Nulto rješenje sistema. Homogeni sistemi linearnih algebarskih jednačina. Kako pronaći osnovni sistem rješenja linearne jednačine

Sistem m linearne jednačine c n zvane nepoznate sistem linearnih homogenih jednadžbe ako su svi slobodni članovi jednaki nuli. Takav sistem izgleda ovako:

Gdje i ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - dati brojevi; x i– nepoznato.

Sistem linearnih homogenih jednačina je uvijek konzistentan, jer r(A) = r(). Uvijek ima najmanje nulu ( trivijalan) rješenje (0; 0; …; 0).

Razmotrimo pod kojim uslovima homogeni sistemi imaju rješenja različita od nule.

Teorema 1. Sistem linearnih homogenih jednadžbi ima rješenja različita od nule ako i samo ako je rang njegove glavne matrice r manje nepoznatih n, tj. r < n.

□ 1). Neka sistem linearnih homogenih jednačina ima rješenje različito od nule. Pošto rang ne može premašiti veličinu matrice, onda je, očigledno, r ≤ n. Neka r = n. Zatim jedna od manjih veličina n n različito od nule. Dakle, odgovarajući sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rešenje: . To znači da nema drugih rješenja osim trivijalnih. Dakle, ako postoji netrivijalno rješenje, onda r < n.

2). Neka r < n. Tada je homogeni sistem, budući da je konzistentan, neizvjestan. To znači da ima beskonačan broj rješenja, tj. ima rješenja različita od nule. ■

Razmislite o homogenom sistemu n linearne jednačine c n nepoznato:

(2)

Teorema 2. Homogeni sistem n linearne jednačine c n nepoznanica (2) ima rješenja različita od nule ako i samo ako je njena determinanta jednaka nuli: = 0.

□ Ako sistem (2) ima rješenje različito od nule, onda je = 0. Jer kada sistem ima samo jedno nulto rješenje. Ako je = 0, onda rang r glavna matrica sistema je manja od broja nepoznatih, tj. r < n. I, prema tome, sistem ima beskonačan broj rješenja, tj. ima rješenja različita od nule. ■

Označimo rješenje sistema (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n kao niz .

Rješenja sistema linearnih homogenih jednačina imaju sljedeća svojstva:

1. Ako je linija je rješenje za sistem (1), onda je linija rješenje za sistem (1).

2. Ako su linije i su rješenja sistema (1), tada za bilo koje vrijednosti With 1 i With 2 njihova linearna kombinacija je također rješenje za sistem (1).

Valjanost ovih svojstava može se provjeriti direktnom zamjenom u jednačine sistema.

Iz formulisanih svojstava proizilazi da je svaka linearna kombinacija rješenja sistema linearnih homogenih jednačina također rješenje ovog sistema.

Sistem linearno nezavisnih rješenja e 1 , e 2 , …, e r pozvao fundamentalno, ako je svako rješenje sistema (1) linearna kombinacija ovih rješenja e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Ako rang r matrice koeficijenata za varijable sistema linearnih homogenih jednadžbi (1) manje su od broja varijabli n, tada se svaki fundamentalni sistem rješenja sistema (1) sastoji od n–r odluke.

Zbog toga zajednička odluka sistem linearnih homogenih jednadžbi (1) ima oblik:

Gdje e 1 , e 2 , …, e r– bilo koji fundamentalni sistem rješenja sistema (9), With 1 , With 2 , …, sa str– proizvoljni brojevi, R = n–r.

Teorema 4. Opšte rješenje sistema m linearne jednačine c n nepoznanica jednaka je zbiru opšteg rešenja odgovarajućeg sistema linearnih homogenih jednačina (1) i proizvoljnog partikularnog rešenja ovog sistema (1).

Primjer. Riješite sistem

Rješenje. Za ovaj sistem m = n= 3. Determinanta

prema teoremi 2, sistem ima samo trivijalno rješenje: x = y = z = 0.

Primjer. 1) Pronađite opšta i posebna rješenja sistema

2) Pronađite osnovni sistem rješenja.

Rješenje. 1) Za ovaj sistem m = n= 3. Determinanta

prema teoremi 2, sistem ima rješenja različita od nule.

Pošto u sistemu postoji samo jedna nezavisna jednačina

x + y – 4z = 0,

onda ćemo iz njega izraziti x =4z- y. Gdje dobijamo beskonačan broj rješenja: (4 z- y, y, z) – ovo je opšte rešenje sistema.

