Polinomi. Faktorovanje polinoma: metode, primjeri. Lekcija algebre "Različiti načini faktoringa" Faktorovanje kvadratnog trinoma

PLAN LEKCIJE čas algebre u 7. razredu

Učiteljica Prilepova O.A.

Ciljevi lekcije:

Prikaz primjene različitih metoda za faktoriranje polinoma

Ponoviti metode faktorizacije i učvrstiti svoje znanje tokom vježbi

Razvijati vještine i sposobnosti učenika u primjeni skraćenih formula za množenje.

Razvijati logičko mišljenje učenika i interesovanje za predmet.

Zadaci:

u pravcu lični razvoj:

Razvijanje interesovanja za matematičku kreativnost i matematičke sposobnosti;

Razvijanje inicijative, aktivnosti u rješavanju matematičkih zadataka;

Negovanje sposobnosti donošenja nezavisnih odluka.

u metasubjektnom pravcu :

Formiranje opštih načina intelektualne aktivnosti, svojstvenih matematici i koji su osnova kognitivne kulture;

Upotreba ICT tehnologije;

u predmetnoj oblasti:

Ovladavanje matematičkim znanjima i vještinama neophodnim za nastavak školovanja;

Formiranje kod učenika sposobnosti da traže načine za faktorizaciju polinoma i pronađu ih za polinom koji je faktorizovan.

Oprema:materijali, putni listovi sa kriterijima evaluacije,multimedijalni projektor, prezentacija.

Vrsta lekcije:ponavljanje, generalizacija i sistematizacija obrađenog gradiva

Oblici rada:rad u parovima i grupama, individualni, kolektivni,samostalan, frontalni rad.

Tokom nastave:

Faktorizacija polinoma je identična transformacija, uslijed koje se polinom pretvara u proizvod više faktora - polinoma ili monoma.

Postoji nekoliko načina za faktorizaciju polinoma.

Metoda 1. Stavljanje u zagrade zajedničkog faktora.

Ova transformacija je zasnovana na distributivnom zakonu množenja: ac + bc = c(a + b). Suština transformacije je izdvajanje zajedničkog faktora u dvije razmatrane komponente i „izbacivanje“ iz zagrada.

Razložimo polinom 28x 3 - 35x 4.

Rješenje.

1. Nalazimo elemente 28x 3 i 35x 4 zajednički djelitelj. Za 28 i 35 to će biti 7; za x 3 i x 4 - x 3. Drugim riječima, naš zajednički faktor je 7x3.

2. Svaki od elemenata predstavljamo kao proizvod faktora, od kojih jedan
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Stavljanje zajedničkog faktora u zagrade
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 - 5x).

Metoda 2. Upotreba skraćenih formula za množenje. "Majstorstvo" savladavanja ove metode je uočavanje u izrazu jedne od formula za skraćeno množenje.

Hajde da faktorizujemo polinom x 6 - 1.

Rješenje.

1. Na ovaj izraz možemo primijeniti formulu razlike kvadrata. Da bismo to učinili, predstavljamo x 6 kao (x 3) 2, a 1 kao 1 2, tj. 1. Izraz će poprimiti oblik:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Na rezultirajući izraz možemo primijeniti formulu za zbir i razliku kocki:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

dakle,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupisanje. Metoda grupisanja se sastoji u kombinovanju komponenti polinoma na način da se na njima lako mogu izvršiti operacije (sabiranje, oduzimanje, oduzimanje zajedničkog faktora).

Rastavljamo polinom x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Rješenje.

1. Grupirajte komponente na ovaj način: 1. sa 2. i 3. sa 4.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. U rezultirajućem izrazu izvlačimo zajedničke faktore iz zagrada: x 2 u prvom slučaju i 5 u drugom.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Izvadimo zajednički faktor x - 3 i dobijemo:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

dakle,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 = (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Popravimo materijal.

Faktor polinoma a 2 - 7ab + 12b 2 .

Rješenje.

1. Monom 7ab predstavljamo kao zbir 3ab + 4ab. Izraz će poprimiti oblik:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Otvorimo zagrade i dobijemo:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Grupirajte komponente polinoma na ovaj način: 1. sa 2. i 3. sa 4. Dobijamo:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Izdvojimo uobičajene faktore:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Izvadimo zajednički faktor (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).

dakle,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Javni čas

matematike

u 7. razredu

"Primjena različitih metoda za faktorizaciju polinoma".

