Sfera upisana u pravu prizmu. Poliedri opisani oko sfere nazivaju se opisani poliedri. Kombinacija lopte sa skraćenom piramidom

Poliedri opisani oko sfere Za poliedar se kaže da je opisan oko sfere ako ravni svih njegovih strana dodiruju sferu. Za sferu se kaže da je upisana u poliedar. Teorema. Kugla se može upisati u prizmu ako i samo ako se u njenoj osnovi može upisati krug, a visina prizme je jednaka prečniku ove kružnice. Teorema. U bilo koju trouglastu piramidu možete staviti kuglu, i to samo jednu.

Vježba 1 Izbrišite kvadrat i nacrtajte dva paralelograma koji predstavljaju gornju i donju stranu kocke. Povežite njihove vrhove sa segmentima. Dobijte sliku sfere upisane u kocku. Nacrtajte sferu upisanu u kocku, kao na prethodnom slajdu. Da biste to učinili, nacrtajte elipsu upisanu u paralelogram dobiven kompresijom kruga i kvadrata 4 puta. Označite polove sfere i tangente elipse i paralelograma.

Vježba 4 Da li je moguće upisati sferu u pravougaoni paralelepiped osim kocke? Odgovor: Ne.

Vježba 5 Da li je moguće u nagnuti paralelepiped upisati sferu, čija su sva lica rombovi? Odgovor: Ne.

Vježba 1 Da li je moguće u nagnutu trouglastu prizmu upisati sferu sa pravilnim trouglom u osnovi? Odgovor: Ne.

Vježba 2 Odredite visinu pravilne trouglaste prizme i polumjer upisane sfere ako je rub osnove prizme 1. 3 3 , . 3 6 h r Odgovor:

Vježba 3. U pravilnu trouglastu prizmu upisana je kugla poluprečnika 1. Odredite stranu osnove i visinu prizme. 2 3, 2. a h Odgovor:

Vježba 4 Sfera je upisana u prizmu, u čijoj osnovi je pravougaoni trougao sa kracima jednakim 1. Odrediti polumjer sfere i visinu prizme. 2 2 , 2 2. 2 r h Površina trougla ABC je, perimetar Koristimo formulu r = S / p. Dobijamo 2 2. 1 ,

Vježba 5 Sfera je upisana u prizmu, u čijoj osnovi je jednakokraki trougao sa stranicama 2, 3, 3. Odrediti polumjer sfere i visinu prizme. 2 , 2. 2 r h Površina trougla ABC je jednaka. Obim je 8. Koristimo formulu r = S / p. Dobijamo 2 2.

Vježba 1 Sfera je upisana u pravu četverougaonu prizmu, u čijem je dnu romb sa stranicom 1 i oštrim uglom od 60 stepeni. Odrediti polumjer sfere i visinu prizme. Rješenje. Poluprečnik kugle je jednak polovini visine osnove DG, tj. Visina prizme je jednaka prečniku kugle, tj. 3.4 r 3.2 h

Vježba 2 Jedinična sfera je upisana u pravu četverougaonu prizmu, u čijem se dnu nalazi romb sa oštrim uglom od 60 stepeni. Nađite stranu osnove a i visinu prizme h. Odgovor: 4 3 , 2. 3 a h

Vježba 3 Sfera je upisana u pravu četverougaonu prizmu, u čijem se dnu nalazi trapez. Visina trapeza je 2. Nađite visinu prizme h i poluprečnik r upisane kugle. Odgovor: 1, 2. r h

Vježba 4 Sfera je upisana u pravu četverougaonu prizmu, u čijoj osnovi je četverougao, perimetar 4 i površina 2. Odrediti polumjer r upisane sfere. 1. r Rješenje. Imajte na umu da je polumjer sfere jednak polumjeru kružnice upisane u osnovi prizme. Iskoristimo činjenicu da je polumjer kružnice upisane u poligon jednak površini ovog poligona podijeljenom sa njegovim poluperimetrom. Dobijamo,

Vježba 1 Odredite visinu pravilne šesterokutne prizme i polumjer upisane sfere ako je stranica osnove prizme 1. 3 3, . 2 h r Odgovor:

Vježba 2. U pravilnu šestougaonu prizmu upisana je kugla poluprečnika 1. Odredite stranu osnove i visinu prizme. 2 3 , 2. 3 a h Odgovor:

Vježba 1 Nađite polumjer sfere upisane u jedinični tetraedar. 6. 12 r Odgovor: Rešenje. U tetraedru SABC imamo: SD = DE = SE = Iz sličnosti trokuta SOF i SDE dobijamo jednačinu rješavanjem koju nalazimo 3 , 2 3 , 6 6. 3 6 3 3: : , 3 6 2 r r 6 12 r

Vježba 2 Jedinična sfera je upisana u pravilan tetraedar. Pronađite ivicu ovog tetraedra. 2 6. a Odgovor:

Vježba 3 Nađite poluprečnik sfere upisane u pravilnu trouglastu piramidu, stranica osnove je 2, a dvouglovi u osnovi su 60°. 3 1 30. 3 3 r tg Rješenje. Iskoristimo činjenicu da je središte upisane sfere presjek simetralnih ravni diedara uglova u osnovi piramide. Za polumjer sfere OE vrijedi sljedeća jednakost: Dakle, . OE DE tg O

Vježba 4 Nađite poluprečnik sfere upisane u pravilnu trouglastu piramidu, čije su bočne ivice jednake 1, a ravni uglovi na vrhu jednaki 90°. 3 3. 6 r Odgovor: Rešenje. U tetraedru SABC imamo: SD = DE = SE = Iz sličnosti trokuta SOF i SDE dobijamo jednačinu rješavanjem koju nalazimo 2 , 2 6 , 6 3. 3 3 6 2: : , 3 6 2 r r 3 3. 6 r

Vježba 1 Nađite poluprečnik sfere upisane u pravilnu četvorougaonu piramidu, čiji su svi rubovi jednaki 1. 6 2. 4 r Iskoristimo činjenicu da za polumjer r kružnice upisane u trokut vrijedi formula : r = S / p, gdje je S površina, p – poluperimetar trougla. U našem slučaju, S = p = 3, 2 2. 2 Rješenje. Poluprečnik sfere jednak je poluprečniku kružnice upisane u trougao SEF, u kome je SE = SF = EF= 1, SG = 2, 4 Dakle, 1 3.

Vježba 2 Nađite poluprečnik sfere upisane u pravilnu četvorougaonu piramidu, stranica osnove je 1, a bočna ivica 2. 14 (15 1). 28 r Iskoristimo činjenicu da za poluprečnik r kružnice upisane u trokut vrijedi formula: r = S / p, gdje je S površina, p je poluperimetar trougla. U našem slučaju, S = p = 15, 214. 2 Rješenje. Poluprečnik sfere jednak je poluprečniku kružnice upisane u trougao SEF, u kome je SE = SF = EF= 1, SG = 14, 4 Dakle, 1 15.