At z= 1, y= -1, dobijamo jedno posebno rešenje: (5, -1, 1). Stavljanje z= 3, y= 2, dobijamo drugo posebno rešenje: (10, 2, 3), itd.

2) U opštem rješenju (4 z- y, y, z) varijable y I z su besplatni, a varijabla X- zavisi od njih. Da bismo pronašli osnovni sistem rješenja, dodijelimo vrijednosti slobodnim varijablama: prvo y = 1, z= 0, onda y = 0, z= 1. Dobijamo parcijalna rješenja (-1, 1, 0), (4, 0, 1), koja čine osnovni sistem rješenja.

Ilustracije:

Rice. 1 Klasifikacija sistema linearnih jednačina

Rice. 2 Proučavanje sistema linearnih jednačina

Prezentacije:

· Rješenje SLAE_matrica metoda

· Rješenje SLAE_Cramer metode

· Rješenje SLAE_Gaussova metoda

· Paketi za rješavanje matematičkih problema Mathematica, MathCad: traženje analitičkih i numeričkih rješenja sistema linearnih jednačina

Kontrolna pitanja:

1. Definirajte linearnu jednačinu

2. Na koji tip sistema to izgleda? m linearne jednačine sa n nepoznato?

3. Šta se naziva rješavanjem sistema linearnih jednačina?

4. Koji se sistemi nazivaju ekvivalentnim?

5. Koji sistem se naziva nekompatibilnim?

6. Koji sistem se zove zglob?

7. Koji sistem se naziva definitivnim?

8. Koji sistem se naziva neodređenim

9. Navedite elementarne transformacije sistema linearnih jednačina

10. Navedite elementarne transformacije matrica

11. Formulirajte teoremu o primjeni elementarnih transformacija na sistem linearnih jednačina

12. Koji se sistemi mogu riješiti korištenjem matrične metode?

13. Koji se sistemi mogu riješiti Cramerovom metodom?

14. Koji se sistemi mogu riješiti Gaussovom metodom?

15. Navedite 3 moguća slučaja koji se javljaju pri rješavanju sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom

16. Opisati matričnu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

17. Opišite Cramerovu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

18. Opišite Gaussovu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

19. Koji se sistemi mogu riješiti korištenjem inverzne matrice?

20. Navedite 3 moguća slučaja koji se javljaju pri rješavanju sistema linearnih jednačina korištenjem Cramerove metode

Književnost:

1. Viša matematika za ekonomiste: Udžbenik za univerzitete / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: JEDINSTVO, 2005. – 471 str.

2. Opšti kurs visoke matematike za ekonomiste: Udžbenik. / Ed. IN AND. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 str.

3. Zbirka zadataka iz visoke matematike za ekonomiste: Udžbenik / Urednik V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 str.

4. Gmurman V. E. Vodič za rješavanje problema u teoriji vjerojatnosti i magmatskoj statistici. - M.: Viša škola, 2005. – 400 str.

5. Gmurman. V.E Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. - M.: Viša škola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Viša matematika u vježbama i problemima. Dio 1, 2. – M.: Oniks 21. vijek: Mir i obrazovanje, 2005. – 304 str. dio 1; – 416 str. Dio 2.

7. Matematika u ekonomiji: Udžbenik: U 2 dijela / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finansije i statistika, 2006.

8. Shipachev V.S. Viša matematika: Udžbenik za studente. univerziteti - M.: Viša škola, 2007. - 479 str.

Povezane informacije.

Nastavit ćemo sa poliranjem naše tehnologije elementarne transformacije on homogeni sistem linearnih jednačina.
Na osnovu prvih pasusa, materijal može izgledati dosadno i osrednje, ali ovaj utisak je varljiv. Pored daljeg razvoja tehnika, bit će puno novih informacija, pa vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.

Šta je homogeni sistem linearnih jednačina?

Odgovor se nameće sam od sebe. Sistem linearnih jednačina je homogen ako je slobodni član svima jednačina sistema je nula. Na primjer:

To je apsolutno jasno homogen sistem je uvek konzistentan, odnosno uvijek ima rješenje. I, prije svega, ono što vam upada u oči je tzv trivijalan rješenje . Trivijalno, za one koji uopće ne razumiju značenje pridjeva, znači bez razmetanja. Ne akademski, naravno, ali razumljivo =) ...Zašto se tucati, hajde da saznamo ima li ovaj sistem još neko rješenje:

Primjer 1

Rješenje: za rješavanje homogenog sistema potrebno je napisati sistemska matrica i uz pomoć elementarnih transformacija dovesti ga u stepenasti oblik. Imajte na umu da ovdje nema potrebe zapisivati vertikalnu traku i nulti stupac slobodnih pojmova - na kraju krajeva, bez obzira na to što radite s nulama, one će ostati nule:

(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –3.

(2) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.

Deljenje trećeg reda sa 3 nema mnogo smisla.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentan homogeni sistem , i, koristeći inverznu Gaussovu metodu, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.

Odgovori:

Hajde da formulišemo očigledan kriterijum: homogeni sistem linearnih jednačina ima samo trivijalno rešenje, Ako rang sistemske matrice(u ovom slučaju 3) je jednako broju varijabli (u ovom slučaju – 3 komada).

Zagrijmo se i podesimo naš radio na val elementarnih transformacija:

Primjer 2

Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina

Da konačno konsolidujemo algoritam, analizirajmo završni zadatak:

Primjer 7

Riješite homogeni sistem, napišite odgovor u vektorskom obliku.

Rješenje: zapišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postepeni oblik:

(1) Predznak prvog reda je promijenjen. Još jednom skrećem pažnju na tehniku koja se već mnogo puta susreće, a koja vam omogućava da značajno pojednostavite sljedeću radnju.

(1) Prvi red je dodat 2. i 3. redu. Prvi red, pomnožen sa 2, dodan je četvrtom redu.

(3) Zadnja tri reda su proporcionalna, dva su uklonjena.

Kao rezultat, dobija se standardna matrica koraka, a rješenje se nastavlja duž nazubljene staze:

– osnovne varijable;
– slobodne varijable.

Izrazimo osnovne varijable u terminima slobodnih varijabli. Iz 2. jednačine:

– zamijeniti u 1. jednačinu:

Dakle, generalno rješenje je:

Kako u primjeru koji se razmatra postoje tri slobodne varijable, osnovni sistem sadrži tri vektora.

Zamijenimo trostruku vrijednost u opšte rešenje i dobijemo vektor čije koordinate zadovoljavaju svaku jednačinu homogenog sistema. I opet, ponavljam da je vrlo preporučljivo provjeriti svaki primljeni vektor - neće trebati puno vremena, ali će vas potpuno zaštititi od grešaka.

Za trostruku vrijednost pronađite vektor

I na kraju za troje dobijamo treći vektor:

Odgovori: , Gdje

Oni koji žele izbjeći razlomke mogu uzeti u obzir trojke i dobiti odgovor u ekvivalentnom obliku:

Govoreći o razlomcima. Pogledajmo matricu dobijenu u zadatku i zapitajmo se: da li je moguće pojednostaviti dalje rješenje? Uostalom, ovdje smo prvo izrazili osnovnu varijablu kroz razlomke, zatim kroz razlomke osnovnu varijablu i, moram reći, ovaj proces nije bio najjednostavniji i ne najugodniji.

Drugo rješenje:

Ideja je pokušati izaberite druge bazne varijable. Pogledajmo matricu i uočimo dva u trećoj koloni. Pa zašto ne imati nulu na vrhu? Izvršimo još jednu elementarnu transformaciju:

Homogeni sistemi linearnih algebarskih jednačina

U sklopu nastave Gaussova metoda I Nekompatibilni sistemi/sistemi sa zajedničkim rješenjem smatrali smo nehomogeni sistemi linearnih jednačina, Gdje besplatni član(koji je obično na desnoj strani) najmanje jedan iz jednadžbi bio različit od nule.
A sada, nakon dobrog zagrevanja sa matrični rang, nastavićemo sa poliranjem tehnike elementarne transformacije on homogeni sistem linearnih jednačina.
Na osnovu prvih pasusa, materijal može izgledati dosadno i osrednje, ali ovaj utisak je varljiv. Pored daljeg razvoja tehnika, bit će puno novih informacija, pa vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.

Šta je homogeni sistem linearnih jednačina?

Odgovor se nameće sam od sebe. Sistem linearnih jednačina je homogen ako je slobodni član svima jednačina sistema je nula. Na primjer:

Primjer 1

(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –3.

(2) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.

Deljenje trećeg reda sa 3 nema mnogo smisla.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentan homogeni sistem , i, koristeći inverznu Gaussovu metodu, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.

Odgovori:

Zagrijmo se i podesimo naš radio na val elementarnih transformacija:

Primjer 2

Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina

Iz članka Kako pronaći rang matrice? Prisjetimo se racionalne tehnike istovremenog smanjivanja brojeva matrice. U suprotnom ćete morati rezati veliku ribu koja često grize. Približan primjer zadatka na kraju lekcije.

Nule su dobre i zgodne, ali u praksi je slučaj mnogo češći kada se redovi sistemske matrice linearno zavisna. I tada je pojava generalnog rješenja neizbježna:

Primjer 3

Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina

Rješenje: zapišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postepeni oblik. Prva radnja je usmjerena ne samo na dobivanje jedne vrijednosti, već i na smanjenje brojeva u prvom stupcu:

(1) Treći red je dodan prvom redu, pomnožen sa –1. Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. U gornjem lijevom kutu dobio sam jedinicu sa “minusom”, koja je često mnogo pogodnija za daljnje transformacije.

(2) Prva dva reda su ista, jedan od njih je obrisan. Iskreno, nisam forsirao rješenje - ispalo je tako. Ako transformacije izvodite na šablonski način, onda linearna zavisnost linije bi se otkrile nešto kasnije.

(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 3.

(4) Promijenjen je predznak prvog reda.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentan sistem:

Algoritam radi potpuno isto kao za heterogeni sistemi. Varijable “sjedi na stepenicama” su glavne, varijabla koja nije dobila “korak” je besplatna.

Izrazimo osnovne varijable kroz slobodnu varijablu:

Odgovori: zajednička odluka:

Trivijalno rješenje je uključeno u opću formulu i nije ga potrebno posebno zapisivati.

Provjera se također vrši prema uobičajenoj šemi: rezultirajuće opšte rješenje mora se zamijeniti u lijevu stranu svake jednačine sistema i za sve zamjene mora se dobiti zakonska nula.

To bi bilo moguće završiti tiho i mirno, ali rješenje za homogeni sistem jednačina često treba biti predstavljeno u vektorskom obliku korišćenjem fundamentalni sistem rješenja. Molim vas, zaboravite na to za sada analitička geometrija, pošto ćemo sada govoriti o vektorima u opštem algebarskom smislu, što sam malo otvorio u članku o matrični rang. Nema potrebe prekrivati terminologiju, sve je prilično jednostavno.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) je nesumnjivo najvažnija tema u kursu linearne algebre. Ogroman broj problema iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ovi faktori objašnjavaju razlog za ovaj članak. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete

odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
proučavati teoriju odabrane metode,
riješite svoj sistem linearnih jednačina razmatrajući detaljna rješenja tipičnih primjera i problema.

Kratak opis materijala članka.

Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo oznake.

Zatim ćemo razmotriti metode rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo ćemo se fokusirati na Cramerovu metodu, drugo, pokazat ćemo matričnu metodu za rješavanje ovakvih sistema jednadžbi, i treće, analizirat ćemo Gaussovu metodu (metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšteg oblika, u kojima se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema singularna. Formulirajmo Kronecker-Capelli teorem, koji nam omogućava da uspostavimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (ako su kompatibilni) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Svakako ćemo se zadržati na strukturi opšteg rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednačina. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažimo kako se opšte rešenje SLAE piše korišćenjem vektora fundamentalnog sistema rešenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

U zaključku ćemo razmotriti sisteme jednačina koji se mogu svesti na linearne, kao i različite probleme pri čijem rješavanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, koncepti, oznake.

Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni termini (takođe realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik snimanja SLAE se zove koordinata.

IN matrični oblik pisanje ovog sistema jednačina ima oblik,
Gdje - glavna matrica sistema, - matrica kolona nepoznatih varijabli, - matrica kolona slobodnih termina.

Ako matrici A dodamo matricu-stupac slobodnih pojmova kao (n+1)-ti stupac, dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih pojmova odvojen je okomitom linijom od preostalih stupaca, tj.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli također postaje identitet.

Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.

Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove non-joint.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran; ako postoji više od jednog rješenja, tada – neizvjesno.

Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli , tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.

Rješavanje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Ako je broj jednačina sistema jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada će se takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sistema sve nepoznate varijable su jednake nuli.

Počeli smo da proučavamo takve SLAE u srednjoj školi. Prilikom njihovog rješavanja, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u terminima drugih i zamijenili je u preostale jednačine, zatim uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine i tako dalje. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one u suštini modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Pretpostavimo da treba da rešimo sistem linearnih algebarskih jednačina

u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.

Neka je determinanta glavne matrice sistema, i - determinante matrica koje se dobijaju iz A zamenom 1., 2., …, n-ti kolonu odnosno kolonu slobodnih članova:

Uz ovu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju korištenjem formula Cramerove metode kao . Ovako se pronalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina korištenjem Cramerove metode.

Primjer.

Cramerova metoda .

Rješenje.

