Pronalaženje težišta ravnog tijela zapišite eksperiment. Metode za određivanje koordinata centra gravitacije. Test pitanja i zadaci

Autor: Uzmimo tijelo proizvoljnog oblika. Da li je moguće objesiti ga na konac tako da nakon vješanja zadrži svoj položaj (tj. da ne počne da se okreće) kada bilo koji početna orijentacija (sl. 27.1)?

Drugim riječima, postoji li tačka u odnosu na koju bi zbir momenata gravitacije koji djeluju na različite dijelove tijela bio jednak nuli u bilo koji orijentacija tijela u prostoru?

Reader: Da, mislim da jeste. Ova tačka se zove težište tela.

Dokaz. Radi jednostavnosti, razmotrimo tijelo u obliku ravne ploče proizvoljnog oblika, proizvoljno orijentirano u prostoru (slika 27.2). Uzmimo koordinatni sistem X 0at sa početkom u centru mase - tački WITH, Onda x C = 0, u C = 0.

Zamislimo ovo tijelo kao skup velikog broja masa tačaka m i, pozicija svakog od njih je određena radijus vektorom.

Po definiciji, centar mase je , a koordinata x C = .

Pošto smo u koordinatnom sistemu usvojili x C= 0, tada . Pomnožimo ovu jednakost sa g i dobijamo

Kao što se može videti sa sl. 27.2, | x i| - ovo je rame moći. I ako x i> 0, zatim moment sile M i> 0, i ako x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x i moment sile će biti jednak M i = m i gx i . Tada je jednakost (1) ekvivalentna jednakosti , gdje je M i– moment gravitacije. To znači da će uz proizvoljnu orijentaciju tijela zbir momenata gravitacije koji djeluju na tijelo biti jednak nuli u odnosu na njegovo središte mase.

Da bi tijelo koje razmatramo bilo u ravnoteži, potrebno je primijeniti na njega u tački WITH sila T = mg, usmjerena okomito prema gore. Moment ove sile u odnosu na tačku WITH jednaka nuli.

Pošto naše razmišljanje ni na koji način nije zavisilo od toga kako je telo tačno orijentisano u prostoru, dokazali smo da se težište poklapa sa centrom mase, što smo i morali da dokažemo.

Problem 27.1. Pronađite težište bestežinskog štapa dužine l, na čijim su krajevima pričvršćene dvije tačkaste mase T 1 i T 2 .

T 1 T 2 l	Rješenje. Nećemo tražiti centar gravitacije, već centar mase (pošto je to ista stvar). Hajde da predstavimo osovinu X(Sl. 27.3). Rice. 27.3
x C =?

Odgovori: na udaljenosti od mase T 1 .

STOP! Odlučite sami: B1–B3.

Izjava 1 . Ako homogeno ravno tijelo ima os simetrije, težište je na toj osi.

Zaista, za bilo koju masu tačke m i, koja se nalazi desno od ose simetrije, nalazi se ista tačka mase koja se nalazi simetrično u odnosu na prvu (sl. 27.4). U ovom slučaju, zbroj momenata sila .

Budući da se cijelo tijelo može predstaviti kao podijeljeno na slične parove tačaka, ukupan moment gravitacije u odnosu na bilo koju tačku koja leži na osi simetrije jednak je nuli, što znači da se težište tijela nalazi na ovoj osi. . Ovo dovodi do važnog zaključka: ako tijelo ima nekoliko osi simetrije, onda se težište nalazi na sjecištu ovih osa(Sl. 27.5).

Rice. 27.5

Izjava 2. Ako dva tijela imaju mase T 1 i T 2 spojeni u jedno, onda će težište takvog tijela ležati na pravolinijskom segmentu koji spaja težišta prvog i drugog tijela (slika 27.6).

Rice. 27.6 Rice. 27.7

Dokaz. Postavimo kompozitno tijelo tako da segment koji povezuje centre gravitacije tijela bude okomit. Zatim zbir momenata gravitacije prvog tijela u odnosu na tačku WITH 1 je jednako nuli, a zbir momenata gravitacije drugog tijela u odnosu na tačku WITH 2 je jednako nuli (slika 27.7).

primeti, to ramena gravitacije bilo koje mase tačke t i isto u odnosu na bilo koju tačku koja leži na segmentu WITH 1 WITH 2, a time i momenta gravitacije u odnosu na bilo koju tačku koja leži na segmentu WITH 1 WITH 2, isto. Posljedično, gravitacijska sila cijelog tijela je nula u odnosu na bilo koju tačku na segmentu WITH 1 WITH 2. Dakle, težište kompozitnog tijela leži na segmentu WITH 1 WITH 2 .

Važan praktičan zaključak slijedi iz iskaza 2, koji je jasno formuliran u obliku uputa.

Instrukcije,

kako pronaći težište čvrstog tijela ako se može slomiti

na dijelove, od kojih su pozicije težišta svakog od njih poznate

1. Svaki dio treba zamijeniti masom koja se nalazi u centru gravitacije tog dijela.

2. Pronađite centar mase(a ovo je isto kao i centar gravitacije) rezultirajućeg sistema masa tačaka, birajući prikladan koordinatni sistem X 0at, prema formulama:

U stvari, uredimo kompozitno tijelo tako da segment WITH 1 WITH 2 je bio horizontalan, i objesite ga na niti na tačkama WITH 1 i WITH 2 (Sl. 27.8, A). Jasno je da će tijelo biti u ravnoteži. I ova ravnoteža neće biti poremećena ako svako tijelo zamijenimo tačkastim masama T 1 i T 2 (Sl. 27.8, b).

