Derivat i diferencijal kompleksne funkcije više varijabli. Parcijalni izvod Djelomični izvod primjeri kompleksne funkcije s rješenjem

1°. Slučaj jedne nezavisne varijable. Ako je z=f(x,y) diferencijabilna funkcija argumenata x i y, koji su zauzvrat diferencijabilne funkcije nezavisne varijable t: , zatim izvod kompleksne funkcije može se izračunati pomoću formule

Primjer. Pronađite ako, gdje.

Rješenje. Prema formuli (1) imamo:

Primjer. Naći parcijalni izvod i ukupni izvod ako .

Rješenje. .

Na osnovu formule (2) dobijamo .

2°. Slučaj nekoliko nezavisnih varijabli.

Neka z =f (x ;y) - funkcija dvije varijable X I y, od kojih je svaka funkcija nezavisne varijable t : x =x (t ), y =y (t). U ovom slučaju funkcija z =f (x (t);y (t)) je kompleksna funkcija jedne nezavisne varijable t; varijable x i y su srednje varijable.

Teorema. Ako z == f(x ; y) - diferencibilan u jednoj tački M(x;y)D funkcija i x =x (t) I at =y (t) - diferencibilne funkcije nezavisne varijable t, zatim derivacija kompleksne funkcije z (t) == f(x (t);y (t)) izračunato po formuli

poseban slučaj:z = f (x ; y), gdje je y = y(x), one. z = f (x ;y (x )) - kompleksna funkcija jedne nezavisne varijable X. Ovaj slučaj se svodi na prethodni i ulogu varijable t igra X. Prema formuli (3) imamo:

.

Posljednja formula se zove formule ukupnih derivata.

Opšti slučaj:z = f (x ;y ), Gdje x =x (u ;v ),y =y (u ;v). Tada je z = f (x (u ;v);y (u ;v)) - kompleksna funkcija nezavisnih varijabli I I v. Njegovi parcijalni derivati ​​se mogu naći pomoću formule (3) kako slijedi. Popravio sam v, zamjenjujemo u njemu , odgovarajuće parcijalne izvode

Dakle, derivacija kompleksne funkcije (z) u odnosu na svaku nezavisnu varijablu (I I v) jednak je zbroju proizvoda parcijalnih izvoda ove funkcije (z) u odnosu na njene međuvarijable (x i y) na njihove derivate u odnosu na odgovarajuću nezavisnu varijablu (u i v).

U svim razmatranim slučajevima formula je važeća

(svojstvo invarijantnosti totalnog diferencijala).

Primjer. Pronađite i ako je z = f(x,y), gdje je x =uv, .

Rješenje. Primjenom formula (4) i (5) dobijamo:

Primjer. Pokažite da funkcija zadovoljava jednadžbu .

Rješenje. Funkcija zavisi od x i y kroz srednji argument, dakle

Zamjenom parcijalnih izvoda u lijevu stranu jednačine, imamo:

To jest, funkcija z zadovoljava ovu jednačinu.

Derivat u datom smjeru i gradijentu funkcije

1°. Derivat funkcije u datom smjeru. Derivat funkcije z= f(x,y) u ovom pravcu pozvao , gdje su i vrijednosti funkcije u tačkama i . Ako je funkcija z diferencijabilna, formula je važeća

gdje su uglovi između pravaca l i odgovarajuće koordinatne ose. Izvod u datom smjeru karakterizira brzinu promjene funkcije u tom smjeru.

Primjer. Naći izvod funkcije z = 2x 2 - 3 2 u tački P (1; 0) u pravcu koji sa OX osom čini ugao od 120°.

Rješenje. Nađimo parcijalne izvode ove funkcije i njihove vrijednosti u tački P.

Dat je dokaz formule za izvod kompleksne funkcije. Detaljno se razmatraju slučajevi kada složena funkcija zavisi od jedne ili dve varijable. Generalizacija se vrši na slučaj proizvoljnog broja varijabli.

