Derivati ​​elementarnih dokazanih funkcija. Derivat funkcije. Detaljna teorija sa primjerima. Koncept inverzne funkcije

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definirana pravila diferencijacije. . Prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata bili su Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu derivati ​​i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz pod predznakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Zatim pronalazimo izvode elementarnih funkcija u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Izvodna tablica i pravila diferencijacije dati su nakon prva dva primjera.

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele izvoda saznajemo da je izvod "x" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i pronalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Razlikujemo kao derivaciju sume u kojoj drugi član ima konstantan faktor; može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako se i dalje postavljaju pitanja o tome odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon što se upoznate s tablicom izvedenica i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Prelazimo na njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek jednako nuli. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvek jednako jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti dugo vremena
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratnog korijena
6. Derivat sinusa
7. Derivat kosinusa
8. Derivat tangente
9. Derivat kotangensa
10. Derivat od arcsinusa
11. Derivat arkosinusa
12. Derivat arktangensa
13. Derivat arc kotangensa
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1.Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački, onda su funkcije diferencibilne u istoj tački

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencijabilne funkcije razlikuju po konstantnom članu, onda su njihovi derivati ​​jednaki, tj.

Pravilo 2.Ako funkcije

su diferencibilni u nekom trenutku, onda je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački

i

one. Izvod proizvoda dvije funkcije jednak je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge.

Zaključak 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Zaključak 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju proizvoda izvoda svakog faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3.Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciranu/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat od bivši brojilac.

Gdje tražiti stvari na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa u članku ima više primjera o tim izvodnicama"Derivat proizvoda i količnik funkcija".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegov izvod je jednak nuli, a u slučaju konstantnog faktora uzet je iz predznaka izvoda. Ovo je tipična greška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student riješi nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je razmatran u primjeru 10).

Druga česta greška je mehanički rješavanje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima I Operacije sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za izvode razlomaka sa potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda kao , zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima."

Ako imate zadatak kao , onda ćete uzeti lekciju “Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbroji, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbiru drugi član ima predznak minus. U svakom zbiru vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće derivacijske vrijednosti:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

I možete provjeriti rješenje problema derivata na.

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda od nazivnik, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i potencija, kao što je npr. , onda dobro došli na čas "Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate saznati više o izvodima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda lekcija za vas "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, čiji smo izvod upoznali u tabeli derivacija. Koristeći pravilo za razlikovanje proizvoda i tabelarne vrijednosti izvoda kvadratnog korijena, dobijamo:

Rješenje problema izvoda možete provjeriti na online kalkulator derivata .

Primjer 6. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo količnik čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarne vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Dokažite formule 3 i 5 sami.

OSNOVNA PRAVILA DIFERENCIJACIJE

Koristeći opštu metodu pronalaženja derivacije pomoću granice, mogu se dobiti najjednostavnije formule diferencijacije. Neka u=u(x),v=v(x)– dvije diferencibilne funkcije varijable x.

Dokažite formule 1 i 2 sami.

Dokaz formule 3.

Neka y = u(x) + v(x). Za vrijednost argumenta x+Δ x imamo y(x+Δ x)=u(x+Δ x) + v(x+Δ x).

Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.

dakle,

Dokaz formule 4.

Neka y=u(x)·v(x). Onda y(x+Δ x)=u(x+Δ x)· v(x+Δ x), Zbog toga

Δ y=u(x+Δ x)· v(x+Δ x) – u(x)· v(x).

Imajte na umu da budući da svaka od funkcija u I v diferencibilan u tački x, onda su u ovom trenutku kontinuirani, što znači u(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), na Δ x→0.

Stoga možemo pisati

Na osnovu ovog svojstva može se dobiti pravilo za diferenciranje proizvoda bilo kojeg broja funkcija.

Neka, na primjer, y=u·v·w. onda,

y " = u "·( v w) + u·( v·w) " = u "· v·w + u·( v„·w+ v·w") = u "· v·w + u· v„·w+ u·v·w ".

Dokaz formule 5.

Neka . Onda

U dokazu smo koristili činjenicu da v(x+Δ x)→v(x) na Δ x→0.

Primjeri.

TEOREMA O DERIVATU KOMPLEKSNE FUNKCIJE

Neka y = f(u), A u= u(x). Dobijamo funkciju y zavisno od argumenta x: y = f(u(x)). Posljednja funkcija se zove funkcija funkcije ili složena funkcija.

Domen definicije funkcije y = f(u(x)) je ili cijela domena definicije funkcije u=u(x) ili onaj dio u kojem se određuju vrijednosti u, ne napuštajući domenu definicije funkcije y= f(u).

Operacija funkcije od funkcije može se izvesti ne samo jednom, već bilo koji broj puta.

Uspostavimo pravilo za diferenciranje složene funkcije.

Teorema. Ako je funkcija u= u(x) ima u nekom trenutku x 0 derivat i uzima vrijednost u ovoj tački u 0 = u(x 0), i funkciju y=f(u) ima u tački u 0 derivat y" u = f "(u 0), zatim složena funkcija y = f(u(x)) na navedenoj tački x 0 takođe ima derivaciju, koja je jednaka y" x = f "(u 0)· u "(x 0), gdje umjesto u izraz mora biti zamijenjen u= u(x).

Dakle, derivacija kompleksne funkcije jednaka je proizvodu derivacije date funkcije u odnosu na srednji argument u na derivat srednjeg argumenta u odnosu na x.

Dokaz. Za fiksnu vrijednost X 0 imaćemo u 0 =u(x 0), at 0 =f(u 0 ). Za novu vrijednost argumenta x 0+Δ x:

Δ u= u(x 0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=f(u 0+Δ u) – f(u 0).

Jer u– diferenciran u jednoj tački x 0, To u– je kontinuirano u ovom trenutku. Stoga, na Δ x→0 Δ u→0. Slično za Δ u→0 Δ y→0.

Po stanju . Iz ove relacije, koristeći definiciju granice, dobijamo (na Δ u→0)

gdje je α→0 na Δ u→0, i, posljedično, na Δ x→0.

Prepišimo ovu jednakost kao:

Δ y=y" uΔ u+α·Δ u.

Rezultirajuća jednakost vrijedi i za Δ u=0 za proizvoljno α, pošto se pretvara u identitet 0=0. Na Δ u=0 pretpostavićemo α=0. Podijelimo sve članove rezultirajuće jednakosti sa Δ x

.

Po stanju . Dakle, prelazak na granicu na Δ x→0, dobijamo y" x = y"u·u" x. Teorema je dokazana.

Dakle, razlikovati složenu funkciju y = f(u(x)), morate uzeti izvod od "eksterne" funkcije f, tretirajući svoj argument jednostavno kao promjenljivu, i pomnožiti s derivatom "unutrašnje" funkcije u odnosu na nezavisnu varijablu.

Ako je funkcija y=f(x) može se predstaviti u obliku y=f(u), u=u(v), v=v(x), tada se nalaženje derivacije y " x izvodi sekvencijalnom primjenom prethodne teoreme.

Po dokazanom pravilu imamo y" x = y" u u"x. Primjenom iste teoreme za u"x dobijamo, tj.

y" x = y"x u" v v" x = f"u( u)· u" v ( v)· v" x ( x).

Primjeri.

KONCEPT INVERZNE FUNKCIJE

Počnimo s primjerom. Razmotrite funkciju y= x 3. Razmotrićemo jednakost y= x 3 kao relativna jednačina x. Ovo je jednadžba za svaku vrijednost at definiše jednu vrijednost x: . Geometrijski, to znači da je svaka ravna linija paralelna sa osom Ox siječe graf funkcije y= x 3 samo u jednom trenutku. Stoga možemo razmotriti x kao funkcija y. Funkcija se zove inverzna funkcija y= x 3.

Prije nego što pređemo na opći slučaj, uvodimo definicije.

Funkcija y = f(x) pozvao povećanje na određenom segmentu, ako je veća vrijednost argumenta x iz ovog segmenta odgovara veća vrijednost funkcije, tj. Ako x 2 >x 1, onda f(x 2 ) > f(x 1 ).

Funkcija se zove slično opadajući, ako manja vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, tj. Ako X 2 < X 1, onda f(x 2 ) > f(x 1 ).

Dakle, neka nam je data rastuća ili opadajuća funkcija y=f(x), definiran na nekom intervalu [ a; b]. Radi određenosti, razmotrićemo rastuću funkciju (za opadajuću sve je slično).

Razmotrite dvije različite vrijednosti X 1 i X 2. Neka y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Iz definicije rastuće funkcije slijedi da ako x 1 <x 2, onda at 1 <at 2. Dakle, dvije različite vrijednosti X 1 i X 2 odgovara dvije različite vrijednosti funkcije at 1 i at 2. Vrijedi i suprotno, tj. Ako at 1 <at 2, onda iz definicije rastuće funkcije slijedi da x 1 <x 2. One. opet dvije različite vrijednosti at 1 i at 2 odgovara dvije različite vrijednosti x 1 i x 2. Dakle, između vrijednosti x i njihove odgovarajuće vrijednosti y uspostavlja se korespondencija jedan na jedan, tj. jednačina y=f(x) za svaki y(preuzeto iz opsega funkcije y=f(x)) definira jednu vrijednost x, i to možemo reći x postoji neka argument funkcija y: x= g(y).

Ova funkcija se zove obrnuto za funkciju y=f(x). Očigledno, funkcija y=f(x) je inverzna funkcija x=g(y).

Imajte na umu da je inverzna funkcija x=g(y) nalazi se rješavanjem jednačine y=f(x) relativno X.

Primjer. Neka je funkcija data y= e x . Ova funkcija raste na –∞< x <+∞. Она имеет обратную функцию x= log y. Domen inverzne funkcije 0< y < + ∞.

Hajde da damo nekoliko komentara.

Napomena 1. Ako je rastuća (ili opadajuća) funkcija y=f(x) je kontinuiran na intervalu [ a; b], i f(a)=c, f(b)=d, tada je inverzna funkcija definirana i kontinuirana na intervalu [ c; d].

Napomena 2. Ako je funkcija y=f(x) ne raste ni opada na određenom intervalu, onda može imati nekoliko inverznih funkcija.

Primjer. Funkcija y=x2 definisano na –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 funkcija – smanjuje se i inverzno.

Napomena 3. Ako funkcije y=f(x) I x=g(y) su međusobno inverzne, onda izražavaju isti odnos između varijabli x I y. Dakle, grafik oba je ista kriva. Ali ako ponovo označimo argument inverzne funkcije sa x, i funkcija kroz y i iscrtati ih u istom koordinatnom sistemu, dobićemo dva različita grafika. Lako je primijetiti da će grafovi biti simetrični u odnosu na simetralu 1. koordinatnog ugla.

TEOREMA O DERIVATNOJ INVERZNOJ FUNKCIJI

Dokažimo teoremu koja nam omogućava da pronađemo derivaciju funkcije y=f(x), znajući derivaciju inverzne funkcije.

Teorema. Ako je za funkciju y=f(x) postoji inverzna funkcija x=g(y), što u nekom trenutku at 0 ima derivat g "(v 0), različit od nule, zatim u odgovarajućoj tački x 0=g(x 0) funkcija y=f(x) ima derivat f "(x 0), jednako , tj. formula je tačna.

Dokaz. Jer x=g(y) diferencibilan u tački y 0, To x=g(y) je kontinuirana u ovoj tački, tako da je funkcija y=f(x) kontinuirano u jednoj tački x 0=g(y 0). Stoga, na Δ x→0 Δ y→0.

Pokažimo to .

Neka . Zatim, svojstvom limita . Pređimo u ovoj jednakosti do granice na Δ y→0. Zatim Δ x→0 i α(Δx)→0, tj. .

dakle,

,

Q.E.D.

Ova formula se može napisati u obliku .

Pogledajmo primjenu ove teoreme koristeći primjere.

Predstavljamo bez dokaza formule za izvode osnovnih elementarnih funkcija:

1. Funkcija snage: (x n)` =nx n -1 .

2. Eksponencijalna funkcija: (a x)` =a x lna(posebno, (e x)` = e x).

3. Logaritamska funkcija: (posebno, (lnx)` = 1/x).

4. Trigonometrijske funkcije:

(cosh)` = -sinx

(tgh)` = 1/cos 2 x

(ctgh)` = -1/sin 2 x

5. Inverzne trigonometrijske funkcije:

Može se dokazati da je za diferenciranje eksponencijalne funkcije stepena potrebno dva puta koristiti formulu za derivaciju kompleksne funkcije, odnosno diferencirati je i kao kompleksnu funkciju stepena i kao kompleksnu eksponencijalnu funkciju, te dodati rezultate : (f(x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  (x) *lnf(x)* (x)`.

Derivati ​​višeg reda

Budući da je derivacija funkcije sama po sebi funkcija, ona također može imati izvod. Koncept derivata, o kojem je gore bilo riječi, odnosi se na derivat prvog reda.

Derivatn-th red naziva se izvod iz (n-1)-tog reda. Na primjer, f``(x) = (f`(x))` - derivat drugog reda (ili drugi izvod), f```(x) = (f``(x))` - derivat trećeg reda ( ili treći derivat) itd. Ponekad se rimski arapski brojevi u zagradama koriste za označavanje izvedenica višeg reda, na primjer, f (5) (x) ili f (V) (x) za derivat petog reda.

Fizičko značenje derivata višeg reda određuje se na isti način kao i za prvi izvod: svaki od njih predstavlja brzinu promjene izvoda prethodnog reda. Na primjer, drugi izvod predstavlja stopu promjene prvog, tj. brzina brzina. Za pravolinijsko kretanje, to znači ubrzanje tačke u trenutku.

Funkcija elastičnosti

Funkcija elastičnosti E x (y) je granica omjera relativnog priraštaja funkcije y i relativnog prirasta argumenta x jer potonji teži nuli:
.

Elastičnost funkcije pokazuje za koliko će se posto postotaka promijeniti funkcija y = f(x) kada se nezavisna varijabla x promijeni za 1%.

U ekonomskom smislu, razlika između ovog indikatora i derivata je u tome što derivat ima mjerne jedinice, te stoga njegova vrijednost ovisi o jedinicama u kojima se varijable mjere. Na primjer, ako je ovisnost obima proizvodnje od vremena izražena u tonama, odnosno mjesecima, onda će derivat pokazati granični porast obima u tonama mjesečno; ako mjerimo ove pokazatelje, recimo, u kilogramima i danima, tada će i sama funkcija i njen derivat biti drugačiji. Elastičnost je u suštini bezdimenzionalna veličina (mjerena u procentima ili udjelima) i stoga ne ovisi o skali indikatora.

Osnovne teoreme o diferencijabilnim funkcijama i njihove primjene

Fermatova teorema. Ako funkcija koja se može diferencirati na intervalu dostigne svoju najveću ili najmanju vrijednost u unutrašnjoj tački ovog intervala, tada je derivacija funkcije u ovoj tački nula.

Nema dokaza.

Geometrijsko značenje Fermatove teoreme je da je u tački najveće ili najmanje vrijednosti postignute unutar intervala, tangenta na graf funkcije paralelna s osom apscise (slika 3.3).

Rolleova teorema. Neka funkcija y =f(x) zadovoljava sljedeće uslove:

2) diferencibilan na intervalu (a, b);

3) na krajevima segmenta uzima jednake vrijednosti, tj. f(a) =f(b).

Tada postoji barem jedna tačka unutar segmenta u kojoj je derivacija funkcije jednaka nuli.

Nema dokaza.

Geometrijsko značenje Rolleove teoreme je da postoji barem jedna tačka u kojoj će tangenta na graf funkcije biti paralelna sa osom apscise (na primjer, na slici 3.4 postoje dvije takve tačke).

Ako je f(a) =f(b) = 0, onda se Rolleov teorem može formulirati drugačije: između dvije uzastopne nule diferencijabilne funkcije postoji barem jedna nula derivacije.

Rolleova teorema je poseban slučaj Lagrangeove teoreme.

Lagrangeova teorema. Neka funkcija y =f(x) zadovoljava sljedeće uslove:

1) kontinuirano na intervalu [a, b];

2) diferencijabilna na intervalu (a, b).

Tada unutar segmenta postoji barem jedna takva tačka c, u kojoj je derivacija jednaka količniku prirasta funkcije podijeljenom s prirastom argumenta na ovom segmentu:
.

Nema dokaza.

Da bismo razumjeli fizičko značenje Lagrangeove teoreme, primjećujemo to
nije ništa više od prosječne brzine promjene funkcije u cijelom intervalu [a, b]. Dakle, teorema kaže da unutar segmenta postoji barem jedna tačka u kojoj je “trenutačna” brzina promjene funkcije jednaka prosječnoj brzini njene promjene u cijelom segmentu.

Geometrijsko značenje Lagrangeove teoreme ilustrovano je na slici 3.5. Imajte na umu da izraz
predstavlja ugaoni koeficijent prave linije na kojoj leži tetiva AB. Teorema kaže da će na grafu funkcije postojati barem jedna tačka u kojoj će tangenta na nju biti paralelna sa ovom tetivom (tj. nagib tangente - derivacije - će biti isti).

Posljedica: ako je derivacija funkcije jednaka nuli na određenom intervalu, tada je funkcija identično konstantna na ovom intervalu.

U stvari, uzmimo interval . Prema Lagrangeovoj teoremi, u ovom intervalu postoji tačka c za koju
. Otuda f(a) – f(x) = f `(s)(a – x) = 0; f(x) = f(a) = konst.

L'Hopitalovo pravilo. Granica omjera dvije beskonačno male ili beskonačno velike funkcije jednaka je granici omjera njihovih derivacija (konačnih ili beskonačnih), ako ova druga postoji u navedenom smislu.

Drugim riječima, ako postoji nesigurnost forme
, To
.

Nema dokaza.

O primjeni L'Hopitalovog pravila za pronalaženje granica raspravljat će se na praktičnoj nastavi.

Dovoljan uslov za povećanje (smanjenje) funkcije. Ako je izvod diferencijabilne funkcije pozitivan (negativan) unutar određenog intervala, tada funkcija raste (opada) na tom intervalu.

Dokaz. Razmotrimo dvije vrijednosti x 1 i x 2 iz ovog intervala (neka je x 2 > x 1). Po Lagrandovom teoremu o [x 1, x 2] postoji tačka c u kojoj
. Dakle, f(x 2) –f(x 1) =f`(c)(x 2 –x 1). Tada je za f`(c) > 0 lijeva strana nejednakosti pozitivna, tj. f(x 2) >f(x 1), a funkcija raste. kadaf`(c)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

Teorema je dokazana.

Geometrijska interpretacija uvjeta monotonosti funkcije: ako su tangente na krivulju u određenom intervalu usmjerene pod oštrim uglovima na osu apscise, tada se funkcija povećava, a ako je pod tupim uglovima, onda se smanjuje (vidi sliku 3.6 ).

Napomena: neophodan uslov za monotonost je slabiji. Ako se funkcija povećava (smanjuje) u određenom intervalu, onda je derivacija nenegativna (nepozitivna) na ovom intervalu (to jest, u pojedinačnim točkama izvod monotone funkcije može biti jednak nuli).

Izračunavanje derivata se često nalazi u zadacima Jedinstvenog državnog ispita. Ova stranica sadrži listu formula za pronalaženje izvoda.

Pravila diferencijacije

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivat kompleksne funkcije. Ako je y=F(u) i u=u(x), onda se funkcija y=f(x)=F(u(x)) naziva kompleksnom funkcijom od x. Jednako y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivat implicitne funkcije. Funkcija y=f(x) naziva se implicitna funkcija definisana relacijom F(x,y)=0 ako je F(x,f(x))≡0.
6. Derivat inverzne funkcije. Ako je g(f(x))=x, onda se funkcija g(x) naziva inverznom funkcijom funkcije y=f(x).
7. Derivat parametarski definirane funkcije. Neka su x i y specificirani kao funkcije varijable t: x=x(t), y=y(t). Kažu da je y=y(x) parametarski definirana funkcija na intervalu x∈ (a;b), ako se na tom intervalu jednačina x=x(t) može izraziti kao t=t(x) i funkcija y=y(t(x))=y(x).
8. Derivat eksponencijalne funkcije stepena. Nalazi se uzimanjem logaritma u bazu prirodnog logaritma.

Savjetujemo vam da sačuvate vezu, jer ova tabela može biti potrebna mnogo puta.

Predstavljamo tabelu sažetka radi praktičnosti i jasnoće prilikom proučavanja teme.

Konstantnoy = C Funkcija snage y = x p (x p) " = p x p - 1	Eksponencijalna funkcijay = ax (a x) " = a x ln a Konkretno, kadaa = eimamo y = e x (e x) " = e x
Logaritamska funkcija (log a x) " = 1 x ln a Konkretno, kadaa = eimamo y = log x (ln x) " = 1 x	Trigonometrijske funkcije (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Inverzne trigonometrijske funkcije (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hiperboličke funkcije (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Hajde da analiziramo kako su dobijene formule navedene tabele ili, drugim rečima, dokazaćemo izvođenje derivacionih formula za svaki tip funkcije.

Derivat konstante

Dokazi 1

Da bismo izveli ovu formulu, uzimamo kao osnovu definiciju derivacije funkcije u tački. Koristimo x 0 = x, gdje x uzima vrijednost bilo kojeg realnog broja, ili, drugim riječima, x je bilo koji broj iz domene funkcije f (x) = C. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta kao ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Imajte na umu da izraz 0 ∆ x spada pod granični znak. To nije nesigurnost „nula podijeljena sa nulom“, jer brojnik ne sadrži beskonačno malu vrijednost, već upravo nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije je uvijek nula.

Dakle, derivacija konstantne funkcije f (x) = C jednaka je nuli u cijeloj domeni definicije.

Primjer 1

Konstantne funkcije su date:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Rješenje

Hajde da opišemo date uslove. U prvoj funkciji vidimo izvod prirodnog broja 3. U sljedećem primjeru, trebate uzeti derivat od A, Gdje A- bilo koji pravi broj. Treći primjer nam daje derivaciju iracionalnog broja 4. 13 7 22, četvrti je izvod nule (nula je cijeli broj). Konačno, u petom slučaju imamo izvod racionalnog razlomka - 8 7.

odgovor: derivati ​​datih funkcija su nula za bilo koju realnu x(preko cijelog područja definicije)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivat funkcije stepena

Pređimo na funkciju stepena i formulu za njen izvod, koja ima oblik: (x p) " = p x p - 1, gdje je eksponent str je bilo koji realan broj.

Dokazi 2

Evo dokaza formule kada je eksponent prirodan broj: p = 1, 2, 3, …

Ponovo se oslanjamo na definiciju derivata. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Da bismo pojednostavili izraz u brojiocu, koristimo Newtonovu binomnu formulu:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

ovako:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1

Tako smo dokazali formulu za izvod funkcije stepena kada je eksponent prirodan broj.

Dokazi 3

Da pruži dokaze za slučaj kada p- bilo kojeg realnog broja osim nule, koristimo logaritamski izvod (ovdje treba razumjeti razliku od izvoda logaritamske funkcije). Za potpunije razumijevanje, preporučljivo je proučavati izvod logaritamske funkcije i dodatno razumjeti derivaciju implicitne funkcije i derivaciju kompleksne funkcije.

Razmotrimo dva slučaja: kada x pozitivno i kada x negativan.

Dakle, x > 0. Tada je: x p > 0 . Logaritirajmo jednakost y = x p na bazu e i primijenimo svojstvo logaritma:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

U ovoj fazi, dobili smo implicitno specificiranu funkciju. Definirajmo njegovu derivaciju:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Sada razmatramo slučaj kada x – negativan broj.

Ako indikator str je paran broj, tada je funkcija stepena definirana za x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Tada je x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ako str je neparan broj, tada je funkcija stepena definirana za x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Posljednji prijelaz je moguć zbog činjenice da ako str je onda neparan broj p - 1 bilo paran broj ili nula (za p = 1), dakle, za negativan x jednakost (- x) p - 1 = x p - 1 je tačna.

Dakle, dokazali smo formulu za izvod funkcije stepena za bilo koje realno p.

Primjer 2

Date funkcije:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Odredite njihove derivate.

Rješenje

Neke od datih funkcija transformiramo u tabelarni oblik y = x p , na osnovu svojstava stepena, a zatim koristimo formulu:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivat eksponencijalne funkcije

Dokaz 4

Izvedemo formulu derivacije koristeći definiciju kao osnovu:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Imamo neizvjesnost. Da bismo ga proširili, napišimo novu varijablu z = a ∆ x - 1 (z → 0 kao ∆ x → 0). U ovom slučaju, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Za posljednji prijelaz korištena je formula za prijelaz na novu logaritamsku bazu.

Zamijenimo u originalno ograničenje:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Sjetimo se druge izvanredne granice i tada ćemo dobiti formulu za izvod eksponencijalne funkcije:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Primjer 3

Date su eksponencijalne funkcije:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Potrebno je pronaći njihove derivate.

Rješenje

Koristimo formulu za izvod eksponencijalne funkcije i svojstva logaritma:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivat logaritamske funkcije

Dokazi 5

Hajde da pružimo dokaz formule za izvod logaritamske funkcije za bilo koje x u domenu definicije i sve dozvoljene vrijednosti osnove a logaritma. Na osnovu definicije derivacije dobijamo:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Iz naznačenog lanca jednakosti jasno je da su se transformacije bazirale na svojstvu logaritma. Jednakost lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e je tačna u skladu sa drugom značajnom granicom.

Primjer 4

Logaritamske funkcije su date:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Potrebno je izračunati njihove derivate.

Rješenje

Primijenimo izvedenu formulu:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Dakle, izvod prirodnog logaritma je jedan podijeljen sa x.

Derivati ​​trigonometrijskih funkcija

Dokaz 6

Koristimo neke trigonometrijske formule i prvu divnu granicu da izvedemo formulu za izvod trigonometrijske funkcije.

Prema definiciji derivacije sinusne funkcije, dobijamo:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula za razliku sinusa omogućit će nam da izvršimo sljedeće radnje:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Konačno, koristimo prvu divnu granicu:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Dakle, derivacija funkcije sin xće cos x.

Također ćemo dokazati formulu za izvod kosinusa:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

One. derivacija funkcije cos x će biti – sin x.

Izvodimo formule za izvode tangente i kotangensa na osnovu pravila diferencijacije:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivati ​​inverznih trigonometrijskih funkcija

Odjeljak o derivaciji inverznih funkcija pruža sveobuhvatne informacije o dokazu formula za izvode arksinusa, arkosinusa, arktangensa i arkkotangensa, tako da ovdje nećemo duplicirati materijal.

Derivati ​​hiperboličkih funkcija

Dokazi 7

Možemo izvesti formule za izvode hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa koristeći pravilo diferencijacije i formulu za izvod eksponencijalne funkcije:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter