog nije jednaka nuli; stoga sistem (6) ima definitivno rješenje C 1 I C 2, tj. postoje takva značenja C 1 I C 2, po kojoj formula (3) određuje rješenje jednačine (1) koje zadovoljava date početne uslove. Q.E.D.
Pređimo na opću metodu pronalaženja parcijalnih rješenja nehomogene jednačine.
Napišimo opšte rješenje homogene jednadžbe (2)
Potražićemo posebno rješenje nehomogene jednadžbe (1) u obliku (7), s obzirom na C 1 I C 2 poput nekih još nepoznatih funkcija iz X.
Razlikujemo jednakost (7):
Odaberimo funkcije koje tražite C 1 I C 2 tako da vrijedi jednakost
Ako uzmemo u obzir ovaj dodatni uvjet, tada će prvi izvod poprimiti oblik
Razlikujući sada ovaj izraz, nalazimo:
Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo
Izrazi u prva dva zagrada postaju nula, pošto y 1 I y 2– rješenja homogene jednačine. Stoga posljednja jednakost poprima oblik
Dakle, funkcija (7) će biti rješenje nehomogene jednadžbe (1) ako su funkcije C 1 I C 2 zadovoljavaju jednačine (8) i (9). Napravimo sistem jednačina iz jednačina (8) i (9).
Budući da je determinanta ovog sistema determinanta Wronskog za linearno nezavisna rješenja y 1 I y 2 jednačina (2), onda nije jednako nuli. Dakle, rješavajući sistem, naći ćemo obje određene funkcije od X:
Rješavajući ovaj sistem, nalazimo , odakle, kao rezultat integracije, dobijamo . Zatim, zamjenjujemo pronađene funkcije u formulu, dobivamo opće rješenje nehomogene jednadžbe, gdje su proizvoljne konstante.
Metoda varijacije proizvoljnih konstanti se koristi za rješavanje nehomogenih diferencijalnih jednadžbi. Ova lekcija je namijenjena onim učenicima koji su već manje-više upućeni u temu. Ako tek počinjete da se upoznajete sa daljinskim upravljanjem, tj. Ako ste čajnik, preporučujem da počnete s prvom lekcijom: Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja. A ako već završavate, odbacite moguće predrasude da je metoda teška. Jer je jednostavno.
U kojim slučajevima se koristi metoda varijacije proizvoljnih konstanti?
1) Za rješavanje se može koristiti metoda varijacije proizvoljne konstante linearni nehomogeni DE 1. reda. Pošto je jednačina prvog reda, onda je i konstanta jedna.
2) Za rješavanje nekih koristi se metoda varijacije proizvoljnih konstanti linearne nehomogene jednadžbe drugog reda. Ovdje se razlikuju dvije konstante.
Logično je pretpostaviti da će se lekcija sastojati od dva pasusa... Tako sam napisao ovu rečenicu, i nekih 10 minuta sam bolno razmišljao o tome koje bih još pametne gluposti mogao dodati za lagani prijelaz na praktične primjere. Ali iz nekog razloga nemam nikakvih misli nakon praznika, iako izgleda da nisam ništa zloupotrijebio. Stoga, idemo direktno na prvi pasus.
Metoda varijacije proizvoljne konstante
za linearnu nehomogenu jednačinu prvog reda
Prije razmatranja metode varijacije proizvoljne konstante, preporučljivo je upoznati se sa člankom Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda. Na toj lekciji smo vežbali prvo rešenje nehomogena DE 1. reda. Ovo prvo rješenje, podsjećam, zove se metoda zamjene ili Bernulijeva metoda(ne treba se brkati sa Bernulijeva jednačina!!!)
Sada ćemo pogledati drugo rešenje– metoda varijacije proizvoljne konstante. Navest ću samo tri primjera, a uzeću ih iz gore navedene lekcije. Zašto tako malo? Jer u stvari, rješenje na drugi način će biti vrlo slično rješenju na prvi način. Osim toga, prema mojim zapažanjima, metoda varijacije proizvoljnih konstanti se koristi rjeđe od metode zamjene.
