Lekcije na programu COMPASS.

Lekcija #12. Izrada krugova u Compass 3D.
Krugovi tangentni na krive, kružnica zasnovana na dvije tačke.

Compass 3D ima nekoliko načina za konstruiranje tangentnih kružnica:

• kružnica tangenta na 1. krivu;
• kružnica tangenta na 2 krivulje;
• kružnica tangenta na 3 krive;

Za konstruiranje kružnice tangente na krivu, pritisnite dugme "Kružnica tangenta na 1 krivu" na kompaktnoj tabli ili u gornjem meniju pritisnite komande uzastopno "Alati" - "Geometrija" - "Krugovi" - "Kružnica tangenta na 1 krivu."

Koristeći kursor, prvo označimo krivu kroz koju će kružnica proći, zatim odredimo 1. i 2. točku ovog kruga (koordinate tačaka se mogu unijeti u panel svojstava).

Fantomi svih mogućih opcija kruga će biti prikazani na ekranu. Pomoću kursora odaberite one koje su nam potrebne i popravite ih klikom na dugme „Kreiraj objekat“. Završavamo konstrukciju klikom na dugme “Prekini naredbu”.

Prije specificiranja druge točke, možete unijeti vrijednost radijusa ili prečnika u odgovarajuće polje na panelu sa svojstvima. Takav krug neće uvek biti konstruisan. Ovo zavisi od datog radijusa ili prečnika. Nemogućnost izgradnje će biti naznačena nestankom fantoma nakon unosa vrijednosti radijusa.

Ako je poznata središnja tačka kruga, može se postaviti i na panelu sa svojstvima.

Za konstruiranje kružnice tangente na dvije krive, pritisnite dugme "Kružnica tangenta na 2 krive" u kompaktnom panelu. Ili u gornjem meniju pritisnite komande uzastopno "Alati" - "Geometrija" - "Krugovi" - "Kružnica tangenta na 2 krive".

Koristeći kursor, označavamo objekte koje bi krug trebao dodirnuti. Na ekranu će biti prikazani fantomi svih mogućih konstrukcijskih opcija.

Ako je pozicija tačke koja pripada krugu poznata, onda se mora navesti pomoću kursora ili se moraju unijeti koordinate u panel svojstava. Također možete unijeti vrijednosti radijusa ili prečnika u panel svojstava. Da biste dovršili konstrukciju, odaberite željeni fantom i pritisnite tipke uzastopno "Kreiraj objekat" I "Prekini naredbu".

Za konstruiranje kružnice tangente na tri krive, pritisnite dugme "Kružnica tangenta na 3 krive" u kompaktnom panelu. Ili u gornjem meniju pritisnite komande uzastopno "Alati" - "Geometrija" - "Krugovi" - "Kružnica tangenta na 3 krive."

Konstrukcije su slične prethodnim, pa ih napravite sami, rezultat je prikazan na slici ispod.

Drugi način pronalaženja središta (na primjer, tokaranih proizvoda) - korištenjem posebnog alata, "centralnog tražila" - temelji se na svojstvima tzv. tangentne linije. Tangenta na kružnicu je svaka prava linija koja je, u tački susreta s kružnicom, okomita na poluprečnik povučen u ovu tačku. Na primjer, u pakao. 174 ravno A B C D I E.F.– tangente na kružnicu ACE. Poeni A, C, E se nazivaju "dodirne tačke". Posebnost tangente je da ima kružnicu sa samo jednom zajedničkom tačkom. Zaista, ako je tangenta AB(Sl. 175) je bio sa krugom, osim toga postoji još jedna zajednička tačka, npr. WITH, zatim, povezujući ga sa centrom, dobili bismo jednakokraki trokut SOA sa dva prava ugla SA, a to je, znamo, nemoguće (zašto?).

Vrlo često se susrećemo sa pravima tangentima na kružnicu praktičan život. Uže prebačeno preko bloka zauzima u svojim napetim dijelovima položaj tangentnih linija na kružnicu bloka. Pojasevi dizalica (kombinacije više blokova, sl. 176) nalaze se duž linije zajedničkih tangenti na obim točkova. Prijenosni remeni remenica također zauzimaju položaj zajedničkih tangenta na krugove remenica „vanjskih“ tangenta u tzv. otvoreni prijenos i "unutrašnji" - u zatvorenom prijenosu.

Kako povući tangentu na njega kroz datu tačku izvan kruga? Drugim riječima: kao kroz tačku A(crtež 177) nacrtajte pravu liniju AB do ugla ABO je li bilo pravo? To se radi na sljedeći način. Povežite se A sa centrom O(crtež 178). Prava linija je podijeljena na pola i oko svoje sredine IN, kao centar, opisuju krug sa poluprečnikom IN. Drugim riječima, na OA izgraditi krug kao na prečniku. Tačke raskrsnice WITH I D oba kruga su povezana A prave linije: to će biti tangente.

Da bismo to potvrdili, povucimo od centra do tačaka WITH I D pomoćne linije OS I OD. Uglovi WASP I ODA- ravni, pošto su upisane u polukrug. A to znači to OS I O.D.– tangente na kružnicu.

S obzirom na našu konstrukciju, vidimo, između ostalog, da iz svake tačke izvan kruga možemo povući dvije tangente na nju. Lako je provjeriti da su obje ove tangente iste dužine, tj A.C.= AD. Zaista, tačka O podjednako udaljeni od strana ugla A; Sredstva OA je ekvidivizor, a samim tim i trouglovi OAS I OAD jednako ( SUS).

Usput smo ustanovili da prava linija koja dijeli ugao između obje tangente prolazi središtem kružnice. Ovo je osnova za projektovanje uređaja za pronalaženje središta tokaranih proizvoda – centra tražila (sl. 179). Sastoji se od dvije linije AB I AC, fiksiran pod uglom, i treći ravnalo BD, čija ivica BD prepolovi ugao između ivica

prva dva reda. Uređaj se nanosi na okrugli proizvod tako da su rubovi ravnala uz njega AB I Ned došao u kontakt sa obimom proizvoda. U tom slučaju ivice će imati samo jednu zajedničku tačku sa kružnicom, pa ivica ravnala mora, prema sada naznačenom svojstvu tangenta, proći kroz centar kružnice. Nakon što ste ravnalom nacrtali promjer kruga na proizvodu, nanesite središnji tražilo na proizvod u drugom položaju i nacrtajte drugačiji promjer. Željeni centar će biti na raskrsnici oba prečnika.

Ako trebate nacrtati zajedničku tangentu na dvije kružnice, odnosno nacrtati pravu liniju koja bi dodirivala dvije kružnice u isto vrijeme, onda postupite na sljedeći način. U blizini centra jednog kruga, na primjer, oko IN(Sl. 180), opišite pomoćnu kružnicu čiji je polumjer jednak razlici polumjera oba kruga. Onda iz tačke A nacrtati tangente AC I AD ovom pomoćnom krugu. Od bodova A I IN nacrtajte ravne linije okomito na AC I AD, dok se ne sijeku sa datim kružnicama u tačkama E, F, H I G. Prave linije koje se spajaju E With F, G With H, postojaće zajedničke tangente na ove kružnice, pošto su okomite na poluprečnike AE, CF, AG I D.H..

Pored dvije tangente koje su upravo nacrtane i koje se nazivaju vanjskim, moguće je nacrtati i dvije druge tangente, smještene kao pakao. 181 (unutrašnje tangente). Da biste izvršili ovu konstrukciju, opišite oko središta jednog od ovih krugova - na primjer, okolo IN– pomoćna kružnica čiji je polumjer jednak zbiru polumjera oba kruga. Od tačke A povući tangente na ovu pomoćnu kružnicu. Čitaoci će sami moći da saznaju dalji tok izgradnje.

Ponovite pitanja

Kako se zove tangenta? Koliko zajedničkih tačaka imaju tangenta i kružnica? – Kako povući tangentu na kružnicu kroz tačku koja leži izvan kruga? – Koliko se takvih tangenta može povući? – Šta je centrifuga? – Na čemu se zasniva njegov uređaj? – Kako nacrtati zajedničku tangentu na dvije kružnice? - Koliko tangenti ima?

Geometrijske konstrukcije

Konstruisanje tangenti na kružnice

Razmotrimo problem koji leži u osnovi rješenja drugih problema koji uključuju crtanje tangenti na kružnice.

Neka od tačkeA(Sl. 1) potrebno je povući tangente na kružnicu sa centrom u tačkiO.

Da bi se precizno konstruisale tangente, potrebno je odrediti tačke dodira pravih na kružnicu. Za ovu tačkuAtreba povezati šavomOi podijeliti segmentOAna pola. Od sredine ovog segmenta - bodoviWITH, kao iz centra, opisuju krug čiji prečnik treba da bude jednak segmentuOA. PoeniTO1 ITO2 presek kružnica sa centrom u tačkiWITHi sa centrom u tačkiOsu tačke dodira pravihAK1 IAK2 na dati krug.

Ispravnost rješenja zadatka potvrđuje činjenica da je polumjer kružnice povučene do točke dodira okomit na tangentu kružnice. Ugloviuredu1 AIuredu2 Asu ravni jer se oslanjaju na prečnikJSCkrug sa centrom u tačkiWITH.

Rice. 1.

Kada se konstruišu tangente na dve kružnice, razlikuju se tangenteinterniIvanjski. Ako se centri datih kružnica nalaze na jednoj strani tangente, onda se smatra vanjskim, a ako su centri kružnica na suprotnim stranama tangente, smatra se unutrašnjim.

O1 IO2 R1 IR2 . Potrebno je povući vanjske tangente na date kružnice.

Za tačnu konstrukciju potrebno je odrediti tangente pravih i datih kružnica. Ako su polumjeri kružnica sa centrimaO1 IO2 počnite sukcesivno smanjivati ​​za istu vrijednost, tada možete dobiti niz koncentričnih krugova manjih prečnika. Štaviše, u svakom slučaju smanjenja radijusa, tangente na manje kružnice će biti paralelne sa željenim. Nakon smanjenja oba polumjera za veličinu manjeg radijusaR2 krug sa centromO2 pretvara u tačku, a krug sa centromO1 će se pretvoriti u koncentrični krug poluprečnikaR3 , jednako razlici polumjeraR1 IR2 .

Koristeći prethodno opisanu metodu, iz tačO2 povući vanjske tangente na krug radijusaR3 , povežite tačkeO1 IO2 , podijeliti sa tačkomWITHlinijski segmentO1 O2 na pola i nacrtajte radijusCO1 luk, čiji će presek sa datom kružnicom odrediti tačke dodira pravihO2 TO1 IO2 TO2 .

DotA1 IA2 tangentnost traženih pravih sa većim krugom nalazi se na nastavku pravihO1 TO1 IO1 TO2 . PoeniIN1 IIN2 tangente manjeg kruga su okomite na osnovuO2 odnosno na pomoćne tangenteO2 TO1 IO2 TO2 . Postavljanjem dodirnih tačaka možete nacrtati željene ravne linijeA1 IN1 IA2 IN2 .

Rice. 2.

Neka su data dva kruga sa centrima u tačkamaO1 IO2 (Sl. 2), koji imaju poluprečnikeR1 IR2 . Potrebno je povući unutrašnje tangente na date kružnice.

Za određivanje dodirnih tačaka pravih linija i kružnica koristimo se rasuđivanjem sličnim onom datom prilikom rješavanja prethodnog problema. Ako smanjite radijusR2 na nulu, zatim krug sa centromO2 pređi na stvar. Međutim, u ovom slučaju, da bi se održao paralelizam pomoćnih tangenta sa željenim polumjeromR1 treba povećati za jednu veličinuR2 i nacrtaj krug sa radijusomR3 , jednak iznosu radijusiR1 IR2 .

Od tačkeO2 povući tangente na krug poluprečnikaR3 , zašto povezivati ​​tačkeO1 IO2 , podijeliti sa tačkomWITHlinijski segmentO1 O2 na pola i nacrtajte luk kruga sa centrom u tačkiWITHi radijusCO1 . Presjek luka s krugom polumjeraR3 će odrediti položaj tačakaTO1 ITO2 tangentnost pomoćnih linijaO2 TO1 IO2 TO2 .

DotA1 IA2 R1 je u presjeku ove kružnice sa segmentomO1 TO1 IO1 TO2 . Za definisanje tačakaU 1IU 2tangentnost traženih pravih sa krugom radijusaR2 sledi iz tačkeO2vratiti okomite na pomoćne linijeO2K1IO2K2sve dok se ne seci sa datim krugom. Imajući tačke dodira između željenih linija i datih kružnica, crtamo prave linijeA1B1IA2B2.

Rice. 3.

U ovom poglavlju vraćamo se na jednu od glavnih geometrijski oblici- u krug. Dokazat će se razne teoreme vezane za kružnice, uključujući teoreme o kružnicama upisanim u trokut, četverokut i opisane kružnice oko ovih figura. Pored toga, dokazaće se tri tvrdnje o značajnim tačkama trougla - tački preseka simetrala trougla, tački preseka njegovih visina i tački preseka simetrala okomite na stranice trougla. Prve dvije tvrdnje formulisane su još u 7. razredu, a sada ih možemo dokazati.

Hajde da saznamo koliko zajedničkih tačaka može imati prava linija i kružnica, u zavisnosti od njihovog relativnog položaja. Jasno je da ako linija prolazi kroz središte kruga, tada ona siječe krug u dvije točke - krajevi promjera koji leže na ovoj liniji.

Neka prava p ne prolazi središtem O kružnice poluprečnika r. Nacrtajmo okomitu OH na pravu p i označimo slovom d dužinu ove okomice, odnosno udaljenost od središta kružnice ovaj krug na pravu liniju (sl. 211).

Rice. 211

Hajde da istražimo međusobnog dogovora prava i kružnica u zavisnosti od odnosa između d i r. Postoje tri moguća slučaja.

1) d< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

Prema tome, tačke A i B leže na kružnici i, prema tome, zajedničke su tačke prave p i date kružnice.

Dokažimo da prava p i data kružnica nemaju drugih zajedničkih tačaka. Pretpostavimo da imaju još jednu zajedničku tačku C. Tada je medijan OD jednakokračnog trougla O AC povučen na osnovu AC visina ovog trougla, dakle OD ⊥ p. Segmenti OD i OH se ne poklapaju, jer se sredina D segmenta AC ne poklapa sa tačkom H - središtem segmenta AB. Utvrdili smo da su iz tačke O dvije okomice (segmenti OH i OD) povučene na pravu p, što je nemoguće.

dakle, ako je udaljenost od središta kruga do prave linije manja od polumjera kružnice (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . U ovom slučaju, prava se naziva sekansa u odnosu na kružnicu.

2) d = r. U ovom slučaju OH = r, tj. tačka H leži na kružnici i stoga je zajednička tačka prave i kružnice (slika 211.6). Prava p i kružnica nemaju drugih zajedničkih tačaka, jer za bilo koju tačku M prave p, različitu od tačke H, OM > OH = r (kosi OM je veći od okomice OH), te je stoga , tačka M ne leži na kružnici.

Dakle, ako je udaljenost od središta kružnice do prave linije jednaka polumjeru kružnice, tada prava linija i kružnica imaju samo jednu zajedničku točku.

3) d > r. U ovom slučaju, OH > r, dakle, za bilo koju tačku M prave r OM ≥ OH > r (Sl. 211, c). Dakle, tačka M ne leži na kružnici.

Dakle, ako je udaljenost od središta kružnice do prave linije veća od polumjera kružnice, tada ravna linija i kružnica nemaju zajedničkih tačaka.

Tangenta na kružnicu

Dokazali smo da prava i kružnica mogu imati jednu ili dvije zajedničke tačke, a ne moraju imati nijednu zajedničku tačku.

Prava linija koja ima samo jednu zajedničku tačku sa kružnicom naziva se tangenta na kružnicu, a njihova zajednička tačka se naziva tangentna tačka prave i kružnice. Na slici 212, prava p je tangenta na kružnicu sa centrom O, A je tačka dodira.

Dokažimo teoremu o svojstvu tangente na kružnicu.

Teorema

Dokaz

Neka je p tangenta na kružnicu sa centrom O, A tačka tangente (vidi sliku 212). Dokažimo da je tangenta p okomita na poluprečnik OA.

Rice. 212

Pretpostavimo da to nije slučaj. Tada je poluprečnik OA nagnut na pravu r. Kako je okomica povučena iz tačke O na pravu p manja od nagnute OA, udaljenost od centra O kružnice do prave linije p manja je od poluprečnika. Prema tome, prava p i kružnica imaju dvije zajedničke tačke. Ali ovo je u suprotnosti sa uslovom: prava p je tangentna.

Dakle, prava p je okomita na poluprečnik OA. Teorema je dokazana.

Razmotrimo dvije tangente na kružnicu sa centrom O, koje prolaze kroz tačku A i dodiruju kružnicu u tačkama B i C (Sl. 213). Nazovimo segmente AB i AC tangentni segmenti povučeni iz tačke O. Imaju sljedeću imovinu:

Rice. 213

Da bismo dokazali ovu tvrdnju, okrenimo se slici 213. Prema teoremi o svojstvu tangente, uglovi 1 i 2 su pravi uglovi, pa su trouglovi ABO i ACO pravouglovi. Jednaki su jer imaju zajedničku hipotenuzu OA i jednake krate OB i OS. Dakle, AB = AC i ∠3 = ∠4, što je trebalo dokazati.

Dokažimo sada teoremu suprotnu teoremi o svojstvu tangente (svojstvu tangente).

Teorema

Dokaz

Iz uslova teoreme sledi da je ovaj poluprečnik okomit povučen iz centra kružnice na datu pravu. Prema tome, udaljenost od središta kruga do ravne linije jednaka je poluprečniku, pa, prema tome, prava linija i kružnica imaju samo jednu zajedničku tačku. Ali to znači da je ova prava tangenta na kružnicu. Teorema je dokazana.

Rješenje problema koji uključuju konstruiranje tangentne linije zasniva se na ovoj teoremi. Hajde da rešimo jedan od ovih problema.

Zadatak

Kroz datu tačku A kružnice sa centrom O povucite tangentu na ovu kružnicu.

Rješenje

Nacrtajmo pravu O A, a zatim konstruirajmo pravu p koja prolazi kroz tačku A okomitu na pravu O A. Prema kriteriju tangente, prava p je željena tangenta.

Zadaci

631. Neka je d udaljenost od centra kružnice poluprečnika r do prave r. Koliki je relativni položaj prave r i kružnice ako je: a) r = 16 cm, d = 12 cm; b) r = 5 cm, d = 4,2 cm; c) r = 7,2 dm, (2 = 3,7 dm; d) r = 8 cm, d = 1,2 dm; e) r = 5 cm, d = 50 mm?

632. Udaljenost od tačke A do centra kružnice je manja od polumjera kružnice. Dokazati da je svaka prava koja prolazi kroz tačku A sekansa u odnosu na datu kružnicu.

633. Dat je kvadrat O ABC čija je stranica 6 cm i kružnica sa središtem u tački O poluprečnika 5 cm. Koje od pravih OA, AB, BC i AC su sekantne u odnosu na ovu kružnicu?

634. Poluprečnik OM kružnice sa centrom O dijeli tetivu AB na pola. Dokazati da je tangenta povučena kroz tačku M paralelna tetivi AB.

635. Kroz tačku A kružnice povučeni su tangenta i tetiva jednaka poluprečniku kružnice. Pronađite ugao između njih.

636. Kroz krajeve tetive AB povučene su dvije tangente, jednake poluprečniku kružnice, koje se sijeku u tački C. Nađi ugao AC B.

637. Ugao između prečnika AB i tetive AC je 30°. Tangenta je povučena kroz tačku C i siječe pravu AB u tački D. Dokazati da je trougao ACD jednakokrak.

638. Prava AB dodiruje kružnicu sa centrom O poluprečnika r u tački B. Nađi AB ako je OA = 2 cm i r = 1,5 cm.

639. Prava AB dodiruje kružnicu sa centrom O poluprečnika r u tački B. Nađi AB ako je ∠AOB = 60° i r = 12 cm.

640. Dat je krug sa središtem O poluprečnika 4,5 cm i tačkom A. Kroz tačku A povučene su dvije tangente na kružnicu. Pronađite ugao između njih ako je OA = 9 cm.

641. Segmenti AB i AC su tangenti na kružnicu sa centrom O, povučeni iz tačke A. Naći ugao BAC ako središte segmenta AO leži na kružnici.

642. Na slici 213 OB = 3cm, CM. = 6 cm Pronađite AB, AC, ∠3 i ∠4.

643. Prave AB i AC dodiruju kružnicu sa centrom O u tačkama B i C. Nađi BC ako je ∠OAB = 30°, AB = 5 cm.

644. Prave MA i MB dodiruju kružnicu sa centrom O u tačkama A i B. Tačka C je simetrična tački O u odnosu na tačku B. Dokazati da je ∠AMC = 3∠BMC.

645. Sa krajeva prečnika AB date kružnice povučene su okomice AA 1 i BB 1 na tangentu, koja nije okomita na prečnik AB. Dokazati da je tačka dodira središte segmenta A 1 B 1 .

646. U trouglu ABC, ugao B je pravi. Dokazati da je: a) prava BC tangenta na kružnicu sa centrom A poluprečnika AB; b) prava AB je tangenta na kružnicu sa centrom C poluprečnika CB; c) prava AC nije tangenta na kružnice sa centrom B i poluprečnikima BA i BC.

647. Odsječak AN je okomica povučena iz tačke A na pravu koja prolazi kroz centar O kružnice poluprečnika 3 cm.Je prava AN tangenta na kružnicu ako: a) CM. = 5 cm, AN = 4 cm; b) ∠HAO = 45°, CM = 4 cm; c) ∠HAO = 30°, O A = 6 cm?

648. Konstruisati tangentu na kružnicu sa centrom O: a) paralelnu sa datom pravom; b) okomito na datu pravu.

Odgovori na probleme

Direktno ( MN), koji imaju samo jednu zajedničku tačku sa kružnicom ( A), zove tangenta u krug.

U ovom slučaju se zove zajednička tačka tačka kontakta.

Mogućnost postojanja tangenta, i, štaviše, povučen kroz bilo koju tačku krug, kao tačka dodira, dokazuje se na sljedeći način teorema.

Neka se to traži da se izvrši krug sa centrom O tangenta kroz tačku A. Da to uradite iz tačke A, kao iz centra, opisujemo arc radijus A.O., i sa tačke O, kao centar, siječemo ovaj luk u tačkama B I WITH rješenje šestara jednako prečniku date kružnice.

Nakon trošenja tada akordi O.B. I OS, povežite tačku A sa tačkama D I E, na kojoj se te tetive sijeku sa datim krugom. Direktno AD I A.E. - tangente na kružnicu O. Zaista, iz konstrukcije je to jasno trouglovi AOB I AOC jednakokraki(AO = AB = AC) sa bazama O.B. I OS, jednako prečniku kruga O.

Jer O.D. I O.E.- onda radijusi D - srednji O.B., A E- srednji OS, znači AD I A.E. - medijane, povučen na osnovice jednakokračnih trouglova, i stoga okomit na ove osnove. Ako je ravno D.A. I E.A. okomito na poluprečnike O.D. I O.E., onda oni - tangente.

Posljedica.

Dvije tangente povučene iz jedne tačke u kružnicu su jednake i formiraju jednake uglove sa pravom linijom koja povezuje ovu tačku sa centrom.

Dakle AD=AE i ∠ OAD = ∠OAE jer pravokutnih trouglova AOD I AOE, imaju zajedničku hipotenuza A.O. i jednaki noge O.D. I O.E.(kao radijusi), jednaki su. Imajte na umu da ovdje riječ "tangenta" zapravo znači " tangentni segment” od date tačke do tačke kontakta.