Kirjanov D.V., Kirjanova E.N., Kozlov N.I., Kuznjecov V.I.
(D.V.Kirijanov, E.N.Kirijanova, N.I.Kozlov, V.I.Kuznjecov)

IPM im. M.V.Keldysh RAS

Moskva, 2005

anotacija

U radu se ispituje nekoliko matematičkih modela uticaja starosnog sastava ekološke populacije na njen razvoj. Modeliranje se izvodi numeričkim rješavanjem dinamičkog sistema diferencijalne jednadžbe(obični i parcijalni derivati), koji pripadaju klasi Volterra sistema i Leslijevih matrica.

Abstract

Dat je pregled modela uticaja starosne strukture na dinamiku ekološke populacije. Razmatramo niz dinamičkih sistema običnih i PDE diferencijalnih jednadžbi zasnovanih na klasičnom Volterra modelu i pristupu Leslie matrica.

§ 1. Osnovni model

U poslednje vreme za rešenje praktični problemi Sve više se koristi modeliranje dinamike razvoja ekosistema na osnovu diferencijalnih i integro-diferencijalnih jednačina. Ovaj pristup se široko koristi za modeliranje različitih bioloških zajednica i, posebno, šuma. Najveću poteškoću predstavljaju dvije tačke:

· ispravan izbor jednadžbi, posebno parametara uključenih u njih koji opisuju veličinu uticaja određenih parametara na stanje datog područja ekosistema;

· adekvatno modeliranje uticaja starosti, kao i prostorne distribucije heterogenih ekosistema.

U ovom radu razmatramo različite efekte starosti u šumskim biocenozama na osnovu numeričkog modeliranja običnih diferencijalnih i diferencijalno-diferencijalnih jednadžbi, kao i parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Prije svega, predstavimo pojednostavljeni model razvoja dvovrstne šume, koji opisuje evoluciju populacije u cjelini, ne uzimajući u obzir ni prostornu distribuciju ni dobne efekte. U ovoj fazi, koja suštinski izražava globalne ekološke zahtjeve, potrebno je adekvatno odrediti prirodu glavnih interakcija.

Populaciju ćemo karakterizirati vektorom gustine biomase, i=l (listopadne vrste), x (četinari). Ograničimo se na dvostepeni sistem trofičkih interakcija tipa "resurs-potrošač": tlo - dvovrstne šume koje se međusobno nadmeću. Stanje tla karakteriše treća varijabla - generalizovani pokazatelj plodnosti P(t). Dinamički sistem koji smo koristili da opišemo ovaj skupni model je sljedeći:

i = (x, l)(1)

· P – generalizovani pokazatelj plodnosti – gustina resursa (kg/m 2 );

· u l – gustina biomase listopadnih vrsta (kg/m 2 );

· u x – gustina biomase četinara (kg/m 2 );

· A i je koeficijent obnove tla uslijed pada i-te vrste (1/god.);

· B – koeficijent samoozdravljenja tla (1/god);

· P 0 – asimptotska vrijednost plodnosti u odsustvu šume (kg/m 2 );

· Vi – stopa potrošnje resursa (trofička funkcija) (1/god.);

· s i – faktor korekcije koji opisuje konkurenciju;

· k i – koeficijent rasta i-te rase;

· D i – stopa prirodnog mortaliteta stabala (1/god);

· W – uticaj spoljašnjih faktora, često štetnih, dakle sa negativnim predznakom, (kg/(god× m 2))

· t 0 – prosječno vrijeme sazrijevanja mlade šume (godina)

Ovaj sistem, kao što je lako vidjeti, je generalizacija klasičnog Volterra modela. Koeficijenti su kombinacija eksperimentalno utvrđene konstante (koja određuje razvoj populacije u normalnim uvjetima) i neke korekcijske funkcije. U radu smo raspravljali o eksplicitnom obliku koeficijenata, a tu su dati i tipični grafovi rješenja sistema (1).

Jedno od rješenja koje odgovara razvoju šuma u normalnim uvjetima (sa dovoljno vlage) prikazano je na Sl. 1. Opisuje poznatu pojavu zamjene listopadnih šuma četinarskim tokom razvoja populacije.

Fig.1. Tipično rješenje sistema (1).

Odmah treba napomenuti da koncentrirani model (1) dozvoljava samo najgrublje razmatranje efekata starosti, jer jednadžbe uključuju ukupne gustine biomase (bez podjele na starosne grupe). Na primjer, u proračunima prikazanim na sl. 1, mi smo (putem odgovarajuće funkcije korekcije) uzeli u obzir da stopa prirodnog mortaliteta D i značajno zavisi od prosječne starosti stanovništva.

Nakon ovih preliminarnih napomena, možemo prijeći na glavnu temu ovog rada - različite modele šumskih populacija heterogenog starosnog sastava.

§ 2. Leslie matrični model

Leslie je sredinom veka predložio matrični račun za opisivanje razvoja složenih populacija više vrsta (primenjen na grudne modele). Do sada su se navedeni ekološki modeli oslanjali na metode diferencijalnog računa. Ovo je samo po sebi neka aproksimacija. Kada se prelazi na praktične proračune, na primjer, prema demografskim tabelama, treba se baviti diskretnim količinama. Na primjer, u ljudskoj demografiji obično se koriste petogodišnji vremenski intervali. Osim toga, razvoj mnogih populacija (uključujući šume) ima izraženu sezonsku prirodu. Stoga je za ispravan opis populacije i za praktične proračune vjerovatnije da nisu primjenjive metode diferencijalnog i integralnog računa, već metode diskretne matematike (matrica i sl.).

Leslie je predložio korištenje takozvane tranzicijske matrice za opisivanje složene višedobne populacije

,(2)

koji, kada se pomnoži sa vektorom stupaca broja jedinki različitih starosnih klasa (od nule - novorođenih jedinki, do k - najstarijih jedinki) daje broj jedinki u starosnim grupama nakon određene jedinice vremena (najčešće, a godine). Dakle, u tranziciona matrica Leslie p i je stopa preživljavanja (tj. vjerovatnoća da će pojedinac i-te klase preći u (i+1)-tu sljedeće godine),a i – prosječna plodnost pojedinaca i-to doba grupe.

Dakle, prijelazna matrica je kvadratna matrica veličine (k+1)´ (k+1), a vektor stupaca brojeva starosnih grupa je matrica (k+1)´ 1. Ako su elementi matrice konstantni, tj. ne mijenjaju se s vremenom, onda iz njihove nenegativnosti slijedi da je maksimalna apsolutna vrijednost svojstvene vrijednosti matrice realna i pozitivna. Ako je maksimalna vlastita vrijednost manja od jedan, tada je populacija osuđena na izumiranje; ako je veća, postoji neograničen rast populacije. Primitivne Leslijeve matrice imaju maksimalnu svojstvenu vrijednost od jedan. To znači da će populacija tokom vremena težiti nekoj stabilnoj starosnoj distribuciji, datoj svojstvenim vektorom koji odgovara maksimalnoj svojstvenoj vrijednosti, a stopa rasta populacije će biti određena ovom svojstvenom vrijednošću.

U populacionom dinamičkom opisu potrebno je prije svega uzeti u obzir razliku u sposobnosti jedinki da se razmnožavaju. U tu svrhu obično se razlikuju tri grupe: pregenerativne (mlade, još nesposobne za reprodukciju), generativne (sposobne za reprodukciju, ali trenutno ne moraju da se razmnožavaju) i postgenerativne (senilne, koje su već izgubile sposobnost reprodukcije). U zavisnosti od karakteristika životnog ciklusa određene vrste i uz prisustvo pouzdanih dijagnostičkih karakteristika, svaka od ovih velikih grupa se deli na manje starosne kategorije.

Treba napomenuti da je podjela populacije na starosne grupe opravdana s praktične točke gledišta u slučajevima kada organizmi određene vrste imaju karakteristike koje omogućavaju precizno određivanje starosti pojedinca. U našim modelima, u slučaju šumske populacije, starost pojedinog stabla može se precizno odrediti pomoću prstenova drveća.