Primjer 1
(Diffur iz primjera br. 2 lekcije Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda)
Rješenje: Ova jednadžba je linearno nehomogena i ima poznati oblik: 
U prvoj fazi potrebno je riješiti jednostavniju jednačinu: 
Odnosno, glupo resetujemo desnu stranu i umjesto toga upisujemo nulu.
Jednačina Ja ću nazvati pomoćna jednačina.
U ovom primjeru morate riješiti sljedeću pomoćnu jednačinu:
Pred nama odvojiva jednačina, čije vam rješenje (nadam se) više nije teško: 
ovako: 
– opšte rješenje pomoćne jednačine.
Na drugom koraku mi ćemo zameniti neka konstanta za sada nepoznata funkcija koja ovisi o "x":
Otuda i naziv metode - variramo konstantu. Alternativno, konstanta bi mogla biti neka funkcija koju sada moramo pronaći.
IN original nehomogena jednačina napravimo zamjenu:
Zamenimo i 
u jednačinu :
Kontrolna tačka – dva termina na lijevoj strani se poništavaju. Ako se to ne dogodi, trebali biste potražiti gornju grešku.
Kao rezultat zamjene, dobijena je jednadžba sa odvojivim varijablama. Odvajamo varijable i integrišemo.
Kakav blagoslov, eksponenti takođe otkazuju:
Pronađenoj funkciji dodajemo "normalnu" konstantu:
U završnoj fazi, prisjećamo se naše zamjene:
Funkcija je upravo pronađena!
Dakle, generalno rješenje je: 
odgovor: zajednicka odluka: 
Ako odštampate dva rješenja, lako ćete primijetiti da smo u oba slučaja pronašli iste integrale. Jedina razlika je u algoritmu rješenja.
Sada za nešto komplikovanije, komentirat ću i drugi primjer:
Primjer 2
Pronađite opšte rešenje diferencijalna jednadžba 
(Diffur iz primjera br. 8 lekcije Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda)
Rješenje: Svedujmo jednačinu na oblik :
Resetujmo desnu stranu i riješimo pomoćnu jednačinu:
Opće rješenje pomoćne jednadžbe:
U nehomogenoj jednadžbi vršimo zamjenu:
Prema pravilu diferencijacije proizvoda: 
Zamenimo i u originalnu nehomogenu jednačinu:
Dva termina na lijevoj strani se poništavaju, što znači da smo na pravom putu: 
Integrirajmo po dijelovima. Ukusno slovo iz formule integracije po dijelovima već je uključeno u rješenje, pa koristimo, na primjer, slova “a” i “be”:
Sada se prisjetimo zamjene:
odgovor: zajednicka odluka:
I jedan primjer za nezavisna odluka:
Primjer 3
Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje odgovara datom početnom uvjetu.
,
(Diffur iz primjera br. 4 lekcije Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda)
Rješenje:
Ovaj DE je linearno nehomogen. Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti. Rešimo pomoćnu jednačinu:
Odvajamo varijable i integrišemo: 
Zajednička odluka: 
U nehomogenoj jednadžbi vršimo zamjenu: 
Izvršimo zamjenu: 
Dakle, generalno rješenje je: 
Nađimo određeno rješenje koje odgovara datom početnom uvjetu: 
odgovor: privatno rješenje:
Rješenje na kraju lekcije može poslužiti kao primjer za završetak zadatka.
Metoda varijacije proizvoljnih konstanti
za linearnu nehomogenu jednačinu drugog reda
sa konstantnim koeficijentima
Često sam čuo mišljenje da metoda variranja proizvoljnih konstanti za jednačinu drugog reda nije laka stvar. Ali pretpostavljam sljedeće: najvjerovatnije, metoda se mnogima čini teškom jer se ne pojavljuje tako često. Ali u stvarnosti nema posebnih poteškoća - tok odluke je jasan, transparentan i razumljiv. I predivno.
Za ovladavanje metodom, poželjno je biti u stanju riješiti nehomogene jednadžbe drugog reda odabirom određenog rješenja na osnovu oblika desne strane. Ova metoda je detaljno razmotrena u članku. Nehomogeni DE 2. reda. Podsjećamo da linearna nehomogena jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima ima oblik:
Metoda odabira, o kojoj je bilo riječi u gornjoj lekciji, radi samo u ograničenom broju slučajeva kada desna strana sadrži polinome, eksponencijale, sinuse i kosinuse. Ali šta učiniti kada je na desnoj strani, na primjer, razlomak, logaritam, tangenta? U takvoj situaciji u pomoć dolazi metoda varijacije konstanti.
