Osnovne elementarne funkcije: njihova svojstva i grafovi. Osnovna svojstva funkcija Njihove elementarne funkcije

1) Domen funkcije i opseg funkcije.

Domena funkcije je skup svih valjanih vrijednosti argumenata x(promenljiva x), za koje je funkcija y = f(x) odlučan. Opseg funkcije je skup svih realnih vrijednosti y, što funkcija prihvata.

U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Nule funkcije.

Funkcija nula je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnog predznaka funkcije.

Intervali konstantnog predznaka funkcije su skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Povećana funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Opadajuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

5) Parna (neparna) funkcija.

Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = f(x). Raspored ravnomjerna funkcija simetrično oko ordinatne ose.

Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost je tačna f(-x) = - f(x). Raspored neparna funkcija simetrično u odnosu na porijeklo.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, funkcija je neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da za bilo koji x iz domena definicije funkcije vrijedi sljedeće: f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (Trigonometrijske formule).

19. Osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi. Primjena funkcija u ekonomiji.

Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafovi

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b su realni brojevi.

Broj A nazvana nagibom prave, jednaka je tangenti ugla nagiba ove linije prema pozitivnom smjeru x-ose. Grafikon linearne funkcije je prava linija. Definisano je sa dve tačke.

Svojstva linearne funkcije

1. Domen definicije - skup svih realnih brojeva: D(y)=R

2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R

3. Funkcija uzima nultu vrijednost kada ili.

4. Funkcija raste (opada) u cijelom domenu definicije.

5. Linearna funkcija je kontinuirana u cijelom domenu definicije, diferencibilna i .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblika, gdje je x varijabla, koeficijenti a, b, c su realni brojevi, naziva se kvadratni

Znanje osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi ništa manje važno od poznavanja tablice množenja. Oni su kao temelj, sve se zasniva na njima, sve se gradi od njih i sve se svodi na njih.

U ovom članku ćemo navesti sve glavne elementarne funkcije, dati njihove grafikone i dati ih bez zaključka ili dokaza svojstva osnovnih elementarnih funkcija prema šemi:

ponašanje funkcije na granicama domene definicije, vertikalne asimptote (ako je potrebno, pogledajte članak klasifikacija tačaka diskontinuiteta funkcije);
parni i neparni;
intervali konveksnosti (konveksnost prema gore) i konkavnosti (konveksnost prema dole), tačke pregiba (ako je potrebno, pogledajte članak konveksnost funkcije, pravac konveksnosti, tačke pregiba, uslovi konveksnosti i fleksije);
kose i horizontalne asimptote;
singularne tačke funkcija;
posebna svojstva nekih funkcija (na primjer, najmanji pozitivni period trigonometrijskih funkcija).

Ako vas zanima ili, onda možete ići na ove dijelove teorije.

Osnovne elementarne funkcije su: konstantna funkcija (konstanta), n-ti korijen, funkcija stepena, eksponencijalna, logaritamska funkcija, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije.

Navigacija po stranici.

Trajna funkcija.

Konstantna funkcija je definirana na skupu svih realnih brojeva formulom , gdje je C neki realni broj. Konstantna funkcija povezuje svaku realnu vrijednost nezavisne varijable x sa istom vrijednošću zavisne varijable y - vrijednošću C. Konstantna funkcija se također naziva konstanta.

Grafikon konstantne funkcije je prava linija paralelna sa x-osi i koja prolazi kroz tačku sa koordinatama (0,C). Na primjer, pokažimo grafikone stalne funkcije y=5 , y=-2 i , koji na slici ispod odgovaraju crnoj, crvenoj i plavoj liniji, respektivno.

Svojstva konstantne funkcije.

Domen: cijeli skup realnih brojeva.
Konstantna funkcija je parna.
Raspon vrijednosti: skup koji se sastoji od singular SA .
Konstantna funkcija nije rastuća i neopadajuća (zato je konstantna).
Nema smisla govoriti o konveksnosti i konkavnosti konstante.
Nema asimptota.
Funkcija prolazi kroz tačku (0,C) koordinatne ravni.

