Poliedar upisan u sferu. Matematika. Cijeli kurs je ponovljiv. Otvorena lekcija iz geometrije

Opis prezentacije po pojedinačnim slajdovima:

1 slajd

Opis slajda:

opštinska autonomna obrazovne ustanove prosjek sveobuhvatne škole № 45 Toolkit za učenike 11. razreda Sastavila nastavnica matematike najviše kategorije, Elena Vjačeslavovna Gavinskaya. Kalinjingrad 2016-2017 akademske godine

2 slajd

Opis slajda:

Poliedri upisani u sferu. Tema je slična onoj iz kursa planimetrije, gdje je rečeno da se kružnice mogu opisati oko trouglova i pravilnih n-uglova. Analog kruga u prostoru je sfera, a poligon je poliedar. U ovom slučaju, analog trokuta je trouglasta prizma, a analog pravilnih poligona su pravilni poliedri. Definicija. Za poliedar se kaže da je upisan u sferu ako svi njegovi vrhovi pripadaju ovoj sferi. Za samu sferu se kaže da je opisana oko poliedra.

3 slajd

Opis slajda:

“Sfera se može opisati oko ravne prizme ako i samo ako se krug može opisati oko osnove ove prizme.” Dokaz: Ako je sfera opisana oko ravne prizme, tada svi vrhovi osnove prizme pripadaju sferi i, prema tome, kružnici, koja je linija presjeka sfere i ravni baze. Obrnuto, neka je kružnica sa centrom u tački O1 i poluprečnikom r opisana blizu osnove ravne prizme. Zatim se oko druge osnove prizme može opisati krug sa centrom u tački O2 i istim poluprečnikom. Neka je O1O2=d, O – sredina O1O2. Tada će sfera sa centrom O i polumjerom R= biti željena opisana sfera. Teorema 1.

4 slajd

Opis slajda:

“Sfera se može opisati oko bilo koje trouglaste piramide, i to samo jedne.” Dokaz. Okrenimo se dokazu sličnom onom iz kursa planimetrije. Prije svega, trebamo pronaći lokus tačaka jednako udaljenih od dva vrha trougla. Na primjer, A i B. Takva geometrijska lokacija je okomita simetrala povučena na segment AB. Tada nalazimo geometrijsko mjesto tačaka jednako udaljenih od A i C. Ovo je okomita simetrala na segment AC. Točka presjeka ovih simetralnih okomica bit će željeni centar O kružnice opisane oko trougla ABC. Teorema 2.

5 slajd

Opis slajda:

Sada razmotrimo prostornu situaciju i napravimo slične konstrukcije. Neka je data trouglasta piramida DABC, a tačke A, B i C definiraju ravan α. Geometrijsko mjesto tačaka jednako udaljenih od tačaka A, B i C je prava a, okomita na ravan α i koja prolazi kroz centar O1 kružnice opisane oko trougla ABC. Geometrijsko geometrijsko mjesto tačaka jednako udaljenih od tačaka A i D je ravan β, okomita na segment AD i koja prolazi kroz njegov vrh - tačku E. Ravan β i prava linija a seku se u tački O, koja će biti željeni centar segmenta sfera opisana oko trouglaste piramide DABC. Zaista, na osnovu konstrukcije, tačka O je podjednako udaljena od svih vrhova DABC piramide. Štaviše, takva tačka će biti jedinstvena, jer prava linija i ravan koja se seku imaju jednu zajedničku tačku.

6 slajd

Opis slajda:

Lopta opisana o pravilne piramide. Lopta se može opisati oko bilo koje pravilne piramide. Središte lopte leži na pravoj liniji koja prolazi kroz visinu piramide i poklapa se sa središtem kružnice opisane oko jednakokračnog trokuta, čija je stranica bočni rub piramide, a visina je visina piramida. Poluprečnik lopte jednak je poluprečniku ove kružnice. Poluprečnik lopte R, visina piramide H i poluprečnik kružnice r opisane u blizini osnove piramide povezani su relacijom: R2=(H-R)2+r2 Ova relacija važi i u slučaju kada H< R.

