Poput sistema jednačina, ili aritmetičkih odnosa, ili geometrijski oblici, ili kombinacija oba, čije proučavanje pomoću matematike treba da odgovori na postavljena pitanja o svojstvima određenog skupa svojstava objekta iz stvarnog svijeta, kao skupa matematičkih odnosa, jednačina, nejednačina koji opisuju osnovne obrasce svojstvene procesu, objektu ili sistemu koji se proučava.

U automatizovanim sistemima upravljanja, matematički model se koristi za određivanje algoritma rada regulatora. Ovaj algoritam određuje kako se kontrolna akcija treba mijenjati ovisno o promjeni u masteru da bi se postigao kontrolni cilj.

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često se konstruiše u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija:

i tako dalje. Svaki konstruisani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički,... Naravno, mogući su i mešoviti tipovi: koncentrisani u jednom pogledu (u smislu parametara), raspoređeni u drugom itd.

Klasifikacija prema načinu na koji je predmet predstavljen

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:

• Strukturni ili funkcionalni modeli

Modelske hipoteze u nauci ne mogu se dokazati jednom za svagda, možemo govoriti samo o njihovom opovrgavanju ili nepobijanju kao rezultatu eksperimenta.

Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je privremeno prihvaćen kao istina i da se može koncentrirati na druge probleme. Međutim, to ne može biti poenta istraživanja, već samo privremena pauza: status modela prvog tipa može biti samo privremen.

Fenomenološki model

Drugi tip je fenomenološki model ( “ponašamo se kao da...”), sadrži mehanizam za opisivanje fenomena, iako ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili se ne uklapa dobro s postojećim teorijama i akumuliranim znanjem o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još uvijek nepoznat, a potraga za “pravim mehanizmima” mora se nastaviti. Peierls uključuje, na primjer, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica kao drugi tip.

Uloga modela u istraživanju može se vremenom mijenjati, a može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i da se promovišu u status hipoteze. Slično tome, nova znanja mogu postepeno doći u sukob sa modelima hipoteza prvog tipa, a mogu se prevesti u drugi. Dakle, model kvarka postepeno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici nastao je kao privremeno rešenje, ali je tokom istorije postao prvi tip. Ali eterski modeli su prošli put od tipa 1 do tipa 2 i sada su izvan nauke.

Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje dolazi u različitim oblicima. Peierls identificira tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Aproksimacija

Treći tip modela su aproksimacije ( “Mi smatramo nešto vrlo veliko ili vrlo malo”). Ako je moguće konstruisati jednačine koje opisuju sistem koji se proučava, to ne znači da se one mogu rešiti čak i uz pomoć računara. Općenito prihvaćena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima modeli linearnog odziva. Jednačine se zamjenjuju linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

Misaoni eksperiment

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

Gdje x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))) znači drugi derivat od x (\displaystyle x) po vremenu: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj model se naziva "harmonički oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamičan, koncentrisan, kontinuiran. U procesu njegove izgradnje dali smo mnoge pretpostavke (o odsustvu vanjskih sila, odsustvu trenja, malenosti odstupanja itd.), koje u stvarnosti možda neće biti ispunjene.

U odnosu na stvarnost, najčešće se radi o modelu tipa 4 pojednostavljenje(„izostavićemo neke detalje radi jasnoće“), budući da su neke bitne univerzalne karakteristike (na primjer, disipacija) izostavljene. U nekoj aproksimaciji (recimo, dok je odstupanje opterećenja od ravnoteže malo, sa malim trenjem, ne previše vremena i podložan određenim drugim uslovima), takav model prilično dobro opisuje stvarni mehanički sistem, jer odbačeni faktori imaju zanemariv uticaj na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih faktora. To će dovesti do novog modela, sa širim (iako opet ograničenim) opsegom primjene.

Međutim, prilikom usavršavanja modela, složenost njegovog matematičkog istraživanja može se značajno povećati i učiniti model praktično beskorisnim. Često jednostavniji model omogućava bolje i dublje istraživanje stvarnog sistema od složenijeg (i, formalno, „ispravnijeg“).

Ako model harmonijskog oscilatora primenimo na objekte daleko od fizike, njegov sadržajni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerovatnije bi ga trebalo klasificirati kao tip 6 analogija(„uzmimo u obzir samo neke karakteristike“).

Tvrdi i mekani modeli

Harmonski oscilator je primjer takozvanog “tvrdog” modela. Dobija se kao rezultat snažne idealizacije realnog fizičkog sistema. Svojstva harmonijskog oscilatora kvalitativno se mijenjaju malim perturbacijama. Na primjer, ako dodate mali izraz na desnu stranu − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\dot (x)))(trenje) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- neki mali parametar), tada ćemo dobiti eksponencijalno prigušene oscilacije ako promijenimo predznak dodatnog člana (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\dot (x)))) tada će se trenje pretvoriti u pumpanje i amplituda oscilacija će se eksponencijalno povećati.

Da bismo riješili pitanje primjenjivosti rigidnog modela, potrebno je razumjeti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Potrebno je proučavati meke modele dobijene malom perturbacijom tvrdog. Za harmonijski oscilator oni se mogu dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:

m x ¨ = − k x + ε f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\dot (x)))).

Evo f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\dot (x))))- neka funkcija koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stepenu njenog rastezanja. Forma eksplicitne funkcije f (\displaystyle f) Trenutno nismo zainteresovani.

Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog (bez obzira na eksplicitni tip uznemirujućih faktora, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače, primjena rezultata dobivenih proučavanjem krutog modela zahtijevat će dodatna istraživanja.

Ako sistem održava svoje kvalitativno ponašanje pod malim poremećajima, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonski oscilator je primjer strukturno nestabilnog (nehrapavog) sistema. Međutim, ovaj model se može koristiti za proučavanje procesa u ograničenom vremenskom periodu.

Raznovrsnost modela

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo svestranost: Fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije u nivou tekućine u U (\displaystyle U)- posuda u obliku ili promjena jačine struje u oscilatornom krugu. Dakle, proučavanjem jednog matematičkog modela, mi odmah proučavamo čitavu klasu fenomena opisanih njime. Upravo je ovaj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima naučnog znanja inspirisao Ludwiga von Bertalanffyja da stvori „opću teoriju sistema“.

Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo morate smisliti osnovni dijagram modeliranog objekta, reproducirati ga u okviru idealizacije ove nauke. Tako se vagon pretvara u sistem ploča i složenijih tijela od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustina, moduli elastičnosti, standardne karakteristike čvrstoće), nakon čega se sastavljaju jednačine, usput detalji se odbacuju kao nevažni, vrše se kalkulacije, upoređuju se sa merenjima, model se rafinira i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je rastaviti ovaj proces na njegove glavne komponente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.

Direktan zadatak: struktura modela i svi njegovi parametri se smatraju poznatim, glavni zadatak je provesti studiju modela kako bi se izvukla korisna znanja o objektu. Koje će statičko opterećenje most izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika, ili na prolazak voza različitim brzinama), kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri direktnog problema. Postavljanje pravog direktnog problema (postavljanje pravog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postavljaju prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je izgrađen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. godine u Velikoj Britaniji srušio metalni željeznički most preko Firth of Tay, čiji su projektanti napravili model mosta, izračunali ga za 20-struki sigurnosni faktor za djelovanje korisnog tereta, ali su zaboravili na vjetrovi koji stalno duvaju na tim mjestima. I nakon godinu i po dana je propao.

U najjednostavnijem slučaju (jedna oscilatorna jednadžba, na primjer), direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednačine.

Inverzni problem: poznato je mnogo mogućih modela, mora se odabrati određeni model na osnovu dodatnih podataka o objektu. Najčešće je poznata struktura modela i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije mogu se sastojati od dodatnih empirijskih podataka ili zahtjeva za objekt ( problem dizajna). Dodatni podaci mogu stići bez obzira na proces rješavanja inverznog problema ( pasivno posmatranje) ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog tokom rješenja ( aktivni nadzor).

Jedan od prvih primjera majstorskog rješenja inverznog problema uz najpotpuniju upotrebu dostupnih podataka bila je Newtonova metoda za rekonstrukciju sila trenja iz uočenih prigušenih oscilacija.

Drugi primjer je matematička statistika. Zadatak ove nauke je da razvije metode za snimanje, opisivanje i analizu opservacijskih i eksperimentalnih podataka kako bi se izgradili probabilistički modeli masovnih slučajnih pojava. Odnosno, skup mogućih modela je ograničen na vjerovatnostne modele. U specifičnim zadacima skup modela je ograničeniji.

Sistemi kompjuterske simulacije

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su kompjuterski matematički sistemi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućavaju da kreirate formalne i blok modele jednostavnih i složenih procesa i uređaja i lako mijenjate parametre modela tokom modeliranje. Blok modeli predstavljeni su blokovima (najčešće grafičkim), čiji je skup i veza specificiran dijagramom modela.

Dodatni primjeri

Malthusov model

Prema modelu koji je predložio Malthus, stopa rasta je proporcionalna trenutnoj veličini populacije, odnosno opisana je diferencijalnom jednadžbom:

x ˙ = α x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha x),

Gdje α (\displaystyle \alpha )- određeni parametar određen razlikom između plodnosti i mortaliteta. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Ako natalitet premašuje stopu smrtnosti ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), veličina populacije je neograničena i raste vrlo brzo. U stvarnosti se to ne može dogoditi zbog ograničenih resursa. Kada se dostigne određena kritična veličina populacije, model prestaje da bude adekvatan, jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Preciznost Malthusovog modela može biti logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\right)x),

gdje je "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta tačno kompenzirana stopom smrtnosti. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti x s (\displaystyle x_(s)), i ovo ponašanje je strukturno stabilno.

