Reverzna tangenta. Inverzne trigonometrijske funkcije. Osnovne relacije inverznih trigonometrijskih funkcija

Definicija i notacija

Arksinus (y = arcsin x) je inverzna funkcija sinusa (x = siny -1 ≤ x ≤ 1 i skup vrijednosti -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Arksinus se ponekad označava na sljedeći način:
.

Grafikon funkcije arcsinusa

Grafikon funkcije y = arcsin x

Arksusni graf se dobija iz sinusnog grafa ako se apscisa i ordinatna osa zamijene. Da bi se uklonila dvosmislenost, raspon vrijednosti je ograničen na interval u kojem je funkcija monotona. Ova definicija se zove glavna vrijednost arcsinusa.

Arccosine, arccos

Definicija i notacija

Ark kosinus (y = arccos x) je inverzna funkcija kosinusa (x = cos y). Ima opseg -1 ≤ x ≤ 1 i mnoga značenja 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Arkozin se ponekad označava na sljedeći način:
.

Grafikon funkcije arc kosinusa

Grafikon funkcije y = arccos x

Lučni kosinusni graf se dobija iz kosinusnog grafa ako se apscisa i ordinatna osa zamijene. Da bi se uklonila dvosmislenost, raspon vrijednosti je ograničen na interval u kojem je funkcija monotona. Ova definicija se zove glavna vrijednost arc kosinusa.

Paritet

Arcsinusna funkcija je neparna:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Funkcija arc kosinusa nije parna ili neparna:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Svojstva - ekstremi, povećanje, smanjenje

Funkcije arksinus i arkosinus su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva arksinusa i arkosinusa prikazana su u tabeli.

	y = arcsin x	y = arccos x
Obim i kontinuitet	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Raspon vrijednosti
Uzlazno, silazno	monotono raste	monotono opada
Highs
Minimum
Nule, y = 0	x = 0	x = 1
Točke preseka sa ordinatnom osom, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Tablica arksinusa i arkkosinusa

Ova tabela prikazuje vrijednosti arksinusa i arkkosinusa, u stupnjevima i radijanima, za određene vrijednosti argumenta.

x	arcsin x		arccos x
	hail	drago.	hail	drago.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formule

Vidi također: Izvođenje formula za inverzne trigonometrijske funkcije

Formule zbira i razlike

na ili

at and

at and

at

at

Izrazi kroz logaritme, kompleksni brojevi

Vidi također: Izvođenje formula

Izrazi kroz hiperboličke funkcije

Derivati

;
.
Vidi Derivacija arksinusa i arkkosinusnih derivata > > >

Derivati višeg reda:
,
gdje je polinom stepena . Određuje se formulama:
;
;
.

Vidi Derivacija derivacija višeg reda od arksinusa i arkosinusa > > >

Integrali

Napravimo zamjenu x = sint. Integriramo po dijelovima, uzimajući u obzir da je -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Izrazimo arc kosinus kroz arc sinus:
.

Proširenje serije

Kada |x|< 1 odvija se sljedeća dekompozicija:
;
.

Inverzne funkcije

Inverzi arksinusa i arkosinusa su sinus, odnosno kosinus.

Sljedeće formule vrijedi u cijelom domenu definicije:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Sljedeće formule vrijede samo na skupu vrijednosti arksinusa i arkkosinusa:
arcsin(sin x) = x at
arccos(cos x) = x u .

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.

Vidi također:

Inverzna kosinusna funkcija

Opseg vrijednosti funkcije y=cos x (vidi sliku 2) je segment. Na segmentu je funkcija kontinuirana i monotono opadajuća.

Rice. 2

To znači da je funkcija inverzna funkciji y=cos x definirana na segmentu. Ova inverzna funkcija naziva se arc kosinus i označava se y=arccos x.

Definicija

Arkosinus broja a, ako je |a|1, je ugao čiji kosinus pripada segmentu; označava se sa arccos a.