Prokofjeva Natalija Viktorovna,

Nastavnik matematike

Ciljevi lekcije

edukativni:

1. ponovite skraćene formule za množenje
2. formiranje i primarna konsolidacija sposobnosti faktorizacije polinoma na različite načine.

u razvoju:

1. razvoj svesnosti, logičko razmišljanje, pažnja, sposobnost sistematizacije i primjene stečenog znanja, matematički pismen govor.

edukativni:

1. formiranje interesa za rješavanje primjera;
2. negovanje osjećaja uzajamne pomoći, samokontrole, matematičke kulture.

Vrsta lekcije: kombinovana lekcija

Oprema: projektor, prezentacija, tabla, udžbenik.

Preliminarne pripreme za nastavu:

1. Učenici treba da budu upoznati sa sljedećim temama:

1. Kvadriranje zbira i razlike dva izraza
2. Faktoring sa formulama kvadrata zbira i kvadratne razlike
3. Množenje razlike dva izraza njihovim zbirom
4. Faktorovanje razlike kvadrata
5. Faktoriziranje zbira i razlike kocki

1. Budite vješti u radu sa skraćenim formulama za množenje.

Plan lekcije

1. Organizacioni trenutak (usmjeriti učenike na čas)
2. Provjera domaće zadaće (ispravljanje greške)
3. oralne vježbe
4. Učenje novog gradiva
5. Vježbe treninga
6. vežbe ponavljanja
7. Sumiranje lekcije
8. Poruka za domaći zadatak

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat.

Lekcija će zahtijevati od vas da znate formule za skraćeno množenje, sposobnost njihove primjene i, naravno, pažnju.

II. Provjera domaćeg.

Pitanja o domaćem zadatku.

Debrifing na tabli.

II. oralne vježbe.

Matematika je potrebna
Bez nje je nemoguće
Učimo, učimo, prijatelji,
Čega pamtimo ujutro?

Hajde da odradimo trening.

Faktoriziraj (Slajd 3)

8a-16b

17x² + 5x

c(x + y) + 5(x + y)

4a² - 25 (Slajd 4)

1 - y³

ax + ay + 4x + 4y Slajd 5)

III. Samostalan rad.

Svako od vas ima sto na stolu. Potpišite svoj rad u gornjem desnom uglu. Popunite tabelu. Vrijeme rada je 5 minuta. Poceo.

Završeno.

Zamenite posao sa komšijom.

Spustite olovke i zgrabite olovke.

Provjeravamo rad - obratite pažnju na slajd. (Slajd 6)

Postavili smo oznaku - (Slajd 7)

7(+) - 5

6-5(+) - 4

4(+) - 3

Stavite formule u sredinu tabele. Počnimo učiti nove stvari.

IV. Učenje novog gradiva

U sveske zapisujemo broj, rad na času i temu današnjeg časa.

Učitelju.

1. Prilikom faktoringa polinoma, ponekad se koristi ne jedna, već nekoliko metoda, primjenjujući ih uzastopno.
2. primjeri:

1. 5a² - 20 \u003d 5 (a² - 4) \u003d 5 (a-2) (a + 2). (Slajd 8)

Koristimo zagrade zajedničkog faktora i formule razlike kvadrata.

1. 18x³ + 12x² + 2x = 2x (9x² + 6x + 1) = 2x (3x + 1)². (Slajd 9)

Šta se može uraditi sa izrazom? Koju metodu ćemo koristiti za faktorizaciju?

Ovdje koristimo zagrade zajedničkog faktora i kvadrat formule sume.

1. ab³ - 3b³ + ab²y - 3b²y \u003d b² (ab - 3b + ay - 3y) \u003d b² ((ab - 3b) + (ay - 3y)) \u003d b² (b (a - 3) + y (a - 3)) \u003d b² (a - 3) (b + y). (Slajd 10)

Šta se može uraditi sa izrazom? Koju metodu ćemo koristiti za faktorizaciju?

Ovdje je zajednički faktor izvučen iz zagrada i primijenjena je metoda grupisanja.

1. Redoslijed faktoringa: (Slajd 11)

1. Ne može se svaki polinom faktorizirati. Na primjer: x² + 1; 5x² + x + 2, itd. (Slajd 12)

V. Vježbe obuke

Prije početka održavamo minut fizičkog vaspitanja (Slajd 13)

Brzo su ustali i nasmiješili se.

