Konstantan broj A pozvao limit sekvence(x n ), ako je za bilo koji proizvoljno mali pozitivan brojε > 0 postoji broj N koji ima sve vrijednosti x n, za koje je n>N, zadovoljavaju nejednakost

|x n - a|< ε. (6.1)

Zapišite to na sljedeći način: ili x n → a.

Nejednakost (6.1) je ekvivalentna dvostruka nejednakost

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

što znači da su tačke x n, počevši od nekog broja n>N, leže unutar intervala (a-ε, a+ ε ), tj. pasti u bilo koju maluε -susedstvo tačke A.

Poziva se niz koji ima ograničenje konvergentan, inače - divergentan.

Koncept granice funkcije je generalizacija koncepta granice niza, budući da se granica niza može smatrati granicom funkcije x n = f(n) cjelobrojnog argumenta n.

Neka je data funkcija f(x) i neka a - granična tačka domenu definicije ove funkcije D(f), tj. takva tačka, čije bilo koje susjedstvo sadrži točke skupa D(f) osim a. Dot a može ili ne mora pripadati skupu D(f).

Definicija 1.Konstantni broj A se zove limit funkcije f(x) at x→a, ako za bilo koji niz (x n) vrijednosti argumenata teži ka A, odgovarajući nizovi (f(x n)) imaju istu granicu A.

Ova definicija se zove definiranjem granice funkcije prema Heineu, ili " u jeziku sekvence”.

Definicija 2. Konstantni broj A se zove limit funkcije f(x) at x→a, ako, specificiranjem proizvoljno malog pozitivnog broja ε, može se naći takav δ>0 (u zavisnosti od ε), koji je za svakoga x, ležeći unutraε-susjedstva broja A, tj. Za x, zadovoljavajući nejednakost
0 < x-a< ε , vrijednosti funkcije f(x) će ležati uε-susjedstvo broja A, tj.|f(x)-A|< ε.

Ova definicija se zove definiranjem granice funkcije prema Cauchyju, ili “u jeziku ε - δ “.

Definicije 1 i 2 su ekvivalentne. Ako je funkcija f(x) kao x →a ima limit, jednako A, ovo je zapisano u obliku

. (6.3)

U slučaju da se niz (f(x n)) povećava (ili smanjuje) bez ograničenja za bilo koju metodu aproksimacije x do vaše granice A, tada ćemo reći da funkcija f(x) ima beskonačna granica, i napišite to u obliku:

Poziva se varijabla (tj. sekvenca ili funkcija) čija je granica nula beskrajno mali.

Poziva se varijabla čija je granica jednaka beskonačnosti beskonačno velika.

Za pronalaženje granice u praksi, koriste se sljedeće teoreme.

Teorema 1 . Ako svaka granica postoji

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar. Izrazi poput 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - su neizvjesni, na primjer, omjer dvije beskonačno male ili beskonačno velike veličine, a pronalaženje granice ovog tipa naziva se “otkrivanje nesigurnosti”.

Teorema 2. (6.7)

one. može se ići do granice na osnovu stepena sa konstantnim eksponentom, posebno, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Gdje e » 2.7 - baza prirodnog logaritma. Formule (6.10) i (6.11) se nazivaju prvim divna granica i druga izuzetna granica.

Posljedice formule (6.11) se također koriste u praksi:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

posebno granica,

Ako je x → a i istovremeno x > a, zatim napiši x→a + 0. Ako je, konkretno, a = 0, onda umjesto simbola 0+0 pisati +0. Slično ako je x→a i istovremeno x a-0. Brojevi i shodno tome se zovu desna granica I lijeva granica funkcije f(x) u tački A. Da postoji granica funkcije f(x) kao x→a je neophodno i dovoljno da . Poziva se funkcija f(x). kontinuirano u tački x 0 ako je ograničenje

. (6.15)

Uslov (6.15) se može prepisati kao:

,

odnosno prelazak do granice pod znakom funkcije je moguć ako je ona kontinuirana u datoj tački.

Ako je jednakost (6.15) prekršena, onda to kažemo at x = x o funkcija f(x) Ima jaz Razmotrimo funkciju y = 1/x. Domen definicije ove funkcije je skup R, osim za x = 0. Tačka x = 0 je granična tačka skupa D(f), jer u bilo kojoj njegovoj okolini, tj. u svakom otvorenom intervalu koji sadrži tačku 0, postoje tačke iz D(f), ali on sam ne pripada ovom skupu. Vrijednost f(x o)= f(0) nije definirana, tako da u tački x o = 0 funkcija ima diskontinuitet.

Poziva se funkcija f(x). kontinuirano na desnoj strani u tački x o ako je granica

,

I kontinuirano na lijevoj strani u tački x o, ako je granica

.

Kontinuitet funkcije u tački x o je ekvivalentan njegovom kontinuitetu u ovoj tački i desno i lijevo.

Da bi funkcija bila kontinuirana u tački x o, na primjer, na desnoj strani, potrebno je, prvo, da postoji konačna granica, i drugo, da ta granica bude jednaka f(x o). Stoga, ako barem jedan od ova dva uvjeta nije ispunjen, funkcija će imati diskontinuitet.

1. Ako granica postoji i nije jednaka f(x o), onda to kažu funkcija f(x) u tački x o ima ruptura prve vrste, ili skok.

2. Ako je granica+∞ ili -∞ ili ne postoji, onda kažu da u tačka x o funkcija ima diskontinuitet druga vrsta.

Na primjer, funkcija y = krevetac x na x→ +0 ima granicu jednaku +∞, što znači da u tački x=0 ima diskontinuitet druge vrste. Funkcija y = E(x) (cijeli dio x) u tačkama sa celim apscisama ima diskontinuitete prve vrste, odnosno skokove.

Poziva se funkcija koja je kontinuirana u svakoj tački intervala kontinuirano V. Kontinuirana funkcija je predstavljena punom krivom.

Mnogi problemi povezani sa kontinuiranim rastom neke količine dovode do druge izuzetne granice. Takvi zadaci, na primjer, uključuju: rast depozita prema zakonu složene kamate, rast stanovništva zemlje, raspadanje radioaktivnih tvari, razmnožavanje bakterija itd.

Hajde da razmotrimo primjer Ya. I. Perelmana, dajući tumačenje broja e u problemu složene kamate. Broj e postoji granica . U štedionicama se na osnovni kapital godišnje dodaje novac od kamata. Ako se pristupanje vrši češće, kapital brže raste, jer je veći iznos uključen u formiranje kamate. Uzmimo čisto teoretski, vrlo pojednostavljen primjer. Neka se u banci položi 100 deniera. jedinice na bazi 100% godišnje. Ako se novac od kamata doda osnovnom kapitalu tek nakon godinu dana, onda do ovog perioda 100 den. jedinice pretvoriće se u 200 novčanih jedinica. Sada da vidimo u šta će se 100 denize pretvoriti. jedinica, ako se novac od kamata dodaje osnovnom kapitalu svakih šest mjeseci. Nakon šest meseci, 100 den. jedinice porasti na 100× 1,5 = 150, a nakon još šest mjeseci - na 150× 1,5 = 225 (den. jedinica). Ako se pristupanje vrši svake 1/3 godine, onda nakon godine 100 den. jedinice pretvoriće se u 100× (1 +1/3) 3 " 237 (den. jedinice). Povećaćemo uslove za dodavanje kamate na 0,1 godinu, na 0,01 godinu, na 0,001 godinu itd. Onda od 100 den. jedinice nakon godinu dana bit će:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. jedinica),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. jedinica),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. jedinice).

Uz neograničeno smanjenje uslova za dodavanje kamate, akumulirani kapital ne raste beskonačno, već se približava određenoj granici od približno 271. Kapital položen na 100% godišnje ne može se povećati za više od 2,71 puta, čak i ako se obračunata kamata dodavali su se kapitalu svake sekunde jer je granica

Primjer 3.1.Koristeći definiciju granice brojevnog niza, dokazati da niz x n =(n-1)/n ima granicu jednaku 1.

Rješenje.Moramo to dokazati, bez obzira na sveε > 0, bez obzira što uzmemo, za njega postoji prirodan broj N takav da za sve n N vrijedi nejednakost|x n -1|< ε.

Uzmimo bilo koje e > 0. Pošto je ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tada je za pronalaženje N dovoljno riješiti nejednačinu 1/n< e. Dakle n>1/ e i stoga, N se može uzeti kao cijeli broj od 1/ e , N = E(1/ e ). Time smo dokazali da je granica .

Primjer 3.2 . Pronađite granicu niza zadanog zajedničkim pojmom .

Rješenje.Primijenimo granicu teoreme o sumi i pronađemo granicu svakog člana. Kada je n→ ∞ brojilac i nazivnik svakog člana teže beskonačnosti i ne možemo direktno primijeniti teoremu o graničnoj količniku. Stoga, prvo transformiramo x n, dijeleći brojilac i imenilac prvog člana sa n 2, a drugi na n. Zatim, primjenom granice količnika i granice teoreme sume, nalazimo:

.

Primjer 3.3. . Pronađite .

Rješenje. .

Ovdje smo koristili teoremu o granici stepena: granica stepena je jednaka stepenu granice baze.

Primjer 3.4 . Pronađi ( ).

Rješenje.Nemoguće je primijeniti teoremu granične razlike, jer imamo neizvjesnost oblika ∞-∞ . Hajde da transformišemo formulu opšteg pojma:

.

Primjer 3.5 . Zadana je funkcija f(x)=2 1/x. Dokažite da nema ograničenja.

Rješenje.Koristimo definiciju 1 granice funkcije kroz niz. Uzmimo niz ( x n ) koji konvergira na 0, tj. Pokažimo da se vrijednost f(x n)= ponaša različito za različite nizove. Neka je x n = 1/n. Očigledno, onda granica Hajde sada da izaberemo kao x n niz sa zajedničkim pojmom x n = -1/n, koji takođe teži nuli. Stoga nema ograničenja.

Primjer 3.6 . Dokažite da nema ograničenja.

Rješenje.Neka je x 1 , x 2 ,..., x n ,... niz za koji
. Kako se niz (f(x n)) = (sin x n) ponaša za različite x n → ∞

Ako je x n = p n, onda je sin x n = sin p n = 0 za sve n i granica If
x n =2 p n+ p /2, tada sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 za sve n a samim tim i granica. Dakle, ne postoji.

Widget za online izračunavanje limita

U gornjem prozoru, umjesto sin(x)/x, unesite funkciju čije ograničenje želite pronaći. U donjem prozoru unesite broj na koji teži x i kliknite na dugme Kalkularni da biste dobili željeno ograničenje. A ako u prozoru rezultata kliknete na Prikaži korake u gornjem desnom uglu, dobićete detaljno rešenje.

Pravila za unos funkcija: sqrt(x) - kvadratni korijen, cbrt(x) - kubni korijen, exp(x) - eksponent, ln(x) - prirodni logaritam, sin(x) - sinus, cos(x) - kosinus, tan (x) - tangent, cot(x) - kotangens, arcsin(x) - arksinus, arccos(x) - arckosin, arctan(x) - arktangens. Znaci: * množenje, / dijeljenje, ^ eksponencijacija, umjesto toga beskonačnost Beskonačnost. Primjer: funkcija se upisuje kao sqrt(tan(x/2)).

Funkcija y = f (x) je zakon (pravilo) prema kojem je svaki element x skupa X povezan sa jednim i samo jednim elementom y skupa Y.

Element x ∈ X pozvao argument funkcije ili nezavisna varijabla.
Element y ∈ Y pozvao vrijednost funkcije ili zavisna varijabla.

Skup X se zove domenu funkcije.
Skup elemenata y ∈ Y, koji imaju predslike u skupu X, se zove područje ili skup vrijednosti funkcije.

Poziva se stvarna funkcija ograničeno odozgo (odozdo), ako postoji broj M takav da nejednakost vrijedi za sve:
.
Poziva se funkcija broja ograničeno, ako postoji broj M takav da je za sve:
.

Gornja ivica ili tačna gornja granica Realnom funkcijom se naziva najmanji broj koji ograničava njen raspon vrijednosti odozgo. To jest, ovo je broj s za koji, za svakoga i za bilo koga, postoji argument čija vrijednost funkcije prelazi s′: .
Gornja granica funkcije može se označiti na sljedeći način:
.

Odnosno donja ivica ili tacno donja granica Realnom funkcijom se naziva najveći broj koji ograničava njen raspon vrijednosti odozdo. To jest, ovo je broj i za koji, za svakoga i za bilo koga, postoji argument čija je vrijednost funkcije manja od i′: .
Infimum funkcije može se označiti na sljedeći način:
.

Određivanje granice funkcije

Određivanje granice funkcije prema Cauchyju

Konačne granice funkcije na krajnjim tačkama

Neka je funkcija definirana u nekom susjedstvu krajnje tačke, sa mogućim izuzetkom same tačke. u točki ako za bilo koji postoji takva stvar, ovisno o , da za sve x za koje , vrijedi nejednakost
.
Granica funkcije je označena na sljedeći način:
.
Ili u .

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija granice funkcije može se napisati na sljedeći način:
.

Jednostrane granice.
Lijevo ograničenje u tački (lijevo ograničenje):
.
Desna granica u tački (desna granica):
.
Lijeva i desna granica se često označavaju na sljedeći način:
; .

Konačne granice funkcije u beskonačnim tačkama

Granice u tačkama u beskonačnosti određuju se na sličan način.
.
.
.
Često se nazivaju:
; ; .

Korištenje koncepta susjedstva tačke

Ako uvedemo koncept probušenog susjedstva točke, tada možemo dati jedinstvenu definiciju konačne granice funkcije u konačnim i beskonačno udaljenim točkama:
.
Ovdje za krajnje tačke
; ;
.
Bilo koja okolina tačaka u beskonačnosti je probijena:
; ; .

Beskonačna ograničenja funkcija

Definicija
Neka je funkcija definirana u nekom probušenom susjedstvu tačke (konačno ili beskonačno). Granica funkcije f (x) kao x → x 0 jednako beskonačnosti, ako je za bilo koji proizvoljno veliki broj M > 0 , postoji broj δ M > 0 , u zavisnosti od M, da za sve x koje pripadaju probušenom δ M - susjedstvu tačke: , vrijedi sljedeća nejednakost:
.
Beskonačna granica se označava na sljedeći način:
.
Ili u .

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija beskonačne granice funkcije može se napisati na sljedeći način:
.

Također možete uvesti definicije beskonačnih granica određenih znakova jednakih i :
.
.

Univerzalna definicija granice funkcije

Koristeći koncept susjedstva točke, možemo dati univerzalnu definiciju konačne i beskonačne granice funkcije, primjenjivu i za konačne (dvostrane i jednostrane) i za beskonačno udaljene točke:
.

Određivanje granice funkcije prema Heineu

Neka je funkcija definirana na nekom skupu X:.
Broj a naziva se granica funkcije u tački:
,
ako za bilo koji niz koji konvergira na x 0 :
,
čiji elementi pripadaju skupu X: ,
.

Zapišimo ovu definiciju koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti:
.

Ako uzmemo lijevo-strano susjedstvo tačke x kao skup X 0 , tada dobijamo definiciju lijeve granice. Ako je dešnjak, onda dobijamo definiciju desne granice. Ako okolinu beskonačne tačke uzmemo kao skup X, dobićemo definiciju granice funkcije u beskonačnosti.

Teorema
Cauchy i Heine definicije granice funkcije su ekvivalentne.
Dokaz

Svojstva i teoreme granice funkcije

Nadalje, pretpostavljamo da su funkcije koje se razmatraju definirane u odgovarajućem susjedstvu tačke, koja je konačan broj ili jedan od simbola: . Također može biti jednostrana granična točka, odnosno imati oblik ili . Susjedstvo je dvostrano za dvostrano ograničenje i jednostrano za jednostrano ograničenje.

Osnovna svojstva

Ako su vrijednosti funkcije f (x) promijeniti (ili učiniti nedefiniranim) konačan broj točaka x 1, x 2, x 3, ... x n, tada ova promjena neće utjecati na postojanje i vrijednost granice funkcije u proizvoljnoj tački x 0 .

Ako postoji konačna granica, onda postoji probušena okolina tačke x 0 , na kojoj je funkcija f (x) ograničeno:
.

Neka funkcija ima u tački x 0 konačna granica koja nije nula:
.
Tada, za bilo koji broj c iz intervala , postoji takva probušena okolina tačke x 0 , zašto ,
, Ako ;
, Ako .

Ako, na nekom probušenom susjedstvu točke, , je konstanta, onda .

Ako postoje konačne granice i i na nekom probušenom susjedstvu točke x 0
,
To .

Ako , i na nekom susjedstvu točke
,
To .
Posebno, ako je u nekom susjedstvu tačke
,
onda ako , onda i ;
ako , onda i .

Ako na nekom probušenom susjedstvu tačke x 0 :
,
i postoje konačne (ili beskonačne određenog predznaka) jednake granice:
, To
.

Na stranici su dati dokazi o glavnim svojstvima
"Osnovna svojstva granica funkcije."

Aritmetička svojstva granice funkcije

Neka su funkcije i definirane u nekom probušenom susjedstvu točke . I neka postoje konačne granice:
i .
I neka je C konstanta, odnosno dati broj. Onda
;
;
;
, Ako .

Ako onda.

Na stranici su dati dokazi aritmetičkih svojstava
"Aritmetička svojstva granica funkcije".

Cauchyjev kriterij za postojanje limita funkcije

Teorema
Da bi funkcija definirana na nekom probušenom susjedstvu konačne ili beskonačne točke x 0 , imala konačnu granicu u ovoj tački, potrebno je i dovoljno da za bilo koje ε > 0 bilo je tako probušeno susjedstvo tačke x 0 , da za bilo koju tačku i iz ove okoline vrijedi sljedeća nejednakost:
.

Granica složene funkcije

Granična teorema složena funkcija
Neka funkcija ima granicu i preslikajte probušenu okolinu tačke na probušenu okolinu tačke. Neka je funkcija definirana u ovom susjedstvu i neka ima ograničenje na nju.
Evo konačnih ili beskonačno udaljenih tačaka: . Susjedstva i njihove odgovarajuće granice mogu biti dvostrane ili jednostrane.
Tada postoji granica kompleksne funkcije i ona je jednaka:
.

Granična teorema kompleksne funkcije primjenjuje se kada funkcija nije definirana u točki ili ima vrijednost različitu od granične. Da bi se primijenila ova teorema, mora postojati probušeno susjedstvo tačke u kojoj skup vrijednosti funkcije ne sadrži tačku:
.

Ako je funkcija neprekidna u tački , tada se znak ograničenja može primijeniti na argument kontinuirana funkcija:
.
Sljedeća je teorema koja odgovara ovom slučaju.

Teorema o granici kontinuirane funkcije funkcije
Neka postoji granica funkcije g (t) kao t → t 0 , i jednako je x 0 :
.
Ovdje je tačka t 0 može biti konačan ili beskonačno udaljen: .
I neka funkcija f (x) je kontinuirana u tački x 0 .
Tada postoji granica kompleksne funkcije f (g(t)), i jednako je f (x0):
.

Na stranici su dati dokazi teorema
"Granica i kontinuitet složene funkcije".

Beskonačno male i beskonačno velike funkcije

Infinitezimalne funkcije

Definicija
Za funkciju se kaže da je beskonačno mala ako
.

Zbir, razlika i proizvod od konačnog broja infinitezimalnih funkcija na je infinitezimalna funkcija na .

Proizvod ograničene funkcije na nekom probušenom susjedstvu točke , na infinitezimalnu na je infinitezimalna funkcija na .

Da bi funkcija imala konačan limit, potrebno je i dovoljno da
,
gdje je infinitezimalna funkcija na .

"Svojstva infinitezimalnih funkcija".

Beskonačno velike funkcije

Definicija
Za funkciju se kaže da je beskonačno velika ako
.

Zbir ili razlika ograničene funkcije, na nekom probušenom susjedstvu točke , i beskonačno velike funkcije u je beskonačno velika funkcija na .

Ako je funkcija beskonačno velika za , i funkcija je ograničena na nekom probušenom susjedstvu točke , tada
.

Ako funkcija , na nekom probušenom susjedstvu točke , zadovoljava nejednakost:
,
a funkcija je beskonačno mala na:
, i (na nekom probušenom susjedstvu tačke), zatim
.

Dokazi o svojstvima su predstavljeni u odjeljku
"Svojstva beskonačno velikih funkcija".

Odnos između beskonačno velikih i beskonačno malih funkcija

Iz prethodna dva svojstva slijedi veza između beskonačno velikih i infinitezimalnih funkcija.

Ako je funkcija beskonačno velika na , tada je funkcija beskonačno mala na .

Ako je funkcija beskonačno mala za , I , Tada je funkcija beskonačno velika za .

Odnos između beskonačno male i beskonačno velike funkcije može se izraziti simbolički:
, .

Ako infinitezimalna funkcija ima određeni predznak na , to jest, pozitivna je (ili negativna) na nekom probušenom susjedstvu točke , tada se ta činjenica može izraziti na sljedeći način:
.
Na isti način, ako beskonačno velika funkcija ima određeni predznak na , tada pišu:
.

Tada se simbolička veza između beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija može dopuniti sljedećim relacijama:
, ,
, .

Dodatne formule koje se odnose na simbole beskonačnosti možete pronaći na stranici
"Tačke na beskonačnost i njihova svojstva."

Granice monotonih funkcija

Definicija
Poziva se funkcija definirana na nekom skupu realnih brojeva X striktno raste, ako je za sve takvo da vrijedi sljedeća nejednakost:
.
Shodno tome, za striktno opadajuće funkcija vrijedi sljedeća nejednakost:
.
Za neopadajući:
.
Za bez povećanja:
.

Iz toga slijedi da je striktno rastuća funkcija također neopadajuća. Strogo opadajuća funkcija također nije rastuća.

Funkcija se poziva monotono, ako se ne smanjuje ili ne raste.

Teorema
Neka funkcija ne smanjuje na intervalu gdje .
Ako je odozgo ograničen brojem M: onda postoji konačna granica. Ako nije ograničeno odozgo, onda .
Ako je odozdo ograničen brojem m: onda postoji konačna granica. Ako nije ograničeno odozdo, onda .

Ako su tačke a i b beskonačne, onda u izrazima granični znaci znače da .
Ova teorema se može formulirati kompaktnije.

Neka funkcija ne smanjuje na intervalu gdje . Tada postoje jednostrane granice u tačkama a i b:
;
.

Slična teorema za nerastuću funkciju.

Neka funkcija ne raste na intervalu gdje . Zatim postoje jednostrane granice:
;
.

Dokaz teoreme je predstavljen na stranici
"Granice monotonih funkcija".

Reference:
L.D. Kudryavtsev. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolsky. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 1983.

Teorija granica je jedna od grana matematičke analize. Pitanje rješavanja granica je prilično opsežno, budući da postoje desetine metoda za rješavanje granica razne vrste. Postoje desetine nijansi i trikova koji vam omogućavaju da riješite ovu ili onu granicu. Ipak, pokušat ćemo razumjeti glavne vrste ograničenja na koje se najčešće susrećemo u praksi.

Počnimo sa samim konceptom granice. Ali prvo, kratka istorijska pozadina. U 19. vijeku živio je Francuz Augustin Louis Cauchy, koji je postavio temelje matematičke analize i dao stroge definicije, posebno definiciju granice. Mora se reći da je ovaj isti Cauchy bio, jeste i biće u noćnim morama svih studenata fizike i matematike, jer je dokazao ogroman broj teorema matematičke analize, a svaka teorema je odvratnija od druge. S tim u vezi, nećemo razmatrati striktnu definiciju granice, već ćemo pokušati učiniti dvije stvari:

1. Shvatite šta je granica.
2. Naučite riješiti glavne vrste ograničenja.

Izvinjavam se na nekim nenaučnim objašnjenjima, bitno je da je materijal razumljiv i čajniku, što je, zapravo, zadatak projekta.

Dakle, koja je granica?

I samo primjer zašto čupavoj baki....

Svaki limit se sastoji od tri dijela:

1) Dobro poznata ikona ograničenja.
2) Unosi ispod ikone ograničenja, u u ovom slučaju. Unos glasi “X teži jedan”. Najčešće - upravo, iako umjesto "X" u praksi postoje druge varijable. U praktičnim zadacima, mjesto jedan može biti apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačnost ().
3) Funkcije pod graničnim znakom, u ovom slučaju .

Sam unos glasi ovako: "granica funkcije kao x teži jedinstvu."

Pogledajmo sljedeće važno pitanje - šta znači izraz "x"? nastoji do jednog"? I šta uopće znači "stremiti"?
Koncept granice je koncept, da tako kažem, dinamičan. Napravimo niz: prvo , zatim , , …, , ….
Odnosno, izraz „x nastoji do jedan” treba shvatiti na sljedeći način: “x” dosljedno poprima vrijednosti koji se beskonačno približavaju jedinstvu i praktično se s njim poklapaju.

Kako riješiti gornji primjer? Na osnovu gore navedenog, samo trebate zamijeniti jednu u funkciju ispod znaka ograničenja:

Dakle, prvo pravilo: Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo uključiti broj u funkciju.

Razmotrili smo najjednostavnije granice, ali i one se javljaju u praksi, i to ne tako rijetko!

Primjer sa beskonačnosti:

Hajde da shvatimo šta je to? To je slučaj kada se neograničeno povećava, odnosno: prvo, zatim, zatim, pa i tako dalje do beskonačnosti.

Šta se dešava sa funkcijom u ovom trenutku?
, , , …

Dakle: ako je , tada funkcija teži minus beskonačnosti:

Grubo govoreći, prema našem prvom pravilu, umjesto “X” zamjenjujemo beskonačnost u funkciju i dobivamo odgovor.

Još jedan primjer sa beskonačnošću:

Ponovo počinjemo da rastemo do beskonačnosti i gledamo ponašanje funkcije:

Zaključak: kada se funkcija neograničeno povećava:

I još niz primjera:

Pokušajte sami mentalno analizirati sljedeće i zapamtiti najjednostavnije vrste ograničenja:

, , , , , , , , ,
Ako negdje sumnjate, možete uzeti kalkulator i malo vježbati.
U slučaju da , pokušajte konstruirati niz , , . Ako onda , , .

Napomena: strogo govoreći, ovaj pristup konstruiranju nizova od nekoliko brojeva je netačan, ali za razumijevanje najjednostavnijih primjera sasvim je prikladan.

Obratite pažnju i na sljedeću stvar. Čak i ako je ograničenje dato sa velikim brojem na vrhu, ili čak sa milionom: , onda je svejedno , jer će prije ili kasnije "X" poprimiti takve gigantske vrijednosti da će milion u poređenju sa njima biti pravi mikrob.

Šta trebate zapamtiti i razumjeti iz gore navedenog?

1) Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo zamijeniti broj u funkciju.

2) Morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnija ograničenja, kao što su , , itd.

Sada ćemo razmotriti grupu granica kada , a funkcija je razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže polinome

primjer:

Izračunajte limit

Prema našem pravilu, pokušat ćemo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Šta dobijamo na vrhu? Beskonačnost. A šta se dešava ispod? Takođe beskonačnost. Dakle, imamo ono što se zove nesigurnost vrste. Moglo bi se pomisliti da je , i odgovor je spreman, ali u općem slučaju to uopće nije slučaj i potrebno je primijeniti neku tehniku ​​rješenja, koju ćemo sada razmotriti.

Kako riješiti limite ovog tipa?

Prvo pogledamo brojilac i pronađemo najveću snagu:

Vodeća snaga u brojiocu je dva.

Sada gledamo imenilac i takođe ga nalazimo na najveći stepen:

Najviši stepen nazivnika je dva.

Zatim biramo najveći stepen brojnika i nazivnika: u ovom primjeru oni su isti i jednaki dva.

Dakle, metoda rješenja je sljedeća: da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je brojilac i imenilac podijeliti najvećim stepenom.

Evo ga, odgovora, a ne beskonačnosti uopšte.

Šta je suštinski važno u kreiranju odluke?

Prvo, ukazujemo na nesigurnost, ako postoji.

Drugo, preporučljivo je prekinuti rješenje radi međuobjašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, ali znači da se rješenje prekida radi srednjeg objašnjenja.

Treće, u limitu je preporučljivo označiti šta kuda ide. Kada se rad sastavlja ručno, prikladnije je to učiniti na ovaj način:

Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.

Naravno, ne morate ništa od ovoga, ali tada će možda nastavnik ukazati na nedostatke u rješenju ili početi postavljati dodatna pitanja o zadatku. Da li ti treba?

Primjer 2

Pronađite granicu
Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stepenu:

Maksimalni stepen u brojiocu: 3
Maksimalni stepen u nazivniku: 4
Izaberi najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri.
Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, podijelimo brojilac i nazivnik sa .
Kompletan zadatak bi mogao izgledati ovako:

Podijelite brojilac i imenilac sa

Primjer 3

Pronađite granicu
Maksimalni stepen "X" u brojiocu: 2
Maksimalni stepen “X” u nazivniku: 1 (može se napisati kao)
Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojilac i nazivnik sa . Konačno rješenje bi moglo izgledati ovako:

Podijelite brojilac i imenilac sa

Zapis ne znači dijeljenje nulom (ne možete dijeliti nulom), već dijeljenje beskonačno malim brojem.

Stoga, otkrivanjem nesigurnosti vrste, možda ćemo moći konačan broj, nula ili beskonačnost.

Granice sa nesigurnošću tipa i metode za njihovo rješavanje

Sljedeća grupa granica je donekle slična granicama koje smo upravo razmatrali: brojilac i nazivnik sadrže polinome, ali "x" više ne teži beskonačnosti, već konačan broj.

Primjer 4

Riješiti limit
Prvo, pokušajmo zamijeniti -1 u razlomak:

U ovom slučaju se dobija tzv. nesigurnost.

Opšte pravilo : ako brojnik i nazivnik sadrže polinome, a postoji nesigurnost oblika , onda da se otkrije morate rastaviti brojilac i imenilac.

Da biste to učinili, najčešće trebate riješiti kvadratnu jednadžbu i/ili koristiti skraćene formule za množenje. Ako su ove stvari zaboravljene, posjetite stranicu Matematičke formule i tabele i provjerite metodološki materijal Vruće formule školski kurs matematičari. Inače, najbolje ga je odštampati, potrebno je vrlo često, a informacije se bolje upijaju iz papira.

Dakle, riješimo našu granicu

Faktori brojilac i imenilac

Da biste faktorirali brojnik, morate riješiti kvadratnu jednačinu:

Prvo nalazimo diskriminanta:

I kvadratni korijen toga: .

Ako je diskriminant velik, na primjer 361, koristimo kalkulator, funkciju ekstrakcije kvadratni korijen dostupno na najjednostavnijem kalkulatoru.

! Ako se korijen ne izvuče u cijelosti (dobije se razlomak sa zarezom), vrlo je vjerovatno da je diskriminanta pogrešno izračunata ili je u zadatku došlo do greške u kucanju.

Zatim nalazimo korijene:

ovako:

Sve. Brojilac je faktorizovan.

Nazivnik. Imenilac je već najjednostavniji faktor i ne postoji način da se pojednostavi.

Očigledno, može se skratiti na:

Sada zamjenjujemo -1 u izraz koji ostaje pod znakom granice:

Naravno, u testni rad, tokom testa ili ispita, rješenje nikada nije napisano tako detaljno. U konačnoj verziji dizajn bi trebao izgledati otprilike ovako:

Rastavimo brojilac na faktore.

Primjer 5

Izračunajte limit

Prvo, "finiš" verzija rješenja

Razložimo brojilac i imenilac.

Brojač:
imenilac:



,

Šta je važno u ovom primjeru?
Prvo, morate dobro razumjeti kako se brojnik otkriva, prvo smo izvadili 2 iz zagrada, a zatim koristili formulu za razliku kvadrata. Ovo je formula koju trebate znati i vidjeti.

Metode rješavanja granica. Neizvjesnosti.
Redoslijed rasta funkcije. Metoda zamjene

Primjer 4

Pronađite granicu

Ovo je jednostavniji primjer za nezavisna odluka. U predloženom primjeru, opet neizvjesnost (više high order visina od korena).

Ako "x" teži ka "minus beskonačnost"

Bauk “minus beskonačnosti” već dugo lebdi u ovom članku. Razmotrimo granice s polinomima u kojima . Principi i metode rješavanja bit će potpuno isti kao u prvom dijelu lekcije, sa izuzetkom niza nijansi.

Pogledajmo 4 trika koji će biti potrebni za rješavanje praktičnih zadataka:

1) Izračunajte granicu

Vrijednost limita ovisi samo o terminu jer ima najviši red rasta. Ako onda beskonačno veliki u modulu negativan broj do JEDNOG stupnja, u ovom slučaju – u četvrtom, jednako je „plus beskonačnost“: . Konstantno („dva“) pozitivno, Zbog toga:

2) Izračunajte granicu

Evo opet viši stepen čak, Zbog toga: . Ali ispred njega je "minus" ( negativan konstanta –1), dakle:

3) Izračunajte granicu

Granična vrijednost ovisi samo o . Kao što se sjećate iz škole, “minus” “iskače” ispod neparnog stepena, dakle beskonačno veliki u modulu negativan broj na ODD stepen jednako "minus beskonačnost", u ovom slučaju: .
Konstantno ("četiri") pozitivno, znači:

4) Izračunajte granicu

Prvi momak u selu opet ima odd stepen, osim toga, u njedrima negativan konstanta, što znači: Dakle:
.

Primjer 5

Pronađite granicu

Koristeći gore navedene tačke, dolazimo do zaključka da ovdje postoji neizvjesnost. Brojnik i imenilac su istog reda rasta, što znači da će u limitu rezultat biti konačan broj. Doznajmo odgovor tako što ćemo odbaciti svu mladicu:

Rješenje je trivijalno:

Primjer 6

Pronađite granicu

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

A sada, možda, najsuptilniji slučajevi:

Primjer 7

Pronađite granicu

Uzimajući u obzir vodeće pojmove, dolazimo do zaključka da ovdje postoji neizvjesnost. Brojač je višeg reda rasta od nazivnika, tako da odmah možemo reći da je granica jednaka beskonačnosti. Ali kakva beskonačnost, "plus" ili "minus"? Tehnika je ista - riješimo se sitnica u brojniku i nazivniku:

Odlučujemo:

Podijelite brojilac i imenilac sa

Primjer 15

Pronađite granicu

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Približan uzorak konačnog dizajna na kraju lekcije.

Još par zanimljivih primjera na temu zamjene varijable:

Primjer 16

Pronađite granicu

Prilikom zamjene jedinice u granicu, dobiva se nesigurnost. Promjena varijable se već nameće sama po sebi, ali prvo transformiramo tangentu koristeći formulu. Zaista, zašto nam je potrebna tangenta?

Imajte na umu da , dakle . Ako nije sasvim jasno, pogledajte vrijednosti sinusa u trigonometrijska tabela. Tako se odmah oslobađamo množitelja, osim toga dobijamo poznatiju nesigurnost od 0:0. Bilo bi lijepo kada bi naš limit težio nuli.

Zamenimo:

Ako onda

Ispod kosinusa imamo „x“, koji takođe treba da se izrazi kroz „te“.
Od zamjene izražavamo: .

Završavamo rješenje:

(1) Izvodimo zamjenu

(2) Otvorite zagrade ispod kosinusa.

(4) Organizirati prva divna granica, umjetno pomnožite brojilac sa i recipročnim brojem.

Zadatak za samostalno rješenje:

Primjer 17

Pronađite granicu

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

To su bili jednostavni zadaci u njihovom razredu, u praksi sve može biti gore, a uz to formule redukcije, morate koristiti razne trigonometrijske formule, kao i druge trikove. U članku Complex Limits pogledao sam nekoliko stvarnih primjera =)

Uoči praznika konačno ćemo razjasniti situaciju uz još jednu uobičajenu neizvjesnost:

Eliminacija neizvjesnosti “jedan na moć beskonačnosti”

Ova neizvjesnost je "servirana" druga divna granica, a u drugom dijelu te lekcije smo se vrlo detaljno osvrnuli na standardne primjere rješenja koja se u većini slučajeva nalaze u praksi. Sada će slika sa eksponentima biti završena, osim toga, završni zadaci lekcije će biti posvećeni „lažnim“ granicama, u kojima se ČINI da je potrebno primijeniti 2. divnu granicu, iako to uopće nije slučaj.

Nedostatak dvije radne formule za 2. izvanrednu granicu je u tome što argument mora težiti “plus beskonačnosti” ili nuli. Ali šta ako argument teži drugom broju?

U pomoć dolazi univerzalna formula (koja je zapravo posljedica druge izvanredne granice):

Nesigurnost se može eliminirati pomoću formule:

Mislim da sam negde već objasnio šta znače uglaste zagrade. Ništa posebno, zagrade su samo zagrade. Obično se koriste za jasnije isticanje matematičke notacije.

Istaknimo bitne tačke formule:

1) Radi se o samo o neizvesnosti i ni o čemu drugom.

2) Argument “x” može težiti proizvoljna vrijednost(a ne samo na nulu ili), posebno, na „minus beskonačnost“ ili na bilo koga konačan broj.

Pomoću ove formule možete riješiti sve primjere u lekciji. Wonderful Limits, koji spadaju u 2. izuzetnu granicu. Na primjer, izračunajmo granicu:

U ovom slučaju , i prema formuli :

Istina, ne preporučujem da to radite; tradicija je da se i dalje koristi "uobičajeni" dizajn rješenja, ako se može primijeniti. kako god korištenjem formule vrlo je zgodno provjeriti"klasični" primjeri do 2. izvanredne granice.

Za one koji žele naučiti kako pronaći granice, u ovom članku ćemo vam reći o tome. Nećemo ulaziti u teoriju; nastavnici je obično drže na predavanjima. Dakle, „dosadnu teoriju“ treba zabilježiti u svoje bilježnice. Ako to nije slučaj, onda možete čitati udžbenike posuđene iz biblioteke. obrazovne ustanove ili na drugim Internet resursima.

Dakle, koncept granice je veoma važan u proučavanju kursa višu matematiku, posebno kada naiđete na integralni račun i shvatite odnos između granice i integrala. U trenutnom materijalu ćemo razmotriti jednostavni primjeri, kao i načine za njihovo rješavanje.

Primjeri rješenja

Primjer 1

Izračunajte a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Rješenje

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Ljudi nam često šalju ova ograničenja sa zahtjevom da ih riješimo. Odlučili smo da ih istaknemo kao poseban primjer i objasnimo da ove granice po pravilu treba samo zapamtiti. Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo dati detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračunavanja i dobiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete ocjenu od svog nastavnika!

Odgovori

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Šta učiniti s nesigurnošću oblika: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Primjer 3

Riješite $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Rješenje

Kao i uvijek, počinjemo zamjenom vrijednosti $ x $ u izraz ispod znaka granice. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Šta je sada sljedeće? Šta bi na kraju trebalo da se desi? Pošto je ovo neizvjesnost, ovo još nije odgovor i nastavljamo računanje. Pošto imamo polinom u brojiocima, rastaviti ćemo ga na faktore pomoću formule poznate svima iz škole $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Sjećaš li se? Odlično! Sada samo naprijed i iskoristi to uz pjesmu :) Nalazimo da je brojilac $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Nastavljamo rješavati uzimajući u obzir gornju transformaciju: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Odgovori

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Pomaknimo granicu u posljednja dva primjera do beskonačnosti i razmotrimo nesigurnost: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Primjer 5

Izračunajte $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Rješenje

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ sta da radim? Sta da radim? Ne paničite, jer nemoguće je moguće. Potrebno je i u brojniku i u nazivniku izvaditi x, a zatim ga smanjiti. Nakon toga pokušajte izračunati granicu. Pokusajmo... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Koristeći definiciju iz primjera 2 i zamjenom beskonačnosti za x, dobijamo: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Odgovori

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritam za izračunavanje granica

Dakle, hajde da ukratko sumiramo primjere i napravimo algoritam za rješavanje ograničenja:

1. Zamijenite tačku x u izraz koji slijedi znak granice. Ako se dobije određeni broj ili beskonačnost, onda je granica potpuno riješena. U suprotnom, imamo nesigurnost: “nula podijeljena nulom” ili “beskonačnost podijeljena beskonačnošću” i prijeđite na sljedeće korake uputstava.
2. Da biste eliminisali nesigurnost „nule podeljene sa nulom“, potrebno je da faktorizujete brojnik i imenilac. Smanjite slične. Zamijenite tačku x u izraz ispod znaka granice.
3. Ako je nesigurnost „beskonačnost podijeljena sa beskonačnošću“, tada uzimamo i brojnik i imenilac x do najvećeg stepena. Skraćujemo X. Zamjenjujemo vrijednosti x ispod granice u preostali izraz.

U ovom članku naučili ste osnove rješavanja granica koje se često koriste na tečaju. Matematička analiza. Naravno, ovo nisu sve vrste problema koje nude ispitivači, već samo najjednostavnije granice. O drugim vrstama zadataka ćemo govoriti u budućim člancima, ali prvo morate naučiti ovu lekciju kako biste krenuli naprijed. Hajde da razgovaramo o tome šta da radimo ako postoje koreni, stepeni, proučavamo infinitezimalne ekvivalentne funkcije, izuzetne granice, L'Hopitalovo pravilo.

Ako ne možete sami shvatiti granice, nemojte paničariti. Uvijek nam je drago pomoći!