Glavna matrica sistema ima oblik . Izračunajmo njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.

Sastavimo i izračunajmo potrebne determinante (determinantu dobijamo tako što prvi stupac u matrici A zamijenimo stupcem slobodnih termina, determinantu zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih pojmova i zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih pojmova) :

Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula :

odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednačina u sistemu veći od tri.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.

Pošto je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica. Ako obje strane jednakosti pomnožimo lijevom, dobićemo formulu za pronalaženje matrice-stupca nepoznatih varijabli. Ovako smo matričnom metodom dobili rješenje za sistem linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina matrična metoda.

Rješenje.

Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku:

Jer

tada se SLAE može riješiti korištenjem matrične metode. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sistema se može naći kao .

Konstruirajmo inverznu matricu koristeći matricu od algebarskih sabiranja elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na matricu-kolona slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak):

odgovor:

ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem pri pronalaženju rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi metodom matrice je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se od sekvencijalnog isključivanja nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok se ne pojavi samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jednačini. Ovaj proces transformacije sistemskih jednačina da bi se sekvencijalno eliminisale nepoznate varijable naziva se direktna Gausova metoda. Nakon završetka naprednog poteza Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednačine, koristeći ovu vrijednost iz pretposljednje jednačine, izračunava se x n-1, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se inverzno od Gausove metode.

Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Hajde da eliminišemo nepoznatu promenljivu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednačini sistema dodajemo prvu, pomnoženu sa , trećoj jednačini dodajemo prvu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodajemo prvu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i .

Do istog rezultata bismo došli da smo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim nastavljamo na sličan način, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da bismo to učinili, trećoj jednačini sistema dodajemo drugu, pomnoženu sa , četvrtoj jednačini dodamo drugu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodamo drugu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, dok slično postupamo sa dijelom sistema označenim na slici

Tako nastavljamo direktnu progresiju Gausove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačine .

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda.

Rješenje.

Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, na obje strane druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa:

Sada eliminiramo x 2 iz treće jednadžbe dodavanjem lijevoj i desnoj strani druge jednadžbe lijevu i desnu stranu druge jednačine, pomnožene sa:

Ovim se završava potez naprijed Gaussove metode; počinjemo obrnuti potez.

Iz posljednje jednačine rezultirajućeg sistema jednačina nalazimo x 3:

Iz druge jednačine dobijamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time dovršavamo obrnuto Gaussovom metodom.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Općenito, broj jednačina sistema p ne poklapa se sa brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se takođe odnosi na sisteme jednačina čija je glavna matrica kvadratna i singularna.

Kronecker–Capelli teorem.

Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekonzistentan daje Kronecker–Capelli teorem:
Da bi sistem p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n) bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, tj. , Rang(A)=Rank(T).

Razmotrimo, kao primjer, primjenu Kronecker–Capellijeve teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.

Primjer.

Saznajte da li sistem linearnih jednačina ima rješenja.

Rješenje.

. Koristimo se metodom graničenja maloljetnika. Minor drugog reda različito od nule. Pogledajmo maloljetnike trećeg reda koji ga graniče:

Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je jednak dva.

Zauzvrat, rang proširene matrice je jednako tri, pošto je umanjilac trećeg reda

različito od nule.

dakle, Rang(A), dakle, koristeći Kronecker–Capelli teorem, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.

odgovor:

Sistem nema rješenja.

Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker-Capelli teorem.

Ali kako pronaći rješenje za SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Da bismo to učinili, potreban nam je koncept baznog mola matrice i teorema o rangu matrice.

Zove se minor najvišeg reda matrice A, različit od nule osnovni.

Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko baznih minora; uvijek postoji jedan bazni minor.

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.

Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorema o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p po n jednak r, tada se svi elementi reda (i stupca) matrice koji ne čine odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata reda (i stupca) koji formiraju osnovni minor.

Šta nam govori teorema o rangu matrice?

Ako smo, prema Kronecker–Capellijevoj teoremi, uspostavili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji bazni minor glavne matrice sistema (njen red je jednak r) i isključujemo iz sistema sve jednačine koje čine ne čine odabrani bazni mol. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).

Kao rezultat, nakon odbacivanja nepotrebnih jednačina sistema moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

Rješenje.

Rang glavne matrice sistema je jednako dva, pošto je minor drugog reda različito od nule. Prošireni matrični rang je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda nula

a gore razmatrani minor drugog reda je različit od nule. Na osnovu Kronecker–Capelli teoreme, možemo tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kao base minor uzimamo . Formira se koeficijentima prve i druge jednačine:

Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju baznog minora, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice:

Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednačina. Rešimo ga Cramerovom metodom:

odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n, tada na lijevoj strani jednadžbe ostavljamo članove koji čine bazni minor, a preostale članove prenosimo na desne strane jednačine sistema sa suprotnim predznakom.

