Puno brojeva. Zakoni radnji na raznim brojevima. Skup je zatvoren pod operacijom Veza između komplementa otvorenog i zatvorenog skupa

Dokažimo sada neka posebna svojstva zatvorenih i otvorenih skupova.

Teorema 1. Zbir konačnog ili prebrojivog broja otvorenih skupova je otvoreni skup. Proizvod konačnog broja otvorenih skupova je otvoreni skup,

Razmotrimo zbir konačnog ili prebrojivog broja otvorenih skupova:

Ako je , tada P pripada barem jednom od Neka Budući da je otvoren skup, onda pripada i neka -susjedstvo od P. Ista -susjedstvo od P također pripada sumi g, iz čega slijedi da je g otvoren skup. Pogledajmo sada konačni proizvod

i neka P pripada g. Dokažimo, kao što je gore navedeno, da neka -susedstvo od P takođe pripada g. Pošto P pripada g, onda P pripada svima. Budući da su - otvoreni skupovi, onda za bilo koji postoji neki -susjedstvo točke koja pripada . Ako se uzme da je broj jednak najmanjem od kojih je broj konačan, tada će -susjedstvo tačke P pripadati svima i, prema tome, g. Imajte na umu da ne možemo tvrditi da je proizvod prebrojivog broja otvorenih skupova otvoren skup.

Teorema 2. Skup CF je otvoren, a skup CO zatvoren.

Dokažimo prvu tvrdnju. Neka P pripada CF. Potrebno je dokazati da neka okolina P pripada CF. Ovo proizilazi iz činjenice da kada bi postojale tačke F u bilo kojoj okolini P, tačka P, koja ne pripada po uslovu, bila bi granična tačka za F i, zbog svoje zatvorenosti, trebalo bi da pripada, što dovodi do kontradikcija.

Teorema 3. Proizvod konačnog ili prebrojivog broja zatvorenih skupova je zatvoren skup. Zbir konačnog broja zatvorenih skupova je zatvoren skup.

Dokažimo, na primjer, da je skup

zatvoreno. Prelazimo na dodatne skupove, možemo pisati

Po teoremi, skupovi su otvoreni, a prema teoremi 1 i skup je otvoren, pa je dodatni skup g zatvoren. Imajte na umu da se zbir prebrojivog broja zatvorenih skupova takođe može pokazati kao otvoreni skup.

Teorema 4. Skup je otvoren skup i zatvoren skup.

Lako je provjeriti sljedeće jednakosti:

Iz njih, na osnovu prethodnih teorema, slijedi teorema 4.

Reći ćemo da je skup g pokriven sistemom M određenih skupova ako je svaka tačka g uključena u barem jedan od skupova sistema M.

Teorema 5 (Borel). Ako je zatvoreni ograničeni skup F pokriven beskonačnim sistemom a otvorenih skupova O, tada je iz ovog beskonačnog sistema moguće izdvojiti konačan broj otvorenih skupova koji takođe pokrivaju F.

Ovu teoremu dokazujemo inverzno. Pretpostavimo da nijedan konačan broj otvorenih skupova iz sistema a ne pokriva i ovo dovodimo u kontradikciju. Pošto je F ograničen skup, onda sve tačke F pripadaju nekom konačnom dvodimenzionalnom intervalu. Podijelimo ovaj zatvoreni interval na četiri jednaka dijela, podijelimo intervale na pola. Uzet ćemo svaki od rezultirajuća četiri intervala za zatvaranje. One tačke F koje padaju na jedan od ova četiri zatvorena intervala će, na osnovu teoreme 2, predstavljati zatvoreni skup, a barem jedan od ovih zatvorenih skupova ne može biti pokriven konačnim brojem otvorenih skupova iz sistema a. Uzimamo jedan od četiri gore navedena zatvorena intervala gdje se ova okolnost javlja. Ponovo dijelimo ovaj interval na četiri jednaka dijela i razumimo na isti način kao gore. Tako dobijamo sistem ugniježđenih intervala od kojih svaki sljedeći predstavlja četvrti dio prethodnog, a vrijedi sljedeća okolnost: skup tačaka F koje pripadaju bilo kojem k ne može biti pokriven konačnim brojem otvorenih skupova iz sistema a. Sa beskonačnim povećanjem k, intervali će se beskonačno smanjiti do određene tačke P, koja pripada svim intervalima. Pošto za bilo koje k sadrže beskonačan broj tačaka, tačka P je granična tačka za i stoga pripada F, pošto je F zatvoren skup. Dakle, tačka P je pokrivena nekim otvorenim skupom koji pripada sistemu a. Neka -okolina tačke P takođe će pripadati otvorenom skupu O. Za dovoljno velike vrednosti k, intervali D će pasti unutar gornje -susedstva tačke P. Dakle, oni će u potpunosti biti pokriveni samo jednim otvoreni skup O sistema a, a to je u suprotnosti sa činjenicom da tačke koje pripadaju za bilo koji k ne mogu biti pokrivene konačnim brojem otvorenih skupova koji pripadaju a. Tako je teorema dokazana.

