Operacije sa derivatima. Šta je derivacija Definicija i značenje funkcije izvoda. Uobičajene oznake za derivaciju funkcije u tački

Koncept derivata

Neka funkcija f(x) je definiran na nekom intervalu X. Hajde da damo vrednost argumenta u tački x 0 X proizvoljno povećanje Δ x tako da je poenta x 0 + Δ x takođe pripadao X. Zatim odgovarajući prirast funkcije f(x)će biti Δ at = f(x 0 + Δ x) - f(x 0).

Definicija 1. Derivat funkcije f(x) u tački x 0 naziva se granica omjera prirasta funkcije u ovoj tački i prirasta argumenta na Δ x 0 (ako ovo ograničenje postoji).

Da bismo označili derivaciju funkcije, koristimo simbole y" (x 0) ili f"(x 0):

Ako u nekom trenutku x 0 granica (4.1) je beskonačna:

onda to kažu na mestu x 0 funkcija f(x) Ima beskonačni derivat.

Ako je funkcija f(x) ima derivaciju u svakoj tački skupa X, zatim derivat f"(x) je također funkcija argumenta X, definisano na X.

Geometrijsko značenje derivacije

Da bismo razjasnili geometrijsko značenje derivacije, moramo odrediti tangentu na graf funkcije u datoj tački.

Definicija 2. Tangenta na graf funkcije y = f(x) u tački M naziva se granična pozicija sekante MN, kada je poenta N teži nekoj tački M duž krivine f(x).

Pusti poentu M na krivini f(x) odgovara vrijednosti argumenta x 0, i tačka N- vrijednost argumenta x 0 + Δ x(Sl. 4.1). Iz definicije tangente slijedi da za njeno postojanje u tački x 0 potrebno je da postoji granica, koja je jednaka kutu nagiba tangente na osu Oh. Iz trougla M.N.A. sledi to

Ako je derivacija funkcije f(x) u tački x 0 postoji, onda prema (4.1), dobijamo

Iz ovoga slijedi jasan zaključak da derivat f"(x 0) jednak ugaonom koeficijentu (tangentu ugla nagiba na pozitivan smjer ose Ox) tangente na graf funkcije y = f(x) V tačka M(x 0, f(x 0)). U ovom slučaju, kut tangente se određuje iz formule (4.2):

Fizičko značenje izvedenice

Pretpostavimo da je funkcija l = f(t) opisuje zakon kretanja materijalne tačke u pravoj liniji kao zavisnost puta l od vremena t. Tada je razlika Δ l = f(t +Δ t) - f(t) - je put pređen tokom vremenskog intervala Δ t, i omjer Δ l/Δ t- prosječna brzina tokom vremena Δ t. Tada se određuje granica trenutna tačka brzina u određenom trenutku t kao derivacija putanje u odnosu na vrijeme.

U određenom smislu, derivacija funkcije at = f(x) može se tumačiti i kao stopa promjene funkcije: što je vrijednost veća f"(x), što je veći ugao nagiba tangente na krivu, to je grafik strmiji f(x) i funkcija raste brže.

Desni i lijevi derivati

Po analogiji sa konceptima jednostranih granica funkcije, uvode se pojmovi desnih i levih izvoda funkcije u tački.

Definicija 3. Desno lijevo) derivat funkcije at = f(x) u tački x 0 naziva se desna (lijeva) granica relacije (4.1) za Δ x 0 ako ovo ograničenje postoji.

Sljedeća simbolika koristi se za označavanje jednostranih izvedenica:

Ako je funkcija f(x) ima u točki x 0 derivacije, onda ima lijevu i desnu derivaciju u ovoj tački, koje se poklapaju.

Navedimo primjer funkcije koja ima jednostrane izvode u tački koje nisu jednake jedna drugoj. Ovo f(x) = |x|. Zaista, u točki x = 0 imamo f' +(0) = 1, f" -(0) = -1 (slika 4.2) i f' +(0) ≠ f’ -(0), tj. funkcija nema izvod at X = 0.

Operacija pronalaženja derivacije funkcije se zove diferencijacija; poziva se funkcija koja ima izvod u tački diferencibilan.