Nepoznate varijable (od njih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbe se pozivaju main.

Nepoznate varijable (ima n - r komada) koje se nalaze na desnoj strani se pozivaju besplatno.

Sada vjerujemo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene kroz slobodne nepoznate varijable na jedinstven način. Njihov izraz se može naći rješavanjem rezultirajuće SLAE korištenjem Cramerove metode, matrične metode ili Gaussove metode.

Pogledajmo to na primjeru.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina .

Rješenje.

Nađimo rang glavne matrice sistema metodom graničenja maloletnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao nenulti minor prvog reda. Počnimo tražiti minor koji nije nula drugog reda koji graniči s ovim minorom:

Ovako smo pronašli nenulti minor drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda:

Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.

Za osnovni jedan uzimamo pronađeni minor trećeg reda različit od nule.

Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor:

Ostavljamo članove uključene u bazni minor na lijevoj strani sistemskih jednačina, a ostatak prenosimo sa suprotnim predznacima na desnu stranu:

Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno prihvatamo , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE će poprimiti oblik

Rešimo rezultirajući elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi koristeći Cramerovu metodu:

Dakle, .

U svom odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.

odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Sažmite.

Da bismo riješili sistem općih linearnih algebarskih jednadžbi, prvo utvrđujemo njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker–Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekompatibilan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo bazni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog baznog minora.

Ako je red baznog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje, koje se može naći bilo kojom metodom koja nam je poznata.

Ako je red baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani sistemskih jednačina ostavljamo članove s glavnim nepoznatim varijablama, preostale članove prenosimo na desne strane i dajemo proizvoljne vrijednosti slobodne nepoznate varijable. Iz rezultirajućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznate varijable koristeći Cramerovu metodu, matričnu metodu ili Gaussovu metodu.

Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Gaussova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez prethodnog testiranja njihove konzistentnosti. Proces sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli omogućava da se izvede zaključak i o kompatibilnosti i o nekompatibilnosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga pronalaženje.

Sa računske tačke gledišta, Gausova metoda je poželjnija.

Njen detaljan opis i analizirane primjere pogledajte u članku Gaussova metoda za rješavanje sistema općih linearnih algebarskih jednačina.

Pisanje opšteg rešenja za homogene i nehomogene linearne algebarske sisteme korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.

U ovom dijelu ćemo govoriti o istovremenim homogenim i nehomogenim sistemima linearnih algebarskih jednačina koje imaju beskonačan broj rješenja.

Hajde da se prvo pozabavimo homogenim sistemima.

Osnovni sistem rješenja homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.

Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su stupaste matrice dimenzije n sa 1) , onda je opšte rešenje ovog homogenog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rešenja sa proizvoljnim konstantnim koeficijentima C 1, C 2, ..., C (n-r), odnosno .

Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula specificira sva moguća rješenja originalnog SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1, C 2, ..., C (n-r), koristeći formulu koju ćemo dobiti jedno od rješenja originalne homogene SLAE.

Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo definirati sva rješenja ove homogene SLAE kao .

Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.

Odabiremo bazni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i prenosimo sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable na desnu stranu sistemskih jednačina suprotnih predznaka. Damo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0,...,0 i izračunajmo glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, korištenjem Cramerove metode. Ovo će rezultirati X (1) - prvim rješenjem fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznanice, dobićemo X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama dodijelimo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznate, dobićemo X (n-r) . Na taj način će se konstruisati fundamentalni sistem rješenja homogene SLAE i njegovo opšte rješenje može se zapisati u obliku .

Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno u obliku , gde je opšte rešenje odgovarajućeg homogenog sistema, a partikularno rešenje originalnog nehomogenog SLAE, koje dobijamo davanjem slobodnim nepoznanicama vrednosti 0,0,...,0 i izračunavanje vrijednosti glavnih nepoznanica.

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi .

Rješenje.

Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Pronađimo rang glavne matrice metodom graničnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Nađimo granični minor koji nije nula drugog reda:

Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji se graniče s njim u potrazi za nenultom jedinicom:

Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice jednak dva. Hajde da uzmemo. Radi jasnoće, zabilježimo elemente sistema koji ga čine:

Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju baznog minora, stoga se može isključiti:

Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:

Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Osnovni sistem rješenja ove SLAE sastoji se od dva rješenja, pošto originalna SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njenog baznog minora je jednak dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 1, x 4 = 0, zatim pronađemo glavne nepoznate iz sistema jednačina
.

Hajde da razmotrimo homogeni sistem m linearnih jednadžbi sa n varijabli:

(15)

Sistem homogenih linearnih jednačina je uvijek konzistentan, jer uvijek ima nulto (trivijalno) rješenje (0,0,…,0).

Ako je u sistemu (15) m=n i , tada sistem ima samo nulto rješenje, što slijedi iz Cramerove teoreme i formula.

Teorema 1. Homogeni sistem (15) ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang njegove matrice manji od broja varijabli, tj. . r(A)< n.

Dokaz. Postojanje netrivijalnog rješenja sistema (15) je ekvivalentno linearnoj zavisnosti stupaca matrice sistema (tj. postoje brojevi x 1, x 2,...,x n, koji nisu svi jednaki nuli, tako da jednakosti (15) su tačne).

Prema teoremi baznog mola, stupci matrice su linearno zavisni  kada nisu svi stupci ove matrice osnovni, tj.  kada je red r baznog minora matrice manji od broja n njenih stupaca. itd.

Posljedica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivijalna rješenja  kada je |A|=0.

Teorema 2. Ako su kolone x (1), x (2),..., x (s) rješenja homogenog sistema AX = 0, onda je svaka njihova linearna kombinacija također rješenje za ovaj sistem.

Dokaz. Razmotrite bilo koju kombinaciju rješenja:

Tada je AX=A()===0. itd.

Zaključak 1. Ako homogeni sistem ima netrivijalno rješenje, onda ima beskonačno mnogo rješenja.

To. potrebno je pronaći takva rješenja x (1), x (2),..., x (s) sistema Ax = 0, tako da svako drugo rješenje ovog sistema bude predstavljeno u obliku njihove linearne kombinacije i , štaviše, na jedinstven način.

Definicija. Sistem k=n-r (n je broj nepoznatih u sistemu, r=rg A) linearno nezavisnih rješenja x (1), x (2),..., x (k) sistema Ah=0 naziva se fundamentalni sistem rješenja ovaj sistem.

Teorema 3. Neka je dat homogeni sistem Ah=0 sa n nepoznatih i r=rg A. Tada postoji skup k=n-r rješenja x (1), x (2),..., x (k) ovog sistema, koji formira fundamentalni sistem rješenja.

Dokaz. Bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da se bazni minor matrice A nalazi u gornjem levom uglu. Zatim, prema teoremi baznog malog, preostali redovi matrice A su linearne kombinacije baznih redova. To znači da ako vrijednosti x 1, x 2,…, x n zadovoljavaju prve r jednačine, tj. jednadžbi koje odgovaraju redovima baznog minora), onda one zadovoljavaju i druge jednačine. Shodno tome, skup rješenja sistema se neće promijeniti ako odbacimo sve jednačine počevši od (r+1)-te. Dobijamo sistem:

Pomerimo slobodne nepoznanice x r +1 , x r +2 ,…, x n na desnu stranu, a osnovne x 1 , x 2 ,…, x r ostavimo na levoj strani:

(16)

Jer u ovom slučaju sve b i =0, tada umjesto formula

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), dobijamo:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Ako slobodne nepoznanice x r +1 , x r +2 ,…, x n postavimo na proizvoljne vrijednosti, tada s obzirom na osnovne nepoznate dobijamo kvadratni SLAE sa nesingularnom matricom za koju postoji jedinstveno rješenje. Dakle, svako rješenje homogene SLAE je jednoznačno određeno vrijednostima slobodnih nepoznanica x r +1, x r +2,…, x n. Razmotrimo sljedeće k=n-r serije vrijednosti slobodnih nepoznatih:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Broj serije je označen superskriptom u zagradama, a nizovi vrijednosti su ispisani u obliku kolona. U svakoj seriji =1 ako je i=j i =0 ako je ij.

I-ti niz vrijednosti slobodnih nepoznatih jedinstveno odgovara vrijednostima ,,...,osnovnih nepoznatih. Vrijednosti slobodne i osnovne nepoznanice zajedno daju rješenja za sistem (17).

Pokažimo da su stupci e i =,i=1,2,…,k (18)

formiraju fundamentalni sistem rješenja.