Primjer 4
Pronađite opšte rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda 
Rješenje: Na desnoj strani ove jednadžbe nalazi se razlomak, tako da odmah možemo reći da metoda odabira određenog rješenja ne funkcionira. Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti.
Nema znakova grmljavine, početak rješenja je sasvim običan:
Naći ćemo zajednička odluka prikladno homogena jednadžbe: 
Sastavimo i riješimo karakterističnu jednačinu: 
– dobiju se konjugirani kompleksni korijeni, pa je opće rješenje:
Obratite pažnju na zapis općeg rješenja - ako postoje zagrade, onda ih otvorite.
Sada radimo gotovo isti trik kao i za jednadžbu prvog reda: mijenjamo konstante, zamjenjujući ih nepoznatim funkcijama. To je, opšte rešenje nehomogenog tražićemo jednačine u obliku:
Gdje - za sada nepoznate funkcije.
Izgleda kao deponija kućnog otpada, ali sad ćemo sve srediti.
Nepoznate su derivati funkcija. Naš cilj je pronaći izvode, a pronađeni derivati moraju zadovoljiti i prvu i drugu jednačinu sistema.
Odakle dolaze “Grci”? Roda ih donosi. Gledamo ranije dobijeno opće rješenje i pišemo:
Nađimo derivate:
Lijevi dijelovi su obrađeni. Šta je na desnoj strani?
je desna strana originalne jednadžbe, in u ovom slučaju:
Koeficijent je koeficijent druge derivacije:
U praksi, gotovo uvijek, i naš primjer nije izuzetak.
Sve je jasno, sada možete kreirati sistem: 
Sistem je obično riješen prema Cramerovim formulama koristeći standardni algoritam. Jedina razlika je u tome što umjesto brojeva imamo funkcije.
Nađimo glavnu determinantu sistema: 
Ako ste zaboravili kako se otkriva determinanta dva po dva, pogledajte lekciju Kako izračunati determinantu? Link vodi do table srama =)
Dakle: to znači da sistem ima jedinstveno rješenje.
Pronalaženje derivata: 
Ali to nije sve, do sada smo pronašli samo derivat.
Sama funkcija se vraća integracijom:
Pogledajmo drugu funkciju: 
Ovdje dodajemo "normalnu" konstantu
U završnoj fazi rješenja, sjećamo se u kojem obliku smo tražili opšte rješenje nehomogene jednačine? U takvim:
Funkcije koje su vam potrebne upravo su pronađene! 
Ostaje samo izvršiti zamjenu i zapisati odgovor:
odgovor: zajednicka odluka:
U principu, odgovor je mogao proširiti zagrade.
Potpuna provjera odgovora provodi se prema standardnoj šemi, o kojoj je bilo riječi u lekciji. Nehomogeni DE 2. reda. Ali provjera neće biti laka, jer je potrebno pronaći prilično teške derivate i izvršiti glomaznu zamjenu. Ovo je neugodna karakteristika kada rješavate takve difuzore.
Primjer 5
Riješite diferencijalnu jednadžbu mijenjajući proizvoljne konstante
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. U stvari, na desnoj strani se nalazi i razlomak. Podsjetimo se trigonometrijska formula, usput, moraće da se primeni tokom rešenja.
Metoda varijacije proizvoljnih konstanti je najuniverzalnija metoda. Može riješiti bilo koju jednačinu koja se može riješiti način odabira određenog rješenja na osnovu forme desne strane. Postavlja se pitanje: zašto i tu ne koristiti metodu varijacije proizvoljnih konstanti? Odgovor je očigledan: odabir određenog rješenja, o čemu se razgovaralo na času Nehomogene jednadžbe drugog reda, značajno ubrzava rješenje i skraćuje snimanje - bez gužve sa determinantama i integralima.
Pogledajmo dva primjera sa Cauchy problem.
Primjer 6
Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje odgovara datim početnim uvjetima
, 
Rješenje: Opet su razlomak i eksponent na zanimljivom mjestu.
Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti.
Naći ćemo zajednička odluka prikladno homogena jednadžbe: 
– dobijaju se različiti pravi koreni, pa je opšte rešenje:
Opće rješenje nehomogenih tražimo jednačine u obliku: , gdje – za sada nepoznate funkcije.
Kreirajmo sistem:
U ovom slučaju:
,
Pronalaženje derivata: 
, 
ovako: 
Rešimo sistem koristeći Cramerove formule:
, što znači da sistem ima jedinstveno rješenje.
Vraćamo funkciju integracijom:
Koristi se ovdje metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak.
Vraćamo drugu funkciju integracijom: 
Ovaj integral je riješen varijabilna metoda zamjene:
Iz same zamjene izražavamo:
ovako: 
Ovaj integral se može naći metoda potpune kvadratne ekstrakcije, ali u primjerima s difuzorima radije širim frakciju metoda neodređenih koeficijenata:
Pronađene obje funkcije:
Kao rezultat, opšte rješenje nehomogene jednadžbe je:
Nađimo određeno rješenje koje zadovoljava početne uslove .
Tehnički, potraga za rješenjem se odvija na standardni način, o čemu je bilo riječi u članku Nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda.
Čekaj, sada ćemo pronaći izvod pronađenog opšteg rješenja:
Ovo je takva sramota. Nije potrebno pojednostavljivati, lakše je odmah kreirati sistem jednačina. Prema početnim uslovima :
Zamijenimo pronađene vrijednosti konstanti 
na opšte rešenje:
U odgovoru, logaritmi se mogu malo spakovati.
odgovor: privatno rješenje: 
Kao što vidite, poteškoće mogu nastati u integralima i derivatima, ali ne iu samom algoritmu metode varijacije proizvoljnih konstanti. Nisam vas ja zastrašio, sve je to kolekcija Kuznjecova!
Za opuštanje, konačni, jednostavniji primjer da sami riješite:
Primjer 7
Riješite Cauchyjev problem
, 
Primjer je jednostavan, ali kreativan, kada kreirate sistem, pažljivo ga pogledajte prije nego što odlučite ;-),
Kao rezultat, generalno rješenje je:
Nađimo određeno rješenje koje odgovara početnim uvjetima .
Zamijenimo pronađene vrijednosti konstanti u opće rješenje:
odgovor: privatno rješenje:
Metoda varijacije proizvoljne konstante ili Lagrangeova metoda je još jedan način rješavanja linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda i Bernoullijeve jednadžbe.
Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda su jednadžbe oblika y’+p(x)y=q(x). Ako je na desnoj strani nula: y’+p(x)y=0, onda je ovo linearna homogena Jednačina 1. reda. Prema tome, jednadžba s desnom stranom različitom od nule, y’+p(x)y=q(x), je heterogena Linearna jednačina 1. reda.
Metoda varijacije proizvoljne konstante (Lagrangeova metoda) je kako slijedi:
1) Tražimo opšte rješenje homogene jednačine y’+p(x)y=0: y=y*.
2) U opštem rješenju, C nije konstanta, već funkcija od x: C = C (x). Pronalazimo derivaciju opšteg rješenja (y*)’ i zamjenjujemo rezultirajući izraz za y* i (y*)’ u početni uvjet. Iz rezultirajuće jednačine nalazimo funkciju C(x).
3) U opštem rešenju homogene jednačine, umesto C, zamenjujemo pronađeni izraz C(x).
Pogledajmo primjere metode mijenjanja proizvoljne konstante. Uzmimo iste zadatke kao u, uporedimo napredak rješenja i uvjerimo se da se dobijeni odgovori poklapaju.
1) y’=3x-y/x
Prepišimo jednačinu u standardnom obliku (za razliku od Bernoullijeve metode, gdje nam je oblik notacije bio potreban samo da bismo vidjeli da je jednadžba linearna).
y’+y/x=3x (I). Sada nastavljamo prema planu.
1) Riješite homogenu jednačinu y’+y/x=0. Ovo je jednadžba sa odvojivim varijablama. Zamislite y’=dy/dx, zamjena: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Obe strane jednačine množimo sa dx i delimo sa xy≠0: dy/y=-dx/x. Hajde da integrišemo:
2) U rezultirajućem opštem rješenju homogene jednadžbe, smatrat ćemo C ne konstantom, već funkcijom od x: C=C(x). Odavde
Dobivene izraze zamjenjujemo u uvjet (I):
Integrirajmo obje strane jednačine:
ovdje je C već neka nova konstanta.
3) U opštem rješenju homogene jednačine y=C/x, gdje smo pretpostavili C=C(x), odnosno y=C(x)/x, umjesto C(x) zamjenjujemo pronađeni izraz x³ +C: y=(x³ +C)/x ili y=x²+C/x. Dobili smo isti odgovor kao i kod rješavanja Bernulijevom metodom.
Odgovor: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Ovdje je jednačina već napisana u standardnom obliku, nema potrebe da je transformišete.
1) Riješite homogenu linearnu jednačinu y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Hajde da integrišemo:
Da bismo dobili prikladniji oblik notacije, uzimamo eksponent na stepen C kao novi C:
Ova transformacija je izvedena da bi bilo pogodnije pronaći izvod.
2) U rezultirajućem opštem rješenju linearne homogene jednadžbe, smatramo da C nije konstanta, već funkcija x: C=C(x). Pod ovim uslovom
Zamjenjujemo rezultirajuće izraze y i y' u uvjet:
Pomnožite obje strane jednačine sa
Integriramo obje strane jednačine koristeći formulu integracije po dijelovima, dobivamo:
Ovdje C više nije funkcija, već obična konstanta.
3) U opštem rešenju homogene jednačine
zamijeni pronađenu funkciju C(x):
Dobili smo isti odgovor kao i kod rješavanja Bernulijevom metodom.
Metoda varijacije proizvoljne konstante je također primjenjiva za rješavanje.
y'x+y=-xy².
Dovodimo jednačinu u standardni oblik: y’+y/x=-y² (II).
1) Riješite homogenu jednačinu y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Obe strane jednačine množimo sa dx i delimo sa y: dy/y=-dx/x. Sada da integrišemo:
Dobivene izraze zamjenjujemo u uslov (II):
Hajde da pojednostavimo:
Dobili smo jednadžbu sa odvojivim varijablama za C i x:
Ovdje je C već obična konstanta. Tokom procesa integracije pisali smo jednostavno C umjesto C(x), kako ne bismo preopteretili notaciju. I na kraju smo se vratili na C(x), da ne pobrkamo C(x) sa novim C.
3) U opštem rješenju homogene jednadžbe y=C(x)/x zamjenjujemo pronađenu funkciju C(x):
Dobili smo isti odgovor kao kada smo ga rješavali Bernulijevom metodom.
Primjeri samotestiranja:
1. Prepišimo jednačinu u standardnom obliku: y’-2y=x.
1) Riješite homogenu jednačinu y’-2y=0. y’=dy/dx, dakle dy/dx=2y, pomnožite obje strane jednadžbe sa dx, podijelite sa y i integrirajte:
Odavde nalazimo y:
Zamjenjujemo izraze za y i y’ u uvjet (radi kratkoće koristit ćemo C umjesto C(x) i C’ umjesto C"(x)):
Da bismo pronašli integral na desnoj strani, koristimo formulu integracije po dijelovima:
Sada zamjenjujemo u, du i v u formulu:
Ovdje C =konst.
3) Sada u rastvor stavljamo homogeno
Razmatrana je metoda rješavanja linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi višeg reda sa konstantnim koeficijentima metodom varijacije Lagrangeovih konstanti. Lagrangeova metoda je također primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednačine ako je poznat osnovni sistem rješenja homogene jednačine.
SadržajVidi također:
Lagrangeova metoda (varijacija konstanti)
Razmotrimo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu sa konstantnim koeficijentima proizvoljnog n-tog reda:
(1)
.
Metoda varijacije konstante, koju smo razmatrali za jednačinu prvog reda, primjenjiva je i za jednačine višeg reda.