Vuče sve više i više.

Hajde, ispravi ramena

Podigni, spusti.

Skrenite desno, skrenite lijevo

Sedi, ustani. Sedi, ustani.

I potrčali su na licu mjesta.

I još gimnastike za oči:

1. Čvrsto zatvorite oči na 3-5s, a zatim ih otvorite na 3-5s. Ponavljamo 6 puta.
2. Postavite palac na udaljenosti od 20-25 cm od očiju, gledajte sa oba oka u kraj prsta 3-5 sekundi, a zatim sa oba oka gledajte u lulu. Ponavljamo 10 puta.

Bravo, sedite.

Zadatak za lekciju:

№934 avd

№935 av

№937

№939 avd

№1007 avd

VI Vježbe za ponavljanje.

№ 933

VII. Sumiranje lekcije

Nastavnik postavlja pitanja, a učenici odgovaraju na njih kako žele.

1. Navedite poznate metode faktoringa polinoma.

1. Izvadite zajednički faktor iz zagrade
2. Dekompozicija polinoma na faktore korištenjem skraćenih formula za množenje.
3. metod grupisanja

1. Redoslijed faktoringa:

1. Izvadite zajednički faktor iz zagrade (ako postoji).
2. Pokušajte razložiti polinom koristeći skraćene formule za množenje.
3. Ako prethodne metode nisu dovele do cilja, pokušajte primijeniti metodu grupiranja.

podići ruku:

1. Ako je vaš stav prema lekciji „ništa nisam razumeo, i nisam uspeo“
2. Ako je vaš stav prema lekciji "bilo je poteškoća, ali ja sam to uradio"
3. Ako je vaš stav prema lekciji "Uradio sam skoro sve"

Faktorizirajte 4 a² - 25 = 1 - y³ = (2a - 5) (2a + 5) (1 - y) (1+y+y ²)

Faktorizirajte ax+ay+4x+4y= =a(x+y)+4(x+y)= (ax+ay)+(4x+4y)= (x+y) (a+4)

(a + b) ² a ² + 2ab + b ² Kvadrat zbira a² - b² (a - b)(a + b) Razlika kvadrata (a - b)² a² - 2ab + b² Kvadrat razlike a³ + b ³ (a + b) (a² - ab + b²) Zbir kocki (a + b) ³ a³ + 3 a²b+3ab² + b³ Kocka zbira (a - b) ³ a³ - 3a²b+3ab² - b³ Kocka razlike a³ - b³ (a – b) (a² + ab + b²) Razlika kocki

OZNAČAVANJE 7 (+) = 5 6 ili 5 (+) = 4 4 (+) = 3

Primjer #1. 5 a² - 20 = = 5(a² - 4) = = 5(a - 2) (a+2) Stavljanje zajedničkog faktora u zagrade Formula razlike kvadrata

Primjer #2. 18 x³ + 12x ² + 2x = =2x (9x ² +6x+1)= =2x(3x+1) ² Formula sume zajedničkog faktora

Primjer #3. ab³ –3b³+ab²y–3b²y= = b²(ab–3b+ay-3y)= =b²((a b -3 b)+(a y -3 y)= =b²(b(a-3)+y(a) -3))= =b²(a-3)(b+y) Stavite faktor u zagrade Grupirajte termine u zagradama Stavite faktore u zagrade Stavite u zagradu zajednički faktor

Redoslijed faktoringa Pomaknite zajednički faktor iz zagrade (ako postoji). Pokušajte razložiti polinom koristeći skraćene formule za množenje. 3. Ako prethodne metode nisu dovele do cilja, pokušajte primijeniti metod grupiranja.

Ne može se svaki polinom faktorizirati. Na primjer: x ² +1 5x ² + x + 2

FIZIČKA MINUTA

Zadatak za lekciju br. 934 ABD br. 935 ABD br. 937 br. 939 ABD br. 1007 ABD

Podignite ruku: Ako je vaš stav prema lekciji „ništa nisam razumeo, i nisam uspeo“ Ako je vaš stav prema lekciji bio „bilo je teško, ali uspeo sam“ Ako je vaš stav prema lekciji lekcija je "Uradio sam skoro sve"

Domaći zadatak: str.38 br.936 br.938br.954

Koncepti "polinoma" i "faktorizacije polinoma" u algebri su vrlo česti, jer ih morate poznavati da biste lako izvodili proračune s velikim viševrijednim brojevima. Ovaj članak će opisati nekoliko metoda razlaganja. Svi su prilično jednostavni za korištenje, samo trebate odabrati pravi u svakom slučaju.

Koncept polinoma

Polinom je zbir monoma, odnosno izraza koji sadrže samo operaciju množenja.

Na primjer, 2 * x * y je monom, ali 2 * x * y + 25 je polinom, koji se sastoji od 2 monoma: 2 * x * y i 25. Takvi polinomi se nazivaju binomi.

Ponekad, radi praktičnosti rješavanja primjera s viševrijednim vrijednostima, izraz se mora transformirati, na primjer, razložiti na određeni broj faktora, odnosno brojeva ili izraza između kojih se izvodi operacija množenja. Postoji nekoliko načina za faktorizaciju polinoma. Vrijedi ih razmotriti počevši od najprimitivnijih, koji se koriste čak iu osnovnim razredima.

Grupiranje (opći unos)

Formula za faktoriranje polinoma u faktore metodom grupiranja općenito izgleda ovako:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Potrebno je grupirati monome tako da se u svakoj grupi pojavi zajednički faktor. U prvoj zagradi ovo je faktor c, au drugoj - d. To se mora učiniti kako bi se onda izvukao iz zagrade, čime bi se pojednostavili proračuni.

Algoritam dekompozicije na konkretnom primjeru

Najjednostavniji primjer faktoringa polinoma u faktore korištenjem metode grupisanja je dat u nastavku:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

U prvoj zagradi treba uzeti pojmove sa faktorom a, koji će biti uobičajen, au drugom - sa faktorom b. Obratite pažnju na znakove + i - u gotovom izrazu. Ispred monoma stavljamo znak koji je bio u početnom izrazu. Odnosno, morate raditi ne s izrazom 25a, već s izrazom -25. Znak minus je, takoreći, "zalijepljen" za izraz iza njega i uvijek ga uzima u obzir u proračunima.

U sljedećem koraku, potrebno je da iz zagrada izbacite faktor koji je uobičajen. Tome služi grupisanje. Izvući ga iz zagrade znači ispisati ispred zagrade (izostavljajući znak množenja) sve one faktore koji se tačno ponavljaju u svim članovima koji se nalaze u zagradi. Ako u zagradi nema 2, već 3 ili više članova, zajednički faktor mora biti sadržan u svakom od njih, inače se ne može izvaditi iz zagrade.

U našem slučaju, samo 2 pojma u zagradama. Ukupni množitelj je odmah vidljiv. Prva zagrada je a, druga je b. Ovdje morate obratiti pažnju na digitalne koeficijente. U prvoj zagradi, oba koeficijenta (10 i 25) su višekratnici od 5. To znači da se ne samo a, već i 5a može staviti u zagrade. Prije zagrade napišite 5a, a zatim svaki od članova u zagradi podijelite zajedničkim faktorom koji je izvučen, a u zagradi upišite i količnik, ne zaboravljajući znakove + i -. Isto uradite i sa drugom zagradi , izvadi 7b, budući da su 14 i 35 višestruki od 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Ispostavilo se 2 člana: 5a (2c - 5) i 7b (2c - 5). Svaki od njih sadrži zajednički faktor (ceo izraz u zagradama je ovde isti, što znači da je zajednički faktor): 2c - 5. I njega treba izvaditi iz zagrade, odnosno pojmove 5a i 7b ostati u drugoj zagradi:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Dakle, puni izraz je:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Dakle, polinom 10ac + 14bc - 25a - 35b se razlaže na 2 faktora: (2c - 5) i (5a + 7b). Znak množenja između njih može se izostaviti prilikom pisanja

Ponekad postoje izrazi ovog tipa: 5a 2 + 50a 3, ovdje možete staviti u zagrade ne samo a ili 5a, već čak i 5a 2. Uvijek biste trebali pokušati izvući najveći mogući zajednički faktor iz zagrade. U našem slučaju, ako svaki pojam podijelimo sa zajedničkim faktorom, dobićemo:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(prilikom izračunavanja količnika nekoliko stepena sa jednakim bazama, baza se čuva, a eksponent se oduzima). Tako u zagradi ostaje jedan (ni u kom slučaju ne zaboravite napisati ako jedan od pojmova u potpunosti izbacite iz zagrade) i količnik dijeljenja: 10a. Ispada da:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Kvadratne formule

