Definicija trokuta

Trougao je geometrijska figura koja nastaje kao rezultat presjeka tri segmenta, čiji krajevi ne leže na istoj pravoj liniji. Svaki trougao ima tri stranice, tri vrha i tri ugla.

Online kalkulator

Postoje trouglovi razne vrste. Na primjer, postoji jednakostranični trokut (onaj u kojem su sve strane jednake), jednakokračan (dvije stranice su u njemu jednake) i pravougaoni trokut (u kojem je jedan od uglova ravan, tj. jednak 90 stepeni).

Može se naći površina trougla na razne načine u zavisnosti od toga koji su elementi figure poznati iz uslova problema, bilo da se radi o uglovima, dužinama ili čak radijusima kružnica povezanih sa trouglom. Pogledajmo svaku metodu posebno s primjerima.

Formula za površinu trokuta na osnovu njegove osnove i visine

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

A a a- osnova trougla;
h h h- visina trougla povučena do date osnove a.

Primjer

Nađite površinu trokuta ako je poznata dužina njegove osnove jednaka 10 (cm) i visina povučena ovoj osnovici jednaka 5 (cm).

Rješenje

A = 10 a=10 a =1 0
h = 5 h=5 h =5

Ovo zamjenjujemo u formulu za površinu i dobivamo:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (vidi sq.)

odgovor: 25 (cm. sq.)

Formula za površinu trokuta zasnovana na dužinama svih strana

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- dužine stranica trougla;
p str str- polovina zbira svih strana trokuta (odnosno polovina perimetra trokuta):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (a +b+c)

Ova formula se zove Heronova formula.

Primjer

Nađite površinu trokuta ako su poznate dužine njegove tri stranice, jednake 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).

Rješenje

A = 3 a=3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5

Nađimo polovinu perimetra p str str:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Zatim, prema Heronovoj formuli, površina trokuta je:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (vidi sq.)

Odgovor: 6 (vidi kvadrat)

Formula za površinu trokuta sa jednom stranom i dva ugla

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 a 2 ​ ⋅ sin(β + γ)grijeh β grijeh γ ​ ,

A a a- dužina stranice trougla;
β , γ \beta, \gamma β , γ - uglovi susedni sa strane a a a.

Primjer

Dati su stranica trougla jednaka 10 (cm) i dva susjedna ugla od 30 stepeni. Pronađite površinu trokuta.

Rješenje

A = 10 a=10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

prema formuli:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10)\^2) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\cca 14.4S=2 1 0 2 ​ ⋅ grijeh (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) grijeh 3 0 ∘ grijeh 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (vidi sq.)

odgovor: 14,4 (vidi kv.)

Formula za površinu trokuta zasnovanu na tri strane i poluprečniku opisane kružnice

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- stranice trougla;
R R R- poluprečnik opisane kružnice oko trougla.

Primjer

Uzmimo brojeve iz našeg drugog zadatka i dodajmo im radijus R R R krugovima. Neka bude jednako 10 (cm.).

Rješenje

A = 3 a=3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (vidi sq.)

odgovor: 1,5 (cm2)

Formula za površinu trokuta zasnovana na tri strane i poluprečniku upisane kružnice

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= str⋅ r,

p strstr- polovina perimetra trougla:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)str= 2 a+ b+ c​ ,

a, b, c a, b, ca, b, c- stranice trougla;
r rr- polumjer kružnice upisane u trokut.

Primjer

Neka je polumjer upisane kružnice 2 (cm). Dužine stranica ćemo uzeti iz prethodnog zadatka.

Rješenje

$a=3b\; =\; 4\; b=4b=4c\; =\; 5\; c=5c=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$str=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (vidi sq.)

odgovor: 12 (cm. sq.)

Formula za površinu trokuta zasnovana na dvije strane i kutu između njih

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ c⋅ grijeh(α ) ,

b , c b, cb, c- stranice trougla;

α\alphaα - ugao između stranica b bb I c cc.

Primjer

Stranice trougla su 5 (cm) i 6 (cm), ugao između njih je 30 stepeni. Pronađite površinu trokuta.

Rješenje

$b=5c\; =\; 6\; c=6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ grijeh(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (vidi sq.)

odgovor: 7,5 (cm. sq.)