Koren n-tog stepena.

Razmotrimo osnovnu elementarnu funkciju koja je data formulom , gdje je n – prirodni broj, veće od jedan.

Koren n-tog stepena, n je paran broj.

Počnimo s n-tom korijenskom funkcijom za parne vrijednosti korijenskog eksponenta n.

Kao primjer, evo slike sa slikama grafova funkcija i , odgovaraju crnim, crvenim i plavim linijama.

Grafovi korijenskih funkcija parnog stupnja imaju sličan izgled za druge vrijednosti eksponenta.

Svojstva n-te korijenske funkcije za parno n.

N-ti korijen, n je neparan broj.

Funkcija n-tog korijena s neparnim korijenskim eksponentom n definirana je na cijelom skupu realnih brojeva. Na primjer, evo grafova funkcija i , odgovaraju crnim, crvenim i plavim krivuljama.

Za druge neparne vrijednosti korijenskog eksponenta, grafovi funkcija će imati sličan izgled.

Svojstva n-te korijenske funkcije za neparno n.

Funkcija napajanja.

Funkcija snage je data formulom oblika .

Razmotrimo oblik grafova funkcije stepena i svojstva funkcije stepena u zavisnosti od vrednosti eksponenta.

Počnimo s funkcijom stepena s cjelobrojnim eksponentom a. U ovom slučaju, izgled grafova funkcija stepena i svojstva funkcija zavise od parnosti ili neparnosti eksponenta, kao i od njegovog predznaka. Stoga prvo razmatramo funkcije stepena za neparne pozitivne vrijednosti eksponenta a, zatim za parne pozitivne eksponente, zatim za neparne negativne eksponente i na kraju, za parne negativne eksponente a.

Svojstva funkcija stepena sa frakcijskim i iracionalnim eksponentima (kao i vrsta grafova takvih funkcija stepena) zavise od vrednosti eksponenta a. Razmotrićemo ih, prvo, za a od nula do jedan, drugo, za veće od jedan, treće, za a od minus jedan do nula, četvrto, za manje od minus jedan.

Na kraju ovog odjeljka, radi potpunosti, opisati ćemo funkciju stepena s nultim eksponentom.

Funkcija stepena s neparnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju stepena sa neparnim pozitivnim eksponentom, odnosno sa a = 1,3,5,....

Na slici ispod prikazani su grafikoni funkcija snage – crna linija, – plava linija, – crvena linija, – zelena linija. Za a=1 imamo linearna funkcija y=x.

Svojstva funkcije stepena s neparnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija snage s parnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju stepena s parnim pozitivnim eksponentom, odnosno za a = 2,4,6,....

Kao primjer dajemo grafike funkcija stepena – crna linija, – plava linija, – crvena linija. Za a=2 imamo kvadratna funkcija, čiji je graf kvadratna parabola.

Svojstva funkcije stepena s parnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija snage s neparnim negativnim eksponentom.

Pogledajte grafove funkcije stepena za neparne negativne vrijednosti eksponenta, odnosno za a = -1, -3, -5,....

Na slici su prikazani grafovi funkcija snage kao primjeri - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Za a=-1 imamo inverzna proporcionalnost, čiji je graf hiperbola.

Svojstva funkcije stepena s neparnim negativnim eksponentom.

Funkcija snage s parnim negativnim eksponentom.

Pređimo na funkciju snage za a=-2,-4,-6,….

Na slici su prikazani grafikoni funkcija snage – crna linija, – plava linija, – crvena linija.

Svojstva funkcije stepena s parnim negativnim eksponentom.

Funkcija stepena s racionalnim ili iracionalnim eksponentom čija je vrijednost veća od nule i manja od jedan.

Bilješka! Ako je a pozitivan razlomak sa neparnim nazivnikom, onda neki autori smatraju da je domen definicije funkcije stepena interval. Utvrđeno je da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i principima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Pridržavat ćemo se upravo ovog gledišta, odnosno skup ćemo smatrati domenima definicije funkcija stepena s razlomačnim pozitivnim eksponentima. Preporučujemo da učenici saznaju mišljenje vašeg nastavnika o ovoj suptilnoj tački kako bi izbjegli nesuglasice.

