Rješavanje kvadratnih jednadžbi, formule korijena, primjeri. Kvadratne jednadžbe. Rješavanje kvadratnih jednadžbi Kako pretvoriti kvadratnu jednačinu u proizvod

Ova tema može izgledati teško u početku jer mnogi nisu tako jednostavne formule. Ne samo da kvadratne jednadžbe imaju duge oznake, već se i korijeni nalaze preko diskriminanta. Ukupno su dobijene tri nove formule. Nije lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja ovakvih jednačina. Tada će se sve formule pamtiti same.

Opšti pogled na kvadratnu jednačinu

Ovdje predlažemo njihovo eksplicitno bilježenje, kada se prvo upiše najveći stepen, a zatim u opadajućem redoslijedu. Često postoje situacije kada su termini nedosljedni. Tada je bolje prepisati jednačinu u opadajućem redosledu stepena varijable.

Hajde da uvedemo neke oznake. Oni su predstavljeni u tabeli ispod.

Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe se svode na sljedeću notaciju.

Štaviše, koeficijent a ≠ 0. Neka ova formula bude označena brojem jedan.

Kada je data jednadžba, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer jedna od tri opcije je uvijek moguća:

rješenje će imati dva korijena;
odgovor će biti jedan broj;
jednadžba uopće neće imati korijene.

I dok se odluka ne donese, teško je razumjeti koja će se opcija pojaviti u konkretnom slučaju.

Vrste zapisa kvadratnih jednačina

U zadacima mogu biti različiti unosi. Neće uvek izgledati opšta formula kvadratna jednačina. Ponekad će mu nedostajati neki termini. Ono što je gore napisano je kompletna jednačina. Ako izbacite drugi ili treći termin u njemu, dobijate nešto drugo. Ovi zapisi se nazivaju i kvadratne jednačine, samo nepotpune.

Štaviše, samo članovi sa koeficijentima “b” i “c” mogu nestati. Broj "a" ne može biti jednak nuli ni pod kojim okolnostima. Jer se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednačinu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi će biti sljedeće:

Dakle, postoje samo dvije vrste; osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga - tri.

Diskriminanta i zavisnost broja korijena od njegove vrijednosti

Morate znati ovaj broj da biste izračunali korijene jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednačine. Da biste izračunali diskriminanta, trebate koristiti jednakost napisanu ispod, koja će imati broj četiri.

Nakon zamjene vrijednosti koeficijenta u ovu formulu, možete dobiti brojeve sa različiti znakovi. Ako je odgovor da, onda će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. Ako je broj negativan, neće biti korijena kvadratne jednadžbe. Ako je jednako nuli, biće samo jedan odgovor.

Kako riješiti kompletnu kvadratnu jednačinu?

Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminanta. Nakon što se utvrdi da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, potrebno je koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, onda morate primijeniti sljedeću formulu.

Pošto sadrži znak „±“, biće dve vrednosti. Izraz pod znakom kvadratnog korijena je diskriminanta. Stoga se formula može prepisati drugačije.

Formula broj pet. Iz istog zapisa je jasno da ako je diskriminanta jednaka nuli, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.

Ako rješavanje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, onda je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.

Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednačinu?

Ovdje je sve mnogo jednostavnije. Nema čak ni potrebe za dodatnim formulama. A oni koji su već zapisani za diskriminatorno i nepoznato neće biti potrebni.

Prvo, pogledajmo nepotpunu jednačinu broj dva. U ovoj jednakosti potrebno je nepoznatu količinu izvaditi iz zagrada i riješiti linearnu jednačinu koja će ostati u zagradama. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji množitelj koji se sastoji od same varijable. Drugi će se dobiti rješavanjem linearne jednadžbe.

Nepotpuna jednačina broj tri rješava se pomicanjem broja s lijeve strane jednakosti na desnu. Zatim trebate podijeliti sa koeficijentom okrenutim prema nepoznatom. Ostaje samo da izvučete kvadratni korijen i zapamtite da ga dvaput zapišete sa suprotnim predznacima.

Ispod su neki koraci koji će vam pomoći da naučite kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Oni će pomoći učeniku da izbjegne greške zbog nepažnje. Ovi nedostaci mogu uzrokovati slabe ocjene pri proučavanju opsežne teme „Kvadratne jednačine (8. razred).“ Nakon toga, ove radnje neće trebati stalno izvoditi. Jer će se pojaviti stabilna vještina.

Prvo morate napisati jednačinu u standardnom obliku. Odnosno, prvo izraz sa najvećim stepenom varijable, a zatim - bez stepena, i poslednji - samo broj.

Ako se ispred koeficijenta "a" pojavi minus, to može zakomplikovati posao početniku koji proučava kvadratne jednadžbe. Bolje je da ga se otarasimo. U tu svrhu, sve jednakosti se moraju pomnožiti sa “-1”. To znači da će svi pojmovi promijeniti predznak u suprotan.

Preporučuje se da se na isti način riješite frakcija. Jednostavno pomnožite jednačinu odgovarajućim faktorom tako da se imenioci ponište.

Primjeri

Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva jednačina: x 2 − 7x = 0. Nepotpuna je, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.

Nakon vađenja iz zagrada, ispada: x (x - 7) = 0.

Prvi korijen ima vrijednost: x 1 = 0. Drugi će se naći iz linearne jednačine: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.

Druga jednadžba: 5x 2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se to rješava kao što je opisano za treću formulu.

Nakon pomjeranja 30 na desnu stranu jednačine: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti sa 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Treća jednačina: 15 − 2x − x 2 = 0. Ovdje i dalje, rješavanje kvadratnih jednadžbi će početi tako što ćemo ih prepisati u standardnom obliku: − x 2 − 2x + 15 = 0. Sada je vrijeme da iskoristimo drugu koristan savjet i pomnožite sve sa minus jedan. Ispada x 2 + 2x - 15 = 0. Koristeći četvrtu formulu, morate izračunati diskriminanta: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. To je pozitivan broj. Iz onoga što je gore rečeno, ispada da jednačina ima dva korijena. Treba ih izračunati koristeći petu formulu. Ispada da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada je x 1 = 3, x 2 = - 5.

Četvrta jednačina x 2 + 8 + 3x = 0 pretvara se u ovu: x 2 + 3x + 8 = 0. Njen diskriminanta je jednaka ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."

Petu jednačinu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminanta, dobija se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, odnosno: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šesta jednačina (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da treba donijeti slične članove, prvo otvarajući zagrade. Umjesto prvog bit će sljedeći izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon što se prebroje slični članovi, jednačina će dobiti oblik: x 2 - x = 0. Postalo je nepotpuno. Nešto slično ovome je već bilo govora malo više. Korijeni ovoga će biti brojevi 0 i 1.

Neki problemi iz matematike zahtijevaju sposobnost izračunavanja vrijednosti kvadratnog korijena. Takvi problemi uključuju rješavanje jednačina drugog reda. U ovom članku predstavljamo efikasnu metodu za izračunavanje kvadratni korijeni i koristite ga kada radite s formulama za korijene kvadratne jednadžbe.

Šta je kvadratni korijen?

U matematici, ovaj koncept odgovara simbolu √. Istorijski podaci govore da je prvi put korišćen oko prve polovine 16. veka u Nemačkoj (prvo nemačko delo o algebri Kristofa Rudolfa). Naučnici vjeruju da je simbol transformirano latinično slovo r (radix znači "korijen" na latinskom).

Korijen bilo kojeg broja jednak je vrijednosti čiji kvadrat odgovara radikalnom izrazu. U jeziku matematike, ova definicija će izgledati ovako: √x = y, ako je y 2 = x.

Korijen pozitivnog broja (x > 0) je također pozitivan broj (y > 0), ali ako uzmemo korijen negativan broj(x< 0), то его результатом уже будет kompleksni broj, uključujući imaginarnu jedinicu i.

Evo dva jednostavna primjera:

√9 = 3, jer je 3 2 = 9; √(-9) = 3i, pošto je i 2 = -1.

Heronova iterativna formula za pronalaženje vrijednosti kvadratnih korijena

Gore navedeni primjeri su vrlo jednostavni, a izračunavanje korijena u njima nije teško. Poteškoće se počinju pojavljivati pri pronalaženju korijenskih vrijednosti za bilo koju vrijednost koja se ne može predstaviti kao kvadrat prirodni broj, na primjer √10, √11, √12, √13, a da ne spominjemo činjenicu da je u praksi potrebno pronaći korijene za necijele brojeve: na primjer √(12,15), √(8,5) i tako dalje.

U svim gore navedenim slučajevima treba koristiti posebnu metodu za izračunavanje kvadratnog korijena. Trenutno je poznato nekoliko takvih metoda: na primjer, proširenje Taylorovog niza, podjela stupaca i neke druge. Od svih poznatih metoda, možda je najjednostavnija i najefikasnija upotreba Heronove iterativne formule, koja je poznata i kao babilonska metoda određivanja kvadratnih korijena (postoje dokazi da su je stari Babilonci koristili u svojim praktičnim proračunima).

Neka je potrebno odrediti vrijednost √x. Formula za pronalaženje kvadratnog korijena je sljedeća:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), gdje je lim n->∞ (a n) => x.

Hajde da dešifrujemo ovu matematičku notaciju. Da biste izračunali √x, trebate uzeti određeni broj a 0 (može biti proizvoljan, ali da biste brzo dobili rezultat, trebate ga odabrati tako da (a 0) 2 bude što bliže x. Zatim ga zamijenite u naznačenu formulu za izračunavanje kvadratnog korijena i dobijete novi broj a 1, koji će već biti bliži željenoj vrijednosti. Nakon toga u izraz treba zamijeniti 1 i dobiti 2. Ovaj postupak treba ponavljati dok ne dobijete traženu vrijednost. dobija se tačnost.

Primjer korištenja Heronove iterativne formule

Gore opisani algoritam za dobivanje kvadratnog korijena datog broja može mnogima zvučati prilično komplicirano i zbunjujuće, ali u stvarnosti se sve ispostavilo da je mnogo jednostavnije, jer se ova formula vrlo brzo konvergira (posebno ako je odabran uspješan broj a 0) .

Dajemo jednostavan primjer: potrebno je izračunati √11. Odaberimo 0 = 3, pošto je 3 2 = 9, što je bliže 11 nego 4 2 = 16. Zamjenom u formulu dobijamo:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Nema smisla nastavljati proračune, jer smo otkrili da 2 i 3 počinju da se razlikuju tek na 5. decimalu. Dakle, bilo je dovoljno primijeniti formulu samo 2 puta da se izračuna √11 s tačnošću od 0,0001.

Danas se kalkulatori i računari široko koriste za izračunavanje korijena, međutim, korisno je zapamtiti označenu formulu kako biste mogli ručno izračunati njihovu tačnu vrijednost.

Jednačine drugog reda

Razumijevanje šta je kvadratni korijen i sposobnost njegovog izračunavanja koristi se u rješavanju kvadratnih jednačina. Ove jednačine se nazivaju jednakosti s jednom nepoznatom, čiji je opći oblik prikazan na donjoj slici.

Ovdje c, b i a predstavljaju neke brojeve, a a ne smije biti jednak nuli, a vrijednosti c i b mogu biti potpuno proizvoljne, uključujući jednake nuli.

Sve vrijednosti x koje zadovoljavaju jednakost prikazanu na slici nazivaju se njegovim korijenima (ovaj koncept ne treba brkati s kvadratnim korijenom √). Kako je jednadžba koja se razmatra 2. reda (x 2), onda za nju ne može postojati više od dva korijena. Pogledajmo dalje u članku kako pronaći ove korijene.

Pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe (formula)

Ova metoda rješavanja razmatrane vrste jednakosti naziva se i univerzalna metoda ili diskriminantna metoda. Može se koristiti za bilo koje kvadratne jednadžbe. Formula za diskriminanta i korijene kvadratne jednadžbe je sljedeća:

Pokazuje da korijeni zavise od vrijednosti svakog od tri koeficijenta jednadžbe. Štaviše, izračunavanje x 1 razlikuje se od izračunavanja x 2 samo po znaku ispred kvadratnog korijena. Radikalni izraz, koji je jednak b 2 - 4ac, nije ništa drugo do diskriminanta dotične jednakosti. Diskriminant u formuli za korijene kvadratne jednadžbe igra važnu ulogu jer određuje broj i vrstu rješenja. Dakle, ako je jednako nuli, tada će postojati samo jedno rješenje, ako je pozitivno, onda jednačina ima dva realna korijena, i konačno, negativna diskriminanta vodi do dva kompleksna korijena x 1 i x 2.

Vietin teorem ili neka svojstva korijena jednadžbi drugog reda

Krajem 16. veka, jedan od osnivača moderne algebre, Francuz, proučavajući jednačine drugog reda, uspeo je da dobije svojstva njenih korena. Matematički se mogu napisati ovako:

x 1 + x 2 = -b / a i x 1 * x 2 = c / a.

Obje jednakosti svatko može lako dobiti; da biste to učinili, samo trebate izvršiti odgovarajuće matematičke operacije s korijenima dobivenim kroz formulu s diskriminantom.

Kombinacija ova dva izraza s pravom se može nazvati drugom formulom za korijene kvadratne jednadžbe, koja omogućava pogađanje njenih rješenja bez upotrebe diskriminanta. Ovdje treba napomenuti da iako su oba izraza uvijek važeća, zgodno ih je koristiti za rješavanje jednačine samo ako se može faktorizirati.

Zadatak konsolidacije stečenog znanja

Hajde da odlučimo matematički problem, u kojem ćemo demonstrirati sve tehnike o kojima se govori u članku. Uslovi zadatka su sljedeći: potrebno je pronaći dva broja za koja je proizvod -13 i zbir 4.

Ovaj uslov nas odmah podsjeća na Vietin teorem; koristeći formule za zbroj kvadratnih korijena i njihovog proizvoda, pišemo:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Ako pretpostavimo da je a = 1, onda je b = -4 i c = -13. Ovi koeficijenti nam omogućavaju da napravimo jednačinu drugog reda:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Upotrijebimo formulu s diskriminantom i dobijemo sljedeće korijene:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Odnosno, problem se sveo na pronalaženje broja √68. Imajte na umu da je 68 = 4 * 17, a zatim, koristeći svojstvo kvadratnog korijena, dobijamo: √68 = 2√17.

Sada koristimo razmatranu formulu kvadratnog korijena: a 0 = 4, zatim:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Nema potrebe za izračunavanjem 3 jer se pronađene vrijednosti razlikuju samo za 0,02. Dakle, √68 = 8,246. Zamijenivši ga u formulu za x 1,2, dobijamo:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 i x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Kao što vidimo, zbir pronađenih brojeva je zaista jednak 4, ali ako pronađemo njihov proizvod, onda će biti jednak -12,999, što zadovoljava uslove zadatka sa tačnošću od 0,001.

Samo. Prema formulama i jasnim, jednostavnim pravilima. U prvoj fazi

potrebno je datu jednačinu dovesti u standardni oblik, tj. na obrazac:

Ako vam je jednačina već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu. Najvažnije je da to uradite kako treba

odrediti sve koeficijente, A, b I c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Izraz pod znakom korijena se zove diskriminatorno . Kao što vidite, da bismo pronašli X, mi

koristimo samo a, b i c. One. koeficijenti iz kvadratna jednačina. Samo pažljivo ubacite

vrijednosti a, b i c Računamo u ovoj formuli. Zamjenjujemo sa njihov znakovi!

Na primjer, u jednadžbi:

A =1; b = 3; c = -4.

Zamjenjujemo vrijednosti i pišemo:

Primjer je skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Najčešće greške su zabuna sa vrijednostima znakova a, b I With. Ili bolje rečeno, sa zamjenom

negativne vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje u pomoć dolazi detaljan snimak formule

sa određenim brojevima. Ako imate problema sa proračunima, uradite to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Evo a = -6; b = -5; c = -1

Sve opisujemo detaljno, pažljivo, ne propuštajući ništa sa svim znakovima i zagradama:

Kvadratne jednadžbe često izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj grešaka.

Prvi sastanak. Ne budi lijen prije rješavanje kvadratne jednačine dovesti ga u standardni oblik.

Šta to znači?

Recimo da nakon svih transformacija dobijete sljedeću jednačinu:

Nemojte žuriti s pisanjem korijenske formule! Gotovo sigurno ćete pomiješati šanse a, b i c.

Konstruirajte primjer ispravno. Prvo, X na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Volim ovo:

Riješite se minusa. Kako? Moramo pomnožiti cijelu jednačinu sa -1. Dobijamo:

Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminanta i završiti rješavanje primjera.

Odlučite sami. Sada bi trebali imati korijene 2 i -1.

Prijem drugi. Provjerite korijene! By Vietin teorem.

Za rješavanje zadatih kvadratnih jednadžbi, tj. ako je koeficijent

x 2 +bx+c=0,

Ondax 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Za potpunu kvadratnu jednačinu u kojoj a≠1:

x 2 +bx+c=0,

podijelite cijelu jednačinu sa O:

→ →

Gdje x 1 I x 2 - korijeni jednadžbe.

Prijem treći. Ako vaša jednadžba ima koeficijente razlomaka, riješite se razlomaka! Pomnožite

jednadžba sa zajedničkim nazivnikom.

Zaključak. Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja, dovodimo kvadratnu jednačinu u standardni oblik i gradimo je U redu.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred X na kvadrat, eliminiramo ga množenjem svega

jednačine za -1.

3. Ako su koeficijenti razlomljeni, eliminiramo razlomke množenjem cijele jednačine odgovarajućim

faktor.

4. Ako je x na kvadrat čist, njegov koeficijent je jednak jedan, rješenje se može lako provjeriti pomoću

Rješavanje jednačina u matematici zauzima posebno mjesto. Ovom procesu prethodi mnogo sati izučavanja teorije, tokom kojih student uči kako rješavati jednačine, određivati njihov tip i dovoditi vještinu do potpune automatizacije. Međutim, potraga za korijenima nema uvijek smisla, jer oni možda jednostavno ne postoje. Postoje posebne tehnike za pronalaženje korijena. U ovom članku ćemo analizirati glavne funkcije, njihove domene definicije, kao i slučajeve kada nedostaju njihovi korijeni.

Koja jednačina nema korijen?

Jednačina nema korijena ako nema pravih argumenata x za koje je jednačina identično istinita. Za nespecijaliste, ova formulacija, kao i većina matematičkih teorema i formula, izgleda vrlo nejasno i apstraktno, ali to je u teoriji. U praksi sve postaje krajnje jednostavno. Na primjer: jednadžba 0 * x = -53 nema rješenja, jer ne postoji broj x čiji bi proizvod sa nulom dao nešto drugo osim nule.

Sada ćemo pogledati najosnovnije tipove jednadžbi.

1. Linearna jednačina

Jednačina se naziva linearnom ako su njene desna i lijeva strana predstavljene kao linearne funkcije: ax + b = cx + d ili u generaliziranom obliku kx + b = 0. Gdje su a, b, c, d poznati brojevi, a x je nepoznata količina. Koja jednačina nema korijen? Primjeri linearne jednačine prikazani su na donjoj ilustraciji.

U osnovi, linearne jednadžbe se rješavaju jednostavnim prenošenjem broja u jedan dio, a sadržaja x u drugi. Rezultat je jednačina oblika mx = n, gdje su m i n brojevi, a x je nepoznanica. Da biste pronašli x, samo podijelite obje strane sa m. Tada je x = n/m. Većina linearnih jednadžbi ima samo jedan korijen, ali postoje slučajevi kada postoji ili beskonačno mnogo korijena ili uopće nema korijena. Kada je m = 0 i n = 0, jednačina ima oblik 0 * x = 0. Rješenje takve jednačine će biti apsolutno bilo koji broj.

Međutim, koja jednačina nema korijen?

Za m = 0 i n = 0, jednadžba nema korijen u skupu realnih brojeva. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - ove jednačine nemaju korijen.

2. Kvadratna jednadžba

Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0 za a = 0. Najčešće rješenje je preko diskriminanta. Formula za pronalaženje diskriminanta kvadratne jednačine je: D = b 2 - 4 * a * c. Dalje su dva korijena x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Za D > 0 jednačina ima dva korijena, za D = 0 ima jedan korijen. Ali koja kvadratna jednadžba nema korijen? Najlakši način za promatranje broja korijena kvadratne jednadžbe je grafički prikaz funkcije, koja je parabola. Za a > 0 grane su usmjerene prema gore, za a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Također možete vizualno odrediti broj korijena bez izračunavanja diskriminanta. Da biste to učinili, morate pronaći vrh parabole i odrediti u kojem smjeru su grane usmjerene. Koordinata x vrha se može odrediti pomoću formule: x 0 = -b / 2a. U ovom slučaju, koordinata y vrha se nalazi jednostavnom zamjenom vrijednosti x 0 u originalnu jednačinu.

Kvadratna jednačina x 2 - 8x + 72 = 0 nema korijena, jer ima negativan diskriminant D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. To znači da parabola ne dodiruje x-osu i funkcija nikada ne uzima vrijednost 0, dakle, jednadžba nema pravi korijen.

3. Trigonometrijske jednadžbe

Trigonometrijske funkcije se razmatraju na trigonometrijskom krugu, ali se takođe mogu predstaviti u kartezijanskom koordinatnom sistemu. U ovom članku ćemo pogledati dva glavna trigonometrijske funkcije i njihove jednačine: sinx i cosx. Pošto ove funkcije formiraju trigonometrijski krug poluprečnika 1, |sinx| i |cosx| ne može biti veći od 1. Dakle, koja sinx jednačina nema korijen? Razmotrite graf sinx funkcije prikazan na donjoj slici.

Vidimo da je funkcija simetrična i da ima period ponavljanja od 2pi. Na osnovu ovoga možemo reći da maksimalna vrijednost ove funkcije može biti 1, a minimalna -1. Na primjer, izraz cosx = 5 neće imati korijen, jer je njegova apsolutna vrijednost veća od jedan.

Ovo je najjednostavniji primjer trigonometrijskih jednadžbi. Zapravo, njihovo rješavanje može potrajati mnogo stranica, na kraju kojih shvatite da ste koristili pogrešnu formulu i morate početi ispočetka. Ponekad, čak i ako ispravno pronađete korijene, možete zaboraviti uzeti u obzir ograničenja za OD, zbog čega se u odgovoru pojavljuje dodatni korijen ili interval, a cijeli odgovor se pretvara u grešku. Stoga se striktno pridržavajte svih ograničenja, jer se svi korijeni ne uklapaju u opseg zadatka.

4. Sistemi jednačina

Sistem jednačina je skup jednačina spojenih kovrčavim ili uglastim zagradama. Vitičaste zagrade označavaju da se sve jednačine rade zajedno. To jest, ako barem jedna od jednačina nema korijen ili je u suprotnosti s drugom, cijeli sistem nema rješenje. Uglaste zagrade označavaju riječ "ili". To znači da ako barem jedna od jednačina sistema ima rješenje, onda cijeli sistem ima rješenje.

Odgovor sistema c je skup svih korijena pojedinačnih jednačina. A sistemi sa vitičastim zagradama imaju samo zajedničke korijene. Sistemi jednačina mogu uključivati potpuno različite funkcije, pa nam takva složenost ne dozvoljava da odmah kažemo koja jednačina nema korijen.

U knjigama zadataka i udžbenicima postoje različite vrste jednačina: one koje imaju korijen i one koje nemaju. Prije svega, ako ne možete pronaći korijene, nemojte misliti da ih uopće nema. Možda ste negdje pogriješili, onda samo trebate pažljivo provjeriti svoju odluku.

Pogledali smo najosnovnije jednadžbe i njihove vrste. Sada možete reći koja jednačina nema korijen. U većini slučajeva to nije teško učiniti. Postizanje uspjeha u rješavanju jednačina zahtijeva samo pažnju i koncentraciju. Vježbajte više, to će vam pomoći da se lakše i brže snalazite u gradivu.

Dakle, jednadžba nema korijen ako:

u linearnoj jednačini mx = n vrijednost je m = 0 i n = 0;
u kvadratnoj jednadžbi, ako je diskriminanta manja od nule;
u trigonometrijskoj jednadžbi oblika cosx = m / sinx = n, ako je |m| > 0, |n| > 0;
u sistemu jednadžbi sa vitičastim zagradama ako barem jedna jednačina nema korijena, i sa uglastim zagradama ako sve jednačine nemaju korijena.

“, odnosno jednačine prvog stepena. U ovoj lekciji ćemo pogledati ono što se zove kvadratna jednačina i kako to riješiti.

Šta je kvadratna jednačina?

Bitan!

Stepen jednačine je određen najvišim stepenom do kojeg stoji nepoznata.

Ako je maksimalna snaga u kojoj je nepoznata "2", onda imate kvadratnu jednačinu.

Primjeri kvadratnih jednadžbi

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Bitan! Opšti oblik kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” i “c” su dati brojevi.

“a” je prvi ili najviši koeficijent;
“b” je drugi koeficijent;
“c” je slobodan član.

Da biste pronašli “a”, “b” i “c” potrebno je da uporedite svoju jednačinu sa opštim oblikom kvadratne jednačine “ax 2 + bx + c = 0”.

Vježbajmo određivanje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednačinama.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Jednačina	Odds
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

= 0

a = −1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0,25x = 0

a = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
c = −8

Kako riješiti kvadratne jednadžbe

Za razliku od linearnih jednadžbi, za rješavanje kvadratnih jednadžbi koristi se posebna metoda. formula za pronalaženje korijena.

Zapamtite!

Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:

dovesti kvadratnu jednačinu u opšti oblik “ax 2 + bx + c = 0”. To jest, samo “0” treba da ostane na desnoj strani;
koristite formulu za korijenje:

Pogledajmo primjer kako koristiti formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Rešimo kvadratnu jednačinu.

X 2 − 3x − 4 = 0

Jednačina “x 2 − 3x − 4 = 0” je već svedena na opći oblik “ax 2 + bx + c = 0” i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, samo se trebamo prijaviti formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Odredimo koeficijente “a”, “b” i “c” za ovu jednačinu.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Može se koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

U formuli “x 1;2 =” radikalni izraz se često zamjenjuje
“b 2 − 4ac” za slovo “D” i naziva se diskriminantnim. Koncept diskriminanta je detaljnije obrađen u lekciji „Šta je diskriminant“.

Pogledajmo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.

x 2 + 9 + x = 7x

U ovom obliku prilično je teško odrediti koeficijente “a”, “b” i “c”. Hajde da prvo svedemo jednačinu na opšti oblik “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sada možete koristiti formulu za korijene.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3
Odgovor: x = 3

Postoje slučajevi kada kvadratne jednadžbe nemaju korijen. Ova situacija se događa kada formula sadrži negativan broj ispod korijena.