Vidi također: Primjeri korištenja formule za izvod kompleksne funkcije

Osnovne formule

Ovdje pružamo izvođenje sljedećih formula za izvod kompleksne funkcije.
Ako onda
.
Ako onda
.
Ako onda
.

Derivat kompleksne funkcije iz jedne varijable

Neka funkcija varijable x bude predstavljena kao kompleksna funkcija u sljedećem obliku:
,
gdje postoje neke funkcije. Funkcija je diferencibilna za neku vrijednost varijable x. Funkcija je diferencibilna po vrijednosti varijable.
Tada je kompleksna (kompozitna) funkcija diferencibilna u tački x i njen izvod je određen formulom:
(1) .

Formula (1) se takođe može napisati na sledeći način:
;
.

Dokaz

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju.
;
.
Ovdje postoji funkcija varijabli i , Tu je funkcija varijabli i . Ali ćemo izostaviti argumente ovih funkcija kako ne bismo zatrpali proračune.

Budući da su funkcije i diferencijabilne u točkama x i , respektivno, tada u tim točkama postoje derivacije ovih funkcija, koje su sljedeće granice:
;
.

Razmotrite sljedeću funkciju:
.
Za fiksnu vrijednost varijable u, je funkcija od . Očigledno je da
.
Onda
.

Pošto je funkcija diferencijabilna funkcija u tački, ona je u toj tački kontinuirana. Zbog toga
.
Onda
.

Sada nalazimo derivat.

.

Formula je dokazana.

Posljedica

Ako se funkcija varijable x može predstaviti kao kompleksna funkcija kompleksne funkcije
,
tada je njegov izvod određen formulom
.
Ovdje i postoje neke diferencibilne funkcije.

Da bismo dokazali ovu formulu, sekvencijalno izračunavamo derivaciju koristeći pravilo za diferenciranje kompleksne funkcije.
Razmotrite složenu funkciju
.
Njegov derivat
.
Razmotrite originalnu funkciju
.
Njegov derivat
.

Derivat kompleksne funkcije iz dvije varijable

Sada neka kompleksna funkcija zavisi od nekoliko varijabli. Prvo da pogledamo slučaj kompleksne funkcije dvije varijable.

Neka funkcija koja zavisi od varijable x bude predstavljena kao kompleksna funkcija dvije varijable u sljedećem obliku:
,
Gdje
i postoje diferencibilne funkcije za neku vrijednost varijable x;
- funkcija dvije varijable, diferencibilne u točki , . Tada je kompleksna funkcija definirana u određenom susjedstvu tačke i ima derivaciju, koja je određena formulom:
(2) .

Dokaz

Budući da su funkcije i diferencijabilne u tački, one su definirane u određenom susjedstvu ove točke, kontinuirane su u tački, a njihovi derivati ​​postoje u tački, a to su sljedeće granice:
;
.
Evo
;
.
Zbog kontinuiteta ovih funkcija u jednoj tački, imamo:
;
.

Budući da je funkcija diferencijabilna u tački, ona je definirana u određenom susjedstvu ove tačke, kontinuirana je u ovoj tački, a njen prirast se može napisati u sljedećem obliku:
(3) .
Evo

- povećanje funkcije kada se njeni argumenti povećaju za vrijednosti i ;
;

- parcijalni derivati ​​funkcije u odnosu na varijable i .
Za fiksne vrijednosti i , i su funkcije varijabli i . Oni teže nuli na i:
;
.
Od i , tada
;
.

Povećanje funkcije:

. :
.
Zamijenimo (3):



.

Formula je dokazana.

Derivat kompleksne funkcije iz nekoliko varijabli

Gornji zaključak se lako može generalizirati na slučaj kada je broj varijabli kompleksne funkcije veći od dvije.

Na primjer, ako je f funkcija tri varijable, To
,
Gdje
, i postoje diferencibilne funkcije za neku vrijednost varijable x;
- diferencijabilna funkcija tri varijable u točki , , .
Tada, iz definicije diferencijabilnosti funkcije, imamo:
(4)
.
Jer, zbog kontinuiteta,
; ; ,
To
;
;
.

Dijelimo (4) sa i prelazimo na granicu, dobijamo:
.

I na kraju, razmotrimo najopštiji slučaj.
Neka funkcija varijable x bude predstavljena kao kompleksna funkcija od n varijabli u sljedećem obliku:
,
Gdje
postoje diferencibilne funkcije za neku vrijednost varijable x;
- diferencijabilna funkcija n varijabli u tački
, , ... , .
Onda
.

§ 5. Parcijalni izvod kompleksnih funkcija. diferencijali složenih funkcija

1. Parcijalni izvod kompleksne funkcije.

Neka je funkcija dvije varijable čiji argumenti I , su same funkcije dvije ili više varijabli. Na primjer, neka
,
.

Onda će složena funkcija nezavisne varijable I , varijable će biti za nju međuvarijable. U ovom slučaju, kako pronaći parcijalne izvode funkcije u odnosu na i ?

Možete to, naravno, izraziti direktno u terminima i:

i tražiti parcijalne izvode rezultujuće funkcije. Ali izraz može biti vrlo složen i može pronaći parcijalne derivate , tada će biti potrebno mnogo truda.

Ako funkcije
,
,
su diferencibilne, a zatim pronađite a moguće je i bez pribjegavanja direktnom izražavanju kroz i . U ovom slučaju, formule će biti važeće

(5.1)

Zaista, hajde da iznesemo argument prirast
, – konst. Zatim funkcije
I će dobiti inkremente

i funkcija će se povećati

Gdje , – beskonačno malo pri
,
. Podijelimo sve pojmove posljednje jednakosti sa . Dobijamo:

Pošto su po uslovu funkcije i diferencibilne, one su kontinuirane. Stoga, ako
, zatim i . To znači da prelaskom na granicu u posljednjoj jednakosti dobijamo:

(od , su beskonačno male za , ).

Druga jednakost iz (5.1) dokazuje se na sličan način.

PRIMJER. Neka
, Gdje
,
. Tada je kompleksna funkcija nezavisnih varijabli i . Za pronalaženje njegovih parcijalnih izvoda koristimo formulu (5.1). Imamo

Zamjenom u (5.1) dobijamo

,

Formule (5.1) su prirodno generalizovane na slučaj funkcije sa većim brojem nezavisnih i međuargumenata. Naime, ako

………………………

i sve funkcije koje se razmatraju su diferencibilne, onda za bilo koju
postoji jednakost

Također je moguće da su argumenti funkcije funkcije samo jedne varijable, tj.

,
.

Tada će to biti složena funkcija samo jedne varijable i možemo postaviti pitanje nalaženja derivacije . Ako funkcije
,
su diferencibilne, onda se može naći po formuli
(5.2)

PRIMJER. Neka
, Gdje
,
. Ovdje je složena funkcija jedne nezavisne varijable. Koristeći formulu (5.2) dobijamo

.

I konačno, moguće je da ulogu nezavisne varijable igra , tj. ,

Gdje
.

Iz formule (5.2) tada dobijamo

(5.3)

(jer
). Derivat , koji stoji u formuli (5.3) desno je parcijalni izvod funkcije u odnosu na . Izračunava se sa fiksnom vrijednošću. Derivat na lijevoj strani formule (5.3) se zove potpuni izvod funkcije . Prilikom izračunavanja uzeto je u obzir da zavisi na dva načina: direktno i preko drugog argumenta.

PRIMJER. Pronađite i za funkciju
, Gdje
.

Imamo
.

Za pronalaženje koristimo formulu (5.3). Dobijamo

.

I na kraju ovog paragrafa, napominjemo da je formule (5.2) i (5.3) lako generalizirati na slučaj funkcija s velikim brojem međuargumenata.

2. Diferencijal kompleksne funkcije.

Podsjetimo da ako

je diferencijabilna funkcija dvije nezavisne varijable, tada po definiciji

, (5.4)

ili u drugom obliku
. (5.5)

Prednost formule (5.5) je da ostaje istinita čak i kada je složena funkcija.

Doista, neka , gdje , . Pretpostavimo da su funkcije , , diferencijabilne. Tada će i kompleksna funkcija biti diferencijabilna i njen ukupni diferencijal prema formuli (5.5) će biti jednak

.

Primjenom formule (5.1) za izračunavanje parcijalnih izvoda kompleksne funkcije, dobijamo

Budući da su potpuni diferencijali funkcija i u zagradi, konačno imamo

Dakle, uvjereni smo da i u slučaju kada su i nezavisne varijable, iu slučaju kada su i zavisne varijable, diferencijal funkcije može biti zapisan u obliku (5.5). S tim u vezi, ovaj oblik snimanja ukupnog diferencijala se naziva invarijantna . Oblik pisanja diferencijala predložen u (5.4) neće biti invarijantan, može se koristiti samo u slučaju kada su i nezavisne varijable. Ni oblik pisanja diferencijala neće biti nepromjenjiv -th red. Podsjetimo da smo ranije pokazali da je diferencijal reda funkcija dvije varijable može se naći po formuli

. (4.12)

Ali ako nisu nezavisne varijable, onda formula (4.12) za
prestaje da bude istinito.

Očigledno je da se sva razmišljanja izvedena u ovom dijelu za funkciju dvije varijable mogu ponoviti u slučaju funkcije s većim brojem argumenata. Stoga se za funkciju diferencijal može napisati u dva oblika:

a drugi oblik notacije će biti invarijantan, tj. pošteno čak iu slučaju kada
nisu nezavisne varijable, već srednji argumenti.

§ 6. Diferencijacija implicitnih funkcija

Govoreći o načinima definiranja funkcije jedne ili više varijabli, primijetili smo da analitička definicija funkcije može biti eksplicitna ili implicitna. U prvom slučaju, vrijednost funkcije se nalazi iz poznatih vrijednosti argumenata; u drugom, vrijednost funkcije i njeni argumenti su povezani nekom jednačinom. Međutim, nismo precizirali kada su jednačine

I

definiraju implicitno specificirane funkcije i respektivno. Dovoljni uslovi za postojanje implicitne funkcije laki za upotrebu varijable (
) sadržani su u sljedećoj teoremi.

TEOREMA6.1 . (postojanje implicitne funkcije) Neka funkcija
i njegove parcijalne derivate
su definirane i kontinuirane u nekom susjedstvu tačke. Ako
I
, onda postoji takvo susjedstvo tačka u kojoj je jednačina

definira kontinuiranu funkciju i

1) Razmotrite jednačinu
. Uslovi teoreme su, na primjer, zadovoljeni u bilo kojoj okolini tačke
. Dakle, u nekom susjedstvu tačke
ova jednadžba definira kao implicitnu funkciju dvije varijable i . Eksplicitni izraz ove funkcije može se lako dobiti rješavanjem jednadžbe za:

2) Razmotrite jednačinu
. Definira dvije funkcije dvije varijable i . Zaista, uslovi teoreme su zadovoljeni, na primjer, u bilo kojoj okolini tačke

, u kojoj data jednadžba definira kontinuiranu funkciju koja poprima vrijednost
.

S druge strane, uslovi teoreme su zadovoljeni u bilo kojoj okolini tačke
. Prema tome, u određenom susjedstvu tačke jednačina definira kontinuiranu funkciju koja uzima vrijednost u tački
.

Budući da funkcija ne može poprimiti dvije vrijednosti u jednoj tački, to znači da govorimo o dvije različite funkcije
i shodno tome. Hajde da pronađemo njihove eksplicitne izraze. Da bismo to učinili, riješimo originalnu jednačinu za . Dobijamo

3) Razmotrite jednačinu
. Očigledno je da su uslovi teoreme zadovoljeni u bilo kojoj okolini tačke
. Prema tome, postoji takvo susjedstvo tačke
, u kojem je jednadžba definirana kao implicitna funkcija varijable . Nemoguće je dobiti eksplicitan izraz za ovu funkciju, jer se jednadžba ne može riješiti u odnosu na .

4) Jednačina
ne definira nikakvu implicitnu funkciju, jer ne postoje parovi realnih brojeva i koji je zadovoljavaju.

Funkcija
, dato jednačinom
, prema teoremi 6.1, ima kontinuirane parcijalne izvode u odnosu na sve argumente u susjedstvu tačke. Hajde da saznamo kako ih pronaći bez eksplicitnog navođenja funkcije.

Neka funkcija
zadovoljava uslove teoreme 6.1. Zatim jednačina
kontinuirana funkcija
. Razmotrite složenu funkciju
, Gdje . Funkcija je složena funkcija jedne varijable, i if
, To

(6.1)

S druge strane, prema formuli (5.3) izračunati ukupni derivat
(6.2)

Iz (6.1) i (6.2) dobijamo da ako , onda

(6.3)

Komentar. Podijeli po moguće, jer prema teoremi 6.1
bilo gdje u blizini.

PRIMJER. Nađite izvod implicitne funkcije date jednadžbom i izračunajte njenu vrijednost na
.

,
.

Zamjenom parcijalnih izvoda u formulu (6.3) dobijamo

.

Zatim, zamjenom u originalnu jednačinu, nalazimo dvije vrijednosti:
I
.

Prema tome, u susjedstvu tačke jednačina definira dvije funkcije:
I
, Gdje
,
. Njihovi derivati ​​će biti jednaki

I
.

Neka sada jednačina
definira u nekom susjedstvu tačke
funkcija Hajde da ga nađemo. Podsjetimo se da je to u stvari običan izvod funkcije koja se smatra funkcijom varijable pri konstantnoj vrijednosti. Stoga možemo primijeniti formulu (6.3) da bismo je pronašli, smatrajući je funkcijom, argumentom, konstantom. Dobijamo

. (6.4)

Slično, uzimajući u obzir funkciju, argument, konstantu, koristeći formulu (6.3) nalazimo

. (6.5)

PRIMJER. Naći parcijalne izvode funkcije zadane jednadžbom
.

,
,
.

Koristeći formule (6.4) i (6.5), dobijamo

,
.

Konačno, razmotrimo opšti slučaj kada je jednačina

definira funkciju varijabli u određenom susjedstvu točke. Ponavljajući argumente izvedene za implicitno datu funkciju dvije varijable, dobijamo

,
, …,
.

§ 7. Smjerni izvod

1. Smjerni derivat.

Neka je funkcija dvije varijable definirana u nekom domenu
avion
, – tačka regiona, –vektor bilo kojeg smjera. Hajdemo sa tačke
do tačke u pravcu vektora. Funkcija će dobiti povećanje

Podijelimo inkrement funkcije
po dužini ofset segmenta
. Rezultirajući omjer
daje prosječnu brzinu promjene funkcije u području
. Tada je granica ovog omjera na
(ako postoji i konačan je) bit će brzina promjene funkcije u tački
u pravcu vektora. On je zvao izvod funkcije u tački u smjeru vektora i označiti
ili
.

Osim brzine promjene funkcije, također vam omogućava da odredite prirodu promjene funkcije u tački u smjeru vektora (povećanje ili smanjenje):

Ovi iskazi se dokazuju na isti način kao i slični za funkciju jedne varijable.

Imajte na umu da su parcijalni izvod funkcije poseban slučaj usmjerenog izvoda. Naime,
ovo je derivacija funkcije u smjeru vektora (smjer osi
), je derivacija funkcije u smjeru vektora (smjer osi
).

Pretpostavimo da je funkcija diferencibilna u tački. Onda

Gdje – beskonačno malo pri
.