Najpoznatiji sistem brojeva. Sistemi brojeva. Nepozicioni sistemi brojeva. Alfabetski sistemi brojeva

Sve zavisi od specifičnog brojnog sistema.

Decimalni brojevni sistem se očigledno koristi skoro svuda.

Rimski sistem brojeva u savremeni svet najčešće se koristi kada želite da navedete broj po redu. Na primjer, "10" znači količinu (deset komada), a rimsko "X" znači "deseti".

Binarni brojevni sistem se najviše koristi u računarima, jer jedna cifra binarnog broja odgovara jednom bitu - minimalnoj jedinici informacija u računarskoj tehnologiji.

Također, binarni sistem brojeva tradicionalno se koristi kada se označavaju linearne dimenzije u inčima, na primjer, 7 15 / 16 ″, 3 11 / 32 ″. Prvi poznata upotreba Binarni brojevni sistem pripada, možda, drevnom indijskom matematičaru Pingali (otprilike 2.-5. vek pre nove ere).

Heksadecimalni sistem brojeva se široko koristi u programiranju niskog nivoa, kao iu kompjuterskoj dokumentaciji. U modernim računarima, minimalna jedinica memorije je 8-bitni bajt, čije se vrijednosti prikladno zapisuju u dvije heksadecimalne znamenke. Ova upotreba je započela sa IBM/360 sistemom, gdje je sva dokumentacija koristila heksadecimalni brojevni sistem.

Sve je zanimljivo sa oktalnim brojevnim sistemom. Koristili su ga, na primjer, neki američki Indijanci, jer su vjerovali da količine ne treba brojati po broju prstiju, već po broju razmaka između prstiju.

U Evropi je 1716. godine švedski kralj Karlo XII zatražio od Emmanuela Swedenborga da razvije sistem brojeva od 64 cifre, na šta je Emmanuel Swedenborg primetio da bi obični ljudi koji nemaju tako visoku inteligenciju kao kralj imali poteškoća da razumeju sistem brojeva sa tako velikim bazu i predložio da se, dakle, koristi oktalni brojevni sistem. Bilo bi zanimljivo znati zašto je Karlo XII odabrao baš ovu fondaciju.

Takođe, oktalni sistem brojeva se ponekad koristi u računarima - očigledno najčešće kada se određuju dozvole u Unix-u operativni sistemi. Nekada davno postojali su kompjuteri koji su koristili 24 i 36-bitne reči. U takvim računarima bilo je vrlo zgodno koristiti oktalni brojevni sistem, jer su svi bitovi riječi mogli biti predstavljeni cijelim brojem oktalnih cifara i nije bilo potrebe da se uvijek dodaju beznačajni nulti bitovi na početku. Na primjer, 36-bitna riječ zahtijeva tačno 12 oktalnih cifara.

U našem kursu diskretne matematike proučavamo oktalni sistem jer je to jedan od sistema u koje možemo direktno konvertovati iz binarnog brojevnog sistema, zaobilazeći decimalni brojevni sistem.

Šeksestezimalni sistem brojeva se široko koristi u računanju minuta i sekundi. Poreklo seksagezimalnog sistema nije jasno. Možda je to povezano sa duodecimalnim brojevnim sistemom (60 = 5 × 12, gdje je 5 broj prstiju na ruci). Postoji i hipoteza O. Neugebauera (1927) da su nakon akadskog osvajanja Sumerske države, tamo dugo vremena istovremeno postojale dvije novčane jedinice: šekel (šekel) i mina, a njihov odnos je utvrđen kao 1 mina. = 60 šekela. Kasnije je ova podjela postala uobičajena i dovela do odgovarajućeg sistema za upisivanje bilo kojih brojeva.

Da li je moguće dodati nule na početak broja u heksadecimalnom brojevnom sistemu?

Sva pravila za sve pozicione sisteme brojeva su ista. U decimalnom brojevnom sistemu dozvoljeno je dodavanje beznačajnih nula na početku, a nakon decimalnog zareza na kraju. Na isti način, beznačajne nule mogu se dodati u bilo koji drugi pozicioni brojevni sistem.

Koji se simboli koriste za pisanje broja u 25-arnom brojevnom sistemu?

Heksadecimalni brojevni sistem je prilično uobičajen brojni sistem. Za ovaj brojevni sistem postoji standard - brojevi veći od 9 pišu se slovima latinice od A do F.

Svi drugi pozicioni sistemi brojeva sa osnovom većom od 10 nisu uobičajeni i za njih ne postoji standard snimanja. Ali, po analogiji, bilo bi zgodno koristiti i slova latinice u ovim brojevnim sistemima.

Konkretno, u 25-arnom brojevnom sistemu, prvih 10 cifara se poklapa sa brojevima u decimalnom brojevnom sistemu - od 0 do 9, a preostalih 15 je kodirano slovima latinične abecede od A do O. Ista pravila primjenjuju se na druge pozicione sisteme brojeva.