Razmotrimo funkciju stepena s racionalnim ili iracionalnim eksponentom a, i .

Predstavimo grafove funkcija stepena za a=11/12 (crna linija), a=5/7 (crvena linija), (plava linija), a=2/5 (zelena linija).

Funkcija stepena s necjelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom većim od jedan.

Razmotrimo funkciju stepena s necjelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom a, i .

Hajde da predstavimo grafove funkcija stepena, dato formulama (crne, crvene, plave i zelene linije).

Za druge vrijednosti eksponenta a, grafovi funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva funkcije snage na .

Funkcija stepena sa realnim eksponentom koji je veći od minus jedan i manji od nule.

Bilješka! Ako je a negativan razlomak s neparnim nazivnikom, onda neki autori smatraju da je domen definicije funkcije stepena interval . Utvrđeno je da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i principima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Pridržavat ćemo se upravo ovog gledišta, odnosno smatrat ćemo domene definicije funkcija stepena sa razlomkom negativnim eksponentima skupom, respektivno. Preporučujemo da učenici saznaju mišljenje vašeg nastavnika o ovoj suptilnoj tački kako bi izbjegli nesuglasice.

Pređimo na funkciju snage, kgod.

Da bismo imali dobru ideju o obliku grafova funkcija moći za , dajemo primjere grafova funkcija (crna, crvena, plava i zelena krivulja, redom).

Svojstva funkcije stepena s eksponentom a, .

Funkcija stepena s realnim eksponentom koji nije cijeli broj koji je manji od minus jedan.

Navedimo primjere grafova funkcija stepena za , prikazani su crnim, crvenim, plavim i zelenim linijama.

Svojstva funkcije stepena s negativnim eksponentom koji nije cijeli broj manji od minus jedan.

Kada je a = 0, imamo funkciju - ovo je prava linija iz koje je isključena tačka (0;1) (dogovoreno je da se izrazu 0 0 ne pridaje nikakav značaj).

Eksponencijalna funkcija.

Jedna od glavnih elementarnih funkcija je eksponencijalna funkcija.

Graf eksponencijalne funkcije, gdje i uzima različite vrste zavisno od vrijednosti baze a. Hajde da shvatimo ovo.

Prvo, razmotrimo slučaj kada baza eksponencijalne funkcije uzima vrijednost od nule do jedan, to jest, .

Kao primjer predstavljamo grafove eksponencijalne funkcije za a = 1/2 – plava linija, a = 5/6 – crvena linija. Grafovi eksponencijalne funkcije imaju sličan izgled za druge vrijednosti baze iz intervala.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom manjom od jedan.

Prijeđimo na slučaj kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan, odnosno, .

Kao ilustraciju dajemo grafove eksponencijalnih funkcija - plava linija i - crvena linija. Za druge vrijednosti baze veće od jedan, grafovi eksponencijalne funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom većom od jedan.

Logaritamska funkcija.

Sljedeća osnovna elementarna funkcija je logaritamska funkcija, gdje je , . Logaritamska funkcija je definirana samo za pozitivne vrijednosti argumenta, odnosno za .

Graf logaritamske funkcije ima različite oblike ovisno o vrijednosti baze a.

Osnovne elementarne funkcije su: konstantna funkcija (konstanta), korijen n-. stepen, funkcija stepena, eksponencijalna, logaritamska funkcija, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije.

Trajna funkcija.

Konstantna funkcija je data na skupu svih realnih brojeva formulom , gdje je C– neki pravi broj. Konstantna funkcija dodjeljuje svaku stvarnu vrijednost nezavisne varijable x istu vrijednost zavisne varijable y- značenje WITH. Konstantna funkcija se također naziva konstanta.

Grafikon konstantne funkcije je prava linija paralelna sa x-osi i koja prolazi kroz tačku sa koordinatama (0,C). Na primjer, pokažimo grafove konstantnih funkcija y=5,y=-2 i , koji na slici ispod odgovaraju crnoj, crvenoj i plavoj liniji, respektivno.