Rice. 27.8

STOP! Odlučite sami: C3.

Problem 27.2. Kuglice mase postavljene su u dva vrha jednakostraničnog trougla T svaki. Lopta mase 2 postavljena je na treći vrh T(Sl. 27.9, A). Strana trougla A. Odredite centar gravitacije ovog sistema.

T 2T A	Rice. 27.9
x C = ? u C = ?

Rješenje. Hajde da uvedemo koordinatni sistem X 0at(Sl. 27.9, b). Onda

,

.

Odgovori: x C = A/2; ; težište leži na pola visine AD.

Cilj rada – analitički i eksperimentalno odrediti težište složene figure.

Teorijska pozadina. Materijalna tijela sastoje se od elementarnih čestica čiji je položaj u prostoru određen njihovim koordinatama. Sile privlačenja svake čestice na Zemlju mogu se smatrati sistemom paralelnih sila, rezultanta ovih sila naziva se sila gravitacije tijela ili težina tijela. Težište tijela je tačka primjene gravitacije.

Težište je geometrijska tačka koja se može nalaziti izvan tijela (na primjer, disk s rupom, šuplja lopta, itd.). Određivanje težišta tankih ravnih homogenih ploča od velike je praktične važnosti. Njihova debljina se obično može zanemariti i može se pretpostaviti da je centar gravitacije smješten u ravni. Ako se koordinatna ravnina xOy kombinira s ravninom figure, tada je položaj težišta određen s dvije koordinate:

gdje je površina dijela figure, ();

– koordinate težišta dijelova figure, mm (cm).

Presjek figure	A, mm 2	X c ,mm	Yc, mm
	bh	b/2	h/2
	bh/2	b/3	h/3
	R 2a
Kod 2α = π πR 2 /2

Procedura rada.

Nacrtajte figuru složenog oblika, koja se sastoji od 3-4 jednostavne figure (pravougaonik, trokut, krug, itd.) u mjerilu 1:1 i naznačite njegove dimenzije.

Nacrtajte koordinatne ose tako da pokrivaju cijelu figuru, razbijte složenu figuru na jednostavne dijelove, odredite površinu i koordinate težišta svake jednostavne figure u odnosu na odabrani koordinatni sistem.

Analitički izračunajte koordinate težišta cijele figure. Izrežite ovu figuru od tankog kartona ili šperploče. Izbušite dvije rupe, rubovi rupa trebaju biti glatki, a promjer rupa treba biti nešto veći od prečnika igle za vješanje figure.

Prvo objesite figuru u jednu tačku (rupu), nacrtajte olovkom liniju koja se poklapa sa viskom. Ponovite isto kada okačite figuru na drugu tačku. Težište figure, pronađeno eksperimentalno, mora se podudarati.

Analitički odredite koordinate težišta tanke homogene ploče. Provjerite eksperimentalno

Algoritam rješenja

1. Analitička metoda.

a) Nacrtaj crtež u razmeri 1:1.

b) Podijelite složenu figuru na jednostavne

c) Odaberite i nacrtajte koordinatne osi (ako je figura simetrična, onda duž ose simetrije, inače duž konture figure)

d) Izračunajte površinu jednostavnih figura i cijele figure

e) Označite položaj težišta svake jednostavne figure na crtežu

f) Izračunajte koordinate težišta svake figure

(x i y osa)

g) Izračunajte koordinate težišta cijele figure koristeći formulu

h) Označite položaj težišta na crtežu C (

2. Eksperimentalno određivanje.

Ispravnost rješenja problema može se provjeriti eksperimentalno. Izrežite ovu figuru od tankog kartona ili šperploče. Izbušite tri rupe, ivice rupa treba da budu glatke, a prečnik rupa treba da bude nešto veći od prečnika igle za kačenje figure.

Prvo objesite figuru u jednu tačku (rupu), nacrtajte olovkom liniju koja se poklapa sa viskom. Ponovite isto kada okačite figuru na drugim tačkama. Vrijednost koordinata centra gravitacije figure, pronađene pri vješanju figure u dvije tačke: . Težište figure, pronađeno eksperimentalno, mora se podudarati.

3. Zaključak o položaju težišta prilikom analitičkog i eksperimentalnog određivanja.

Vježbajte

Odredite težište ravnog presjeka analitički i eksperimentalno.

Primjer izvođenja

Zadatak

Odredite koordinate težišta tanke homogene ploče.

I Analitička metoda

1. Crtež je nacrtan u mjerilu (dimenzije se obično daju u mm)

2. Složenu figuru razbijamo na jednostavne.

1- Pravougaonik

2- trokut (pravougaonik)

3- Područje polukruga (ne postoji, znak minus).

Nalazimo položaj težišta jednostavnih figura tačaka, i

3. Nacrtajte koordinatne ose kako je zgodno i označite početak koordinata.

4. Izračunajte površine jednostavnih figura i površinu cijele figure. [veličina u cm]

(3. ne, znak -).