Teorema 6. Otvoreni skup se može predstaviti kao zbir prebrojivog broja poluotvorenih intervala u parovima bez zajedničkih tačaka.

Podsjetimo da poluotvoreni interval u ravni nazivamo konačnim intervalom definiranim nejednačinama oblika .

Nacrtajmo na ravni mrežu kvadrata sa stranicama paralelnim osama i dužine stranice jednake jedan. Skup ovih kvadrata je prebrojiv skup. Od ovih kvadrata izaberimo one kvadrate čije sve tačke pripadaju datom otvorenom skupu O. Broj takvih kvadrata može biti konačan ili prebrojiv, ili možda uopće neće biti takvih kvadrata. Svaki od preostalih kvadrata mreže podijelimo na četiri identična kvadrata i iz novodobljenih kvadrata ponovo biramo one čije sve tačke pripadaju O. Ponovo podijelimo svaki od preostalih kvadrata na četiri jednaka dijela i izaberemo one kvadrate čije su sve točke pripadaju O, itd. Pokažimo da će svaka tačka P skupa O pasti u jedan od odabranih kvadrata, čije sve tačke pripadaju O. Zaista, neka je d pozitivna udaljenost od P do granice O. Kada dođemo do kvadrata čija je dijagonala manja od , tada možemo, očigledno, tvrditi da je tačka P već pala u kvadrat čiji svi volumeni pripadaju O. Ako se odabrani kvadrati smatraju poluotvorenim, onda neće imaju zajedničke tačke u parovima i teorema je dokazana. Broj odabranih kvadrata će nužno biti prebrojiv, budući da konačni zbir poluotvorenih intervala očigledno nije otvoren skup. Označavajući sa DL one poluotvorene kvadrate koje smo dobili kao rezultat gornje konstrukcije, možemo pisati

Prebrojiv skup je beskonačan skup čiji se elementi mogu numerisati prirodnim brojevima ili je skup ekvivalentan skupu prirodnih brojeva.

Ponekad se skupovi jednake kardinalnosti bilo kojem podskupu skupa prirodnih brojeva nazivaju prebrojivi, odnosno svi konačni skupovi se također smatraju prebrojivim.

Prebrojiv skup je „najmanji“ beskonačan skup, to jest, u svakom beskonačnom skupu postoji prebrojiv podskup.

Svojstva:

1. Bilo koji podskup prebrojivog skupa je najviše prebrojiv.

2. Unija konačnog ili prebrojivog broja prebrojivih skupova je prebrojiva.

3. Direktan proizvod konačnog broja prebrojivih skupova je prebrojiv.

4. Skup svih konačnih podskupova prebrojivog skupa je prebrojiv.

5. Skup svih podskupova prebrojivog skupa je kontinuiran i, posebno, nije prebrojiv.

Primjeri prebrojivih skupova:

Prosti brojevi Prirodni brojevi, Celi brojevi, Racionalni brojevi, Algebarski brojevi, Periodni prsten, Izračunljivi brojevi, Aritmetički brojevi.

Teorija realnih brojeva.

(Stvarno = stvarno - podsjetnik za nas momke.)

Skup R sadrži racionalne i iracionalne brojeve.

Realni brojevi koji nisu racionalni nazivaju se iracionalnim brojevima

Teorema: Ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat jednak broju 2

Racionalni brojevi: ½, 1/3, 0,5, 0,333.