7 slajd

Opis slajda:

Problem se odnosi na kuglu opisanu oko pravilne piramide. „U blizini pravilne piramide PABC opisana je kugla sa centrom u tački O i poluprečnikom od 9√3 m. Prava linija PO, koja sadrži visinu piramide, siječe bazu piramide u tački H tako da je PH:OH = 2:1. Nađite zapreminu piramide ako svaka njena bočna ivica tvori ugao od 45 stepeni sa ravninom osnove.”

8 slajd

Opis slajda:

Dato: PABC – pravilna piramida; lopta (O;R=9√3 m) je opisana u blizini piramide; RO∩(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. Nađi: Vpir. Rješenje: Pošto je RN:OH=2:1 (po uslovu), onda je RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (kao visina piramide) => => RN _ AN (po definiciji) => RAS - pravougaona. 3. NA RAS-u:

Slajd 9

Opis slajda:

4. Pošto je po uslovu RABC pravilna piramida, a PH njena visina, onda je po definiciji ABC tačan; H je centar kružnice opisane oko ABC, što znači 5. Odgovor: 486 m3.

10 slajd

Opis slajda:

Sfera opisana oko prizme. Sfera se može opisati oko prizme ako je ravna i ako su njene osnove poligoni upisani u krug. Središte lopte leži na sredini visine prizme koja povezuje središta krugova opisanih oko osnova prizme. Poluprečnik lopte R, visina prizme H i poluprečnik kružnice r opisane oko osnove prizme povezani su relacijom:

11 slajd

Opis slajda:

Problem je u sferi opisanoj oko prizme. “Pravilna prizma ABCDA1B1C1D1 visine 6 cm upisana je u sferu (dakle; R = 5 cm). Nađite površinu poprečnog presjeka prizme ravninom koja je paralelna ravninama baze i koja prolazi kroz tačku O - centar lopte.

12 slajd

Opis slajda:

Dato: ABCDA1B1C1D1 – pravilna prizma; lopta (O;R=5 cm) je opisana oko prizme; visina prizme h je 6 cm; α║(ABC); O sa α. Nađi: Ssec α, Rješenje: Pošto je, po uslovu, prizma upisana u kuglu, onda (r je poluprečnik kruga opisanog oko osnove prizme) Ali pod uslovom je data pravilna prizma, što znači

Slajd 13

Opis slajda:

a) (AVV1) ║(SS1D1) (po svojstvu ravne prizme) α ∩ (AVV1)=KM α ∩ (SS1D1)=RN => KM ║ HP (po svojstvu paralelnih ravni) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (po svojstvu ravne prizme) => KM=NR (po svojstvu paralelnih ravnina). To znači da je KMNR paralelogram (po atributu) => MN=KR i MN ║ KR b) α ║ (ABC) (po konstrukciji) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (prema svojstvu paralelnih ravni) 2. 3. Kako je prema uslovu ABCDA1B1C1D1 pravilna prizma, a presjek ravninom α paralelan sa osnovama, onda je figura koju čini presjek kvadrat. Dokažimo to: => => =>

Slajd 14

Opis slajda:

KMH= ABC=90o (kao uglovi sa odgovarajućim poravnatim stranicama) To znači da je romb KMNR kvadrat (po definiciji), što je i trebalo dokazati. Štaviše, kvadrati KMNR i ABCD su jednaki. Dakle, po svojstvu su njihove površine jednake, a samim tim i Sekcija α.=SABCD=32 (cm2) Odgovor: 32 cm2. c) KM ║ AB (dokazano) (BCC1) ║(ADD1) (po svojstvu ravne prizme) => KM=AB=4√2 cm (po svojstvu paralelnih ravni). d) Slično, dokazano je da je MN ║ BC i MN = BC = 4√2 cm.To znači da je MN = KM => paralelogram MNRK romb (po definiciji). e) MN ║ BC (dokazano) KM ║ AB (dokazano) => =>

15 slajd

Opis slajda:

Cilindar opisan oko prizme. Cilindar se može opisati oko ravne prizme ako je njegova osnova poligon upisan u krug. Poluprečnik cilindra R jednak je poluprečniku ove kružnice. Osa cilindra leži na istoj pravoj liniji sa visinom H prizme, spajajući središta krugova opisanih u blizini osnova prizme. U slučaju četverokutne prizme (ako je osnova pravougaonik), os cilindra prolazi kroz točku presjeka dijagonala osnova prizme.