Površina cijele figure

5. Pronađite koordinate centralne tačke. , i na crtežu.

6. Izračunajte koordinate tačaka C 1, C 2 i C 3

7. Izračunajte koordinate tačke C

8. Označite tačku na crtežu

II Iskusan

Koordinate centra gravitacije eksperimentalno.

Kontrolna pitanja.

1. Da li je moguće smatrati silu gravitacije tijela kao rezultantni sistem paralelnih sila?

2. Može li se locirati težište cijelog tijela?

3. Koja je suština eksperimentalnog određivanja težišta ravne figure?

4. Kako se određuje težište složene figure koja se sastoji od nekoliko jednostavnih figura?

5. Kako figuru složenog oblika racionalno podijeliti na proste figure prilikom određivanja težišta cijele figure?

6. Koji predznak ima površina rupa u formuli za određivanje težišta?

7. Na preseku kojih linija trougla se nalazi njegovo težište?

8. Ako je figuru teško rastaviti na mali broj jednostavnih figura, koja metoda određivanja centra gravitacije može dati najbrži odgovor?

Praktični rad br. 6

“Rješavanje složenih problema”

Cilj rada: biti u stanju riješiti složene probleme (kinematika, dinamika)

Teorijska pozadina: Brzina je kinematička mjera kretanja tačke, koja karakterizira brzinu promjene njenog položaja. Brzina tačke je vektor koji karakteriše brzinu i smer kretanja tačke u datom trenutku. Prilikom zadavanja kretanja tačke jednadžbama, projekcije brzine na kartezijanske koordinatne ose su jednake:

Modul brzine tačke određuje se formulom

Smjer brzine je određen kosinusima smjera:

Karakteristika brzine promjene brzine je ubrzanje a. Ubrzanje tačke jednako je vremenskom izvodu vektora brzine:

Prilikom specificiranja kretanja tačke, jednadžbe za projekciju ubrzanja na koordinatne osi su jednake:

Modul za ubrzanje:

Modul potpunog ubrzanja

Modul tangencijalnog ubrzanja određuje se formulom

Normalni modul ubrzanja određuje se formulom

gdje je polumjer zakrivljenosti putanje u datoj tački.

Smjer ubrzanja određen je kosinusima smjera

Jednačina rotacionog kretanja krutog tijela oko fiksne ose ima oblik

Ugaona brzina tijela:

Ponekad se kutna brzina karakterizira brojem okretaja u minuti i označava se slovom . Zavisnost između i ima oblik

Kutno ubrzanje tijela:

Sila jednaka umnošku mase date tačke njenom akceleracijom i smerom u pravcu koji je direktno suprotan od ubrzanja tačke naziva se sila inercije.

Snaga je rad koji izvrši sila u jedinici vremena.

Osnovna jednadžba dinamike za rotacijsko kretanje

– moment inercije tijela u odnosu na os rotacije, je zbir proizvoda masa materijalnih tačaka na kvadrat njihovih udaljenosti do ove ose

Vježbajte

Tijelo mase m, uz pomoć kabla namotanog na bubanj prečnika d, kreće se gore ili dolje duž nagnute ravni pod uglom nagiba α. Jednačina kretanja tijela S=f(t), jednačina rotacije bubnja, gdje je S u metrima; φ - u radijanima; t – u sekundama. P i ω su snaga i ugaona brzina na osovini bubnja u trenutku završetka ubrzanja ili početka kočenja. Vrijeme t 1 – vrijeme ubrzanja (od mirovanja do date brzine) ili kočenja (od date brzine do zaustavljanja). Koeficijent trenja klizanja između tijela i ravnine je –f. Zanemarite gubitke trenja na bubnju, kao i masu bubnja. Prilikom rješavanja zadataka uzmite g=10 m/s 2

br. var	α, st	Zakon kretanja	Na primjer, kretanje	m, kg	t 1 , s	d, m	P, kW	, rad/s	f	Def. količine
		S=0,8t 2	Dole	-	-	0,20	4,0		0,20	m,t 1
		φ=4t 2	Dole		1,0	0,30	-	-	0,16	P,ω
		S=1,5t-t 2	gore	-	-	-	4,5		0,20	m, d
		ω=15t-15t 2	gore	-	-	0,20	3,0	-	0,14	m,ω
		S=0,5t 2	Dole		-	-	1,76		0,20	d,t 1
		S=1,5t 2	Dole	-	0,6	0,24	9,9	-	0,10	m,ω
		S=0,9t 2	Dole		-	0,18	-		0,20	P, t 1
		φ=10t 2	Dole		-	0,20	1,92	-	0,20	P, t 1
		S=t-1,25t 2	gore		-	-	-		0,25	P,d
		φ=8t-20t 2	gore		-	0,20	-	-	0,14	P, ω

Primjer izvođenja

Problem 1(slika 1).

Rješenje 1. Pravolinijsko kretanje (slika 1, a). Tačka koja se ravnomjerno kreće u nekom trenutku primila je novi zakon kretanja i nakon određenog vremenskog perioda prestala je. Odrediti sve kinematičke karakteristike kretanja tačke za dva slučaja; a) kretanje po pravoj stazi; b) kretanje po zakrivljenoj putanji konstantnog radijusa zakrivljenosti r=100cm

Slika 1(a).

