Određivanje korijena polinoma. Višestruki korijeni polinoma Što je korijen polinoma

Definicije i izjave za 2.2 mogu se naći u .

Koren polinoma je broj takav da
.

Bezoutova teorema. Za bilo koju funkciju
i brojevi
jednakost je tačna:

Gdje
.

Posljedica. Broj je korijen ako i samo ako
podijeljena
bez traga.

Pogodno za podjelu na polinome oblika (
) je Hornerova šema. Crtamo tabelu u čiji prvi red upisujemo sve koeficijente
(uključujući nula jedinica).

- koeficijenti parcijalnog dijeljenja
na (
);- ostatak dijeljenja, koji je, prema Bezoutovoj teoremi, jednak
. Ako = 0, onda to kažu
podijeljena (
) potpuno i - korijen polinoma
.

Primjer 33 Podijeli po
.

Rješenje. Koristimo Hornerovu šemu. Nacrtajmo tabelu i izvršimo proračune.

Dakle, gde - koeficijenti nepotpunog količnika. Stoga,.

Primjer 34 Pronađite vrijednost funkcije
u tački

x = ‑2.

Rješenje. Koristeći Hornerovu šemu dijelimo
na polinom
. Prilikom popunjavanja tabele uzimamo u obzir da su koeficijenti četvrtog i drugog stepena, kao i slobodni član u polinomu, jednaki 0.


	2

Kao rezultat proračuna, dobili smo ostatak jednak -8. Prema Bezoutovoj teoremi, on jednaka vrijednosti
u tački x = ‑2.

Odgovor: (–8).

Algoritam dijeljenja razmatran u 2.1 primjenjiv je na dijeljenje polinomom bilo kojeg stepena, ali Hornerova shema je primjenjiva samo na dijeljenje sa (
).

Nesvodljivi polinomi

Definicije i izjave za 2.3 mogu se naći u . Polinom sa realnim koeficijentima
je nesvodiva ako nema polinoma
I
sa realnim koeficijentima stepena manjim
, takav da
. To jest, nesvodljivi polinom se ne može proširiti u proizvod polinoma nižih stupnjeva.

Izjava. Nesvodljivi polinomi sa realnim koeficijentima su polinomi 1. ili 2. stepena sa negativnim diskriminantom i samo ovi.

Faktoriranje polinoma je njegova reprezentacija kao proizvod nesvodljivih polinoma.

Osnovne metode za faktoring polinoma:

1. Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada.

2. Korištenje skraćenih formula za množenje.

Primjer 35
.

=. Prilikom razlaganja koristili smo formulu.

3. Metoda grupisanja.

Primjer 36 Faktor polinoma
.

Grupiramo pojmove koji sadrže faktor 5:

=
=
=

= [izvadimo zajednički faktor iz zagrada] =

Primjer 37 Faktor polinoma
.

Grupiramo pojmove počevši od prvog:

Mi činimo kvadratni trinom pronalaženjem njegovih korijena:

. Na kraju

4. Metoda odabira korijena.

Ova metoda se zasniva na sljedećim izjavama:

Izjava 1. Ako za polinom

brojevi
- korijeni, onda je jednakost tačna.

Izjava 2. Za polinom sa vodećim koeficijentom jednakim 1, samo djelitelji slobodnog člana mogu imati cjelobrojne korijene.

Primjer 38 Mogući cjelobrojni korijeni polinoma
mogu postojati brojevi
. Metodom selekcije može se utvrditi da
i, prema tome, 1 je korijen polinoma.

Primjer 39 Faktor polinoma.

Rješenje. Prema tvrdnji 2, jedini mogući cjelobrojni korijeni polinoma mogu biti djelitelji broja -5. Ovo su brojevi
. Nađimo vrijednost polinoma u tački x = ‑ 1:

Dakle, korijen polinoma
je x = -1. Podijelite polinom
na ( x + 1). Prema Bezoutovoj teoremi,
mora biti djeljivo sa ( x + 1) potpuno, odnosno ostatak dijeljenja mora biti jednak nuli. Za podjelu ćemo koristiti Hornerovu shemu.