Vježba 3 Nađite poluprečnik sfere upisane u pravilnu četvorougaonu piramidu, stranica osnove je 2, a dvodelni uglovi u osnovi su 60°. 3 30. 3 r tg Rješenje. Iskoristimo činjenicu da je središte upisane sfere presjek simetralnih ravni diedara uglova u osnovi piramide. Za polumjer sfere OG vrijedi sljedeća jednakost: Dakle, . OG FG tg OFG

Vježba 4 Jedinična sfera je upisana u pravilnu četvorougaonu piramidu, stranica osnove je 4. Nađite visinu piramide. Iskoristimo činjenicu da za polumjer r kružnice upisane u trokut vrijedi formula: r = S / p, gdje je S površina, p je poluperimetar trougla. U našem slučaju S = 2 h, p = 2 4 2. h. Rješenje. Označimo visinu SG piramide sa h. Poluprečnik sfere jednak je poluprečniku kružnice upisane u trokut SEF, u kojem je SE = SF = EF= 4. 2 4, h 8. 3 h Dakle, imamo jednakost iz koje nalazimo 2 4 2 2, h h

Vježba 1 Nađite poluprečnik sfere upisane u pravilnu šestougaonu piramidu, čije su osnovne ivice jednake 1, a bočne ivice jednake 2. 15 3. 4 r Iskoristimo činjenicu da je za poluprečnik r kružnice upisana u trokut, vrijedi formula: r = S / p, gdje je S površina, p je poluperimetar trougla. U našem slučaju, S = p = 3, 2 Dakle, 15 3. 2 15, 2 Rješenje. Poluprečnik sfere jednak je poluprečniku kružnice upisane u trougao SPQ, u kojem je SP = SQ = PQ= SH = 3.

Vježba 2 Nađite poluprečnik sfere upisane u pravilnu šestougaonu piramidu čije su ivice osnove jednake 1, a dvojedinski uglovi u osnovi jednaki 60°. 3 1 30. 2 2 r tg Rješenje. Iskoristimo činjenicu da je središte upisane sfere presjek simetralnih ravni diedara uglova u osnovi piramide. Za polumjer sfere OH vrijedi sljedeća jednakost: Dakle, . OH HQ tg OQH

Vježba Pronađite polumjer sfere upisane u jedinični oktaedar. 6. 6 r Odgovor: Rešenje. Poluprečnik sfere jednak je poluprečniku kruga upisanog u romb SES'F, u kojem je SE = SF = EF= 1, SO = Tada će visina romba, spuštena iz vrha E, biti jednaka Traženi poluprečnik jednak je polovini visine i jednak je 6. 66. 3 2 .2 3 , 2 O

Vježba Pronađite polumjer sfere upisane u jedinični ikosaedar. 1 7 3 5. 2 6 r Rješenje. Iskoristimo činjenicu da je poluprečnik OA opisane sfere jednak, a poluprečnik AQ opisane kružnice oko jednakostraničnog trougla sa stranicom 1. Po Pitagorinoj teoremi primenjenoj na pravougli trougao OAQ, dobijamo 10 2 5, 4 3.

Vježba Pronađite polumjer sfere upisane u jedinični dodekaedar. 1 25 11 5. 2 10 r Rješenje. Iskoristimo činjenicu da je poluprečnik OF opisane sfere jednak i poluprečnik FQ kružnice opisane oko jednakostraničnog petougla sa stranicom 1. Po Pitagorinoj teoremi primenjenoj na pravougli trougao OFQ, dobijamo 18 6 5, 4 5 5.

Vježba 1 Da li je moguće uklopiti sferu u skraćeni tetraedar? Rješenje. Imajte na umu da se centar O sfere upisane u skraćeni tetraedar mora poklapati sa centrom sfere upisane u tetraedar, što se poklapa sa centrom sfere napola upisane u skraćeni tetraedar. Udaljenosti d 1 , d 2 od tačke O do heksagonalnih i trokutastih lica izračunavaju se pomoću Pitagorine teoreme: gdje je R polumjer poluupisane sfere, r 1, r 2 polumjeri kružnica upisanih u šesterokut i trokut, respektivno. Pošto je r 1 > r 2, onda je d 1< d 2 и, следовательно, сферы, вписанной в усеченный тетраэдр, не существует. 2 2 1 1 2 2 , d R r

Vježba 2 Da li je moguće staviti kuglu u skraćenu kocku? Odgovor: Ne. Dokaz je sličan prethodnom.

Vježba 3 Da li je moguće uklopiti kuglu u skraćeni oktaedar? Odgovor: Ne. Dokaz je sličan prethodnom.

Vježba 4 Da li je moguće uklopiti kuglu u kuboktaedar? Odgovor: Ne. Dokaz je sličan prethodnom.

Tema „Različiti zadaci na poliedre, cilindar, konus i kuglu“ jedna je od najtežih u predmetu geometrije 11. razreda. Prije rješavanja geometrijskih problema, oni obično proučavaju relevantne dijelove teorije na koje se pozivaju prilikom rješavanja problema. U udžbeniku S. Atanasyana i drugih na ovu temu (str. 138) mogu se pronaći samo definicije poliedra opisanog oko sfere, poliedra upisanog u sferu, sfere upisane u poliedar i sfere opisane oko sfere. poliedar. IN metodološke preporuke ovaj udžbenik (vidi knjigu „Učenje geometrije u 10.–11. razredu” S.M. Saakyana i V.F. Butuzova, str. 159) govori o tome koje kombinacije tijela se uzimaju u obzir pri rješavanju zadataka br. 629–646 i skreće pažnju na činjenicu da „ pri rješavanju određenog problema, prije svega, potrebno je osigurati da učenici dobro razumiju međusobnog dogovora tijela navedena u stanju.” Slijedi rješenje problema br. 638(a) i br. 640.

Imajući u vidu sve navedeno, kao i činjenicu da su učenicima najteži problem kombinacija lopte sa drugim tijelima, potrebno je sistematizovati relevantne teorijske principe i prenijeti ih učenicima.

Definicije.

1. Kugla se naziva upisana u poliedar, a poliedar opisan oko lopte ako površina lopte dodiruje sve strane poliedra.

2. Lopta se naziva opisana oko poliedra, a poliedar upisan u kuglu, ako površina lopte prolazi kroz sve vrhove poliedra.

3. Kaže se da je lopta upisana u cilindar, krnji stožac (konus), a za cilindar, krnji stožac (konus) se kaže da je upisana oko lopte ako površina lopte dodiruje osnove (bazu) i sve generatrisa cilindra, skraćeni konus (konus).