16 slajd

Opis slajda:

Problem je oko cilindra opisanog oko prizme. Prava prizma ABCDA1B1C1D1, čija je osnova pravougaonik, upisana je u cilindar čija je generatrika 7 cm, a poluprečnik 3 cm. Nađite površinu bočne površine prizme ako je ugao između dijagonala ABCD je 60 stepeni. OO1 – osovina cilindra.

Slajd 17

Opis slajda:

Dato: ABCDA1B1C1D1 – ravna prizma; cilindar je opisan u blizini prizme; generatrisa cilindra AA1=7 cm; polumjer osnove cilindra je 3 cm; ugao između dijagonala ABCD je 60°; OO1 – osovina cilindra. Nađi: bočna prizma. Rješenje: Kako je, prema uvjetu, u kuglu upisana četverokutna prizma u čijem je osnovi pravougaonik, onda je prema svojstvu AC∩VD=O. To znači AOB=60o i AO=OB=3cm. 2. U AOB koristeći kosinus teoremu.

Poliedri upisani u sferu Konveksni poliedar se naziva upisanim ako svi njegovi vrhovi leže na nekoj sferi. Ova sfera se naziva opisanom za dati poliedar. Centar ove sfere je tačka jednako udaljena od vrhova poliedra. To je tačka presjeka ravnina, od kojih svaka prolazi kroz sredinu ruba poliedra okomitog na njega.

Formula za pronalaženje poluprečnika opisane sfere Neka je SABC piramida sa jednakim bočnim ivicama, h je njena visina, R je poluprečnik kružnice opisane oko baze. Nađimo radijus opisane sfere. Obratite pažnju na sličnost pravokutnih trougla SKO1 i SAO. Tada je SO 1 /SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Ali KS = SA/2. Tada je R 1 = SA 2 /(2SO); R 1 = (h 2 + R 2)/(2h); R 1 = b 2 /(2h), gdje je b bočna ivica.

Paralelepiped upisan u sferu Teorema: Sfera se može opisati oko paralelepipeda ako i samo ako je paralelepiped pravougaonog oblika, jer u u ovom slučaju prava je i oko svoje osnove - paralelograma - može se opisati kružnica (pošto je osnova pravougaonik).

Zadatak 1 Nađite poluprečnik sfere opisane oko pravilnog tetraedra sa ivicom a. Rješenje: SO 1 = SA 2 /(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Odgovor: SO 1 = a /4. Konstruirajmo prvo sliku centra opisane lopte koristeći sliku pravilnog tetraedra SABC. Nacrtajmo apoteme SD i AD (SD = AD). U jednakokračnom trouglu ASD, svaka tačka medijane DN jednako je udaljena od krajeva segmenta AS. Dakle, tačka O 1 je presek visine SO i segmenta DN. Koristeći formulu iz R 1 = b 2 /(2h), dobijamo:

Zadatak 2 Rješenje: Koristeći formulu R 1 =b 2 /(2h) za pronalaženje poluprečnika opisane lopte, nalazimo SC i SO. SC = a/(2sin(α /2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 – (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) – 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α U pravilnoj četvorougaonoj piramidi, stranica osnove je jednaka a, a ravan ugao na vrhu je jednak α. Pronađite poluprečnik opisane lopte R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · 1/(2a/(2sin(α /2))) =a/(4sin(α /2) ·). Odgovor: R 1 = a/(4sin(α /2) ·).

Poliedri opisani oko sfere Konveksni poliedar se naziva opisanim ako sve njegove strane dodiruju neku sferu. Ova sfera se zove upisana za dati poliedar. Centar upisane sfere je tačka jednako udaljena od svih strana poliedra.

Položaj centra upisane sfere Pojam simetralne ravni diedralnog ugla. Simetrala ravan je ravan koja dijeli diedarski ugao na dva jednaka diedarska ugla. Svaka tačka ove ravni je jednako udaljena od lica diedralnog ugla. U opštem slučaju, centar sfere upisane u poliedar je tačka preseka simetralnih ravni svih diedarskih uglova poliedra. Uvek leži unutar poliedra.

Piramida opisana oko lopte Kaže se da je kugla upisana u (proizvoljnu) piramidu ako dodiruje sve strane piramide (i bočne i osnovne). Teorema: Ako su bočne strane jednako nagnute prema osnovici, tada se u takvu piramidu može upisati lopta. Pošto su uglovi diedara u osnovi jednaki, i njihove su polovine jednake, a simetrale se sijeku u jednoj tački u visini piramide. Ova tačka pripada svim simetralnim ravnima u osnovi piramide i jednako je udaljena od svih strana piramide - centra upisane lopte.

Formula za pronalaženje poluprečnika upisane sfere Neka je SABC piramida sa jednakim bočnim ivicama, h je njena visina, r je poluprečnik upisane kružnice. Nađimo radijus opisane sfere. Neka je SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Tada je, prema svojstvu simetrale unutrašnjeg ugla trougla, O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h – r 1)/ ; r 1 · = rh – rr 1 ; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Odgovor: r 1 = rh/(+ r).

Paralelepiped i kocka opisani oko sfere Teorema: Sfera se može upisati u paralelepiped ako i samo ako je paralelepiped ravan i njegova osnova je romb, a visina ovog romba je prečnik upisane sfere, koja, zauzvrat, jednaka je visini paralelepipeda. (Od svih paralelograma, samo kružnica može biti upisana u romb) Teorema: Sfera se uvijek može upisati u kocku. Središte ove sfere je tačka preseka dijagonala kocke, a poluprečnik je jednak polovini dužine ivice kocke.

Kombinacije figura Upisane i opisane prizme Prizma opisana oko cilindra je prizma čije su osnovne ravni ravni osnova cilindra, a bočne strane dodiruju cilindar. Prizma upisana u cilindar je prizma čije su osnovne ravni ravni baza cilindra, a bočne ivice su generatori cilindra. Tangentna ravan na cilindar je ravan koja prolazi kroz generatricu cilindra i okomita na ravan aksijalnog presjeka koji sadrži ovu generatricu.

Upisane i opisane piramide Piramida upisana u konus je piramida čija je osnova mnogokut upisan u krug osnove konusa, a vrh je vrh konusa. Bočne ivice piramide upisane u konus čine konus. Piramida opisana oko konusa je piramida čija je osnova poligon opisan oko osnove konusa, a vrh se poklapa sa vrhom konusa. Ravnine bočnih strana opisane piramide tangente su na ravan konusa. Tangentna ravan na konus je ravan koja prolazi kroz generatrisu i okomita je na ravan aksijalnog presjeka koji sadrži ovu generatricu.

Druge vrste konfiguracija Cilindar je upisan u piramidu ako krug jedne od njegovih osnova dodiruje sve bočne strane piramide, a njegova druga baza leži na bazi piramide. Konus je upisan u prizmu ako joj vrh leži na gornjoj osnovi prizme, a osnova mu je kružnica upisana u poligon - donju osnovu prizme. Prizma je upisana u konus ako svi vrhovi gornje osnove prizme leže na bočnoj površini stošca, a donja osnova prizme leži na bazi stošca.

Zadatak 1 U pravilnoj četvorougaonoj piramidi, stranica osnove je jednaka a, a ravan ugao na vrhu jednak je α. Pronađite poluprečnik lopte upisane u piramidu. Rešenje: Izrazimo strane SOK u terminima a i α. OK = a/2. SK = KC krevetac (α /2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Koristeći formulu r 1 = rh/(+ r), nalazimo poluprečnik upisane kugle: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Odgovor: r 1 = (a/2)