Ali šta je sa brojevnim sistemom za koji nema dovoljno slova latinice?

Ne postoji univerzalni standard u ovoj oblasti. Osim u slučaju više ili manje široko korištenih brojevnih sistema.

Ako morate da radite sa takvim brojevnim sistemom, onda se ili pridržavajte pravila koja su drugi smislili (ako još neko koristi takav sistem brojeva), ili smislite svoja pravila.

U praksi, primjer takvog brojevnog sistema sa velikom bazom je 60-cifreni brojevni sistem za brojanje sekundi i minuta. Svi znamo kako se bilježi vrijeme. Na primjer, unos “34:17”, što znači “34 minuta 17 sekundi”, zapravo je broj napisan u seksageziranom obliku sa dvije cifre.

Kako ispravno čitati brojeve u brojevnim sistemima koji nisu decimalni?

Općenito, ne postoji standard za pravilno čitanje takvih brojeva.

Strogo govoreći, nazivati 20 8 riječju "dvadeset" nije sasvim ispravno, jer svi znaju da "dvadeset" znači "desetice", a u oktalnom brojevnom sistemu ovo dvoje ne znači broj desetica, već broj osam. Ovaj broj bi se vjerovatno ispravno čitao kao "dva nula", ali ovo nije standard.

Kada se koristi heksadecimalni brojevni sistem, slova se izgovaraju onako kako se obično izgovaraju u latiničnom alfabetu: “A”, “Be”, “Tse”, “De”, “E”, “Ef”. Broj 1E3.F 16 obično se izgovara ovako: "jedna e tri tačke ef."

Međutim, ako broj koristi samo decimalne znamenke, brojevi se često čitaju kao da su zapisani decimalnim zapisom. Na primjer, “517,5 8” može se izgovoriti kao “petsto sedamnaest zarez pet u oktalnoj notaciji”. Vjerovatno bi bilo tačnije reći „petsto sedamnaest zarez i pet osmina u oktalnom brojevnom sistemu“, ali u ovom slučaju neki bi mogli biti zbunjeni oko toga kako napisati „pet osmina“.

Ponekad se dijelovi broja imenuju prema različitim pravilima. Na primjer, ovako: "petsto sedamnaest zarez pet u oktalnom brojevnom sistemu." Čini se da ni u ovoj oblasti još uvijek nema standarda.

Mislim da je najvažnija stvar u izgovaranju brojeva da drugi shvate na šta mislite.

Kako zapamtiti tabelu korespondencije između binarnih brojeva i oktalnih i heksadecimalnih brojeva?

Ovu tabelu možete zapamtiti samo iskustvom - pogledajte je više puta, i nakon nekog vremena znaćete je napamet.

Ali ne morate pamtiti ovu tabelu! Toliko je lako odrediti korespondenciju da ne mogu biti siguran ni da li pamtim ovu tabelu napamet ili je svaki put izračunam? Da biste utvrdili usklađenost, trebate znati samo nekoliko vrlo jednostavnih stvari:

Jedna heksadecimalna znamenka odgovara 4 binarne cifre, a jedna oktalna znamenka odgovara 3 binarne cifre. Ovo je lako zapamtiti, jer je 2 4 =16, a 2 3 =8.

Morate naučiti da mentalno pretvarate brojeve od 0 do 7 iz oktalnog brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem i obrnuto. Ovo je veoma teška operacija, samo čudesi to mogu da urade u svojim glavama. Ako niste čudo, možete jednostavno zapamtiti da je 0=0, 1=1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=5, 6=6 i 7 jednako 7.

Morate naučiti mentalno pretvarati brojeve od 0 do 15 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni. Ovo je vrlo jednostavno, jer se brojevi od 0 do 9 poklapaju, a brojevi od 10 do 15 odgovaraju slovima latinice od A do F. Svaki put možete prebrojati u glavi (10 je A, 11 je B , 12 je C itd.)

Najteže je naučiti. Ali samo ova vještina pokriva značajan dio tabele.

Sada možete lako pretvoriti bilo koji broj od 0 do 15 iz binarnog u decimalni, a zatim u heksadecimalni ili oktalni. Ili možete učiniti suprotno.

Da biste pretvorili brojeve, morate biti u stanju da izvršite dugo dijeljenje. Šta ako ne znam kako napraviti dugu podjelu?

Teorijski materijal predstavljen ovdje pretpostavlja da imate određene vještine. Ako već nemate ove minimalne vještine, onda da biste razumjeli što je ovdje napisano, ima smisla prvo steći ove jednostavne vještine.

Da biste razumjeli sav teorijski materijal predstavljen ovdje, trebat će vam:

Shvatite šta je broj u principu.