Razmotrimo sada primjenu Leslijevih matrica na model uveden u§ 1. Podsjetimo, ovaj osnovni model opisuje šumu bez uzimanja u obzir starosti, a otpornost biljaka na sušu, zalivanje, zasjenjenje, zagađenje, požare zemlje, bolesti i druge faktore u velikoj mjeri zavisi od starosti.

U nastavku izostavljamo indeks pogleda, jer proračuni ne zavise od njega. Indeks prikaza će se pojaviti samo u konačnom rezultatu. Takođe treba uzeti u obzir da ako su intervali starosnih grupa vremenski mnogo veći, onda je potrebno uzeti u obzir i dobnu distribuciju unutar same grupe.Broj starosnih grupa može biti mali, npr. 4 grupe za svaki tipični dobni interval: mlada šuma, šuma reproduktivne dobi i prezrela šuma (ne daje sjeme). Odnosno, postoji samo 12 grupa. Međutim, ova raspodjela je nepoznata prije početka izračunavanja. Sasvim je moguće da se u svakom vremenskom koraku razjasni distribucija unutar grupe, na primjer, interpolacijom prema vrijednostima grupnih varijabli po vremenskom koraku. Zatim se konstante grupe rafiniraju. Biramo jednostavniji put: a priori se postavlja pretpostavka o dobnoj raspodjeli, a zatim se pronalaze grupne konstante. U stvari, ove "konstante" mogu zavisiti od grupnih varijabli. Ovo osigurava da su grupne konstante prilagođene u skladu sa vrijednostima grupnih varijabli.

Da bismo odredili koeficijente prijelaza iz grupe u grupu, pribjeći ćemo diskretnoj šemi (slika 2). Neka starosna grupa uključuje rlet i smatramo stabilno stanje kada se ista vrijednost biomase primi na ulaz grupe.

123 4

Fig.2. Dijagram koji objašnjava Lesliejev model

Tada ćemo za svaku godinu prema starosti imati sljedeće gustine biomase:

1 godina=,2 godina=,3 godina=,...r godina=

Ovdje je C koeficijent koji pokazuje koliko se početna gustina biomase povećava godišnje.Ova vrijednost je obično 0,1-0,18 i zavisi od grupe, gustine biomase, plodnosti itd. Međutim, unutar grupe se malo mijenja. Ako uzmemo grupe po 10 godina, onda je linearni zakon rasta u grupi koji smo usvojili potpuno opravdan.

Udio biomase u masi grupe koja svake godine dolazi u drugu grupu može se odrediti omjerom:

(3)

Ovo proizilazi iz činjenice da je ukupan volumen biomase u grupi zbir svih zapremina po godinama: . Uzimajući u obzir ove primjedbe, možemo to dobiti

(4)

Kao što vidimo, evolucija funkcija u i [j] opisana je jednadžbama sličnim sistemu (1), ali umjesto koeficijenata C i0 i D i0, nizovi rasta i smrti C i0 [j] i D i0 [j] uvode se, respektivno.

Očigledno treba uzeti u obzir starost uzimajući u obzir različite stavove mladih i starih stabala prema suši, močvarnosti itd. Za to se primjenjuju odgovarajuće funkcije korekcije, po analogiji sa osnovnim modelom (1). U ovom slučaju, naravno, one, kao i nepoznate funkcije, postaju vektorske, jer predstavljaju starosne karakteristike u odnosu na sušu, preplavljivanje, zasjenjenje, zagađenje i druge faktore. Na primjer, uzimaju u obzir da mlada stabla najviše pate od nedostatka vode, a zrela stabla su otpornija na zalijevanje, jer imaju dublji korijenski sistem. Za pisanje sistema jednadžbi modela (4) koristimo sljedeću tehniku ​​redukcije: u proizvodu funkcija iste strukture naznačićemo indekse samo pravog faktora: notacija je ekvivalentna .

Ukupan broj diferencijalnih jednadžbi: . Ovdje je maksimalan broj grupa th tipa, još dvije jednadžbe za produktivnost tla i debljinu navlaženog sloja). Veličina starosne grupe p godina.

Predstavimo sada neke rezultate modeliranja baziranih na sistemu jednadžbi (4) uzimajući u obzir starosnu strukturu šumske populacije. Širina svake starosne grupe bila je 10 godina. Na sl. 3 razvoj šuma u generaliziranom modelu: pod normalnom vlagom (održiva promjena iz mješovite šume u četinarsku šumu, kao u osnovnom modelu na sl. 1). Međutim, postoje fluktuacije u gustoći biomase povezane s fluktuacijama prosječne starosti (Sl. 4.). Općenito, može se prepoznati da je model zasnovan na godinama zasnovan na Leslijevim matricama realističniji i da zadržava ista osnovna svojstva kao i osnovni model

Fig.3. .Održiva populacija drveća

Fig.4. Varijacije u prosječnoj starosti stabala

§ 3. Jednodobni model sadnje

Razmotrimo sada još jedan model koji opisuje evoluciju niza sadnica iste starosti, uzimajući u obzir godišnje razmnožavanje sjemenom, starosnu granicu za početak reprodukcije, kao i intraspecifičnu konkurenciju i „ekološke“ reznice (određene samo prema stanju niza), čuvajući autonomiju.

Koristimo sljedeći diskretni koordinatni sistem. Broj generacije ćemo iscrtati duž ordinatne ose. Vrijeme ćemo iscrtati duž apscisne ose.Ako, radi lakšeg snimanja, pretpostavimo da je starost sadnica nula, tonovi koordinatna ravan U početnom trenutku će postojati samo jedna tačka. Nove generacije će se pojaviti uzimajući u obzir prag za reprodukciju i, pojavivši se, počinju da se kreću duž vremenske ose, „sinhrono starenje“.

Tada možemo zapisati našu vlastitu jednadžbu evolucijske ravnoteže za svaku generaciju:

,(5)

gdje je broj generacije, starost generacije u datom trenutku t, gustina biomase k-te generacije, razlika između koeficijenata prirodnog priraštaja i prirodnog mortaliteta, određene funkcije koja ovisi o cjelokupnom vektoru generacije gustina (dužina vektora zavisi od vremena u kojem ćemo razmatrati naš sistem, tj. nije konstantna).

Ova funkcija može izraziti intraspecifičnu konkurenciju:

, (6)

gdje je m reproduktivna dob, t-m+1 daje ukupan broj generacija u trenutku t, koeficijente kompetitivne interakcije generacija k i j, odnosno to su kvadratni termini konkurencije.

Rešićemo jednačinu za generisanje u vremenskom intervalu od godinu dana, uzimajući u obzir k() i neke dobro poznate funkcije na broju generacije. Tada možemo napisati:

(7)

U ovom unosu uzeli smo u obzir da je količina mala u odnosu na i da se stoga može proširiti u niz, ograničavajući se na prvi član ekspanzije. Ako sada uvedemo zapis za drugi faktor u posljednjem proizvodu:

,(8)

tada možete dobiti šemu brojanja za prijelaz sa vremenskog sloja t-1 na sloj t ako dodate vrijednost koja nedostaje novokreirane generacije na sloju t:

(9)

Vidimo da se vrijednosti generacije tek rođene na datom vremenskom sloju t dobijaju iz vrijednosti generacija također u sloju t. U slučaju uzimanja u obzir konkurencije, integral se mora izračunati koristeći podatke iz prethodni vremenski sloj.

Ako pristupite sistemu jednadžbi za generacije kao dinamičkom sistemu, onda možete opravdati stabilnost i aproksimaciju šeme i time opravdati konvergenciju šeme.

Budući da je predloženi sistem jednačina (bez konkurencije i uzorkovanja) linearan, ponašat će se kao logistički model bez Volterra takmičarskog termina. To znači da je ili nestabilna ili ima samo jedno stabilno stanje ravnoteže, nulu. U međuvremenu, proračuni (Sl. 5) za određenu varijantu šume pokazuju da je divergencija veoma spora. Tek do 320. godine primetno je povećanje u ukupnoj gustini sadnje. Dijagram također ispravno odražava početni period, kada još nije došlo do uspostavljanja profila distribucije starosti.

Fig.5.

