Bočna površina pravilne četverokutne piramide: formule i primjeri problema. Kako pronaći bočnu površinu piramide Bočna površina piramide jednaka je zbroju

je višestruka figura, čija je osnova poligon, a preostala lica su predstavljena trouglovima sa zajedničkim vrhom.

Ako je osnova kvadrat, onda se piramida zove četvorougaona, ako je trougao – onda trouglasti. Visina piramide povučena je od njenog vrha okomito na osnovu. Također se koristi za izračunavanje površine apothem– visina bočne strane, spuštena sa njenog vrha.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbir površina njenih bočnih strana, koje su međusobno jednake. Međutim, ovaj način izračunavanja se koristi vrlo rijetko. U osnovi, površina piramide se izračunava kroz perimetar baze i apoteme:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine bočne površine piramide.

Neka je data piramida sa osnovom ABCDE i vrhom F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Nađite površinu bočne površine piramide.
Nađimo perimetar. Pošto su sve ivice baze jednake, obim petougla će biti jednak:
Sada možete pronaći bočnu površinu piramide:

Površina pravilne trouglaste piramide

Pravilna trouglasta piramida sastoji se od osnove u kojoj leži pravilan trokut i tri bočne strane koje su jednake po površini.
Formula za bočnu površinu pravilne trokutaste piramide može se izračunati na različite načine. Možete primijeniti uobičajenu formulu za izračunavanje pomoću perimetra i apoteme, ili možete pronaći površinu jednog lica i pomnožiti je sa tri. Budući da je lice piramide trokut, primjenjujemo formulu za površinu trokuta. To će zahtijevati apotemu i dužinu baze. Razmotrimo primjer izračunavanja bočne površine pravilne trokutaste piramide.

Zadata je piramida sa apotemom a = 4 cm i osnovnom površinom b = 2 cm. Nađite površinu bočne površine piramide.
Prvo pronađite površinu jedne od bočnih strana. IN u ovom slučaju Ona će biti:
Zamijenite vrijednosti u formulu:
Kako su u pravilnoj piramidi sve stranice iste, površina bočne površine piramide bit će jednaka zbiru površina triju strana. odnosno:

Područje skraćene piramide

Truncated Piramida je poliedar koji je formiran od piramide čiji je poprečni presjek paralelan s bazom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide je vrlo jednostavna. Površina je jednaka umnošku polovine zbira opsega baza i apoteme:

Definicija piramide

Piramida je poliedar čija je osnova poligon, a njegove strane su trouglovi.

Online kalkulator

Vrijedi se zadržati na definiciji nekih komponenti piramide.

Ona, kao i drugi poliedri, ima rebra. Konvergiraju se u jednu tačku tzv top piramide. Može se zasnivati ​​na proizvoljnom poligonu. Edge pozvao geometrijska figura, formirana od strane jedne od strana baze i dva najbliža rebra. U našem slučaju to je trougao. Visina piramida je udaljenost od ravni u kojoj leži njena osnova do vrha poliedra. Za pravilnu piramidu postoji i koncept apothems- ovo je okomica koja se spušta od vrha piramide do njene osnove.

Vrste piramida

Postoje 3 vrste piramida:

1. Pravougaona- onaj u kojem bilo koja ivica formira pravi ugao sa bazom.
2. Tačno- njegova osnova je pravilna geometrijska figura, a sam vrh poligona je projekcija centra baze.
3. Tetrahedron- piramida sastavljena od trouglova. Štaviše, svaki od njih se može uzeti kao osnova.

Formula za površinu piramide

Da biste pronašli ukupnu površinu piramide, morate dodati površinu bočne površine i površinu baze.

Najjednostavniji slučaj je slučaj pravilne piramide, pa ćemo se time baviti. Izračunajmo ukupnu površinu takve piramide. Bočna površina je:

S strana = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS strana​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅str

Ll l- apotema piramide;
p str str- obim osnove piramide.

Ukupna površina piramide:

S = S strana + S glavna S=S_(\text(side))+S_(\text(main))S=S strana​ + S osnovni​

S strana S_(\tekst(strana)) S strana​ - površina bočne površine piramide;
S glavni S_(\text(basic)) S osnovni​ - površina osnove piramide.

Primjer rješavanja problema.

Nađite ukupnu površinu trokutaste piramide ako je njen apotem 8 (cm), a u osnovi je jednakostranični trokut sa stranicom 3 (cm)

Rješenje

L = 8 l=8 l =8
a = 3 a=3 a =3

Nađimo obim baze. Pošto je osnova jednakostraničan trokut sa stranicom aa a, zatim njegov perimetar p str str(zbir svih njegovih strana):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =a+a+a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

Tada je bočna površina piramide:

S strana = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S strana​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (vidi sq.)

Sada pronađimo površinu osnove piramide, odnosno površinu trokuta. U našem slučaju, trokut je jednakostraničan i njegova površina se može izračunati pomoću formule:

S main = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S osnovni​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​

Aa a- strana trougla.

Dobijamo:

S main = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3,9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\približno 3.9S osnovni​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (vidi sq.)

Ukupna površina:

S = S strana + S glavna ≈ 36 + 3,9 = 39,9 S=S_(\text(side))+S_(\text(main))\approx36+3,9=39,9S=S strana​ + S osnovni​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (vidi sq.)

odgovor: 39,9 cm sq.

Još jedan primjer, malo složeniji.

Osnova piramide je kvadrat površine 36 (cm2). Apotem poliedra je 3 puta veći od stranice baze aa a. Pronađite ukupnu površinu ove figure.

Rješenje

S quad = 36 S_(\text(quad))=36S quad​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ a

Nađimo stranu baze, odnosno stranu kvadrata. Njegova površina i dužina stranice su povezane:

S quad = a 2 S_(\text(quad))=a^2S quad​ = a 2
36 = a 2 36=a^2 3 6 = a 2
a = 6 a=6 a =6

Nađimo obim osnove piramide (tj. opseg kvadrata):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =a+a+a+a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

Nađimo dužinu apoteme:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

u našem slučaju:

S quad = S glavni S_(\text(quad))=S_(\text(basic))S quad​ = S osnovni​

Ostaje samo pronaći površinu bočne površine. prema formuli:

S strana = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S strana​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (vidi sq.)

Ukupna površina:

$S=S^{\text{strana + Sosnovni = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (vidi sq.)}}$

odgovor: 252 cm sq.

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC R- sredina rebra AB, S- top.
To je poznato SR = 6, a bočna površina je jednaka 36 .
Pronađite dužinu segmenta B.C..

Hajde da napravimo crtež. U pravilnoj piramidi, bočne strane su jednakokraki trouglovi.

Segment linije S.R.- medijana spuštena na osnovu, a time i visina bočne strane.

Bočna površina pravilne trokutaste piramide jednaka je zbiru površina
tri jednake bočne strane S strana = 3 S ABS. Odavde S ABS = 36: 3 = 12- područje lica.

Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove osnove i visine
S ABS = 0,5 AB SR. Znajući površinu i visinu, nalazimo stranu baze AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Odgovori: 4

Problemu možete pristupiti s druge strane. Pustite osnovnu stranu AB = BC = a.
Zatim područje lica S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Površina svakog od tri lica je jednaka 3a, površina tri lica je jednaka 9a.
Prema uslovima zadatka, površina bočne površine piramide je 36.
S strana = 9a = 36.
Odavde a = 4.

Prije proučavanja pitanja o ovoj geometrijskoj figuri i njenim svojstvima, trebali biste razumjeti neke pojmove. Kada osoba čuje za piramidu, zamišlja ogromne zgrade u Egiptu. Ovako izgledaju najjednostavniji. Ali dešavaju se različite vrste i oblike, što znači da će formula za proračun za geometrijske oblike biti drugačija.

Vrste figura

Piramida - geometrijska figura, koji označava i predstavlja nekoliko lica. U suštini, ovo je isti poliedar, u čijem se dnu nalazi poligon, a na stranama trokuta koji se spajaju u jednoj tački - vrhu. Figura dolazi u dvije glavne vrste:

• ispravan;
• skraćeno.

U prvom slučaju, baza je pravilan poligon. Ovdje su sve bočne površine jednake između sebe i same figure zadovoljit će oko perfekcioniste.

U drugom slučaju postoje dvije baze - velika na samom dnu i mala između vrha, ponavljajući oblik glavne. Drugim riječima, skraćena piramida je poliedar čiji je poprečni presjek formiran paralelno s bazom.

Uslovi i simboli

Ključni pojmovi:

• Pravilan (jednakostranični) trougao- figura sa tri jednaka ugla i jednakim stranicama. U ovom slučaju svi uglovi su 60 stepeni. Figura je najjednostavniji od pravilnih poliedara. Ako ova figura leži u osnovi, tada će se takav poliedar zvati pravilnim trokutastim. Ako je osnova kvadrat, piramida će se zvati pravilna četvorougaona piramida.
• Vertex– najviša tačka na kojoj se ivice spajaju. Visinu vrha formira prava linija koja se proteže od vrha do osnove piramide.
• Edge– jedna od ravni poligona. Može biti u obliku trokuta u slučaju trokutaste piramide ili u obliku trapeza za krnje piramide.
• Odjeljak – ravna figura, nastala kao rezultat disekcije. Ne treba ga brkati sa sekcijom, jer sekcija takođe pokazuje šta se nalazi iza sekcije.
• Apothem- segment povučen od vrha piramide do njene osnove. To je takođe visina lica na kojoj se nalazi druga tačka visine. Ova definicija važi samo za pravilan poliedar. Na primjer, ako ovo nije skraćena piramida, tada će lice biti trokut. U ovom slučaju, visina ovog trougla će postati apotema.

Formule površine

Pronađite bočnu površinu piramide bilo koji tip se može izvesti na nekoliko načina. Ako figura nije simetrična i predstavlja poligon s različitim stranama, tada je u ovom slučaju lakše izračunati ukupnu površinu kroz ukupnost svih površina. Drugim riječima, morate izračunati površinu svakog lica i sabrati ih.

Ovisno o tome koji su parametri poznati, mogu biti potrebne formule za izračunavanje kvadrata, trapeza, proizvoljnog četverokuta itd. Same formule u različitim slučajevima takođe će imati razlike.

U slučaju pravilne figure, pronalaženje područja je mnogo lakše. Dovoljno je znati samo nekoliko ključnih parametara. U većini slučajeva, izračuni su potrebni posebno za takve brojke. Stoga će odgovarajuće formule biti navedene u nastavku. U suprotnom, morali biste sve ispisati na nekoliko stranica, što bi vas samo zbunilo i zbunilo.

Osnovna formula za proračun Bočna površina pravilne piramide imat će sljedeći oblik:

S=½ Pa (P je obim baze i apotema)

Pogledajmo jedan primjer. Poliedar ima osnovu sa segmentima A1, A2, A3, A4, A5 i svi su jednaki 10 cm. Neka je apotema jednaka 5 cm. Prvo treba pronaći obim. Pošto je svih pet lica baze jednakih, možete je pronaći ovako: P = 5 * 10 = 50 cm Zatim primjenjujemo osnovnu formulu: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na kvadrat.

Bočna površina pravilne trouglaste piramide najlakše izračunati. Formula izgleda ovako:

S =½* ab *3, gdje je a apotema, b je lice baze. Faktor tri ovdje znači broj lica baze, a prvi dio je površina bočne površine. Pogledajmo primjer. Dat je lik sa apotemom od 5 cm i osnovnom ivicom od 8 cm Računamo: S = 1/2*5*8*3=60 cm na kvadrat.

Bočna površina krnje piramide Malo je teže izračunati. Formula izgleda ovako: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, gdje su p_01 i p_02 perimetri baza, i apotema. Pogledajmo primjer. Recimo da su za četvorougaoni lik dimenzije stranica osnova 3 i 6 cm, a apotema 4 cm.

Ovdje prvo trebate pronaći perimetre baza: r_01 =3*4=12 cm; r_02=6*4=24 cm Ostaje da zamenimo vrednosti u glavnu formulu i dobijamo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na kvadrat.

Tako možete pronaći bočnu površinu pravilne piramide bilo koje složenosti. Treba biti oprezan i ne zbuniti se ovi proračuni sa ukupnom površinom cijelog poliedra. A ako i dalje trebate to učiniti, samo izračunajte površinu najveće baze poliedra i dodajte je površini bočne površine poliedra.

Video

Ovaj video će vam pomoći da konsolidujete informacije o tome kako pronaći bočnu površinu različitih piramida.

Piramida- jedna od varijanti poliedra formiranog od mnogouglova i trokuta koji leže u osnovi i koji su njegova lica.

Štaviše, na vrhu piramide (tj. u jednoj tački) sva lica su ujedinjena.

Da bi se izračunala površina piramide, vrijedi utvrditi da se njena bočna površina sastoji od nekoliko trokuta. I lako možemo pronaći njihove oblasti koristeći

razne formule. U zavisnosti od toga koje podatke znamo o trouglovima, tražimo njihovu površinu.

Navodimo neke formule koje se mogu koristiti za pronalaženje površine trokuta:

1. S = (a*h)/2 . U ovom slučaju znamo visinu trougla h , koji je spušten u stranu a .
2. S = a*b*sinβ . Evo stranica trougla a , b , a ugao između njih je β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Evo stranica trougla a, b, c . Polumjer kružnice koja je upisana u trokut je r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Polumjer opisane kružnice oko trougla je R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Ovu formulu treba primijeniti samo kada je trokut pravokutni.
6. S = (a²*√3)/4 . Ovu formulu primjenjujemo na jednakostranični trokut.

Tek nakon što izračunamo površine svih trokuta koji su lica naše piramide možemo izračunati površinu njene bočne površine. Da bismo to učinili, koristit ćemo gornje formule.

Da biste izračunali površinu bočne površine piramide, ne nastaju poteškoće: morate saznati zbroj površina svih trokuta. Izrazimo to formulom:

Sp = ΣSi

Evo Si je površina prvog trokuta, i S P - površina bočne površine piramide.

Pogledajmo primjer. S obzirom na pravilnu piramidu, njene bočne strane čine nekoliko jednakostraničnih trokuta,

« Geometrija je najmoćniji alat za izoštravanje naših mentalnih sposobnosti».

Galileo Galilei.

a kvadrat je osnova piramide. Štaviše, ivica piramide ima dužinu od 17 cm. Nađimo područje bočna površina ove piramide.

Razmišljamo ovako: znamo da su lica piramide trouglovi, da su jednakostranična. Takođe znamo koja je dužina ivice ove piramide. Iz toga proizilazi da svi trokuti imaju jednake stranice i da im je dužina 17 cm.

Da biste izračunali površinu svakog od ovih trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Dakle, pošto znamo da kvadrat leži u osnovi piramide, ispada da imamo četiri jednakostranična trokuta. To znači da se površina bočne površine piramide može lako izračunati pomoću sljedeću formulu: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Naš odgovor je sljedeći: 500,548 cm² - ovo je površina bočne površine ove piramide.