Pogledajmo jednu od najvažnijih tema u informatici -. IN školski program otkriva se prilično „skromno“, najvjerovatnije zbog nedostatka sati za to. Znanje o ovoj temi, posebno o prevođenje brojnih sistema, su preduslov za uspjeh polaganje Jedinstvenog državnog ispita i upis na univerzitete na relevantnim fakultetima. U nastavku ćemo detaljno raspravljati o konceptima kao što su pozicione i nepozicione sisteme brojeva, dati su primjeri ovih brojevnih sistema, pravila za prevođenje cijelih decimalnih brojeva, tačna decimale i mješoviti decimalni brojevi u bilo koji drugi brojevni sistem, konverzija brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni, konverzija iz oktalnog i heksadecimalnog brojevnog sistema u binarni sistem brojeva. Na ispitima ima dosta problema na ovu temu. Sposobnost njihovog rješavanja jedan je od zahtjeva za kandidate. Uskoro: Za svaku temu sekcije, pored detaljnog teorijskog materijala, biće predstavljene gotovo sve moguće opcije zadataka Za samostalno učenje. Osim toga, imaćete priliku da potpuno besplatno preuzmete gotove sa usluge hostinga datoteka. detaljna rješenja na ove zadatke, ilustrirajući razne načine dobijanje tačnog odgovora.

pozicioni brojevni sistemi.

Nepozicioni sistemi brojeva- sistemi brojeva u kojima kvantitativna vrijednost cifre ne zavisi od njenog položaja u broju.

Nepozicioni sistemi brojeva uključuju, na primjer, rimski, gdje umjesto brojeva postoje latinična slova.

I	1 (jedan)
V	5 (pet)
X	10 (deset)
L	50 (pedeset)
C	100 (sto)
D	500 (petsto)
M	1000 (hiljada)

Ovdje slovo V označava 5 bez obzira na njegovu lokaciju. Međutim, vrijedno je napomenuti da iako je rimski brojevni sistem klasičan primjer nepozicionog brojevnog sistema, on nije potpuno nepozicionalan, jer Od toga se oduzima manji broj ispred većeg:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

pozicioni brojevni sistemi.

Pozicioni sistemi brojeva- sistemi brojeva u kojima kvantitativna vrijednost cifre zavisi od njenog položaja u broju.

Na primjer, ako govorimo o decimalnom brojevnom sistemu, onda u broju 700 broj 7 znači "sedam stotina", ali isti broj u broju 71 znači "sedam desetica", au broju 7020 - "sedam hiljada" .

Svaki pozicioni brojevni sistem ima svoje baza. Za bazu se bira prirodni broj veći ili jednak dva. Jednaka je broju cifara koje se koriste u datom brojevnom sistemu.

Binarno- pozicijski brojevni sistem sa osnovom 2.
kvartar- pozicioni brojevni sistem sa bazom 4.
Petostruko- pozicijski brojevni sistem sa bazom 5.
Octal- pozicijski brojevni sistem sa bazom 8.
Heksadecimalni- pozicijski brojevni sistem sa bazom 16.

Za uspješno rješavanje zadataka na temu „Brajevi sistemi“, učenik mora znati napamet korespondenciju binarnih, decimalnih, oktalnih i heksadecimalnih brojeva do 16 10:

10 s/s	2 s/s	8 s/s	16 s/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Korisno je znati kako se brojevi dobijaju u ovim brojevnim sistemima. To možete pogoditi u oktalnom, heksadecimalnom, ternarnom i drugima pozicioni brojevni sistemi sve se dešava na isti način kao i decimalni sistem na koji smo navikli:

Broju se dodaje jedan i dobija se novi broj. Ako mjesto jedinica postane jednako osnovici brojevnog sistema, povećavamo broj desetica za 1, itd.

Ova „tranzicija jednog“ je ono što plaši većinu učenika. U stvari, sve je prilično jednostavno. Prijelaz se događa ako cifra jedinica postane jednaka baza brojeva, povećavamo broj desetica za 1. Mnogi, sećajući se dobrog starog decimalnog sistema, odmah se zbune oko cifara u ovom prelazu, jer su decimalne i, na primer, binarne desetice različite stvari.

Dakle, snalažljivi učenici razvijaju “svoje vlastite metode” (iznenađujuće... rade) prilikom popunjavanja, na primjer, tablica istinitosti, čije su prve kolone (vrijednosti varijabli) u stvari ispunjene binarnim brojevima u rastućem redoslijedu.

Na primjer, pogledajmo unos brojeva oktalni sistem: Prvom broju (0) dodajemo 1, dobijamo 1. Zatim dodajemo 1 na 1, dobijamo 2, itd. do 7. Ako 7 dodamo jedan, dobijamo broj jednak osnovici brojevnog sistema, tj. 8. Zatim morate povećati broj desetica za jedan (dobijamo oktalnu deseticu - 10). Slijede, očigledno, brojevi 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

Pravila za konverziju iz jednog brojevnog sistema u drugi.