(za populaciju od 100, 200 i 300 godina)

Numeričko rješenje istog problema, ali uz konkurenciju, dovodi do rezultata kada dođe do uspostavljanja stacionarnog profila za 120. godinu postojanja sletanja. Što se tiče apsolutnih vrijednosti biomase, one se utvrđuju kasnije (oko 200).

Iz ovoga možemo zaključiti da jednodobni zasadi ne obezbjeđuju prirodnu distribuciju šumskog područja prema starosti. U dogledno vreme imamo posla sa prelaznim rokom, što se i u praksi posmatra.

“Ekološka” sječa se pokazuje mnogo efikasnijom u smislu vremena dostizanja stacionarnog profila i stacionarne vrijednosti biomase. Na slici 6 prikazani su proračunski podaci po istoj shemi, ali se umjesto konkurencije uvodi sječa.Seča se vrši sve dok se ukupna biomasa ne smanji na određenu kritičnu vrijednost. Starost stabala koja se sijeku je 40-45 godina, sječe se 5%. Prirodni profil i asimptotske vrijednosti biomase se uspostavljaju mnogo brže nego kod konkurencije.

Fig.6. Evolucija dobnog spektra jednodobne sadnje

(za populaciju od 150 i 200 godina): model sa rezom

§ 4 Model kontinualne difuzije

U nastavku razmatramo kontinuirani model starosti koji nam omogućava da opišemo učinak reproduktivnog praga. Biološka varijabla ovdje će biti funkcija dvije varijable: vremena i starosti T. U ovom slučaju, u(t, T) dT je količina biomase sadržana u intervalu varijable starosti (T, T + dT).

Izračunajmo saldo za starosnu grupu u intervalu T, T + dT za vrijeme t:

· u(t, T) T je količina biomase uključena u vrijeme (gdje se ista vrijednost percipira kao starosni interval) s lijevog kraja,

· u(t,T+dT) Tova količina biomase napušta grupu na vrijeme sa desne ivice grupe,

· u(t,T) promjena biomase zbog procesa prirodnog mortaliteta, rasta i procesa unutarspecifične borbe:

Lijeva granica Desna granica

Fig.7.

U potonjim slučajevima uključen je integral nad biomasom svih uzrasta.

Uzmimo u obzir da je biomasa dT grupe jednaka u(t,T)dT:

Idući do granice i smanjujući proizvodom, nalazimo puni oblik jednadžbe:

(10)

granični uvjet(11)

Gdje je početni uvjet

U graničnom stanju na lijevom kraju dobnog intervala izračunava se integral za cijeli reproduktivni period. Funkcija daje produktivnost biomase odraslih u sjemenkama.

Evo reproduktivnog doba, desne granice reproduktivnog doba.

Da bismo riješili probleme vezane za stabilnost, ovu jednačinu reduciramo na jednačine kašnjenja, za koje je ovo pitanje dobro razvijeno. Da biste to učinili, razmislite o zamjeni potrebne funkcije (slika 8):

(12)

Fig.8. U pravcu izgradnje vremenske mreže

Zamjenom obje zamjene u originalnu jednačinu dobijamo za v(t,T) homogenu jednačinu s rješenjima koja se mogu napisati kroz dvije još nepoznate funkcije:

(13)

Ispravnost ovih formula može se provjeriti direktnom verifikacijom, a preostaje samo pronaći uvedene funkcije.

Početni i granični uslovi daju:

(14)

Iz ovih jednačina već možemo dobiti u(t,T) za t

(15)

Za pronalaženje rješenja kod T

(16)

Ovi izrazi se mogu dobiti zamjenom funkcija koje smo uveli pod integral u(t,T`). Ako sada uzmemo u obzir da vrijednosti u prvom redu nisu ništa drugo do poznati početni uvjet specificiran u intervalu perioda reprodukcije, tada, nakon diferencijacije, dobijamo diferencijalnu jednadžbu sa retardiranim argumentom, ali samo ako zavisnost q(s) od argumenta je odsutna ili ima poseban oblik - exp(s):

(17)

Ove jednačine moraju biti dopunjene početnim uslovom navedenim u vremenskom intervalu. Nakon toga, jednačine se mogu rješavati sekvencijalno.

Ove jednadžbe nećemo rješavati, jer u nastavku izvodimo numeričko rješenje za ovu vrstu jednadžbi u općenitijem obliku.Korisnost izvršenih proračuna je da daju nagovještaj kako riješiti problem stabilnosti za takve jednačine .

Iz teorije jednadžbi sa retardiranim argumentom konstruisana je karakteristična jednačina, međutim, za razliku od prethodno razmatranih karakterističnih jednačina, radi se o transcendentnoj jednadžbi koja ima beskonačno mnogo korena. Detaljno je analizirana teorija vezana za rješavanje karakterističnih jednačina ovog tipa. Iz ove teorije slijedi da je za linearne slučajeve moguće formulirati teoremu sličnu teoremi za linearne jednadžbe bez zaostajanja argumenata.

Daje se odgovarajuća formulacija za gotovo linearne jednačine uobičajenog tipa. Za naš slučaj, kao što slijedi iz , možemo to ponoviti doslovno: ako su realni korijeni karakteristične jednadžbe negativni, a svi kompleksni imaju negativne realne dijelove, tada su jednadžbe asimptotski stabilne prema Ljapunovu. Inače, ili nema stabilnost (korijeni ili njihovi realni dijelovi su pozitivni), ili nije asimptotična (postoji jednakost nultog realnog dijela korijena).

U našem slučaju za pronalaženje karakteristične jednadžbe nema potrebe prelaziti na diferencijalne jednadžbe, pogotovo jer se time sužava područje praktično zanimljivih slučajeva. Mogućnost takve redukcije o kojoj smo govorili daje nam za pravo da se oslanjamo na o snažnim rezultatima dobijenim za jednačine sa zaostalim argumentom.To je sve.To se također odnosi na teoreme o korijenima transcendentalne karakteristične jednačine i o mogućnosti proširenja rješenja u eksponencijalni niz. Što se tiče dobijanja same jednačine, koristićemo drugačiju tehniku.Pretpostavićemo da se rešenje originalne jednačine može predstaviti kao superpozicija rešenja na sledeći način: .

Zamjenom ovog izraza u originalnu jednačinu nalazimo:

(18)

Ova tehnika se široko koristi u matematičkoj fizici za linearne probleme.

Da bismo pronašli karakterističnu jednačinu za , moramo zamijeniti prikaz rješenja koji smo usvojili u granični uvjet. Nakon svođenja obje strane jednakosti na funkciju koja sadrži vrijeme, dobijamo karakterističnu jednačinu:

(19)

Posljednja jednakost je karakteristična jednadžba.Zanimljivo je da se može dobiti u zatvorenom obliku za vrlo proizvoljne funkcije, budući da se linearna jednadžba za G(T) prvog reda rješava u kvadraturama.Međutim, jednostavan eksponencijalni polinom možda neće dobiti. Međutim, svojstvo korijena je u velikoj mjeri očuvano, na tome se nećemo zadržavati, jer ćemo složene slučajeve proučavati numerički.

U najjednostavnijem slučaju, kada funkcije ne ovise o T, izraz za karakterističnu jednadžbu izgleda posebno jednostavno:

(20)

Takve jednačine se nazivaju eksponencijalni polinomi. Položaj korijena s takvog polinoma je dobro proučen. Ako se ispostavi da je jedini pravi korijen negativan, onda svi kompleksni korijeni imaju negativne realne dijelove. U ovom slučaju stabilnost sistema u diskretnoj verziji, dodavanje konkurencije dovelo je do stabilizacije šumskog područja. Ako se prije uključivanja konkurencije šuma vremenom smanjivala, onda će konkurencija samo intenzivirati ovaj proces. Ali u nestabilnom stanju, uključivanje konkurencije dovodi do netrivijalne stabilizacije.

Imajte na umu da čak i ako se uzmu u obzir samo konkurentski odnosi, proučavanje stabilnosti je teoretski nemoguće (međutim, situacija je slična i za obične nelinearne sisteme). Ovo pokazuje da je vrijednost analitičke

sa istim vremenskim i starosnim koracima, birajući nultu tačku po godinama iz prethodnog koraka:

(21)

Za opisivanje integrala u graničnom uslovu za starost koristi se Simpsonova formula.U sredini uzimamo desnu stranu jednadžbe.