Rješenje se izvodi u dvije faze. U prvom koraku odbacujemo desnu stranu i rješavamo homogenu jednačinu. Kao rezultat, dobijamo rješenje koje sadrži n proizvoljnih konstanti. U drugoj fazi mijenjamo konstante. To jest, vjerujemo da su ove konstante funkcije nezavisne varijable x i nalazimo oblik ovih funkcija.
Iako ovdje razmatramo jednadžbe sa konstantnim koeficijentima, ali Lagrangeova metoda je također primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednačine. Da bi se to postiglo, međutim, mora biti poznat osnovni sistem rješenja homogene jednačine.
Korak 1. Rješavanje homogene jednačine
Kao iu slučaju jednadžbi prvog reda, prvo tražimo opšte rješenje homogene jednačine, izjednačavajući desnu nehomogenu stranu sa nulom:
(2)
.
Opšte rješenje ove jednačine je:
(3)
.
Ovdje su proizvoljne konstante; - n linearno nezavisnih rješenja homogene jednačine (2), koja čine osnovni sistem rješenja ove jednačine.
Korak 2. Varijacija konstanti - zamjena konstanti funkcijama
U drugoj fazi bavićemo se varijacijom konstanti. Drugim riječima, zamijenit ćemo konstante funkcijama nezavisne varijable x:
.
Odnosno, tražimo rješenje izvorne jednadžbe (1) u sljedećem obliku:
(4)
.
Ako zamijenimo (4) u (1), dobićemo jednu diferencijalnu jednadžbu za n funkcija. U ovom slučaju ove funkcije možemo povezati dodatnim jednadžbama. Tada dobijete n jednadžbi iz kojih se može odrediti n funkcija. Dodatne jednačine se mogu napisati Različiti putevi. Ali to ćemo učiniti tako da rješenje ima najjednostavniji oblik. Da biste to učinili, kada diferencirate, trebate izjednačiti na nulu pojmove koji sadrže derivate funkcija. Hajde da to demonstriramo.
Za zamjenu predloženog rješenja (4) u originalnu jednačinu (1), potrebno je pronaći izvode prvih n redova funkcije zapisane u obliku (4). Diferenciramo (4) koristeći pravila diferencijacije zbira i proizvoda:
.
Hajde da grupišemo članove. Prvo zapisujemo pojmove s izvedenicama od , a zatim članove s derivatima od :
.
Nametnimo prvi uslov funkcijama:
(5.1)
.
Tada će izraz za prvi izvod u odnosu na imati jednostavniji oblik:
(6.1)
.
Koristeći istu metodu, nalazimo drugi izvod:
.
Hajde da nametnemo drugi uslov funkcijama:
(5.2)
.
Onda
(6.2)
.
I tako dalje. U dodatnim uslovima izjednačavamo članove koji sadrže derivate funkcija sa nulom.
Dakle, ako odaberemo sljedeće dodatne jednadžbe za funkcije:
(5.k) ,
tada će prvi derivati u odnosu na imati najjednostavniji oblik:
(6.k) .
Evo.
Pronađite n-tu izvodnicu:
(6.n)
.
Zamijenite u originalnu jednačinu (1):
(1)
;
.
Uzmimo u obzir da sve funkcije zadovoljavaju jednačinu (2):
.
Tada zbir članova koji sadrže nulu daje nulu. Kao rezultat dobijamo:
(7)
.
Kao rezultat, dobili smo sistem linearne jednačine za derivate:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .
Rješavajući ovaj sistem, nalazimo izraze za izvode kao funkciju x. Integracijom dobijamo:
.
Ovdje su konstante koje više ne zavise od x. Zamjenom u (4) dobijamo opće rješenje originalne jednačine.
Imajte na umu da za određivanje vrijednosti derivacija nikada nismo koristili činjenicu da su koeficijenti a i konstantni. Zbog toga Lagrangeova metoda je primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednadžbe, ako je poznat osnovni sistem rješenja homogene jednačine (2).
Primjeri
Jednačine rješavati metodom varijacije konstanti (Lagrange).