Iracionalni brojevi: korijen od 2=1,4142356…, π=3,1415926…

Skup R realnih brojeva ima sljedeća svojstva:

1. Naređuje se: za bilo koja dva različita broja a i b važi jedna od dve relacije a ili a>b

2. Skup R je gust: između dva različita broja a i b sadrži beskonačan broj realnih brojeva X, tj. brojevi koji zadovoljavaju nejednakost a

Postoji i 3. imanje, ali je ogromno, izvinite

Ograničeni skupovi. Svojstva gornjih i donjih granica.

Ograničeni set- skup koji u određenom smislu ima konačnu veličinu.

omeđen iznad ako postoji broj takav da svi elementi ne prelaze:

Skup realnih brojeva se zove ograničen ispod, ako postoji broj ,

tako da su svi elementi najmanje:

Poziva se skup omeđen odozgo i odozdo ograničeno.

Poziva se skup koji nije ograničen neograničeno. Kao što slijedi iz definicije, skup je neograničen ako i samo ako je nije ograničeno odozgo ili nije ograničeno u nastavku.

Redoslijed brojeva. Granica konzistencije. Lema o dva policajca.

Redoslijed brojeva je niz elemenata brojevnog prostora.

Neka je ili skup realnih brojeva ili skup kompleksnih brojeva. Tada se poziva niz elemenata skupa numerički niz.

Primjer.

Funkcija je beskonačan niz racionalnih brojeva. Elementi ovog niza, počevši od prvog, imaju oblik .

Granica sekvence- ovo je objekt kojem se članovi niza približavaju kako se broj povećava. Konkretno, za nizove brojeva, granica je broj u bilo kojoj okolini u kojem leže svi članovi niza koji počinju od određene tačke.

Teorema o dva policajca...

Ako je funkcija takva da za sve u nekom susjedstvu točke , i funkcije i imaju istu granicu na , tada postoji granica funkcije na jednakoj istoj vrijednosti, tj.

Neka su data dva skupa X i Y, bez obzira da li se poklapaju ili ne.
Definicija. Poziva se skup uređenih parova elemenata, od kojih prvi pripada X, a drugi Y Dekartov proizvod skupova i određen je.
Primjer. Neka
,
, Onda
.
Ako
,
, Onda
.
Primjer. Neka
, gdje je R skup svih realnih brojeva. Onda
je skup svih kartezijanskih koordinata tačaka u ravni.
Primjer. Neka
je određena porodica skupova, onda je kartezijanski proizvod ovih skupova skup svih uređenih nizova dužine n:
Ako onda. Elementi iz
su vektori reda dužine n.
Algebarske strukture sa jednom binarnom operacijom
1 Binarne algebarske operacije
Neka
– proizvoljan konačan ili beskonačan skup.
Definicija. Binarno algebarski operacija ( unutrašnji zakon kompozicije) uključeno
je proizvoljno, ali fiksno preslikavanje kartezijanskog kvadrata
V
, tj.
(1)
(2)
Dakle, bilo koji naručeni par

. Činjenica da
, piše se simbolično u obliku
.
Tipično, binarne operacije se označavaju simbolima
itd. Kao i ranije, operacija
znači "sabiranje", a operacija "" znači "množenje". Razlikuju se po obliku zapisa i, moguće, po aksiomima, što će biti jasno iz konteksta. Izraz
nazvaćemo ga proizvodom i
– zbir elemenata I .
Definicija. Gomila
se zove zatvoren pod operacijom  ako za bilo koji .
Primjer. Razmotrimo skup nenegativnih cijelih brojeva
. Kao binarne operacije na
razmotrićemo obične operacije sabiranja
i množenje. Zatim setovi
,
će biti zatvoren u vezi sa ovim operacijama.
Komentar. Kao što slijedi iz definicije, specificiranje algebarske operacije * on
, je ekvivalentno zatvorenosti skupa
u vezi sa ovom operacijom. Ako se ispostavi da je mnogo
nije zatvoren pod datom operacijom *, onda u ovom slučaju kažu da operacija * nije algebarska. Na primjer, operacija oduzimanja na skupu prirodnih brojeva nije algebarska.
Neka
I
dva seta.
Definicija. Po spoljnom zakonu kompozicije na setu zove se mapiranje
, (3)
one. zakon po kojem bilo koji element
i bilo koji element
element se podudara
. Činjenica da
, označeno simbolom
ili
.
Primjer. Množenje matrice
po broju
je eksterni zakon kompozicije na skupu
. Množenje brojeva u
može se posmatrati i kao unutrašnji zakon kompozicije i kao spoljašnji zakon.
distributivni u pogledu unutrašnjeg zakona sastava * in
, Ako
Spoljašnji zakon kompozicije se zove distributivni u odnosu na unutrašnji zakon sastava * u Y, ako
Primjer. Množenje matrice
po broju
distributivna i s obzirom na sabiranje matrica i s obzirom na sabiranje brojeva, jer,.
Svojstva binarnih operacija

Binarna algebarska operacija  na skupu
zove:
Komentar. Svojstva komutativnosti i asocijativnosti su nezavisna.
Primjer. Razmotrimo skup cijelih brojeva. Operacija uključena će se utvrditi u skladu sa pravilom
. Odaberimo brojeve
i izvršite operaciju na ovim brojevima:
one. operacija  je komutativna, ali nije asocijativna.
Primjer. Razmotrite set
– kvadratne matrice dimenzija
sa realnim koeficijentima. Kao binarna operacija * on
Razmotrit ćemo operacije množenja matrice. Neka
, Onda
, kako god
, tj. operacija množenja na skupu kvadratnih matrica je asocijativna, ali nije komutativna.
Definicija. Element
pozvao single ili neutralan u vezi dotične operacije  na
, Ako
Lemma. Ako – jedinični element kompleta
, zatvoren pod operacijom *, onda je jedinstven.
Dokaz . Neka – jedinični element kompleta
, zatvoren pod operacijom *. Pretpostavimo da u
postoji još jedan jedinični element
, Onda
, jer je jedan element, i
, jer – pojedinačni element. dakle,
– jedini jedinični element kompleta
.
Definicija. Element
pozvao obrnuto ili simetrično do elementa
, Ako
Primjer. Razmotrimo skup cijelih brojeva sa operacijom sabiranja
. Element
, zatim simetrični element
postojaće element
. Zaista,.

Skup prirodnih brojeva sastoji se od brojeva 1, 2, 3, 4, ..., koji se koriste za brojanje objekata. Skup svih prirodnih brojeva obično se označava slovom N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Zakoni sabiranja prirodnih brojeva

1. Za bilo koje prirodne brojeve a I b jednakost je istinita a + b = b + a . Ovo svojstvo se zove komutativni zakon sabiranja.

2. Za bilo koje prirodne brojeve a, b, c jednakost je istinita (a + b) + c = a + (b + c) . Ovo svojstvo se naziva kombinovani (asocijativni) zakon sabiranja.

Zakoni množenja prirodnih brojeva

3. Za bilo koje prirodne brojeve a I b jednakost je istinita ab = ba. Ovo svojstvo se naziva komutativnim zakonom množenja.

4. Za bilo koje prirodne brojeve a, b, c jednakost je istinita (ab)c = a(bc) . Ovo svojstvo se naziva kombinovani (asocijativni) zakon množenja.

5. Za bilo koje vrijednosti a, b, c jednakost je istinita (a + b)c = ac + bc . Ovo svojstvo se naziva distributivnim zakonom množenja (u odnosu na sabiranje).

6. Za bilo koje vrijednosti a jednakost je istinita a*1 = a. Ovo svojstvo se zove zakon množenja sa jedan.

Rezultat zbrajanja ili množenja dva prirodna broja uvijek je prirodan broj. Ili, drugačije rečeno, ove operacije se mogu izvesti dok ostaju u skupu prirodnih brojeva. To se ne može reći za oduzimanje i dijeljenje: na primjer, od broja 3 nemoguće je, ostajući u skupu prirodnih brojeva, oduzeti broj 7; Broj 15 se ne može u potpunosti podijeliti sa 4.

Znakovi djeljivosti prirodnih brojeva

Deljivost zbira. Ako je svaki član djeljiv brojem, onda je zbir djeljiv tim brojem.

Deljivost proizvoda. Ako je u proizvodu barem jedan od faktora djeljiv određenim brojem, tada je i proizvod djeljiv ovim brojem.

Ovi uslovi, i za zbir i za proizvod, su dovoljni, ali nisu neophodni. Na primjer, proizvod 12*18 je djeljiv sa 36, iako ni 12 ni 18 nisu djeljivi sa 36.

Test djeljivosti sa 2. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 2, potrebno je i dovoljno da mu zadnja znamenka bude paran.

Test djeljivosti sa 5. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 5, potrebno je i dovoljno da njegova zadnja znamenka bude 0 ili 5.

Testirajte djeljivost sa 10. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 10, potrebno je i dovoljno da cifra jedinica bude 0.

Test djeljivosti sa 4. Da bi prirodni broj koji sadrži najmanje tri cifre bio djeljiv sa 4, potrebno je i dovoljno da posljednje cifre budu 00, 04, 08 ili je dvocifreni broj koji čine posljednje dvije cifre ovog broja djeljiv sa 4.

Testirajte djeljivost sa 2 (sa 9). Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 3 (sa 9), potrebno je i dovoljno da zbir njegovih cifara bude djeljiv sa 3 (sa 9).

Skup cijelih brojeva

Razmotrimo brojevnu pravu sa ishodištem u tački O. Koordinata broja nula na njemu će biti tačka O. Brojevi koji se nalaze na brojevnoj pravoj u datom smjeru nazivaju se pozitivni brojevi. Neka je data tačka na brojevnoj pravoj A sa koordinatom 3. Odgovara pozitivnom broju 3. Sada iscrtajmo jedinični segment iz tačke tri puta O, u smjeru suprotnom od datog. Onda shvatamo poentu A", simetrično prema tački A u odnosu na porijeklo O. Koordinata tačke A" postojaće broj - 3. Ovaj broj je suprotan broju 3. Brojevi koji se nalaze na brojevnoj pravoj u smeru suprotnom od datog nazivaju se negativni brojevi.

Brojevi suprotni prirodnim brojevima čine skup brojeva N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Ako kombinujemo setove N , N" i singleton set {0} , onda dobijamo set Z svi cijeli brojevi:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

Za cijele brojeve su tačni svi gore navedeni zakoni sabiranja i množenja, koji su tačni za prirodne brojeve. Osim toga, dodaju se sljedeći zakoni oduzimanja:

a - b = a + (- b) ;

a + (- a) = 0 .

Skup racionalnih brojeva

Da bi operacija dijeljenja cijelih brojeva bilo kojim brojem koji nije jednak nuli izvediva, uvode se razlomci:

Gdje a I b- cijeli brojevi i b nije jednako nuli.

Ako skupu svih pozitivnih i negativnih razlomaka dodamo skup cijelih brojeva, dobićemo skup racionalnih brojeva Q :

.

Štaviše, svaki cijeli broj je također racionalan broj, jer se, na primjer, broj 5 može predstaviti u obliku , gdje su brojnik i nazivnik cijeli brojevi. Ovo je važno kada se izvode operacije nad racionalnim brojevima, od kojih jedan može biti cijeli broj.

Zakoni aritmetičkih operacija nad racionalnim brojevima

Glavno svojstvo razlomka. Ako se brojnik i imenilac datog razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, dobićete razlomak jednak datom razlomku:

Ovo svojstvo se koristi pri redukciji razlomaka.

Zbrajanje razlomaka. Sabiranje običnih frakcija definira se na sljedeći način:

.

Odnosno, da biste sabrali razlomke sa različitim nazivnicima, razlomci se svode na zajednički imenilac. U praksi, kada se sabiraju (oduzimaju) razlomci sa različitim nazivnicima, razlomci se svode na najmanji zajednički imenilac. Na primjer, ovako:

Da biste sabrali razlomke sa istim brojiocima, jednostavno dodajte brojioce i ostavite imenilac istim.

Množenje razlomaka. Množenje običnih razlomaka definira se na sljedeći način:

Odnosno, da biste pomnožili razlomak razlomkom, morate pomnožiti brojilac prvog razlomka sa brojnikom drugog razlomka i upisati proizvod u brojnik novog razlomka, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti sa nazivnik drugog razlomka i proizvod upiši u nazivnik novog razlomka.

Dijeljenje razlomaka. Podjela običnih razlomaka definirana je na sljedeći način:

Odnosno, da biste podijelili razlomak razlomkom, trebate pomnožiti brojilac prvog razlomka sa nazivnikom drugog razlomka i upisati proizvod u brojilac novog razlomka, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti sa brojilac drugog razlomka i proizvod upiši u nazivnik novog razlomka.

Podizanje razlomka na stepen sa prirodnim eksponentom. Ova operacija je definirana na sljedeći način:

To jest, da bi se razlomak podigao na stepen, brojilac se podiže na taj stepen, a imenilac na taj stepen.

Periodične decimale

Teorema. Svaki racionalni broj može se predstaviti kao konačan ili beskonačan periodični razlomak.

Na primjer,

.

Grupa cifara koja se sekvencijalno ponavlja iza decimalne tačke u decimalnom zapisu broja naziva se period, a konačni ili beskonačni decimalni razlomak koji ima takav period u svom zapisu naziva se periodični.

U ovom slučaju, bilo koji konačni decimalni razlomak se smatra beskonačnim periodičnim razlomkom s nulom u periodu, na primjer:

Rezultat sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja sa nulom) dva racionalna broja je također racionalan broj.

Skup realnih brojeva

Na brojevnoj pravoj, koju smo razmatrali u vezi sa skupom cijelih brojeva, mogu postojati tačke koje nemaju koordinate u obliku racionalnog broja. Dakle, ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat 2. Dakle, broj nije racionalan broj. Također ne postoje racionalni brojevi čiji su kvadrati 5, 7, 9. Dakle, brojevi , , su iracionalni. Broj je takođe iracionalan.

Nijedan iracionalni broj se ne može predstaviti kao periodični razlomak. Oni su predstavljeni kao neperiodični razlomci.

Unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva R .

DEFINICIJA 5. Neka je X metrički prostor, MM H, aOH. Tačka a naziva se granična tačka M ako u bilo kojoj okolini a postoje tačke skupa M\(a). Ovo posljednje znači da u bilo kojoj okolini a postoje tačke skupa M različite od a.

Bilješke. 1. Granična tačka može ili ne mora pripadati skupu. Na primjer, 0 i 1 su granične točke skupa (0,2), ali mu prva ne pripada, a druga pripada.
2. Tačka skupa M ne mora biti njegova granična tačka. U ovom slučaju, naziva se izolovana tačka M. Na primjer, 1 je izolovana tačka skupa (-1,0)È(1).
3. Ako granična tačka a ne pripada skupu M, tada postoji niz tačaka x n OM koji konvergiraju u a u ovom metričkom prostoru. Da bi se to dokazalo, dovoljno je uzeti otvorene kuglice u ovoj tački poluprečnika 1/n i od svake kuglice odabrati tačku koja pripada M. Isto vrijedi i obrnuto, ako za a postoji takav niz, tada je tačka a granična tačka.
DEFINICIJA 6. Zatvaranje skupa M je unija M sa skupom njegovih graničnih tačaka. Oznaka
Imajte na umu da se zatvaranje lopte ne mora podudarati sa zatvorenom loptom istog radijusa. Na primjer, u diskretnom prostoru, zatvaranje lopte B(a,1) jednako je samoj lopti (sastoji se od jedne tačke a) dok se zatvorena lopta (a,1) poklapa sa cijelim prostorom.
Hajde da opišemo neka svojstva zatvaranja skupova.
1. MÌ. Ovo proizilazi direktno iz definicije zatvaranja.
2. Ako je M M N, onda M . Zaista, ako je a O , a PM, onda u bilo kojoj okolini a postoje tačke skupa M. One su takođe tačke od N. Prema tome aO . Za tačke iz M ovo je jasno po definiciji.
4. .
5. Zatvaranje praznog skupa je prazno. Ovaj dogovor ne proizilazi iz opšte definicije, ali je prirodan.
DEFINICIJA 7. Skup M M X naziva se zatvorenim ako je = M.
Skup M M X naziva se otvorenim ako je skup X\M zatvoren.
Za skup M M X se kaže da je svuda gust u X ako je = X.
DEFINICIJA 8. Tačka a naziva se unutrašnja tačka skupa M ako je B(a,r)MM za neko pozitivno r, tj. unutrašnja tačka je uključena u skup zajedno sa nekom okolinom. Tačka a naziva se vanjska tačka skupa M ako lopta B(a,r)MH/M za neko pozitivno r, tj. unutrašnja tačka nije uključena u skup zajedno sa nekom okolinom. Tačke koje nisu ni unutrašnje ni vanjske tačke skupa M nazivaju se granične tačke.
Dakle, granične tačke karakteriše činjenica da u svakoj njihovoj četvrti postoje tačke koje su uključene i nisu uključene u M.
PROPOZICIJA 4. Da bi skup bio otvoren, potrebno je i dovoljno da sve njegove tačke budu unutrašnje.
Primjeri zatvorenih skupova na liniji su , )