Sve zavisnosti od starosti i vremena definišemo u obliku glatkih funkcija po komadima (u proračunima ispod to su ravni segmenti). Korištene ovisnosti ni na koji način ne utiču na istraživačke programe i podložne su promjenama.

Programi su organizovani tako da je moguće izračunati određeni broj vremenskih koraka i prikazati rezultat na grafikonu. Na ovaj način možete pratiti proces uspostavljanja profila.

Fig. Na slici 10 prikazani su rezultati proračuna dobnog spektra primjenom linearnog modela Prikazana je početna raspodjela starosti U0 i tri distribucije u uzastopnim trenucima vremena. Proces formiranja možemo posmatrati kada nema konkurencije (šuma je mlada) Jasno je da postoji povećanje gustine biomase, praćeno pomeranjem profila starosnog spektra udesno.

Slika 10. Evolucija dobnog spektra jednodobne populacije

Prilikom računanja sa konkurencijom, u ukupan koeficijent uvodimo konkurentski integral. Izračunava se u prethodnom koraku. Mora se reći da je takva organizacija brojanja sasvim prirodna za evoluciju šume: prvo se događaju promjene, a onda one daju učinak u obliku konkurencije.

Vidi se da u slučaju konkurencije dolazimo do stacionarnog režima: mlada šuma prelazi u zrelu (Sl. 11).

Slika 11. Evolucija dobnog spektra

jednodobna populacija (sa konkurencijom)

Zaključak

U ovom radu prikazana su tri modela evolucije šuma uzimajući u obzir starost, koji su izgrađeni na osnovu različitih metoda. Prvi (§ 2) je diskretni model zasnovan na Leslijevim matricama, uzimajući u obzir distribuciju stanovništva po konačnim starosnim grupama. Druga dva modela su kontinuirana, a prvi od njih (§ 3) odnosi se na obične diferencijalne jednadžbe, a posljednja (§ 4) - na parcijalne diferencijalne jednadžbe.

Bibliografija

Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. Stabilnost bioloških zajednica. M., Nauka, 1978.

Fedorov V.D., Gilmanov T.G. Ekologija. M., Ed. Moskovski državni univerzitet, 1980.

Williamson M. Analiza bioloških populacija. M.: Mir, 1975.

Volterra V. Matematička teorija borbe za postojanje. M.: Nauka, 1976.

V. I. Kuznjecov „Matematički model evolucije šuma“, disertacija za zvanje kandidata fizičkih i matematičkih nauka, M, 1998.

Kozlov N.I., Kuznjecov V.I., Kirjanov D.V., Kirjanova E.N. Dinamički modeli razvoja šuma srednjih geografskih širina. Preprint IAM RAS M., 2005.

Leslie P.H. O upotrebi matrica u određenoj populacijskoj matematici. Biometrija, v.33(1945), N3, str.183

Godunov S.K., Ryabenkiy V.S. Šeme razlika.„Nauka“, M. 1973.

Bellman R., Cook K.L. Diferencijalno-diferencijske jednadžbe. "Mir", M., 1967.

Godunov S.K. Obične diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima, Tom 1. Ed. NSU, ​​1994.

Kalitkin N.N. Numeričke metode "Mir", M., 1978.

UDK577.4:517.9

MODIFIKACIJA HETEROGENE LESLIE MODELA ZA SLUČAJ NEGATIVNE STOPE PLODNOSTI

BALAKIREVA A.G.

da se u svakom fiksnom trenutku u vremenu (na primjer, t0) populacija može okarakterizirati pomoću vektora stupca

Analiziran je heterogeni Leslie model sa negativnim koeficijentima plodnosti. Na osnovu ovog modela proučava se i predviđa starosna dinamika nastavnog osoblja na određenom univerzitetu.

1. Uvod

gdje je xi(tj) broj i-te starosne grupe u trenutku tj, i = 1,...,n.

Vektor X(ti), koji karakterizira populaciju u sljedećem trenutku vremena, na primjer, u godini, povezan je sa vektorom X(to) kroz prijelaznu matricu L:

Predviđanje i izračunavanje veličine populacije uzimajući u obzir njenu starosnu distribuciju je hitan i težak zadatak. Jedna od njegovih modifikacija je predviđanje starosne strukture homogene profesionalne grupe unutar određenog preduzeća ili industrije u cjelini. Razmotrimo pristup rješavanju ove klase problema koristeći strukturni model raspodjele po godinama. Formalizam ovog pristupa zasniva se na Leslijevom modelu, dobro poznatom u populacionoj dinamici.

Svrha ovog rada je pokazati mogućnost korištenja heterogenog Lesliejevog modela u slučaju negativne stope nataliteta za predviđanje razvoja dinamike stanovništva.

2. Izgradnja modela dinamike stanovništva uzimajući u obzir starosnu strukturu (Leslie model)

Da bi se izgradio Lesliejev model, potrebno je podijeliti populaciju na konačan broj starosnih klasa (na primjer, n dobnih klasa) jednog trajanja, a broj svih klasa je reguliran u diskretnom vremenu ujednačenim korakom (npr. , 1 godina).

Pod navedenim pretpostavkama i pod uslovom da resursi hrane nisu ograničeni, možemo zaključiti da 40

Dakle, znajući strukturu matrice L i početno stanje populacije (vektor stupca X(t0)), možemo predvidjeti stanje populacije u bilo kojem trenutku:

X(t2) = L X(ti) = LL X(t0) = L* 2 X(t0),

X(tn) = LX(tn-i) =... = LnX(t0). (1)

Leslijeva matrica L ima sljedeći oblik:

^ai a2 . .. a n-1 a > u-n

0 R 2 . .. 0 0 , (2)

v 0 0 . .. R n-1 0 V

gdje su a i stope nataliteta specifične za dob, koje karakteriziraju broj osoba rođenih iz odgovarajućih grupa; Pi - stope preživljavanja jednake vjerovatnoći prelaska iz starosne grupe i u i +1 grupu do sljedećeg trenutka (u-

od ^Pi može biti veće od 1). i=1

RI, 2011, br

Matrica L definira linearni operator u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru, koji ćemo također nazvati Lesliejevim operatorom. Kako veličine x;(t) imaju značenje brojeva, one su nenegativne, pa će nas zanimati djelovanje Leslieovog operatora u pozitivnom oktantu Pn n -dimenzionalnog prostora. Budući da su svi elementi matrice nenegativni (u ovom slučaju sama matrica se naziva nenegativna), jasno je da bilo koji pozitivni oktantni vektor ne prelazi svoje granice Leslijevim operatorom, tj. trajektorija X(t j) (j = 1,2,...) ostaje u Pn. Sva dalja svojstva Leslijevog modela proizlaze iz nenegativnosti matrice L i njene posebne strukture.

Asimptotičko ponašanje rješenja jednadžbe (1) značajno je povezano sa spektralnim svojstvima matrice L, od kojih su glavna utvrđena dobro poznatom Perron-Frobeniusovom teoremom.

Definicija. Heterogeni Lesliejev model je model forme

X(tj+i) = L(j)X(to), L(j) = Li L2 ... Lj, j = 1,2,...,

gdje je Lj Leslijeva matrica j-tog koraka.

Dinamika nehomogenog modela je vrlo slabo proučavana (iako je u velikoj mjeri slična dinamici modela (1), ima i neke razlike). Istovremeno, ovaj model je nesumnjivo realističniji.

3. Spektralna svojstva Leslijevog operatora

Nakon rada, razmotrićemo koncept indeksa imprimivnosti Leslijeve matrice.

Nerazložljiva matrica L sa nenegativnim elementima naziva se primitivna ako nosi tačno jedan karakterističan broj sa maksimalnim modulom. Ako matrica ima h > 1 karakterističnih brojeva sa maksimalnim modulom, onda se naziva iprimitivna. Broj h naziva se indeks imprimivnosti matrice L. Može se pokazati da je indeks imprimivnosti Leslijeve matrice jednak najvećem zajednički djelitelj broj onih starosnih grupa u kojima je stopa nataliteta različita od nule. Konkretno, za primitivnost Leslijeve matrice

dovoljno je da je a 1 > 0, ili da se natalitet odvija u bilo koje dvije uzastopne grupe, tj. postojalo je j takvo da je a j F 0 i

Uzimajući u obzir gore navedeno, možemo uočiti neka svojstva Leslijeve matrice.

1. Karakteristični polinom matrice L je jednak

An(P) = l1^-L = pn -“gr.n 1

Lagani sprt,

što se lako dokazuje metodom matematičke indukcije.

2. Karakteristična jednadžba A n(p) = 0 ima jedinstven pozitivan korijen r1 takav da

gdje je p bilo koja druga vlastita vrijednost matrice L. Broj p1 odgovara pozitivnom svojstvenom vektoru X1 matrice L.

Tvrdnja 2 svojstva slijedi direktno iz teoreme o nenegativnim matricama i Descartesove teoreme.

3. Znak jednakosti u (3) javlja se u izuzetnom slučaju kada je samo jedna od stopa fertiliteta različita od nule:

i k > 0, i j = 0 za j = 1,2,...,k - 1,k + 1,...,n.

4. Vrijednost p1 određuje asimptotičko ponašanje populacije. Veličina populacije se neograničeno povećava kada je I1 >1 i asimptotički teži nuli kada I1< 1. При И1 =1 имеет место соотношение

X1 = [-I-----,-I------,...,-^,1]"

R1R2 -Pn-1 P2---Pn-1 Pn-1

Pozitivni svojstveni vektor matrice L, određen do faktora.

Indikator svojstva 4 za nerazložljivu Leslijevu matricu oblika (4) je količina

R = a1 + £a iP1...Pi-1, i=2

što se može tumačiti kao reproduktivni potencijal populacije (generalizovani parametar stope reprodukcije), tj. ako je R > 1, tada je p1 > 1 (populacija raste eksponencijalno), ako je R< 1, то И1 < 1 (экспоненциально убывает), если R = 1, то И1 = 1 (стремится к предельному распределению).

4. Modifikacija Leslijevog modela za slučaj negativnih stopa fertiliteta

Radovi su razmatrali samo Lesliejev model sa nenegativnim koeficijentima. Obrazloženje za ovaj izbor, pored očiglednih matematičkih prednosti, bilo je da i vjerovatnoća preživljavanja i stope plodnosti ne mogu biti same po sebi negativne. Međutim, već u najranijim radovima na modelima reprodukcije stanovništva uočena je važnost razvoja modela sa, uopšteno govoreći, nepozitivnim koeficijentima prvog reda Leslijeve matrice. Konkretno, modeli reprodukcije bioloških populacija sa “anti-reproduktivnim” ponašanjem nereproduktivnih jedinki imaju negativne koeficijente.

RI, 2011, br

koje starosne grupe (uništenje jaja i mladih jedinki itd.). Ovome može dovesti i nadmetanje za resurse između novorođenčadi i predstavnika drugih starosnih grupa. S tim u vezi, relevantno je pitanje da li je svojstvo ergodičnosti, koje važi za Leslijeve modele sa nenegativnim koeficijentima, očuvano u široj klasi modela za reprodukciju demografskog potencijala.

Sljedeća teorema daje odgovor na ovo pitanje.

Teorema (O krugu nestabilnosti modela reprodukcije demografskog potencijala).

Neka se navede starosna struktura demografskog potencijala i broj ljudi koji žive. Tada postoji kružnica l = (p: |p|< рmin }, такой, что режим воспроизводства с указанными выше показателями обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда истинный коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу.

Ovu kružnicu ćemo nazvati krugom nestabilnosti, a njen poluprečnik poluprečnikom nestabilnosti.

Napomena 1. Iz teoreme proizilazi važan zaključak - bez obzira na strukturu demografskog potencijala, pri određenim vrijednostima prave stope reprodukcije će se uočiti svojstvo ergodičnosti. Posebno, modeli s negativnim elementima u prvom redu matrice reprodukcije, pa čak i negativnim vrijednostima demografskih potencijala mogu imati svojstvo ergodičnosti.

Napomena 2. Iz teoreme slijedi da ako za određenu vrijednost pravog koeficijenta reprodukcije model ima svojstvo ergodičnosti, onda on također ima ovo svojstvo za sve koeficijente reprodukcije koji su velike veličine.

5. Proučavanje starosne dinamike nastavnog osoblja univerziteta. Numerički eksperiment

Razmotrimo prognozu dinamike distribucije broja i godina nastavnog osoblja prema podacima jednog od univerziteta u Harkovu. Standardnu, takozvanu „komprimovanu“ starosnu strukturu nastavnog osoblja, formira statistika u vidu 5 starosnih kategorija. U tabeli je prikazan broj N svake starosne kategorije po godinama i procenat koji ova starosna kategorija čini u odnosu na ukupan broj.

Sastavimo prijelazne matrice L j tako da

X(tj+i) = LjX(tj) (Lj (5 x 5)). (4)

Za to je potrebno odrediti natalitet i stope preživljavanja u matrici oblika (2). Stope preživljavanja mogu se dobiti pomoću

direktno rješavanje jednačine (4) koristeći podatke iz tabele.

Struktura nastavnog osoblja

1 <40 322 38 242 38 236 36 273 40

2 40;49 117 14 88 14 95 15 90 14

3 50;59 234 27 163 26 160 25 156 24

4 60:65 88 10 68 11 79 12 69 11

5 65> 93 11 68 11 79 12 69 11

Ukupno 854 629 649 657

Što se tiče stopa fertiliteta, potrebno je napraviti dodatne pretpostavke. Neka se svake godine broj nastavnog osoblja povećava za deset ljudi. Pošto su stope fertiliteta a; interpretirano kao prosječna plodnost jedinki i-te starosne grupe, može se pretpostaviti da je a1, a 5 = 0, a 2 = 7 i 3 = 3. Na osnovu početnih podataka nalazimo da su a 4 negativne. Ovo stanje se tumači kao odlazak nekih članova nastavnog osoblja sa univerziteta. Iz navedenog slijedi da matrice L j imaju oblik:

0 0 u 3 0 0 . (5)

Razmotrićemo samo reproduktivne časove. Da biste to učinili, morate promijeniti oblik reducirane matrice (riješimo se posljednje nulte kolone). I mi izračunavamo post-reproduktivne klase kao što je prikazano u paragrafu 2.

Dakle, uzimajući u obzir gore navedeno i početne podatke, dobijamo dvije matrice:

Matrica Li oblika (5) sa koeficijentima a4 = 15, R1 = 0,27, r2 = 1,39, r3 = 0,29;

Matrica L2 tipa (5) sa koeficijentima a 4 = 11, R1 = 0,381, r2 = 1,64, r3 = 0,43.

Matrice L1 i L2 odgovaraju tranzicijama 2005-2006 i 2007-2008. Za početnu raspodjelu starosti uzimamo vektor X(t0) = T.

Ove matrice imaju koeficijente reprodukcije p1, koji ne spadaju u krug nestabilnosti. Iz toga slijedi da populacija sa datim režimom reprodukcije ima svojstvo ergodičnosti.

Primjenjujući heterogeni Lesliejev model sa datom početnom distribucijom, nalazimo da je, počevši od n=30 za ukupan broj, uvjet zadovoljen

RI, 2011, br

stabilizacija sljedećeg oblika: X(tj+1) = ^1X(tj), j = 20,..., gdje je q = 1,64 najveća vlastita vrijednost matrice L 2.

Nakon stabilizacije, procentualni odnos starosnih kategorija je sljedeći: prva kategorija - 39%, druga - 14%, treća - 22%, četvrta - 12%, peta -13%.

Pošto je najveća vlastita vrijednost veća od jedan, naš model je otvoren. S tim u vezi, nećemo razmatrati ukupan broj nastavnog osoblja, te odnos ovog broja prema stepenu najvećeg

svojstvena vrijednost matrice L2:

L(j)X(t0)/cc, gdje je j = 1,2,....

Na slici je prikazana dinamika starosne strukture nastavnog osoblja do 2015. godine.

Procenat

2004 2005 2007 2008 2013 2015

Promjene u udjelima starosnih kategorija tokom vremena

Na ovoj slici je odabrana skala od 10 do 40 jer je procenat starosnih kategorija u ovom rasponu.

Podaci modela prognoze uglavnom održavaju opšti trend povećanja udjela zaposlenih starijih od 50 godina, što ukazuje da se nastavlja trend „starenja“ starosnog sastava univerziteta. Utvrđeno je da je potrebno povećati prve dvije starosne kategorije za najmanje 23% uz odgovarajuće smanjenje preostalih starosnih kategorija da bi se ovaj trend preokrenuo.

Naučna novina leži u činjenici da je po prvi put razmatran heterogeni Lesliejev model u slučaju negativnih stopa fertiliteta. Ovo omogućava modelu da uzme u obzir ne samo natalitet, već i stopu smrtnosti pojedinaca u pregenerativnom periodu, što model čini realističnijim. Prisustvo negativnih koeficijenata suštinski menja metodologiju proučavanja dinamike Leslijevog modela uzimajući u obzir odgovarajuću oblast lokalizacije glavne sopstvene vrednosti (krug nestabilnosti).

Praktični značaj: ovaj model omogućava predviđanje promjena u veličini populacije i njenoj starosnoj strukturi, uzimajući u obzir i fertilitet i mortalitet u svakoj starosnoj grupi. Konkretno, koristeći stvarne statističke podatke koji pokrivaju nekoliko univerziteta u gradu Harkovu, napravljena je prognoza dinamike starosnih promjena u nastavnom osoblju. Podaci prognoze prilično dobro koreliraju sa stvarnim podacima.

Literatura: 1. Leslie P.H. O korištenju matrica u određenoj populacijskoj matematici // Biometrija. 1945.V.33, N3. P.183212. 2. Zuber I.E., Kolker Yu.I., Poluektov R.A. Kontrola veličine i starosnog sastava populacija // Problemi kibernetike. broj 25. P.129-138. 3. Riznichenko G.Yu., Rubin A.B. Matematički modeli biološki proizvodni procesi. M.: Izdavačka kuća. Moskovski državni univerzitet, 1993. 301 str. 4. Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. Stabilnost bioloških zajednica. M.: Nauka, 1978.352 str. 5. Gantmakher F. P. Teorija matrica. M.: Nauka, 1967.548 str. 6. Logofet D.O, Belova I.N. Nenegativne matrice kao alat za modeliranje dinamike populacije: klasični modeli i moderne generalizacije // Fundamental and Primijenjena matematika. 2007.T. 13. Vol. 4. P.145-164. 7. Kurosh A. G. Kurs više algebre. M.: Nauka, 1965. 433 str.

Ikona stila: Leslie Winer

TEKST: Alla Anatsko

Manekenka, pjesnikinja i pjevačica, Leslie Winer razočarala se modom jer je ocijenjena po njenom izgledu. Ali moda je ponovo fascinirana Winerom. I zato.

Prvi androgeni model na svijetu, prijatelj Basquiata i Burroughsa, lice Valentina i Miss Dior, svađalica izuzetne inteligencije, pjesnik i muzičar, bez kojeg ne bi postojali Massive Attack i Portishead - sve je to Leslie Winer , intelektualka i autsajderka svojom voljom, koja je, možda, izmislila trip-hop. Zašto, nakon nekoliko decenija, modna industrija ne zaboravlja na Leslie?

Prvi androgeni model

Njujork, 1979. Fraza OK, Leslie, time to work your magic u izvedbi Vincenta Galloa, sa kojim će model i kultni muzičar Leslie Winer snimiti pjesmu I Sat Back, stara je više od trideset godina. Young Winer se seli u glavnu metropolu svijeta iz Massachusettsa - kako bi ušao u školu likovne umjetnosti na kurs pionira konceptualne umjetnosti Josepha Kosutha. Kako bi platila stanovanje i materijal za učenje, Leslie pomaže svojoj susjedi da piše porno romane, a kasnije postaje pomoćnica i štićenica Williama Burroughsa. Vrlo brzo sklapa ugovor sa Elite Model Management - njena prva kompozicija sadrži pet fotografija. One su potpuno konvencionalne devojke: za sada nema nagoveštaja zaštitnog znaka bodljikavog pogleda i androginosti.

Već 1980. Leslie je ošišala kosu - u njenom portfelju pojavile su se fotografije Paola Roversija i Petera Lindbergha. Tako počinje karijera "prvog androginog modela na svijetu", kako ju je nazvao Jean-Paul Gaultier. Leslie se ponaša loše i zabavlja na zabavama, ima kratku vezu sa Jean-Michelom Basquiatom, ali dobro radi - fotografiraju je Helmut Newton i Irving Penn, stavljaju je na naslovnice italijanskog i francuskog Voguea, velikog The Facea i Magazin Mademoiselle, popularan tih godina. Ona dobija poseban, dobro uvežban ugao po kojem se prepoznaje, pogled u stranu i grabežljivo muško žmirenje, što će kasnije postati gotovo kliše popularna kultura- Hilari Svonk će ih ponoviti u filmu "Dečaci ne plaču" i vulgarizovati Rubi Rouz.

Vogue US, oktobar 1981

Vogue US, novembar 1982

Vogue US, jul 1982

Sada Leslie nazivaju supermodelom 80-ih, iako se i sama Winer otrovno šali: „Kakvo je ovo sranje? Tada čak ni takav koncept nije postojao. Radio sam mnogo stvari, a bio sam alkoholičar, koristio sam tampone – mnogo duže nego što sam radio kao model, i sa mnogo više entuzijazma.”

("points":[("id":1,"properties":("x":0,"y":0,"z":0,"opacity":1,"scaleX":1,"scaleY ":1,"rotacijaX":0,"rotacijaY":0,"rotacijaZ":0)),("id":3,"properties":("x":778,"y":0,"z ":0,"prozirnost":1,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotacijaX":0,"rotacijaY":0,"rotacijaZ":0)),("id":4," svojstva":("x":778,"y":0,"z":0,"opacity":0,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotacijaX":0,"rotacijaY": 0,"rotationZ":0))],"steps":[("id":2,"properties":("duration":0.8,"delay":0,"bezier":,"ease":" Power2.easeInOut","automatic_duration":true)),("id":5,"properties":("duration":0.1,"delay":0,"bezier":,"ease":"Power2.easeInOut ","automatic_duration":true))],"transform_origin":("x":0,5,"y":0,5))

Modno razočarenje i album Witch

Naslovnica albuma WITCH

Vogue Italia, septembar 1989

Leslie je aktivno snimala i putovala po svijetu, ali je uspješno skandalizirala i po klubovima - pristup najotmjenijim ustanovama od Pariza do Tokija bio joj je zauvijek zatvoren. Sredinom 1980-ih našla se u Londonu, gdje je dijelila smještaj s predstavnicima lokalnog andergraunda i počela se družiti u Leigh Bowery klubu Taboo. U nekom trenutku, Winer se navikla na svoj novi sjajni imidž - mušku košulju, raščupanu kosu, cigaretu u zubima i srednji prst na sočivima; ali shvatanje da trati život i da ne koristi svoj književni talenat do kraja nije joj dozvolilo da se pomiri sa karijerom modela ili muze. Kako bi ostala u Londonu, Leslie se brzo udaje za bivšeg basistu Adama i Mravi - radi dokumenata; Svjedoci vjenčanja su njene komšije i prijatelji Boweryja: režiser John Maybury i umjetnik Trojan, koji umire od predoziranja nekoliko mjeseci nakon vjenčanja. Ova smrt indirektno čini Winer pevačicom: Maks, novi bend njenog muža, odlučuje da snimi omaž umetniku, a Lesli, koja je ranije pisala samo tekstove, okušava se kao vokal. Njena debitantska pjesma zvala se 337.5537's Little Ghost, gdje se ispostavilo da je kod za biranje zapravo oznaka koju je izmislio Basquiat, a predstavlja Winerovo ime ispisano brojevima - LESSLEE.