Zakon promjene brzine tačke

Početnu brzinu tačke nalazimo iz uslova:

Pronalazimo vrijeme kočenja za zaustavljanje iz stanja:

u , odavde .

Zakon kretanja tačke tokom perioda ravnomernog kretanja

Razdaljina koju pređe tačka duž putanje tokom perioda kočenja je

Zakon promjene tangencijalnog ubrzanja tačke

iz čega sledi da se u periodu kočenja tačka kretala jednako sporo, pošto je tangencijalno ubrzanje negativno i konstantne vrednosti.

Normalno ubrzanje tačke na pravoj putanji je nula, tj. .

Rješenje 2. Krivolinijsko kretanje (slika 1, b).

Slika 1(b)

U ovom slučaju, u poređenju sa slučajem pravolinijskog kretanja, sve kinematičke karakteristike ostaju nepromijenjene, osim normalnog ubrzanja.

Zakon promjene normalnog ubrzanja tačke

Normalno ubrzanje tačke u početnom trenutku kočenja

Numeracija pozicija tačaka na putanji prihvaćena na crtežu: 1 – trenutni položaj tačke u ravnomernom kretanju pre početka kočenja; 2 – položaj tačke u trenutku kočenja; 3 – trenutni položaj tačke tokom perioda kočenja; 4 – konačna pozicija tačke.

Zadatak 2.

Teret (slika 2, a) se podiže pomoću vitla za bubanj. Prečnik bubnja je d=0,3m, a zakon njegove rotacije je .

Ubrzanje bubnja je trajalo do ugaone brzine. Odrediti sve kinematičke karakteristike kretanja bubnja i tereta.

Rješenje. Zakon promjene ugaone brzine bubnja. Početnu ugaonu brzinu nalazimo iz uslova: ; stoga je ubrzanje počelo iz stanja mirovanja. Vrijeme ubrzanja ćemo pronaći iz uvjeta: . Ugao rotacije bubnja tokom perioda ubrzanja.

Iz zakona promjene ugaonog ubrzanja bubnja slijedi da se bubanj tokom perioda ubrzanja okretao ravnomjernim ubrzanjem.

Kinematske karakteristike opterećenja jednake su odgovarajućim karakteristikama bilo koje tačke vučnog užeta, a samim tim i tačke A koja leži na obodu bubnja (slika 2, b). Kao što je poznato, linearne karakteristike tačke rotirajućeg tela određuju se kroz njegove ugaone karakteristike.

Udaljenost koju je prešao teret tokom perioda ubrzanja, . Brzina tereta na kraju ubrzanja.

Ubrzanje tereta.

Zakon o kretanju tereta.

Udaljenost, brzina i ubrzanje tereta mogu se odrediti drugačije, kroz pronađeni zakon kretanja tereta:

Zadatak 3. Teret, koji se ravnomjerno kreće prema gore duž nagnute potporne ravni, u nekom trenutku je dobio kočenje u skladu s novim zakonom kretanja , gdje je s u metrima, a t u sekundama. Masa tereta m = 100 kg, koeficijent trenja klizanja između tereta i ravnine f = 0,25. Odrediti silu F i snagu na vučnom užetu za dva momenta vremena: a) ravnomjerno kretanje prije početka kočenja;

b) početni trenutak kočenja. Prilikom proračuna uzmite g=10 m/.

Rješenje. Određujemo kinematičke karakteristike kretanja tereta.

Zakon promjene brzine opterećenja

Početna brzina tereta (pri t=0)

Ubrzanje tereta

Pošto je ubrzanje negativno, kretanje je sporo.

1. Ujednačeno kretanje tereta.

Da bismo odredili pogonsku silu F, uzimamo u obzir ravnotežu opterećenja na koju djeluje sistem sila koje se slijevaju: sila na sajlu F, gravitacijska sila tereta G=mg, normalna reakcija potporne površine N i sila trenja usmjerena prema kretanju tijela. Prema zakonu trenja, . Biramo smjer koordinatnih osa, kao što je prikazano na crtežu, i sastavljamo dvije jednadžbe ravnoteže za opterećenje:

Snaga na kabelu prije početka kočenja određena je dobro poznatom formulom

Gdje je m/s.

2. Sporo kretanje tereta.

Kao što je poznato, kod neravnomjernog translacijskog kretanja tijela, sistem sila koje na njega djeluju u smjeru kretanja nije uravnotežen. Prema d'Alembertovom principu (kinetostatska metoda), tijelo se u ovom slučaju može smatrati u uvjetnoj ravnoteži ako svim silama koje djeluju na njega dodamo inercijsku silu čiji je vektor usmjeren suprotno vektoru ubrzanja. Vektor ubrzanja u našem slučaju je usmjeren suprotno vektoru brzine, jer se teret sporo kreće. Kreiramo dvije jednadžbe ravnoteže za opterećenje:

Uključite kabl na početku kočenja

Kontrolna pitanja.

1. Kako odrediti brojčanu vrijednost i smjer brzine tačke u datom trenutku?

2. Što karakterizira normalnu i tangencijalnu komponentu ukupnog ubrzanja?