Unesite poznate podatke o trokutu

Strana a

Strana b

Strana c

Ugao A u stepenima

Ugao B u stepenima

Ugao C u stepenima

Medijan na strani a

Medijan na stranu b

Medijan na strani c

Visina na strani a

Visina sa strane b

Visina sa strane c

Koordinate vrha A

X Y

Koordinate vrha B

X Y

Koordinate vrha C

X Y

Površina trougla S

Poluperimetar stranica trougla str

Predstavljamo vam kalkulator koji vam omogućava da izračunate sve moguće...

Želeo bih da vam skrenem pažnju na to Ovo je univerzalni bot. Izračunava sve parametre proizvoljnog trougla, date proizvoljno određene parametre. Ovakvog bota nećete naći nigde.

Znate li stranu i dvije visine? ili dvije strane i medijana? Ili simetrala dva ugla i osnovica trougla?

Za sve zahtjeve možemo dobiti ispravan proračun parametara trougla.

Ne morate sami tražiti formule i vršiti proračune. Sve je već urađeno za vas.

Napravite zahtjev i dobijte tačan odgovor.

Prikazan je proizvoljan trougao. Odmah razjasnimo kako i šta je naznačeno, tako da u budućnosti ne bude zabune i grešaka u proračunima.

Stranice suprotne od bilo kojeg ugla također se nazivaju samo malim slovom. To jest, suprotni ugao A leži na strani trougla, a strana C nasuprot uglu C.

ma je medina koja pada na stranu a, shodno tome postoje i medijane mb i mc koje padaju na odgovarajuće strane.

lb je simetrala koja pada na stranu b, respektivno, postoje i simetrale la i lc koje padaju na odgovarajuće stranice.

hb je visina koja pada na stranu b, respektivno, postoje i visine ha i hc koje padaju na odgovarajuće strane.

Pa, drugo, zapamtite da je trokut figura u kojoj postoji fundamentalno pravilo:

Zbir bilo koje (!) dvije strane mora biti većitreće.

Zato nemojte se iznenaditi ako dobijete grešku P Sa takvim podacima trougao ne postoji kada pokušavate izračunati parametre trokuta sa stranicama 3, 3 i 7.

Sintaksa

Za one koji dozvoljavaju XMPP klijente, zahtjev je ovaj treug<список параметров>

Za korisnike sajta sve se radi na ovoj stranici.

Lista parametara - parametri koji su poznati, odvojeni tačkom i zarezom

parametar je zapisan kao parametar=vrijednost

Na primjer, ako je poznata strana a sa vrijednošću 10, onda pišemo a=10

Štoviše, vrijednosti mogu biti ne samo u obliku realnog broja, već i, na primjer, kao rezultat neke vrste izraza

A evo i liste parametara koji se mogu pojaviti u proračunima.

Strana a

Strana b

Strana c

Poluperimetar str

Ugao A

Ugao B

Ugao C

Površina trougla S

Visina ha na strani a

Visina hb sa strane b

Visina hc sa strane c

Medijan ma na stranu a

Medijan mb na stranu b

Medijan mc na stranu c

Koordinate vrha (xa,ya) (xb,yb) (xc,yc)

Primjeri

pišemo treug a=8;C=70;ha=2

Parametri trokuta prema zadatim parametrima

Strana a = 8

Strana b = 2,1283555449519

Strana c = 7,5420719851515

Poluperimetar p = 8,8352137650517

Ugao A = 2,1882518638666 u stepenima 125,37759631119

Ugao B = 2,873202966917 u stepenima 164,62240368881

Ugao C = 1,221730476396 u 70 stepeni

Površina trokuta S = 8

Visina ha na strani a = 2

Visina hb na strani b = 7,5175409662872

Visina hc na strani c = 2,1214329472723

Medijan ma po strani a = 3,8348889915443

Medijan mb po strani b = 7,7012304590352

Medijan mc po strani c = 4,4770789813853

To je sve, svi parametri trougla.

Pitanje je zašto smo nazvali stranu A, ne V ili With? To ne utiče na odluku. Glavno je izdržati uslov koji sam već pomenuo" Stranice suprotne od bilo kojeg ugla nazivaju se isto, samo malim slovom„A zatim nacrtajte trougao u svom umu i primijenite ga na postavljeno pitanje.

Može se uzeti umjesto toga A V, ali tada susjedni ugao neće biti WITH A A pa, visina će biti hb. Rezultat ako provjerite će biti isti.