(Iz ove definicije proizilazi da se veliki krug lopte može upisati u bilo koji aksijalni presjek ovih tijela).

4. Za kuglu se kaže da je opisana oko cilindra, krnjeg konusa (konusa), ako kružnice osnova (osnovni krug i vrh) pripadaju površini lopte.

(Iz ove definicije proizilazi da se oko bilo kojeg aksijalnog presjeka ovih tijela može opisati krug većeg kruga lopte).

Opšte napomene o položaju centra lopte.

1. Centar lopte upisane u poliedar leži u tački preseka simetralnih ravni svih diedarskih uglova poliedra. Nalazi se samo unutar poliedra.

2. Središte lopte opisane oko poliedra leži u presjeku ravnina koje su okomite na sve ivice poliedra i prolaze kroz njihove sredine. Može se nalaziti unutar, na površini ili izvan poliedra.

Kombinacija sfere i prizme.

1. Kugla upisana u pravu prizmu.

Teorema 1. Kugla se može upisati u ravnu prizmu ako i samo ako se u osnovi prizme može upisati krug, a visina prizme je jednaka prečniku ove kružnice.

Zaključak 1. Središte sfere upisane u pravu prizmu nalazi se na sredini visine prizme koja prolazi središtem kruga upisanog u osnovu.

Zaključak 2. Lopta se, posebno, može upisati u prave linije: trouglaste, pravilne, četvorougaone (u kojima su zbroji suprotnih strana baze jednaki) pod uslovom H = 2r, gde je H visina prizma, r je poluprečnik kružnice upisane u bazu.

2. Sfera opisana oko prizme.

Teorema 2. Sfera se može opisati oko prizme ako i samo ako je prizma ravna i krug se može opisati oko njene osnove.

Zaključak 1. Središte sfere opisane oko prave prizme leži u sredini visine prizme povučene kroz centar kružnice opisane oko osnove.

Zaključak 2. Lopta se posebno može opisati: u blizini prave trouglaste prizme, blizu pravilne prizme, blizu pravougaonog paralelepipeda, blizu prave četvorougaone prizme, u kojoj je zbir suprotnih uglova osnove jednak 180 stepeni.

Iz udžbenika L.S. Atanasyana mogu se predložiti zadaci br. 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) za kombinaciju lopte i prizme.

Kombinacija lopte sa piramidom.

1. Lopta opisana u blizini piramide.

Teorema 3. Lopta se može opisati oko piramide ako i samo ako se oko njene osnove može opisati krug.

Zaključak 1. Središte sfere opisane oko piramide leži u tački presjeka prave linije okomite na osnovu piramide koja prolazi kroz središte kružnice opisane oko ove osnove i ravni okomite na bilo koju bočnu ivicu povučenu kroz sredinu ovu ivicu.

Zaključak 2. Ako su bočne ivice piramide jednake jedna drugoj (ili podjednako nagnute prema ravni baze), tada se oko takve piramide može opisati lopta.Središte ove lopte u ovom slučaju leži u tački preseka visina piramide (ili njenog produžetka) sa osom simetrije bočne ivice koja leži u ravni bočne ivice i visine.

Zaključak 3. Lopta se posebno može opisati: u blizini trouglaste piramide, blizu pravilne piramide, blizu četvorougaone piramide u kojoj je zbir suprotnih uglova 180 stepeni.

2. Lopta upisana u piramidu.

Teorema 4. Ako su bočne strane piramide jednako nagnute prema osnovici, tada se u takvu piramidu može upisati lopta.

Zaključak 1. Središte lopte upisane u piramidu čije su bočne strane jednako nagnute prema osnovici leži u tački presjeka visine piramide sa simetralom linearnog ugla bilo kojeg diedarskog ugla u osnovi piramide, stranice od kojih je visina bočne strane povučene od vrha piramide.

Zaključak 2. Lopticu možete staviti u pravilnu piramidu.

Iz udžbenika L.S. Atanasyana, problemi br. 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 mogu se predložiti za kombinaciju lopte sa piramidom.

Kombinacija lopte sa skraćenom piramidom.

1. Kugla opisana oko pravilne krnje piramide.

Teorema 5. Sfera se može opisati oko bilo koje pravilne skraćene piramide. (Ovaj uslov je dovoljan, ali nije neophodan)

2. Kugla upisana u pravilnu krnju piramidu.

Teorema 6. Kugla se može upisati u pravilnu skraćenu piramidu ako i samo ako je apotema piramide jednaka zbiru apotema baza.

Postoji samo jedan problem za kombinaciju lopte sa skraćenom piramidom u udžbeniku L.S. Atanasyana (br. 636).

Kombinacija lopte sa okruglim tijelima.

Teorema 7. Sfera se može opisati oko cilindra, skraćenog konusa (ravnog kružnog oblika) ili konusa.

Teorema 8. Lopta se može upisati u (ravni kružni) cilindar ako i samo ako je cilindar jednakostraničan.

Teorema 9. Lopticu možete staviti u bilo koji konus (ravni kružni).

Teorema 10. Kugla se može upisati u krnji stožac (ravni kružni) ako i samo ako je njen generator jednak zbiru poluprečnika baza.

Iz udžbenika L.S. Atanasyana mogu se predložiti zadaci br. 642, 643, 644, 645, 646 za kombinaciju lopte sa okruglim tijelima.

Za više uspješno studiranje materijala na ovu temu, potrebno je u nastavu uključiti usmene zadatke:

1. Ivica kocke je jednaka a. Pronađite poluprečnike kuglica: upisane u kocku i opisane oko nje. (r = a/2, R = a3).

2. Da li je moguće opisati sferu (loptu) oko: a) kocke; b) pravougaoni paralelepiped; c) kosi paralelepiped sa pravougaonikom u osnovi; d) ravan paralelepiped; e) kosi paralelepiped? (a) da; b) da; c) ne; d) ne; d) ne)

3. Da li je tačno da se sfera može opisati oko bilo koje trouglaste piramide? (da)

4. Da li je moguće opisati sferu oko bilo koje četvorougaone piramide? (Ne, ne blizu bilo koje četvorougaone piramide)

5. Koja svojstva mora imati piramida da bi opisala sferu oko nje? (U njegovoj osnovi bi trebao biti poligon oko kojeg se može opisati krug)

6. U sferu je upisana piramida čija je bočna ivica okomita na osnovu. Kako pronaći centar sfere? (Središte sfere je tačka preseka dva geometrijska lokusa tačaka u prostoru. Prvi je okomita povučena na ravan osnove piramide, kroz centar kružnice opisane oko nje. Druga je ravan okomito na datu bočnu ivicu i povučeno kroz njenu sredinu)

7. Pod kojim uslovima možete opisati sferu oko prizme, u čijoj osnovi je trapez? (Prvo, prizma mora biti ravna, a drugo, trapez mora biti jednakokraki kako bi se oko njega mogao opisati krug)

8. Koje uslove mora da zadovolji prizma da bi se sfera mogla opisati oko nje? (Prizma mora biti ravna, a njena osnova mora biti poligon oko kojeg se može opisati krug)

9. Sfera je opisana oko trouglaste prizme, čiji centar leži izvan prizme. Koji trougao je osnova prizme? (tupokutni trokut)

10. Da li je moguće opisati sferu oko nagnute prizme? (Ne možeš)

11. Pod kojim uslovom će se centar sfere opisane oko prave trouglaste prizme nalaziti na jednoj od bočnih strana prizme? (Osnova je pravougli trokut)

12. Osnova piramide je jednakokraki trapez, a ortogonalna projekcija vrha piramide na ravan osnove je tačka koja se nalazi izvan trapeza. Da li je moguće opisati sferu oko takvog trapeza? (Da, možete. Činjenica da se ortogonalna projekcija vrha piramide nalazi izvan njene osnove nije bitna. Važno je da u osnovi piramide leži jednakokraki trapez - mnogokut oko kojeg se može napraviti kružnica opisano)

13. Sfera je opisana u blizini pravilne piramide. Kako se njeno središte nalazi u odnosu na elemente piramide? (Središte sfere je na okomici povučenoj na ravan baze kroz njeno središte)

14. Pod kojim uslovom leži centar sfere opisane oko pravougaone prizme: a) unutar prizme; b) izvan prizme? (U osnovi prizme: a) oštar trougao; b) tupokutni trokut)

15. Sfera je opisana oko pravougaonog paralelepipeda čije su ivice 1 dm, 2 dm i 2 dm. Izračunajte polumjer sfere. (1,5 dm)

16. U koji skraćeni konus može stati sfera? (U krnjem konusu, u čiji aksijalni presjek može biti upisana kružnica. Aksijalni presjek konusa je jednakokraki trapez, zbir njegovih osnova mora biti jednak zbiru njegovih bočnih strana. Drugim riječima, zbir poluprečnika osnova stošca mora biti jednak generatoru)

17. Sfera je upisana u krnji konus. Pod kojim uglom je generatriksa konusa vidljiva iz centra sfere? (90 stepeni)

18. Koje osobine mora imati ravna prizma da bi u nju bila upisana sfera? (Prvo, u osnovi ravne prizme mora postojati mnogokut u koji se može upisati krug, a drugo, visina prizme mora biti jednaka prečniku kruga upisanog u bazu)

19. Navedite primjer piramide koja ne može stati u sferu? (Na primjer, četvorougaone piramide, čija je osnova pravougaonik ili paralelogram)

20. U osnovi ravne prizme je romb. Da li je moguće ubaciti sferu u ovu prizmu? (Ne, nemoguće je, jer je općenito nemoguće opisati krug oko romba)

21. Pod kojim uslovom se sfera može upisati u pravu trouglastu prizmu? (Ako je visina prizme dvostruko veća od polumjera kruga upisanog u bazu)

22. Pod kojim uslovom se sfera može upisati u pravilnu četvorougaonu skraćenu piramidu? (Ako je poprečni presjek date piramide ravan koja prolazi sredinom stranice osnove okomito na nju, to je jednakokraki trapez u koji se može upisati kružnica)

23. Sfera je upisana u trouglastu skraćenu piramidu. Koja tačka piramide je centar sfere? (Središte sfere upisane u ovu piramidu nalazi se na presjeku tri bisektralne ravni uglova koje formiraju bočne strane piramide sa bazom)

24. Da li je moguće opisati sferu oko cilindra (desna kružna)? (Da, možeš)

25. Da li je moguće opisati sferu oko konusa, skraćeni konus (ravni kružni)? (Da, možete, u oba slučaja)

26. Može li se sfera upisati u bilo koji cilindar? Koja svojstva mora imati cilindar da bi u njega stao kugla? (Ne, ne svaki put: aksijalni presjek cilindra mora biti kvadratan)

27. Može li se sfera upisati u bilo koji konus? Kako odrediti položaj centra sfere upisane u konus? (Da, apsolutno. Centar upisane sfere je na presjeku visine stošca i simetrale ugla nagiba generatrise prema ravni baze)

Autor smatra da je od tri lekcije planiranja na temu „Različiti zadaci na poliedre, cilindar, konus i kuglu“ preporučljivo dvije lekcije posvetiti rješavanju zadataka o kombinovanju lopte sa drugim tijelima. Ne preporučuje se dokazivanje gore navedenih teorema zbog nedovoljnog vremena na času. Možete pozvati učenike koji imaju dovoljno vještina za to da ih dokažu tako što ćete navesti (po nahođenju nastavnika) tok ili plan dokazivanja.

Lopta i sfera

Tijelo dobiveno rotacijom polukruga oko prečnika naziva se lopta. Površina nastala u ovom slučaju naziva se sfera.Loptica je tijelo koje se sastoji od svih tačaka u prostoru koje se nalaze na udaljenosti ne većoj od date od date tačke.Ova tačka se naziva središte lopte., a ovo rastojanje se naziva poluprečnik lopte.Granica lopte naziva se sferna površinaili kugla. Svaki segment koji povezuje centar lopte sa tačkom na sfernoj površini naziva se poluprečnik.Segment koji spaja dvije tačke na sfernoj površini i prolazi kroz centar lopte naziva se prečnik.Krjevi bilo kojeg prečnika nazivaju se dijametralno suprotne tačke lopte.Bilo koji dio lopteravan je krug. Središte ove kružnice je osnova okomice ispuštene iz centra na sekuću.Ravan koja prolazi kroz centar lopte naziva se dijametralna ravan. Presjek lopte dijametralnom ravninom naziva se veliki krug, a poprečni presjek sfere je veliki krug.Svaka dijametralna ravan lopte je njena ravan simetrije. Centar lopte je njen centar simetrije.Ravan koja prolazi kroz tačku na sfernoj površini i okomita na poluprečnik povučen u ovu tačku naziva se tangentna ravan. Ova tačka nazvana tačka kontakta.Ravan tangente ima samo jednu zajedničku tačku sa loptom - dodirnu tačku.Prava linija koja prolazi kroz dati poen sferna površina okomita na polumjer povučen do ove točke naziva se tangenta.Beskonačan broj tangenta prolazi kroz bilo koju tačku na sfernoj površini i sve leže u tangentnoj ravni lopte. Sferni segmentdio lopte odsječen od nje ravninom naziva se sferni slojnaziva se dio lopte koji se nalazi između dvije paralelne ravni koje seku loptu.Sferni sektordobije se iz sfernog segmenta i stošca. Ako je sferni segment manji od hemisfere, tada se sferni segment dopunjava konusom čiji je vrh u središtu lopte, a osnova je osnova kugle Ako je segment veći od hemisfere, tada se navedeni konus uklanja iz njega. Osnovne formuleLopta (R = OB - radijus): S b = 4πR 2 ; V = 4πR 3 / 3. Segment lopte (R = OB - poluprečnik lopte, h = SK - visina segmenta, r = KV - poluprečnik osnove segmenta): V segm = πh 2 (R - h/3) ili V segm = πh(h 2 + 3r 2 ) / 6;S segm = 2πRh Sektor lopte (R = OB - poluprečnik lopte, h = SC - visina segmenta): V = V segm ±V con , “+” - ako je segment manji, “-” - ako je segment veći od hemisfere.ili V = V segm +V con = πh 2 (R - h/3) + πr 2 (R - h) / 3. Sferni sloj (R 1 i R 2 - radijusi osnova sfernog sloja; h = SC - visina sfernog sloja ili rastojanje između baza):V w/sl = πh 3 / 6 + πh(R 1 2 + R 2 2 ) / 2;S w/sl = 2πRh Primjer 1. Zapremina lopte je 288π cm 3 . Odrediti prečnik lopte Rješenje V = πd 3 / 6288π = πd 3 / 6πd 3 = 1728πd 3 = 1728d = 12 cm Odgovor: 12. Primer 2. Tri jednake sfere poluprečnika r dodiruju jedna drugu i neku ravan. Odrediti poluprečnik četvrte sfere tangente na tri podatka i datu ravanNeka O 1 , O 2 , O 3 - centri ovih sfera i O - centar četvrte sfere koja dodiruje tri podatka i datu ravan. Neka su A, B, C, T dodirne tačke sfera sa datom ravninom. Dodirne tačke dvije sfere leže na liniji centara ovih sfera, dakle O 1 O 2 = O 2 O 3 = O 3 O 1 = 2r. Tačke su jednako udaljene od ravni ABC, dakle ABO 2 O 1 , AVO 2 O 3 , AVO 3 O 1 - jednakih pravokutnika, dakle, ∆ABC je jednakostraničan sa stranicom 2r. Neka je x željeni polumjer četvrte sfere. Tada je OT = x. dakle, Isto tako To znači da je T centar jednakostraničnog trougla. Zbog toga OdavdeOdgovor: r / 3. Kugla upisana u piramidu Kugla se može upisati u svaku pravilnu piramidu. Središte sfere leži u visini piramide u tački njenog preseka sa simetralom linearnog ugla na ivici osnove piramide. Napomena. Ako se kugla može upisati u piramidu, ne nužno pravilnu, tada se polumjer r ove sfere može izračunati pomoću formule r = 3V / S str , gdje je V zapremina piramide, S str - njegova ukupna površina Primjer 3. Konični lijevak, polumjera osnove R i visine H, ispunjen je vodom. Teška lopta se spušta u lijevak. Koliki treba da bude poluprečnik kuglice da bi zapremina vode koju je uronjeni deo kugle istisnuo iz levka, bio maksimalan?Rešenje Nacrtajmo presek kroz centar konusa. Ovaj dio formira jednakokraki trokut.Ako se u lijevku nalazi lopta, tada će maksimalna veličina njenog polumjera biti jednaka polumjeru kružnice upisane u rezultirajući jednakokraki trokut. Polumjer kružnice upisane u trokut jednak je: r = S / p , gdje je S površina trokuta, p je njegov poluperimetar. Površina jednakokračnog trokuta jednaka je polovini visine (H = SO) pomnoženoj sa osnovom. Ali pošto je osnova dvostruko veća od poluprečnika stošca, onda je S = RH. Poluperimetar je jednak p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m je dužina svake od jednakih stranica jednakokrake trougao; R je polumjer kružnice koja čini osnovu stošca. Pronađite m po Pitagorinoj teoremi: , gdjeUkratko to izgleda ovako:odgovor:Primer 4. U pravilnoj trouglastoj piramidi sa dvodelnim uglom u osnovi jednakim α, nalaze se dve kugle. Prva lopta dodiruje sve strane piramide, a druga lopta dodiruje sve bočne strane piramide i prve lopte. Naći omjer poluprečnika prve lopte i polumjera druge kuglice ako je tgα = 24/7.
Neka je RABC pravilna piramida, a tačka H centar njene baze ABC. Neka je M sredina ivice BC. Onda - linearni diedarski ugao , koji je po uslovu jednak α, i α< 90°. Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой .Neka NN 1 - prečnik prve lopte i ravni koja prolazi kroz tačku H 1 okomito na pravu RN, siječe bočne ivice RA, PB, RS, redom, u tačkama A 1 , IN 1 , WITH 1 . Zatim N 1 će biti centar ispravnog ∆A 1 IN 1 WITH 1 , i piramida RA 1 IN 1 WITH 1 će biti slična RABC piramidi sa koeficijentom sličnosti k = RN 1 / RN. Imajte na umu da je druga lopta, sa centrom u tački O 1 , je upisan u RA piramidu 1 IN 1 WITH 1 i stoga je omjer polumjera upisanih kuglica jednak koeficijentu sličnosti: OH / OH 1 = RN / RN 1 . Iz jednakosti tgα = 24/7 nalazimo:Neka je AB = x. Onda Otuda i željeni OH/O odnos 1 N 1 = 16/9 Odgovor: 16/9 Sfera upisana u prizmu Prečnik D kugle upisane u prizmu jednak je visini H prizme: D = 2R = H. Poluprečnik R sfere upisane u prizmu prizma je jednaka poluprečniku kruga upisanog u prizmu okomitog presjeka. Ako je sfera upisana u pravu prizmu, tada se u osnovi ove prizme može upisati krug. Polumjer R sfere upisane u pravu prizma je jednaka poluprečniku kružnice upisane u osnovu prizme Teorema 1 Neka je u osnovi ravne prizme kružnica upisana, a visina H prizme jednaka prečniku D ovog kruga. Tada se u ovu prizmu može upisati kugla prečnika D. Središte ove upisane sfere poklapa se sa sredinom segmenta koji povezuje centre krugova upisanih u osnovice prizme.Neka ABC...A 1 IN 1 WITH 1 ... je ravna prizma i O je centar kružnice upisane u njenu bazu ABC. Tada je tačka O jednako udaljena od svih strana baze ABC. Neka O 1 - ortogonalna projekcija tačke O na bazu A 1 IN 1 WITH 1 . Onda Oh 1 jednako udaljena od svih strana baze A 1 IN 1 WITH 1 , i OO 1 || aa 1 . Iz toga slijedi da je direktni OO 1 paralelno sa svakom ravninom bočne strane prizme, i dužinom segmenta OO 1 jednaka visini prizme i, po dogovoru, prečniku kruga upisanog u bazu prizme. To znači da su tačke segmenta OO 1 jednako su udaljene od bočnih strana prizme i sredine F segmenta OO 1 , jednako udaljena od ravni baza prizme, bit će jednako udaljena od svih strana prizme. Odnosno, F je centar sfere upisane u prizmu, a prečnik ove sfere jednak je prečniku kruga upisanog u osnovu prizme. Teorema je dokazana Teorema 2 Neka je kružnica upisana u okomit presjek nagnute prizme, a visina prizme jednaka je prečniku ove kružnice. Tada se sfera može upisati u ovu nagnutu prizmu. Središte ove sfere dijeli visinu koja prolazi kroz centar kružnice upisane u okomit presjek na pola.
Neka ABC...A 1 IN 1 WITH 1 ... je nagnuta prizma, a F je centar kruga poluprečnika FK upisanog u njegov okomit presjek. Budući da je okomiti presjek prizme okomit na svaku ravninu njene bočne strane, polumjeri kružnice upisane u okomiti presjek povučen na stranice ovog presjeka su okomiti na bočne strane prizme. Prema tome, tačka F je jednako udaljena od svih bočnih strana. Povučemo pravu liniju OO kroz tačku F 1 , okomito na ravan osnova prizme, sijekući ove baze u tačkama O i O 1 . Onda OO 1 - visina prizme. Pošto prema OO uslovu 1 = 2FK, tada je F sredina segmenta OO 1 :FK = OO 1 / 2 = FO = FO 1 , tj. tačka F jednako je udaljena od ravni svih strana prizme bez izuzetka. To znači da se u datu prizmu može upisati kugla, čiji se centar poklapa sa tačkom F - središtem kružnice upisanog u onaj okomiti presjek prizme koji dijeli visinu prizme koja prolazi kroz tačku F na pola. Teorema je dokazana Primjer 5. U pravougaoni paralelepiped upisana je kugla poluprečnika 1. Odrediti zapreminu paralelepipeda. Rješenje.Nacrtajte pogled odozgo. Ili sa strane. Ili sa prednje strane. Vidjet ćete istu stvar - krug upisan u pravougaonik. Očigledno, ovaj pravougaonik će biti kvadrat, a paralelepiped kocka. Dužina, širina i visina ove kocke su dvostruko veće od poluprečnika sfere.AB = 2, pa je prema tome zapremina kocke 8. Odgovor: 8. Primjer 6. U pravilnoj trouglastoj prizmi sa stranom osnove jednakom to , postoje dvije lopte. Prva kugla je upisana u prizmu, a druga lopta dodiruje jednu osnovu prizme, njene dvije bočne strane i prvu loptu. Pronađite polumjer druge kuglice
Neka ABCA 1 IN 1 WITH 1 - ispravna prizma i tačke P i P 1 - centri njegovih baza. Tada je središte lopte O upisane u ovu prizmu središte segmenta PP 1 . Uzmite u obzir avion RVV 1 . Pošto je prizma pravilna, PB leži na segmentu BN, koji je simetrala i visina ΔABC. Dakle, avion i je simetrala ravan diedarskog ugla na bočnoj ivici eksploziva 1 . Dakle, bilo koja tačka ove ravni je jednako udaljena od bočnih strana AA 1 BB 1 i SS 1 IN 1 B. Konkretno, okomita OK, spuštena iz tačke O na lice ACC 1 A 1 , leži u RVV ravni 1 i jednak je segmentu OP. Imajte na umu da je KNPO kvadrat čija je stranica jednaka poluprečniku lopte upisane u datu prizmu. Neka je O 1 - centar lopte koja dodiruje upisanu kuglu sa centrom O i bočnim stranama AA 1 BB 1 i SS 1 IN 1 U prizme. Zatim tačka O 1 leži na RVV ravni 1 , i njegova projekcija P 2 na ravni ABC leži na odsječku PB Prema uvjetu stranica osnovice je jednaka , dakle, PN = 2 i stoga je poluprečnik kuglice OR upisane u prizmu takođe jednak 2. Pošto su kuglice sa centrima u tačkama O i O 1 dodiruju jedan drugog, a zatim segment OO 1 = ILI + O 1 R 2 . Označimo OP = r, O 1 R 2 = x. Uzmite u obzir ΔOO 1 T, gdje U ovom trouglu OO 1 = r + x, OT = r - x. Zbog toga Pošto je figura O 1 R 2 RT je, dakle, pravougaonik Nadalje, po svojstvu medijana trougla RV = 2r, i R 2 B = 2x, jer in pravougaonog trougla i P 2 L = x. Pošto je PB = PP 2 + R 2 B, onda dobijamo jednačinu , od čega, uzimajući u obzir nejednakost x< r, находим Zamjenom vrijednosti r = 2 konačno nalazimo odgovor:Sfera opisana oko poliedra
Kaže se da je sfera opisana oko poliedra, ako svi njeni vrhovi leže na ovoj sferi. U ovom slučaju se kaže da je poliedar upisan u sferu.Iz definicije proizilazi da ako poliedar ima opisanu sferu, onda su sve njegove strane upisane poligone i, prema tome, nema svaki poliedar oko sebe opisanu sferu. Na primjer, nagnuti paralelepiped nema opisanu sferu, jer Nemoguće je opisati kružnicu oko paralelograma.Središte sfere opisane oko prave prizme je sredina segmenta koji spaja centre kružnica opisanih oko osnova prave prizme.Primjer 7. Odrediti polumjer sfere opisano oko kocke ako je zapremina kocke 27. Odgovor upiši u obrazac Rešenje Volumen kocke ivica kocke a = 3. Prema Pitagorinoj teoremi, dijagonala kocke Tada nalazimo radijus kao pola dijagonale kocke: Zapišimo odgovor u formular Odgovor: 1.5 Primjer 8. Jedna od osnova pravilne trouglaste prizme pripada velikom krugu lopte poluprečnika R, a vrhovi druge osnove pripadaju površini ove lopte. Odrediti visinu prizme na kojoj će njen volumen biti najveći
Okomito na ravan A 1 IN 1 WITH 1 povučen iz centra kružnice opisane oko ovog trougla prolazi kroz centar lopte. Označimo OB 1 = R, OB = R 1 , BB 1 = h = x. Onda Nađimo izvod i izjednačimo ga sa nulom. Dobijamo:odgovor:

XV GRADSKA OTVORENA KONFERENCIJA STUDENATA

"INTELEKTUALCI XXI VEKA"

Sekcija: MATEMATIKA

Opisano područje na olimpijadama i Jedinstvenom državnom ispitu

Kiyaeva Anna Anatolevna

Orenburg – 2008

1.2 Opisani opseg

1.2.1 Osnovna svojstva i definicije

1.2.2 Kombinacija piramida

1.2.3 Kombinacija sa prizmom

1.2.4 Kombinacija sa cilindrom

1.2.5 Kombinacija sa konusom

2 Primjeri olimpijskih zadataka

2.1 Primjeri olimpijskih zadataka sa piramidom

2.2 Primjeri olimpijskih zadataka sa prizmom

2.3 Primjeri olimpijskih zadataka s cilindrom

2.4 Primjeri olimpijskih zadataka sa konusom

3.3 Primjeri zadataka Jedinstvenog državnog ispita s cilindrom

3.4 Primjeri zadataka objedinjenog državnog ispita sa konusom

Uvod

Ovaj rad se odvija u sklopu projekta kreiranja matematičke stranice za školarce na web stranici internata i biće objavljen u rubrici „Matematičke metode“.

Target rad - kreiranje priručnika posvećenog metodi rješenja geometrijski problemi sa opisanom sferom na olimpijadama i Jedinstvenom državnom ispitu.

Da bismo postigli ovaj cilj, morali smo riješiti sljedeće zadataka :

1) upoznati se sa pojmom opisane sfere;

2) proučavaju karakteristike kombinacija opisane sfere sa piramidom, prizmom, cilindrom i konusom;

3) među geometrijskim problemima izabrati one koji sadrže uslov za postojanje opisane sfere;

4) analizira, sistematizuje i klasifikuje prikupljeni materijal;

5) vrši izbor problema za samostalno rešavanje;

6) rezultate istraživanja predstaviti u obliku sažetka.

Tokom istraživanja smo otkrili da se problemi iz opisane oblasti prilično često nude školarcima na Jedinstvenom državnom ispitu, tako da sposobnost rješavanja problema ovog tipa igra vrlo važnu ulogu u uspješan završetak ispiti. Takođe, problemi sa opisanom oblasti često se sreću na matematičkim olimpijadama na različitim nivoima. Relevantni primjeri su dati u našem radu. Ova tema je relevantan, budući da zadaci ovog tipa obično izazivaju teškoće kod školaraca.

Praktični značaj– materijali koje smo pripremili mogu se koristiti za pripremu školaraca za olimpijade, Jedinstveni državni ispit i naknadne studije na fakultetu.

1 Sfera i lopta

1.1 Sfera i lopta: osnovni pojmovi i definicije

Sfera je površina koja se sastoji od svih tačaka u prostoru koje se nalaze na datoj udaljenosti od date tačke.

Ova tačka se zove centar sfere(tačka O na sl. 1), i ovo rastojanje poluprečnik sfere. Svaki segment koji povezuje centar i bilo koju tačku sfere naziva se i poluprečnik sfere. Zove se odsječak koji spaja dvije tačke na sferi i prolazi kroz njeno središte prečnik sfere(odsječak linije DC na sl. 1). Imajte na umu da se kugla može dobiti okretanjem polukruga oko njenog prečnika.

Lopta naziva se tijelo omeđeno sferom. Centar, poluprečnik i prečnik kugle se takođe nazivaju centar , radijus I prečnik lopte. Očigledno, lopta radijusa R centriran na O sadrži sve tačke u prostoru koje se nalaze od tačke O na udaljenosti koja ne prelazi R(uključujući tačku O), i ne sadrži druge tačke. Lopta naziva se i figura rotacije polukruga oko njegovog prečnika. Segment lopte- dio lopte odsječen od nje nekom ravninom. Svaki dio lopte ravninom je krug. Središte ove kružnice je osnova okomice povučene iz centra lopte na ravninu sečenja. Zove se ravan koja prolazi kroz centar lopte dijametralna ravan. Presjek lopte po dijametralnoj ravni naziva se veliki krug, a presjek sfere je veliki krug. Sektor lopte - geometrijsko tijelo koje se dobiva rotacijom kružnog sektora pod kutom manjim od 90° oko prave linije koja sadrži jedan od polumjera koji ograničavaju kružni sektor. Sferni sektor se sastoji od sfernog segmenta i konusa sa zajedničkom bazom.

Površina sfere:

S = 4π R 2 ,

Gdje R– radijus lopte, S- površina sfere.

Volumen sfere

Gdje V– zapremina lopte

Volumen sektora kugle

V – zapremine sfernog segmenta.

Površina segmenta

- visina segmenta, površina segmenta

Radijus osnove segmenta

, - polumjer osnove segmenta, - visina segmenta, 0<H < 2R .

Sferna površina segmenta lopte

- površina sferne površine sfernog segmenta.

U prostoru za loptu i avion moguća su tri slučaja:

1) Ako je rastojanje od centra lopte do ravni veće od poluprečnika lopte, tada lopta i ravan nemaju zajedničke tačke.

2) Ako je udaljenost od centra lopte do ravni jednaka poluprečniku lopte, tada ravan ima samo jednu zajedničku tačku sa loptom i sferom koja je graniči.

3) Ako je rastojanje od centra lopte do ravni manje od poluprečnika lopte, tada je presek lopte sa ravninom kružnica. Centar ove kružnice je projekcija centra lopte na datu ravan. Presjek ravni sa sferom je obim navedene kružnice.

1.2 Opisana sfera

1.2.1 Definicije i svojstva

Sfera se zove opisano oko poliedra(a poliedar je uključeno u sferu), ako svi vrhovi poliedra leže na sferi.

Iz definicije opisane sfere slijede dvije činjenice:

1) svi vrhovi poliedra upisanog u sferu jednako su udaljeni od određene tačke (od centra opisane sfere);

2) svako lice poliedra upisanog u sferu je mnogougao upisan u određeni krug, upravo u krug koji se dobije u preseku sfere ravninom lica; u ovom slučaju, osnova okomica spuštenih iz centra opisane sfere na ravni lica su centri kružnica opisanih oko lica.

Teorema 1 . Sfera se može opisati oko poliedra ako i samo ako je ispunjen bilo koji od sljedećih uslova:

a) krug se može opisati oko bilo koje strane poliedra, a ose kružnica opisanih oko lica poliedra seku se u jednoj tački;

b) ravni okomite na ivice poliedra i koje prolaze kroz njihove sredine seku se u jednoj tački;

c) postoji jedna tačka jednako udaljena od svih vrhova poliedra.

Dokaz.

Nužnost. Neka je sfera opisana oko poliedra. Dokažimo da je uslov a) zadovoljen. Zaista, budući da ravan datog lica poliedra siječe sferu duž kružnice, tada vrhovi lica koji pripadaju sferi i ravnina lica pripadaju liniji njihovog presjeka - kružnici. Pošto je središte sfere jednako udaljeno od svih vrhova datog lica, ono leži na okomici na ovo lice povučeno kroz centar kružnice opisane oko lica.

Adekvatnost. Neka je uslov a) zadovoljen. Dokažimo da se sfera može opisati oko poliedra. U stvari, budući da je zajednička tačka okomica na lica povučena kroz središta kružnica opisanih oko lica jednako udaljena od svih vrhova poliedra, sfera sa centrom u ovoj tački opisana je oko poliedra.

Uslov a) u ovom slučaju je ekvivalentan uslovima b) i c).

Ako je sfera opisana oko poliedra, tada: a) osnova okomice spuštene iz središta sfere na bilo koju površinu je centar kružnice opisane oko ove površine (kao osnova visine piramide s jednakim bočne ivice - poluprečnici sfere povučeni od njenog centra do vrhova datog lica); b) centar sfere opisane oko poliedra može se nalaziti unutar poliedra, na njegovoj površini (u središtu kruga opisanog oko lica, posebno u sredini neke ivice), izvan poliedra.

1.2.2 Opisana sfera i piramida

Teorema 2 . Sfera se može opisati oko piramide ako i samo ako se oko njene osnove može opisati krug.

Dokaz. Neka se opiše krug oko osnove piramide. Zatim ovaj krug i tačka izvan ravni ovog kruga - vrh piramide - definišu jednu sferu, koja će biti opisana oko piramide. I nazad. Ako je sfera opisana oko piramide, tada je presjek sfere ravninom osnove piramide kružnica opisana oko baze.

Zaključak 1. Sfera se može opisati oko bilo kojeg tetraedra.

Tema „Različiti zadaci na poliedre, cilindar, konus i kuglu“ jedna je od najtežih u predmetu geometrije 11. razreda. Prije rješavanja geometrijskih problema, oni obično proučavaju relevantne dijelove teorije na koje se pozivaju prilikom rješavanja problema. U udžbeniku S. Atanasyana i drugih na ovu temu (str. 138) mogu se pronaći samo definicije poliedra opisanog oko sfere, poliedra upisanog u sferu, sfere upisane u poliedar i sfere opisane oko sfere. poliedar. Metodološke preporuke za ovaj udžbenik (pogledajte knjigu „Učenje geometrije u 10.–11. razredu“ autora S.M. Sahakyana i V.F. Butuzova, str. 159) govore o tome koje kombinacije tijela se uzimaju u obzir pri rješavanju zadataka br. 629–646 i skreće pažnju na činjenicu da je „prilikom rješavanja određenog problema prije svega potrebno osigurati da učenici dobro razumiju relativne položaje tijela naznačenih u stanju“. Slijedi rješenje problema br. 638(a) i br. 640.

Definicije.

1. Kugla se naziva upisana u poliedar, a poliedar opisan oko lopte ako površina lopte dodiruje sve strane poliedra.

2. Lopta se naziva opisana oko poliedra, a poliedar upisan u kuglu, ako površina lopte prolazi kroz sve vrhove poliedra.

(Iz ove definicije proizilazi da se veliki krug lopte može upisati u bilo koji aksijalni presjek ovih tijela).

4. Za kuglu se kaže da je opisana oko cilindra, krnjeg konusa (konusa), ako kružnice osnova (osnovni krug i vrh) pripadaju površini lopte.

(Iz ove definicije proizilazi da se oko bilo kojeg aksijalnog presjeka ovih tijela može opisati krug većeg kruga lopte).

Opšte napomene o položaju centra lopte.

1. Centar lopte upisane u poliedar leži u tački preseka simetralnih ravni svih diedarskih uglova poliedra. Nalazi se samo unutar poliedra.

2. Središte lopte opisane oko poliedra leži u presjeku ravnina koje su okomite na sve ivice poliedra i prolaze kroz njihove sredine. Može se nalaziti unutar, na površini ili izvan poliedra.

Kombinacija sfere i prizme.

1. Kugla upisana u pravu prizmu.

Teorema 1. Kugla se može upisati u ravnu prizmu ako i samo ako se u osnovi prizme može upisati krug, a visina prizme je jednaka prečniku ove kružnice.

Zaključak 1. Središte sfere upisane u pravu prizmu nalazi se na sredini visine prizme koja prolazi središtem kruga upisanog u osnovu.

2. Sfera opisana oko prizme.

Teorema 2. Sfera se može opisati oko prizme ako i samo ako je prizma ravna i krug se može opisati oko njene osnove.

Zaključak 1. Središte sfere opisane oko prave prizme leži u sredini visine prizme povučene kroz centar kružnice opisane oko osnove.

Iz udžbenika L.S. Atanasyana mogu se predložiti zadaci br. 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) za kombinaciju lopte i prizme.

Kombinacija lopte sa piramidom.

1. Lopta opisana u blizini piramide.

Teorema 3. Lopta se može opisati oko piramide ako i samo ako se oko njene osnove može opisati krug.

Zaključak 3. Lopta se posebno može opisati: u blizini trouglaste piramide, blizu pravilne piramide, blizu četvorougaone piramide u kojoj je zbir suprotnih uglova 180 stepeni.

2. Lopta upisana u piramidu.

Teorema 4. Ako su bočne strane piramide jednako nagnute prema osnovici, tada se u takvu piramidu može upisati lopta.

Zaključak 2. Lopticu možete staviti u pravilnu piramidu.

Iz udžbenika L.S. Atanasyana, problemi br. 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 mogu se predložiti za kombinaciju lopte sa piramidom.

Kombinacija lopte sa skraćenom piramidom.

1. Kugla opisana oko pravilne krnje piramide.

Teorema 5. Sfera se može opisati oko bilo koje pravilne skraćene piramide. (Ovaj uslov je dovoljan, ali nije neophodan)

2. Kugla upisana u pravilnu krnju piramidu.

Teorema 6. Kugla se može upisati u pravilnu skraćenu piramidu ako i samo ako je apotema piramide jednaka zbiru apotema baza.

Postoji samo jedan problem za kombinaciju lopte sa skraćenom piramidom u udžbeniku L.S. Atanasyana (br. 636).

Kombinacija lopte sa okruglim tijelima.

Teorema 7. Sfera se može opisati oko cilindra, skraćenog konusa (ravnog kružnog oblika) ili konusa.

Teorema 8. Lopta se može upisati u (ravni kružni) cilindar ako i samo ako je cilindar jednakostraničan.

Teorema 9. Lopticu možete staviti u bilo koji konus (ravni kružni).

Teorema 10. Kugla se može upisati u krnji stožac (ravni kružni) ako i samo ako je njen generator jednak zbiru poluprečnika baza.

Iz udžbenika L.S. Atanasyana mogu se predložiti zadaci br. 642, 643, 644, 645, 646 za kombinaciju lopte sa okruglim tijelima.

Za uspješnije proučavanje materijala na ovu temu potrebno je u nastavu uključiti usmene zadatke: