Projektovanje vektora na ose. Projekcija (geometrijska, algebarska) vektora na osu. Svojstva projekcija. Vrste projekcija po definiciji vektorske projekcije

Projekcija vektor na osu je vektor koji se dobija množenjem skalarne projekcije vektora na ovu osu i jediničnog vektora ove ose. Na primjer, ako je a x – skalarna projekcija vektor A do ose X, zatim a x i- njegova vektorska projekcija na ovu osu.

Označimo vektorska projekcija isto kao i sam vektor, ali sa indeksom ose na koju se vektor projektuje. Dakle, vektorska projekcija vektora A na osi X koju označavamo A x( mast slovo koje označava vektor i indeks imena ose) ili (nepodebljano slovo koje označava vektor, ali sa strelicom na vrhu (!) i indeksom imena ose).

Skalarna projekcija vektor po osi se zove broj, čija je apsolutna vrijednost jednaka dužini segmenta ose (na odabranoj skali) zatvorenog između projekcija početne i krajnje tačke vektora. Obično umjesto izraza skalarna projekcija jednostavno kažu - projekcija. Projekcija se označava istim slovom kao i projektovani vektor (normalnim, ne podebljanim slovima), sa nižim indeksom (u pravilu) naziva ose na koju se ovaj vektor projektuje. Na primjer, ako se vektor projektuje na os X A, tada je njegova projekcija označena sa x. Prilikom projektovanja istog vektora na drugu osu, ako je os Y, njegova projekcija će biti označena kao y.

Za izračunavanje projekcije vektor na osi (npr. osi X) potrebno je oduzeti koordinatu početne tačke od koordinate njene krajnje tačke, tj.
a x = x k − x n.
Projekcija vektora na osu je broj.Štaviše, projekcija može biti pozitivna ako je vrijednost x k veća od vrijednosti x n,

negativan ako je vrijednost x k manja od vrijednosti x n

i jednako nuli ako je x k jednako x n.

Projekcija vektora na osu može se naći i poznavanjem modula vektora i ugla koji čini sa ovom osom.

Sa slike je jasno da je a x = a Cos α

odnosno, projekcija vektora na osu jednaka je umnošku modula vektora i kosinusa ugla između pravca ose i vektorski pravac. Ako je ugao oštar, onda
Cos α > 0 i a x > 0, a ako je tup, onda je kosinus tupog ugla negativan, a projekcija vektora na osu će također biti negativna.

Uglovi mjereni od ose u smjeru suprotnom od kazaljke na satu smatraju se pozitivnim, a uglovi mjereni duž ose su negativni. Međutim, pošto je kosinus parna funkcija, odnosno Cos α = Cos (− α), pri izračunavanju projekcija uglovi se mogu brojati i u smeru kazaljke na satu i u suprotnom smeru.

Da bi se pronašla projekcija vektora na osu, modul ovog vektora mora se pomnožiti kosinusom ugla između smjera ose i smjera vektora.

Vektorske koordinate— koeficijenti jedine moguće linearne kombinacije baznih vektora u odabranom koordinatnom sistemu, jednaki datom vektoru.

gdje su koordinate vektora.

Dot product vektori

Skalarni proizvod vektora[- u konačno-dimenzionalnom vektorski prostor definira se kao zbir proizvoda identičnih komponenti koje se množe vektori.

Na primjer, S.p.v. a = (a 1 , ..., a n) I b = (b 1 , ..., b n):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

A. Projekcija tačke A na osu PQ (slika 4) je osnova a okomice spuštene iz date tačke na datu osu. Osa na koju projektujemo naziva se osa projekcije.

b. Neka su date dvije ose i vektor A B, prikazan na sl. 5.

Vektor čiji je početak projekcija početka, a kraj projekcija kraja ovog vektora naziva se projekcija vektora A B na osu PQ.

Ponekad PQ indikator nije napisan na dnu; to se radi u slučajevima kada, osim PQ, nema drugog OS-a za dizajn.

With. Teorema I. Veličine vektora koji leže na jednoj osi su povezane kao veličine njihovih projekcija na bilo koju osu.

Neka su date ose i vektori prikazani na slici 6. Iz sličnosti trouglova jasno je da su dužine vektora povezane kao dužine njihovih projekcija, tj.

Budući da su vektori na crtežu usmjereni u različitim smjerovima, njihove veličine imaju različite predznake,

Očigledno, veličine projekcija također imaju različite predznake:

zamenivši (2) u (3) u (1), dobijamo

Preokrenuvši znakove, dobijamo

Ako su vektori jednako usmjereni, tada će i njihove projekcije biti istog smjera; u formulama (2) i (3) neće biti znakova minus. Zamjenom (2) i (3) u jednakost (1), odmah dobijamo jednakost (4). Dakle, teorema je dokazana za sve slučajeve.

d. Teorema II. Veličina projekcije vektora na bilo koju osu jednaka je veličini vektora pomnoženoj sa kosinusom ugla između ose projekcija i ose vektora . 7. Konstruirajmo vektor istog smjera kao i njegova osa i nacrtajmo, na primjer, iz tačke presjeka osa. Neka je njegova dužina jednaka jedan. Zatim njegova veličina

Definicija 1. Na ravni, paralelna projekcija tačke A na osu l je tačka - tačka preseka l ose sa pravom linijom povučenom kroz tačku A paralelno sa vektorom koji određuje smer projektovanja.

Definicija 2. Paralelna projekcija vektora na osu l (na vektor) je koordinata vektora u odnosu na osnovu osa l, gde su tačke i paralelne projekcije tačaka A i B na osu l (slika 1).

Prema definiciji koju imamo

Definicija 3. ako i osnova osi l Kartezijanska, odnosno projekcija vektora na l osu naziva se ortogonalnim (slika 2).

U prostoru ostaje na snazi ​​definicija 2 vektorske projekcije na osu, samo je smjer projekcije određen sa dva nekolinearna vektora (slika 3).

Iz definicije projekcije vektora na osu slijedi da je svaka koordinata vektora projekcija ovog vektora na osu definiranu odgovarajućim baznim vektorom. U ovom slučaju, smjer dizajna je specificiran sa dva druga bazna vektora ako se projektiranje izvodi (razmatra) u prostoru, ili drugim baznim vektorom ako se dizajn razmatra na ravni (slika 4).

Teorema 1. Ortogonalna projekcija vektora na l osu jednaka je proizvodu modula vektora i kosinusa ugla između pozitivnog smjera l ose i, tj.

Na drugoj strani

Od nalazimo

Zamjenom AC u jednakost (2) dobijamo

Od brojeva x i isti predznak u oba razmatrana slučaja ((sl. 5, a) ; (sl. 5, b), onda iz jednakosti (4) slijedi

Komentar. U nastavku ćemo razmatrati samo ortogonalnu projekciju vektora na osu i stoga će riječ “ort” (ortogonalno) biti izostavljena iz notacije.

Predstavimo nekoliko formula koje se kasnije koriste u rješavanju problema.

a) Projekcija vektora na osu.

Ako, onda ortogonalna projekcija na vektor prema formuli (5) ima oblik

c) Udaljenost od tačke do ravni.

Neka je b data ravan sa normalnim vektorom, M je data tačka,

d je rastojanje od tačke M do ravni b (slika 6).

Ako je N proizvoljna tačka ravni b, i i su projekcije tačaka M i N na osu, tada

• G) Udaljenost između linija koje se seku.

Neka su a i b date linije koje se ukrštaju, neka su vektor okomit na njih, A i B su proizvoljne tačke pravih a i b, redom (slika 7), i i projekcije tačaka A i B na, tada

e) Udaljenost od tačke do prave.

Neka l- zadata prava sa vektorom pravca, M - data tačka,

N - njegova projekcija na pravu l, zatim - potrebna udaljenost (slika 8).

Ako je A proizvoljna tačka na pravoj l, zatim unutra pravougaonog trougla MNA, hipotenuza MA i kraci se mogu naći. znači,

f) Ugao između prave i ravni.

Neka je vektor smjera ove linije l, - vektor normale date ravni b, - projekcija prave linije l do ravni b (slika 9).

Kao što je poznato, ugao μ između prave linije l a njegova projekcija na ravan b naziva se ugao između prave i ravni. Imamo

Navedimo primjere rješavanja metričkih problema pomoću vektorsko-koordinatne metode.

Neka su dva vektora i data u prostoru. Odgodimo sa proizvoljne tačke O vektori i . Ugao između vektora naziva se najmanji od uglova. Određeno .

Uzmite u obzir osu l i nacrtajte jedinični vektor na njemu (tj. vektor čija je dužina jednaka jedan).

Pod uglom između vektora i ose l razumjeti ugao između vektora i .

Pa neka l je neka osa i vektor.

Označimo sa A 1 I B 1 projekcije na osu l odnosno bodova A I B. Pretpostavimo to A 1 ima koordinate x 1, A B 1– koordinata x 2 na osi l.

Onda projekcija vektor po osi l zove razlika x 1 – x 2 između koordinata projekcija kraja i početka vektora na ovu osu.

Projekcija vektora na osu l označićemo .

Jasno je da ako je ugao između vektora i ose l ljuto onda x 2> x 1, i projekcija x 2 – x 1> 0; ako je ovaj ugao tup, onda x 2< x 1 i projekcija x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, To x 2= x 1 I x 2– x 1=0.

Dakle, projekcija vektora na osu l je dužina segmenta A 1 B 1, snimljen sa određenim predznakom. Dakle, projekcija vektora na osu je broj ili skalar.

Slično se određuje i projekcija jednog vektora na drugi. U ovom slučaju se nalaze projekcije krajeva ovog vektora na pravu na kojoj leži 2. vektor.

Pogledajmo neke osnovne svojstva projekcija.

LINEARNO ZAVISNI I LINEARNO NEZAVISNI VEKTORSKI SISTEMI

Razmotrimo nekoliko vektora.

Linearna kombinacija od ovih vektora je bilo koji vektor oblika , gdje su neki brojevi. Brojevi se nazivaju koeficijenti linearne kombinacije. Takođe kažu da se u ovom slučaju linearno izražava kroz ove vektore, tj. se od njih dobija pomoću linearnih akcija.

Na primjer, ako su data tri vektora, onda se sljedeći vektori mogu smatrati njihovom linearnom kombinacijom:

Ako je vektor predstavljen kao linearna kombinacija nekih vektora, onda se kaže da jeste lay out duž ovih vektora.

Vektori se nazivaju linearno zavisna, ako postoje brojevi, nisu svi jednaki nuli, tako da . Jasno je da će dati vektori biti linearno zavisni ako je bilo koji od ovih vektora linearno izražen kroz ostale.

Inače, tj. kada je odnos izvodi samo kada , ovi vektori se nazivaju linearno nezavisna.

Teorema 1. Bilo koja dva vektora su linearno zavisna ako i samo ako su kolinearna.

Dokaz:

Sljedeća teorema se može dokazati na sličan način.

Teorema 2. Tri vektora su linearno zavisna ako i samo ako su koplanarna.

Dokaz.

OSNOVA

Osnova je skup linearno nezavisnih vektora koji nisu nula. Elemente baze ćemo označiti sa .

U prethodnom pasusu smo vidjeli da su dva nekolinearna vektora na ravni linearno nezavisna. Dakle, prema teoremi 1 iz prethodnog stava, osnova na ravni su bilo koja dva nekolinearna vektora na ovoj ravni.

Slično, bilo koja tri nekoplanarna vektora su linearno nezavisna u prostoru. Prema tome, tri nekoplanarna vektora nazivamo osnovom u prostoru.

Sljedeća izjava je tačna.

Teorema. Neka je baza data u prostoru. Tada se bilo koji vektor može predstaviti kao linearna kombinacija , Gdje x, y, z- neki brojevi. Ovo je jedina dekompozicija.

Dokaz.

Dakle, baza omogućava da svaki vektor bude jedinstveno povezan sa trojkom brojeva - koeficijentima proširenja ovog vektora u bazne vektore: . Za svaka tri broja vrijedi i obrnuto x, y, z koristeći osnovu, možete uporediti vektor ako napravite linearnu kombinaciju .

Ako je osnova i , zatim brojevi x, y, z su pozvani koordinate vektor u datoj bazi. Vektorske koordinate su označene sa .

KARTEZIJANSKI KOORDINATNI SISTEM

Neka je tačka data u prostoru O i tri nekoplanarna vektora.

Dekartov koordinatni sistem u prostoru (na ravni) je skup tačke i baze, tj. zbirka tačke i tri nekoplanarna vektora (2 nekolinearna vektora) koji izlaze iz ove tačke.

Dot O naziva porijeklo; prave linije koje prolaze kroz ishodište koordinata u pravcu baznih vektora nazivaju se koordinatne ose – apscisa, ordinatna i aplikativna osa. Ravnine koje prolaze kroz koordinatne ose nazivaju se koordinatne ravni.

Razmotrite proizvoljnu tačku u odabranom koordinatnom sistemu M. Hajde da uvedemo koncept koordinata tačke M. Vektor koji povezuje ishodište sa točkom M. pozvao radijus vektor bodova M.

Vektor u odabranoj bazi može biti povezan s trostrukom brojeva – njegovim koordinatama: .

Koordinate radijus vektora tačke M. su pozvani koordinate tačke M. u koordinatnom sistemu koji se razmatra. M(x,y,z). Prva koordinata se zove apscisa, druga je ordinata, a treća aplikata.

Slično se određuju kartezijanske koordinate na ravni. Ovdje tačka ima samo dvije koordinate - apscisu i ordinatu.

Lako je vidjeti da za dati koordinatni sistem svaka tačka ima određene koordinate. S druge strane, za svaku trojku brojeva postoji jedna tačka koja ove brojeve ima kao koordinate.

Ako vektori uzeti kao osnova u odabranom koordinatnom sistemu imaju jediničnu dužinu i po paru su okomiti, tada se koordinatni sistem naziva Kartezijanski pravougaoni.

Lako je to pokazati.

Kosinusi smjera vektora u potpunosti određuju njegov smjer, ali ništa ne govore o njegovoj dužini.

Vektorski opis pokreta je koristan, jer na jednom crtežu uvijek možete prikazati mnogo različitih vektora i dobiti vizualnu "sliku" kretanja pred vašim očima. Međutim, korištenje ravnala i kutomjera svaki put za izvođenje operacija s vektorima vrlo je radno intenzivno. Stoga se ove radnje svode na radnje sa pozitivnim i negativni brojevi– projekcije vektora.

Projekcija vektora na osu naziva se skalarna veličina jednaka proizvodu modula projektovanog vektora i kosinusa ugla između pravaca vektora i odabrane koordinatne ose.

Na lijevom crtežu prikazan je vektor pomaka čiji je modul 50 km i formira se njegov smjer tupi ugao 150° sa smjerom ose X. Koristeći definiciju, nalazimo projekciju pomaka na osi X.

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Budući da je ugao između osa 90°, lako je izračunati da smjer kretanja čini oštar ugao od 60° sa smjerom Y ose. Koristeći definiciju, nalazimo projekciju pomaka na Y os:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Kao što možete vidjeti, ako smjer vektora formira oštar ugao sa smjerom ose, projekcija je pozitivna; ako smjer vektora formira tupi ugao sa smjerom ose, projekcija je negativna.

Desni crtež prikazuje vektor brzine čiji je modul 5 m/s, a pravac čini ugao od 30° sa smerom ose X. Nađimo projekcije:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Mnogo je lakše pronaći projekcije vektora na ose ako su projektovani vektori paralelni ili okomiti na izabrane ose. Imajte na umu da su za slučaj paralelizma moguće dvije opcije: vektor je kosmjeran prema osi i vektor je suprotan osi, a za slučaj okomitosti postoji samo jedna opcija.

Projekcija vektora okomita na osu je uvijek nula (vidi sy i ay na lijevom crtežu, a sx i υx na desnom crtežu). Zaista, za vektor okomit na osu, ugao između njega i ose je 90°, pa je kosinus jednaka nuli, što znači da je projekcija jednaka nuli.

Projekcija vektora kosmjernog sa osom je pozitivna i jednaka je njegovoj apsolutnoj vrijednosti, na primjer, sx = +s (vidi lijevi crtež). Zaista, za vektor kosmjeran s osom, ugao između njega i ose je nula, a njegov kosinus je "+1", odnosno, projekcija je jednaka dužini vektora: sx = x – xo = + s .

Projekcija vektora nasuprot osi je negativna i jednaka je njegovoj apsolutnoj vrijednosti, uzetoj sa predznakom minus, na primjer, sy = –s (vidi desni crtež). Zaista, za vektor suprotan osi, ugao između njega i ose je 180°, a njegov kosinus je "-1", to jest, projekcija je jednaka dužini vektora uzetog sa negativnim predznakom: sy = y – yo = –s .

Desne strane oba crteža prikazuju druge slučajeve u kojima su vektori paralelni jednom od njih koordinatne ose i okomito na drugu. Pozivamo vas da se i u ovim slučajevima uvjerite da se i u ovim slučajevima poštuju pravila formulirana u prethodnim paragrafima.