Red diferencijalne jednadžbe i njeno rješenje, Cauchyjev problem. Algoritam za rješavanje linearnih sistema diferencijalnih jednadžbi trećeg reda Linearne nehomogene jednadžbe sa konstantnim koeficijentima
Za ovu jednačinu imamo:
; (5.22)
. (5.23)
Poslednja determinanta daje uslov a 3 > 0. Uslov Δ 2 > 0, za a 0 > 0, a 1 > 0 i a 3 > 0, može biti zadovoljen samo za a 2 > 0.
Shodno tome, za jednačinu trećeg reda, pozitivnost svih koeficijenata karakteristične jednačine više nije dovoljna. Također je potrebno ispuniti određeni odnos između koeficijenata a 1 a 2 > a 0 a 3.
4. Jednačina četvrtog reda
Slično kao što je gore urađeno, možemo dobiti da za jednačinu četvrtog reda, pored pozitivnosti svih koeficijenata, mora biti ispunjen i sljedeći uvjet:
Značajan nedostatak algebarskih kriterijuma, uključujući i Hurwitzov kriterijum, je i to što se za jednačine visokog reda, u najboljem slučaju, može dobiti odgovor da li je sistem automatskog upravljanja stabilan ili nestabilan. Štaviše, u slučaju nestabilnog sistema, kriterijum ne odgovara kako bi se parametri sistema trebalo promeniti da bi bio stabilan. Ova okolnost dovela je do traženja drugih kriterija koji bi bili pogodniji u inženjerskoj praksi.
5.3. Mihajlovljev kriterijum stabilnosti
Razmotrimo odvojeno lijevu stranu karakteristične jednadžbe (5.7), koja je karakteristični polinom
Zamijenimo u ovaj polinom čisto imaginarnu vrijednost p = j, gdje predstavlja ugaonu frekvenciju oscilacija koja odgovara čisto imaginarnom korijenu karakterističnog rješenja. U ovom slučaju dobijamo karakterističan kompleks
gdje će pravi dio sadržavati parne snage frekvencije
a onu zamišljenu - neparni stepeni frekvencije
E
Rice. 5.4. Mihailovljev hodograf
U praksi, Mihajlovljeva kriva se konstruiše tačku po tačku, a specificiraju se različite vrednosti frekvencije i U() i V() se izračunavaju pomoću formula (5.28), (5.29). Rezultati proračuna su sažeti u tabeli. 5.1.
Tabela 5.1
Konstrukcija Mihajlovljeve krive
Koristeći ovu tabelu, konstruiše se i sama kriva (slika 5.4).
Odredimo koliko treba da bude jednak ugao rotacije vektora D(j) kada se frekvencija menja od nule do beskonačnosti. Da bismo to učinili, zapisujemo karakteristični polinom kao proizvod faktora
gdje su 1 – n korijeni karakteristične jednadžbe.
Karakteristični vektor se tada može predstaviti na sljedeći način:
Svaka zagrada predstavlja kompleksan broj. Dakle, D(j) je proizvod n kompleksni brojevi. Prilikom množenja dodaju se argumenti kompleksnih brojeva. Dakle, rezultujući ugao rotacije vektora D(j) će biti jednak zbiru uglovi rotacije pojedinačnih faktora (5.31) kada se frekvencija mijenjaod nule do beskonačnosti
Definirajmo svaki član u (5.31) posebno. Da generalizujete problem, razmotrite različite vrste korijenje.
1. Neka je neki korijen, na primjer 1 stvarne i negativne , odnosno 1 = – 1 . Faktor u izrazu (5.31), određen ovim korijenom, imat će oblik ( 1 + j). Konstruirajmo hodograf ovog vektora na kompleksnoj ravni kako se frekvencija mijenja od nule do beskonačnosti (slika 5.5, A). Kada je = 0, realni dio je U= 1, a imaginarni dio je V= 0. Ovo odgovara tački A koja leži na realnoj osi. Na 0, vektor će se promijeniti tako da će njegov realni dio i dalje biti jednak , a imaginarni dio V = (tačka B na grafu). Kako frekvencija raste do beskonačnosti, vektor ide u beskonačnost, a kraj vektora uvijek ostaje na okomitoj pravoj liniji koja prolazi kroz tačku A, a vektor se rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Rice. 5.5. Pravi koreni
Rezultirajući ugao rotacije vektora 1 = +( / 2).
2. Neka je sada korijen 1 stvarno i pozitivno , odnosno 1 = + 1. Tada će faktor u (5.31) određen ovim korijenom imati oblik (– 1 + j). Slične konstrukcije (sl. 5.5, b) pokazuju da će rezultujući ugao rotacije biti 1 = –( / 2). Znak minus označava da se vektor rotira u smjeru kazaljke na satu.
3. Neka su dva konjugirana korijena, na primjer 2 i 3 kompleks sa negativnim realnim dijelom , odnosno 2;3 = –±j. Slično, faktori u izrazu (5.31), određeni ovim korijenima, imat će oblik (–j + j)( + j + j).
Kada je = 0, početne pozicije dva vektora određene su tačkama A 1 i A 2 (slika 5.6, A). Prvi vektor se rotira u smjeru kazaljke na satu u odnosu na realnu osu za ugao jednak arctg( / ), a drugi vektor rotira za isti ugao u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Sa postepenim povećanjem od nule do beskonačnosti, krajevi oba vektora idu do beskonačnosti i oba vektora se na kraju spajaju sa imaginarnom osom.
Rezultirajući ugao rotacije prvog vektora je 2 = ( / 2) + . Rezultirajući ugao rotacije drugog vektora 3 = ( / 2) –. Vektor koji odgovara proizvodu (–j + j)( + j + j) će se rotirati za ugao 2 + 3 = 2 / 2 =.
Rice. 5.6. Složeni korijeni
4. Neka budu isti složeni korijeni imaju pozitivan stvarni dio , odnosno 2;3 = +±j.
Izvođenje konstrukcije slično kao u prethodno razmatranom slučaju (slika 5.6, b), dobijamo rezultujući ugao rotacije 2 + 3 = –2 / 2 = –.
Dakle, ako karakteristična jednadžba ima f korijena sa pozitivnim realnim dijelom, onda kakvi god da su ti korijeni (stvarni ili kompleksni), oni će odgovarati zbiru uglova rotacije jednakom –f ( / 2). Svi ostali (n – f) korijeni karakteristične jednadžbe koji imaju negativne realne dijelove odgovarat će zbiru uglova rotacije jednakim +(n – f)( / 2). Kao rezultat toga, ukupni ugao rotacije vektora D(j) kada se frekvencija promijeni od nule do beskonačnosti prema formuli (5.32) imat će oblik
= (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f . (5.33)
Ovaj izraz određuje željenu vezu između oblika Mihajlovljeve krive i znakova realnih dijelova korijena karakteristične jednačine. Godine 1936. A.V. Mihajlov je formulisao sledeći kriterijum stabilnosti za linearni sistemi bilo koji red.
Za stabilnost sistema n-tog reda potrebno je i dovoljno da vektor D(j ), koji opisuje krivulju Mihajlova, pri promeni imao ugao rotacije od nule do beskonačnosti = n ( / 2).
Ova formulacija direktno slijedi iz (5.33). Da bi sistem bio stabilan, potrebno je da svi korijeni leže u lijevoj poluravni. Odavde se određuje traženi rezultujući ugao rotacije vektora.
Mikhailovljev kriterijum stabilnosti je formulisan na sledeći način: za stabilnost linearnog ACS-a potrebno je i dovoljno da Mihajlovljev hodograf, kada se frekvencija mijenja od nule do beskonačnosti, počevši od pozitivne poluravnine i ne prelazi ishodište koordinata, sekvencijalno presijeca onoliko kvadranata kompleksa ravan kao red polinoma karakteristične jednačine sistema.
O
Rice. 5.7. Otporan ATS
Za stabilan sistem, Mihajlovljeva kriva prolazi kroz sukcesivno n kvadranata kompleksne ravni.
Prisustvo granica stabilnosti sva tri tipa može se odrediti iz Mihajlovljeve krive na sledeći način.
U prisustvu granice stabilnosti prvi tip (nulti koren) nema slobodnog člana karakterističnog polinoma n = 0, a Mihajlovljeva kriva napušta ishodište (slika 5.9, kriva 1)
|
Rice. 5.8. Nestabilan ATS |
Rice. 5.9. Granice stabilnosti |
Na granici stabilnosti drugi tip (granica oscilatorne stabilnosti) lijeva strana karakteristične jednadžbe, odnosno karakteristični polinom, nestaje pri zamjeni p = j 0
D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)
To implicira dvije jednakosti: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. To znači da tačka = 0 na krivulji Mihajlova pada na početak koordinata (slika 5.9, kriva 2). U ovom slučaju, vrijednost 0 je frekvencija neprigušenih oscilacija sistema.
Za granicu stabilnosti treći tip (beskonačan koren) kraj Mihajlovljeve krive se baca (slika 5.9, kriva 3) iz jednog kvadranta u drugi kroz beskonačnost. U ovom slučaju, koeficijent a 0 karakterističnog polinoma (5.7) će proći kroz nultu vrijednost, mijenjajući predznak sa plus na minus.
Navedene su glavne vrste običnih diferencijalnih jednadžbi višeg reda (DE) koje se mogu riješiti. Ukratko su navedene metode za njihovo rješavanje. Date su veze do stranica sa detaljnim opisima metoda rješenja i primjera.
SadržajVidi također: Diferencijalne jednadžbe prvog reda
Linearne parcijalne diferencijalne jednadžbe prvog reda
Diferencijalne jednadžbe višeg reda, omogućavaju redukciju reda
Jednačine rješavane direktnom integracijom
Razmotrite sljedeću diferencijalnu jednačinu:
.
Integriramo n puta.
;
;
i tako dalje. Možete koristiti i formulu:
.
Vidi Diferencijalne jednadžbe koje se mogu riješiti direktno integracija >> >
Jednačine koje ne sadrže eksplicitno zavisnu varijablu y
Zamjena snižava red jednačine za jedan. Ovdje je funkcija iz .
Vidi Diferencijalne jednadžbe višeg reda koje ne sadrže funkciju eksplicitno > > >
Jednačine koje ne uključuju eksplicitno nezavisnu varijablu x
.
Smatramo da je to funkcija . Onda
.
Slično i za druge derivate. Kao rezultat toga, redoslijed jednačine se smanjuje za jedan.
Pogledajte Diferencijalne jednadžbe višeg reda koje ne sadrže eksplicitnu varijablu > > >
Jednačine homogene s obzirom na y, y′, y′′, ...
Da bismo riješili ovu jednačinu, vršimo zamjenu
,
gdje je funkcija od . Onda
.
Na sličan način transformiramo derivate, itd. Kao rezultat toga, redoslijed jednačine se smanjuje za jedan.
Vidi diferencijalne jednadžbe višeg reda koje su homogene u odnosu na funkciju i njene derivate >>>
Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda
Hajde da razmotrimo linearna homogena diferencijalna jednadžba n-tog reda:
(1)
,
gdje su funkcije nezavisne varijable. Neka postoji n linearno nezavisnih rješenja ove jednačine. Onda zajednička odluka jednačina (1) ima oblik:
(2)
,
gdje su proizvoljne konstante. Same funkcije čine temeljni sistem rješenja.
Sistem fundamentalnih rješenja linearne homogene jednadžbe n-tog reda su n linearno nezavisnih rješenja ove jednačine.
Hajde da razmotrimo linearna nehomogena diferencijalna jednadžba n-tog reda:
.
Neka postoji određeno (bilo koje) rješenje ove jednačine. Tada opće rješenje ima oblik:
,
gdje je opšte rješenje homogene jednačine (1).
Linearne diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima i svodive na njih
Linearne homogene jednadžbe sa konstantnim koeficijentima
Ovo su jednadžbe oblika:
(3)
.
Evo stvarnih brojeva. Da bismo pronašli opšte rešenje ove jednačine, potrebno je da pronađemo n linearno nezavisnih rešenja koja čine fundamentalni sistem rešenja. Tada je opće rješenje određeno formulom (2):
(2)
.
Tražimo rješenje u formi . Dobijamo karakteristična jednačina:
(4)
.
Ako ova jednačina ima razni koreni, tada osnovni sistem rješenja ima oblik:
.
Ako je dostupno složeni korijen
,
onda postoji i složeni konjugirani korijen. Ova dva korijena odgovaraju rješenjima i , koje uključujemo u osnovni sistem umjesto složenih rješenja i .
Višestruki korijeni višestrukosti odgovaraju linearno nezavisnim rješenjima: .
Višestruki složeni korijeni višestrukosti i njihove kompleksne konjugirane vrijednosti odgovaraju linearno nezavisnim rješenjima:
.
Linearne nehomogene jednadžbe sa posebnim nehomogenim dijelom
Hajde da razmotrimo jednačina oblika
,
gdje su polinomi stupnjeva s 1
i s 2
; - trajno.
Prvo tražimo opšte rješenje homogene jednačine (3). Ako je karakteristična jednadžba (4) ne sadrži root, tada tražimo određeno rješenje u obliku:
,
Gdje
;
;
s - najveći od s 1
i s 2
.
Ako je karakteristična jednadžba (4) ima korijen višestrukost, onda tražimo određeno rješenje u obliku:
.
Nakon ovoga dobijamo opće rješenje:
.
Linearne nehomogene jednadžbe sa konstantnim koeficijentima
Ovdje postoje tri moguća rješenja.
1)
Bernulijeva metoda.
Prvo, nalazimo bilo koje rješenje koje nije nula za homogenu jednadžbinu
.
Zatim vršimo zamjenu
,
gdje je funkcija varijable x. Dobijamo diferencijalnu jednadžbu za u, koja sadrži samo izvode od u u odnosu na x. Provodeći supstituciju, dobijamo jednačinu n - 1
- ti red.
2)
Metoda linearne supstitucije.
Hajde da napravimo zamenu
,
gdje je jedan od korijena karakteristične jednadžbe (4). Kao rezultat, dobijamo linearnu nehomogenu jednačinu sa konstantnim koeficijentima reda. Dosljedno primjenjujući ovu zamjenu, svodimo originalnu jednačinu na jednadžbu prvog reda.
3)
Metoda varijacije Lagrangeovih konstanti.
U ovoj metodi prvo rješavamo homogenu jednačinu (3). Njegovo rešenje izgleda ovako:
(2)
.
Nadalje pretpostavljamo da su konstante funkcije varijable x. Tada rješenje originalne jednadžbe ima oblik:
,
gdje su nepoznate funkcije. Zamjenom u originalnu jednačinu i nametanjem nekih ograničenja, dobijamo jednadžbe iz kojih možemo pronaći tip funkcija.
Ojlerova jednačina
Svodi se na linearna jednačina sa konstantnim koeficijentima zamjene:
.
Međutim, da bi se riješila Eulerova jednačina, nema potrebe za takvom zamjenom. Možete odmah potražiti rješenje homogene jednadžbe u obliku
.
Kao rezultat, dobijamo ista pravila kao i za jednadžbu s konstantnim koeficijentima, u kojoj umjesto varijable trebate zamijeniti .
Reference:
V.V. Stepanov, Kurs diferencijalnih jednačina, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.
Obična diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu, nepoznatu funkciju ove varijable i njene derivate (ili diferencijale) različitih redova.
U redu diferencijalna jednadžba naziva se red najviše izvedenice sadržane u njemu.
Osim običnih, proučavaju se i parcijalne diferencijalne jednadžbe. To su jednadžbe koje se odnose na nezavisne varijable, nepoznatu funkciju ovih varijabli i njene parcijalne derivacije u odnosu na iste varijable. Ali mi ćemo samo razmotriti obične diferencijalne jednadžbe i stoga ćemo, radi sažetosti, izostaviti riječ „običan“.
Primjeri diferencijalnih jednadžbi:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
Jednačina (1) je četvrtog reda, jednačina (2) je trećeg reda, jednačine (3) i (4) su drugog reda, jednačina (5) je prvog reda.
Diferencijalna jednadžba n red ne mora nužno sadržavati eksplicitnu funkciju, sve njene derivate od prvog do n-ti red i nezavisna varijabla. Ne može eksplicitno sadržavati derivate određenih redova, funkciju ili nezavisnu varijablu.
Na primjer, u jednačini (1) očito nema izvoda trećeg i drugog reda, kao ni funkcije; u jednačini (2) - izvod drugog reda i funkcija; u jednačini (4) - nezavisna varijabla; u jednačini (5) - funkcije. Samo jednadžba (3) sadrži eksplicitno sve izvode, funkciju i nezavisnu varijablu.
Rješavanje diferencijalne jednadžbe svaka funkcija se poziva y = f(x), kada se zameni u jednačinu pretvara se u identitet.
Proces nalaženja rješenja diferencijalne jednadžbe naziva se njegov integracija.
Primjer 1. Pronađite rješenje diferencijalne jednadžbe.
Rješenje. Zapišimo ovu jednačinu u obliku . Rješenje je pronaći funkciju iz njenog izvoda. Originalna funkcija, kao što je poznato iz integralnog računa, je antiderivat za, tj.
To je ono što je rješenje ove diferencijalne jednadžbe . Presvlačenje u njemu C, dobićemo različita rješenja. Otkrili smo da postoji beskonačan broj rješenja diferencijalne jednadžbe prvog reda.
Opće rješenje diferencijalne jednadžbe n th red je njegovo rješenje, izraženo eksplicitno u odnosu na nepoznatu funkciju i sadrži n nezavisne proizvoljne konstante, tj.
Rješenje diferencijalne jednadžbe u primjeru 1 je općenito.
Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe naziva se rješenje u kojem su proizvoljne konstante date određene numeričke vrijednosti.
Primjer 2. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe i posebno rješenje za 
.
Rješenje. Integrirajmo obje strane jednačine broj puta jednak redu diferencijalne jednačine.
,
.
Kao rezultat toga, dobili smo generalno rješenje -
date diferencijalne jednadžbe trećeg reda.
Hajde sada da pronađemo određeno rešenje pod određenim uslovima. Da biste to učinili, zamijenite njihove vrijednosti umjesto proizvoljnih koeficijenata i dobijete
.
Ako je, pored diferencijalne jednadžbe, početni uvjet dat u obliku , tada se takav problem naziva Cauchy problem . Zamijenite vrijednosti i u opšte rješenje jednadžbe i pronađite vrijednost proizvoljne konstante C, a zatim određeno rješenje jednadžbe za pronađenu vrijednost C. Ovo je rješenje za Cauchyjev problem.
Primjer 3. Riješite Cauchyjev problem za diferencijalnu jednadžbu iz Primjera 1 podložna .
Rješenje. Zamijenimo vrijednosti iz početnog stanja u opšte rješenje y = 3, x= 1. Dobijamo
Zapisujemo rješenje Cauchyjevog problema za ovu diferencijalnu jednadžbu prvog reda:
Rješavanje diferencijalnih jednadžbi, čak i onih najjednostavnijih, zahtijeva dobru integraciju i vještine izvođenja, uključujući složene funkcije. To se može vidjeti u sljedećem primjeru.
Primjer 4. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe.
Rješenje. Jednačina je napisana u takvom obliku da možete odmah integrirati obje strane.
.
Primjenjujemo metodu integracije promjenom varijable (supstitucijom). Neka bude onda.
Obavezno uzeti dx a sada - pažnja - to radimo prema pravilima diferencijacije složene funkcije, budući da x i postoji složena funkcija("jabuka" - ekstrakcija kvadratni korijen ili, šta je isto - dizanje na stepen "pola", a "mleveno meso" je sam izraz ispod korena):
Nalazimo integral:
Vraćanje na varijablu x, dobijamo:
.
Ovo je opšte rešenje ove diferencijalne jednačine prvog stepena.
Ne samo vještine iz prethodnih odjeljaka višu matematiku biće potrebne u rješavanju diferencijalnih jednačina, ali i vještine iz osnovne, odnosno školske matematike. Kao što je već spomenuto, u diferencijalnoj jednadžbi bilo kojeg reda možda ne postoji nezavisna varijabla, tj. x. Znanje o proporcijama iz škole koje nije zaboravljeno (međutim, u zavisnosti od koga) iz škole će pomoći u rješavanju ovog problema. Ovo je sljedeći primjer.
Za dublje razumijevanje onoga što se događa u ovom članku, možete pročitati.Razmotrimo homogeni sistem diferencijalnih jednačina trećeg reda
Ovdje su x(t), y(t), z(t) tražene funkcije na intervalu (a, b), a ij (i, j =1, 2, 3) su realni brojevi.
Zapišimo originalni sistem u matričnom obliku
,
Gdje 
Tražićemo rešenje za originalni sistem u formi
,
Gdje 
, C 1 , C 2 , C 3 su proizvoljne konstante.
Da biste pronašli osnovni sistem rješenja, potrebno je riješiti takozvanu karakterističnu jednačinu 
Ova jednadžba je algebarska jednadžba trećeg reda, stoga ima 3 korijena. Mogući su sljedeći slučajevi:
1. Korijeni (svojstvene vrijednosti) su stvarni i različiti.
2. Među korijenima (svojstvenim vrijednostima) postoje kompleksno konjugirani, neka
- pravi korijen
=
3. Korijeni (svojstvene vrijednosti) su realni. Jedan od korijena je višestruki.
Da bismo shvatili kako postupiti u svakom od ovih slučajeva, trebat će nam:
Teorema 1.
Neka su parno različite svojstvene vrijednosti matrice A, i neka su njihovi odgovarajući svojstveni vektori. Onda
formiraju fundamentalni sistem rješenja originalnog sistema.
Komentar
.
Neka je stvarna svojstvena vrijednost matrice A (pravi korijen karakteristične jednadžbe), i neka je odgovarajući svojstveni vektor.
= - kompleksne svojstvene vrijednosti matrice A, - odgovarajući - svojstveni vektor. Onda
(Re - stvarni dio, Im - imaginarni dio)
formiraju fundamentalni sistem rješenja originalnog sistema. (tj. i = razmatrano zajedno)
Teorema 3.
Neka je korijen karakteristične jednadžbe višestrukosti 2. Tada originalni sistem ima 2 linearno nezavisna rješenja oblika 
,
gdje su , vektorske konstante. Ako je višestrukost 3, tada postoje 3 linearno nezavisna rješenja oblika
.
Vektori se nalaze zamjenom rješenja (*) i (**) u originalni sistem.
Da biste bolje razumjeli metodu za pronalaženje rješenja oblika (*) i (**), pogledajte tipične primjere u nastavku.
Sada pogledajmo svaki od gore navedenih slučajeva detaljnije.
1. Algoritam rješenja homogeni sistemi diferencijalne jednadžbe trećeg reda u slučaju različitih realnih korijena karakteristične jednadžbe.
S obzirom na sistem
1) Sastavljamo karakterističnu jednačinu
- stvarne i različite svojstvene vrijednosti 9 korijena ove jednadžbe).
2) Mi gradimo gde 
3) Mi gradimo gde
- svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. - bilo koje sistemsko rješenje 
4) Mi gradimo gde
- svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. - bilo koje sistemsko rješenje 
5)
čine temeljni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema u obliku
,
ovdje su C 1, C 2, C 3 proizvoljne konstante,
,
ili u koordinatnom obliku 
Pogledajmo nekoliko primjera:
Primjer 1.
2) Nađi 
3) Nalazimo 
4) Vektorske funkcije 
ili u koordinatnoj notaciji 
Primjer 2.
1) Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu: 
2) Nađi 
3) Nalazimo 
4) Nađi 
5) Vektorske funkcije 
formiraju fundamentalni sistem. Opšte rješenje ima oblik 
ili u koordinatnoj notaciji 
2. Algoritam za rješavanje homogenih sistema diferencijalnih jednačina trećeg reda u slučaju kompleksnih konjugiranih korijena karakteristične jednačine.
- pravi korijen,
2) Mi gradimo gde
 |
3) Mi gradimo
| - svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. zadovoljava sistem |  |
Ovdje je Re pravi dio
Im - imaginarni dio
4) čine temeljni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema:
, Gdje
C 1, C 2, C 3 su proizvoljne konstante.
Primjer 1.
1) Sastavite i riješite karakterističnu jednačinu 
2) Gradimo
3) Mi gradimo
, Gdje
Smanjimo prvu jednačinu za 2. Zatim drugoj jednačini dodajte prvu pomnoženu sa 2i, a od treće jednačine oduzmite prvu pomnoženu sa 2. 
Dalje 
dakle, 
4) - osnovni sistem rješenja. Zapišimo generalno rješenje originalnog sistema: 
Primjer 2.
1) Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu 
2) Gradimo
(tj. i razmatrani zajedno), gdje
Pomnožite drugu jednačinu sa (1-i) i smanjite za 2. 
dakle, 
3)
Opšte rješenje originalnog sistema
ili 
2. Algoritam za rješavanje homogenih sistema diferencijalnih jednačina trećeg reda u slučaju višestrukih korijena karakteristične jednačine.
Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu
Postoje dva moguća slučaja: 
Razmotrimo slučaj a) 1), gdje
| - svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. zadovoljava sistem | |
2) Pozovimo se na teoremu 3, iz koje slijedi da postoje dva linearno nezavisna rješenja oblika 
,
gdje su , su konstantni vektori. Uzmimo ih za .
3) - osnovni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema:
Razmotrimo slučaj b):
1) Pozovimo se na teoremu 3, iz koje slijedi da postoje tri linearno nezavisna rješenja oblika
,
gdje su , , konstantni vektori. Uzmimo ih za .
2) - osnovni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema.
Da biste bolje razumjeli kako pronaći rješenja oblika (*), razmotrite nekoliko tipičnih primjera.
Primjer 1.
Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu: 
Imamo slučaj a)
1) Mi gradimo 
, Gdje
Od druge jednačine oduzimamo prvu:
? Treći red je sličan drugom, precrtavamo ga. Oduzmi drugu od prve jednačine: 
2) = 1 (višestruko od 2)
Prema T.3, ovaj korijen mora odgovarati dvama linearno nezavisnim rješenjima oblika .
Pokušajmo pronaći sva linearno nezavisna rješenja za koja, tj. rješenja oblika
.
Takav vektor će biti rješenje ako i samo ako svojstveni vektor odgovara =1, tj.
, ili 
, drugi i treći red su slični prvom, izbacite ih. 
Sistem je sveden na jednu jednačinu. Prema tome, postoje dvije slobodne nepoznanice, na primjer, i . Hajde da im prvo damo vrednosti 1, 0; zatim vrijednosti 0, 1. Dobijamo sljedeća rješenja: 
.
dakle, 
.
3) - osnovni sistem rješenja. Ostaje da zapišemo opšte rešenje originalnog sistema: 
. .. Dakle, postoji samo jedno rešenje oblika Zamenimo X 3 u ovaj sistem: Precrtajte treći red (sličan je drugom). Sistem je konzistentan (ima rješenje) za bilo koje c. Neka je c=1. 
ili 
Učitavanje...