Inverzne trigonometrijske funkcije i njihova svojstva. Izrazimo to u terminima svih inverznih trigonometrijskih funkcija. Osnovne relacije inverznih trigonometrijskih funkcija
TO inverzne trigonometrijske funkcije Sljedećih 6 funkcija uključuje: arcsine , arccosine , arktangent , arccotangent , arcsecant I arccosecan .
Budući da su originalne trigonometrijske funkcije periodične, onda su inverzne funkcije, općenito govoreći, jesu polisemantički . Da bi se osigurala jedna-na-jedan korespondencija između dvije varijable, domene definicije originalnih trigonometrijskih funkcija su ograničene razmatranjem samo njih glavne grane . Na primjer, funkcija \(y = \sin x\) se razmatra samo u intervalu \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\). Na ovom intervalu, inverzna arcsinusna funkcija je jedinstveno definirana.
Arksinus funkcija
Arksinus broja \(a\) (označen sa \(\arcsin a\)) je vrijednost ugla \(x\) u intervalu \(\left[ ( - \pi /2,\pi / 2) \desno]\), za koje je \(\sin x = a\). Inverzna funkcija \(y = \arcsin x\) je definirana na \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\), njen raspon vrijednosti je \(y \in \left[ ( - \pi / 2,\pi /2) \desno]\).
Arc kosinus funkcija
Arkosinus broja \(a\) (označen sa \(\arccos a\)) je vrijednost ugla \(x\) u intervalu \(\left[ (0,\pi) \right]\ ), pri čemu je \(\cos x = a\). Inverzna funkcija \(y = \arccos x\) je definirana na \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\), njen raspon vrijednosti pripada segmentu \(y \in \levo[ (0,\ pi)\desno]\).
Arktangentna funkcija
Arktangent broja a(označeno sa \(\arctan a\)) je vrijednost ugla \(x\) u otvorenom intervalu \(\left((-\pi/2, \pi/2) \desno)\), na koji \(\tan x = a\). Inverzna funkcija \(y = \arctan x\) je definirana za sve \(x \in \mathbb(R)\), raspon arktangenta je jednak \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\desno)\).
Funkcija tangente luka
Arkotangens broja \(a\) (označen sa \(\text(arccot) a\)) je vrijednost ugla \(x\) u otvorenom intervalu \(\left[ (0,\) pi) \desno]\), pri čemu je \(\cot x = a\). Inverzna funkcija \(y = \text(arccot) x\) je definirana za sve \(x \in \mathbb(R)\), njen raspon vrijednosti je u intervalu \(y \in \ lijevo [ (0,\pi) \desno]\).
Arcsecant funkcija
Lukni sekant broja \(a\) (označen sa \(\text(arcsec) a\)) je vrijednost ugla \(x\) pod kojim je \(\sec x = a\). Inverzna funkcija \(y = \text(arcsec) x\) je definirana na \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right) \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), njegov raspon vrijednosti pripada skupu \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] \).
Arkosekantna funkcija
Arkosekans broja \(a\) (označen \(\text(arccsc) a\) ili \(\text(arccosec) a\)) je vrijednost ugla \(x\) pod kojim \(\ csc x = a\ ). Inverzna funkcija \(y = \text(arccsc) x\) je definirana na \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), raspon njegovih vrijednosti pripada skupu \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).
Glavne vrijednosti arksinusnih i arkosinusnih funkcija (u stupnjevima)
| \(x\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/2\) | \(-\sqrt 2/2\) | \(-1/2\) | \(0\) | \(1/2\) | \(\sqrt 2/2\) | \(\sqrt 3/2\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\arcsin x\) | \(-90^\circ\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
| \(\arccos x\) | \(180^\krug\) | \(150^\krug\) | \(135^\circ\) | \(120^\krug\) | \(90^\circ\) | \(60^\circ\) | \(45^\circ\) | \(30^\circ\) | \(0^\circ\) |
Glavne vrijednosti arktangensa i arkkotangensa (u stupnjevima)
| \(x\) | \(-\sqrt 3\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/3\) | \(0\) | \(\sqrt 3/3\) | \(1\) | \(\sqrt 3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\arktan x\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) |
| \(\text(arccot) x\) | \(150^\krug\) | \(135^\circ\) | \(120^\krug\) | \(90^\circ\) | \(60^\circ\) | \(45^\circ\) | \(30^\circ\) |
Lekcije 32-33. Inverzne trigonometrijske funkcije
09.07.2015 8495 0Cilj: razmotriti inverzne trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu za pisanje rješenja trigonometrijskih jednačina.
I. Prenošenje teme i svrhe lekcija
II. Učenje novog gradiva
1. Inverzne trigonometrijske funkcije
Započnimo našu raspravu o ovoj temi sljedećim primjerom.
Primjer 1
Rešimo jednačinu: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.
a) Na osi ordinata crtamo vrijednost 1/2 i konstruiramo uglove x 1 i x2, za koje sin x = 1/2. U ovom slučaju x1 + x2 = π, odakle je x2 = π – x 1 . Koristeći tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija, tada nalazimo vrijednost x1 = π/6
Uzmimo u obzir periodičnost sinusne funkcije i zapišimo rješenja ove jednadžbe:
gdje je k ∈ Z.
b) Očigledno, algoritam za rješavanje jednačine grijeh x = a je isto kao u prethodnom paragrafu. Naravno, sada je vrijednost a iscrtana duž ordinatne ose. Postoji potreba da se nekako odredi ugao x1. Dogovorili smo se da ovaj ugao označimo simbolom arcsin A. Tada se rješenja ove jednačine mogu zapisati u oblikuOve dvije formule mogu se kombinirati u jednu: pri čemu 
Preostale inverzne trigonometrijske funkcije uvode se na sličan način.
Vrlo često je potrebno odrediti veličinu ugla iz poznate vrijednosti njegove trigonometrijske funkcije. Takav problem je višeznačan - postoji bezbroj uglova čije su trigonometrijske funkcije jednake istoj vrijednosti. Stoga, na osnovu monotonosti trigonometrijskih funkcija, uvode se sljedeće inverzne trigonometrijske funkcije za jednoznačno određivanje uglova.
Arksinus broja a (arcsin , čiji je sinus jednak a, tj.
Arc kosinus broja a(arccos a) je ugao a iz intervala čiji je kosinus jednak a, tj.
Arktangens broja a(arctg a) - takav ugao a iz intervalačija je tangenta jednaka a, tj.
tg a = a.
Arkotangens broja a(arcctg a) je ugao a iz intervala (0; π), čiji je kotangens jednak a, tj. ctg a = a.
Primjer 2
Hajde da pronađemo:
Uzimajući u obzir definicije inverznih trigonometrijskih funkcija, dobijamo:
Primjer 3
Hajde da izračunamo 
Neka je ugao a = arcsin 3/5, onda po definiciji sin a = 3/5 i . Stoga, moramo pronaći cos A. Koristeći osnovni trigonometrijski identitet, dobijamo:
Uzima se u obzir da je cos a ≥ 0. Dakle, 
Svojstva funkcije | Funkcija |
|||
y = arcsin x | y = arccos x | y = arktan x | y = arcctg x |
|
Domain | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Raspon vrijednosti | y ∈ [ -π/2 ; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0;π) |
Paritet | Odd | Ni par ni neparan | Odd | Ni par ni neparan |
Nule funkcije (y = 0) | Kod x = 0 | Kod x = 1 | Kod x = 0 | y ≠ 0 |
Intervali konstantnosti znaka | y > 0 za x ∈ (0; 1], at< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 za x ∈ [-1; 1) | y > 0 za x ∈ (0; +∞), at< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 za x ∈ (-∞; +∞) |
Monotona | Povećanje | Silazno | Povećanje | Silazno |
Odnos prema trigonometrijskoj funkciji | sin y = x | cos y = x | tg y = x | ctg y = x |
Raspored | ||||
Navedimo nekoliko tipičnijih primjera vezanih za definicije i osnovna svojstva inverznih trigonometrijskih funkcija.
Primjer 4
Nađimo domenu definicije funkcije
Da bi funkcija y bila definirana, potrebno je zadovoljiti nejednakost
što je ekvivalentno sistemu nejednakosti
Rješenje prve nejednakosti je interval x∈
(-∞; +∞), drugi - Ovaj interval i rješenje je sistema nejednačina, a samim tim i domen definicije funkcije
Primjer 5
Nađimo područje promjene funkcije
Razmotrimo ponašanje funkcije z = 2x - x2 (vidi sliku).
Jasno je da je z ∈ (-∞; 1]. S obzirom da je argument z funkcija kotangensa luka varira unutar specificiranih granica, iz podataka tablice to dobijamo
Dakle, područje promjena
Primjer 6
Dokažimo da je funkcija y = arctg x odd. Neka
Tada je tg a = -x ili x = - tg a = tg (- a), i 
Dakle, - a = arctg x ili a = - arctg X. Dakle, vidimo totj. y(x) je neparna funkcija.
Primjer 7
Izrazimo kroz sve inverzne trigonometrijske funkcije
Neka 
Očigledno je da 
Od tada
Hajde da predstavimo ugao 
Jer 
To 
Isto tako 
I 
dakle,
Primjer 8
Napravimo graf funkcije y = cos(arcsin x).
Označimo onda a = arcsin x 
Uzmimo u obzir da je x = sin a i y = cos a, tj. x 2 + y2 = 1, i ograničenja na x (x∈
[-1; 1]) i y (y ≥ 0). Tada je graf funkcije y = cos(arcsin x) je polukrug.
Primjer 9
Napravimo graf funkcije y = arccos (cos x ).
Pošto je funkcija cos x promjene na intervalu [-1; 1], tada je funkcija y definirana na cijeloj numeričkoj osi i varira na segmentu . Imajmo na umu da je y = arccos (cosx) = x na segmentu; funkcija y je parna i periodična sa periodom 2π. S obzirom da funkcija ima ova svojstva cos x Sada je lako napraviti graf.
Napomenimo neke korisne jednakosti:
Primjer 10
Nađimo najmanju i najveću vrijednost funkcije Označimo 
Onda 
Uzmimo funkciju 
Ova funkcija ima minimum u tački z = π/4, a jednako je 
Najveća vrijednost funkcije se postiže u tački z = -π/2, i jednako je 
Dakle, i
Primjer 11
Hajde da riješimo jednačinu
Uzmimo to u obzir 
Tada jednačina izgleda ovako:
ili 
gdje Po definiciji arktangensa dobijamo:
2. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednačina
Slično primjeru 1, možete dobiti rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.
Jednačina | Rješenje |
tgx = a | |
ctg x = a |
Primjer 12
Hajde da riješimo jednačinu 
Kako je sinusna funkcija neparna, zapisujemo jednačinu u obliku
Rješenja ove jednačine:
odakle ga nalazimo? 
Primjer 13
Hajde da riješimo jednačinu 
Koristeći datu formulu, zapisujemo rješenja jednadžbe:
i naći ćemo 
Imajte na umu da u posebnim slučajevima (a = 0; ±1) prilikom rješavanja jednačina sin x = a i cos x = ali je lakše i praktičnije koristiti ne opšte formule, i zapiši rješenja na osnovu jediničnog kruga:
za rješenje jednačine sin x = 1
za jednačinu sin x = 0 rješenja x = π k;
za rješenje jednačine sin x = -1 
za cos jednačinu x = 1 rješenje x = 2π k ;
za jednadžbu cos x = 0 rješenja
za rješenje jednačine cos x = -1 
Primjer 14
Hajde da riješimo jednačinu 
Budući da u ovom primjeru postoji poseban slučaj jednadžbe, rješenje ćemo napisati koristeći odgovarajuću formulu:
odakle ga možemo naći? 
III. Kontrolna pitanja (frontalna anketa)
1. Definirajte i navedite glavna svojstva inverznih trigonometrijskih funkcija.
2. Dajte grafove inverznih trigonometrijskih funkcija.
3. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.
IV. Zadatak lekcije
§ 15, br. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;
§ 16, br. 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);
§ 17, br. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).
V. Domaća zadaća
§ 15, br. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;
§ 16, br. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);
§ 17, br. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (g); 10 (b, d).
VI. Kreativni zadaci
1. Pronađite domenu funkcije:
odgovori:
2. Pronađite opseg funkcije:
odgovori:
3. Nacrtajte graf funkcije:
VII. Sumiranje lekcija
Inverzne trigonometrijske funkcije- to su arksinus, arkosinus, arktangens i arkkotangens.
Prvo dajmo neke definicije.
Arcsine Ili, možemo reći da je ovo ugao koji pripada segmentu čiji je sinus jednak broju a.
arc kosinus broj a naziva se broj takav da
Arktangent broj a naziva se broj takav da
Arkotangenta broj a naziva se broj takav da
Razgovarajmo detaljno o ove četiri nove funkcije za nas - inverzne trigonometrijske.
Zapamtite, već smo se upoznali.
Na primjer, aritmetika Kvadratni korijen iz broja a je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak a.
Logaritam broja b prema bazi a je broj c takav da
Gde
Razumijemo zašto su matematičari morali da "izmišljaju" nove funkcije. Na primjer, rješenja jednadžbe su i ne bismo ih mogli zapisati bez posebnog aritmetičkog simbola kvadratnog korijena.
Pokazalo se da je koncept logaritma neophodan za zapisivanje rješenja, na primjer, ove jednačine: Rješenje ove jednačine je iracionalan broj. Ovo je eksponent stepena na koji se 2 mora podići da bi se dobilo 7.
Isto je i sa trigonometrijskim jednadžbama. Na primjer, želimo riješiti jednačinu
Jasno je da njegova rješenja odgovaraju tačkama na trigonometrijskom krugu čija je ordinata jednaka I jasno je da to nije tabelarno značenje sinusa. Kako zapisati rješenja?
Ovdje ne možemo bez nove funkcije, koja označava ugao čiji je sinus jednak datom broju a. Da, svi su već pogodili. Ovo je arcsin.
Ugao koji pripada segmentu čiji je sinus jednak je arksinus jedne četvrtine. A to znači da je niz rješenja naše jednadžbe koji odgovara desnoj tački na trigonometrijskom krugu
A druga serija rješenja naše jednadžbe je
Saznajte više o rješavanju trigonometrijskih jednadžbi -.
Ostaje da se otkrije - zašto definicija arksinusa ukazuje da je to ugao koji pripada segmentu?
Činjenica je da postoji beskonačno mnogo uglova čiji je sinus jednak, na primjer, . Moramo izabrati jednu od njih. Biramo onaj koji leži na segmentu.
Pogledajte trigonometrijski krug. Vidjet ćete da na segmentu svaki ugao odgovara određenoj vrijednosti sinusa, i to samo jednom. I obrnuto, bilo koja vrijednost sinusa iz segmenta odgovara jednoj vrijednosti ugla na segmentu. To znači da na segmentu možete definirati funkciju koja uzima vrijednosti od do
Ponovimo definiciju ponovo:
Arksinus broja je broj , takav da
Oznaka: Područje definicije arcsinusa je segment. Opseg vrijednosti je segment.
Možete se sjetiti fraze „arcsines žive na desnoj strani“. Samo nemojte zaboraviti da nije samo na desnoj strani, već i na segmentu.
Spremni smo za grafički prikaz funkcije
Kao i obično, iscrtavamo vrijednosti x na horizontalnoj osi i vrijednosti y na vertikalnoj osi.
Zato što, dakle, x leži u rasponu od -1 do 1.
To znači da je domen definicije funkcije y = arcsin x segment
Rekli smo da y pripada segmentu . To znači da je raspon vrijednosti funkcije y = arcsin x segment.
Imajte na umu da se graf funkcije y=arcsinx u potpunosti uklapa u područje ograničeno linijama i
Kao i uvijek kada crtate graf nepoznate funkcije, počnimo s tablicom.
Po definiciji, arksinus nule je broj iz segmenta čiji je sinus jednak nuli. Koji je ovo broj? - Jasno je da je ovo nula.
Slično, arksinus od jedan je broj iz segmenta čiji je sinus jednak jedinici. Očigledno ovo
Nastavljamo: - ovo je broj iz segmenta čiji je sinus jednak . Da
| 0 | |||||
| 0 |
Izgradnja grafa funkcije
Svojstva funkcije
1. Obim definicije
2. Raspon vrijednosti
3., odnosno ova funkcija je neparna. Njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
4. Funkcija se monotono povećava. Njegova minimalna vrijednost, jednaka - , postiže se na , a njegova najveća vrijednost, jednaka , at
5. Što znače grafovi funkcija i ? Ne mislite li da su "napravljeni po istom obrascu" - baš kao desna grana funkcije i graf funkcije, ili kao grafovi eksponencijalnih i logaritamskih funkcija?
Zamislite da smo iz običnog sinusnog vala izrezali mali fragment od do do, a zatim ga okrenuli okomito - i dobit ćemo arcsinusni graf.
Ono što su za funkciju na ovom intervalu vrijednosti argumenta, onda će za arksinus postojati vrijednosti funkcije. Tako bi trebalo da bude! Na kraju krajeva, sinus i arcsin - recipročne funkcije. Drugi primjeri parova međusobno inverznih funkcija su at i , kao i eksponencijalne i logaritamske funkcije.
Podsjetimo da su grafovi međusobno inverznih funkcija simetrični u odnosu na pravu liniju
Slično, definišemo funkciju.Potreban nam je samo segment na kojem svaka vrijednost ugla odgovara vlastitoj vrijednosti kosinusa, a znajući kosinus, možemo jedinstveno pronaći ugao. Segment će nam odgovarati
Luk kosinus broja je broj , takav da
Lako je zapamtiti: "lučni kosinusi žive odozgo", i to ne samo odozgo, već na segmentu
Oznaka: Područje definicije arc kosinusa je segment. Opseg vrijednosti je segment.
Očigledno, segment je izabran jer se na njemu svaka vrijednost kosinusa uzima samo jednom. Drugim riječima, svaka vrijednost kosinusa, od -1 do 1, odgovara jednoj vrijednosti ugla iz intervala
Ark kosinus nije ni paran ni neparna funkcija. Ali možemo koristiti sljedeći očigledan odnos:
Nacrtajmo funkciju
Potreban nam je dio funkcije u kojem je monotona, to jest, uzima svaku vrijednost tačno jednom.
Odaberimo segment. Na ovom segmentu funkcija opada monotono, odnosno korespondencija između skupova je jedan prema jedan. Svaka x vrijednost ima odgovarajuću y vrijednost. Na ovom segmentu postoji funkcija inverzna kosinusu, odnosno funkcija y = arccosx.
Popunimo tabelu koristeći definiciju arc kosinusa.
Lučni kosinus broja x koji pripada intervalu bit će broj y koji pripada intervalu tako da
To znači, budući da ;
Jer ;
jer ,
jer ,
| 0 | |||||
| 0 |
Evo grafa ark kosinusa:
Svojstva funkcije
1. Obim definicije
2. Raspon vrijednosti
Ova funkcija je opšteg oblika - nije ni parna ni neparna.
4. Funkcija je striktno opadajuća. Funkcija y = arccosx uzima svoju najveću vrijednost, jednaku , na , a njena najmanja vrijednost, jednaka nuli, uzima pri
5. Funkcije i su međusobno inverzne.
Sljedeći su arktangens i arkkotangens.
Arktangens broja je broj , takav da
Oznaka: . Područje definicije arktangenta je interval, a područje vrijednosti je interval.
Zašto su krajevi intervala - tačke - isključeni u definiciji arktangensa? Naravno, jer tangenta u ovim tačkama nije definisana. Ne postoji broj a jednak tangentu bilo kojeg od ovih uglova.
Napravimo graf arktangensa. Prema definiciji, arktangens broja x je broj y koji pripada intervalu tako da
Kako napraviti graf je već jasno. Pošto je arktangens funkcija recipročna tangenta, postupimo na sljedeći način:
Odabiremo dio grafa funkcije gdje je korespondencija između x i y jedan prema jedan. Ovo je interval C. U ovom dijelu funkcija uzima vrijednosti od do
Onda imaj inverzna funkcija, odnosno funkcija, domena, definicija će biti cijela brojevna prava, od do, a raspon vrijednosti će biti interval
znači,
znači,
znači,
Ali šta se događa za beskonačno velike vrijednosti x? Drugim riječima, kako se ova funkcija ponaša kada x teži plus beskonačnosti?
Možemo se postaviti pitanje: za koji broj u intervalu vrijednost tangente teži beskonačnosti? - Očigledno ovo
To znači da se za beskonačno velike vrijednosti x arktangentni graf približava horizontalnoj asimptoti
Slično, ako se x približi minus beskonačnosti, graf arktangenta se približava horizontalnoj asimptoti
Na slici je prikazan graf funkcije
Svojstva funkcije
1. Obim definicije
2. Raspon vrijednosti
3. Funkcija je neparna.
4. Funkcija se striktno povećava.
6. Funkcije i su međusobno inverzne - naravno, kada se funkcija razmatra na intervalu
Slično, definiramo inverznu tangentnu funkciju i crtamo njen graf.
Arkotangens broja je broj , takav da
Grafikon funkcije:
Svojstva funkcije
1. Obim definicije
2. Raspon vrijednosti
3. Funkcija je opšteg oblika, odnosno nije ni parna ni neparna.
4. Funkcija je striktno opadajuća.
5. Direktne i - horizontalne asimptote ove funkcije.
6. Funkcije i su međusobno inverzne ako se razmatraju na intervalu
Definicija i notacija
Arksinus (y = arcsin x) je inverzna funkcija sinusa (x = siny -1 ≤ x ≤ 1 i skup vrijednosti -π /2 ≤ y ≤ π/2.sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Arksinus se ponekad označava na sljedeći način:
.
Grafikon funkcije arcsinusa
Grafikon funkcije y = arcsin x
Arksusni graf se dobija iz sinusnog grafa ako se apscisa i ordinatna osa zamijene. Da bi se uklonila dvosmislenost, raspon vrijednosti je ograničen na interval u kojem je funkcija monotona. Ova definicija se zove glavna vrijednost arcsinusa.
Arccosine, arccos
Definicija i notacija
Ark kosinus (y = arccos x) je inverzna funkcija kosinusa (x = cos y). Ima opseg -1 ≤ x ≤ 1 i mnoga značenja 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Arkozin se ponekad označava na sljedeći način:
.
Grafikon funkcije arc kosinusa
Grafikon funkcije y = arccos x
Lučni kosinusni graf se dobija iz kosinusnog grafa ako se apscisa i ordinatna osa zamijene. Da bi se uklonila dvosmislenost, raspon vrijednosti je ograničen na interval u kojem je funkcija monotona. Ova definicija se zove glavna vrijednost arc kosinusa.
Paritet
Arcsinusna funkcija je neparna:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Funkcija arc kosinusa nije parna ili neparna:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Svojstva - ekstremi, povećanje, smanjenje
Funkcije arksinus i arkosinus su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva arksinusa i arkosinusa prikazana su u tabeli.
| y = arcsin x | y = arccos x | |
| Obim i kontinuitet | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Raspon vrijednosti | ||
| Uzlazno, silazno | monotono raste | monotono opada |
| Highs | ||
| Minimum | ||
| Nule, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Točke preseka sa ordinatnom osom, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
Tablica arksinusa i arkkosinusa
Ova tabela prikazuje vrijednosti arksinusa i arkkosinusa, u stupnjevima i radijanima, za određene vrijednosti argumenta.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| hail | drago. | hail | drago. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Formule
Vidi također: Izvođenje formula za inverzne trigonometrijske funkcijeFormule zbira i razlike
na ili
at and
at and
na ili
at and
at and
at
at
at
at
Izrazi kroz logaritme, kompleksni brojevi
Vidi također: Izvođenje formulaIzrazi kroz hiperboličke funkcije
Derivati
;
.
Vidi Derivacija arksinusa i arkkosinusnih derivata > > >
Derivati višeg reda:
,
gdje je polinom stepena . Određuje se formulama:
;
;
.
Vidi Derivacija derivacija višeg reda od arksinusa i arkosinusa > > >
Integrali
Napravimo zamjenu x = sint. Integriramo po dijelovima, uzimajući u obzir da je -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
cos t ≥ 0:
.
Izrazimo arc kosinus kroz arc sinus:
.
Proširenje serije
Kada |x|< 1
odvija se sljedeća dekompozicija:
;
.
Inverzne funkcije
Inverzi arksinusa i arkosinusa su sinus, odnosno kosinus.
Sljedeće formule vrijedi u cijelom domenu definicije:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Sljedeće formule vrijede samo na skupu vrijednosti arksinusa i arkkosinusa:
arcsin(sin x) = x at
arccos(cos x) = x u .
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.
Inverzna kosinusna funkcija
Opseg vrijednosti funkcije y=cos x (vidi sliku 2) je segment. Na segmentu je funkcija kontinuirana i monotono opadajuća.
Rice. 2
To znači da je funkcija inverzna funkciji y=cos x definirana na segmentu. Ova inverzna funkcija naziva se arc kosinus i označava se y=arccos x.
Definicija
Arkosinus broja a, ako je |a|1, je ugao čiji kosinus pripada segmentu; označava se sa arccos a.
Dakle, arccos a je ugao koji zadovoljava sljedeća dva uslova: sos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?r.
Na primjer, arccos, budući da cos i; arccos, pošto cos i.
Funkcija y = arccos x (slika 3) je definirana na segmentu, njen raspon vrijednosti je segment. Na segmentu, funkcija y=arccos x je kontinuirana i monotono opada od p do 0 (pošto je y=cos x kontinuirana i monotono opadajuća funkcija na segmentu); na krajevima segmenta dostiže svoje ekstremne vrijednosti: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Imajte na umu da je arccos 0 = . Grafikon funkcije y = arccos x (vidi sliku 3) je simetričan u odnosu na grafik funkcije y = cos x u odnosu na pravu liniju y=x.
Rice. 3
Pokažimo da vrijedi jednakost arccos(-x) = p-arccos x.
U stvari, po definiciji 0? arccos x? R. Množenje sa (-1) svih dijelova potonjeg dvostruka nejednakost, dobijamo - p? arccos x? 0. Dodajući p svim dijelovima posljednje nejednakosti, nalazimo da je 0? p-arccos x? R.
Dakle, vrijednosti uglova arccos(-x) i p - arccos x pripadaju istom segmentu. Pošto kosinus monotono opada na segmentu, na njemu ne mogu postojati dva različita ugla koji imaju jednake kosinuse. Nađimo kosinuse uglova arccos(-x) i p-arccos x. Po definiciji, cos (arccos x) = - x, prema redukcijskim formulama i po definiciji imamo: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Dakle, kosinusi uglova su jednaki, što znači da su i sami uglovi jednaki.
Inverzna sinusna funkcija
Razmotrimo funkciju y=sin x (slika 6), koja je na segmentu [-r/2;r/2] rastuća, kontinuirana i uzima vrijednosti iz segmenta [-1; 1]. To znači da na segmentu [- p/2; p/2] definirana je inverzna funkcija funkcije y=sin x.
Rice. 6
Ova inverzna funkcija naziva se arksinus i označava se y=arcsin x. Hajde da uvedemo definiciju arcsinusa broja.
Arksinus broja je ugao (ili luk) čiji je sinus jednak broju a i koji pripada segmentu [-r/2; p/2]; označava se arcsin a.
Dakle, arcsin a je ugao koji zadovoljava sljedeće uslove: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin huh? r/2. Na primjer, pošto sin i [- p/2; p/2]; arcsin, budući da je sin = u [- p/2; p/2].
Funkcija y=arcsin x (slika 7) definirana je na segmentu [- 1; 1], raspon njegovih vrijednosti je segment [-r/2;r/2]. Na segmentu [- 1; 1] funkcija y=arcsin x je kontinuirana i monotono raste od -p/2 do p/2 (ovo proizilazi iz činjenice da je funkcija y=sin x na segmentu [-p/2; p/2] kontinuirana i monotono raste). Najveću vrijednost uzima pri x = 1: arcsin 1 = p/2, a najmanju pri x = -1: arcsin (-1) = -p/2. Kod x = 0 funkcija je nula: arcsin 0 = 0.
Pokažimo da je funkcija y = arcsin x neparna, tj. arcsin(-x) = - arcsin x za bilo koji x [ - 1; 1].
Zaista, po definiciji, ako |x| ?1, imamo: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Dakle, uglovi arcsin(-x) i - arcsin x pripada istom segmentu [ - p/2; p/2].
Nađimo sinuse ovih uglovi: sin (arcsin(-x)) = - x (po definiciji); pošto je funkcija y=sin x neparna, onda je sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Dakle, sinusi uglova koji pripadaju istom intervalu [-r/2; p/2], jednaki su, što znači da su i sami uglovi jednaki, tj. arcsin (-x)= - arcsin x. To znači da je funkcija y=arcsin x neparna. Grafikon funkcije y=arcsin x je simetričan u odnosu na ishodište.
Pokažimo da je arcsin (sin x) = x za bilo koje x [-r/2; p/2].
Zaista, po definiciji -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, a po uslovu -p/2? x? r/2. To znači da uglovi x i arcsin (sin x) pripadaju istom intervalu monotonosti funkcije y=sin x. Ako su sinusi takvih uglova jednaki, onda su i sami uglovi jednaki. Nađimo sinuse ovih uglova: za ugao x imamo sin x, za ugao arcsin (sin x) imamo sin (arcsin(sin x)) = sin x. Utvrdili smo da su sinusi uglova jednaki, dakle, uglovi su jednaki, tj. arcsin(sin x) = x. .
Rice. 7
Rice. 8
Grafikon funkcije arcsin (sin|x|) dobija se uobičajenim transformacijama pridruženim modulu iz grafika y=arcsin (sin x) (prikazano isprekidanom linijom na slici 8). Iz njega se dobija željeni graf y=arcsin (sin |x-/4|) pomeranjem za /4 udesno duž x-ose (prikazano kao puna linija na slici 8)
Inverzna funkcija tangente
Funkcija y=tg x na intervalu prihvata sve numeričke vrijednosti: E (tg x)=. U ovom intervalu je kontinuiran i monotono raste. To znači da je funkcija inverzna funkciji y = tan x definirana na intervalu. Ova inverzna funkcija naziva se arktangens i označava se y = arktan x.
Arktangens a je ugao iz intervala čija je tangenta jednaka a. Dakle, arctg a je ugao koji zadovoljava sljedeće uslove: tg (arctg a) = a i 0? arctg a ? R.
Dakle, bilo koji broj x uvijek odgovara jednoj vrijednosti funkcije y = arctan x (slika 9).
Očigledno je da je D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Funkcija y = arctan x raste jer se funkcija y = tan x povećava na intervalu. Nije teško dokazati da je arctg(-x) = - arctgx, tj. da je arktangens neparna funkcija.
Rice. 9
Grafikon funkcije y = arktan x je simetričan grafu funkcije y = tan x u odnosu na pravu liniju y = x, grafik y = arktan x prolazi kroz ishodište koordinata (pošto je arktan 0 = 0) i je simetričan u odnosu na ishodište (kao graf neparne funkcije).
Može se dokazati da je arktan (tan x) = x ako je x.
Kotangens inverzna funkcija
Funkcija y = ctg x na intervalu preuzima sve numeričke vrijednosti iz intervala. Raspon njegovih vrijednosti poklapa se sa skupom svih realnih brojeva. U intervalu je funkcija y = cot x kontinuirana i monotono raste. To znači da je na ovom intervalu definirana funkcija koja je inverzna funkciji y = cot x. Inverzna funkcija kotangensa naziva se arkkotangens i označava se y = arcctg x.
Kotangens luka a je ugao koji pripada intervalu čiji je kotangens jednak a.
Dakle, arcctg a je ugao koji zadovoljava sljedeće uslove: ctg (arcctg a)=a i 0? arcctg a ? R.
Iz definicije inverzne funkcije i definicije arktangenta slijedi da je D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Kotangens luka je opadajuća funkcija jer se funkcija y = ctg x smanjuje u intervalu.
Grafikon funkcije y = arcctg x ne siječe os Ox, jer je y > 0 R. Za x = 0 y = arcctg 0 =.
Grafikon funkcije y = arcctg x prikazan je na slici 11.
Rice. 11
Imajte na umu da je za sve realne vrijednosti x identitet istinit: arcctg(-x) = p-arcctg x.
Učitavanje...