Zaključak Temu „Poliedri“ izučavaju učenici 10. i 11. razreda, ali u nastavni plan i program vrlo je malo materijala na temu “Upisani i opisani poliedri”, iako je vrlo veliko interesovanje studenata, budući da proučavanje svojstava poliedara doprinosi razvoju apstraktnih i logičko razmišljanje, koji će nam kasnije koristiti u učenju, poslu, životu. Radeći na ovom eseju proučili smo sav teorijski materijal na temu „Upisani i opisani poliedri“, ispitali moguće kombinacije figura i naučili da sav proučeni materijal primijenimo u praksi. Problemi koji uključuju kombinaciju tijela su najteže pitanje u kursu stereometrije za 11. razred. Ali sada sa sigurnošću možemo reći da nećemo imati problema sa rješavanjem ovakvih problema, jer tokom našeg istraživački rad ustanovili smo i dokazali svojstva upisanih i opisanih poliedara. Vrlo često učenici imaju poteškoća prilikom izrade crteža za problem ovu temu. Ali, pošto smo naučili da je za rješavanje zadataka koji uključuju kombinaciju lopte i poliedra slika lopte ponekad nepotrebna i dovoljno je naznačiti njen centar i polumjer, možemo biti sigurni da nećemo imati ovih poteškoća. Zahvaljujući ovom eseju, uspjeli smo razumjeti ovu tešku, ali vrlo fascinantnu temu. Nadamo se da sada nećemo imati poteškoća u primjeni proučavanog materijala u praksi.

Poliedri upisani u sferu Za poliedar se kaže da je upisan u sferu ako svi njegovi vrhovi pripadaju ovoj sferi. Za samu sferu se kaže da je opisana oko poliedra. Teorema. Sfera se može opisati oko piramide ako i samo ako se krug može opisati oko osnove ove piramide.

Poliedri upisani u sferu Teorema. Sfera se može opisati u blizini ravne prizme ako i samo ako se krug može opisati blizu osnove te prizme. Njegov centar će biti tačka O, koja je središte segmenta koji povezuje središta krugova opisanih u blizini osnova prizme. Poluprečnik sfere R izračunava se po formuli gdje je h visina prizme, r je polumjer kružnice opisane oko osnove prizme.

Vježba 3 Osnova piramide je pravilan trokut čija je stranica jednaka 3. Jedna od bočnih ivica jednaka je 2 i okomita je na ravan osnove. Pronađite polumjer opisane sfere. Rješenje. Neka je O centar opisane sfere, Q centar opisane kružnice oko baze, E središte SC. Četvorougao CEOQ je pravougaonik u kojem je CE = 1, CQ = Dakle, R=OC=2. Odgovor: R = 2.

Vježba 4 Na slici je prikazana piramida SABC, za koju je ivica SC jednaka 2 i okomita je na ravan osnove ABC, ugao ACB je jednak 90 o, AC = BC = 1. Konstruirajte centar sfere opisano oko ove piramide i pronađite njen poluprečnik. Rješenje. Kroz sredinu D ivice AB povlačimo pravu paralelnu sa SC. Kroz sredinu E ivice SC povlačimo pravu liniju paralelnu sa CD. Njihova tačka preseka O biće željeni centar opisane sfere. U pravouglom trokutu OCD imamo: OD = CD = Po Pitagorinoj teoremi nalazimo

Vježba 5 Nađite poluprečnik sfere opisane oko pravilne trouglaste piramide, čije su bočne ivice jednake 1, a ravni uglovi na vrhu jednaki 90 stepeni. Rješenje. U tetraedru SABC imamo: AB = AE = SE = U pravokutnom trokutu OAE imamo: Rješavajući ovu jednačinu za R, nalazimo

Vježba 4 Nađite poluprečnik sfere opisane oko prave trouglaste prizme, u čijoj osnovi pravougaonog trougla sa kracima jednakim 1 i visinom prizme 2. Odgovor: Rješenje. Poluprečnik sfere jednak je polovini dijagonale A 1 C pravougaonika ACC 1 A 1. Imamo: AA 1 = 2, AC = Dakle, R =

Vježba Nađite poluprečnik sfere opisane oko pravilne šesterokutne piramide, čije su ivice jednake 1, a bočne ivice jednake 2. Rješenje. Trougao SAD je jednakostraničan sa stranicom 2. Poluprečnik R opisane sfere jednak je poluprečniku kružnice opisane oko trougla SAD. dakle,

Vježba Pronađite polumjer sfere opisane oko jediničnog ikosaedra. Rješenje. U pravougaoniku ABCD, AB = CD = 1, BC i AD su dijagonale pravilnih pentagona sa stranicama 1. Dakle, BC = AD = Po Pitagorinoj teoremi, AC = Traženi poluprečnik jednak je polovini ove dijagonale, tj.