Broj dobijen u posljednjoj koloni omogućava vam da provjerite ispravnost izračuna. Ako je rezultat nula, onda su svi proračuni tačni. Ako se broj u posljednjoj koloni razlikuje od nule, to znači da je ili korijen pogrešno pronađen, ili su proračuni prema Hornerovoj shemi izvedeni pogrešno.

Dakle: . Budući da je polinom koji je rezultat dijeljenja
nije nesvodiv, onda se proces faktorizacije mora nastaviti. Za polinom
mogući korijeni su brojevi
. Mi nalazimo:. Prema tome, 1 je korijen polinoma
. Podijelimo sa ( x - 1) prema Hornerovoj šemi.

Posljednja kolona je nula. To znači da su proračuni tačni.

Imamo: . Provjerimo da li je polinom
nesvodivo. Nađimo njegove korijene koristeći standardnu formulu:

. Pošto je diskriminant ovog kvadratnog trinoma negativan, on je nesvodljiv na skupu realnih brojeva.

Svojstva

gdje su (u općem slučaju složeni) korijeni polinoma, moguće s ponavljanjima, a ako među korijenima polinoma ima jednakih, tada se njihova zajednička vrijednost naziva višestruki korijen.

Pronalaženje korena

Metoda pronalaženja korijena linearnih i kvadratnih polinoma, odnosno metoda rješavanja linearnih i kvadratnih jednadžbi, bila je poznata još u antički svijet. Traganje za formulom za tačno rešenje opšte jednačine trećeg stepena nastavilo se dugo (treba pomenuti metod koji je predložio Omar Khayyam) sve dok nije krunisano uspehom u prvoj polovini 16. veka u radovima. od Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia i Gerolamo Cardano. Formule za korijene kvadratnih i kubnih jednadžbi omogućile su relativno lako dobivanje formula za korijene jednačina četvrtog stepena.

Činjenicu da se korijeni opće jednadžbe petog stepena i više ne mogu izraziti pomoću racionalnih funkcija i radikala koeficijenata dokazao je norveški matematičar Niels Abel 1826. godine. To uopće ne znači da se korijeni takve jednačine ne mogu pronaći. Prvo, u posebnim slučajevima, za određene kombinacije koeficijenata, korijeni jednadžbe mogu se odrediti s određenom domišljatošću. Drugo, postoje formule za korijene jednadžbi stepena 5 i više, koje, međutim, koriste posebne funkcije - eliptičke ili hipergeometrijske (vidi, na primjer, korijen Bringa).

Ako su svi koeficijenti polinoma racionalni, onda pronalaženje njegovih korijena dovodi do pronalaženja korijena polinoma s cjelobrojnim koeficijentima. Za racionalne korijene takvih polinoma postoje algoritmi za pronalaženje kandidata pretraživanjem pomoću Hornerove sheme, a pri pronalaženju cijelih korijena pretraživanje se može značajno smanjiti čišćenjem korijena. Također u ovom slučaju možete koristiti polinomski LLL algoritam.

Za približno pronalaženje (sa potrebnom tačnošću) realnih korijena polinoma sa realnim koeficijentima koriste se iterativne metode, na primjer, metoda sekante, metoda bisekcije, Newtonova metoda. Broj realnih korijena polinoma na intervalu može se procijeniti korištenjem Sturmove teoreme.

vidi takođe

Bilješke

Wikimedia fondacija. 2010.

Kanalizacija
Pojmovnik veksiloloških pojmova

Pogledajte šta je “Koren polinoma” u drugim rječnicima:

Korijen algebarske jednadžbe

Korijen jednadžbe- Koren polinoma nad poljem k je element koji, nakon što ga zamijeni za x, pretvara jednačinu u identitet. Svojstva Ako je c korijen polinoma p(x ... Wikipedia

Donesi root- Provjerite informacije. Potrebno je provjeriti tačnost činjenica i pouzdanost informacija iznesenih u ovom članku. Trebalo bi da postoji objašnjenje na stranici za razgovor. U algebri, Bring korijen ili ultraradikal je analitička funkcija takva da za... ... Wikipediju

korijen (višeznačna odrednica)- Korijen: Wikirečnik ima članak “korijen” Koren (u botanici) je vegetativni aksijalni podzemni organ biljke koja ima sp ... Wikipedia

korijen (u matematici)- Koren u matematici, 1) K. stepen n broja a ≈ broj x (označen), čiji je n-ti stepen jednak a (tj. xn = a). Radnja pronalaženja K. naziva se ekstrakcija korijena. Za ¹ 0 postoji n različitih vrijednosti K. (općenito govoreći, ... ...

Root- I Korijen (radix) je jedan od glavnih vegetativnih organa lisnatog bilja (sa izuzetkom mahovine), koji služi za vezivanje za supstrat, apsorpciju vode i hranjivih tvari iz njega, primarnu transformaciju niza apsorbiranih tvari,.. ... Velika sovjetska enciklopedija

ROOT- 1) K. stepen n od broja a broj n i i stepena x n do broja je jednak a. 2) Jednačina algebarske jednačine nad poljem K, elementom koji, nakon što ga zamijeni na mjestu, pretvara jednačinu u identitet. K. ove jednačine se zove. također K. polinom Ako se pojavi ... ... Mathematical Encyclopedia

Višestruki korijen- polinom f (x) = a0xn + a1xn 1 +... + an, broj c takav da je f (x) djeljiv bez ostatka drugom ili većom potencijom binoma (x c). U ovom slučaju, c se naziva korijen višestrukosti ako je f (x) djeljiv sa (x c) k, ali ne ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Konjugirani korijen- Ako je dat neki nesvodljivi polinom nad prstenom i odaberu neki od njegovih korijena u ekstenziji, tada se konjugirani korijen za dati korijen polinoma naziva bilo kojim korijenom polinoma... Wikipedia

Kvadratni korijen od 2- jednaka dužini hipotenuze u pravougaonog trougla sa dužinom nogu 1. Kvadratni korijen od broja 2 je pozitivan ... Wikipedia

SAŽETAK

Korijeni polinoma. Bezoutova teorema

Završeno:

Studenti 1. godine grupe IM-11

Odsjek sa punim radnim vremenom

Šabunin Dmitrij Olegovič

Zorin Aleksandar Sergejevič

Provjereno:

Bobyleva Oksana Vladimirovna

potpis_________________

Uvod……………………………………………………………………………………………………...3

1. Polinomi……………………………………………………………………………………………………..3

1.1.Definicija polinoma………………………………………………………3

1.2.Određivanje korijena polinoma……………………………………………………………………….4

1.3.Horner šema…………………………………………………………………………………….5

1.4 Pronalaženje korijena pomoću Hornerove sheme. Vrste korijena………………………………….7

2. Etienne Bezu. Biografija. Bezoutova teorema. Posljedice iz teoreme……………….13

2.1. Etienne Bezou. Biografija……………………………………………………………………...13

2.2. Bezoutov teorem………………………………………………………………………………….13

2.3 Posljedice iz Bezoutove teoreme……………………………………………..14

2.4. Primjeri korištenja teoreme……………………………………………………..14

Zaključak……………………………………………………………………………………………….16

Spisak korištenih izvora…………………………………………………………………………..17

UVOD

Tema ovog eseja: „Korijeni polinoma. Bezoutov teorem."

U njemu želimo da pogledamo šta je polinom, šta je koren polinoma, a takođe govorimo o Hornerovoj šemi i Bezoutovoj teoremi.

U prvom dijelu analizirat ćemo pojam polinoma, njegove korijene i njihove vrste, te o Hornerovoj shemi. Drugi je o Bezoutovoj teoremi.

Ova tema je prilično relevantno, budući da je Bezoutov teorem jedan od osnovnih teorema algebre.

Polinomi

Koncept polinoma

Polinom (polinom) u jednoj varijabli x je izraz oblika

gdje je x varijabla, su koeficijenti iz nekog brojevnog polja, n je nenegativan cijeli broj, a nula je slobodan pojam. Pojedinačni članovi oblika ……, k=0,1, …,n nazivaju se članovi polinoma.

Polinom se naziva i "polinom", ovaj izraz dolazi od grčkih riječi "πολι" - mnogo i "νομχ" - član.

Pozivaju se 2 člana slično , ako su njihovi stepeni jednaki. U ovom slučaju, termini koji su međusobno slični mogu se transformisati u jedan, tj. dovesti slične članove.

Polinomski stepen naziva se najvećim među potencijama polinoma i polinoma f(x)- nije identična nula. Ovaj stepen je određen stepen(f).

Na primjer:

Polinom četvrtog stepena (najviši stepen je četiri);

- polinom drugog stepena ili kvadrata (najviši stepen je dva).

U ovom slučaju, identična nula nema stepen.

Pretpostavlja se da koeficijenti polinoma pripadaju određenom polju (polju realnog, racionalnog, kompleksni brojevi). Dakle, ako izvršimo operacije sabiranja, množenja ili oduzimanja na polinomu koristeći kombinacijske, komutativne i distributivne zakone, opet ćemo dobiti polinom.

Iz navedenog proizilazi da je skup svih polinoma sa koeficijentima iz datog polja R formira prsten R- prsten polinoma nad datim poljem; ovaj prsten nema djelitelje nule, tj. proizvod polinoma koji nisu jednaki nuli ne može dati nulu.

Određivanje korijena polinoma

Prstenasti element R naziva se korijenom polinoma f(x) ∈ R , Ako f( )= 0. Drugim riječima, broj je korijen polinoma f( x), ako je u izrazu

zamijenimo , onda dobijemo

Dakle, kada se broj zameni brojem, dobija se tačan izraz. To znači da je broj korijen jednakosti f(x)=0.

Dakle, korijen polinoma f(x) i korijen odgovarajuće jednačine f(x)=0 u suštini ista stvar.

Na primjer, pronađimo korijen polinoma f(x)=3 -10+3

Ovaj izraz je kvadrat prema tome da bismo pronašli korijen polinoma moramo riješiti sljedeću jednačinu

3 -10x+3=0.

Da biste to učinili, potrebno je razmotriti algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Ako je funkcija f(x) polinom, tada se svi njeni korijeni mogu odrediti pomoću ugrađene funkcije

gdje je v vektor sastavljen od koeficijenata polinoma.

Pošto polinom n-tog stepena ima tačno n korena (neki od njih mogu biti višekratnici), vektor v se mora sastojati od n+1 elemenata. Rezultat funkcije polyroots() je vektor sastavljen od n korijena polinoma o kojem je riječ. U ovom slučaju, nema potrebe uvoditi bilo kakvu početnu aproksimaciju, kao za root() funkciju. Primjer traženja korijena polinoma četvrtog stepena prikazan je na Sl. 4.6:

Rice. 4.6. Pronalaženje korijena polinoma

Koeficijenti polinoma razmatranog u primjeru zapisani su kao vektor stupaca koji počinje slobodnim članom i završava se koeficijentom najveće snage x n.

Za funkciju polyroots() možete odabrati jednu od dvije numeričke metode- Lagger polinomijska metoda (instalirana je po defaultu) ili metoda matrice para. Da biste promijenili metodu, trebate pozvati kontekstni meni desnim klikom na riječ poliroots i odabrati ili LaGuerre ili Companion Matrix na vrhu kontekstnog izbornika. Zatim morate kliknuti izvan funkcije polyroots - i ako je uključen način automatskog izračunavanja, korijeni polinoma će se ponovo izračunati u skladu s novoizabranom metodom.

Da biste izbor metode rješenja prepustili Mathcadu, potrebno je označiti kućicu AutoSelect odabirom stavke istog imena u istom kontekstualnom izborniku.

Rješavanje sistema nelinearnih jednačina

Razmotrimo rješavanje sistema od n nelinearnih jednačina sa m nepoznatih

f 1 (x 1,...,x m) = 0,

f n (x 1,...,x m) = 0,

Ovdje su f 1 (x 1 ,... ,h m) , ..., f n (x 1 ,... ,h m) neke skalarne funkcije skalarnih varijabli x 1 ,... ,h m i, eventualno , iz bilo koje druge varijable. U jednačinama može biti više ili manje varijabli. Imajte na umu da se gornji sistem može formalno prepisati kao

gdje je x vektor sastavljen od varijabli x 1,...,x m, a f (x) je odgovarajuća vektorska funkcija.

Za rješavanje sistema postoji posebna računarska jedinica, koja se sastoji od tri dijela, koji dolaze uzastopno jedan za drugim:

Dato - ključna riječ;

Sistem napisan korištenjem Booleovih operatora u obliku jednakosti i eventualno nejednakosti;

Find(x 1,...,x m) - ugrađena funkcija za rješavanje sistema u odnosu na varijable x 1,...,x m.

Blok Given/Find koristi iterativne metode za pronalaženje rješenja, stoga je, kao i funkcija root(), potrebno postaviti početne vrijednosti za sve x 1,...,x m. Ovo se mora uraditi prije pisanja ključne riječi Given. Vrijednost funkcije Find je vektor sastavljen od rješenja za svaku varijablu. Dakle, broj vektorskih elemenata jednak je broju argumenata Find.

Pogledajmo primjer. Riješite sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate:

sa tačnošću od 0,01. Grafički odvojite korijene.

Predstavimo jednadžbe sistema u obliku sljedećih funkcija jedne varijable:

Odaberimo diskretne vrijednosti varijabli:

Pronađimo korijene jednadžbe pomoću bloka Given – Find():

Na sl. 4.7 pokazuje još jedan primjer rješavanja sistema od dvije jednačine:

Rice. 4.7. Rješavanje sistema jednačina

Prvo, sl. 4.7 predstavljene su funkcije koje definiraju sistem jednačina. Tada se varijablama x i y, u odnosu na koje će se rješavati, dodijeliti početne vrijednosti. Nakon toga slijedi ključna riječ Given i dva Bulova operatora jednakosti koji izražavaju sistem jednačina o kojem je riječ. Računski blok se završava funkcijom Find, čija je vrijednost dodijeljena vektoru v. Zatim se ispisuje sadržaj vektora v, odnosno rješenje sistema. Prvi element vektora je prvi argument funkcije Find, drugi element je njegov drugi argument. Na kraju je provjerena ispravnost rješenja jednačina. Imajte na umu da se jednadžbe mogu definirati direktno unutar računske jedinice.

Grafička interpretacija razmatranog sistema prikazana je na Sl. 4.8. Svaka od jednačina je prikazana na xy ravni grafikom. Prva jednačina je predstavljena krivom, druga punom linijom. Dve presečne tačke krivih odgovaraju istovremenom izvršavanju obe jednačine, odnosno željenim realnim korenima sistema. Kao što je lako vidjeti, na sl. 4.7, pronađeno je samo jedno od dva rješenja - nalazi se u donjem desnom dijelu grafikona. Da biste pronašli drugo rješenje, trebali biste ponoviti proračune, mijenjajući početne vrijednosti tako da leže bliže drugoj tački presjeka grafove, na primjer x = -1, y = -1.

Rice. 4.8. Grafičko rješenje sistema od dvije jednačine

Razmatran je primjer sistema dvije jednačine i istog broja nepoznanica, koji se najčešće javlja. Međutim, postoje slučajevi kada se broj jednačina i nepoznanica možda ne podudara. Štaviše, računskoj jedinici se mogu dodati dodatni uslovi u obliku nejednakosti. Na primjer, uvođenje ograničenja za traženje samo negativnih vrijednosti x u primjeru o kojem smo gore govorili će dovesti do pronalaženja drugačijeg rješenja, kao što je prikazano na Sl. 4.9:

Rice. 4.9. Rješavanje sistema jednačina i nejednačina

Uprkos istim početnim vrijednostima kao na sl. 4.8, na sl. 4.9 dobije se još jedan korijen. To se dogodilo upravo zbog uvođenja dodatne nejednakosti, koja je definirana u bloku Given (x< 0).

Ako pokušate riješiti nekompatibilan sistem, Mathcad će prikazati poruku o grešci da rješenje nije pronađeno i trebali biste pokušati promijeniti početne vrijednosti ili vrijednost greške.

Proračunska jedinica koristi CTOL konstantu za procjenu greške u rješavanju jednačina unesenih nakon ključne riječi Given. Na primjer, ako je CTOL=0,001, tada će se jednačina x=10 smatrati ispunjenom i na x=10.001 i na x=9.999. Druga konstanta TOL određuje uslov za zaustavljanje iteracija numeričkim algoritmom. CTOL vrijednost korisnik može odrediti na isti način kao i TOL, na primjer, CTOL:=0,01. Podrazumevano se pretpostavlja da je CTOL=TOL=0.001, ali ih možete poništiti ako želite.

Posebnu pažnju treba posvetiti rješavanju sistema s više nepoznanica od broja jednačina. Na primjer, možete ukloniti jednu od dvije jednačine sa slike koju smo ispitali. 4.7, pokušavajući riješiti jedinu jednačinu g(x,y)=0 sa dvije nepoznate x i y. U ovoj formulaciji, problem ima beskonačan broj korijena: za bilo koje x i, prema tome, y = -x/2, uvjet koji definira jedinu jednačinu je zadovoljen. Međutim, čak i ako postoji beskonačan broj korijena, numerička metoda će izvoditi proračune samo dok se ne zadovolje logički izrazi u proračunskoj jedinici (unutar granice greške). Nakon toga, iteracije će biti zaustavljene i rješenje će biti vraćeno. Kao rezultat, pronaći će se samo jedan par vrijednosti (x, y), koji će se prvo otkriti.

Računski blok s funkcijom Find također može pronaći korijen jednadžbe s jednom nepoznatom. Akcija Find u ovom slučaju potpuno je slična primjerima o kojima je već bilo riječi u ovom odjeljku. Problem nalaženja korijena se smatra rješavanjem sistema koji se sastoji od jedne jednačine. Jedina razlika je u tome što je broj koji vraća funkcija Find() skalarni, a ne vektorski tip. Primjer rješavanja jednadžbe iz prethodnog odjeljka prikazan je na sl. 4.10.

Rice. 4.10. Pronalaženje korijena jednadžbe u jednoj nepoznatoj pomoću funkcije Find().

Mathcad nudi tri različita tipa gradijentnih metoda za rješavanje sistema nelinearnih jednačina pomoću bloka Given – Find(). Da biste promijenili numeričku metodu, morate:

Desni klik na naziv funkcije Find;

Izaberite Nelinearnu stavku u kontekstualnom meniju koji se pojavi;

Odaberite jednu od tri metode: Konjugirani gradijent (zadano), Kvazi-Njutn ili Levenberg-Marquardt.

Ciljevi lekcije:

naučiti učenike da rješavaju jednačine višim stepenima korištenje Hornerove sheme;
razvijati sposobnost rada u paru;
stvoriti, zajedno s glavnim dijelovima predmeta, osnovu za razvoj sposobnosti učenika;
pomoći učeniku da procijeni svoj potencijal, razvije interesovanje za matematiku, sposobnost razmišljanja i govora o temi.

Oprema: kartice za grupni rad, poster sa Hornerovim dijagramom.

Metoda nastave: predavanje, priča, objašnjenje, izvođenje vježbi.

Oblik kontrole: provere zadataka nezavisna odluka, samostalan rad.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat

2. Ažuriranje znanja učenika

Koja teorema vam omogućava da odredite da li je broj korijen date jednadžbe (formulirajte teoremu)?

Bezoutova teorema. Ostatak podjele polinoma P(x) binomom x-c je jednako P(c), broj c se naziva korijenom polinoma P(x) ako je P(c)=0. Teorema omogućava, bez izvođenja operacije dijeljenja, da se utvrdi da li je dati broj korijen polinoma.

Koje izjave olakšavaju pronalaženje korijena?

a) Ako je vodeći koeficijent polinoma jednak jedan, tada korijene polinoma treba tražiti među djeliteljima slobodnog člana.

b) Ako je zbir koeficijenata polinoma 0, tada je jedan od korijena 1.

c) Ako je zbir koeficijenata na parnim mjestima jednak zbiru koeficijenata na neparnim mjestima, tada je jedan od korijena jednak -1.

d) Ako su svi koeficijenti pozitivni, tada su korijeni polinoma negativni brojevi.

e) Polinom neparan stepen ima barem jedan pravi korijen.

3. Učenje novog gradiva

Kada rješavate čitave algebarske jednadžbe, morate pronaći vrijednosti korijena polinoma. Ova se operacija može značajno pojednostaviti ako se proračuni izvode pomoću posebnog algoritma koji se naziva Hornerova shema. Ovo kolo je nazvano po engleskom naučniku Williamu Georgeu Horneru. Hornerova shema je algoritam za izračunavanje kvocijenta i ostatka dijeljenja polinoma P(x) sa x-c. Ukratko kako to funkcionira.

Neka je dat proizvoljni polinom P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Dijeljenje ovog polinoma sa x-c predstavlja njegovu reprezentaciju u obliku P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Parcijalni g(x)=in 0 x n-1 + u n x n-2 +...+in n-2 x + u n-1, gdje je u 0 =a 0, u n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Ostatak r(x)= st n-1 +a n. Ova metoda proračuna naziva se Hornerova šema. Riječ "šema" u nazivu algoritma je zbog činjenice da je njegova implementacija obično formatirana na sljedeći način. Prvo nacrtajte tabelu 2(n+2). U donju lijevu ćeliju upišite broj c, a u gornji red koeficijente polinoma P(x). U ovom slučaju, gornja lijeva ćelija ostaje prazna.


	u 0 =a 0	u 1 =st 1 +a 1	u 2 = sv 1 + A 2		u n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Broj za koji se nakon izvršenja algoritma ispostavi da je zapisan u donjoj desnoj ćeliji je ostatak podjele polinoma P(x) sa x-c. Ostali brojevi u 0, u 1, u 2,... u donjem redu su koeficijenti količnika.

Na primjer: Podijelite polinom P(x)= x 3 -2x+3 sa x-2.

Dobijamo da je x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Konsolidacija proučenog gradiva

Primjer 1: Faktori polinom P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 u faktore sa cjelobrojnim koeficijentima.

Tražimo cijele korijene među djeliteljima slobodnog člana -1:1; -1. Napravimo tabelu:

X = -1 – korijen

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Provjerimo 1/2.


					X=1/2 - korijen

Stoga se polinom P(x) može predstaviti u obliku

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Primjer 2: Riješite jednačinu 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Pošto je zbroj koeficijenata polinoma napisanog na lijevoj strani jednadžbe jednak nuli, tada je jedan od korijena 1. Koristimo Hornerovu shemu:


						X=1 - korijen

Dobijamo P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Korijene ćemo tražiti među djeliteljima slobodnog člana 2.

Saznali smo da više nema netaknutih korijena. Provjerimo 1/2; -1/2.



					X= -1/2 - korijen

Odgovor: 1; -1/2.

Primjer 3: Riješite jednačinu 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Korijene ove jednačine tražit ćemo među djeliteljima slobodnog člana 5: 1;-1;5;-5. x=1 je korijen jednačine, pošto je zbir koeficijenata nula. Koristimo Hornerovu šemu:

Hajde da predstavimo jednačinu kao proizvod tri faktora: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Rješavajući kvadratnu jednačinu 5x 2 -7x+5=0, dobili smo D=49-100=-51, nema korijena.

Kartica 1

Faktor polinoma: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
Riješite jednačinu: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Kartica 2

Faktor polinoma: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
Riješite jednačinu: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Kartica 3

Uračunajte u: 2x 3 -21x 2 +37x+24
Riješite jednačinu: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Kartica 4

Uračunajte u: 5x 3 -46x 2 +79x-14
Riješite jednačinu: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Sumiranje

Provjera znanja pri rješavanju u paru provodi se na času prepoznavanjem načina radnje i naziva odgovora.

Zadaća:

Riješite jednačine:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Književnost

N.Ya. Vilenkin et al., Algebra i počeci analize, 10. razred ( dubinska studija Matematika): Prosvjeta, 2005.
U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Rješenje jednačina viših stupnjeva: Volgograd, 2007.
S.B. Gaškov, Sistemi brojeva i njihova primena.