3. Kako preći sa izražavanja ugaone brzine u min -1 na izražavanje u rad/s?

4. Kako se zove tjelesna težina? Navedite mjernu jedinicu mase

5. Pri kojem kretanju materijalne tačke nastaje sila inercije? Koja je njegova brojčana vrijednost i koji je smjer?

6. Princip State d'Alemberta

7. Da li se sila inercije javlja prilikom jednolikog krivolinijskog kretanja materijalne tačke?

8. Šta je obrtni moment?

9. Kako se izražava odnos između momenta i ugaone brzine za datu prenesenu snagu?

10. Osnovna jednadžba dinamike za rotacijsko kretanje.

Praktični rad br. 7

"Proračun čvrstoće konstrukcija"

Cilj rada: odrediti čvrstoću, dimenzije poprečnog presjeka i dopušteno opterećenje

Teorijska pozadina.

Poznavajući faktore sile i geometrijske karakteristike presjeka prilikom vlačne (kompresijske) deformacije, možemo odrediti naprezanje pomoću formula. I da shvatimo hoće li naš dio (osovina, zupčanik, itd.) izdržati vanjsko opterećenje. Ovu vrijednost je potrebno uporediti sa dozvoljenim naponom.

Dakle, jednadžba statičke čvrstoće

Na osnovu toga rješavaju se 3 vrste problema:

1) ispitivanje čvrstoće

2) određivanje dimenzija presjeka

3) određivanje dozvoljenog opterećenja

Dakle, jednadžba statičke krutosti

Na osnovu toga rješavaju se i 3 vrste problema

Jednadžba statičke vlačne (tlačne) čvrstoće

1) Prvi tip - ispitivanje čvrstoće

,

tj. rješavamo lijevu stranu i upoređujemo je sa dozvoljenim naprezanjem.

2) Drugi tip - određivanje dimenzija presjeka

sa desne strane površina poprečnog presjeka

Krug sekcije

dakle prečnik d

Pravougaoni presek

Section square

A = a² (mm²)

Polukružni dio

Sekcije: kanal, I-zraka, ugao, itd.

Vrijednosti područja - iz tabele, prihvaćene prema GOST-u

3) Treći tip je određivanje dozvoljenog opterećenja;

uzeti na manju stranu, cijeli broj

VJEŽBA

Zadatak

A) Provjera čvrstoće (probni proračun)

Za datu gredu, konstruirajte dijagram uzdužnih sila i provjerite čvrstoću u oba presjeka. Za drveni materijal (čelik St3) prihvatiti

Opcija br.
	12,5	5,3	-			-
		2,3			-	-
		4,2		-	-

B) Izbor preseka (proračunski proračun)

Za datu gredu konstruirajte dijagram uzdužnih sila i odredite dimenzije poprečnog presjeka u oba presjeka. Za drveni materijal (čelik St3) prihvatiti

Opcija br.
	1,9	2,5
	2,8	1,9
	3,2

B) Određivanje dozvoljene uzdužne sile

Za datu gredu odredite dozvoljene vrijednosti opterećenja i ,

konstruisati dijagram uzdužnih sila. Za drveni materijal (čelik St3) prihvatiti . Prilikom rješavanja problema pretpostaviti da je vrsta opterećenja ista na oba dijela grede.

Opcija br.
	-	-
			-	-
	-	-

Primjer izvršenja zadatka

Problem 1(slika 1).

Provjerite čvrstoću stupa od I-profila određene veličine. Za materijal stuba (čelik St3), prihvatite dozvoljena vlačna naprezanja i tokom kompresije . U slučaju preopterećenja ili značajnog podopterećenja, odaberite veličine I-greda koje osiguravaju optimalnu čvrstoću stupa.

Rješenje.

Zadata greda ima dva presjeka 1, 2. Granice presjeka su presjeci u kojima se primjenjuju vanjske sile. Budući da su sile koje opterećuju gredu locirane duž njene središnje uzdužne ose, u poprečnim presjecima nastaje samo jedan unutrašnji faktor sile - uzdužna sila, tj. postoji napetost (kompresija) grede.

Za određivanje uzdužne sile koristimo metodu presjeka. Provodeći mentalni dio unutar svake sekcije, odbacit ćemo donji fiksni dio grede i ostaviti gornji dio za razmatranje. U dijelu 1, uzdužna sila je konstantna i jednaka

Znak minus označava da je greda komprimirana u oba dijela.

Gradimo dijagram uzdužnih sila. Nakon što smo nacrtali osnovnu (nultu) liniju dijagrama paralelno s osi grede, iscrtavamo dobivene vrijednosti okomito na nju u proizvoljnoj skali. Kao što vidite, ispostavilo se da je dijagram ocrtan ravnim linijama paralelnim s osnovnom.

Provjeravamo čvrstoću drveta, tj. Određujemo projektno naprezanje (za svaku sekciju posebno) i upoređujemo ga s dopuštenim. Da bismo to učinili, koristimo uvjet tlačne čvrstoće

gdje je površina geometrijska karakteristika čvrstoće poprečnog presjeka. Iz tabele valjanog čelika uzimamo:

za I-zrake
za I-zrake

Test snage:

Vrijednosti uzdužnih sila uzimaju se u apsolutnoj vrijednosti.

Čvrstoća grede je osigurana, međutim, postoji značajno (više od 25%) podopterećenje, što je neprihvatljivo zbog prevelike potrošnje materijala.

Iz stanja čvrstoće određujemo nove dimenzije I-grede za svaki dio grede:
Otuda potrebna površina

Prema tabeli GOST, odabiremo I-gredu br. 16, za koju;

Otuda potrebna površina

Prema GOST tablici, odabiremo I-gredu br. 24, za koju ;

Kod odabranih veličina I-greda javlja se i podopterećenje, ali je neznatno (manje od 5%)

Zadatak br. 2.

Za gredu sa datim dimenzijama poprečnog presjeka odredite dopuštene vrijednosti opterećenja i . Za drveni materijal (čelik St3), prihvatite dozvoljena vlačna naprezanja i tokom kompresije .

Rješenje.

Data greda ima dva preseka 1, 2. Postoji napetost (kompresija) grede.

Metodom presjeka određujemo uzdužnu silu, izražavajući je kroz potrebne sile i. Izvodeći dio unutar svake sekcije, odbacit ćemo lijevi dio grede, a desni dio ostaviti za razmatranje. U dijelu 1, uzdužna sila je konstantna i jednaka

U dijelu 2, uzdužna sila je također konstantna i jednaka

Znak plus označava da je greda rastegnuta u oba dijela.

Gradimo dijagram uzdužnih sila. Dijagram je ocrtan ravnim linijama paralelnim sa osnovnom.

Iz uslova vlačne čvrstoće određujemo dozvoljene vrijednosti opterećenja i prethodno izračunajući površine datih poprečnih presjeka:

Kontrolna pitanja.

1. Koji faktori unutrašnje sile nastaju u presjeku grede prilikom zatezanja i kompresije?

2. Zapišite uvjete vlačne i tlačne čvrstoće.

3. Kako se dodjeljuju znakovi uzdužne sile i normalnog naprezanja?

4. Kako će se promijeniti napon ako se površina poprečnog presjeka poveća za 4 puta?

5. Da li su uvjeti čvrstoće različiti za vlačne i tlačne proračune?

6. U kojim jedinicama se mjeri napon?

7. Koja je mehanička karakteristika odabrana kao granični napon za duktilne i krhke materijale?

8. Koja je razlika između graničnog i dozvoljenog stresa?

Praktični rad br.8

“Rješavanje zadataka za određivanje glavnih središnjih momenata inercije ravnih geometrijskih figura”

Cilj rada: analitički odrediti momente inercije ravnih tijela složenog oblika

Teorijska pozadina. Koordinate težišta presjeka mogu se izraziti kroz statički moment:

gdje je u odnosu na os Ox

u odnosu na osu Oy

Statički moment površine figure u odnosu na osu koja leži u istoj ravnini jednak je umnošku površine figure i udaljenosti njenog centra gravitacije do ove ose. Statički moment ima dimenziju. Statički moment može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli (u odnosu na bilo koju centralnu osu).

Aksijalni moment inercije presjeka je zbir proizvoda ili integrala elementarnih površina preuzetih na cijelom presjeku kvadratima njihovih udaljenosti do određene ose koja leži u ravnini presjeka koji se razmatra.

Aksijalni moment inercije izražava se u jedinicama - . Aksijalni moment inercije je veličina koja je uvijek pozitivna i nije jednaka nuli.

Osi koje prolaze kroz centar gravitacije figure nazivaju se centralne. Moment inercije oko centralne ose naziva se centralni moment inercije.

Moment inercije oko bilo koje ose jednak je centru

Bilješke sa časova fizike, 7 razred

Tema: Određivanje centra gravitacije

Nastavnik fizike, Argayash Srednja škola br. 2

Khidiyatulina Z.A.

Laboratorijski radovi:

"Određivanje težišta ravne ploče"

Target : pronalaženje težišta ravne ploče.

teorijski dio:

Sva tijela imaju centar gravitacije. Težište tijela je tačka u odnosu na koju je ukupni moment gravitacije koji djeluje na tijelo jednak nuli. Na primjer, ako objesite objekt za centar gravitacije, on će ostati u mirovanju. Odnosno, njegov položaj u prostoru se neće promijeniti (neće se okrenuti naopačke ili na bok). Zašto se neka tijela prevrću, a druga ne? Ako povučete liniju okomitu na pod iz centra gravitacije tijela, onda ako linija ide izvan granica potpore tijela, tijelo će pasti. Što je veća površina oslonca, što je težište tijela bliže središnjoj tački područja oslonca i središnjoj liniji centra gravitacije, to će položaj tijela biti stabilniji . Na primjer, centar gravitacije čuvenog Krivog tornja u Pizi nalazi se samo dva metra od sredine njegovog oslonca. A pad će se desiti tek kada ovo odstupanje bude oko 14 metara. Težište ljudskog tijela je otprilike 20,23 centimetra ispod pupka. Zamišljena linija povučena okomito iz centra gravitacije prolazi tačno između stopala. Za tumbler lutku, tajna je i u težištu tijela. Njegova stabilnost se objašnjava činjenicom da je težište čaše na samom dnu, ona zapravo stoji na njemu. Uslov za održavanje ravnoteže tijela je prolazak okomite ose njegovog zajedničkog težišta unutar područja oslonca tijela. Ako okomito težište tijela napusti područje oslonca, tijelo gubi ravnotežu i pada. Dakle, što je veća površina oslonca, što je težište tijela bliže središnjoj tački područja oslonca i središnjoj liniji centra gravitacije, to je položaj tijela stabilniji. tijelo će biti. Područje oslonca kada je osoba u vertikalnom položaju ograničeno je prostorom koji se nalazi ispod tabana i između stopala. Središnja tačka okomite linije težišta na stopalu je 5 cm ispred tuberkula pete. Sagitalna veličina područja oslonca uvijek prevladava nad frontalnom, pa se pomicanje okomite linije težišta događa lakše udesno i lijevo nego unazad, a posebno je teško naprijed. S tim u vezi, stabilnost pri okretima pri brzom trčanju je znatno manja nego u sagitalnom smjeru (naprijed ili nazad). Stopalo u cipelama, posebno sa širokom petom i tvrdim đonom, stabilnije je nego bez cipela, jer dobija veću površinu oslonca.

Praktični dio:

Svrha rada: Koristeći predloženu opremu, eksperimentalno pronaći položaj težišta dvije figure od kartona i trokuta.

Oprema:Stativ, debeli karton, trougao iz školskog pribora, ravnalo, traka, konac, olovka...

Zadatak 1: Odrediti položaj težišta ravne figure proizvoljnog oblika

Koristeći makaze, izrežite nasumični oblik iz kartona. Zakačite konac na nju trakom u tački A. Okačite figuru za konac na nogu stativa. Pomoću ravnala i olovke označite okomitu liniju AB na kartonu.

Pomerite tačku za pričvršćivanje konca u poziciju C. Ponovite gore navedene korake.

Tačka O presjeka pravih AB iCDdaje željeni položaj težišta figure.

Zadatak 2: Pomoću samo ravnala i olovke pronađite položaj težišta ravne figure

Koristeći olovku i ravnalo, podijelite oblik na dva pravokutnika. Konstrukcijom pronađite položaje O1 i O2 njihovih centara gravitacije. Očigledno je da je težište cijele figure na liniji O1O2

Podijelite figuru na dva pravougaonika na drugi način. Konstrukcijom pronađite položaje centara gravitacije O3 i O4 svakog od njih. Povežite tačke O3 i O4 linijom. Točka presjeka linija O1O2 i O3O4 određuje položaj težišta figure

Zadatak 2: Odrediti položaj težišta trougla

Pomoću trake pričvrstite jedan kraj konca na vrhu trokuta i objesite ga za nogu stativa. Pomoću ravnala označite smjer AB gravitacijske linije (napravite oznaku na suprotnoj strani trokuta)

Ponovite isti postupak, okačite trokut sa vrha C. Na suprotnoj strani vrha C trougla napravite oznakuD.

Pomoću trake pričvrstite komade konca AB iCD. Tačka O njihovog presjeka određuje položaj težišta trougla. U ovom slučaju, centar gravitacije figure je izvan samog tijela.

III . Rješavanje problema kvaliteta

1.U koju svrhu cirkuzanti drže teške motke u rukama kada hodaju po užetu?

2. Zašto se osoba koja nosi težak teret na leđima naginje naprijed?

3. Zašto ne možete ustati sa stolice ako ne nagnete tijelo naprijed?

4.Zašto se dizalica ne naginje prema teretu koji se podiže? Zašto se bez tereta dizalica ne naginje prema protuteži?

5. Zašto automobili i bicikli itd. Da li je bolje staviti kočnice na zadnje nego na prednje točkove?

6. Zašto se kamion natovaren sijenom lakše prevrne od istog kamiona natovarenog snijegom?

Nacrtajte dijagram sistema i na njemu označite težište. Ako je pronađeno težište izvan sistema objekata, dobili ste netačan odgovor. Možda ste izmjerili udaljenosti od različitih referentnih tačaka. Ponovite mjerenja.

• Na primjer, ako djeca sjede na ljuljaški, težište će biti negdje između djece, a ne desno ili lijevo od ljuljačke. Takođe, centar gravitacije se nikada neće poklopiti sa tačkom u kojoj dete sedi.
• Ovi argumenti su validni u dvodimenzionalnom prostoru. Nacrtajte kvadrat koji će sadržavati sve objekte sistema. Težište bi trebalo biti unutar ovog kvadrata.

Provjerite svoju matematiku ako dobijete mali rezultat. Ako je referentna tačka na jednom kraju sistema, mali rezultat postavlja centar gravitacije blizu kraja sistema. Ovo može biti tačan odgovor, ali u velikoj većini slučajeva ovaj rezultat ukazuje na grešku. Kada ste računali momente, jeste li pomnožili odgovarajuće težine i udaljenosti? Ako biste umjesto množenja dodali težine i udaljenosti, dobili biste mnogo manji rezultat.

Ispravite grešku ako ste pronašli više centara gravitacije. Svaki sistem ima samo jedan centar gravitacije. Ako ste pronašli više centara gravitacije, najvjerovatnije niste sabrali sve trenutke. Težište je jednako omjeru "ukupnog" momenta i "ukupne" težine. Nema potrebe da delite „svaki“ trenutak sa „svakom“ težinom: na ovaj način ćete pronaći poziciju svakog objekta.

Provjerite referentnu tačku ako se odgovor razlikuje za neku cjelobrojnu vrijednost. U našem primjeru, odgovor je 3,4 m. Recimo da ste dobili odgovor 0,4 m ili 1,4 m, ili neki drugi broj koji se završava na ".4". To je zato što niste odabrali lijevi kraj ploče kao početnu tačku, već tačku koja se nalazi cijelom desnom stranom. U stvari, vaš odgovor je tačan bez obzira koju referentnu tačku odaberete! Samo zapamtite: referentna tačka je uvijek na poziciji x = 0. Evo primjera:

• U našem primjeru, referentna tačka je bila na lijevom kraju ploče i otkrili smo da je centar gravitacije 3,4 m od ove referentne točke.
• Ako za referentnu tačku odaberete tačku koja se nalazi 1 m desno od lijevog kraja table, dobićete odgovor 2,4 m. Odnosno, centar gravitacije je 2,4 m od nove referentne tačke, što , pak, nalazi se 1 m od lijevog kraja ploče. Dakle, centar gravitacije je na udaljenosti od 2,4 + 1 = 3,4 m od lijevog kraja ploče. Ispostavilo se da je to stari odgovor!
• Napomena: prilikom mjerenja udaljenosti imajte na umu da su udaljenosti do “lijeve” referentne točke negativne, a do “desne” referentne točke pozitivne.

Mjerite udaljenosti u pravim linijama. Pretpostavimo da je dvoje djece na ljuljaški, ali jedno dijete je mnogo više od drugog, ili jedno dijete visi ispod daske, a ne sjedi na njoj. Zanemarite ovu razliku i izmjerite udaljenosti duž prave linije ploče. Mjerenje udaljenosti pod uglovima će dati bliske, ali ne sasvim precizne rezultate.

• Za problem daske klackalice, zapamtite da je centar gravitacije između desnog i lijevog kraja daske. Kasnije ćete naučiti da izračunate centar gravitacije složenijih dvodimenzionalnih sistema.

Pravougaonik. Pošto pravougaonik ima dve ose simetrije, njegovo težište je na preseku osi simetrije, tj. u tački preseka dijagonala pravougaonika.

Trougao. Težište leži u tački preseka njegovih medijana. Iz geometrije je poznato da se medijane trougla sijeku u jednoj tački i dijele se u omjeru 1:2 od osnove.

Circle. S obzirom da krug ima dvije ose simetrije, njegovo težište je na presjeku osi simetrije.

Polukrug. Polukrug ima jednu os simetrije, tada težište leži na ovoj osi. Druga koordinata centra gravitacije izračunava se po formuli: .

Mnogi konstrukcijski elementi izrađeni su od standardnih valjanih proizvoda - uglovi, I-grede, kanali i drugi. Sve dimenzije, kao i geometrijske karakteristike valjanih profila, su tabelarni podaci koji se mogu naći u referentnoj literaturi u tabelama normalnog asortimana (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Primjer 1. Odredite položaj težišta figure prikazane na slici.

Rješenje:

Odabiremo koordinatne osi tako da os Ox ide duž krajnje donje ukupne dimenzije, a os Oy ide duž krajnje lijeve ukupne dimenzije.

Složenu figuru razbijamo na minimalni broj jednostavnih figura:

pravougaonik 20x10;

trougao 15x10;

krug R=3 cm.

Izračunavamo površinu svake jednostavne figure i njene koordinate centra gravitacije. Rezultati proračuna se unose u tabelu

Slika br.	Područje slike A,	Koordinate centra gravitacije

odgovor: C(14,5; 4,5)

Primjer 2 . Odredite koordinate težišta kompozitnog presjeka koji se sastoji od lima i valjanih dijelova.

Rješenje.

Odabiremo koordinatne ose kao što je prikazano na slici.

Označimo brojke brojevima i ispišemo potrebne podatke iz tabele:

Slika br.	Područje slike A,	Koordinate centra gravitacije

Izračunavamo koordinate centra gravitacije figure koristeći formule:

odgovor: C(0; 10)

Laboratorijski rad br. 1 “Određivanje težišta složenih ravnih figura”

Cilj: Eksperimentalnim i analitičkim metodama odredite težište date ravne složene figure i uporedite njihove rezultate.

Radni nalog

Nacrtajte svoju ravnu figuru u svojim bilježnicama u veličini, označavajući koordinatne ose.

Odredite analitički centar gravitacije.

1. Podijelite figuru na najmanji broj figura čije težište znamo odrediti.

   Navedite brojeve područja i koordinate težišta svake figure.

   Izračunajte koordinate težišta svake figure.

   Izračunajte površinu svake figure.

   Izračunajte koordinate težišta cijele figure koristeći formule (položaj težišta ucrtan je na crtežu figure):

Instalacija za eksperimentalno određivanje koordinata centra gravitacije metodom vješanja sastoji se od vertikalnog postolja 1 (vidi sliku) na koji je pričvršćena igla 2 . Ravna figura 3 Napravljen od kartona u kojem se lako probijaju rupe. Rupe A I IN probušene na nasumično lociranim tačkama (po mogućnosti na najdaljoj udaljenosti jedna od druge). Ravna figura je okačena na iglu, prvo na jednoj tački A , a zatim u tački IN . Korištenje viska 4 , pričvršćenu na istu iglu, nacrtajte okomitu liniju na slici olovkom koja odgovara navoju viska. Centar gravitacije WITH figura će se nalaziti na presjeku vertikalnih linija povučenih pri vješanju figure na tačkama A I IN .