Vježba Pronađite polumjer sfere opisane oko jediničnog dodekaedra. Rješenje. ABCDE je pravilan petougao sa stranicom U pravougaoniku ACGF AF = CG = 1, AC i FG su dijagonale petougla ABCDE i, prema tome, AC = FG = Po Pitagorinoj teoremi FC = Traženi poluprečnik jednak je polovini ovog dijagonala, tj.

Vježba Na slici je prikazan skraćeni tetraedar koji se dobija odsijecanjem uglova pravilnog tetraedra trouglastih piramida, čija su lica pravilni heksagoni i trouglovi. Nađite poluprečnik sfere opisane oko skraćenog tetraedra čije su ivice jednake 1.

Vježba Na slici je prikazan skraćeni oktaedar koji se dobija odsijecanjem trouglastih piramida iz uglova oktaedra, čija su lica pravilni šestouglovi i trouglovi. Nađite poluprečnik sfere opisane oko skraćenog oktaedra čije su ivice jednake 1. Vježba Na slici je prikazan skraćeni ikosaedar dobijen odsijecanjem uglova ikosaedra petougaonih piramida, čija su lica pravilni šesterokut i peterokut. Pronađite poluprečnik sfere opisane oko skraćenog ikosaedra čije su ivice jednake 1.
Vježba Na slici je prikazan skraćeni dodekaedar dobijen odsijecanjem trouglastih piramida iz uglova dodekaedra, čije su strane pravilni desetouglovi i trouglovi. Nađite poluprečnik sfere opisane oko skraćenog dodekaedra čije su ivice jednake 1.
Vježba Pronađite polumjer sfere opisane oko jediničnog kuboktaedra. Rješenje. Podsjetimo da se kuboktaedar dobija iz kocke odsijecanjem pravilnih trokutastih piramida s vrhovima u vrhovima kocke i bočnim rubovima jednakim polovini ruba kocke. Ako je ivica oktaedra jednaka 1, tada je ivica odgovarajuće kocke jednaka Poluprečnik opisane sfere jednak je udaljenosti od centra kocke do sredine njenog ruba, tj. je jednako 1. Odgovor: R = 1.

Nastavnik matematike srednja škola №2,

grad Taldykorgan N.Yu.Lozovich

Javni čas u geometriji

Tema lekcije: „Lopta. UpisanoIopisani poliedri"

Ciljevi lekcije:

- obrazovni - obezbijediti u toku časa ponavljanje, učvršćivanje i provjeru ovladavanja definicijama učenika lopta I sfere, i srodni koncepti ( centar, radijusi, prečnici,dijametralno suprotne tačke, tangentne ravni I ravno); pojmovi upisanih i opisanih poliedara, poznavanje teorema o preseku lopte ravninom (20.3), o simetriji lopte (20.4), o tangentnoj ravni na loptu (20.5), o preseku dve sfere (20.6), o konstrukciji centra opisane (upisane) sfere piramide i konstrukciji centra sfere opisane oko pravilne prizme;

nastaviti razvijati vještine samostalne primjene cjelokupnog korpusa ovih znanja u promjenjivim situacijama po modelu i nestandardnim, koje zahtijevaju kreativnu aktivnost;

obrazovni - usaditi kod učenika odgovornost za rezultate studija, istrajnost u postizanju ciljeva, samopouzdanje, želju za postizanjem velikih rezultata, osećaj za lepo (lepota geometrijskih oblika, elegantno, lepo rešenje problema).

razvoj - razvijati kod učenika: sposobnost specifičnog i uopštenog mišljenja, kreativnu i prostornu maštu; asocijativnost (sposobnost oslanjanja na različite veze: po sličnosti, analogiji, kontrastu, uzročno-posljedičnoj), sposobnost logičkog i dosljednog izražavanja svojih misli, potreba za učenjem i razvojem, stvaranje uslova na času za ispoljavanje kognitivne aktivnosti učenika.

Vrsta lekcije

čas provjere i korekcije znanja i vještina.

Nastavne metode

Uvodni razgovor (određivanje svrhe časa, motivisanje učeničkih aktivnosti, stvaranje potrebne emocionalne i moralne atmosfere, upućivanje učenika na organizaciju rada na času).

Frontalna anketa (usmena provera znanja učenika o osnovnim pojmovima, teoremama, sposobnosti da objasne njihovu suštinu i da obrazlože svoje obrazloženje).

Nivelisan samostalan rad, zasnovan na principu postepenog povećanja nivoa znanja i vještina, tj. od reproduktivnog nivoa do produktivnog i kreativnog nivoa. Suština metode je individualni samostalan rad učenika, koji nastavnik stalno kontroliše i podstiče.

Obrazovna vizuelna pomagala

Stereometrijski modeli geometrijska tijela, posteri, crteži, kartice za pojedinca samostalan rad.

Ažuriraj

a) Osnovno znanje.

Potrebno je aktivirati pojmove: tangenta na kružnicu, konveksni poligoni upisani u krug i opisani oko kružnice, izračunavanje polumjera upisanih i opisanih kružnica za pravilne poligone iz planimetrije; iz predmeta 10. razred, definicija simetrije u odnosu na ravan, pojam figura simetričnih u odnosu na tačku, osu (pravu) i ravan.

b) Načini formiranja motiva i izazivanja interesovanja.

U uvodni razgovor osigurati da učenici razumiju cilj, prepoznaju svoj lični interes za postizanjem istog, otkriju značenje cilja za same studente, naglasiti značaj ove teme ne samo po sebi, već i njenu propedevtičku prirodu za proučavanje sljedeće teme, zasititi lekcija sa materijalom emotivne prirode (ljepota geometrijskih oblika, mjehurići od sapunice, Zemlja i Mjesec); naglasiti nivoe prirode samostalnog rada: s jedne strane, to će osigurati visok naučni nivo gradiva koje se proučava, a s druge strane dostupnost, poenta je studentima da svako od njih ima pravo na pedagošku podršku ( „osiguranje“) za identifikaciju, analizu stvarnih ili potencijalnih problema djeteta, zajedničko osmišljavanje mogućeg izlaza iz njih; sistem ocenjivanja procjena znanja je dodatni podsticaj djeci.

c) Oblici praćenja toka rada, međusobna kontrola. Međusobna kontrola (razmjena sveska) vrši se nakon što učenici završe prvi dio 1. (učeničkog) nivoa samostalnog rada - pismeni odgovori učenika na usmena pitanja nastavnika (matematički diktat).

Nakon razmjene bilježnica, svi tačni odgovori se izgovaraju naglas (ako je moguće, koriste se vizualna pomagala: modeli stereometrijskih tijela, crteži, posteri). Zatim momci prelaze na ocjenu ocjene prvog dijela samostalnog rada: tačan potpun odgovor se boduje 1 bod, ako ima manjih komentara, onda - 0,5 bodova, u suprotnom - 0 bodova. Broj bodova koji je svaki učenik postigao nastavnik bilježi na tabli. Nakon toga momci počinju raditi na pojedinačnim kartama. Oni koji su završili zadatke 1. nivoa i dobili zeleno svjetlo od nastavnika prelaze na izvršavanje zadatka sljedećeg nivoa. Uspjeh rješavanja Problema ne treba ostaviti bez pažnje, ohrabrenja i pohvale. Istovremeno, nastavnik obavlja korektivni rad: razumijevajući učenikove snage i slabosti, pomaže mu da se osloni na vlastite snage i nadopunjuje ga tamo gdje učenik, koliko god se trudio, objektivno nije u stanju da se nosi s nečim.

Prilikom provjere rada koristi se sljedeći sistem notacije:

Problem nije riješen;

Problem nije rešen, ali postoje neki razumni razlozi u radu;

Dat je samo odgovor na problem gdje jedan odgovor očigledno nije dovoljan;

± - problem je riješen, ali rješenje sadrži manje propuste i netačnosti;

Problem je u potpunosti riješen;

+! – rješenje problema sadrži neočekivane svijetle ideje.

Velika važnost u prilogu lista otvorenog obračuna aktivnosti djece, koji se popunjava po završetku samostalnog rada.