Dakle, arccos a je ugao koji zadovoljava sljedeća dva uslova: sos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?r.

Na primjer, arccos, budući da cos i; arccos, pošto cos i.

Funkcija y = arccos x (slika 3) je definirana na segmentu, njen raspon vrijednosti je segment. Na segmentu, funkcija y=arccos x je kontinuirana i monotono opada od p do 0 (pošto je y=cos x kontinuirana i monotono opadajuća funkcija na segmentu); na krajevima segmenta dostiže svoje ekstremne vrijednosti: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Imajte na umu da je arccos 0 = . Grafikon funkcije y = arccos x (vidi sliku 3) je simetričan u odnosu na grafik funkcije y = cos x u odnosu na pravu liniju y=x.

Rice. 3

Pokažimo da vrijedi jednakost arccos(-x) = p-arccos x.

U stvari, po definiciji 0? arccos x? R. Množenje sa (-1) svih dijelova potonjeg dvostruka nejednakost, dobijamo - p? arccos x? 0. Dodajući p svim dijelovima posljednje nejednakosti, nalazimo da je 0? p-arccos x? R.

Dakle, vrijednosti uglova arccos(-x) i p - arccos x pripadaju istom segmentu. Pošto kosinus monotono opada na segmentu, na njemu ne mogu postojati dva različita ugla koji imaju jednake kosinuse. Nađimo kosinuse uglova arccos(-x) i p-arccos x. Po definiciji, cos (arccos x) = - x, prema redukcijskim formulama i po definiciji imamo: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Dakle, kosinusi uglova su jednaki, što znači da su i sami uglovi jednaki.

Inverzna sinusna funkcija

Razmotrimo funkciju y=sin x (slika 6), koja je na segmentu [-r/2;r/2] rastuća, kontinuirana i uzima vrijednosti iz segmenta [-1; 1]. To znači da na segmentu [- p/2; p/2] definirana je inverzna funkcija funkcije y=sin x.

Rice. 6

Ova inverzna funkcija naziva se arksinus i označava se y=arcsin x. Hajde da uvedemo definiciju arcsinusa broja.

Arksinus broja je ugao (ili luk) čiji je sinus jednak broju a i koji pripada segmentu [-r/2; p/2]; označava se arcsin a.

Dakle, arcsin a je ugao koji zadovoljava sljedeće uslove: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin huh? r/2. Na primjer, pošto sin i [- p/2; p/2]; arcsin, budući da je sin = u [- p/2; p/2].

Funkcija y=arcsin x (slika 7) definirana je na segmentu [- 1; 1], raspon njegovih vrijednosti je segment [-r/2;r/2]. Na segmentu [- 1; 1] funkcija y=arcsin x je kontinuirana i monotono raste od -p/2 do p/2 (ovo proizilazi iz činjenice da je funkcija y=sin x na segmentu [-p/2; p/2] kontinuirana i monotono raste). Najveću vrijednost uzima pri x = 1: arcsin 1 = p/2, a najmanju pri x = -1: arcsin (-1) = -p/2. Kod x = 0 funkcija je nula: arcsin 0 = 0.

Pokažimo da je funkcija y = arcsin x neparna, tj. arcsin(-x) = - arcsin x za bilo koji x [ - 1; 1].

Zaista, po definiciji, ako |x| ?1, imamo: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Dakle, uglovi arcsin(-x) i - arcsin x pripada istom segmentu [ - p/2; p/2].

Nađimo sinuse ovih uglovi: sin (arcsin(-x)) = - x (po definiciji); pošto je funkcija y=sin x neparna, onda je sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Dakle, sinusi uglova koji pripadaju istom intervalu [-r/2; p/2], jednaki su, što znači da su i sami uglovi jednaki, tj. arcsin (-x)= - arcsin x. To znači da je funkcija y=arcsin x neparna. Grafikon funkcije y=arcsin x je simetričan u odnosu na ishodište.

Pokažimo da je arcsin (sin x) = x za bilo koje x [-r/2; p/2].

Zaista, po definiciji -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, a po uslovu -p/2? x? r/2. To znači da uglovi x i arcsin (sin x) pripadaju istom intervalu monotonosti funkcije y=sin x. Ako su sinusi takvih uglova jednaki, onda su i sami uglovi jednaki. Nađimo sinuse ovih uglova: za ugao x imamo sin x, za ugao arcsin (sin x) imamo sin (arcsin(sin x)) = sin x. Utvrdili smo da su sinusi uglova jednaki, dakle, uglovi su jednaki, tj. arcsin(sin x) = x. .

Rice. 7

Rice. 8

Grafikon funkcije arcsin (sin|x|) dobija se uobičajenim transformacijama pridruženim modulu iz grafika y=arcsin (sin x) (prikazano isprekidanom linijom na slici 8). Iz njega se dobija željeni graf y=arcsin (sin |x-/4|) pomeranjem za /4 udesno duž x-ose (prikazano kao puna linija na slici 8)

Inverzna funkcija tangente

Funkcija y=tg x na intervalu prihvata sve numeričke vrijednosti: E (tg x)=. U ovom intervalu je kontinuiran i monotono raste. To znači da je funkcija inverzna funkciji y = tan x definirana na intervalu. Ova inverzna funkcija naziva se arktangens i označava se y = arktan x.

Arktangens a je ugao iz intervala čija je tangenta jednaka a. Dakle, arctg a je ugao koji zadovoljava sljedeće uslove: tg (arctg a) = a i 0? arctg a ? R.

Dakle, bilo koji broj x uvijek odgovara jednoj vrijednosti funkcije y = arctan x (slika 9).

Očigledno je da je D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Funkcija y = arctan x raste jer se funkcija y = tan x povećava na intervalu. Nije teško dokazati da je arctg(-x) = - arctgx, tj. da je arktangens neparna funkcija.

Rice. 9

Grafikon funkcije y = arktan x je simetričan grafu funkcije y = tan x u odnosu na pravu liniju y = x, grafik y = arktan x prolazi kroz ishodište koordinata (pošto je arktan 0 = 0) i je simetričan u odnosu na ishodište (kao graf neparne funkcije).

Može se dokazati da je arktan (tan x) = x ako je x.

Kotangens inverzna funkcija

Funkcija y = ctg x na intervalu preuzima sve numeričke vrijednosti iz intervala. Raspon njegovih vrijednosti poklapa se sa skupom svih realnih brojeva. U intervalu je funkcija y = cot x kontinuirana i monotono raste. To znači da je na ovom intervalu definirana funkcija koja je inverzna funkciji y = cot x. Inverzna funkcija kotangensa naziva se arkkotangens i označava se y = arcctg x.

Kotangens luka a je ugao koji pripada intervalu čiji je kotangens jednak a.

Dakle, arcctg a je ugao koji zadovoljava sljedeće uslove: ctg (arcctg a)=a i 0? arcctg a ? R.

Iz definicije inverzne funkcije i definicije arktangenta slijedi da je D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Kotangens luka je opadajuća funkcija jer se funkcija y = ctg x smanjuje u intervalu.

Grafikon funkcije y = arcctg x ne siječe os Ox, jer je y > 0 R. Za x = 0 y = arcctg 0 =.

Grafikon funkcije y = arcctg x prikazan je na slici 11.

Rice. 11

Imajte na umu da je za sve realne vrijednosti x identitet istinit: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Inverzne trigonometrijske funkcije su matematičke funkcije, koji su inverzi trigonometrijskih funkcija.

Funkcija y=arcsin(x)

Arksinus broja α je broj α iz intervala [-π/2;π/2] čiji je sinus jednak α.
Grafikon funkcije
Funkcija u= sin⁡(x) na intervalu [-π/2;π/2], strogo je rastuća i kontinuirana; stoga ima inverznu funkciju, striktno rastuću i kontinuiranu.
Inverzna funkcija za funkciju y= sin⁡(x), gdje je x ∈[-π/2;π/2], naziva se arcsinus i označava se y=arcsin(x), gdje je x∈[-1;1 ].
Dakle, prema definiciji inverzne funkcije, domen definicije arksinusa je segment [-1;1], a skup vrijednosti je segment [-π/2;π/2].
Imajte na umu da je graf funkcije y=arcsin(x), gdje je x ∈[-1;1], simetričan grafu funkcije y= sin(⁡x), gdje je x∈[-π/2;π /2], u odnosu na simetralu koordinatnih uglova prve i treće četvrtine.

Raspon funkcije y=arcsin(x).

Primjer br. 1.

Naći arcsin(1/2)?

Pošto raspon vrijednosti funkcije arcsin(x) pripada intervalu [-π/2;π/2], onda je prikladna samo vrijednost π/6. Dakle, arcsin(1/2) =π/ 6.
Odgovor:π/6

Primjer br. 2.
Naći arcsin(-(√3)/2)?

Pošto je raspon vrijednosti arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], onda je prikladna samo vrijednost -π/3. Dakle, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

Funkcija y=arccos(x)

Lučni kosinus broja α je broj α iz intervala čiji je kosinus jednak α.

Grafikon funkcije

Funkcija y= cos(⁡x) na segmentu je striktno opadajuća i kontinuirana; stoga ima inverznu funkciju, striktno opadajuću i kontinuiranu.
Poziva se inverzna funkcija za funkciju y= cos⁡x, gdje je x ∈ arc kosinus i označava se sa y=arccos(x), gdje je x ∈[-1;1].
Dakle, prema definiciji inverzne funkcije, domen definicije arc kosinusa je segment [-1;1], a skup vrijednosti je segment.
Imajte na umu da je grafik funkcije y=arccos(x), gdje je x ∈[-1;1] simetričan grafu funkcije y= cos(⁡x), gdje je x ∈, u odnosu na simetralu koordinatni uglovi prve i treće četvrtine.

Raspon funkcije y=arccos(x).

Primjer br. 3.

Naći arccos(1/2)?

Pošto je raspon vrijednosti arccos(x) x∈, onda je prikladna samo vrijednost π/3. Dakle, arccos(1/2) =π/3.
Primjer br. 4.
Naći arccos(-(√2)/2)?

Pošto raspon vrijednosti funkcije arccos(x) pripada intervalu, onda je prikladna samo vrijednost 3π/4. Dakle, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Odgovor: 3π/4

Funkcija y=arctg(x)

Arktangens broja α je broj α iz intervala [-π/2;π/2] čiji je tangent jednak α.

Grafikon funkcije

Tangentna funkcija je kontinuirana i striktno rastuća na intervalu (-π/2;π/2); stoga ima inverznu funkciju koja je kontinuirana i striktno rastuća.
Inverzna funkcija za funkciju y= tan⁡(x), gdje je x∈(-π/2;π/2); naziva se arktangent i označava se sa y=arctg(x), gdje je x∈R.
Dakle, prema definiciji inverzne funkcije, domen definicije arktangensa je interval (-∞;+∞), a skup vrijednosti je interval
(-π/2;π/2).
Imajte na umu da je grafik funkcije y=arctg(x), gdje je x∈R, simetričan grafu funkcije y= tan⁡x, gdje je x ∈ (-π/2;π/2), u odnosu na simetrala koordinatnih uglova prve i treće četvrtine.

Opseg funkcije y=arctg(x).

Primjer br. 5?

Pronađite arktan((√3)/3).

Pošto je raspon vrijednosti arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), onda je prikladna samo vrijednost π/6. Dakle, arctg((√3)/3) =π/6.
Primjer br. 6.
Naći arctg(-1)?

Pošto je raspon vrijednosti arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), onda je prikladna samo vrijednost -π/4. Dakle, arctg(-1) = - π/4.

Funkcija y=arcctg(x)

Ark kotangens broja α je broj α iz intervala (0;π) čiji je kotangens jednak α.

Grafikon funkcije

Na intervalu (0;π) kotangens funkcija striktno opada; osim toga, kontinuirano je u svakoj tački ovog intervala; dakle, na intervalu (0;π) ova funkcija ima inverznu funkciju, koja je striktno opadajuća i kontinuirana.
Inverzna funkcija za funkciju y=ctg(x), gdje je x ∈(0;π), naziva se arkotangens i označava se y=arcctg(x), gdje je x∈R.
Dakle, prema definiciji inverzne funkcije, domen definicije kotangensa luka bit će R, i po skupu vrijednosti – interval (0;π). Grafikon funkcije y=arcctg(x), gdje je x∈R simetričan grafu funkcije y=ctg(x) x∈(0;π), relativan na simetralu koordinatnih uglova prve i treće četvrtine.

Raspon funkcije y=arcctg(x).

Primjer br. 7.
Naći arcctg((√3)/3)?

Pošto je raspon vrijednosti arcctg(x) x ∈(0;π), onda je prikladna samo vrijednost π/3. Stoga arccos((√3)/3) =π/3.

Primjer br. 8.
Naći arcctg(-(√3)/3)?

Pošto je raspon vrijednosti arcctg(x) x∈(0;π), onda je prikladna samo vrijednost 2π/3. Dakle, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Urednici: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Inverzne trigonometrijske funkcije(kružne funkcije, lučne funkcije) - matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama.

One obično uključuju 6 funkcija:

arcsinus(oznaka: arcsin x; arcsin x- ovo je ugao grijehšto je jednako x),
arccosine(oznaka: arccos x; arccos x je ugao kojem je kosinus jednak x i tako dalje),
arktangent(oznaka: arctan x ili arctan x),
arccotangent(oznaka: arcctg x ili arccot x ili arccotan x),
arcsecant(oznaka: arcsec x),
arccosecan(oznaka: arccosec x ili arccsc x).

arcsine (y = arcsin x) - inverzna funkcija prema grijeh (x = sin y . Drugim riječima, vraća ugao po njegovoj vrijednosti grijeh.

arc kosinus (y = arccos x) - inverzna funkcija prema cos (x = cos y cos.

Arktangent (y = arktan x) - inverzna funkcija prema tg (x = tan y), koji ima domenu i skup vrijednosti . Drugim riječima, vraća ugao po njegovoj vrijednosti tg.

Arkotangenta (y = arcctg x) - inverzna funkcija prema ctg (x = cotg y), koji ima domen definicije i skup vrijednosti. Drugim riječima, vraća ugao po njegovoj vrijednosti ctg.

arcsec- arcsecant, vraća ugao prema vrijednosti njegove sekante.

arccosec- arccosecan, vraća ugao na osnovu vrednosti njegovog kosekansa.

Kada inverzna trigonometrijska funkcija nije definirana u određenoj tački, tada se njena vrijednost neće pojaviti u konačnoj tablici. Funkcije arcsec I arccosec nisu određene na segmentu (-1,1), ali arcsin I arccos određuju se samo na intervalu [-1,1].

Naziv inverzne trigonometrijske funkcije formira se od naziva odgovarajuće trigonometrijske funkcije dodavanjem prefiksa "luk-" (iz lat. arc nas- luk). To je zbog činjenice da je geometrijski vrijednost inverzne trigonometrijske funkcije povezana s dužinom luka jediničnog kruga (ili kuta koji podvlači ovaj luk), koji odgovara jednom ili drugom segmentu.

Ponekad se u stranoj literaturi, kao iu naučnim/inženjerskim kalkulatorima, koriste oznake kao sin−1, cos−1 za arcsin, arkosinus i slično, ovo se smatra nepotpuno tačnim, jer vjerovatno će doći do zabune sa podizanjem funkcije na stepen −1 (« −1 » (minus prvi stepen) definira funkciju x = f -1 (y), inverzna funkcija y = f(x)).

Osnovne relacije inverznih trigonometrijskih funkcija.

Ovdje je važno obratiti pažnju na intervale za koje formule vrijede.

Formule koje se odnose na inverzne trigonometrijske funkcije.

Označimo bilo koju od inverznih vrijednosti trigonometrijske funkcije kroz Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x i zadrži notaciju: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x za njihove glavne vrijednosti, onda se veza između njih izražava takvim odnosima.

TO inverzne trigonometrijske funkcije Sljedećih 6 funkcija uključuje: arcsinus , arccosine , arktangent , arccotangent , arcsecant I arccosecan .

Budući da su originalne trigonometrijske funkcije periodične, onda su inverzne funkcije, općenito govoreći, jesu polisemantički . Da bi se osigurala jedna-na-jedan korespondencija između dvije varijable, domene definicije originalnih trigonometrijskih funkcija su ograničene razmatranjem samo njih glavne grane . Na primjer, funkcija \(y = \sin x\) se razmatra samo u intervalu \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\). Na ovom intervalu, inverzna arcsinusna funkcija je jedinstveno definirana.

Arksinus funkcija
Arksinus broja \(a\) (označen sa \(\arcsin a\)) je vrijednost ugla \(x\) u intervalu \(\left[ ( - \pi /2,\pi / 2) \desno]\), za koje je \(\sin x = a\). Inverzna funkcija\(y = \arcsin x\) je definisan na \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\), njegov raspon vrijednosti je jednak \(y \in \left[ ( - \pi /2, \pi /2) \desno]\).

Arc kosinus funkcija
Arkosinus broja \(a\) (označen sa \(\arccos a\)) je vrijednost ugla \(x\) u intervalu \(\left[ (0,\pi) \right]\ ), pri čemu je \(\cos x = a\). Inverzna funkcija \(y = \arccos x\) je definirana na \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\), njen raspon vrijednosti pripada segmentu \(y \in \levo[ (0,\ pi)\desno]\).

Arktangentna funkcija
Arktangent broja a(označeno sa \(\arctan a\)) je vrijednost ugla \(x\) u otvorenom intervalu \(\left((-\pi/2, \pi/2) \desno)\), na koji \(\tan x = a\). Inverzna funkcija \(y = \arctan x\) je definirana za sve \(x \in \mathbb(R)\), raspon arktangenta je jednak \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\desno)\).

Funkcija tangente luka
Arkotangens broja \(a\) (označen sa \(\text(arccot) a\)) je vrijednost ugla \(x\) u otvorenom intervalu \(\left[ (0,\) pi) \desno]\), pri čemu je \(\cot x = a\). Inverzna funkcija \(y = \text(arccot) x\) je definirana za sve \(x \in \mathbb(R)\), njen raspon vrijednosti je u intervalu \(y \in \ lijevo [ (0,\pi) \desno]\).

Arcsecant funkcija
Lukni sekant broja \(a\) (označen sa \(\text(arcsec) a\)) je vrijednost ugla \(x\) pod kojim je \(\sec x = a\). Inverzna funkcija \(y = \text(arcsec) x\) je definirana na \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right) \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), njegov raspon vrijednosti pripada skupu \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] \).

Arkosekantna funkcija
Arkosekans broja \(a\) (označen \(\text(arccsc) a\) ili \(\text(arccosec) a\)) je vrijednost ugla \(x\) pod kojim \(\ csc x = a\ ). Inverzna funkcija \(y = \text(arccsc) x\) je definirana na \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), raspon njegovih vrijednosti pripada skupu \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).

Glavne vrijednosti arksinusnih i arkosinusnih funkcija (u stupnjevima)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\krug\)	\(150^\krug\)	\(135^\circ\)	\(120^\krug\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

Glavne vrijednosti arktangensa i arkkotangensa (u stupnjevima)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arktan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\text(arccot) x\)	\(150^\krug\)	\(135^\circ\)	\(120^\krug\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)