Rješenje primjera >> >
Rješavanje jednadžbi višeg reda primjenom Bernoullijeve metode
Rješavanje linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi višeg reda sa konstantnim koeficijentima linearnom zamjenom
Razmotrimo sada linearnu nehomogenu jednačinu
. (2)
Neka je y 1 ,y 2 ,.., y n osnovni sistem rješenja i neka je opšte rješenje odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0. Slično kao u slučaju jednadžbi prvog reda, tražit ćemo rješenje jednačine (2) u obliku
. (3)
Uvjerimo se da rješenje u ovom obliku postoji. Da bismo to učinili, zamjenjujemo funkciju u jednadžbu. Da bismo ovu funkciju zamijenili u jednačinu, nalazimo njene derivate. Prvi izvod je jednak 
. (4)
Prilikom izračunavanja drugog izvoda, četiri člana će se pojaviti na desnoj strani od (4), kada se računa treći izvod pojavit će se osam članova i tako dalje. Stoga je, radi pogodnosti daljih proračuna, prvi član u (4) postavljen jednak nuli. Uzimajući ovo u obzir, drugi izvod je jednak 
. (5)
Iz istih razloga kao i ranije, u (5) smo također postavili prvi član jednak nuli. Konačno, n-ti izvod je 
. (6)
Zamjenom dobivenih vrijednosti izvoda u originalnu jednačinu imamo 
. (7)
Drugi član u (7) jednak je nuli, jer su funkcije y j , j=1,2,..,n rješenja odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0. Kombinacijom sa prethodnim dobijamo sistem algebarskih jednadžbi za nalaženje funkcija C" j (x) 
(8)
Determinanta ovog sistema je determinanta Wronskog osnovnog sistema rješenja y 1 ,y 2 ,..,y n odgovarajuće homogene jednačine L(y)=0 i stoga nije jednaka nuli. Posljedično, postoji jedinstveno rješenje za sistem (8). Nakon što smo ga pronašli, dobijamo funkcije C" j (x), j=1,2,…,n, i, posljedično, C j (x), j=1,2,…,n Zamjenom ovih vrijednosti u (3), dobijamo rješenje linearne nehomogene jednačine.
Prikazana metoda se naziva metodom varijacije proizvoljne konstante ili Lagrangeovom metodom.
Primjer br. 1. Nađimo opšte rješenje jednačine y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Razmotrimo odgovarajuću homogenu jednačinu y"" + 4y" + 3y = 0. Korijeni njene karakteristične jednačine r 2 + 4r + 3 = 0 jednaki su -1 i - 3. Dakle, osnovni sistem rješenja homogene jednačine sastoji se od funkcija y 1 = e - x i y 2 = e -3 x. Tražimo rješenje nehomogene jednačine u obliku y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Da bismo pronašli izvode C" 1 , C" 2 sastavljamo sistem jednadžbi (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
rješavajući koje, nalazimo , Integrirajući dobivene funkcije, imamo 
Konačno dobijamo
Primjer br. 2. Riješite linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima koristeći metodu varijabilnih proizvoljnih konstanti: 
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Rješenje:
Ova diferencijalna jednadžba se odnosi na linearne diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima.
Tražit ćemo rješenje jednačine u obliku y = e rx. Da bismo to učinili, sastavljamo karakterističnu jednačinu linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Korijeni karakteristične jednadžbe: r 1 = 4, r 2 = 2
Prema tome, osnovni sistem rješenja sastoji se od funkcija: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Opće rješenje homogene jednačine ima oblik: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Tražiti određeno rješenje metodom variranja proizvoljne konstante.
Da bismo pronašli izvode od C" i sastavljamo sistem jednačina:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Izrazimo C" 1 iz prve jednadžbe:
C" 1 = -c 2 e -2x
i zamijenite ga drugom. Kao rezultat dobijamo:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Dobijene funkcije C" i integriramo:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Kako je y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, zapisujemo rezultirajuće izraze u obliku:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Dakle, opšte rješenje diferencijalne jednadžbe ima oblik:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ili
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Nađimo određeno rješenje pod uslovom:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Zamjenom x = 0 u pronađenu jednačinu dobijamo:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Nalazimo prvi izvod dobijenog opšteg rešenja:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Zamjenom x = 0 dobijamo:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Dobijamo sistem od dve jednačine:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ili
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ili
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Od: C 1 = 0, C * 2 = 2
Privatno rješenje će biti napisano kao:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
Učitavanje...