Radi lakšeg izračunavanja, izvedeno je nekoliko formula. Zovu se formule redukovanog množenja i koriste se prilično često. Ove formule pomažu faktorizaciji polinoma koji sadrže potencije. Ovo je još jedan moćan način faktorizacije. Dakle, evo ih:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - formula, nazvana "kvadrat zbira", jer se kao rezultat proširenja u kvadrat uzima zbir brojeva zatvorenih u zagradama, odnosno vrijednost ovog zbroja se množi sam sa sobom 2 puta, što znači da je faktor.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formula kvadrata razlike, slična je prethodnoj. Rezultat je razlika zatvorena u zagrade, sadržana u kvadratnom stepenu.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- ovo je formula za razliku kvadrata, budući da se u početku polinom sastoji od 2 kvadrata brojeva ili izraza između kojih se vrši oduzimanje. Možda se najčešće koristi od ova tri.

Primjeri za izračunavanje po formulama kvadrata

Proračuni na njima su vrlo jednostavni. Na primjer:

1. 25x2 + 20xy + 4g 2 - koristite formulu "kvadrat sume".
2. 25x 2 je kvadrat od 5x. 20xy je dvostruki proizvod 2*(5x*2y), a 4y 2 je kvadrat od 2y.
3. Dakle 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Ovaj polinom se dekomponuje na 2 faktora (faktori su isti, pa se zapisuje kao izraz kvadratne snage).

Operacije prema formuli kvadrata razlike izvode se slično ovim. Ono što ostaje je razlika u formuli kvadrata. Primjere za ovu formulu vrlo je lako identificirati i pronaći među ostalim izrazima. Na primjer:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Od 25a 2 = (5a) 2, i 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Budući da je 36x 2 = (6x) 2, i 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Pošto je 169b 2 = (13b) 2

Važno je da svaki od pojmova bude kvadrat nekog izraza. Zatim se ovaj polinom rastavlja na faktore formule razlike kvadrata. Za to nije neophodno da je drugi stepen iznad broja. Postoje polinomi koji sadrže velike snage, ali su još uvijek pogodni za ove formule.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

U ovom primjeru, 8 se može predstaviti kao (a 4) 2, odnosno kvadrat određenog izraza. 25 je 5 2 a 10a je 4 - ovo je dvostruki proizvod članova 2*a 4 *5. Odnosno, ovaj izraz, uprkos prisustvu stepeni sa velikim eksponentima, može se razložiti na 2 faktora kako bi se kasnije radilo sa njima.

Kockaste formule

Iste formule postoje za faktoring polinoma koji sadrže kocke. Oni su malo složeniji od onih s kvadratima:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- ova formula se naziva zbir kocki, jer je u svom početnom obliku polinom zbir dva izraza ili broja zatvorenih u kocki.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - formula identična prethodnoj se označava kao razlika kocki.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - zbir kocke, kao rezultat proračuna, dobije se zbir brojeva ili izraza, zatvoren u zagrade i pomnožen sam sa sobom 3 puta, odnosno nalazi se u kocki
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formula, sastavljena po analogiji s prethodnom, uz promjenu samo nekih znakova matematičkih operacija (plus i minus), naziva se "kocka razlike".

Posljednje dvije formule se praktički ne koriste u svrhu faktoriranja polinoma, jer su složene, a rijetko se mogu naći polinomi koji u potpunosti odgovaraju upravo takvoj strukturi da bi se mogli razložiti prema ovim formulama. Ali i dalje ih morate znati, jer će biti potrebni za radnje u suprotnom smjeru - prilikom otvaranja zagrada.

Primjeri za formule kocke

Razmotrimo primjer: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Ovdje smo uzeli prilično proste brojeve, tako da možete odmah vidjeti da je 64a 3 (4a) 3 i 8b 3 je (2b) 3 . Dakle, ovaj polinom je proširen formulom razlike kocke na 2 faktora. Radnje na formuli zbira kocki izvode se analogno.

Važno je shvatiti da se svi polinomi ne mogu razložiti na barem jedan od načina. Ali postoje takvi izrazi koji sadrže veće potencije od kvadrata ili kocke, ali se također mogu proširiti u skraćene oblike množenja. Na primjer: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Ovaj primjer sadrži čak 12 stepeni. Ali čak i to se može rastaviti na faktore pomoću formule sume kocki. Da biste to učinili, trebate predstaviti x 12 kao (x 4) 3, odnosno kao kocku nekog izraza. Sada, umjesto a, trebate ga zamijeniti u formuli. Pa, izraz 125y 3 je kocka od 5y. Sljedeći korak je pisanje formule i izračun.

U početku, ili kada ste u nedoumici, uvijek možete provjeriti inverznim množenjem. Potrebno je samo otvoriti zagrade u rezultirajućem izrazu i izvršiti radnje sa sličnim pojmovima. Ova metoda se primjenjuje na sve gore navedene metode redukcije: kako za rad sa zajedničkim faktorom i grupiranjem, tako i za operacije na formulama kocke i kvadrata.

Odjeljci: Matematika

Vrsta lekcije:

• prema načinu izvođenja - praktični čas;
• u didaktičke svrhe - čas primjene znanja i vještina.

Cilj: formiraju sposobnost faktorizacije polinoma.

Zadaci:

• Didaktički: sistematizovati, proširiti i produbiti znanja, vještine učenika, primijeniti različite metode faktoringa polinoma u faktore. Formirati sposobnost primjene dekompozicije polinoma na faktore kombinacijom različitih tehnika. Primjenjivati ​​znanja i vještine na temu: „Razlaganje polinoma na faktore“ za rješavanje zadataka na osnovnom nivou i zadataka povećane složenosti.
• Obrazovni: razvijati mentalnu aktivnost kroz rješavanje problema različitih vrsta, naučiti pronaći i analizirati najracionalnije načine rješavanja, doprinijeti formiranju sposobnosti generalizacije proučavanih činjenica, jasnog i jasnog izražavanja svojih misli.
• Obrazovni: razvijati vještine samostalnog i timskog rada, vještine samokontrole.

Metode rada:

• verbalni;
• vizualni;
• praktično.

Oprema za nastavu: interaktivna tabla ili grafoskop, tabele sa skraćenim formulama za množenje, uputstva, materijal za grupni rad.

Struktura lekcije:

1. Organiziranje vremena. 1 minuta
2. Formulisanje teme, ciljeva i zadataka lekcije-vežbe. 2 minute
3. Provjera domaćeg. 4 minute
4. Ažuriranje osnovnih znanja i vještina učenika. 12 minuta
5. Fizkultminutka. 2 minute
6. Uputstvo za izvršavanje zadataka radionice. 2 minute
7. Izvođenje zadataka u grupama. 15 minuta
8. Provjera i diskusija o izvršenju zadataka. Analiza rada. 3 minute
9. Postavljanje domaće zadaće. 1 minuta
10. Rezervni zadaci. 3 minute

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat

Nastavnik provjerava spremnost učionice i učenika za čas.

2. Formulacija teme, ciljeva i zadataka časa-vježbe

• Poruka o završnoj lekciji na temu.
• Motivacija obrazovne aktivnosti učenika.
• Formulisanje cilja i postavljanje ciljeva časa (zajedno sa učenicima).

3. Provjera domaćeg zadatka

Na tabli su primjeri rješavanja domaćih vježbi br. 943 (a, c); br. 945 (c, d). Uzorke su izradili učenici razreda. (Ova grupa učenika je identifikovana na prethodnom času, svoju odluku su formalizirali na odmoru). Učenici se pripremaju za „branu“ rješenja.

Učitelj:

Provjerava domaće zadatke u učeničkim sveskama.

Poziva učenike razreda da odgovore na pitanje: „Koje je poteškoće izazvao zadatak?“.

Nudi da uporedi njihovo rješenje sa rješenjem na ploči.

Poziva učenike za tablom da odgovore na pitanja koja su učenici imali na terenu prilikom provjere uzoraka.

On komentariše odgovore učenika, dopunjuje odgovore, objašnjava (ako je potrebno).

Sažeti domaći zadatak.

Studenti:

Present zadaća nastavnik.

Promijenite sveske (u parovima) i provjerite jedni s drugima.

Odgovorite na pitanja nastavnika.

Provjerite svoje rješenje s uzorcima.

Oni se ponašaju kao protivnici, dodaju, ispravljaju, zapisuju drugu metodu ako se metoda rješenja u svesci razlikuje od metode na tabli.

Zatražite potrebna objašnjenja od učenika, od nastavnika.

Pronađite načine da provjerite rezultate.

Učestvujte u proceni kvaliteta zadataka na tabli.

