Grafičko rješavanje sistema linearnih nejednačina. Rješavanje eksponencijalnih nejednačina Rješavanje dvostrukih nejednačina na mreži

Prvo, malo stihova kako biste stekli osjećaj za problem koji rješava metoda intervala. Recimo da trebamo riješiti sljedeću nejednakost:

(x − 5)(x + 3) > 0

Koje su opcije? Prvo što većini učenika padne na pamet su pravila “plus na plus daje plus” i “minus na minus daje plus”. Stoga je dovoljno razmotriti slučaj kada su oba zagrada pozitivna: x − 5 > 0 i x + 3 > 0. Tada ćemo razmotriti i slučaj kada su oba zagrada negativna: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Napredniji učenici će (možda) zapamtiti da je na lijevoj strani kvadratna funkcija, čiji je graf parabola. Štaviše, ova parabola seče osu OX u tačkama x = 5 i x = −3. Za dalji rad potrebno je otvoriti zagrade. Imamo:

x 2 − 2x − 15 > 0

Sada je jasno da su grane parabole usmjerene prema gore, jer koeficijent a = 1 > 0. Pokušajmo nacrtati dijagram ove parabole:

Funkcija je veća od nule gdje prolazi iznad ose OX. U našem slučaju, to su intervali (−∞ −3) i (5; +∞) - ovo je odgovor.

Napomena: na slici je tačno prikazano dijagram funkcija, ne njen raspored. Jer za pravi graf treba brojati koordinate, računati pomake i ostalo sranje od kojeg za sada nemamo nikakvu korist.

Zašto su ove metode neefikasne?

Dakle, razmatrali smo dva rješenja iste nejednakosti. Ispostavilo se da su i jedni i drugi prilično glomazni. Prva odluka se nameće - razmislite samo o tome! — skup sistema nejednakosti. Drugo rješenje također nije posebno lako: morate zapamtiti graf parabole i gomilu drugih malih činjenica.

Bila je to vrlo jednostavna nejednakost. Ima samo 2 množitelja. Sada zamislite da neće biti 2, već najmanje 4 množitelja. Na primjer:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Kako riješiti takvu nejednakost? Proći kroz sve moguće kombinacije za i protiv? Da, brže ćemo zaspati nego što pronađemo rješenje. Crtanje grafa također nije opcija, jer nije jasno kako se takva funkcija ponaša na koordinatnoj ravni.

Za takve nejednakosti potreban je poseban algoritam rješenja, koji ćemo danas razmotriti.

Šta je intervalna metoda

Intervalna metoda je poseban algoritam dizajniran za rješavanje kompleksnih nejednakosti oblika f (x) > 0 i f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Riješite jednačinu f (x) = 0. Dakle, umjesto nejednačine, dobijamo jednačinu koju je mnogo jednostavnije riješiti;
2. Označite sve dobijene korijene na koordinatnoj liniji. Tako će prava linija biti podijeljena na nekoliko intervala;
3. Pronađite predznak (plus ili minus) funkcije f (x) na krajnjem desnom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je u f (x) zamijeniti bilo koji broj koji će biti desno od svih označenih korijena;
4. Označite znakove u preostalim intervalima. Da biste to učinili, samo zapamtite da se prilikom prolaska kroz svaki korijen znak mijenja.

To je sve! Nakon ovoga ostaje samo da zapišemo intervale koji nas zanimaju. Označavaju se znakom “+” ako je nejednakost oblika f (x) > 0, ili znakom “−” ako je nejednakost oblika f (x)< 0.

Na prvi pogled može izgledati da je intervalna metoda neka sitna stvar. Ali u praksi će sve biti vrlo jednostavno. Samo malo vježbajte i sve će vam biti jasno. Pogledajte primjere i uvjerite se sami:

Zadatak. Riješite nejednačinu:

(x − 2)(x + 7)< 0

Radimo metodom intervala. Korak 1: zamijenite nejednačinu jednadžbom i riješite je:

(x − 2)(x + 7) = 0

Proizvod je nula ako i samo ako je barem jedan od faktora nula:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Imamo dva korena. Pređimo na korak 2: označite ove korijene na koordinatnoj liniji. Imamo:

Sada korak 3: pronađite predznak funkcije na krajnjem desnom intervalu (desno od označene tačke x = 2). Da biste to učinili, trebate uzeti bilo koji broj koji je veći od broja x = 2. Na primjer, uzmimo x = 3 (ali niko ne zabranjuje uzimanje x = 4, x = 10, pa čak i x = 10.000). Dobijamo:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Nalazimo da je f (3) = 10 > 0, pa stavljamo znak plus u krajnji desni interval.

Pređimo na posljednju tačku - trebamo primijetiti znakove na preostalim intervalima. Sjećamo se da se prilikom prolaska kroz svaki korijen znak mora promijeniti. Na primjer, desno od korijena x = 2 nalazi se plus (u to smo se uvjerili u prethodnom koraku), tako da mora biti minus lijevo.

Ovaj minus se proteže na cijeli interval (−7; 2), tako da postoji minus desno od korijena x = −7. Dakle, lijevo od korijena x = −7 nalazi se plus. Ostaje označiti ove znakove koordinatna osa. Imamo:

Vratimo se prvobitnoj nejednakosti, koja je imala oblik:

(x − 2)(x + 7)< 0

Dakle, funkcija mora biti manja od nule. To znači da nas zanima znak minus, koji se pojavljuje samo na jednom intervalu: (−7; 2). Ovo će biti odgovor.

Zadatak. Riješite nejednačinu:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Korak 1: postavite lijevu stranu na nulu:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Zapamtite: proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Zato imamo pravo da svaku pojedinačnu zagradu izjednačimo sa nulom.

Korak 2: označite sve korijene na koordinatnoj liniji:

Korak 3: saznajte znak krajnje desne praznine. Uzimamo bilo koji broj koji je veći od x = 1. Na primjer, možemo uzeti x = 10. Imamo:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

Korak 4: postavljanje preostalih znakova. Sjećamo se da se prilikom prolaska kroz svaki korijen znak mijenja. Kao rezultat, naša slika će izgledati ovako:

To je sve. Ostaje samo da zapišete odgovor. Pogledajte još jednom originalnu nejednakost:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Ovo je nejednakost oblika f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Ovo je odgovor.

Napomena o znakovima funkcije

Praksa pokazuje da se najveće poteškoće u intervalnoj metodi javljaju u posljednja dva koraka, tj. prilikom postavljanja znakova. Mnogi učenici počinju da se zbunjuju: koje brojeve uzeti i gdje staviti znakove.

Da biste konačno razumjeli metodu intervala, razmotrite dva zapažanja na kojima se zasniva:

1. Kontinuirana funkcija mijenja predznak samo u tim točkama gdje je jednak nuli. Takve tačke dijele koordinatnu osu na dijelove, unutar kojih se predznak funkcije nikada ne mijenja. Zato rješavamo jednačinu f (x) = 0 i na pravoj liniji označavamo pronađene korijene. Pronađeni brojevi su "granične" tačke koje razdvajaju prednosti i nedostatke.
2. Da biste saznali predznak funkcije na bilo kojem intervalu, dovoljno je zamijeniti bilo koji broj iz tog intervala u funkciju. Na primjer, za interval (−5; 6) imamo pravo uzeti x = −4, x = 0, x = 4 pa čak i x = 1,29374 ako želimo. Zašto je to važno? Da, jer sumnje počinju da grizu mnoge studente. Na primjer, šta ako za x = −4 dobijemo plus, a za x = 0 dobijemo minus? Ali ništa slično se nikada neće dogoditi. Sve tačke na istom intervalu daju isti predznak. Zapamtite ovo.

To je sve što trebate znati o metodi intervala. Naravno, analizirali smo ga u najjednostavnijem obliku. Postoje složenije nejednakosti - nestroge, frakcijske i s ponovljenim korijenima. Za njih možete koristiti i metodu intervala, ali ovo je tema za zasebnu veliku lekciju.

Sada bih želio pogledati naprednu tehniku ​​koja dramatično pojednostavljuje metodu intervala. Tačnije, pojednostavljenje utiče samo na treći korak - izračunavanje predznaka na krajnjem desnom delu linije. Iz nekog razloga ova tehnika se ne uči u školama (bar mi to niko nije objasnio). Ali uzalud - jer je ovaj algoritam zapravo vrlo jednostavan.

Dakle, predznak funkcije je na desnom dijelu brojevne prave. Ovaj komad ima oblik (a ; +∞), gdje je a najveći korijen jednadžbe f (x) = 0. Da vas ne bi oduševili, razmotrimo konkretan primjer:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Imamo 3 korijena. Napišimo ih rastućim redoslijedom: x = −2, x = 1 i x = 7. Očigledno, najveći korijen je x = 7.

Za one kojima je lakše grafički zaključiti, označit ću ove korijene na koordinatnoj liniji. Da vidimo šta se dešava:

Potrebno je pronaći predznak funkcije f (x) na krajnjem desnom intervalu, tj. do (7; +∞). Ali kao što smo već primijetili, da biste odredili znak, možete uzeti bilo koji broj iz ovog intervala. Na primjer, možete uzeti x = 8, x = 150, itd. A sada - ista tehnika koja se ne uči u školama: uzmimo beskonačnost kao broj. Preciznije, plus beskonačnost, tj. +∞.

„Jeste li kamenovani? Kako možete zamijeniti beskonačnost u funkciju?" - mogli biste pitati. Ali razmislite o tome: ne treba nam vrijednost same funkcije, potreban nam je samo znak. Stoga, na primjer, vrijednosti f (x) = −1 i f (x) = −938 740 576 215 znače istu stvar: funkcija na ovom intervalu je negativna. Dakle, sve što se od vas traži je da pronađete znak koji se pojavljuje u beskonačnosti, a ne vrijednost funkcije.

Zapravo, zamjena beskonačnosti je vrlo jednostavna. Vratimo se našoj funkciji:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Zamislite da je x vrlo veliki broj. Milijardu ili čak trilion. Sada da vidimo šta se dešava u svakoj zagradi.

Prva zagrada: (x − 1). Šta se dešava ako od milijardu oduzmete jedan? Rezultat će biti broj koji se neće mnogo razlikovati od milijarde, a ovaj broj će biti pozitivan. Slično sa drugom zagradom: (2 + x). Ako milijardu dodamo na dvije, dobićemo milijardu i kopejke - to je pozitivan broj. Konačno, treća zagrada: (7 − x). Ovdje će biti minus milijarda, od koje je “oglodan” patetični komadić u obliku sedmice. One. rezultirajući broj neće se mnogo razlikovati od minus milijardi - bit će negativan.

Ostaje samo pronaći znak cijelog djela. Pošto smo u prvim zagradama imali plus, a u posljednjoj minus, dobijamo sljedeću konstrukciju:

(+) · (+) · (−) = (−)

Konačni znak je minus! I nije važno kolika je vrijednost same funkcije. Glavna stvar je da je ova vrijednost negativna, tj. krajnji desni interval ima predznak minus. Ostaje samo da dovršite četvrti korak metode intervala: rasporedite sve znakove. Imamo:

Prvobitna nejednakost je bila:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Stoga nas zanimaju intervali označeni znakom minus. Pišemo odgovor:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

To je cijeli trik koji sam ti htio reći. U zaključku, evo još jedne nejednakosti koja se može riješiti intervalnom metodom korištenjem beskonačnosti. Da vizualno skratim rješenje, neću pisati brojeve koraka i detaljne komentare. Napisat ću samo ono što zaista trebate napisati kada rješavate stvarne probleme:

Zadatak. Riješite nejednačinu:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Nejednakost zamjenjujemo jednadžbom i rješavamo je:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Označavamo sva tri korijena na koordinatnoj liniji (odjednom znakovima):

Na desnoj strani koordinatne ose nalazi se plus, jer funkcija izgleda ovako:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

A ako zamijenimo beskonačnost (na primjer, milijardu), dobićemo tri pozitivne zagrade. Pošto originalni izraz mora biti veći od nule, zanimaju nas samo pozitivni. Ostaje samo da napišete odgovor:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

U članku ćemo razmotriti rješavanje nejednačina. Jasno ćemo vam reći kako konstruisati rješenje za nejednakosti, sa jasnim primjerima!

Prije nego što pogledamo rješavanje nejednačina na primjerima, razumijemo osnovne koncepte.

Opće informacije o nejednakostima

Nejednakost je izraz u kojem su funkcije povezane znakovima relacija >, . Nejednakosti mogu biti i numeričke i doslovne.
Nejednakosti sa dva znaka omjera nazivaju se dvostrukim, sa tri - trostrukim, itd. Na primjer:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nejednakosti koje sadrže znak > ili ili - nisu stroge.
Rješavanje nejednakosti je bilo koja vrijednost varijable za koju će ova nejednakost biti istinita.
"Riješite nejednakost" znači da moramo pronaći skup svih njegovih rješenja. Postoje različita metode za rješavanje nejednačina. Za rješenja nejednakosti Koriste brojevnu pravu, koja je beskonačna. Na primjer, rješenje nejednakosti x > 3 je interval od 3 do +, a broj 3 nije uključen u ovaj interval, stoga je tačka na pravoj označena praznim krugom, jer nejednakost je stroga.
+
Odgovor će biti: x (3; +).
Vrijednost x=3 nije uključena u skup rješenja, tako da je zagrada okrugla. Znak beskonačnosti je uvijek označen zagradom. Znak znači "pripadanje".
Pogledajmo kako riješiti nejednakosti koristeći još jedan primjer sa znakom:
x 2
-+
Vrijednost x=2 je uključena u skup rješenja, tako da je zagrada kvadratna, a tačka na pravoj je označena popunjenim krugom.
Odgovor će biti: x)