Sistem predator-plijen

Recimo da na određenom području žive dvije vrste životinja: zečevi (jedu biljke) i lisice (jedu zečeve). Neka broj zečeva x (\displaystyle x), broj lisica y (\displaystyle y). Koristeći Malthusov model sa potrebnim amandmanima da se uzme u obzir jedenje zečeva od strane lisica, dolazimo do sljedećeg sistema pod nazivom modeli Tacne - Volterra:

( x ˙ = (α − c y) x y ˙ = (− β + d x) y (\displaystyle (\begin(cases)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y ))=(-\beta +dx)y\end(slučajevi)))

Ponašanje ovog sistema nije strukturno stabilno: mala promjena u parametrima modela (na primjer, uzimajući u obzir ograničene resurse potrebne zečevima) može dovesti do kvalitativne promjene ponašanja.

Za određene vrijednosti parametara ovaj sistem ima ravnotežno stanje kada je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do postepenog nestajanja fluktuacija u broju zečeva i lisica.

Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od ravnotežnog položaja dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Volterra - Trats model ne daje odgovor na pitanje koji se od ovih scenarija realizuje: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

vidi takođe

Bilješke

1. "Matematički prikaz stvarnosti" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., O filozofskim pitanjima kibernetičkog modeliranja. M., Znanje, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mihajlov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. - 2. izd., rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A. G. Modeliranje tehnoloških procesa: udžbenik / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M.: Svetlo i prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
7. Rotach V.Ya. Teorija automatskog upravljanja. - 1. - M.: ZAO "Izdavačka kuća MPEI", 2008. - P. 333. - 9 str. - ISBN 978-5-383-00326-8.
8. Pristupi redukcije modela i krupnozrnatosti za fenomene više razmjera(engleski) . Springer, Complexity serija, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4. Pristupljeno 18. juna 2013. Arhivirano 18. juna 2013.
9. “Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom u zavisnosti od vrste matematičkog aparata – linearnog ili nelinearnog – i kakve linearne ili nelinearne matematičke modele koristi. ...ne poričući ovo drugo. Savremeni fizičar, kada bi morao ponovo da kreira definiciju tako važnog entiteta kao što je nelinearnost, najverovatnije bi delovao drugačije i, dajući prednost nelinearnosti kao važnijoj i raširenoj od dve suprotnosti, definisao bi linearnost kao „nelinearnost“. nelinearnost.” Danilov Yu. A., Predavanja o nelinearnoj dinamici. Elementarni uvod. Serija "Sinergetika: od prošlosti do budućnosti." Izdanje 2. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
10. „Dinamički sistemi modelovani konačnim brojem običnih diferencijalnih jednačina nazivaju se koncentrisanim ili tačkastim sistemima. Oni su opisani korištenjem konačno-dimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Isti sistem pod različitim uslovima može se smatrati ili koncentrisanim ili distribuiranim. Matematički modeli distribuiranih sistema su diferencijalne jednadžbe u parcijalnim derivacijama, integralnim jednačinama ili običnim jednačinama sa retardiranim argumentom. Broj stepeni slobode distribuiranog sistema je beskonačan, a za određivanje njegovog stanja potreban je beskonačan broj podataka.”
    Anishchenko V. S., Dinamički sistemi, Soros obrazovni časopis, 1997, br. 11, str. 77-84.
11. “U zavisnosti od prirode procesa koji se proučavaju u sistemu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističko i stohastičko, statičko i dinamičko, diskretno, kontinuirano i diskretno-kontinuirano. Determinističko modeliranje odražava determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja odsustvo bilo kakvih slučajnih uticaja; stohastičko modeliranje prikazuje probabilističke procese i događaje. ... Statičko modeliranje služi za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku, a dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tokom vremena. Diskretno modeliranje se koristi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno kontinuirano modeliranje nam omogućava da reflektujemo kontinuirane procese u sistemima, a diskretno-kontinuirano modeliranje se koristi za slučajeve kada se želi istaći prisustvo i diskretnih i kontinuiranih procesa. ”
    Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
12. Tipično, matematički model odražava strukturu (uređaj) modeliranog objekta, svojstva i odnose komponenti ovog objekta koji su bitni za potrebe istraživanja; takav model se naziva strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira – na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje – onda se naziva funkcionalnim ili, figurativno, crnom kutijom. Mogući su i kombinovani modeli. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 str.

Za teoriju matematičkog modeliranja potrebno je poznavati svrhu modeliranja i predstaviti objekt modeliranja u matematičkom obliku. Riječ "model" dolazi od latinskog modus (kopija, slika, obris). Najjednostavniji i najočitiji primjer modeliranja su geografske i topografske karte. Modeli su strukturne formule u hemiji. Model kao sredstvo spoznaje stoji između logičko razmišljanje i proces ili fenomen koji se proučava.

Modeliranje je zamjena nekog objekta A drugim objektom B. Zamijenjeni objekt naziva se original, a zamjenski se naziva model. Dakle, model je zamjena za original. Ovisno o svrsi zamjene, model istog originala može se razlikovati. U nauci i tehnologiji, glavna svrha modeliranja je proučavanje originala koristeći njegov jednostavniji model. Zamjena jednog objekta drugim ima smisla samo ako između njih postoji određena sličnost ili analogija.

Matematički model je približna reprezentacija, izražena matematičkim terminima, objekata, koncepata, sistema ili procesa. Objekti, koncepti, sistemi ili procesi koji se modeliraju nazivaju se objekti modeliranja (OM).

Svi objekti i pojave su u većoj ili manjoj mjeri međusobno povezani, ali se prilikom modeliranja većina međuodnosa zanemaruje i objekt modeliranja se posmatra kao poseban sistem. Ako se objekt modeliranja definiše kao poseban sistem, onda je potrebno uvesti princip selektivnosti, osiguravajući izbor potrebnih veza sa vanjskim okruženjem. Na primjer, pri modeliranju elektronskih kola zanemaruju se termičke, akustičke, optičke i mehaničke interakcije s vanjskim okruženjem i uzimaju se u obzir samo električne varijable. Princip selektivnosti unosi grešku u sistem, odnosno razliku u ponašanju modela i modeliranog objekta. Sljedeći važan faktor modeliranja je princip kauzalnosti, koji povezuje ulazne i izlazne varijable u sistemu.

Da bi se kvantifikovao sistem, uvodi se koncept „stanja“. Na primjer, stanje elektronskog kola se odnosi na vrijednosti napona i struja u elektronskom kolu u datom trenutku.

Prilikom analitičkog izvođenja matematičkog modela najčešće se koriste poznate kategorije: zakoni, strukture i parametri.

Ako bilo koja varijabla y ovisi o drugoj varijabli x, tada je prva veličina funkcija druge. Ova zavisnost je zapisana u obliku y = f(x) ili y = y(x). U ovoj notaciji, varijabla x se zove argument. Važna karakteristika funkcije je njen derivat, proces pronalaženja koji se naziva diferencijacija. Jednačine koje, prema matematičkim pravilima, povezuju nepoznatu funkciju, njene izvode i argumente nazivaju se diferencijalnim. Proces inverzan diferencijaciji, koji omogućava pronalaženje same funkcije iz date derivacije, naziva se integracija.

Razmotrimo poseban slučaj kada je funkcija put koji ovisi o argumentu - vremenu. Tada je derivacija putanje u odnosu na vrijeme brzina, a derivacija brzine (ili drugi izvod puta) je ubrzanje. Ako je, na primjer, brzina poznata, tada se integracija koristi za pronalaženje putanje koju tijelo pređe prilikom kretanja u određenom vremenu. Ako je poznato samo ubrzanje, tada se operacija integracije izvodi dva puta kako bi se pronašla putanja. U ovom slučaju, nakon izračunavanja prvog integrala, brzina postaje poznata.

Krajnji cilj kreiranja matematičkih modela je uspostavljanje funkcionalnih zavisnosti između varijabli. Funkcionalna zavisnost za svaki konkretan model može imati striktno definisan oblik. Kada se simulira uređaj, na čiji ulaz prima signal x y, a izlazni signal y se pojavljuje, veza se može zapisati u obliku tabele. Da bi se to postiglo, cijeli raspon promjena ulaznih i izlaznih signala podijeljen je na određeni broj sekcija. Svaki dio raspona varijacije ulaznog signala odgovarat će određenom dijelu raspona varijacije izlaznog signala. U složenim sistemima, gde postoji nekoliko ulaza i nekoliko izlaza, analitičke zavisnosti se izražavaju sistemima diferencijalnih jednačina.

* Zakoni se obično formulišu za određene oblasti, kao što su Kirchhoffovi i Newtonovi zakoni. Primjena ovih zakona na sistem obično usmjerava našu pažnju na jedno područje nauke i tehnologije. Koristeći Kirchhoffove zakone i Maxwellove jednačine za analizu električnog sistema, istraživač ignoriše druge (na primjer, termičke) procese u sistemu.

Kreiranje matematičkog modela zahtijeva poznavanje elemenata prisutnih u sistemu i njihovih odnosa. Parametri matematičkog modela (MM) su oni koji su uključeni u sistem jednačina različite šanse. Ovi koeficijenti, zajedno sa jednačinama i graničnim uslovima, čine kompletan MM.