4. Ažuriranje osnovnih znanja i vještina učenika

1. Usmeni rad

Učitelj:

Odgovori na pitanja:

1. Šta znači činiti polinom na faktore?
2. Koliko metoda razgradnje poznajete?
3. Kako se zovu?
4. Šta je najčešće?

2. Polinomi su napisani na tabli:

1. 14x 3 - 14x 5

2. 16x 2 - (2 + x) 2

3. 9 - x 2 - 2xy - y 2

4.x3 - 3x - 2

Učitelju poziva studente da faktorizuju polinome br. 1-3:

• Opcija I - uklanjanjem zajedničkog faktora;
• Opcija II - korištenje skraćenih formula za množenje;
• III varijanta - po načinu grupisanja.

Jednom učeniku se nudi da faktorizuje polinom br. 4 (individualni zadatak povećane težine, zadatak se izvodi na A4 formatu). Zatim se na tabli pojavljuje primjer rješenja zadataka br. 1-3 (radio nastavnik), primjer rješenja zadatka br. 4 (učenik).

3. Zagrijte se

Nastavnik daje instrukcije da se faktorizuje i izabere slovo povezano s tačnim odgovorom. Dodavanjem slova dobićete ime najvećeg matematičara 17. veka, koji je dao ogroman doprinos razvoju teorije rešavanja jednačina. (Dekart)

5. Tjelesno vaspitanje Učenici čitaju iskaze. Ako je tvrdnja tačna, onda učenici treba da podignu ruke uvis, a ako nije tačna, onda sjednu za klupu. (Aneks 2)

6. Uputa kako izvršiti zadatke radionice.

Na interaktivnoj tabli ili zasebnom posteru, tablica s uputama.

Prilikom dekompozicije polinoma na faktore, mora se poštovati sljedeći redoslijed:

1. staviti zajednički faktor iz zagrada (ako postoji);

2. primijeniti skraćene formule za množenje (ako je moguće);

3. primijeniti metodu grupisanja;

4. provjeriti rezultat dobiven množenjem.

Učitelju:

Nudi instrukcije studentima (naglašava korak 4).

Nudi realizaciju radioničkih zadataka u grupama.

Raspoređuje radne listove u grupe, listove sa karbonskim papirom za ispunjavanje zadataka u sveskama i njihovu naknadnu provjeru.

Određuje vrijeme za rad u grupama, za rad u sveskama.

studenti:

Pročitali su uputstva.

Nastavnici pažljivo slušaju.

Sjede se u grupama (po 4-5 osoba).

Pripremite se za praktičan rad.

7. Izvođenje zadataka u grupama

Radni listovi sa zadacima za grupe. (Aneks 3)

Učitelju:

Upravlja samostalan rad u grupama.

Procjenjuje sposobnost učenika za samostalan rad, sposobnost rada u grupi, kvalitet izrade radnog lista.

studenti:

Izvršite zadatke na listovima karbonskog papira koji su priloženi radnoj svesci.

Razgovarajte o racionalnim rješenjima.

Pripremite radni list za grupu.

Pripremite se da branite svoj rad.

8. Provjera i rasprava o zadatku

Odgovori na beloj tabli.

Učitelju:

Prikuplja kopije odluka.

Upravlja radom učenika izvještavajući na nastavnim listovima.

Nudi da izvrši samoprocjenu svog rada, uporedi odgovore u sveskama, radnim listovima i uzorcima na tabli.

Podsjeća na kriterije za ocjenjivanje rada, za učešće u njegovoj realizaciji.

Pruža pojašnjenje o novonastalim pitanjima odluke ili samoprocjene.

Sažima prve rezultate praktičnog rada i promišljanja.

Rezimira (zajedno sa učenicima) lekciju.

Kaže da će konačni rezultati biti sumirani nakon provjere kopija rada učenika.

studenti:

Dajte kopije nastavniku.

Radni listovi su pričvršćeni na tablu.

Izvještavanje o obavljanju poslova.

Vršiti samoprocjenu i samoprocjenu radnog učinka.

9. Postavljanje domaće zadaće

Domaći zadatak je napisan na tabli: br. 1016 (a, b); 1017 (c, d); br. 1021 (d, e, f)*

Učitelju:

Nudi da kod kuće zapiše obavezni dio zadatka.

Daje komentar na njegovu implementaciju.

Poziva spremnije učenike da zapišu broj 1021 (d, e, f) *.

Govori vam da se pripremite za sljedeću lekciju pregleda