1 Pretvaranje cijelih decimalnih brojeva u bilo koji drugi brojevni sistem.

Broj se mora podijeliti sa nova baza brojevnog sistema. Prvi ostatak dijeljenja je prva sporedna znamenka novog broja. Ako je količnik dijeljenja manji ili jednak novoj bazi, tada se (količnik) mora ponovo podijeliti novom bazom. Dijeljenje se mora nastaviti sve dok ne dobijemo količnik manji od nove baze. Ovo je najviša znamenka novog broja (morate zapamtiti da, na primjer, u heksadecimalnom sistemu nakon 9 postoje slova, tj. ako je ostatak 11, trebate ga napisati kao B).

Primjer ("podjela uglom"): Pretvorimo broj 173 10 u oktalni brojevni sistem.

Dakle, 173 10 =255 8

2 Pretvaranje regularnih decimalnih razlomaka u bilo koji drugi brojni sistem.

Broj se mora pomnožiti sa novom osnovom brojevnog sistema. Cifra koja je postala cijeli broj je najviša znamenka razlomka novog broja. da bi se dobila sljedeća znamenka, razlomak rezultujućeg proizvoda mora se ponovo pomnožiti s novom bazom brojevnog sistema dok ne dođe do prijelaza na cijeli dio. Nastavljamo množenje sve dok razlomak ne bude jednak nuli, ili dok ne dostignemo tačnost navedenu u zadatku („... izračunaj s tačnošću od, na primjer, dvije decimale“).

Primjer: Pretvorimo broj 0,65625 10 u oktalni brojevni sistem.

Notacija je način pisanja brojeva. Obično se brojevi pišu pomoću posebnih znakova - brojeva (iako ne uvijek). Ako nikada niste studirali ovo pitanje, onda bi barem trebali znati dva brojevna sistema - arapski i rimski. Prvi koristi brojeve 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i predstavlja pozicijski brojevni sistem. A u drugom - I, V, X, L, C, D, M i ovo je nepozicioni brojevni sistem.

U pozicionim brojevnim sistemima, količina označena cifrom u broju zavisi od njegovog položaja, ali u nepozicionim brojevnim sistemima ne. Na primjer:

11 - ovdje prva jedinica označava deset, a druga - 1.
II - ovdje obje jedinice označavaju jednu.

345, 259, 521 - ovdje broj 5 u prvom slučaju znači 5, u drugom - 50, au trećem - 500.

XXV, XVI, VII - ovdje, gdje god da je broj V, uvijek znači pet jedinica. Drugim riječima, količina označena znakom V ne zavisi od njenog položaja.

Sabiranje, množenje i druge matematičke operacije lakše se izvode u pozicionim brojevnim sistemima nego u nepozicionim, jer matematičke operacije se izvode pomoću jednostavnih algoritama (na primjer, množenje stupcem, poređenje dva broja).

Pozicijski brojevni sistemi su najčešći u svijetu. Pored decimalnog sistema, koji je svima poznat od djetinjstva (koji koristi deset znamenki od 0 do 9), u tehnologiji se široko koriste brojni sistemi kao što su binarni (koriste se brojevi 0 i 1), oktalni i heksadecimalni.

Treba napomenuti važnu ulogu nule. „Otkriće“ ovog broja u istoriji čovečanstva odigralo je veliku ulogu u formiranju pozicionih brojevnih sistema.

Osnova brojevnog sistema je broj cifara koji se koristi za pisanje brojeva.

Mjesto je pozicija cifre u broju. Broj cifara broja je broj cifara koje čine broj (na primjer, 264 je trocifreni broj, 00010101 je osmocifreni broj). Cifre su numerisane s desna na lijevo (na primjer, u broju 598, osam zauzima prvu cifru, a pet treću).

Dakle, u pozicijskom brojevnom sistemu brojevi se zapisuju na način da je svaka sljedeća (kretanje s desna na lijevo) cifra veća od druge za snagu baze brojevnog sistema. (smisli dijagram)

Isti broj (vrijednost) može biti predstavljen u različitim brojevnim sistemima. Reprezentacija broja je drugačija, ali značenje ostaje nepromijenjeno.

Binarni sistem brojeva

IN binarni sistem numerisanje koristi samo dve cifre 0 i 1. Drugim rečima, dva je osnova binarnog brojevnog sistema. (Slično, decimalni sistem ima bazu 10.)

Da biste naučili razumjeti brojeve u binarnom brojevnom sistemu, prvo razmotrite kako se brojevi formiraju u nama poznatom decimalnom brojevnom sistemu.

U decimalnom brojevnom sistemu imamo deset cifara (od 0 do 9). Kada broj dostigne 9, uvodi se nova cifra (desetice), jedinice se vraćaju na nulu i brojanje počinje ponovo. Nakon 19, cifra desetice se povećava za 1, a jedinice se ponovo vraćaju na nulu. I tako dalje. Kada desetice dostignu 9, tada se pojavljuje treća znamenka - stotine.

Binarni brojevni sistem je sličan decimalnom brojevnom sistemu, osim što u formiranje broja učestvuju samo dvije cifre: 0 i 1. Čim cifra dostigne svoju granicu (tj. jedan), pojavljuje se nova cifra i stari se resetuje na nulu.

Pokušajmo računati u binarnom sistemu:
0 je nula
1 je jedan (i to je granica pražnjenja)
10 je dva
11 je tri (i to je opet granica)
100 je četiri
101 - pet
110 - šest
111 - sedam itd.
Pretvaranje brojeva iz binarnog u decimalni

Nije teško primijetiti da se u binarnom brojevnom sistemu dužine brojeva brzo povećavaju kako se vrijednosti povećavaju. Kako odrediti šta ovo znači: 10001001? Nenaviknut na ovaj oblik pisanja brojeva, ljudski mozak obično ne može shvatiti koliko je to. Bilo bi dobro da se binarni brojevi mogu pretvoriti u decimalni.

U decimalnom brojevnom sistemu, bilo koji broj se može predstaviti kao zbir jedinica, desetica, stotina itd. Na primjer:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Pažljivo pogledajte ovaj unos. Ovdje su brojevi 1, 4, 7 i 6 skup brojeva koji čine broj 1476. Svi ovi brojevi se redom množe sa deset podignutih na ovaj ili onaj stepen. Deset je osnova decimalnog brojevnog sistema. Potencija na koju se povećava desetica je cifra cifre minus jedan.

Bilo koji binarni broj može se proširiti na sličan način. Ovdje će samo osnova biti 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

One. Broj 10001001 u osnovi 2 jednak je broju 137 u bazi 10. Možete ga napisati ovako:

10001001 2 = 13710
Zašto je binarni sistem brojeva tako čest?

Činjenica je da je binarni brojevni sistem jezik računarske tehnologije. Svaki broj mora na neki način biti predstavljen na fizičkom mediju. Ako je ovo decimalni sistem, onda ćete morati kreirati uređaj koji može imati deset stanja. Komplikovano je. Lakše je proizvesti fizički element koji može biti samo u dva stanja (na primjer, postoji ili nema struje). Ovo je jedan od glavnih razloga zašto se tolika pažnja poklanja binarnom brojevnom sistemu.
Pretvaranje decimalnog broja u binarni

Možda ćete morati da konvertujete decimalni broj u binarni. Jedan način je podijeliti sa dva i od ostatka formirati binarni broj. Na primjer, trebate dobiti njegovu binarnu notaciju iz broja 77:

77 / 2 = 38 (1 ostatak)
38 / 2 = 19 (0 ostataka)
19 / 2 = 9 (1 ostatak)
9 / 2 = 4 (1 ostatak)
4 / 2 = 2 (0 ostataka)
2 / 2 = 1 (0 ostataka)
1 / 2 = 0 (1 ostatak)

Skupljamo ostatke zajedno, počevši od kraja: 1001101. Ovo je broj 77 u binarnom prikazu. provjerimo:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Oktalni sistem brojeva

Dakle, savremeni “hardver razume” samo binarni sistem brojeva. Međutim, čovjeku je teško uočiti duge zapise nula i jedinica s jedne strane, a s druge strane, pretvaranje brojeva iz binarnog u decimalni sistem i nazad je prilično dugotrajno i radno intenzivno. Kao rezultat toga, programeri često koriste druge sisteme brojeva: oktalni i heksadecimalni. I 8 i 16 su stepen dvojke, a pretvaranje binarnog broja u njih (kao i inverzno) je vrlo lako.

Oktalni brojevni sistem koristi osam cifara (od 0 do 7). Svaka cifra odgovara skupu od tri cifre u binarnom brojevnom sistemu:

000 - 0
001 - 1
010 - 2
011 - 3
100 - 4
101 - 5
110 - 6
111 - 7

Da biste binarni broj pretvorili u oktalni, dovoljno je da ga razbijete na trojke i zamijenite ih odgovarajućim znamenkama iz oktalnog brojevnog sistema. Trebate početi dijeliti na trojke od kraja, a brojeve koji nedostaju na početku zamijeniti nulama. Na primjer:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

To jest, broj 1011101 u binarnom brojevnom sistemu jednak je broju 135 u oktalnom brojevnom sistemu. Ili 1011101 2 = 1358.

Obrnuti prijevod. Recimo da želite da konvertujete broj 1008 (nemojte se varati! 100 u oktalnom obliku nije 100 u decimalnom) u binarni brojevni sistem.

100 8 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002

Pretvaranje oktalnog broja u decimalni broj može se obaviti pomoću već poznate šeme:

6728 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 6410

Heksadecimalni sistem brojeva

Heksadecimalni brojevni sistem, kao i oktalni brojevni sistem, široko se koristi u informatici zbog lakoće pretvaranja binarnih brojeva u njega. Heksadecimalni zapis čini brojeve kompaktnijima.

Heksadecimalni sistem brojeva koristi brojeve od 0 do 9 i prvih šest latiničnih slova - A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

Prilikom pretvaranja binarnog broja u heksadecimalni, prvi se dijeli na grupe od četiri znamenke, počevši od kraja. Ako broj znamenki nije djeljiv cijelim brojem, tada se prve četiri dodaju nulama ispred. Svaka četiri odgovara cifri u heksadecimalnom brojevnom sistemu:

Na primjer:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

Ako je potrebno, broj 4C5 se može pretvoriti u decimalni brojevni sistem na sljedeći način (C treba zamijeniti brojem koji odgovara ovom simbolu u decimalnom brojevnom sistemu - to je 12):

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Maksimalni dvocifreni broj koji se može dobiti pomoću heksadecimalne notacije je FF.

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255

255 je maksimalna vrijednost jednog bajta, jednaka 8 bitova: 1111 1111 = FF. Stoga je korištenjem heksadecimalnog sistema brojeva vrlo zgodno zapisati vrijednosti bajtova ukratko (koristeći dvije cifre). Pažnja! 8-bitni bajt može imati 256 stanja, ali maksimalna vrijednost je 255. Ne zaboravite na 0 - ovo je tačno 256. stanje

Predavanje 1. Brojevni sistemi

1. Istorija nastanka brojevnih sistema.

2. Pozicioni i nepozicioni brojevni sistemi.

3. Decimalni brojevni sistem, upisivanje brojeva u njega.

4. Rang

Čovjek se stalno mora baviti brojevima, tako da morate biti u stanju ispravno imenovati i napisati bilo koji broj, te obavljati operacije nad brojevima. Po pravilu, svi se s tim uspješno nose. Ovdje pomaže metoda pisanja brojeva koja se trenutno svuda koristi i naziva se decimalni brojevni sistem.

Proučavanje ovog sistema počinje u osnovna škola, i, naravno, nastavniku su potrebna određena znanja iz ove oblasti. Mora znati različite načine pisanja brojeva, algoritme aritmetičke operacije i njihovo obrazloženje. Materijal u ovom predavanju pruža minimum bez kojeg je nemoguće razumjeti različite metodičke pristupe nastavi. mlađih školaraca načini pisanja brojeva i izvođenja operacija nad njima.

Istorija nastanka brojevnih sistema.

Koncept broja nastao je u antičko doba. Tada se pojavila potreba za imenovanjem i pisanjem brojeva. Poziva se jezik za imenovanje, pisanje brojeva i izvođenje operacija nad njima sistem brojeva.

Najjednostavniji sistem evidencije prirodni brojevi zahtijeva samo jedan broj, kao što su "štapići" (ili zarezi u drvetu, npr primitivni čovek, ili čvor na užetu, poput američkih Indijanaca), koji predstavlja jedinicu. Ponavljanjem ovog znaka možete napisati bilo koji broj: svaki broj n jednostavno napisano n"štapići". U takvom brojevnom sistemu zgodno je izvoditi aritmetičke operacije. Ali ovaj način snimanja je vrlo neekonomičan i za velike brojeve neminovno dovodi do grešaka u brojanju.

Stoga su se vremenom pojavili drugi, ekonomičniji i praktičniji načini pisanja brojeva. Pogledajmo neke od njih.

IN Ancient Greece tzv numeracija potkrovlja. Brojevi 1, 2, 3, 4 označeni su crticama:

Broj 5 napisan je znakom G (drevni oblik slova "pi", kojim počinje riječ "pente" - pet). Brojevi 6, 7, 8, 9 označeni su na sljedeći način:

Broj 10 je bio označen sa Δ (početno slovo riječi "deka" je deset). Brojevi 100, 1000 i 10 000 označeni su H, X, M - početna slova odgovarajućih riječi.

Ostali brojevi su pisani raznim kombinacijama ovih znakova.

U trećem veku pre nove ere atičku numeraciju zamenila je tzv Jonski sistem. U njemu su brojevi 1 – 9 označeni sa prvih devet slova abecede: α (alfa), β (beta), γ (gama), δ (delta), ε (epsilon), ς (vau) ζ (zeta),
η (eta), (theta).

Brojevi 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – sa sljedećih devet slova: i(jota),
κ (kapa), λ (lambda), μ (mu), ν (gola), ξ (xi), ο (omikron), π (pi), With(policajac).

Brojevi 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 su poslednjih devet slova grčkog alfabeta.

U antičko doba, Jevreji, Arapi i mnogi drugi narodi Bliskog istoka imali su abecednu numeraciju sličnu starogrčkoj. Nije poznato među kojim se ljudima prvi put pojavio.

IN Drevni Rim „ključni“ brojevi su bili 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000. Označeni su slovima I, V, X, L, C, D i M, redom.

Svi cijeli brojevi (do 5000) su zapisani ponavljanjem gornjih brojeva. Istovremeno, ako je veći broj ispred manjeg, onda se oni zbrajaju, ali ako je manji ispred većeg (u ovom slučaju se ne može ponoviti), onda se manji oduzima od većeg: VI = 6, tj. 5 + 1; IV = 4, tj. 5 – 1;
XL = 40, tj. 50 – 10; LX = 60, tj. 50 + 10. Isti broj se ne stavlja više od tri puta zaredom: LXX = 70, LXXX = 80, broj 90 se piše XC (ne LXXXX).

Na primjer: XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Izvođenje aritmetičkih operacija nad višecifrenim brojevima u ovoj notaciji je vrlo teško. Međutim, rimska numeracija je opstala do danas. Koristi se za obilježavanje godišnjica, naziva konferencija, poglavlja u knjigama itd.

U drevnim vremenima brojevi su se označavali slovima u Rusiji. Da bi se naznačilo da znak nije slovo, već broj, iznad njih je postavljen poseban znak pod nazivom “titlo”. Prvih devet cifara je napisano ovako:

Desetke su označene na sljedeći način:

Stotine su označene na sljedeći način:

Hiljade označeni su istim slovima sa “naslovima” kao i prvih devet cifara, ali su sa lijeve strane imali znak “≠”: ≠ A = 1000, ≠ B = 2000, ≠ E = 5000.

Desetine hiljada zvali su se " mračno“, označeni su zaokruživanjem znakova jedinica:

10 000, = 20 000, = 80 000.

Otuda dolazi izraz „Mrak narodu“, tj. ima puno ljudi.

Stotine hiljada zvali su se " legije“, označavani su zaokruživanjem znakova jedinica krugovima tačaka:

100 000, = 200 000, = 800 000.

Milioni zvali su se " leodras" Označavani su zaokruživanjem znakova jedinica krugovima zraka ili zareza:

1 000 000, = 2 000 000.

Desetine miliona zvali su se " vrane"ili "corvids" i označavani su zaokruživanjem znakova jedinica krugovima s križevima ili stavljanjem slova K na obje strane:

Stotine miliona zvali su se " palube" "Paluba" je imala posebnu oznaku - uglaste zagrade su postavljene iznad i ispod slova:

Hijeroglifi stanovnika Drevni Babilon bile su sastavljene od uskih vertikalnih i horizontalnih klinova; ove dvije ikone su također korištene za zapis brojeva. Jedan vertikalni klin je značio jedan, a horizontalni deset. U starom Babilonu brojali su u grupama od 60 jedinica. Na primjer, broj 185 je predstavljen kao 3 puta 60 i još 5. Takav broj je napisan koristeći samo dva znaka, od kojih je jedan označavao koliko je puta uzeto 60, a drugi - koliko je jedinica uzeto.

Postoje mnoge hipoteze o tome kada i kako je seksagezimalni sistem nastao među Babilonima, ali nijedna još nije dokazana. Jedna od hipoteza je da je postojala mješavina dva plemena, od kojih je jedno koristilo šesterostruki sistem, a drugo decimalni sistem. Šeksagezimalni sistem je nastao kao kompromis između ova dva sistema. Druga hipoteza je da su Babilonci smatrali da je dužina godine 360 dana, što je prirodno povezano sa brojem 60.

Šeksagezimalni sistem je, u izvesnoj meri, opstao do danas, na primer, u podeli sata na 60 minuta, a minuta na 60 sekundi, iu sličnom sistemu za merenje uglova: 1 stepen je jednak 60 minuta, 1 minuta je 60 sekundi.

Binarni sistem Oznaku su koristila neka primitivna plemena prilikom brojanja; bila je poznata drevnim kineskim matematičarima, ali je veliki njemački matematičar Leibniz bio taj koji je istinski razvio i izgradio binarni sistem, koji je u njemu vidio personifikaciju duboke metafizičke istine.

Binarni sistem brojeva koriste neke (lokalne) kulture u Africi, Australiji i južna amerika.

Za predstavljanje brojeva u binarnom brojevnom sistemu potrebne su samo dvije cifre: 0 i 1. Iz tog razloga, binarnu notaciju broja je lako predstaviti korištenjem fizičkih elemenata koji imaju dva različita stabilna stanja. Upravo je to poslužilo kao jedan od važnih razloga za široku upotrebu binarnog sistema u savremenim elektronskim računarima.