Svojstva konstantne funkcije.

Domen: cijeli skup realnih brojeva.

Konstantna funkcija je parna.

Raspon vrijednosti: skup koji se sastoji od singularnog broja WITH.

Konstantna funkcija nije rastuća i neopadajuća (zato je konstantna).

Nema smisla govoriti o konveksnosti i konkavnosti konstante.

Nema asimptota.

Funkcija prolazi kroz tačku (0,C) koordinatna ravan.

Koren n-tog stepena.

Razmotrimo osnovnu elementarnu funkciju koja je data formulom gdje n– prirodni broj veći od jedan.

N-ti korijen, n je paran broj.

Počnimo s root funkcijom n-ta snaga za parne vrijednosti korijenskog eksponenta n.

Kao primjer, evo slike sa slikama grafova funkcija i , odgovaraju crnim, crvenim i plavim linijama.

Grafovi korijenskih funkcija parnog stupnja imaju sličan izgled za druge vrijednosti eksponenta.

Svojstva korijenske funkcijen -th snaga za parn .

N-ti korijen, n je neparan broj.

Root funkcija n-ti stepen s neparnim korijenskim eksponentom n je definiran na cijelom skupu realnih brojeva. Na primjer, evo grafova funkcija i , odgovaraju crnim, crvenim i plavim krivuljama.

Osnovne elementarne funkcije, njihova inherentna svojstva i odgovarajući grafovi su jedna od osnova matematičkog znanja, slična po važnosti tablici množenja. Elementarne funkcije su osnova i potpora za proučavanje svih teorijskih pitanja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Članak u nastavku pruža ključni materijal na temu osnovnih elementarnih funkcija. Uvest ćemo pojmove, dati im definicije; Proučimo detaljno svaku vrstu elementarnih funkcija i analizirajmo njihova svojstva.

Razlikuju se sljedeće vrste osnovnih elementarnih funkcija:

Definicija 1

konstantna funkcija (konstanta);
n-ti korijen;
funkcija snage;
eksponencijalna funkcija;
logaritamska funkcija;
trigonometrijske funkcije;
bratske trigonometrijske funkcije.

Konstantna funkcija je definirana formulom: y = C (C je određeni realni broj) i također ima ime: konstanta. Ova funkcija određuje korespondenciju bilo koje realne vrijednosti nezavisne varijable x istoj vrijednosti varijable y - vrijednosti C.

Grafikon konstante je prava linija koja je paralelna sa apscisnom osom i prolazi kroz tačku koja ima koordinate (0, C). Radi jasnoće, predstavljamo grafikone konstantnih funkcija y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (na crtežu su označene crnom, crvenom i plavom bojom).

Definicija 2

Ova elementarna funkcija je definirana formulom y = x n (n je prirodni broj veći od jedan).

Razmotrimo dvije varijacije funkcije.

n-ti korijen, n – paran broj

Radi jasnoće, ukazujemo na crtež koji prikazuje grafikone takvih funkcija: y = x, y = x 4 i y = x8. Ove karakteristike su označene bojama: crna, crvena i plava.

Grafovi funkcije parnog stepena imaju sličan izgled za druge vrijednosti eksponenta.

Definicija 3

Svojstva n-te korijenske funkcije, n je paran broj

domen definicije – skup svih nenegativnih realnih brojeva [ 0 , + ∞) ;
kada je x = 0, funkcija y = x n ima vrijednost jednaku nuli;
dato funkcija-funkcija opšti oblik (nije ni paran ni neparan);
raspon: [ 0 , + ∞) ;
ova funkcija y = x n sa parnim korijenskim eksponentima se povećava u cijeloj domeni definicije;
funkcija ima konveksnost sa smjerom prema gore u cijeloj domeni definicije;
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;
graf funkcije za parno n prolazi kroz tačke (0; 0) i (1; 1).

n-ti korijen, n – neparan broj

Takva funkcija je definirana na cijelom skupu realnih brojeva. Radi jasnoće, razmotrite grafove funkcija y = x 3 , y = x 5 i x 9 . Na crtežu su označene bojama: crna, crvena i Plava boja i krive respektivno.

Druge neparne vrijednosti korijenskog eksponenta funkcije y = x n dat će graf sličnog tipa.

Definicija 4

Svojstva n-te korijenske funkcije, n je neparan broj

domen definicije – skup svih realnih brojeva;
ova funkcija je neparna;
raspon vrijednosti – skup svih realnih brojeva;
funkcija y = x n za neparne korijenske eksponente raste u cijelom domenu definicije;
funkcija ima konkavnost na intervalu (- ∞ ; 0 ] i konveksnost na intervalu [ 0 , + ∞);
tačka pregiba ima koordinate (0; 0);
nema asimptota;
Graf funkcije za neparan n prolazi kroz tačke (- 1 ; - 1), (0 ; 0) i (1 ; 1).

Funkcija napajanja

Definicija 5

Funkcija snage je definirana formulom y = x a.

Izgled grafova i svojstva funkcije zavise od vrijednosti eksponenta.

kada funkcija stepena ima celobrojni eksponent a, tada tip grafa funkcije stepena i njena svojstva zavise od toga da li je eksponent paran ili neparan, kao i koji predznak ima eksponent. Razmotrimo sve ove posebne slučajeve detaljnije u nastavku;
eksponent može biti razlomačan ili iracionalan - ovisno o tome, tip grafova i svojstva funkcije također variraju. Posebne slučajeve ćemo analizirati postavljanjem nekoliko uslova: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
funkcija stepena može imati nulti eksponent; u nastavku ćemo također detaljnije analizirati ovaj slučaj.

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je a neparan pozitivan broj, na primjer, a = 1, 3, 5...

Radi jasnoće, ukazujemo na grafikone takvih funkcija stepena: y = x (crna grafička boja), y = x 3 (plava boja grafikona), y = x 5 (crvena boja grafikona), y = x 7 (grafička boja zelena). Kada je a = 1, dobijamo linearnu funkciju y = x.

Definicija 6

Svojstva stepena funkcije kada je eksponent neparno pozitivan

funkcija raste za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) (isključujući linearnu funkciju);
tačka pregiba ima koordinate (0 ; 0) (isključujući linearnu funkciju);
nema asimptota;
tačke prolaza funkcije: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je a paran pozitivan broj, na primjer, a = 2, 4, 6...

Radi jasnoće, ukazujemo na grafikone takvih funkcija snage: y = x 2 (grafička boja crna), y = x 4 (plava boja grafikona), y = x 8 (crvena boja grafikona). Kada je a = 2, dobijamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Definicija 7

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak pozitivan:

domen definicije: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
opadajuće za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funkcija ima konkavnost za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;
tačke prolaza funkcije: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Na slici ispod prikazani su primjeri grafova funkcije snage y = x a kada je a neparno negativan broj: y = x - 9 (grafička boja crna); y = x - 5 (plava boja grafikona); y = x - 3 (crvena boja grafikona); y = x - 1 (grafička boja zelena). Kada je a = - 1, dobijamo inverznu proporcionalnost, čiji je graf hiperbola.

Definicija 8

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent neparno negativan:

Kada je x = 0, dobijamo diskontinuitet druge vrste, pošto je lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 1, - 3, - 5, …. Dakle, prava linija x = 0 je vertikalna asimptota;

raspon: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x);
funkcija je opadajuća za x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0) i konkavnost za x ∈ (0 ; + ∞) ;
nema pregibnih tačaka;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kada je a = - 1, - 3, - 5, . . . .

tačke prolaza funkcije: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Na slici ispod prikazani su primjeri grafika funkcije stepena y = x a kada je a paran negativan broj: y = x - 8 (grafička boja crna); y = x - 4 (plava boja grafikona); y = x - 2 (crvena boja grafikona).

Definicija 9

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak negativan:

domen definicije: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kada je x = 0, dobijamo diskontinuitet druge vrste, pošto je lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 2, - 4, - 6, …. Dakle, prava linija x = 0 je vertikalna asimptota;

funkcija je parna jer je y(-x) = y(x);
funkcija raste za x ∈ (- ∞ ; 0) i opada za x ∈ 0; + ∞ ;
funkcija ima konkavnost na x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
nema pregibnih tačaka;
horizontalna asimptota – prava y = 0, jer:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kada je a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

tačke prolaza funkcije: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Od samog početka obratite pažnju na sledeći aspekt: u slučaju kada je a pozitivan razlomak sa neparnim nazivnikom, neki autori uzimaju interval - ∞ kao domen definicije ove funkcije stepena; + ∞ , uvjetujući da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Trenutno, autori mnogih edukativnih publikacija o algebri i principima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena, gdje je eksponent razlomak s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. U nastavku ćemo se pridržavati upravo ove pozicije: uzet ćemo skup [ 0 ; + ∞) . Preporuka za učenike: saznajte stav nastavnika o ovom pitanju kako biste izbjegli nesuglasice.

Dakle, pogledajmo funkciju snage y = x a , kada je eksponent racionalan ili iracionalan broj, pod uslovom da je 0< a < 1 .

Ilustrujmo funkcije stepena grafovima y = x a kada je a = 11 12 (grafička boja crna); a = 5 7 (crvena boja grafikona); a = 1 3 (plava boja grafikona); a = 2 5 (zelena boja grafikona).

Ostale vrijednosti eksponenta a (pod uvjetom da je 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definicija 10

Svojstva funkcije snage na 0< a < 1:

opseg: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funkcija raste za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funkcija je konveksna za x ∈ (0 ; + ∞);
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je eksponent necijeli racionalan ili iracionalan broj, pod uslovom da je a > 1.

Ilustrirajmo grafovima funkciju snage y = x a pod datim uslovima koristeći sljedeće funkcije kao primjer: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (crna, crvena, plava, zelena boja grafikona, odnosno).

Druge vrijednosti eksponenta a, pod uvjetom da je a > 1, dat će sličan grafikon.

Definicija 11

Svojstva funkcije snage za a > 1:

domen definicije: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
opseg: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
funkcija raste za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funkcija ima konkavnost za x ∈ (0 ; + ∞) (kada je 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;
prolazne tačke funkcije: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Napominjemo! Kada je a negativan razlomak sa neparnim nazivnikom, u radovima nekih autora postoji stav da je domen definicije u u ovom slučaju– interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) uz upozorenje da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Trenutno autori edukativni materijali u algebri i principima analize NE ODREĐUJU funkcije stepena sa eksponentom u obliku razlomka sa neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Dalje, pridržavamo se upravo ovog gledišta: uzimamo skup (0 ; + ∞) kao domenu definicije funkcija stepena sa razlomkom negativnih eksponenta. Preporuka za učenike: U ovom trenutku razjasnite viziju svog nastavnika kako biste izbjegli nesuglasice.

Nastavimo temu i analizirajmo funkciju snage y = x a predviđeno: - 1< a < 0 .

Predstavimo crtež grafova sljedećih funkcija: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (crna, crvena, plava, zelena boja linije, respektivno).

Definicija 12

Svojstva funkcije snage na -1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

raspon: y ∈ 0 ; + ∞ ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
nema pregibnih tačaka;

Na donjem crtežu su prikazani grafovi funkcija stepena y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (crna, crvena, plava, zelena boja krive, respektivno).

Definicija 13

Svojstva funkcije snage za a< - 1:

domen definicije: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
funkcija se smanjuje za x ∈ 0; + ∞ ;
funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; + ∞ ;
nema pregibnih tačaka;
horizontalna asimptota – prava y = 0;
točka prijelaza funkcije: (1; 1) .

Kada je a = 0 i x ≠ 0, dobijamo funkciju y = x 0 = 1, koja definiše liniju iz koje je isključena tačka (0; 1) (dogovoreno je da izraz 0 0 neće dobiti nikakvo značenje ).

Eksponencijalna funkcija ima oblik y = a x, gdje je a > 0 i a ≠ 1, a grafik ove funkcije izgleda drugačije na osnovu vrijednosti baze a. Razmotrimo posebne slučajeve.