Jer Ovi stupci su po konstrukciji rješenja homogenog sistema Ax=0 i njihov broj je jednak k, tada ostaje dokazati linearnu nezavisnost rješenja (16). Neka postoji linearna kombinacija rješenja e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), jednako nultom stupcu:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Tada je lijeva strana ove jednakosti kolona čije su komponente s brojevima r+1,r+2,…,n jednake nuli. Ali (r+1)-ta komponenta je jednaka  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Slično, (r+2)-ta komponenta je jednaka  2 ,…, k-ta komponenta je jednaka  k. Stoga  1 =  2 = …= k =0, što znači linearnu nezavisnost rješenja e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Konstruirani fundamentalni sistem rješenja (18) naziva se normalno. Na osnovu formule (13) ima sljedeći oblik:

(20)

Zaključak 2. Neka e 1 , e 2 ,…, e k-normalan osnovni sistem rješenja homogenog sistema, tada se skup svih rješenja može opisati formulom:

x=c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+s k e k (21)

gdje s 1,s 2,…,s k – uzimaju proizvoljne vrijednosti.

Dokaz. Prema teoremi 2, kolona (19) je rješenje homogenog sistema Ax=0. Ostaje dokazati da se svako rješenje ovog sistema može predstaviti u obliku (17). Uzmite u obzir kolonu X=y r +1 e 1 +…+y n e k. Ovaj stupac se poklapa sa stupcem y u elementima s brojevima r+1,...,n i rješenje je (16). Stoga kolone X I at poklapaju, jer rješenja sistema (16) jednoznačno su određena skupom vrijednosti njegovih slobodnih nepoznanica x r +1 ,…,x n , i stupcima at I X ovi setovi su isti. dakle, at=X= y r +1 e 1 +…+y n e k, tj. rješenje at je linearna kombinacija kolona e 1 ,…,y n normalan FSR. itd.

Dokazana tvrdnja je tačna ne samo za normalan FSR, već i za proizvoljan FSR homogene SLAE.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - zajednička odluka sistemi linearnih homogenih jednačina

Gdje je X 1, X 2,…, X n - r – bilo koji fundamentalni sistem rješenja,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r su proizvoljni brojevi.

Primjer. (str. 78)

Uspostavimo vezu između rješenja nehomogene SLAE (1) i odgovarajući homogeni SLAE (15)

Teorema 4. Zbir bilo kojeg rješenja nehomogenog sistema (1) i odgovarajućeg homogenog sistema (15) je rješenje sistema (1).

Dokaz. Ako je c 1 ,…,c n rješenje sistema (1), a d 1 ,…,d n rješenje sistema (15), onda zamjenom nepoznatih brojeva c u bilo koju (na primjer, i-tu) jednačinu od sistem (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , dobijamo:

B i +0=b i h.t.d.

Teorema 5. Razlika između dva proizvoljna rješenja nehomogenog sistema (1) je rješenje homogenog sistema (15).

Dokaz. Ako su c 1 ,…,c n i c 1 ,…,c n rješenja sistema (1), onda zamjenom nepoznatih brojeva c u bilo koju (na primjer, i-tu) jednačinu sistema (1 ) 1 -s 1 ,…,c n -s n , dobijamo:

B i -b i =0 p.t.d.

Iz dokazanih teorema proizilazi da je opšte rješenje sistema od m linearnih homogenih jednačina sa n varijabli jednako zbiru opšteg rješenja odgovarajućeg sistema homogenih linearnih jednačina (15) i proizvoljnog broja određenog rješenja od ovaj sistem (15).

X neod. =X ukupno jedan +X česte više nego jednom (22)

Kao posebno rješenje nehomogenog sistema, prirodno je uzeti rješenje koje se dobije ako u formulama c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) postaviti sve brojeve c r +1 ,…,c n jednakima nuli, tj.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Dodavanje ovog konkretnog rješenja općem rješenju X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r odgovarajući homogeni sistem, dobijamo:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S n - r X n - r (24)

Razmotrimo sistem od dvije jednačine sa dvije varijable:

u kojoj je najmanje jedan od koeficijenata a ij 0.

Da bismo riješili, eliminišemo x 2 tako što pomnožimo prvu jednačinu sa 22, a drugu sa (-a 12) i saberemo ih: Eliminišemo x 1 množenjem prve jednačine sa (-a 21), a drugu sa 11 i dodajući ih: Izraz u zagradama je determinanta

Nakon što je odredio ,, tada će sistem poprimiti oblik:, tj. ako, onda sistem ima jedinstveno rješenje:,.

Ako je Δ=0, i (ili), onda je sistem nekonzistentan, jer svedeno na oblik Ako je Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, tada je sistem neizvjestan, jer svedeno na formu