Pod određenim uglom a. Iz određenog ugla. Bitve

Ljudi, uložili smo dušu u stranicu. Hvala vam na tome
da otkrivaš ovu lepotu. Hvala na inspiraciji i naježim se.
Pridružite nam se Facebook I U kontaktu sa

Čak i najtvrdokorniji skeptici veruju u ono što im čula govore, ali čula se lako zavaravaju.

Optička iluzija je utisak vidljivog predmeta ili fenomena koji ne odgovara stvarnosti, tj. optička iluzija. Prevedeno s latinskog, riječ “iluzija” znači “greška, zabluda”. Ovo sugerira da se iluzije dugo tumače kao neka vrsta kvara u vizualnom sistemu. Mnogi istraživači proučavaju uzroke njihovog nastanka.

Neke vizuelne iluzije odavno postoje naučno objašnjenje, drugi i dalje ostaju misterija.

web stranica nastavlja da prikuplja najslađe optičke iluzije. Budi pazljiv! Neke iluzije mogu uzrokovati suzenje, glavobolju i dezorijentaciju u prostoru.

Beskrajna čokolada

Ako izrežete čokoladicu 5 puta 5 i premjestite sve komade prikazanim redoslijedom, onda će se niotkuda pojaviti dodatni komadić čokolade. Isto možete učiniti i sa običnom čokoladom i uvjerite se da ovo nije kompjuterska grafika, već zagonetka iz stvarnog života.

Iluzija šipki

Pogledajte ove barove. U zavisnosti od toga u koji kraj gledate, dva komada drveta će biti ili jedan pored drugog, ili će jedan ležati na drugom.

Kocka i dvije identične šolje

Optička iluzija koju je stvorio Chris Westall. Na stolu je šolja, pored koje je kocka sa malom šoljicom. Međutim, nakon detaljnijeg pregleda, možemo vidjeti da je kocka zapravo nacrtana, a čaše su potpuno iste veličine. Sličan efekat je primetan samo pod određenim uglom.

Iluzija "Zid kafea"

Pažljivo pogledajte sliku. Na prvi pogled se čini da su sve linije zakrivljene, ali u stvari su paralelne. Iluziju je otkrio R. Gregory u Wall Cafeu u Bristolu. Otuda je došlo i njegovo ime.

Iluzija Krivog tornja u Pizi

Iznad vidite dvije slike Krivog tornja u Pizi. Na prvi pogled izgleda da se toranj sa desne strane više naginje od tornja sa leve strane, ali u stvari su obe ove slike iste. Razlog je taj što vizuelni sistem posmatra dve slike kao deo jedne scene. Stoga nam se čini da obje fotografije nisu simetrične.

Krugovi koji nestaju

Ova iluzija se zove "Krugovi koji nestaju". Sastoji se od 12 lila ružičastih mrlja raspoređenih u krug sa crnim krstom u sredini. Svaka tačka nestaje u krugu na oko 0,1 sekundu, a ako se fokusirate na središnji križ, možete dobiti sljedeći efekat:
1) u početku će se činiti da okolo trči zelena tačka
2) tada će ljubičaste mrlje početi nestajati

Crno-bijela iluzija

Gledajte u četiri tačke u centru slike trideset sekundi, a zatim premjestite pogled na strop i trepnite. sta ste videli?

fading

Ovo su jednostavni zadaci riječi sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike 2012. Međutim, neki od njih nisu tako jednostavni. Radi raznolikosti, neki problemi će se riješiti korištenjem Vietine teoreme (vidi lekciju „Vietina teorema“), drugi - na standardni način, kroz diskriminant.

Naravno, problemi B12 neće se uvijek svesti na kvadratnu jednačinu. Gdje se javlja jednostavan problem linearna jednačina, nikakvi diskriminanti ili Vietine teoreme nisu potrebni.

Zadatak. Za jedno od monopolističkih preduzeća, zavisnost obima potražnje za proizvodima q (jedinice mesečno) od njegove cene p (hiljadu rubalja) data je formulom: q = 150 − 10p. Odredite maksimalni nivo cene p (u hiljadama rubalja), pri kojem će vrednost prihoda preduzeća za mesec r = q · p biti najmanje 440 hiljada rubalja.

Ovo je jednostavan problem sa riječima. Zamenimo formulu potražnje q = 150 − 10p u formulu prihoda r = q · p. Dobijamo: r = (150 − 10p) · p.

Prema uslovu, prihod kompanije mora biti najmanje 440 hiljada rubalja. Kreirajmo i riješimo jednačinu:

(150 − 10p) p = 440 je kvadratna jednačina;
150p − 10p 2 = 440 - otvorio zagrade;
150p − 10p 2 − 440 = 0 - prikupio sve u jednom smjeru;
p 2 − 15p + 44 = 0 - podijeliti sve sa koeficijentom a = −10.

Rezultat je sljedeća kvadratna jednadžba. Prema Vietovoj teoremi:
p 1 + p 2 = −(−15) = 15;
p 1 · p 2 = 44.

Očigledno, korijeni su: p 1 = 11; p2 = 4.

Dakle, imamo dva kandidata za odgovor: brojeve 11 i 4. Vratimo se na iskaz problema i pogledajmo pitanje. Potrebno je pronaći maksimalni nivo cijene, tj. od brojeva 11 i 4 treba izabrati 11. Naravno, ovaj problem bi se mogao riješiti i diskriminantom - odgovor bi bio potpuno isti.

Zadatak. Za jedno od monopolističkih preduzeća, zavisnost obima potražnje za proizvodima q (jedinice mesečno) od njihove cene p (hiljada rubalja) data je formulom: q = 75 − 5p. Odredite maksimalni nivo cene p (u hiljadama rubalja), pri kojem će vrednost prihoda preduzeća za mesec r = q · p biti najmanje 270 hiljada rubalja.

Problem se rješava na sličan način kao i prethodni. Nas zanima prihod jednak 270. Pošto se prihod preduzeća izračunava po formuli r = q · p, a potražnja se izračunava po formuli q = 75 − 5p, napravimo i riješimo jednačinu:

(75 − 5p) p = 270;
75p − 5p 2 = 270;
−5p 2 + 75p − 270 = 0;
p 2 − 15p + 54 = 0.

Problem se svodi na redukovanu kvadratnu jednačinu. Prema Vietovoj teoremi:
p 1 + p 2 = −(−15) = 15;
p 1 · p 2 = 54.

Očigledno je da su korijeni brojevi 6 i 9. Dakle, po cijeni od 6 ili 9 hiljada rubalja, prihod će biti potrebnih 270 hiljada rubalja. Problem traži da navedete maksimalnu cijenu, tj. 9 hiljada rubalja.

Zadatak. Model mašine za bacanje kamena gađa kamenje pod određenim uglom prema horizontu sa fiksnom početnom brzinom. Njegov dizajn je takav da se putanja leta kamena opisuje formulom y = ax 2 + bx, gdje su a = −1/5000 (1/m), b = 1/10 konstantni parametri. Na kojoj najvećoj udaljenosti (u metrima) od zida tvrđave visine 8 metara treba postaviti mašinu da kamenje preleti preko nje?

Dakle, visina je data jednačinom y = ax 2 + bx. Da bi kamenje preletelo zid tvrđave, visina mora biti veća ili, u ekstremnim slučajevima, jednaka visini ovog zida. Dakle, u naznačenoj jednačini poznat je broj y = 8 - ovo je visina zida. Preostali brojevi su naznačeni direktno u uslovu, tako da kreiramo jednačinu:

8 = (−1/5000) x 2 + (1/10) x - prilično jaki koeficijenti;
40.000 = −x 2 + 500x je već sasvim zdrava jednačina;
x 2 − 500x + 40.000 = 0 - pomaknuli su sve pojmove na jednu stranu.

Dobili smo redukovanu kvadratnu jednačinu. Prema Vietovoj teoremi:
x 1 + x 2 = −(−500) = 500 = 100 + 400;
x 1 x 2 = 40.000 = 100.400.

Korijeni: 100 i 400. Zanima nas najveća udaljenost, pa biramo drugi korijen.

Zadatak. Model mašine za bacanje kamena gađa kamenje pod određenim uglom prema horizontu sa fiksnom početnom brzinom. Njegov dizajn je takav da se putanja leta kamena opisuje formulom y = ax 2 + bx, gdje su a = −1/8000 (1/m), b = 1/10 konstantni parametri. Na kojoj najvećoj udaljenosti (u metrima) od zida tvrđave visokog 15 metara treba postaviti mašinu da kamenje preleti preko nje?

Zadatak je potpuno sličan prethodnom - samo su brojevi drugačiji. Imamo:

15 = (−1/8000) x 2 + (1/10) x ;
120.000 = −x 2 + 800x - pomnožite obje strane sa 8000;
x 2 − 800x + 120.000 = 0 - sakupio sve elemente na jednoj strani.

Ovo je redukovana kvadratna jednadžba. Prema Vietovoj teoremi:
x 1 + x 2 = −(−800) = 800 = 200 + 600;
x 1 x 2 = 120.000 = 200.600.

Otuda korijeni: 200 i 600. Najveći korijen: 600.

Zadatak. Model mašine za bacanje kamena gađa kamenje pod određenim uglom prema horizontu sa fiksnom početnom brzinom. Njegov dizajn je takav da se putanja leta kamena opisuje formulom y = ax 2 + bx, gdje su a = −1/22,500 (1/m), b = 1/25 konstantni parametri. Na kojoj najvećoj udaljenosti (u metrima) od zida tvrđave visine 8 metara treba postaviti mašinu da kamenje preleti preko nje?

Još jedan problem sa ludim kvotama. Visina - 8 metara. Ovaj put ćemo pokušati riješiti kroz diskriminant. Imamo:

8 = (−1/22,500) x 2 + (1/25) x ;
180.000 = −x 2 + 900x - pomnoženo sve brojeve sa 22.500;
x 2 − 900x + 180.000 = 0 - prikupio sve u jednom smjeru.

Diskriminant: D = 900 2 − 4 · 1 · 180.000 = 90.000; Korijen diskriminanta: 300. Korijeni jednadžbe:
x 1 = (900 − 300) : 2 = 300;
x 2 = (900 + 300) : 2 = 600.

Najveći korijen: 600.

Zadatak. Model mašine za bacanje kamena gađa kamenje pod određenim uglom prema horizontu sa fiksnom početnom brzinom. Njegov dizajn je takav da se putanja leta kamena opisuje formulom y = ax 2 + bx, gdje su a = −1/20 000 (1/m), b = 1/20 konstantni parametri. Na kojoj najvećoj udaljenosti (u metrima) od zida tvrđave visine 8 metara treba postaviti mašinu da kamenje preleti preko nje?

Sličan zadatak. Visina je opet 8 metara. Kreirajmo i riješimo jednačinu:

8 = (−1/20.000) x 2 + (1/20) x ;
160.000 = −x 2 + 1000x - pomnožite obje strane sa 20.000;
x 2 − 1000x + 160 000 = 0 - prikupio sve na jednoj strani.

Diskriminant: D = 1000 2 − 4 1 160 000 = 360 000. Korijen diskriminanta: 600. Korijeni jednačine:
x 1 = (1000 − 600) : 2 = 200;
x 2 = (1000 + 600) : 2 = 800.

Najveći korijen: 800.

Zadatak. Model mašine za bacanje kamena gađa kamenje pod određenim uglom prema horizontu sa fiksnom početnom brzinom. Njegov dizajn je takav da se putanja leta kamena opisuje formulom y = ax 2 + bx, gdje su a = −1/22,500 (1/m), b = 1/15 konstantni parametri. Na kojoj najvećoj udaljenosti (u metrima) od 24 metra visokog zida tvrđave treba postaviti mašinu da kamenje preleti preko nje?

Sljedeći zadatak kloniranja. Potrebna visina: 24 metra. Napravimo jednačinu:

24 = (−1/22,500) x 2 + (1/15) x ;
540.000 = −x 2 + 1500x - sve pomnoženo sa 22.500;
x 2 − 1500x + 540.000 = 0 - prikupio sve u jednom smjeru.

Dobili smo redukovanu kvadratnu jednačinu. Rješavamo korištenjem Vietine teoreme:
x 1 + x 2 = −(−1500) = 1500 = 600 + 900;
x 1 x 2 = 540.000 = 600.900.

Iz dekompozicije je jasno da su korijeni: 600 i 900. Biramo najveće: 900.

Zadatak. U bočnom zidu cilindričnog rezervoara blizu dna je pričvršćena slavina. Nakon otvaranja, voda počinje da izlazi iz rezervoara, a visina vodenog stuba u njemu se menja po zakonu H (t) = 5 − 1,6t + 0,128t 2, gde je t vreme u minutama. Koliko će vremena biti potrebno da voda iscuri iz rezervoara?

Voda će izlaziti iz rezervoara sve dok je visina stupca tečnosti veća od nule. Dakle, moramo saznati kada je H (t) = 0. Sastavljamo i rješavamo jednačinu:

5 − 1,6t + 0,128t 2 = 0;
625 − 200t + 16t 2 = 0 - pomnožiti sve sa 125;
16t 2 − 200t + 625 = 0 - rasporedio pojmove normalnim redom.

Diskriminant: D = 200 2 − 4 · 16 · 625 = 0. To znači da će postojati samo jedan korijen. Hajde da ga pronađemo:

x 1 = (200 + 0) : (2 16) = 6,25. Dakle, nakon 6,25 minuta nivo vode će pasti na nulu. Ovo će biti trenutak dok voda ne iscuri.

Današnji razgovor je donekle nastavak teme „Vertikalni tekst“. Osim teksta koji je napisan horizontalno i okomito, možda ćemo morati pisati tekst, na primjer, pod određenim uglom, ili ga čak učiniti „ležećim“ ili nagnutim. O svemu tome ćemo danas razgovarati.

Alat "Nacrtaj natpis" će nam pomoći. Otvorimo karticu "Insert" u gornjem meniju i fokusiramo našu pažnju samo na dvije funkcije koje sadrži: "Oblici" i "Inscription":

Obje ove funkcionalnosti sadrže isti alat (opciju) „Nacrtaj natpis“. Proširimo sadržaj funkcije "Oblici" i vidimo gdje se nalazi alat "Draw Label":

Dakle, alat „Draw Lettering” se nalazi u odeljku „Osnovni oblici” skupa oblika. Ako smo jednom koristili ovaj alat ili neki oblik, onda se ti oblici odražavaju u gornjem dijelu, pod nazivom “Posljednji korišteni oblici”.

Sada, bez napuštanja kartice "Insert", pomaknite kursor miša na njegov odjeljak "Text" i kliknite na ikonu "Inscription" i u prozoru koji se otvori obratite pažnju na opciju "Nacrtaj natpis":

Ovo je još uvijek isti instrument. Dakle, imamo dvije opcije za aktiviranje alata, bez obzira kojim putem idemo. Potvrda aktivnosti alata "Draw Label" bit će modifikacija kursora - pretvorit će se u križić od dvije male linije:

Klikom i držanjem lijeve tipke miša kreirat ćemo polje za tekst - nacrtati pravougaonik. Kursor će automatski biti unutar pravougaonika i možemo početi unositi tekst:

Dakle, unos teksta je završen, možete ga početi rotirati:

Prošli put, kada smo govorili o "vertikalom tekstu", rotirali smo tekst tako što smo uhvatili gornji zeleni marker. Danas ćemo se ponašati drugačije. Dodat ću još dva reda teksta u okvir kao primjer.

U trenutku kada smo završili sa crtanjem polja za budući tekst i pustili levi taster miša, došlo je do značajnih promena u gornjem meniju. Potpuno nezavisno (automatski način rada), opcije kartice "Insert" zamijenjene su drugim opcijama druge kartice "Format":

Ali hajde da odvojimo trenutak da rotiramo tekst i obratimo pažnju na polje u koje stavljamo tekst. Vidljivost polja ne bi trebalo da nam smeta, jer ga možemo učiniti nevidljivim.

Zašto je potrebno da polje učinimo nevidljivim? I tako da ako je tekst napisan na pozadini bojom koja nije bijela, radna površina polja nije vidljiva.

Dakle, učinimo polje transparentnim koristeći neke od opcija na kartici Format u gornjem meniju. Naš zadatak je učiniti polje zaista transparentnim (sada je bijelo) i ukloniti njegov obris.

Počnimo uklanjanjem obrisa. Da biste to učinili, proširite sadržaj opcije “Shape Outline” i odaberite opciju “No Outline” sa liste:

Sada učinimo polje transparentnim, odnosno smanjimo bijelo punjenje na nulu. Da biste to učinili, odaberite opciju “Shape Fill” i na listi opcija koja se otvori odaberite opciju “No fill”:

Ova opcija nam možda neće uvijek odgovarati iz razloga što "bez ispune" znači odsustvo ispune bojom koja nije bijela, kao i ispuna gradijenta i ispune teksture. Odnosno, polje je ostalo bijelo kakvo je i bilo. U ovom konkretnom slučaju, ovo je nepotrebna radnja. Sada ću staviti trougao ispod teksta, a mi ćemo se uveriti u ovo:

Da bi polje postalo zaista transparentno, potrebno je da izvršimo druga podešavanja, a mi ćemo sada napraviti iste.

Ako polje za tekst nije odabrano, kliknite na polje za tekst da biste ga odabrali (polje je prekriveno markerima). Lijevim klikom na strelicu u donjem desnom kutu odjeljka “Stilovi oblika” na kartici “Format”, proširit ćemo prozor dodatnih postavki pod nazivom “Format oblika”:

Ovaj prozor prikazuje postavke koje polje trenutno ima. Polje je ispunjeno punim bijelim punjenjem od 100% jer je nivo transparentnosti 0%:

Da bi polje postalo potpuno transparentno, potrebno je da pomerimo klizač transparentnosti udesno dok se u liniji prozora ne pojavi vrednost jednaka 100%. Ako glatko pomjerimo klizač, možemo primijetiti kako tekstualno polje postaje sve transparentnije:

Nakon što postavite nivo transparentnosti na 100%, kliknite na dugme "Zatvori":

A evo i rezultata naših akcija:

Sada pređimo na rotaciju teksta, kao i na njegov nagib.

Da bismo rotirali tekst na način na koji želimo, moramo, bez napuštanja ili sažimanja kartice „Format“ u gornjem meniju, okrenuti opciju „Efekti oblika“:

I na listi radnji koja se otvori odaberite stavku "Rotirajte volumetrijsku figuru":

Otvorit će nam se novi prozor s detaljima u kojem ćemo odabrati stavku "Parametri rotacije za volumetrijsku figuru":

I sada, konačno, dolazimo do prozora postavki:

U redovima u kojima trenutno vidimo nulte vrijednosti za uglove rotacije teksta duž X, Y, Z osa, postavljamo željene vrijednosti posmatrajući kako se tekst rotira ili naginje. Možemo postaviti uglove duž sve tri koordinatne ose, dvije ili jednu. Ili možemo koristiti ikone sa plavim strelicama koje se nalaze u dvije kolone desno od redova za unos brojeva (vrijednosti nagiba i rotacije). Sve što treba da uradimo je da kliknemo levim tasterom miša na ove ikone i pogledamo šta se dešava sa tekstom:

Da bismo još brže ušli u ovaj prozor, moramo kliknuti lijevom tipkom miša unutar teksta kako bismo ga odabrali, a zatim kliknuti na malu strelicu u donjem desnom kutu odjeljka „Stilovi oblika“:

Uvijek biste trebali prvo odabrati tekst kreiran pomoću alata Draw Text tako da se potrebna kartica Alati za crtanje Format pojavi u gornjem izborniku. A nakon što se pojavi u gornjem meniju, kliknite levim tasterom miša na ime i proširite sadržaj.

A ovo je pravi prozor na našem servisu:

A da bismo mogli početi postavljati parametre, moramo odabrati već poznatu opciju "Rotate volumetric figure":

Ne moramo nužno unositi vrijednosti ugla u bilo koju liniju koordinatnih osa ili kliknuti na ikone sa plavim strelicama desno od linija za unos vrijednosti. Možemo koristiti šablone, čiji se skup nalazi na vrhu prozora postavki parametara:

Kliknimo lijevom tipkom miša na tipku sa strelicom da proširimo listu praznina i odaberemo jedno ili drugo prazno mjesto, dok istovremeno promatramo kako se tekst ponaša. Promijenit ću orijentaciju stranice u pejzažnu i povećati veličinu fonta kako bi promjene bile lakše vidljive:

Klikom na strelice gore i dolje možemo napraviti tekst u perspektivi:

Ako, na primjer, postavimo X os na 180 stepeni, onda će naš tekst biti "pozadi naprijed":

Za dodatni uticaj na tekst, u istom prozoru možemo koristiti opciju “Natpis”:

Pa, u zaključku današnjeg razgovora o tome kako rotirati tekst pod uglom, kao i kako nagnuti tekst, želim da skrenem pažnju na važna tačka. Da bismo izvrtali tekst kao pizzaiolo sa testom, ne bi trebalo da stoji kvačica u polju sa natpisom „Zadrži tekst ravnim“:

U geometriji, ugao je lik koji je formiran od dve zrake koje izlaze iz jedne tačke (koja se naziva vrh ugla). U većini slučajeva, jedinica mjere za ugao je stepen (°) - zapamtite da je pun ugao, ili jedan obrt, 360°. Vrijednost ugla poligona možete pronaći po njegovom tipu i vrijednostima drugih uglova, a ako je zadan pravokutni trokut, kut se može izračunati sa dvije strane. Osim toga, ugao se može izmjeriti pomoću kutomjera ili izračunati pomoću grafičkog kalkulatora.

Koraci

Kako pronaći unutrašnje uglove poligona

Izbrojite broj strana poligona. Da biste izračunali unutrašnje uglove poligona, prvo morate odrediti koliko strana ima poligon. Imajte na umu da je broj stranica poligona jednak broju njegovih uglova.

Na primjer, trokut ima 3 stranice i 3 unutrašnja ugla, a kvadrat 4 stranice i 4 unutrašnja ugla.

Izračunajte zbir svih unutrašnjih uglova poligona. Da biste to učinili, koristite sljedeću formulu: (n - 2) x 180. U ovoj formuli, n je broj strana poligona. Slijede zbrojevi uglova poligona koji se često susreću:
- Zbir uglova trougla (mnogougla sa 3 strane) je 180°.
- Zbir uglova četvorougla (mnogougla sa 4 strane) je 360°.
- Zbir uglova petougla (poligona sa 5 strana) je 540°.
- Zbir uglova šesterokuta (poligona sa 6 strana) je 720°.
- Zbir uglova osmougla (poligona sa 8 strana) je 1080°.
Podijelite zbir svih uglova pravilnog poligona sa brojem uglova. Pravilan mnogokut je mnogokut sa jednakim stranicama i jednakih uglova. Na primjer, svaki ugao jednakostraničnog trougla izračunava se na sljedeći način: 180 ÷ 3 = 60°, a svaki ugao kvadrata se izračunava na sljedeći način: 360 ÷ 4 = 90°.
- Jednakostranični trokut i kvadrat su pravilni poligoni. I u zgradi Pentagona (Vašington, SAD) i putokaz"Stop" oblik pravilnog osmougla.
Oduzmite zbir svih poznatih uglova od ukupnog zbira uglova nepravilnog poligona. Ako stranice poligona nisu jednake jedna drugoj, a ni njegovi uglovi nisu međusobno jednaki, prvo zbrojite poznate uglove poligona. Sada oduzmite rezultujuću vrijednost od zbira svih uglova poligona - na ovaj način ćete pronaći nepoznati ugao.
- Na primjer, ako se uzme da su 4 ugla petougla 80°, 100°, 120° i 140°, saberite ove brojeve: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Sada oduzmite ovu vrijednost od zbira svih uglovi petougla; ovaj zbir je jednak 540°: 540 - 440 = 100°. Dakle, nepoznati ugao je 100°.
savjet: nepoznati ugao nekih poligona može se izračunati ako poznajete svojstva figure. Na primjer, u jednakokračnom trokutu, dvije stranice su jednake, a dva ugla jednaka; U paralelogramu (koji je četverokut), suprotne strane su jednake, a suprotni uglovi jednaki.

Izmjerite dužinu dvije strane trougla. Najduža strana pravougaonog trougla zove hipotenuza. Susjedna strana je strana koja je blizu nepoznatog ugla. Suprotna strana je strana koja je suprotna nepoznatom uglu. Izmjerite dvije strane da biste izračunali nepoznate uglove trougla.

savjet: koristite grafički kalkulator za rješavanje jednadžbi ili pronađite online tablicu s vrijednostima sinusa, kosinusa i tangenta.

Izračunajte sinus ugla ako znate suprotnu stranu i hipotenuzu. Da biste to učinili, ubacite vrijednosti u jednadžbu: sin(x) = suprotna strana ÷ hipotenuza. Na primjer, suprotna strana je 5 cm, a hipotenuza 10 cm Podijelite 5/10 = 0,5. Dakle, sin(x) = 0,5, odnosno, x = sin -1 (0,5).

Neka je AB neki segment koji leži na pravoj, tačka M je proizvoljna tačka koja ne pripada pravoj (Sl. 284). Ugao a kod temena M trougla AMB naziva se ugao pod kojim je segment AB vidljiv iz tačke M. Nađimo lokus tačaka iz kojih je ovaj segment vidljiv pod istim konstantnim uglom a. Da bismo to uradili, opisujemo kružnicu oko trougla AMB i razmatramo njegov luk AMB, koji sadrži tačku M. Prema prethodnom, iz bilo koje tačke konstruisanog luka, segment AB će biti vidljiv pod istim uglom, meren polovinom luka ASB (na slici 284 prikazan je isprekidanom linijom). Osim toga, pod istim uglom će biti vidljiv segment od. tačke luka koje se nalaze simetrično sa AMB u odnosu na pravu AB. Ni iz jedne druge tačke ravni, koja ne leži na jednom od pronađenih lukova, segment ne može biti vidljiv pod istim uglom a.

U stvari, iz tačke P koja leži unutar figure ograničene lukovima AMB, segment će biti vidljiv pod uglom ARB većim od a, pošto će se ugao ARB meriti polovičnim zbrojem luka ASB i nekog drugog luka, tj. sigurno će biti veći od ugla a. Takođe je jasno da ćemo za ugao sa vrhom Q izvan ove figure imati . Dakle, tačke lukova AMB i AMB i samo one imaju traženo svojstvo: Geometrijski lokus tačaka iz kojih je dati segment vidljiv pod konstantnim uglom sastoji se od dva kružna luka simetrično locirana u odnosu na dati segment.

Zadatak 1. Dati su segment AB i ugao a. Konstruirajte segment koji sadrži dati ugao a i koji počiva na segmentu AB. Ovdje se pod segmentom koji sadrži dati ugao podrazumijeva segment omeđen datim segmentom i bilo kojim od dva kružna luka iz čijih tačaka je segment vidljiv pod uglom a.

Rješenje. Nacrtajmo okomitu na segment AB u njegovoj sredini (sl. 285). Središte kružnice čiji segment treba da se konstruiše biće postavljeno na ovu okomicu. Sa kraja B segmenta AB povlačimo zrak koji sa njim formira ugao; on će preseći okomicu u centru željenog luka O (dokaži!).

Zadatak 2. Konstruirajte trokut koristeći ugao A, stranicu i medijanu.

Rješenje. Na proizvoljnoj pravoj liniji crtamo odsječak BC jednak strani a trougla (Sl. 286). Tem trougla mora biti postavljen na luk segmenta, iz čijih tačaka je ovaj segment vidljiv pod uglom a (proces konstrukcije nije prikazan na slici 286). Zatim iz sredine M stranice BC, kao iz centra, nacrtamo kružnicu poluprečnika jednakog m. Tačke njegovog preseka sa lukom segmenta daće moguće položaje vrha A željenog trougla. Istražite broj rješenja!

Problem 3. Tangente na kružnicu se povlače iz vanjske tačke. Tačke tangente dijele krug na dijelove čiji je omjer jednak

Pronađite ugao između tangenti.