Na primjer, ovako (xa,ya) =3,4 (xb,yb) =-6,14 (xc,yc)=-6,-3

napišite zahtjev treug xa=3;ya=4;xb=-6;yb=14;xc=-6;yc=-3

i dobijamo

Parametri trokuta prema zadatim parametrima

Strana a = 17

Strana b = 11,401754250991

Strana c = 13,453624047073

Poluperimetar p = 20,927689149032

Ugao A = 1,4990243938603 u stepenima 85,887771155351

Ugao B = 0,73281510178655 u stepenima 41,987212495819

Ugao C = 0,90975315794426 u stepenima 52,125016348905

Površina trokuta S = 76,5

Visina ha na strani a = 9

Visina hb na strani b = 13,418987695398

Visina hc na strani c = 11,372400437582

Medijan ma po strani a = 9,1241437954466

Medijan mb po strani b = 14,230249470757

Medijan mc po strani c = 12,816005617976

Srećne kalkulacije!!

ANDREY PROKIP: „MOJ LJUBAVNIK JE RUSKA EKOLOGIJA. U TO TREBA ULAGATI!”
Od 4. do 5. septembra održan je ekološki forum „Klimatski oblik gradova“. Inicijator događaja je organizacija C40 koju su 2005. godine osnovale UN. Glavni zadatak forme i gradova je kontrola klimatske promjene gradova.
Kao što je praksa pokazala, za razliku od društvenih događanja i „sastanaka u noćnim klubovima“, poslanika i javnih ličnosti je bilo malo. Među onima koji su identifikovali zabrinutost ekološka situacija bio je Prokip Adrey Zinovievich. Aktivno je učestvovao na svim plenarnim sjednicama zajedno sa specijalnim predstavnikom predsjednika Ruska Federacija o klimatskim pitanjima Ruslan Edelgeriev, zamjenik gradonačelnika Moskve za stambeno-komunalne usluge Pyotr Biryukov, kao i strani predstavnici - gradonačelnik italijanskog grada Savona - Ilario Caprioglio. Učesnici su predstavili svoje projekte i razgovarali o strategijama za suzbijanje porasta globalnih temperatura, kao i o predloženim praktičnim rješenjima održivi razvoj gradova.
ANDREY PROKIP O ŠALJKAMA, ZAMJESNICIMA I ZELENOJ GRADNJI
Od posebnog interesa za ruska strana izazvalo je izlaganje govornika, među kojima su bili evropski arhitekti, naučnici i gradonačelnik Savone. Tema govora bila je TOP pravac – „zelena gradnja“. Kako je sam Andrej Prokip izjavio, „važno je pravilno preraspodijeliti resurse, kao i uzeti u obzir evropske standarde izgradnje za metropolu poput Moskve. Neophodno je da Rusija zauzme kurs ka „zelenom finansiranju“ na saveznom nivou, pogotovo što je to ekonomski izvodljivo i, kako praksa pokazuje, isplativo. Takođe je izrazio zabrinutost zbog pogoršanja zdravlja Rusa zbog ekoloških katastrofa i nepoštovanja ekoloških standarda za odlaganje otpada od strane velikih i malih industrijska preduzeća" On se u svojim strahovima potvrdio i zahvaljujući govoru Francesca Zambone, profesora u Evropskoj kancelariji SZO za ulaganja u zdravstvo.
Sa karakterističnim humorom, Andrej se obratio poznatim ljudima koji su bili pozvani na forum, ali se nikada nisu pojavili, sa pozivom da se „sećate prirode, ne samo kada žele roštilj ili pecanje. Uostalom, zdravlje cijelog naroda ovisi o dobročinstvu prirode, koja, nažalost, uključuje i njih.”
Pored strastvenih govora o novoj "ljubavnoj prirodi" Andreja Zinovijeviča i važnosti preuzimanja odgovornosti za okruženje Sam po sebi, značajan događaj foruma je bio plenarnoj sjednici na temu “Kako odgojiti novu generaciju”. Učesnici tribine bili su jednoglasni u mišljenju da je potrebno obrazovati ne samo djecu, već i odrasle generacije. Veoma je važno usaditi odgovornost prema prirodi svakodnevno ponašanje, kao i u poslovanju.
Za Moskvu će biti pokrenut specijalni projekat „Učenje civilizovanog življenja“. Ovo edukativni projekat za sve segmente stanovništva i starosne kategorije. Ali koliko god da su teorije i dobre namjere divne, za Rusiju je i dalje aktualna izreka „dok ne kljune pečeni pijetao, budala se neće prekrstiti“.
Prema Timothyju Netteru, poznatom pozorišnom reditelju, umjetnost može promijeniti sve. U jednom od svojih govora govorio je o tome kako ideju očuvanja prirode treba predstaviti u pozorištu i kinu i koliko je važno kroz umjetnost odgajati ljude da budu odgovorni za ono što će se sutra dogoditi nama i prirodi.
Studenti su privukli pažnju Rentv operatera i Andreja Prokirpe ruski univerziteti, predstavljajući projekat ekološki prihvatljive tehnologije za proizvodnju kontejnera koji su otporni na vlagu i temperaturu. Ovo je vrlo hitan problem, jer se širom svijeta donose zakoni protiv plastičnih kontejnera, kojima je, inače, potrebno više od 30 godina da se razgrade, zagade tlo i izazovu smrt životinja.
Ohrabruje činjenica da je Moskva jedan od 94 grada učesnika u organizaciji C40 i ovo je treći put da se forum održava, koji svake godine privlači pažnju sve više poznatih ličnosti i građana.

Pravougli trokut se u stvarnosti nalazi na gotovo svakom uglu. Poznavanje svojstava date figure, kao i sposobnost izračunavanja njene površine, nesumnjivo će vam biti od koristi ne samo za rješavanje geometrijskih problema, već iu životnim situacijama.

Geometrija trougla

U elementarnoj geometriji, pravougli trokut je figura koja se sastoji od tri povezana segmenta koji tvore tri ugla (dva oštra i jedan pravi). Pravokutni trokut je originalna figura koju karakterizira niz važnih svojstava koja čine osnovu trigonometrije. Za razliku od pravilnog trokuta, stranice pravokutne figure imaju svoja imena:

• Hipotenuza je najduža stranica trougla, naspram pravog ugla.
• Noge su segmenti koji formiraju pravi ugao. U zavisnosti od ugla koji se razmatra, krak može biti uz njega (tvoreći ovaj ugao sa hipotenuzom) ili nasuprot (ležeći nasuprot ugla). Ne postoje noge za nepravouglove trougla.

To je omjer kateta i hipotenuze koji čini osnovu trigonometrije: sinusi, tangente i sekanti definirani su kao omjer stranica pravokutnog trokuta.

Pravougli trougao u stvarnosti

Ova cifra je postala široko rasprostranjena u stvarnosti. Trokuti se koriste u dizajnu i tehnologiji, tako da izračunavanje površine figure moraju obaviti inženjeri, arhitekti i dizajneri. Osnove tetraedara ili prizme - trodimenzionalne figure koje je lako sresti u svakodnevnom životu - imaju oblik trokuta. Osim toga, kvadrat je najjednostavniji prikaz "ravnog" pravokutnog trokuta u stvarnosti. Kvadrat je alat za obradu metala, crtanje, konstrukciju i stolariju koji koriste i školarci i inženjeri za konstruiranje uglova.

Površina trougla

Square geometrijska figura je kvantitativna procjena koliki je dio ravnine omeđen stranicama trougla. Površina običnog trokuta može se pronaći na pet načina, koristeći Heronovu formulu ili koristeći takve varijable kao što su baza, stranica, kut i polumjer upisane ili opisane kružnice. Najviše jednostavna formula površina se izražava kao:

gdje je a stranica trougla, h njegova visina.

Formula za izračunavanje površine pravokutnog trokuta je još jednostavnija:

gdje su a i b noge.

Radeći s našim online kalkulatorom, možete izračunati površinu trokuta koristeći tri para parametara:

• dvije noge;
• noga i susedni ugao;
• nogu i suprotnog ugla.

U problemima ili svakodnevnim situacijama dobićete različite kombinacije varijabli, pa vam ovaj oblik kalkulatora omogućava da izračunate površinu trokuta na nekoliko načina. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

Keramičke pločice

Recimo da želite zidove kuhinje obložiti keramičkim pločicama koje imaju oblik pravokutnog trokuta. Da biste odredili potrošnju pločica, morate saznati površinu jednog elementa obloge i ukupnu površinu površine koja se tretira. Pretpostavimo da trebate obraditi 7 kvadratnih metara. Dužina nogu jednog elementa je 19 cm, tada će površina pločice biti jednaka:

To znači da je površina jednog elementa 24,5 kvadratnih centimetara ili 0,01805 kvadratnih metara. Poznavajući ove parametre, možete izračunati da će vam za završetak 7 kvadratnih metara zida trebati 7/0,01805 = 387 elemenata obloženih pločica.

Školski zadatak

Recimo da u školskom zadatku iz geometrije trebate pronaći površinu pravokutnog trokuta, znajući samo da je stranica jedne noge 5 cm, a suprotni ugao 30 stepeni. Naš online kalkulator dolazi sa ilustracijom koja prikazuje stranice i uglove pravokutnog trokuta. Ako je stranica a = 5 cm, onda je njen suprotni ugao ugao alfa, jednak 30 stepeni. Unesite ove podatke u obrazac kalkulatora i dobijte rezultat:

Dakle, kalkulator ne samo da izračunava površinu dati trougao, ali i određuje dužinu susjednog kraka i hipotenuze, kao i vrijednost drugog ugla.

Zaključak

Pravi trouglovi se nalaze u našim životima bukvalno na svakom uglu. Određivanje područja takvih figura bit će vam korisno ne samo pri rješavanju školski zadaci u geometriji, ali iu svakodnevnim i profesionalnim aktivnostima.

Online kalkulator.
Rješavanje trouglova.

Rješavanje trougla je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri ugla) iz bilo koja tri data elementa koji definiraju trokut.

Ovaj matematički program pronalazi stranu \(c\), uglove \(\alpha \) i \(\beta \) sa stranica koje je odredio korisnik \(a, b\) i ugao između njih \(\gamma \)

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj online kalkulator može biti koristan za srednjoškolce srednje škole u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je brže moguće? domaći zadatak

iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.

Ukoliko niste upoznati s pravilima za unos brojeva, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos brojeva
Brojevi se mogu specificirati ne samo kao cijeli brojevi, već i kao razlomci. Cijeli i frakcijski dio
u decimalnim razlomcima može se odvojiti tačkom ili zarezom. Na primjer, možete unijeti decimale

tako 2,5 ili tako 2,5 Unesite stranice \(a, b\) i ugao između njih \(\gamma \)

Riješi trougao
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Teorema sinusa

Teorema

Stranice trokuta su proporcionalne sinusima suprotnih uglova:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Kosinus teorema

Teorema
Neka je AB = c, BC = a, CA = b u trouglu ABC. Onda
Kvadratna strana trougla jednak zbiru kvadrati druge dvije stranice minus dvostruki proizvod ovih stranica pomnožen kosinusom ugla između njih.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Rješavanje trouglova

Rješavanje trougla je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri ugla) iz bilo koja tri data elementa koji definiraju trokut.

Pogledajmo tri problema koji uključuju rješavanje trougla. U ovom slučaju koristićemo sljedeću notaciju za stranice trougla ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Rješavanje trokuta korištenjem dvije stranice i ugla između njih

Zadano: \(a, b, \ugao C\). Pronađite \(c, \ugao A, \ugao B\)

Rješenje
1. Koristeći kosinus teoremu nalazimo \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Koristeći kosinus teoremu, imamo:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\ugao B = 180^\krug -\ugao A -\ugao C\)

Rješavanje trougla uz bočni i susjedni uglovi

Zadato: \(a, \ugao B, \ugao C\). Pronađite \(\ugao A, b, c\)

Rješenje
1. \(\ugao A = 180^\krug -\ugao B -\ugao C\)

2. Koristeći sinusnu teoremu, izračunavamo b i c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Rješavanje trougla pomoću tri strane

Zadato: \(a, b, c\). Pronađite \(\ugao A, \ugao B, \ugao C\)

Rješenje
1. Koristeći kosinus teoremu dobijamo:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Koristeći \(\cos A\) nalazimo \(\ugao A\) pomoću mikrokalkulatora ili pomoću tabele.

2. Slično, nalazimo ugao B.
3. \(\ugao C = 180^\krug -\ugao A -\ugao B\)

Rješavanje trougla korištenjem dvije stranice i ugla nasuprot poznatoj strani

Zadato: \(a, b, \ugao A\). Pronađite \(c, \ugao B, \ugao C\)

Rješenje
1. Koristeći teoremu o sinusima, nalazimo \(\sin B\) i dobijamo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Hajde da uvedemo notaciju: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). U zavisnosti od broja D, mogući su sledeći slučajevi:
Ako je D > 1, takav trokut ne postoji, jer \(\sin B\) ne može biti veći od 1
Ako je D = 1, postoji jedinstveni \(\ugao B: \quad \sin B = 1 \Strelica desno \ugao B = 90^\krug \)
Ako je D Ako je D 2. \(\ugao C = 180^\krug -\ugao A -\ugao B\)

3. Koristeći sinusnu teoremu, izračunavamo stranu c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i Jedinstvenog državnog ispita online Igre, zagonetke Iscrtavanje grafova funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog srednjih obrazovnih institucija Rusije Katalog ruskih univerziteta Lista zadataka