Najekonomičniji od svih brojevnih sistema je ternarni. Binarni sistem i kvaternarni sistem, koji mu je ekvivalentan po efikasnosti, su u tom pogledu nešto inferiorniji u odnosu na ternarni sistem, ali su superiorniji od svih glavnih mogućih sistema. Ako je za pisanje brojeva od 1 do 10 u decimalnom sistemu potrebno 90 različitih stanja, a u binarnom sistemu - 60, onda je u ternarnom sistemu dovoljno 57 stanja.

Najčešća situacija u kojoj se manifestuje potreba za ternarnom analizom je, možda, vaganje na vagi. Ovdje se mogu pojaviti tri različita slučaja: ili će jedna od čaša biti veća od druge, ili obrnuto, ili će čaše uravnotežiti jedna drugu.

Kvartarni brojevni sistem koriste uglavnom indijanska plemena Južne Amerike i Yucca Indijanci iz Kalifornije, koji računaju na razmake između svojih prstiju.

Petostruki sistem brojeva bio mnogo rašireniji od svih ostalih. Tamanakos Indijanci iz Južne Amerike koriste istu riječ za broj 5 kao i za “cijelu ruku”. Riječ „šest“ na Tamanaku znači „jedan prst na drugoj ruci“, sedam znači „dva prsta na drugoj ruci“ itd. za osam i devet. Deset se zove "dve ruke". Želeći da imenuju broj od 11 do 14, Tamanakosi pružaju obje ruke naprijed i broje: „jedan na nozi, dva na nozi“ itd. dok ne dostignu 15 - "cijela noga." Nakon toga slijedi “jedan na drugoj nozi” (broj 16) itd. do 19. Broj 20 u Tamanaku znači “jedan Indijac”, 21 znači “jedan na ruci drugog Indijca”. "Dva Indijanaca" znači 40, "tri Indijanaca" znači 60.

Stanovnici drevne Jave i Asteci imali su sedmicu od 5 dana.

Neki istoričari vjeruju da je rimski broj X (deset) sastavljen od dvije rimske 5-ice V (jedan od njih obrnut), a broj V je zauzvrat proizašao iz stilizirane slike ljudske ruke.

Bio je rasprostranjen u antičko doba duodecimalni brojni sistem. Njegovo porijeklo je povezano i sa brojanjem na prste. Naime, pošto četiri prsta šake (osim palca) imaju ukupno 12 falangi, onda se duž ovih falanga, okrećući ih naizmjenično palcem, broje od 1 do 12. Tada se za jedinicu uzima 12 sljedeća cifra.

Glavna prednost duodecimalnog sistema je u tome što je njegova osnova deljiva sa 2, 3 i 4. Zagovornici duodecimalnog sistema pojavili su se u 16. veku. Kasnije su to uključivale: izvanredni ljudi, kao što su Herbert Spencer, John Quincy Adams i George Bernard Shaw. Postoji čak i American Duodecimal Society, koje izdaje dva časopisa: Duodecimal Bulletin i Duodecimal System Manual. Društvo svim "duodenumima" daje poseban ravnalo za brojanje, u kojem se kao osnova koristi 12.

U usmenom govoru, ostaci duodecimalnog sistema su preživjeli do danas: umjesto da se kaže „dvanaest“, neki kažu „tuce“. Sačuvan je običaj brojanja mnogih predmeta ne na desetine, već na desetine, na primjer, pribor za jelo u servisu (garnitura za 12 osoba) ili stolice u garnituri.

Naziv jedinice treće cifre u duodecimalnom brojevnom sistemu je bruto- sada je retkost, ali je u trgovačkoj praksi početkom 20. veka postojala i, čak i pre sto godina, mogla se lako naći. Na primjer, u pjesmi „Pljuškin“ koju je 1928. napisao V.V. Majakovski je, ismijavajući građane koji kupuju sve što im treba i ne treba, napisao:

Gledam okolo

rasipanje robe,

Binarni sistem brojeva koristi samo dvije cifre, 0 i 1. Drugim riječima, dva je osnova binarnog brojevnog sistema. (Slično, decimalni sistem ima bazu 10.)

Da biste naučili razumjeti brojeve u binarnom brojevnom sistemu, prvo razmotrite kako se brojevi formiraju u nama poznatom decimalnom brojevnom sistemu.

Pokušajmo računati u binarnom sistemu:
0 je nula
1 je jedan (a ovo je granica pražnjenja)
10 je dva
11 je tri (i to je opet granica)
100 je četiri
101 – pet
110 – šest
111 – sedam itd.

Pretvaranje brojeva iz binarnog u decimalni