Kasnije bi Viner i njen suprug smislili numeru za Sinead O'Connor, ali je i sama Lesli ostala nezadovoljna - nije joj se svideo način na koji grupa Maks snima muziku, nije osećala nikakvu energiju u svojim kolegama. Srećom, u njenom životu pojavio se uzor: legendarni producent Trevor Horn - njegov stil rada natjerao je Leslieja da dobije snagu i objavi prvu pjesmu Kind of Easy, čije su piratske kopije odjednom postale popularne u uskim krugovima. Sljedeći korak bio je cjelovečernji album Witch, koji je Leslie snimio pod grafičkim pseudonimom, simbolom autorskih prava, tri godine prije nego što se javnost suočila s fenomenom zvanim "pjevač ranije poznat kao Princ". Ali ironično, snimak je objavljen tek tri godine kasnije - 1993. godine.

Vogue UK, maj 1990

Leslie Winer i ilustrator Tony Viramontes

Album je upravo postao oličenje posebne magije Leslie Winer: ona distancirano, kao potpuno bez refleksije, izgovara svoje tekstove, u kojima su oštri politički i socijalni problemi zvuče tako obično i jezivo da se nemoguće otrgnuti - i sve to uz dubok bas. U to vrijeme, Winer se pokazao gotovo najpolitiziranijim izvođačem, ali je ostala u andergraundu - nije posebno težila top listama, ali je, bez želje, smislila trip-hop. Winerov rad i tehnike se sve češće pojavljuju u numerama Massive Attack, Tricky i Portishead, iako neki kritičari smatraju da je mišljenje MNE magazina da je Winer “baka trip-hopa” pomalo kontroverzno: u vrijeme kada je album objavljen, isti Massive Attack je već bio aktivan, a gusti bas je postao osnova za gotovo svaki drugi muzički eksperiment ranih 1990-ih. S druge strane, kada se čuveni bristolski zvuk tek formirao, u zraku je bilo nešto uobičajeno, ne samo način izvođenja, već i raspoloženje i, što je najvažnije, karakteristični distopijski tekstovi - i Leslie je to uhvatio prije svih .

Twiggy- pravo ime Lesley Hornby. Šezdesete godine - doba pobuna mladih - kada se mnogi mladi ljudi nisu željeli prilagoditi, poslušati ili napustiti sebe, htjeli su živjeti u zadovoljstvu. Pobunili su se protiv autoriteta svojih roditelja, crkve i države i počeli tragati za novim vrijednostima. Takvi sukobi među generacijama su se uvijek dešavali. Ono što je bilo neobično je to što su mladi ljudi ne samo protestirali, već su stvarali nove vrijednosti, novu kulturu.

Naravno, u ovoj eri je morala nastati nova. U to vrijeme, tipovi i Brigitte Bardot ostali su popularni. Ali oličenje novog ideala bila je manekenka Twiggy - šesnaestogodišnja Engleskinja teška samo 45 kilograma i visoka 169 cm. Rođena je u predgrađu Londona, sa 16 godina Twiggy je upoznala frizera Leonarda i postala lice njegovog kozmetičkog salona. Prvo fotografisanje Twiggy kao kratko ošišanog modela napravio je Barry Lategan. Upravo je on smislio nezaboravan pseudonim za Leslie Hornby - Twiggy.

Jedan od novinara londonskih novina vidio je Twiggy fotografiju u izlogu salona i objavio njen portret u novinama pod naslovom "Lice 1966.". Iste godine Twiggy je postala najpopularniji model na svijetu.

Nakon što je samo tri godine radila kao model, postala je toliko bogata da je sa 19 godina mogla da se povuče. Twiggy - u prijevodu tanka grančica - bio je prvi model koji je postao idol miliona. Kada je izašla u javnost, gomila se okupila oko nje.

Twiggy model Dugi niz godina za redom je ostala neprikosnovena kraljica manekenki. Bila je prva manekenka koja je započela proces koji je modele učinio sastavnim dijelom pop kulture, zajedno sa muzičarima i glumcima.

Twiggy je najbolje odražavao sliku, udahnuo mladost i čistoću.

Neka x i(k) , gdje je broj jedinki u populaciji u i starosnoj grupi u diskretnim vremenskim trenucima k. Procesi reprodukcije, smrti i tranzicije jedinki iz jedne starosne grupe u drugu mogu se formalizirati na sljedeći način (Rosenberg, 1984). Prvo, ustanovimo kakvo je stanje stanovništva u ovom trenutku k+1 zavisi od stanja u trenutku k. Broj prve grupe ( k= 1) predstavlja broj novorođenih potomaka svih ostalih grupa u jednom vremenskom intervalu; Vjeruje se da pojedinci određene starosne grupe proizvode potomstvo u direktnoj proporciji s brojem jedinki u ovoj grupi:

Gdje f i- natalitet i starosnoj grupi. Ako označimo sa dj<1 коэффициент выживаемости при переходе от возрастной группы j grupi j+ 1, onda možemo pisati n– 1 odnos tipa:

Tada, kombinirajući i , možemo napisati sistem n diferencijske jednačine koje predstavljaju diskretni model starosnog sastava stanovništva. U matričnom obliku imamo:

x(k + 1) = Lx(k),

Gdje x(k) = {x i(k)) je vektor brojeva pojedinih starosnih grupa, i

– matrica stopa fertiliteta i preživljavanja

Ako to detaljnije opišemo, dobijamo:

Krajnji lijevi vektor stupca odražava broj pojedinaca različitih starosnih grupa u određenom trenutku k+1, a krajnji desni vektor kolone je broj pojedinaca različitih starosnih grupa u određenom trenutku k. Matrica fertiliteta i stope preživljavanja je matrica prijelaza iz jednog stanja u drugo.

Za izračunavanje starosnog sastava stanovništva u bilo kojem trenutku koristimo jednostavne odnose:

x(k + 1) = Lx(k)

x(k + 2) = Lx(k+1) =LLx(k) = L 2 x(k)

x(k+m) = L m x(k)

Ovaj model je poznat kao Leslie's model (Leslie, 1945).

Kvadratna matrica L je nenegativna (svi njeni elementi su nenegativni). Da bi Leslijeva matrica bila nerazložljiva (tj. ne bi se mogla svesti na oblik bilo kakvom permutacijom redova i odgovarajućih kolona):

Gdje A I B su kvadratne podmatrice), potrebno je i dovoljno da . Biološki, ovo stanje znači da kao n To nije maksimalno moguća, već najveća reproduktivna dob jedinki.

Karakteristična jednačina sistema ima sljedeći oblik:

Gdje E– matrica sa jedinicama na glavnoj dijagonali, a svi ostali članovi su jednaki nuli.

Budući da je Leslijeva matrica nenegativna i nerazložljiva, onda, u skladu s Perron-Frobeniusovom teoremom, karakteristična jednadžba ima realan pozitivan karakterističan broj (maksimalni među svim ostalim karakterističnim brojevima), koji je jednostavan korijen ovog jednačina. Osim toga, budući da , jednadžba nema nulte korijene. Iz ovih uslova sledi da je asimptotičko rešenje sistema za dovoljno veliko kće biti određen svojstvenom vrijednošću λ 1 (maksimum od svih) i odgovarajućim svojstvenim vektorom b 1 Leslie matrica:

Gdje With 1 – neka konstanta u zavisnosti od koordinata početne distribucije vektora x(0).

Ako je λ 1 >1, tada populacija raste ( x(k) raste s rastom k). Ako je λ 1<1, то популяция гибнет. Наконец, если λ 1 =1, то общая численность популяции асимптотически стремиться к постоянной величине. P(1)<0 эквивалентно выражению λ 1 >1, tj. stanje rasta stanovništva (vidi formulu 5), slično P(1)>0 odgovara smrti, i P(1) = 0 – stacionarna veličina populacije. Dakle, iz oblika matrice bez određivanja svojstvene vrijednosti λ 1, mogu se izvući kvalitativni zaključci o prirodi simulirane populacije tokom vremena.

Nedostatak Leslijevog modela sličan je nedostatku Malthusovog modela - to je neograničen rast populacije sa λ 1 >1, što odgovara samo početnim fazama rasta nekih populacija (Rosenberg, 1984).

Lesliejev model korišten je za opisivanje starosne strukture koenopopulacije Schellove ovce ( Helictotrichon schellinum). Ovo je rastresita trava malog travnjaka sjevernih livadskih stepa. A.N. Cheburaeva (1977) proučavala je distribuciju broja jedinki ove žitarice po starosnim grupama u Poperechenskoj stepi u Penzanskoj oblasti na slivnom platou na ukupnoj površini od 50 m2 u različitim godinama (1970-1974). Svake godine vršena su prebrojavanja jedinki ovaca na 200 parcela veličine 0,5×0,5 m. Ovako velika ponavljanja posmatranja omogućava nam da dobijene procjene broja jedinki u svakoj starosnoj grupi smatramo prilično stabilnim. Istraživač je identifikovao devet starosnih grupa:

· klice I puca

· pregenerativne osobe ( juvenile, nezreo I mlada vegetativna)

· generativne osobe ( mlad, zrelo I star)

· postgenerativne osobe ( subsenile I senilan)

Da bi se uzeli u obzir uticaj vremenskih prilika na dinamiku cenopopulacije ovaca školjke (1972. godina je bila sušna godina), potrebno je preći sa apsolutnih brojeva na relativne. U jednakim intervalima za svaku starosnu grupu mora biti zadovoljen sljedeći odnos: x i + 1 (k + 1) < x ja( k), tj. u narednom trenutku ne bi trebalo da bude više pojedinaca u starijoj starosnoj grupi nego što je bilo u sadašnjem trenutku u mlađoj grupi. S tim u vezi, prvih sedam uzrasnih razreda A.N. Cheburaeva su bili ujedinjeni. Početni podaci za izgradnju modela dati su u tabeli. 1.

Tabela 1

Apsolutni i relativni broj cenopopulacije ovaca školjke za različite starosne grupe (prema A.N. Cheburaeva, 1977)

Uprkos modifikaciji, podaci iz 1972. su i dalje drugačiji, tako da ne treba očekivati ​​da će Lesliejev model precizno predvidjeti obilje. Da bi se dobila preciznija prognoza, koeficijenti Leslijeve matrice moraju biti ovisni o vremenskim uslovima.

Da konstruišemo matricu L Koristimo neke ideje o mogućim vrijednostima njegovih koeficijenata. Dakle, natalitet f i pri prelasku iz prve grupe, koja uključuje sva generativna stanja, na starije biljke, trebalo bi da se smanje. Stope preživljavanja d i uzeti približno jednako (polovina pojedinaca prelazi iz prve grupe u drugu, nešto manje iz druge u sljedeću). Konačno, Leslijeva matrica izgleda ovako:

Karakteristična jednačina za Lesliejev model u u ovom slučaju je polinom trećeg stepena:

Lako je to provjeriti P(1) = 0,23>0 prema P. Leslijevoj teoriji ukazuje na starenje i odumiranje date koenopopulacije u posmatranom vremenskom intervalu.

Izračunajmo korijene karakteristične jednadžbe. Za ovo ćemo koristiti Cardano formula. Razmotrimo algoritam za rješavanje kubične jednadžbe oblika:

Napravimo zamjenu:

Dobijamo jednačinu:

Pretpostavimo da je vrijednost korijena predstavljena kao zbir dvije veličine y = α + β, tada će jednačina poprimiti oblik:

Izjednačimo izraz (3 αβ + p), tada možemo preći sa jednačine na sistem:

što je ekvivalentno sistemu:

Dobili smo Vietine formule za dva korijena kvadratna jednačina (α 3 – prvi korijen; β 3 – drugi korijen). Odavde:

– diskriminanta jednačine.

Ako je D>0, onda jednačina ima tri različita realna korijena.

Ako je D = 0, tada se najmanje dva korijena poklapaju: ili jednačina ima dvostruki realni korijen i drugi, različiti realni korijen, ili se sva tri korijena poklapaju, formirajući korijen od višestruka tri.

Ako je D<0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Dakle, korijeni kubične jednadžbe u kanonskom obliku su:

Gdje i= je imaginarni broj.

Morate primijeniti ovu formulu za svaku vrijednost kubnog korijena (kubni korijen uvijek daje tri vrijednosti!) i uzeti vrijednost korijena tako da je uvjet ispunjen:

Za provjeru se mogu koristiti sljedeće relacije:

Gdje d≠ 0

Gdje d≠ 0

Konačno:

u našem slučaju: a = 1; b = –0,6; c = –0,15; d = –0,02;

D= – 0,03888, D<0. Уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Zatim, koristeći gornje formule, nalazimo vlastite vrijednosti karakteristične jednadžbe: λ 1 = 0,814; λ 2 = – 0,107 + 0,112 i; λ 3 = – 0,107 – 0,112 i, Gdje i= je imaginarni broj. Dakle, karakteristična jednadžba ima jedan realan i dva kompleksna korijena. λ 1 je maksimalni korijen ove jednadžbe, a pošto je λ 1<1, то вывод об увядании данной ценопопуляции остается без изменения.

Pored toga, prema Yu.M. Svirzhev i D.O. Logofet (1978), jednostavan i dovoljan uslov za postojanje periodičnih fluktuacija u ukupnom broju su izrazi:

S tim u vezi, treba očekivati ​​postojanje periodičnih fluktuacija u veličini cenopopulacije ovaca školjke, budući da je λ 1 >max (0,5; 0,4).

U okviru Leslijevog modela, posmatrani A.N. Fenomen Čeburajeva je starenje cenopopulacije ovaca i prisustvo fluktuacija u distribuciji jedinki duž dobnog spektra tokom niza godina. Na sl. Na slici 1 prikazana je dinamika broja osoba za svaku od identifikovanih starosnih grupa. Da bi model dao zadovoljavajuću prognozu, potrebno je da matrični koeficijenti L nisu bile konstantne, već su zavisile od vremenskih uslova. Ako dopunimo Lesliejev model sa uslovima normalizacije za rezultujući vektor x(k+1) tako da je zbir veličine čitave populacije jednak posmatranoj ukupnoj veličini u tom trenutku k+1, tada se indirektno uzima u obzir uticaj vremenskih uslova. Model će u ovom slučaju izgledati ovako:

x(k+1) = Lx(k), ,

Gdje X(k+1) – ukupna veličina populacije u isto vrijeme k+1 (ostale oznake su slične Leslijevom modelu). Dakle, znajući ukupan broj jedinki date cenopopulacije u različitim godinama, konstruirajući Leslijevu matricu iz općih bioloških razmatranja i uzimajući kao x(1) distribucija jedinki ovaca po starosnim grupama 1970. godine, moguće je uvjerljivo obnoviti raspodjelu jedinki po starosnim grupama u drugim godinama.

Proračun apsolutne veličine cenopopulacije Helictotrichon schellinum za različite starosne grupe u različitim godinama provodi se na sljedeći način. Uzimamo originalne podatke za 1970. i zamjenjujemo ih u matricu. Množenje matrice vršimo prema odgovarajućim pravilima. Dobijamo novu matricu sa brojevima različitih starosnih grupa za 1971. godinu.

Ovo ponavljamo svaki put za svaku godinu. Rezultate unosimo u tabelu, izračunavamo ukupan broj pojedinaca koristeći Leslie model i upoređujemo ga sa empirijskim podacima. Zatim uvodimo faktor korekcije i usklađujemo proračune prema modelu sa ukupnim brojem (tabela 2).

tabela 2

Apsolutna veličina cenopopulacije ovaca školjaka za različite starosne grupe prema Leslieovom modelu i empirijskim podacima

Starosna grupa
empirijski podaci	model Leslie	empirijski podaci	model Leslie		empirijski podaci	model Leslie	Leslie model prilagođen ukupnoj populaciji	empirijski podaci	model Leslie	Leslie model prilagođen ukupnoj populaciji	empirijski podaci	model Leslie	Leslie model prilagođen ukupnoj populaciji
Sadnice, pregenerativne i generativne jedinke				280,1	160,9		231,9	31,5		188,9	158,1		153,7	75,1
Subsenilne osobe				193,0	110,9		140,1	19,0		116,0	97,1		94,5	46,2
Senilni pojedinci				59,6	34,2		77,2	10,5		56,0	46,9		46,4	22,7
Ukupan broj				532,7			449,2			360,9			294,6