Time se osiguravaju neophodni uslovi za provjeru znanja učenika u nastavi – objektivnost, efikasnost, dobra volja i transparentnost.

I nivo

Matematički diktat.

1)I opcija. Koje osobine imaju svi vrhovi poliedra upisanog u sferu?

II opcija. Koje osobine ima svako lice poliedra upisanog u sferu?

2) I opcija. Ako se sfera može opisati oko nekog poliedra, kako se onda može konstruisati njeno središte?

II opcija. O Koliko se paralelepipeda može koristiti za opisivanje sfere? Objasnite svoj odgovor.

3) I opcija. Gdje se nalazi centar sfere opisane oko ispravnog P- karbonska prizma?

II opcija. Gdje je centar sfere opisan oko pravilne piramide?

4) I opcija. Kako konstruisati centar sfere upisane u pravilnu n-ugaonu piramidu?

// opcija. Da li je moguće sferu uklopiti u bilo koju pravilnu prizmu?

Opcija I

I nivo

Poluprečnik lopte je 6 cm; kroz kraj poluprečnika je povučena ravan pod uglom od 60° prema njemu. Pronađite površinu poprečnog presjeka.

Nivo II

Pravilna četvorougaona prizma upisana je u sferu poluprečnika 5 cm. Ivica osnove prizme je 4 cm. Pronađite visinu prizme.

Nivo III

Izračunajte poluprečnik sfere upisane u pravilan tetraedar sa ivicom od 4 cm.

IV nivo

Kugla poluprečnika R upisana je u krnji konus. Ugao nagiba generatrikse prema ravni donje osnove stošca jednak je A. Naći poluprečnike baza i generatrisu skraćenog konusa.

Opcija II

I nivo

Sferu poluprečnika 10 cm siječe ravan na udaljenosti od 6 cm od centra. Pronađite površinu poprečnog presjeka.

Nivo II

Nađite poluprečnik sfere opisane oko kocke sa stranicom od 4 cm.

Nivo III.

A. Pronađite polumjer opisane sfere.

IV nivo

Kugla poluprečnika R upisana je u krnji konus. Ugao nagiba generatrise prema ravni donje osnove stošca jednak je a. Naći poluprečnike baza i generatrisu skraćenog konusa.

Š opcija

I nivo

Kroz sredinu poluprečnika lopte povučena je ravan okomita na nju. Kako se površina velikog kruga odnosi na površinu rezultirajućeg poprečnog presjeka?

Nivo II

Pravilna trouglasta prizma upisana je u sferu poluprečnika 4 cm. Ivica osnove prizme je 3 cm. Odredite visinu prizme.

Nivo III

U pravilnoj četvorougaonoj piramidi, stranica osnove je 4 cm, a ravan ugao na vrhu je A. Pronađite polumjer upisane sfere.

IV nivo

Pravilna trouglasta piramida sa ravnim uglovima upisana je u kuglu polumjera R A na njegovom vrhu. Pronađite visinu piramide.

IV opcija

I nivo

Na površini lopte se daju tri boda. Prave udaljenosti između njih su 6 cm, 8 cm, 10 cm Poluprečnik lopte je 11 cm. Pronađite rastojanje od centra lopte do ravni koja prolazi kroz ove tačke.

II nivo

Pravilna šestougaona prizma je upisana u sferu poluprečnika 5 cm.Ivica osnove prizme je 3 cm.Nađite visinu tehnike.

Š nivo

Nađite poluprečnik sfere opisane oko pravilne n-ugaone piramide ako je stranica osnove 4 cm, a bočna ivica nagnuta prema ravni baze pod uglom A.

IV nivo

Pravilna trouglasta piramida sa ravnim uglovima a u svom vrhu upisana je u kuglu poluprečnika R. Pronađite visinu piramide.

Sažetak lekcije

Rezultati samostalnog rada se objavljuju i analiziraju. Studenti koji trebaju popravni rad, pozivaju se na popravne časove.

Set zadaća(sa potrebnim komentarima), koji se sastoji od obaveznih i varijabilnih dijelova.

Obavezni dio: paragrafi 187 - 193 - ponoviti; br. 44,45,39

Varijabilni dio br. 35