Veza između diferencijabilnosti i kontinuiteta funkcije u nekoj tački uspostavljena je sljedećom teoremom.

TEOREMA 1 . Ako je funkcija diferencijabilna u tački x 0, tada je u ovoj tački kontinuirana.

Obratno nije tačno: funkcija f(x), kontinuirano u nekoj tački, možda neće imati derivaciju u toj tački. Takav primjer je funkcija at = |x|; kontinuirano je u jednoj tački x= 0, ali nema izvod u ovoj tački.

Dakle, zahtjev diferencijabilnosti funkcije je jači od zahtjeva za kontinuitetom, budući da drugi automatski slijedi iz prvog.

Jednadžba tangente na graf funkcije u datoj tački

Kao što je navedeno u Odjeljku 3.9, jednačina prave koja prolazi kroz tačku M(x 0, y 0) sa nagibom k izgleda kao

Neka je funkcija data at = f(x). Onda od njegovog derivata u nekom trenutku M(x 0, y 0) je nagib tangente na graf ove funkcije u tački M, onda slijedi da je jednadžba tangente na graf funkcije f(x) u ovom trenutku ima oblik

Derivat funkcije $y = f(x)$ u datoj tački $x_0$ je granica omjera prirasta funkcije i odgovarajućeg prirasta njenog argumenta, pod uvjetom da potonji teži nuli:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Diferencijacija je operacija pronalaženja derivacije.

Tablica izvoda nekih elementarnih funkcija

Osnovna pravila diferencijacije

1. Derivat zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) izvoda

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Pronađite izvod funkcije $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Derivat sume (razlike) jednak je zbiru (razlici) derivata.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Derivat proizvoda

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Pronađite izvod $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Derivat količnika

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Pronađite izvod $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivat kompleksne funkcije jednak je umnošku izvoda eksterne funkcije i izvoda unutrašnje funkcije

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Fizičko značenje izvedenice

Ako se materijalna tačka kreće pravolinijski i njena koordinata se mijenja ovisno o vremenu prema zakonu $x(t)$, tada je trenutna brzina ove tačke jednaka derivaciji funkcije.

Tačka se kreće duž koordinatne linije prema zakonu $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, gdje je $x(t)$ koordinata u trenutku $t$. U kom trenutku će brzina tačke biti jednaka 12$?

1. Brzina je derivacija od $x(t)$, pa hajde da nađemo derivaciju date funkcije

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. Da bismo pronašli u kom trenutku u vremenu $t$ je brzina bila jednaka $12$, kreiramo i rješavamo jednačinu:

Geometrijsko značenje derivacije

Podsjetimo da se jednadžba prave linije koja nije paralelna sa koordinatnim osa može napisati u obliku $y = kx + b$, gdje je $k$ nagib prave linije. Koeficijent $k$ jednak je tangenti ugla nagiba između prave i pozitivnog smjera $Ox$ ose.

Derivat funkcije $f(x)$ u tački $h_0$ jednak je nagibu $k$ tangente na graf u ovoj tački:

Stoga možemo stvoriti opštu jednakost:

$f"(x_0) = k = tanα$

Na slici se povećava tangenta funkcije $f(x)$, pa je koeficijent $k > 0$. Pošto je $k > 0$, onda je $f"(x_0) = tanα > 0$. Ugao $α$ između tangente i pozitivnog pravca $Ox$ je oštar.

Na slici se tangenta na funkciju $f(x)$ smanjuje, stoga koeficijent $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Na slici je tangenta funkcije $f(x)$ paralelna sa $Ox$ osi, dakle, koeficijent $k = 0$, dakle, $f"(x_0) = tan α = 0$. tačka $x_0$ u kojoj je $f "(x_0) = 0$, pozvan ekstrem.

Na slici je prikazan grafik funkcije $y=f(x)$ i tangenta na ovaj graf nacrtana u tački sa apscisom $x_0$. Pronađite vrijednost derivacije funkcije $f(x)$ u tački $x_0$.

Tangenta na graf raste, dakle, $f"(x_0) = tan α > 0$

Da bismo pronašli $f"(x_0)$, nalazimo tangentu ugla nagiba između tangente i pozitivnog smjera $Ox$ ose. Da bismo to učinili, gradimo tangentu na trokut $ABC$.

Nađimo tangentu ugla $BAC$. (Tangens oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer suprotne i susjedne strane.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Odgovor: 0,25$

Izvod se također koristi za pronalaženje intervala rastućih i opadajućih funkcija:

Ako je $f"(x) > 0$ na intervalu, tada funkcija $f(x)$ raste na ovom intervalu.

Ako je $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Na slici je prikazan graf funkcije $y = f(x)$. Pronađite među tačkama $h_1,h_2,h_3...h_7$ one tačke u kojima je derivacija funkcije negativna.

Kao odgovor, zapišite broj ovih tačaka.

Plan:

1. Derivat funkcije

2. Diferencijalna funkcija

3. Primjena diferencijalnog računa u proučavanju funkcija

Derivat funkcije jedne varijable

Neka je funkcija definirana na određenom intervalu. Argumentu dajemo inkrement: , tada će funkcija dobiti povećanje. Nađimo granicu ovog omjera u Ako ova granica postoji, onda se zove derivacija funkcije. Izvod funkcije ima nekoliko oznaka: . Ponekad se u zapisu derivata koristi indeks, koji ukazuje na koju varijablu se uzima derivat.

Definicija. Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta kada inkrement argumenta teži nuli (ako ovo ograničenje postoji):

Definicija. Poziva se funkcija koja ima izvod u svakoj tački intervala diferencibilan u ovom intervalu.

Definicija. Operacija pronalaženja derivacije funkcije se zove diferencijaciju.

Vrijednost derivacije funkcije u tački označena je jednim od simbola: .

Primjer. Pronađite izvod funkcije u proizvoljnoj tački.

Rješenje. Vrijednost dajemo u inkrementu. Nađimo prirast funkcije u tački: . Hajde da stvorimo vezu. Idemo do granice: . Dakle, .

Mehaničko značenje izvedenice. Pošto ili, tj. brzina pravolinijskog kretanja materijalne tačke u trenutku vremena je derivacija putanje u odnosu na vrijeme. Ovo je mehaničko značenje izvedenice .

Ako funkcija opisuje bilo koji fizički proces, onda je derivacija stopa pojavljivanja ovog procesa. Ovo je fizičko značenje izvedenice .

Geometrijsko značenje derivacije. Razmotrite graf neprekidne krive koja ima neokomite tangente u tački. Nađimo njegov ugaoni koeficijent, gdje je tangentni ugao sa osom. Da biste to učinili, nacrtajte liniju sekante kroz tačku i graf (slika 1).

Označimo sa - ugao između sekanse i ose. Slika pokazuje da je ugaoni koeficijent sekansa jednak

Kada, zbog kontinuiteta funkcije, prirast također teži nuli; dakle, tačka se neograničeno približava tački duž krive, a sekansa, okrećući se oko tačke, postaje tangenta. Ugao, tj. . Dakle, , Stoga je nagib tangente jednak .

Nagib tangente na krivu

Ovu jednakost prepisujemo u obliku: , tj. derivacija u tački je jednaka nagibu tangente na graf funkcije u tački čija je apscisa jednaka . Ovo je geometrijsko značenje derivacije .

Ako tačka tangente ima koordinate (slika 2), ugaoni koeficijent tangente je jednak: .

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u datom pravcu ima oblik: .

Onda tangentna jednačina piše se u obliku: .

Definicija. Prava linija okomita na tangentu u tački dodira naziva se normalno na krivinu.

Ugaoni koeficijent normale je jednak: (pošto je normala okomita na tangentu).

Normalna jednačina ima oblik:, Ako .

Zamjenom pronađenih vrijednosti dobijamo tangentne jednačine, tj. .

Normalna jednadžba: ili .

Ako funkcija ima konačan izvod u nekoj tački, onda je u toj tački diferencijabilna. Ako je funkcija diferencijabilna u svakoj točki intervala, onda je diferencijabilna u tom intervalu.

Teorema 6.1 Ako je funkcija diferencibilna u nekom trenutku, onda je tamo kontinuirana.

Obratna teorema nije tačna. Kontinuirana funkcija možda nema izvod.

Primjer. Funkcija je kontinuirana kroz interval (slika 3).

Rješenje.

Izvod ove funkcije je jednak:

U jednom trenutku - funkcija se ne može razlikovati.

Komentar. U praksi najčešće morate pronaći derivate složenih funkcija. Stoga je u tabeli formula diferencijacije argument zamijenjen srednjim argumentom.

Tabela derivata

Konstantno

Funkcija napajanja:

2) posebno;

Eksponencijalna funkcija:

3) posebno;

Logaritamska funkcija:

4) posebno;

Trigonometrijske funkcije:

Inverzne trigonometrijske funkcije , , , :

Razlikovati funkciju znači pronaći njen izvod, odnosno izračunati granicu: . Međutim, određivanje granice u većini slučajeva je težak zadatak.

Ako poznajete izvode osnovnih elementarnih funkcija i poznajete pravila za razlikovanje rezultata aritmetičkih operacija nad tim funkcijama, onda možete lako pronaći izvode bilo koje elementarne funkcije, prema pravilima za određivanje izvoda, dobro poznatim iz školskog predmeta .

Neka su funkcije i dvije diferencibilne funkcije u određenom intervalu.

Teorema 6.2 Izvod zbira (razlike) dvije funkcije jednak je zbiru (razlici) izvoda ovih funkcija: .

Teorema vrijedi za bilo koji konačan broj pojmova.

Primjer. Pronađite izvod funkcije.

Rješenje.

Teorema 6.3 Izvod proizvoda dvije funkcije jednak je proizvodu izvoda prvog faktora i drugog plus proizvod prvog faktora i izvoda drugog: .

Primjer. Pronađite izvod funkcije .

Rješenje.

Teorema 6.4 Derivat količnika dviju funkcija, ako je jednak razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika razlomka i izvoda brojilaca i brojnika razlomka i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat bivšeg imenioca: .

Primjer. Pronađite izvod funkcije .

Rješenje. .

Da biste pronašli izvod složene funkcije, morate pomnožiti derivaciju ove funkcije u odnosu na srednji argument s derivacijom srednjeg argumenta u odnosu na nezavisni argument

Ovo pravilo ostaje na snazi ​​ako postoji nekoliko međuargumenata. Dakle, ako , , , onda

Neka i, onda - kompleksna funkcija sa srednjim argumentom i nezavisnim argumentom.

Teorema 6.5 Ako funkcija ima izvod u tački, a funkcija ima izvod u odgovarajućoj tački, onda kompleksna funkcija ima izvod u tački, koji se nalazi po formuli. , Nađite izvod funkcije zadane jednadžbom: .

Rješenje. Funkcija je specificirana implicitno. Hajde da razlikujemo jednadžbu s obzirom na , sjećajući se da: . Tada nalazimo: .

Neka je funkcija definirana u tački i nekom njenom susjedstvu. Dajmo argumentu povećanje tako da tačka spada u domen definicije funkcije. Funkcija će se tada povećati.

DEFINICIJA. Derivat funkcije u tački naziva se granica omjera prirasta funkcije u ovoj tački i priraštaja argumenta, at (ako ova granica postoji i konačna je), tj.

Označiti: ,,,.

Derivat funkcije u tački desno (lijevo) pozvao

(ako ova granica postoji i konačna je).

Označeno sa: , – derivacija u tački desno,

, je derivacija u tački lijevo.

Očigledno je tačna sljedeća teorema.

TEOREMA. Funkcija ima derivaciju u tački ako i samo ako u ovoj tački derivacije funkcije s desne i lijeve strane postoje i jednake su jedna drugoj. Štaviše

Sljedeća teorema uspostavlja vezu između postojanja derivacije funkcije u tački i kontinuiteta funkcije u toj tački.

TEOREMA (neophodan uslov za postojanje derivacije funkcije u tački). Ako funkcija ima izvod u nekoj tački, tada je funkcija u toj tački kontinuirana.

DOKAZ

Neka postoji. Onda

,

gdje je infinitezimalno na.

Komentar

derivat funkcije i označiti

diferencijacija funkcije .

GEOMETRIJSKO I FIZIČKO ZNAČENJE

1) Fizičko značenje izvedenice. Ako su funkcija i njen argument fizičke veličine, onda je derivacija stopa promjene varijable u odnosu na varijablu u nekoj tački. Na primjer, ako je udaljenost koju prijeđe tačka u vremenu, onda je njen izvod brzina u trenutku. Ako je količina struje koja teče kroz poprečni presjek provodnika u trenutku, onda je brzina promjene količine električne energije u trenutku, tj. trenutna snaga u datom trenutku.

2) Geometrijsko značenje derivacije.

Neka je neka kriva, biti tačka na krivulji.

Svaka prava linija koja siječe najmanje dvije tačke se naziva secant .

Tangenta na krivu u tački naziva se granična pozicija sekante ako tačka teži ka, krećući se duž krive.

Iz definicije je očigledno da ako tangenta na krivu postoji u tački, onda je ona jedina

Razmotrimo krivu (tj. graf funkcije). Neka ima ne-vertikalnu tangentu u tački. Njegova jednačina: (jednačina prave linije koja prolazi kroz tačku i ima ugaoni koeficijent).

Po definiciji nagiba

gdje je ugao nagiba prave linije prema osi.

Neka je ugao nagiba sekanse prema osi, gdje. Pošto je tangenta, onda kada

dakle,

Dakle, dobili smo to – ugaoni koeficijent tangente na graf funkcije u tački(geometrijsko značenje derivacije funkcije u tački). Dakle, jednadžba tangente na krivu u nekoj tački može se napisati u obliku

Komentar . Prava linija koja prolazi kroz tačku okomitu na tangentu povučenu na krivu u toj tački naziva se normalna na krivu u tački . Pošto su ugaoni koeficijenti okomitih pravih linija povezani relacijom, jednadžba normale na krivu u nekoj tački će imati oblik

, Ako .

Ako je , tada će tangenta na krivu u tački imati oblik

i normalno.

TANGENTNE I NORMALNE JEDNAČINE

Tangentna jednadžba

Neka je funkcija data jednadžbom y=f(x), potrebno je da napišete jednačinu tangenta u tački x 0. Iz definicije derivata:

y/(x)=limΔ x→0Δ yΔ x

Δ y=f(x+Δ x)−f(x).

Jednačina tangenta na graf funkcije: y=kx+b (k,b=konst). Iz geometrijskog značenja izvedenice: f/(x 0)=tgα= k Jer x 0 i f(x 0)∈ prava, zatim jednačina tangenta je napisano kao: y−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0) , ili

y=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.

Normalna jednačina

Normalno- je okomito na tangenta(vidi sliku). Na osnovu ovoga:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(x 0)

Jer ugao nagiba normale je ugao β1, tada imamo:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 f/(x).

tačka ( x 0,f(x 0))∈ normalno, jednačina ima oblik:

y−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).

DOKAZ

Neka postoji. Onda

,

gdje je infinitezimalno na.

Ali to znači da je kontinuirano u tački (vidi geometrijsku definiciju kontinuiteta). ∎

Komentar . Kontinuitet funkcije u tački nije dovoljan uslov za postojanje derivacije ove funkcije u tački. Na primjer, funkcija je kontinuirana, ali nema izvod u tački. stvarno,

i stoga ne postoji.

Očigledno, korespondencija je funkcija definirana na nekom skupu. Zovu je derivat funkcije i označiti

Operacija nalaženja funkcije njene derivacije se zove diferencijacija funkcije .

Derivat zbira i razlike

Neka su date funkcije f(x) i g(x) čiji su nam izvodi poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo gore govorili. Tada možete pronaći derivaciju zbira i razlike ovih funkcija:

(f + g)’ = f ’ + g ’

(f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbira (razlike) dvije funkcije jednaka je zbiru (razlici) izvoda. Možda ima više termina. Na primjer, (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept „oduzimanja“. Postoji koncept „negativnog elementa“. Dakle, razlika f − g se može prepisati kao zbir f + (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija zbira.

U koordinatnoj ravni xOy razmotriti graf funkcije y=f(x). Hajde da popravimo stvar M(x 0 ; f (x 0)). Dodajmo apscisu x 0 prirast Δh. Dobićemo novu apscisu x 0 +Δx. Ovo je apscisa tačke N, a ordinata će biti jednaka f (x 0 +Δx). Promjena apscise povlači za sobom promjenu ordinate. Ova promjena naziva se inkrement funkcije i označava se Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Kroz tačke M I N nacrtajmo sekantu MN, koji formira ugao φ sa pozitivnim smjerom ose Oh. Odredimo tangentu ugla φ iz pravouglog trougla MPN.

Neka Δh teži nuli. Zatim sekansa MNće težiti da zauzme tangentni položaj MT, i ugao φ postaće ugao α . Dakle, tangenta ugla α je granična vrijednost tangenta ugla φ :

Granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, kada potonji teži nuli, naziva se derivacija funkcije u datoj tački:

Geometrijsko značenje derivacije leži u činjenici da je numerički izvod funkcije u datoj tački jednak tangenti ugla koji formira tangenta povučena kroz ovu tačku na datu krivulju i pozitivan smjer ose Oh:

Primjeri.

1. Pronađite prirast argumenta i inkrement funkcije y= x 2, ako je početna vrijednost argumenta bila jednaka 4 , i novi - 4,01 .

Rješenje.

Nova vrijednost argumenta x=x 0 +Δx. Zamenimo podatke: 4.01=4+Δh, otuda i prirast argumenta Δh=4,01-4=0,01. Prirast funkcije, po definiciji, jednak je razlici između nove i prethodne vrijednosti funkcije, tj. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Pošto imamo funkciju y=x2, To Δu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

odgovor: povećanje argumenta Δh=0,01; povećanje funkcije Δu=0,0801.

Povećanje funkcije se može naći drugačije: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Pronađite ugao nagiba tangente na graf funkcije y=f(x) u tački x 0, Ako f "(x 0) = 1.

Rješenje.

Vrijednost derivacije u tački tangente x 0 i je vrijednost tangente ugla tangente (geometrijsko značenje derivacije). Imamo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, jer tg45°=1.

odgovor: tangenta na graf ove funkcije formira ugao s pozitivnim smjerom ose Ox jednak 45°.

3. Izvedite formulu za izvod funkcije y=x n.

Diferencijacija je akcija pronalaženja derivacije funkcije.

Prilikom pronalaženja izvoda koristite formule koje su izvedene na osnovu definicije derivacije, na isti način kao što smo mi izveli formulu za stepen derivacije: (x n)" = nx n-1.

Ovo su formule.

Tabela derivata Lakše je zapamtiti izgovaranjem verbalnih formulacija:

1. Derivat konstantne veličine je nula.

2. X prost je jednak jedan.

3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije.

4. Izvod stepena jednak je umnošku eksponenta ovog stepena za stepen sa istom bazom, ali je eksponent jedan manji.

5. Izvod korijena jednak je jedinici podijeljenoj sa dva jednaka korijena.

6. Derivat jedinice podijeljen sa x jednak je minus jedan podijeljen sa x na kvadrat.

7. Izvod sinusa jednak je kosinsu.

8. Derivat kosinusa je jednak minus sinus.

9. Izvod tangente jednak je jedinici podijeljenoj s kvadratom kosinusa.

10. Derivat kotangensa jednak je minus jedan podijeljen kvadratom sinusa.

Mi predajemo pravila diferencijacije.

1. Izvod algebarskog zbira jednak je algebarskom zbiru izvoda članova.

2. Izvod proizvoda jednak je umnošku izvoda prvog faktora i drugog plus proizvod prvog faktora i izvoda drugog.

3. Izvod “y” podijeljen sa “ve” jednak je razlomku u kojem je brojilac “y prost pomnožen sa “ve” minus “y pomnožen sa ve prostim”, a nazivnik je “ve na kvadrat”.

4. Poseban slučaj formule 3.