Bilo koji matematički model može se dobiti kao rezultat: 1) direktnog posmatranja pojave, njenog direktnog proučavanja i shvatanja (modeli su fenomenološki); 2) neki proces dedukcije, kada se novi model dobije kao poseban slučaj iz nekog opštijeg modela (takvi modeli se nazivaju asimptotički); 3) neki proces indukcije, kada je novi model prirodna generalizacija elementarnih modela (takvi modeli se nazivaju kompozitni, ili ansambl modeli).

Svi sistemi postoje u vremenu i prostoru. Matematički, to znači da se vrijeme i tri prostorne varijable mogu smatrati nezavisnim varijablama.

Postoji mnogo znakova klasifikacije matematičkih modela zasnovanih na upotrebi određenih varijabli kao nezavisnih, predstavljenih u kontinuiranom ili diskretnom obliku; MM se klasifikuje na sledeći način:

1) modeli sa distribuiranim parametrima (sve nezavisne varijable se uzimaju u kontinuiranom obliku);

2) modeli sa pauširanim parametrima (sve nezavisne prostorne varijable su diskretne, a vremenska varijabla je kontinuirana);

3) modeli sa diskretnim parametrima (sve nezavisne varijable se uzimaju u diskretnom obliku).

Na sl. 3.10 a... prikazuje približnu klasifikaciju modela. Svi modeli se mogu podijeliti na realne i idealne (slika 3.10, a). Ovo poglavlje govori samo o idealnim modelima, koji su po svom sadržaju objektivni (odslikavaju stvarnu stvarnost), ali subjektivni po formi i ne mogu postojati izvan nje. Idealni modeli postoje samo u ljudskom znanju i funkcionišu prema zakonima logike. Logički modeli uključuju različite potpisane modele. Bitna tačka u kreiranju bilo kog simboličkog modela je procedura formalizacije (formule, abeceda, brojevni sistemi).

Trenutno se u brojnim oblastima nauke i tehnologije koncept modela tumači ne u duhu klasične fizike, kao vizuelni, na primer, mehanički sistem, već u duhu moderna pozornica znanje kao apstraktna logičko-matematička struktura.

U modernom modeliranju, uz sve veću ulogu apstraktnih logičkih modela u spoznaji, postoji još jedan trend povezan sa širokom upotrebom kibernetičkih funkcionalnih informacionih modela.

Jedinstvenost kibernetičkog modeliranja je u tome što se objektivna sličnost modela i simuliranog objekta tiče samo njihovih funkcija, područja primjene i povezanosti sa vanjskim okruženjem. Osnova informacionog pristupa proučavanju kibernetičkih procesa je apstrakcija.

Razmotrimo modele koji se odvijaju u CAD LSI: strukturni, funkcionalni, geometrijski, simbolički, mentalni, analitički, numerički i simulacijski.

Strukturni modeli reprodukuju sastav elemenata objekta ili sistema, njihovu lokaciju u prostoru i odnose, odnosno strukturu sistema. Strukturni modeli mogu biti i stvarni (izgledi) i idealni (na primjer, crteži mašinstva, topologija štampanih ploča i topologija IC).

Funkcionalni modeli imitiraju samo način na koji se original ponaša, njegovu funkcionalnu ovisnost o vanjskom okruženju. Najtipičniji primjer su modeli izgrađeni na konceptu “crne kutije”.

U ovim modelima moguće je reproducirati funkcioniranje originala, potpuno apstrahirajući od njegovog sadržaja i strukture, povezujući različite ulazne i izlazne veličine pomoću matematičke veze.

Rice. 3.10. Opća klasifikacija modela (a), kao i modela pune skale (b), fizičkih (c), realnih matematičkih (d), vizuelnih (e), simboličkih (f), idealnih matematičkih (g) modela

Geometrijski modeli odražavaju samo strukturu objekta i od velike su važnosti u vezi sa dizajnom elektronski sistemi. Ovi modeli, izgrađeni na bazi geometrijske sličnosti, omogućavaju rješavanje problema u vezi sa optimalnim postavljanjem objekata, postavljanjem tragova na štampane ploče i integrirana kola.

Modeli znakova su uređeni zapis simbola (znakova). Znakovi međusobno djeluju ne prema fizičkim zakonima, već prema pravilima utvrđenim u određenom području znanja, ili, kako kažu, prema prirodi znakova. Ikonski modeli su sada izuzetno rasprostranjeni. Gotovo svaka oblast znanja - lingvistika, programiranje, elektronika i mnoge druge - razvila je vlastitu simboliku za opisivanje modela. To su programi, šeme itd.

Mentalni modeli su proizvod senzorne percepcije i aktivnosti apstraktnog mišljenja. Mentalni modeli uključuju dobro poznati planetarni model Borovog atoma. Da bi se ti modeli prenijeli, oni su predstavljeni u obliku verbalnog ili simboličkog opisa, odnosno mentalni modeli se mogu zabilježiti u obliku različitih znakovnih sistema.

Analitički modeli omogućavaju dobijanje eksplicitnih zavisnosti traženih veličina od parametara i varijabli koje karakterišu fenomen koji se proučava. Analitičko rješenje matematičkog odnosa je generalizirani opis objekta

Numeričke modele odlikuje činjenica da se vrijednosti traženih veličina mogu dobiti kao rezultat primjene odgovarajućih numeričke metode. Sve numeričke metode omogućavaju da se dobiju samo privatne informacije o željenim količinama, jer za njihovu implementaciju zahtijevaju specificiranje specifičnih vrijednosti svih parametara uključenih u matematički odnos. Za svaku željenu vrijednost potrebno je transformirati matematički model na svoj način i primijeniti odgovarajuću numeričku proceduru.

Simulacijski modeli se implementiraju na računaru u obliku algoritama (programa) za modeliranje koji omogućavaju izračunavanje vrijednosti izlaznih varijabli i određivanje novog stanja u koje model prelazi za date vrijednosti ulaznih varijabli, parametara i početno stanje modela. Simulacijsko modeliranje, za razliku od numeričkog modeliranja, karakterizira neovisnost algoritma modeliranja od vrste informacija koje je potrebno dobiti kao rezultat modeliranja. Matematički model koji je predstavljen u apstraktnom matematičkom obliku kroz varijable, parametre, jednačine i nejednakosti je prilično univerzalan, fleksibilan i efikasan.

MM uključuje sljedeće elemente: varijable (zavisne i nezavisne); konstante ili fiksni parametri (određivanje stepena povezanosti između varijabli); matematički izrazi (jednačine i/ili nejednačine koje kombinuju varijable i parametre); logički izrazi (definiranje različitih ograničenja u matematičkom modelu); informacije (alfanumeričke i grafičke).

Matematički modeli se klasifikuju prema sledećim kriterijumima: 1) ponašanje modela tokom vremena; 2) vrste ulaznih informacija, parametara i izraza koji čine matematički model; 3) strukturu matematičkog modela; 4) vrstu matematičkog aparata koji se koristi.

Što se tiče integrisanih kola, može se predložiti sledeća klasifikacija.

U zavisnosti od prirode svojstava integrisanog kola, matematički modeli se dele na funkcionalne i strukturne.

Funkcionalni modeli odražavaju procese funkcionisanja objekta, ovi modeli imaju oblik sistema jednačina.

Prilikom rješavanja brojnih projektnih problema široko se koriste matematički modeli koji odražavaju samo strukturna svojstva projektovanog objekta; takvi strukturni modeli mogu imati oblik matrica, grafova, lista vektora i ekspres međusobnog dogovora elemenata u prostoru, prisustvo direktne veze u obliku provodnika itd. Strukturni modeli se koriste u slučaju kada se problemi strukturalne sinteze mogu formalizirati i riješiti, apstrahirajući od posebnosti fizičkih procesa u objektu.

Rice. 3.11. Strukturni model pretvarača = it. d.)

Prema načinu dobijanja funkcionalni matematički modeli se dijele na teorijske i formalne.

Teorijski modeli se dobijaju na osnovu proučavanja fizičkih zakona, a struktura jednačina i parametara modela imaju jasnu fizičku osnovu.

Formalni modeli se dobijaju razmatranjem svojstava stvarnog objekta kao crne kutije.

Teorijski pristup omogućava nam da dobijemo univerzalnije modele koji vrijede za različite načine rada i za širok raspon promjena vanjskih parametara.

Brojne karakteristike u klasifikaciji povezane su sa karakteristikama jednačina koje čine matematički model; Ovisno o linearnosti ili nelinearnosti jednadžbi, modeli se dijele na linearne i nelinearne.

U zavisnosti od snage skupa varijabilnih vrijednosti, modeli se dijele na kontinuirane i diskretne (slika 3.12).

U kontinuiranim modelima, varijabla koja se pojavljuje u njima je kontinuirana ili po komadima kontinuirana.

Varijable u diskretnim modelima su diskretne veličine čiji je skup prebrojiv.

Rice. 3.12. Kontinuirane i diskretne varijable

Na osnovu oblika povezanosti izlaznih, unutrašnjih i eksternih parametara razlikuju se modeli u obliku sistema jednačina i modeli u vidu eksplicitne zavisnosti izlaznih parametara od internih i eksternih parametara. Prvi od njih nazivaju se algoritamskim, a drugi analitičkim.

U zavisnosti od toga da li jednačine modela uzimaju u obzir inerciju procesa u objektu projektovanja, razlikuju se dinamički i statički modeli.

Koncept modela i simulacije.

Model u širem smislu- ovo je svaka slika, mentalni analog ili utvrđena slika, opis, dijagram, crtež, mapa, itd. bilo kojeg volumena, procesa ili fenomena, koji se koristi kao njegova zamjena ili predstavnik. Sam predmet, proces ili pojava naziva se original ovog modela.

Modeliranje - ovo je proučavanje bilo kojeg objekta ili sistema objekata konstruiranjem i proučavanjem njihovih modela. Ovo je upotreba modela za određivanje ili pojašnjenje karakteristika i racionalizaciju metoda izgradnje novoizgrađenih objekata.

Bilo koja metoda naučnog istraživanja zasniva se na ideji modeliranja, dok teorijske metode koriste različite vrste simboličkih, apstraktnih modela, a eksperimentalne metode koriste predmetne modele.

Prilikom istraživanja složena stvarna pojava zamjenjuje se nekom pojednostavljenom kopijom ili dijagramom; ponekad takva kopija služi samo da se pri sljedećem susretu prisjeti i prepozna željeni fenomen. Ponekad konstruisani dijagram odražava neke bitne karakteristike, omogućava razumevanje mehanizma pojave i omogućava predviđanje njene promene. Različiti modeli mogu odgovarati istom fenomenu.

Zadatak istraživača je da predvidi prirodu pojave i tok procesa.

Ponekad se dešava da je predmet dostupan, ali su eksperimenti s njim skupi ili dovode do ozbiljnih ekoloških posljedica. Znanje o takvim procesima se stiče korištenjem modela.

Važna stvar je da sama priroda nauke uključuje proučavanje ne jednog specifičnog fenomena, već široke klase srodnih fenomena. Pretpostavlja potrebu da se formulišu neke opšte kategoričke izjave, koje se nazivaju zakoni. Naravno, kod takve formulacije mnogi detalji se zanemaruju. Kako bi jasnije identificirali obrazac, oni svjesno idu na grubo, idealiziranje i skiciranje, odnosno ne proučavaju samu pojavu, već više ili manje točnu kopiju ili model. Svi zakoni su zakoni o modelima, i stoga ne čudi da su s vremenom neki naučne teorije smatraju se neprikladnim. To ne dovodi do kolapsa nauke, jer je jedan model zamijenjen drugim modernije.

Posebnu ulogu u nauci imaju matematički modeli, građevinski materijali i alati ovih modela – matematički koncepti. Oni su se akumulirali i poboljšavali hiljadama godina. Moderna matematika pruža izuzetno moćna i univerzalna sredstva istraživanja. Gotovo svaki pojam u matematici, svaki matematički objekt, počevši od pojma broja, je matematički model. Prilikom konstruisanja matematičkog modela predmeta ili fenomena koji se proučava, identifikuju se one njegove karakteristike, karakteristike i detalji koji, s jedne strane, sadrže više ili manje potpune informacije o objektu, as druge, omogućavaju matematičku formalizaciju. Matematička formalizacija znači da se karakteristike i detalji objekta mogu povezati s odgovarajućim adekvatnim matematičkim konceptima: brojevima, funkcijama, matricama itd. Tada se otkrivene i pretpostavljene veze i odnosi u predmetu koji se proučava između njegovih pojedinih dijelova i komponenti mogu zapisati pomoću matematičkih relacija: jednakosti, nejednakosti, jednačina. Rezultat je matematički opis procesa ili fenomena koji se proučava, odnosno njegov matematički model.

Proučavanje matematičkog modela uvijek je povezano s određenim pravilima djelovanja na objekte koji se proučavaju. Ova pravila odražavaju odnose između uzroka i posljedica.

Izgradnja matematičkog modela je centralna faza istraživanja ili dizajna svakog sistema. Sve naknadne analize objekta zavise od kvaliteta modela. Izgradnja modela nije formalna procedura. To uvelike ovisi o istraživaču, njegovom iskustvu i ukusu i uvijek se temelji na određenom eksperimentalnom materijalu. Model mora biti dovoljno precizan, adekvatan i pogodan za upotrebu.

Matematičko modeliranje.

Klasifikacija matematičkih modela.

Matematički modeli mogu bitideterministički I stohastički .

Odlučan model i su modeli u kojima se uspostavlja korespondencija jedan-na-jedan između varijabli koje opisuju objekt ili fenomen.

Ovaj pristup se zasniva na poznavanju mehanizama funkcionisanja objekata. Često je objekt koji se modelira složen i dešifriranje njegovog mehanizma može biti vrlo radno intenzivan i dugotrajan. U ovom slučaju postupite na sljedeći način: eksperimenti se izvode na originalu, rezultati se obrađuju i, bez upuštanja u mehanizam i teoriju simuliranog objekta, koristeći metode matematičke statistike i teorije vjerovatnoće, uspostavljaju veze između varijabli koje opisuju objekt. U ovom slučaju dobijatestohastički model . IN stohastički model, odnos između varijabli je slučajan, ponekad je fundamentalan. Utjecaj ogromnog broja faktora, njihova kombinacija dovodi do nasumičnog skupa varijabli koje opisuju objekt ili pojavu. Prema prirodi modusa, model jestatistički I dinamičan.

Statističkimodeluključuje opis odnosa između glavnih varijabli modeliranog objekta u stabilnom stanju bez uzimanja u obzir promjena parametara tokom vremena.

IN dinamičanmodeliopisani su odnosi između glavnih varijabli modeliranog objekta tokom prijelaza iz jednog načina rada u drugi.

Postoje modeli diskretno I kontinuirano, i mješovito tip. IN kontinuirano varijable uzimaju vrijednosti iz određenog intervala, udiskretnovarijable uzimaju izolovane vrijednosti.

Linearni modeli- sve funkcije i relacije koje opisuju model linearno zavise od varijabli inije linearnoinače.

Matematičko modeliranje.

Zahtjevi ,p predstavljeno modelima.

1. Svestranost- karakterizira potpunost modelske reprezentacije proučavanih svojstava realnog objekta.

1. Adekvatnost je sposobnost da se odraze željena svojstva objekta sa greškom koja nije veća od date.
2. Preciznost se ocjenjuje stepenom slaganja između vrijednosti karakteristika stvarnog objekta i vrijednosti ovih karakteristika dobivenih korištenjem modela.
3. Ekonomičan - određuje se utroškom memorijskih resursa računara i vremena za njegovu implementaciju i rad.

Matematičko modeliranje.

Glavne faze modeliranja.

1. Izjava o problemu.

Određivanje svrhe analize i načina njenog postizanja i razvijanje opšteg pristupa problemu koji se proučava. U ovoj fazi potrebno je duboko razumijevanje suštine zadatka. Ponekad ispravno postavljanje problema nije ništa manje teško od rješavanja. Inscenacija nije formalan proces, nema općih pravila.

2. Proučavanje teorijskih osnova i prikupljanje informacija o originalnom objektu.

U ovoj fazi odabire se ili razvija odgovarajuća teorija. Ako ga nema, uspostavljaju se uzročno-posljedične veze između varijabli koje opisuju objekt. Ulazni i izlazni podaci se određuju, te se donose pojednostavljujuće pretpostavke.

3. Formalizacija.

Sastoji se od odabira sistema simbola i njihovog korištenja za zapisivanje odnosa između komponenti objekta u obliku matematičkih izraza. Utvrđena je klasa problema na koju se može svrstati rezultirajući matematički model objekta. Vrijednosti nekih parametara možda još nisu specificirane u ovoj fazi.

4. Odabir metode rješenja.

U ovoj fazi se uspostavljaju konačni parametri modela uzimajući u obzir radne uslove objekta. Za nastali matematički problem bira se metoda rješenja ili se razvija posebna metoda. Prilikom odabira metode uzimaju se u obzir znanje korisnika, njegove preferencije i preferencije programera.

5. Implementacija modela.

Nakon razvoja algoritma, piše se program koji se debagira, testira i dobiva rješenje za željeni problem.

6. Analiza primljenih informacija.

Dobijena i očekivana rješenja se upoređuju i prati greška modeliranja.

7. Provjera adekvatnosti stvarnog objekta.

Upoređuju se rezultati dobijeni modelombilo s dostupnim informacijama o objektu, ili se provodi eksperiment i njegovi rezultati se upoređuju sa izračunatim.

Proces modeliranja je iterativan. U slučaju nezadovoljavajućih rezultata faza 6. ili 7. vrši se povratak u jednu od ranijih faza, što je moglo dovesti do razvoja neuspješnog modela. Ova i sve naredne faze se rafiniraju i takvo usavršavanje modela se dešava dok se ne dobiju prihvatljivi rezultati.

Matematički model je približan opis bilo koje klase pojava ili objekata stvarnog svijeta na jeziku matematike. Glavna svrha modeliranja je istraživanje ovih objekata i predviđanje rezultata budućih promatranja. Međutim, modeliranje je i metoda razumijevanja svijeta oko nas, omogućavajući njegovu kontrolu.

Matematičko modeliranje i povezani kompjuterski eksperimenti su neophodni u slučajevima kada je eksperiment u punoj veličini nemoguć ili težak iz ovog ili onog razloga. Na primjer, nemoguće je postaviti prirodni eksperiment u historiji kako bi se provjerilo “šta bi se dogodilo da...” Nemoguće je provjeriti ispravnost jedne ili druge kosmološke teorije. Moguće je, ali malo vjerovatno da će biti razumno, eksperimentirati sa širenjem bolesti, kao što je kuga, ili izvesti nuklearnu eksploziju kako bi se proučile njene posljedice. Međutim, sve se to može uraditi na računaru tako što se prvo konstruišu matematički modeli fenomena koji se proučavaju.

1.1.2 2. Glavne faze matematičkog modeliranja

1) Izgradnja modela. U ovoj fazi precizira se neki „nematematički“ objekt – prirodni fenomen, dizajn, ekonomski plan, proizvodni proces itd. U ovom slučaju, po pravilu, jasan opis situacije je težak. Prvo se identifikuju glavne karakteristike fenomena i veze između njih na kvalitativnom nivou. Zatim se pronađene kvalitativne zavisnosti formulišu jezikom matematike, odnosno gradi se matematički model. Ovo je najteža faza modeliranja.

2) Rješavanje matematičkog problema do kojeg vodi model. U ovoj fazi se velika pažnja poklanja razvoju algoritama i numeričkih metoda za rješavanje problema na računaru, uz pomoć kojih se rezultat može pronaći sa potrebnom tačnošću iu prihvatljivom vremenu.

3) Interpretacija dobijenih posledica iz matematičkog modela.Posljedice koje proizilaze iz modela na jeziku matematike tumače se jezikom prihvaćenim u ovoj oblasti.

4) Provjera adekvatnosti modela.U ovoj fazi se utvrđuje da li se eksperimentalni rezultati slažu s teorijskim posljedicama modela u određenoj preciznosti.

5) Modifikacija modela.U ovoj fazi ili se model komplikuje kako bi bio adekvatniji realnosti, ili se pojednostavljuje kako bi se postiglo praktično prihvatljivo rješenje.

1.1.3 3. Klasifikacija modela

Modeli se mogu klasifikovati prema različitim kriterijumima. Na primjer, prema prirodi problema koji se rješavaju, modeli se mogu podijeliti na funkcionalne i strukturalne. U prvom slučaju, kvantitativno se izražavaju sve veličine koje karakteriziraju pojavu ili predmet. Štaviše, neke od njih se smatraju nezavisnim varijablama, dok se druge smatraju funkcijama ovih veličina. Matematički model je obično sistem jednačina različitih tipova (diferencijalni, algebarski, itd.) koji uspostavljaju kvantitativne odnose između veličina koje se razmatraju. U drugom slučaju, model karakterizira strukturu složenog objekta koji se sastoji od pojedinačnih dijelova, između kojih postoje određene veze. Obično se ove veze ne mogu kvantificirati. Za konstruiranje takvih modela zgodno je koristiti teoriju grafova. Graf je matematički objekat koji predstavlja skup tačaka (vrhova) na ravni ili u prostoru, od kojih su neke povezane linijama (ivicama).

Na osnovu prirode početnih podataka i rezultata, modeli predviđanja se mogu podijeliti na determinističke i vjerovatno-statističke. Modeli prvog tipa daju određena, nedvosmislena predviđanja. Modeli drugog tipa su zasnovani na statističke informacije, a predviđanja dobijena uz njihovu pomoć su po prirodi vjerovatnoća.

MATEMATIČKO MODELIRANJE I OPĆA KOMPJUTERIZACIJA ILI SIMULACIJSKI MODELI

Sada, kada se u zemlji odvija gotovo univerzalna kompjuterizacija, čujemo izjave stručnjaka različitih profesija: „Ako uvedemo kompjuter, svi problemi će se odmah riješiti.“ Ovo gledište je potpuno netačno, sami računari, bez matematičkih modela određenih procesa, neće moći ništa, a o univerzalnoj kompjuterizaciji se može samo sanjati.

U prilog navedenom pokušat ćemo potkrijepiti potrebu za modeliranjem, uključujući i matematičko modeliranje, te otkriti njegove prednosti u ljudskoj spoznaji i transformaciji. vanjski svijet, identifikujemo postojeće nedostatke i idemo... na simulacijsko modeliranje, tj. modeliranje pomoću kompjutera. Ali sve je u redu.

Prije svega, odgovorimo na pitanje: šta je model?

Model je materijalni ili mentalno predstavljeni predmet, koji u procesu spoznaje (proučavanja) zamjenjuje original, čuvajući neka tipična svojstva koja su bitna za ovo proučavanje.

Dobro izgrađen model je pristupačniji za istraživanje nego pravi objekat. Na primjer, eksperimenti s ekonomijom zemlje u obrazovne svrhe, ovdje ne možete bez modela.

Sumirajući rečeno, možemo odgovoriti na pitanje: čemu služe modeli? Da bi

• razumiju kako objekt funkcionira (njegovu strukturu, svojstva, zakonitosti razvoja, interakciju sa vanjskim svijetom).
• naučiti upravljati objektom (procesom) i odrediti najbolje strategije
• predvidjeti posljedice udara na objekat.

Šta je pozitivno kod svakog modela? Omogućava vam da steknete nova znanja o objektu, ali je, nažalost, nepotpuna u jednom ili drugom stepenu.

Modelformulisan na jeziku matematike korišćenjem matematičkih metoda naziva se matematički model.

Polazna tačka za njegovu izgradnju obično je neki problem, na primjer ekonomski. I deskriptivni i optimizacijski matematički su široko rasprostranjeni, karakterišu različite ekonomskim procesima i pojave, na primjer:

• alokacija resursa
• racionalno sečenje
• transport
• konsolidacija preduzeća
• planiranje mreže.

Kako se konstruiše matematički model?

• Prvo se formuliše svrha i predmet studije.
• Drugo, istaknute su najvažnije karakteristike koje odgovaraju ovom cilju.
• Treće, verbalno se opisuju odnosi između elemenata modela.
• Zatim se odnos formalizira.
• I izračuna se pomoću matematičkog modela i analizira se rezultirajuće rješenje.

Koristeći ovaj algoritam, možete riješiti bilo koji problem optimizacije, uključujući višekriterijumski, tj. onaj u kojem se ne teži jednom, već nekoliko ciljeva, uključujući i kontradiktorne.

Dajemo primjer. Teorija queuing– problem čekanja u redu. Potrebno je uravnotežiti dva faktora - troškove održavanja servisnih uređaja i troškove održavanja u redu. Nakon konstruisanja formalnog opisa modela, proračuni se vrše analitičkim i računskim metodama. Ako je model dobar, onda su odgovori pronađeni uz njegovu pomoć adekvatni sistemu modeliranja; ako je loš, onda se mora poboljšati i zamijeniti. Kriterijum adekvatnosti je praksa.

Optimizacijski modeli, uključujući i višekriterijumske, imaju zajedničku osobinu - poznat je cilj (ili više ciljeva), za čije postizanje se često moraju nositi sa složenim sistemima, gdje se ne radi toliko o rješavanju problema optimizacije, već o proučavanju i predviđanju. stanja u zavisnosti od odabranih strategija upravljanja. I tu smo suočeni sa poteškoćama implementacije prethodnog plana. One su sljedeće:

• složen sistem sadrži mnogo veza između elemenata
• na stvarni sistem utiču slučajni faktori, uzimanje u obzir analitički je nemoguće
• mogućnost poređenja originala sa modelom postoji samo na početku i nakon upotrebe matematičkog aparata, jer srednji rezultati možda nemaju analoga u stvarnom sistemu.

U vezi s navedenim poteškoćama koje se javljaju prilikom proučavanja složenih sistema, praksa je zahtijevala fleksibilniju metodu, a pojavila se - „simulacijsko modeliranje“.

Tipično, simulacijski model se podrazumijeva kao skup kompjuterskih programa koji opisuje funkcionisanje pojedinačnih blokova sistema i pravila interakcije između njih. Upotreba slučajne varijablečini neophodnim izvođenje ponovljenih eksperimenata sa simulacionim sistemom (na računaru) i naknadnih Statistička analiza dobijene rezultate. Vrlo čest primjer korištenja simulacijskih modela je rješavanje problema čekanja korištenjem MONTE CARLO metode.

Dakle, rad sa simulacionim sistemom je eksperiment koji se izvodi na računaru. Koje su prednosti?

– Veća blizina realnom sistemu od matematičkih modela;

– Princip bloka omogućava provjeru svakog bloka prije njegovog uključivanja u cjelokupni sistem;

– Upotreba zavisnosti složenije prirode koje se ne mogu opisati jednostavnim matematičkim odnosima.

Navedene prednosti određuju nedostatke

– izgradnja simulacionog modela traje duže, teža je i skuplja;

– za rad sa simulacionim sistemom morate imati računar koji odgovara času;

– interakcija između korisnika i simulacionog modela (interfejsa) ne bi trebala biti previše složena, pogodna i dobro poznata;

-izgradnja simulacionog modela zahtijeva dublje proučavanje stvarnog procesa nego matematičko modeliranje.

Postavlja se pitanje: može li simulacijsko modeliranje zamijeniti metode optimizacije? Ne, ali ih zgodno nadopunjuje. Simulacijski model je program koji implementira određeni algoritam, radi optimizacije kontrole kojim se prvo rješava problem optimizacije.

Dakle, ni kompjuter, ni matematički model, ni algoritam za njegovo proučavanje sami po sebi ne mogu riješiti dovoljno složen problem. Ali zajedno predstavljaju snagu koja nam omogućava da razumijemo svijet oko sebe i upravljamo njime u interesu čovjeka.

1.2 Klasifikacija modela

1.2.1 Klasifikacija uzimajući u obzir faktor vremena i područje upotrebe (Makarova N.A.) Statički model - to je kao jednokratni snimak informacija o objektu (rezultat jedne ankete) Dynamic model-dozvoljava vidjeti promjene na objektu tokom vremena (kartica u klinici) Modeli se također mogu klasificirati prema kojoj oblasti znanja pripadaju?(biološki, istorijski, okoliš, itd.) Povratak na vrh

1.2.2 Klasifikacija prema području upotrebe (Makarova N.A.) edukativni- vizuelno priručnici, simulatori oh, oni koji zavijaju programe Iskusni modeli-smanjeni kopije (auto u aerotunelu) Naučno-tehnički sinhrofazotron, stalak za ispitivanje elektronske opreme igranje- ekonomski, sportske, poslovne igre imitacija- Ne Oni jednostavno odražavaju stvarnost, ali je oponašaju (lijekovi se testiraju na miševima, eksperimenti se izvode u školama, itd. Ova metoda modeliranja se zove pokušaja i greške Povratak na vrh

1.2.3 Klasifikacija prema načinu prezentacije Makarov N.A.) Materijal modeli- inače može se nazvati subjektom. Oni percipiraju geometrijske i fizička svojstva originalni i uvijek imaju pravo oličenje Informacije modeli nisu dozvoljeni dodirnuti ili videti. Oni se zasnivaju samo na informacijama .I informativno model je skup informacija koji karakterišu svojstva i stanja objekta, procesa, pojave, kao i odnos sa vanjskim svijetom. Verbalni model - informacioni model u mentalnom ili govornom obliku. Ikona informacije o modelu model izražen znakovima ,tj.. bilo kojim formalnim jezikom. Model kompjutera - m Model implementiran uz pomoć softverskog okruženja.

1.2.4 Klasifikacija modela data u knjizi "Earth Informatics" (Gein A.G.)) „...evo naizgled jednostavnog zadatka: koliko će vremena trebati da se pređe pustinju Karakum? Odgovor je naravno zavisi od načina prevoza. Ako putuj dalje kamile, onda će trajati jedan termin, drugi ako idete autom, treći ako letite avionom. I što je najvažnije, za planiranje putovanja potrebni su različiti modeli. Za prvi slučaj, traženi model se može naći u memoarima poznati istraživači pustinje: na kraju krajeva, ovdje ne možete bez informacija o oazama i stazama kamila. U drugom slučaju, informacije sadržane u atlasu puteva su nezamjenjive. U trećem, možete koristiti red letenja. Ova tri modela se razlikuju – memoari, atlas i raspored – i priroda prezentacije informacija. U prvom slučaju, model je predstavljen verbalnim opisom informacije (opisni model), u drugom - kao fotografija iz života (model u punoj veličini), u trećem - tabela sa simbolima: vrijeme polaska i dolaska, dan u sedmici, cijena karte (tzv. model znaka) Međutim, ova podjela je vrlo proizvoljna - u memoarima možete pronaći karte i dijagrame (elemente punog modela), na kartama se nalaze simboli (elementi simboličkog modela), u rasporedu postoji dekodiranje simbola (elementa deskriptivnog modela). Dakle, ova klasifikacija modela... po našem mišljenju je neproduktivna" Po mom mišljenju, ovaj fragment demonstrira deskriptivni (divan jezik i stil prezentacije) i, takoreći, sokratovski stil poučavanja zajednički za sve Heinove knjige (Svi misle da je to ovako. U potpunosti se slažem s tobom, ali ako bolje pogledaš...). U ovakvim knjigama je prilično teško pronaći jasan sistem definicija (nije namjera autora). U udžbeniku koji je uredio N.A. Makarova pokazuje drugačiji pristup - definicije pojmova su jasno istaknute i donekle statične.

1.2.5 Klasifikacija modela data u priručniku A.I. Bočkina Postoji neuobičajeno veliki broj metoda klasifikacije .P donesi samo neki od najpoznatijih terena i znaci: diskretnost I kontinuitet, matrica i skalarni modeli, statički i dinamički modeli, analitički i informacioni modeli, predmetni i figurativno-znakovi modeli, veliki i nerazmjerni... Svaki znak daje određenu znanje o svojstvima modela i simulirane stvarnosti. Znak može poslužiti kao nagovještaj o načinu završenog ili predstojećeg modeliranja. Diskretnost i kontinuitet Diskretnost - karakteristična karakteristika kompjuterskih modela .Nakon svega kompjuter može biti u konačnom, ali veoma velikom broju stanja. Stoga, čak i ako je objekt neprekidan (vrijeme), u modelu će se mijenjati u skokovima. Moglo bi se razmotriti kontinuitet znak modela ne-kompjuterskog tipa. Šansa i determinizam . neizvjesnost, nezgoda u početku se protivio kompjuterski svet: Algoritam koji je ponovo pokrenut trebao bi se ponoviti i dati iste rezultate. Ali za simulaciju slučajnih procesa koriste se senzori pseudoslučajnih brojeva. Uvođenje slučajnosti u determinističke probleme dovodi do moćnih i zanimljivih modela (Izračunavanje površine slučajnim bacanjem). Matrixity - skalarnost. Dostupnost parametara matrica model ukazuje na njegovu veću složenost i, eventualno, tačnost u odnosu na skalar. Na primjer, ako ne identifikujemo sve starosne grupe stanovništva zemlje, s obzirom na njenu promjenu u cjelini, dobićemo skalarni model (npr. Malthusov model); ako ga izolujemo, dobićemo matricu (pol -dob) model. Upravo je matrični model omogućio da se objasne fluktuacije u fertilitetu nakon rata. Statička dinamika. Ova svojstva modela obično su unaprijed određena svojstvima stvarnog objekta. Ovdje nema slobode izbora. Samo statički model bi mogao biti korak ka dinamičan, ili se neke od varijabli modela za sada mogu smatrati nepromijenjenim. Na primjer, satelit se kreće oko Zemlje, na njegovo kretanje utiče Mjesec. Ako smatramo da je Mjesec stacionaran tokom satelitske revolucije, dobićemo jednostavniji model. Analitički modeli. Opis procesa analitički, formule i jednačine. Ali kada pokušavate izgraditi graf, prikladnije je imati tablice vrijednosti funkcija i argumenata. Simulacijski modeli. Imitacija modeli koji su se pojavili davno u obliku kopija brodova, mostova, itd. su se pojavili davno, ali se nedavno razmatraju u vezi sa kompjuterima. Znajući kako je povezan elemenata modela analitički i logički, lakše je ne rješavati sistem određenih relacija i jednačina, već realni sistem prikazati u memoriji računala, uzimajući u obzir veze između memorijskih elemenata. Informacijski modeli. Informacije Modeli se obično suprotstavljaju matematičkim, odnosno algoritamskim. Ovdje je važan omjer količine podataka i algoritama. Ako ima više podataka ili je važnije, imamo informacioni model, inače - matematički. Predmetni modeli. Ovo je prvenstveno dječji model - igračka. Ikonični modeli. Ovo je prvenstveno model u ljudskom umu: figurativno, ako prevladavaju grafičke slike, i iconic, ako ima više riječi i/ili brojeva. Modeli sa figurativnim znakovima su izgrađeni na računaru. Modeli u skali. TO velikih razmera modeli su modeli subjekta ili figurativni modeli koji ponavljaju oblik objekta (karte).

Dinamiku razvoja objekta, unutrašnju suštinu odnosa njegovih elemenata i različitih stanja u procesu projektovanja moguće je pratiti samo uz pomoć modela koji koriste princip dinamičke analogije, odnosno uz pomoć matematičkih modeli.

Matematički model je sistem matematičkih odnosa koji opisuju proces ili fenomen koji se proučava. Za sastavljanje matematičkog modela možete koristiti bilo koja matematička sredstva - teoriju skupova, matematičku logiku, jezik diferencijalnih ili integralnih jednadžbi. Proces sastavljanja matematičkog modela naziva se matematičko modeliranje. Kao i druge vrste modela, matematički model predstavlja problem u pojednostavljenom obliku i opisuje samo svojstva i obrasce koji su najvažniji za dati objekt ili proces. Matematički model omogućava multilateralnost kvantitativna analiza. Promjenom početnih podataka, kriterija, ograničenja svaki put možete dobiti optimalno rješenje pod datim uslovima i odrediti daljem pravcu traži.

Stvaranje matematičkih modela zahtijeva od njihovih programera, pored poznavanja formalno-logičkih metoda, temeljitu analizu predmeta koji se proučava kako bi se striktno formulirale glavne ideje i pravila, kao i identificirala dovoljna količina pouzdanih činjeničnih, statistički i regulatorni podaci.

Treba napomenuti da se svi trenutno korišteni matematički modeli odnose na preskriptivno. Svrha razvoja preskriptivnih modela je da se ukaže na smjer pronalaženja rješenja, a svrha razvoja opisivati modeli su odraz stvarnih procesa ljudskog mišljenja.

Prilično je rašireno gledište da je uz pomoć matematike moguće dobiti samo neke numeričke podatke o objektu ili procesu koji se proučava. „Naravno, mnoge matematičke discipline imaju za cilj dobijanje konačnog numeričkog rezultata. Ali svesti matematičke metode samo na problem dobijanja broja znači beskrajno osiromašiti matematiku, osiromašiti mogućnost tog moćnog oružja koje je danas u rukama istraživača...

Matematički model napisan na jednom ili drugom privatnom jeziku (na primjer, diferencijalne jednadžbe) odražava određena svojstva stvarnih fizičkih procesa. Kao rezultat analize matematičkih modela, dobijamo, pre svega, kvalitativne ideje o karakteristikama procesa koji se proučavaju, uspostavljamo obrasce koji određuju dinamičke nizove uzastopnih stanja i dobijamo priliku da predvidimo tok procesa. i odrediti njegove kvantitativne karakteristike.”

Matematički modeli se koriste u mnogim poznatim metodama modeliranja. Među njima su razvoj modela koji opisuju statičko i dinamičko stanje objekta, optimizacijski modeli.

Primjer matematičkih modela koji opisuju statičko i dinamičko stanje objekta mogu biti različite metode tradicionalnih strukturnih proračuna. Proces proračuna, predstavljen u obliku niza matematičkih operacija (algoritma), omogućava nam da kažemo da je sastavljen matematički model za izračunavanje određene strukture.

IN optimizacija modeli sadrže tri elementa:

Objektivna funkcija koja odražava prihvaćeni kriterijum kvaliteta;

Podesivi parametri;

Nametnuta ograničenja.

Svi ovi elementi moraju biti matematički opisani u obliku jednačina, logičkih uslova, itd. Rješavanje problema optimizacije je proces pronalaženja minimalne (maksimalne) vrijednosti funkcije cilja uz pridržavanje specificiranih ograničenja. Rezultat rješenja se smatra optimalnim ako ciljna funkcija dostigne svoju ekstremnu vrijednost.

Primjer optimizacijskog modela je matematički opis kriterija “dužine priključka” u metodi alternativnog projektiranja industrijskih zgrada.

Funkcija cilja odražava ukupnu ponderisanu dužinu svih funkcionalnih veza, koja bi trebala težiti minimalnoj:

gdje je vrijednost težine veze elementa sa ;

– dužina veze između i elemenata;

– ukupan broj postavljenih elemenata.

Budući da su površine postavljenih elemenata prostorija jednake u svim varijantama projektantskog rješenja, varijante se međusobno razlikuju samo po različitim razmacima između elemenata i njihovom međusobnom položaju. Shodno tome, podesivi parametri u ovom slučaju su koordinate elemenata postavljenih na tlocrte.

Nametnuta ograničenja na lokaciju elemenata (na unaprijed određenom mjestu na planu, na vanjskom obodu, jedan na drugome, itd.) i na dužinu veza (dužine veza između elemenata su strogo određene, minimalne ili su specificirane maksimalne granice vrijednosti, granice promjene su specificirane vrijednosti) su napisane formalno.

Opcija se smatra optimalnom (prema ovom kriteriju) ako je vrijednost funkcije cilja izračunata za ovu opciju minimalna.

Različiti matematički modeli – ekonomsko-matematički model– predstavlja model komunikacije ekonomske karakteristike i sistemske parametre.

Primjer ekonomsko-matematičkih modela je matematički opis kriterija troškova u gore navedenoj metodi alternativnog projektovanja industrijskih zgrada. Matematički modeli dobijeni korištenjem metoda matematičke statistike odražavaju ovisnost cijene okvira, temelja, zemljanih radova jednospratnih i višespratnih industrijskih zgrada i njihove visine, raspona i nagiba nosivih konstrukcija.

Na osnovu metode uzimanja u obzir uticaja slučajnih faktora na donošenje odluka, matematički modeli se dele na determinističke i probabilističke. Deterministički model ne uzima u obzir uticaj slučajnih faktora u procesu rada sistema i zasniva se na analitičkom prikazu obrazaca funkcionisanja. Vjerovatni (stohastički) model uzima u obzir uticaj slučajnih faktora tokom rada sistema i zasniva se na statističkim, tj. kvantitativna procjena fenomena mase, omogućavajući uzimanje u obzir njihove nelinearnosti, dinamike, slučajnih poremećaja opisanih različitim zakonima raspodjele.

Koristeći navedene primjere, možemo reći da se matematički model koji opisuje kriterij „dužina veza“ odnosi na determinističke modele, a matematički modeli koji opisuju grupu kriterija „troškovi“ se odnose na vjerovatnostne modele.

Jezički, semantički i informacioni modeli

Matematički modeli imaju očigledne prednosti jer kvantificiranje aspekata problema daje jasnu sliku prioriteta ciljeva. Važno je da specijalista uvijek može opravdati donošenje određene odluke iznošenjem relevantnih brojčanih podataka. Međutim, potpuni matematički opis projektne aktivnosti nemoguće, stoga se većina problema riješenih u početnoj fazi arhitektonsko-građevinskog projektiranja odnosi na loše strukturirano.

Jedna od karakteristika polustrukturiranih problema je verbalni opis kriterijuma koji se u njima koriste. Uvođenje kriterijuma opisanih prirodnim jezikom (takvi kriterijumi se nazivaju lingvistički), omogućava korištenje manje složenih metoda za pronalaženje optimalnih dizajnerskih rješenja. S obzirom na takve kriterijume, dizajner donosi odluku na osnovu poznatih, neupitnih izraza ciljeva.

Smisleni opis svih aspekata problema uvodi sistematizaciju u proces njegovog rješavanja, s jedne strane, as druge, uvelike olakšava rad specijalistima koji, bez proučavanja relevantnih grana matematike, mogu više rješavati svoje stručne probleme. racionalno. Na sl. 5.2 je dato lingvistički model, opisujući mogućnosti stvaranja uslova za prirodnu ventilaciju u različitim mogućnostima rasporeda pekare.

Ostale prednosti smislenog opisa problema uključuju:

Sposobnost opisivanja svih kriterija koji određuju djelotvornost dizajnerskog rješenja. Istovremeno, važno je da se u opis mogu uvesti kompleksni koncepti, a vidno polje specijaliste, uz kvantitativne, mjerljive faktore, uključivati ​​i one kvalitativne, nemjerljive. Stoga će se u trenutku donošenja odluke koristiti sve subjektivne i objektivne informacije;

Rice. 5.2 Opis sadržaja kriterija "ventilacije" u obliku jezičkog modela

Sposobnost nedvosmislene procjene stepena postizanja cilja u opcijama za ovaj kriterij na osnovu formulacija koje su prihvatili stručnjaci, što osigurava pouzdanost primljenih informacija;

Sposobnost uzimanja u obzir neizvjesnosti povezane s nepotpunim poznavanjem svih posljedica donesenih odluka, kao i prediktivnih informacija.

Modeli koji koriste prirodni jezik za opisivanje predmeta proučavanja također uključuju semantičke modele.

Semantički model- postoji takva reprezentacija objekta koja odražava stepen međusobne povezanosti (blizine) između različitih komponenti, aspekata, svojstava objekta. Međusobna povezanost ne znači relativan prostorni raspored, već povezanost u značenju.

Dakle, u semantičkom smislu, odnos između koeficijenta prirodnog osvjetljenja i svjetlosne površine prozirnih ograda će biti predstavljen kao bliži nego odnos između prozorskih otvora i susjednih slijepih dijelova zida.

Skup relacija povezivanja pokazuje šta svaki odabrani element u objektu i objektu u cjelini predstavlja. Istovremeno, semantički model odražava, pored stepena povezanosti različitih aspekata u objektu, i sadržaj pojmova. Elementarni modeli su koncepti izraženi prirodnim jezikom.

Konstrukcija semantičkih modela zasniva se na principima prema kojima se koncepti i veze ne mijenjaju tokom cijelog vremena korištenja modela; sadržaj jednog koncepta se ne prenosi na drugi; veze između dva pojma imaju jednaku i neorijentisanu interakciju u odnosu na njih.

Svaka analiza modela ima za cilj da izabere elemente modela koji imaju određeni zajednički kvalitet. Ovo daje osnovu za konstruisanje algoritma koji uzima u obzir samo direktne veze. Prilikom pretvaranja modela u neusmjereni graf, put se nalazi između dva elementa koji prati kretanje od jednog do drugog elementa, koristeći svaki element samo jednom. Redoslijed u kojem se elementi pojavljuju naziva se redoslijed dva elementa. Sekvence mogu imati različite dužine. Najkraći od njih se nazivaju odnosima elemenata. Niz dva elementa postoji čak i ako postoji direktna veza između njih, ali u ovom slučaju nema veze.

Kao primjer semantičkog modela dajemo opis rasporeda stana uz komunikacijske veze. Koncept je prostor stana. Direktna veza znači funkcionalno povezivanje dvije prostorije, na primjer vratima (vidi tabelu 5.1).

Transformacija modela u oblik neusmjerenog grafa nam omogućava da dobijemo niz elemenata (slika 5.3).

Primjeri niza formiranih između elementa 2 (kupatilo) i elementa 6 (ostava) dati su u tabeli. 5.2. Kao što se može vidjeti iz tabele, sekvenca 3 predstavlja odnos ova dva elementa.

Tabela 5.1

Opis rasporeda stana

Rice. 5.3 Opis planskog rješenja u obliku neusmjerenog grafa

Šta je matematički model?

Koncept matematičkog modela.

Matematički model je vrlo jednostavan koncept. I veoma važno. Matematički modeli su ti koji povezuju matematiku i stvarni život.

Govoreći jednostavnim jezikom, matematički model je matematički opis bilo koje situacije. To je sve. Model može biti primitivan, ili može biti super složen. Kakva god da je situacija, takav je model.)

U bilo kom (ponavljam - u bilo kom!) u slučaju kada treba nešto prebrojati i izračunati - bavimo se matematičkim modeliranjem. Čak i ako ne sumnjamo.)

P = 2 CB + 3 CM

Ovaj unos će biti matematički model troškova naših kupovina. Model ne uzima u obzir boju pakovanja, rok trajanja, ljubaznost blagajnika itd. Zato ona model, nije stvarna kupovina. Ali troškovi, tj. šta nam treba- Saznaćemo sigurno. Naravno, ako je model ispravan.

Korisno je zamisliti šta je matematički model, ali to nije dovoljno. Najvažnije je da budete u mogućnosti da napravite ove modele.

Izrada (konstrukcija) matematičkog modela problema.

Stvoriti matematički model znači prevesti uslove problema u matematički oblik. One. pretvoriti riječi u jednačinu, formulu, nejednakost itd. Štaviše, transformirajte ga tako da ova matematika striktno odgovara originalni tekst. U suprotnom, na kraju ćemo dobiti matematički model nekog drugog nama nepoznatog problema.)

Tačnije, trebate

Na svijetu postoji beskrajan broj zadataka. Stoga ponudite jasne upute korak po korak za izradu matematičkog modela bilo koji zadaci su nemogući.

Ali postoje tri glavne tačke na koje morate obratiti pažnju.

1. Bilo koji problem sadrži tekst, što je čudno.) Ovaj tekst, po pravilu, sadrži eksplicitne, otvorene informacije. Brojevi, vrijednosti itd.

2. Bilo koji problem ima skrivene informacije. Ovo je tekst koji pretpostavlja dodatno znanje u vašoj glavi. Nema šanse bez njih. Osim toga, matematičke informacije su često skrivene iza jednostavnih riječi i... izmiču pozornosti.

3. Svaki zadatak se mora dati međusobno povezivanje podataka. Ova veza može biti data u običnom tekstu (nešto je jednako nečemu), ili može biti skrivena iza jednostavnih riječi. Ali jednostavne i jasne činjenice se često zanemaruju. A model nije sastavljen ni na koji način.

Odmah ću reći: da biste primijenili ove tri tačke, morate pročitati problem (i pažljivo!) nekoliko puta. Uobičajena stvar.

A sada - primjeri.

Počnimo s jednostavnim problemom:

Petrović se vratio sa pecanja i ponosno predstavio svoj ulov porodici. Pažljivijim ispitivanjem ispostavilo se da je 8 riba došlo iz sjevernih mora, 20% svih riba je došlo iz južnih mora, a nijedna nije došla iz lokalne rijeke u kojoj je Petrović lovio. Koliko je ribe Petrović kupio u prodavnici morskih plodova?

Sve ove riječi treba pretvoriti u neku vrstu jednačine. Da biste to uradili trebate, ponavljam, uspostaviti matematičku vezu između svih podataka u problemu.

Gdje početi? Prvo, izdvojimo sve podatke iz zadatka. Počnimo redom:

Obratimo pažnju na prvu tačku.

Koji je ovde? eksplicitno matematičke informacije? 8 riba i 20%. Ne puno, ali nam ne treba puno.)

Obratimo pažnju na drugu tačku.

Tražite skriveno informacije. Ovdje je. ovo su riječi: „20% sve ribe". Ovdje treba shvatiti koji su procenti i kako se računaju. Inače se problem ne može riješiti. Upravo to Dodatne informacije, koji bi trebao biti u tvojoj glavi.

Tu je i matematički informacije koje su potpuno nevidljive. Ovo pitanje zadatka: "Koliko sam ribe kupio..." Ovo je takođe broj. A bez toga se neće formirati nijedan model. Stoga, označimo ovaj broj slovom "X". Još ne znamo čemu je x jednako, ali ova oznaka će nam biti vrlo korisna. Više detalja o tome šta treba poduzeti za X i kako se nositi s tim napisano je u lekciji Kako rješavati zadatke iz matematike? Zapišimo to odmah:

x komada - ukupan broj riba.

U našem problemu južne ribe su date u procentima. Moramo ih pretvoriti u komade. Za što? Šta onda unutra bilo koji problem modela mora biti nacrtan u istoj vrsti količina. Komadi - tako da je sve u komadima. Ako se daju, recimo, sati i minute, sve prevodimo u jednu stvar - ili samo sate, ili samo minute. Nije bitno šta je. Važno je da sve vrijednosti su bile istog tipa.

Vratimo se na otkrivanje informacija. Ko ne zna šta je interes, nikada to neće otkriti, da... Ali ko zna odmah će reći da je interes ovde od ukupan broj ribe se daju. A ovaj broj ne znamo. Ništa neće raditi!

Nije uzalud ukupan broj ribe (u komadima!) "X" određen. Južne ribe neće biti moguće prebrojati u komadima, ali možemo ih zapisati? Volim ovo:

0,2 x komada - broj riba iz južnih mora.

Sada smo preuzeli sve informacije iz zadatka. I očigledne i skrivene.

Obratimo pažnju na treću tačku.

Tražite matematička veza između podataka zadatka. Ova veza je toliko jednostavna da je mnogi ne primjećuju... Ovo se često dešava. Ovdje je korisno jednostavno zapisati prikupljene podatke na hrpu i vidjeti šta je šta.

šta imamo? Jedi 8 komada sjeverne ribe, 0,2 x komada- južna riba i x riba- ukupan iznos. Da li je moguće nekako povezati ove podatke? Yes Easy! Ukupan broj riba jednaki zbir južnog i severnog! Pa ko bi rekao...) Pa zapisujemo:

x = 8 + 0,2x

Ovo je jednadžba matematički model našeg problema.

Imajte na umu da u ovom problemu Od nas se ne traži ništa da preklopimo! Mi smo sami, van glave, shvatili da će nam zbir južne i sjeverne ribe dati ukupan broj. Stvar je toliko očigledna da ostaje neprimećena. Ali bez ovog dokaza, matematički model se ne može stvoriti. Volim ovo.

Sada možete koristiti punu snagu matematike da riješite ovu jednačinu). Upravo zbog toga je sastavljen matematički model. Rješavamo ovu linearnu jednačinu i dobijamo odgovor.

odgovor: x=10

Hajde da napravimo matematički model drugog problema:

Pitali su Petrovića: "Imaš li puno novca?" Petrović je počeo da plače i odgovorio: "Da, samo malo. Ako potrošim polovinu novca, a pola ostatka, ostaće mi samo jedna vreća novca..." Koliko novca ima Petrović ?

Opet radimo tačku po tačku.

1. Tražimo eksplicitne informacije. Nećete ga odmah pronaći! Eksplicitna informacija je jedan torba za novac. Ima još nekih polovina... Pa, to ćemo pogledati u drugom pasusu.

2. Tražimo skrivene informacije. Ovo su polovice. Šta? Nije baš jasno. Tražimo dalje. Postoji još jedno pitanje: "Koliko novca ima Petrović?" Označimo iznos novca slovom "X":

X- sav novac

I ponovo čitamo problem. Već znam da je Petrović X novac. Ovdje će polovice raditi! Zapisujemo:

0,5 x- pola novca.

Ostatak će također biti polovina, tj. 0,5 x. A pola pola se može napisati ovako:

0,5 0,5 x = 0,25x- polovina ostatka.

Sada su sve skrivene informacije otkrivene i snimljene.

3. Tražimo vezu između snimljenih podataka. Ovdje možete jednostavno pročitati Petrovičevu patnju i zapisati je matematički):

Ako potrošim pola novca...

Snimimo ovaj proces. Sav novac - X. pola - 0,5 x. Potrošiti znači oduzeti. Fraza se pretvara u snimak:

x - 0,5 x

da pola ostalo...

Oduzmimo drugu polovinu ostatka:

x - 0,5 x - 0,25x

onda će mi ostati samo jedna vreća novca...

I tu smo našli jednakost! Nakon svih oduzimanja ostaje jedna vreća novca:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Evo ga, matematički model! Ovo je opet linearna jednadžba, riješimo je, dobijemo:

Pitanje za razmatranje. Šta je četiri? Rublja, dolar, juan? I u kojim jedinicama je novac napisan u našem matematičkom modelu? U vrećama! To znači četiri torba novac od Petroviča. Dobro, također.)

Zadaci su, naravno, elementarni. Ovo je posebno da bi se uhvatila suština izrade matematičkog modela. Neki zadaci mogu sadržavati mnogo više podataka u kojima se može lako izgubiti. To se često dešava u tzv. zadaci kompetencije. Kako izdvojiti matematički sadržaj iz gomile riječi i brojeva prikazano je na primjerima

Još jedna napomena. U klasičnim školskim problemima (cijevi pune bazen, čamci koji negdje plutaju, itd.), svi podaci se po pravilu biraju vrlo pažljivo. Postoje dva pravila:
- ima dovoljno informacija u problemu da ga se riješi,
- U problemu nema nepotrebnih informacija.

Ovo je nagoveštaj. Ako je neka vrijednost ostala neiskorištena u matematičkom modelu, razmislite da li postoji greška. Ako nema dovoljno podataka, najvjerovatnije nisu sve skrivene informacije identificirane i zabilježene.

U nadležnosti i drugo životnih zadataka ova pravila se ne poštuju striktno. Nema pojma. Ali i takvi problemi se mogu riješiti. Ako, naravno, vježbate na klasičnim.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.