Prvo, pogledajmo situaciju kada baza eksponencijalne funkcije ima vrijednost od nule do jedan (0< a < 1) . Dobar primjer su grafovi funkcija za a = 1 2 (plava boja krive) i a = 5 6 (crvena boja krive).

Grafovi eksponencijalne funkcije će imati sličan izgled za druge vrijednosti baze pod uvjetom 0< a < 1 .

Definicija 14

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza manja od jedan:

raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
eksponencijalna funkcija čija je baza manja od jedan opada u cijelom domenu definicije;
nema pregibnih tačaka;
horizontalna asimptota – prava linija y = 0 sa promenljivom x koja teži + ∞;

Sada razmotrite slučaj kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan (a > 1).

Ilustrujmo ovaj poseban slučaj sa grafikom eksponencijalnih funkcija y = 3 2 x (plava boja krive) i y = e x (crvena boja grafika).

Druge vrijednosti baze, veće jedinice, dat će sličan izgled grafu eksponencijalne funkcije.

Definicija 15

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza veća od jedan:

domen definicije – cijeli skup realnih brojeva;
raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
eksponencijalna funkcija čija je baza veća od jedan raste kao x ∈ - ∞; + ∞ ;
funkcija ima konkavnost na x ∈ - ∞; + ∞ ;
nema pregibnih tačaka;
horizontalna asimptota – prava linija y = 0 sa promenljivom x koja teži - ∞;
tačka prijelaza funkcije: (0; 1) .

Logaritamska funkcija ima oblik y = log a (x), gdje je a > 0, a ≠ 1.

Takva funkcija je definirana samo za pozitivne vrijednosti argumenta: za x ∈ 0; + ∞ .

Graf logaritamske funkcije ima drugačiji izgled, na osnovu vrijednosti baze a.

Razmotrimo prvo situaciju kada je 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Druge vrijednosti baze, a ne veće jedinice, dat će sličan tip grafikona.

Definicija 16

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza manja od jedan:

domen definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže +∞;
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
logaritamski
funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; + ∞ ;
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;

Pogledajmo sada poseban slučaj kada je baza logaritamske funkcije veća od jedan: a > 1 . Crtež ispod prikazuje grafikone logaritamskih funkcija y = log 3 2 x i y = ln x (plava i crvena boja grafika, respektivno).

Druge vrijednosti baze veće od jedan će dati sličan tip grafa.

Definicija 17

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza veća od jedan:

domen definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže - ∞ ;
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ (cijeli skup realnih brojeva);
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
logaritamska funkcija raste za x ∈ 0; + ∞ ;
funkcija je konveksna za x ∈ 0; + ∞ ;
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;
tačka prolaska funkcije: (1; 0) .

Trigonometrijske funkcije su sinus, kosinus, tangent i kotangens. Pogledajmo svojstva svakog od njih i odgovarajuću grafiku.

Općenito, sve trigonometrijske funkcije karakterizira svojstvo periodičnosti, tj. kada se vrijednosti funkcije ponavljaju na različita značenja argumenti koji se međusobno razlikuju po periodu f (x + T) = f (x) (T – period). Tako se na listu svojstava trigonometrijskih funkcija dodaje stavka „najmanji pozitivni period“. Osim toga, naznačit ćemo vrijednosti argumenta pri kojima odgovarajuća funkcija postaje nula.

Sinusna funkcija: y = sin(x)

Graf ove funkcije naziva se sinusni val.

Definicija 18

Svojstva sinusne funkcije:

domen definicije: cijeli skup realnih brojeva x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
funkcija nestaje kada je x = π · k, gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
funkcija raste za x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z i opadajući za x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
sinusna funkcija ima lokalne maksimume u tačkama π 2 + 2 π · k; 1 i lokalni minimumi u tačkama - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
sinusna funkcija je konkavna kada je x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
nema asimptota.

kosinusna funkcija: y = cos(x)

Graf ove funkcije naziva se kosinusni val.

Definicija 19

Svojstva kosinusne funkcije:

domen definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
najmanji pozitivni period: T = 2 π;
raspon vrijednosti: y ∈ - 1 ; 1 ;
ova funkcija je parna, budući da je y (- x) = y (x);
funkcija raste za x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i opadajući za x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
kosinusna funkcija ima lokalne maksimume u tačkama 2 π · k ; 1, k ∈ Z i lokalni minimumi u tačkama π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
kosinusna funkcija je konkavna kada je x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
tačke pregiba imaju koordinate π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
nema asimptota.

Tangentna funkcija: y = t g (x)

Poziva se graf ove funkcije tangenta.

Definicija 20

Svojstva tangentne funkcije:

domen definicije: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
Ponašanje tangentne funkcije na granici domene definicije lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dakle, prave x = π 2 + π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;
funkcija nestaje kada je x = π · k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ova funkcija je neparna, budući da je y (- x) = - y (x) ;
funkcija raste kao - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
tangentna funkcija je konkavna za x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z i konveksan za x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
tačke pregiba imaju koordinate π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Kotangens funkcija: y = c t g (x)

Graf ove funkcije naziva se kotangentoid. .

Definicija 21

Svojstva kotangens funkcije:

domen definicije: x ∈ (π · k ; π + π · k) , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);

Ponašanje kotangensne funkcije na granici domene definicije lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dakle, prave x = π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;

najmanji pozitivni period: T = π;
funkcija nestaje kada je x = π 2 + π · k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ova funkcija je neparna, budući da je y (- x) = - y (x) ;
funkcija je opadajuća za x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
kotangens funkcija je konkavna za x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z i konveksna za x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
tačke pregiba imaju koordinate π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
Nema kosih ili horizontalnih asimptota.

Inverzne trigonometrijske funkcije su arksinus, arkosinus, arktangens i arkkotangens. Često, zbog prisutnosti prefiksa "luk" u nazivu, inverzne trigonometrijske funkcije nazivaju se lučne funkcije .

Funkcija arc sinusa: y = a r c sin (x)

Definicija 22

Svojstva arcsinusne funkcije:

ova funkcija je neparna, budući da je y (- x) = - y (x) ;
arcsinusna funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; 1 i konveksnost za x ∈ - 1 ; 0 ;
tačke pregiba imaju koordinate (0; 0), što je ujedno i nula funkcije;
nema asimptota.

Arc kosinus funkcija: y = a r c cos (x)

Definicija 23

Svojstva arc kosinus funkcije:

domen definicije: x ∈ - 1 ; 1 ;
raspon: y ∈ 0 ; π;
ova funkcija je opšteg oblika (ni parna ni neparna);
funkcija se smanjuje u cijelom domenu definicije;
arc kosinus funkcija ima konkavnost na x ∈ - 1; 0 i konveksnost za x ∈ 0; 1 ;
tačke pregiba imaju koordinate 0; π 2;
nema asimptota.

Funkcija tangente luka: y = a r c t g (x)

Definicija 24

Svojstva arktangentne funkcije:

domen definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
raspon vrijednosti: y ∈ - π 2 ; π 2;
ova funkcija je neparna, budući da je y (- x) = - y (x) ;
funkcija se povećava u cijelom domenu definicije;
arktangentna funkcija ima konkavnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konveksnost za x ∈ [ 0 ; + ∞);
tačka pregiba ima koordinate (0; 0), što je ujedno i nula funkcije;
horizontalne asimptote su prave linije y = - π 2 kao x → - ∞ i y = π 2 kao x → + ∞ (na slici su asimptote zelene linije).

Funkcija tangente luka: y = a r c c t g (x)

Definicija 25

Svojstva arkkotangentne funkcije:

domen definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
raspon: y ∈ (0; π) ;
ova funkcija je opšteg oblika;
funkcija se smanjuje u cijelom domenu definicije;
arc kotangens funkcija ima konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) i konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
tačka pregiba ima koordinate 0; π 2;
horizontalne asimptote su prave linije y = π na x → - ∞ (zelena linija na crtežu) i y = 0 na x → + ∞.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter