Sin svojstva i graf. Sinus (sin x) i kosinus (cos x) – svojstva, grafikoni, formule. Izrazi kroz kompleksne varijable
FUNKCIJSKA GRAFIKA
Sinusna funkcija
- gomila R svi realni brojevi.
Višestruke vrijednosti funkcija— segment [-1; 1], tj. sinusna funkcija - ograničeno.
Neparna funkcija: sin(−x)=−sin x za sve x ∈ R.
Funkcija je periodična
sin(x+2π k) = sin x, gdje je k ∈ Z za sve x ∈ R.
sin x = 0 za x = π·k, k ∈ Z.
sin x > 0(pozitivno) za sve x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.
sin x< 0 (negativno) za sve x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.
Kosinus funkcija
Funkcija domena- gomila R svi realni brojevi.
Višestruke vrijednosti funkcija— segment [-1; 1], tj. kosinusna funkcija - ograničeno.
Ravnomjerna funkcija: cos(−x)=cos x za sve x ∈ R.
Funkcija je periodična sa najmanjim pozitivnim periodom 2π:
cos(x+2π k) = cos x, gdje k ∈ Z za sve x ∈ R.
| cos x = 0 at | |
| cos x > 0 za sve |  |
| cos x< 0 za sve |  |
| Funkcija se povećava od −1 do 1 u intervalima: | |
| Funkcija se smanjuje od −1 do 1 u intervalima: | |
| Najveća vrijednost funkcije sin x = 1 u tačkama: |  |
| Najmanja vrijednost funkcije sin x = −1 u tačkama: |
Tangentna funkcija
Višestruke vrijednosti funkcija— cijela brojevna prava, tj. tangenta - funkcija neograničeno.
Neparna funkcija: tg(−x)=−tg x
Grafikon funkcije je simetričan oko ose OY.
Funkcija je periodična sa najmanjim pozitivnim periodom π, tj. tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z za sve x iz domena definicije.
Kotangentna funkcija
Višestruke vrijednosti funkcija— cijela brojevna prava, tj. kotangens - funkcija neograničeno.
Neparna funkcija: ctg(−x)=−ctg x za sve x iz domena definicije.Grafikon funkcije je simetričan oko ose OY.
Funkcija je periodična sa najmanjim pozitivnim periodom π, tj. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z za sve x iz domena definicije.
Arksinus funkcija
Funkcija domena— segment [-1; 1]
Višestruke vrijednosti funkcija- segment -π /2 arcsin x π /2, tj. arcsinus - funkcija ograničeno.
Neparna funkcija: arcsin(−x)=−arcsin x za sve x ∈ R.
Grafikon funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
Kroz cijelo područje definicije.
Arc kosinus funkcija
Funkcija domena— segment [-1; 1]
Višestruke vrijednosti funkcija— segment 0 arccos x π, tj. arkosinus - funkcija ograničeno.
Funkcija se povećava na cijelom području definicije.
Arktangentna funkcija
Funkcija domena- gomila R svi realni brojevi.
Višestruke vrijednosti funkcija— segment 0 π, tj. arktangent - funkcija ograničeno.
Neparna funkcija: arctg(−x)=−arctg x za sve x ∈ R.
Grafikon funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
Funkcija se povećava na cijelom području definicije.
Funkcija tangente luka
Funkcija domena- gomila R svi realni brojevi.
Višestruke vrijednosti funkcija— segment 0 π, tj. arkotangens - funkcija ograničeno.
Funkcija nije ni parna ni neparna.
Grafikon funkcije nije asimetričan ni u odnosu na ishodište koordinata, niti u odnosu na osu Oy.
Funkcija se smanjuje na cijelom području definicije.
U ovoj lekciji ćemo detaljno pogledati funkciju y = sin x, njena osnovna svojstva i graf. Na početku lekcije daćemo definiciju trigonometrijske funkcije y = sin t na koordinatnoj kružnici i razmotriti graf funkcije na kružnici i pravoj. Pokažimo periodičnost ove funkcije na grafu i razmotrimo glavna svojstva funkcije. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko jednostavnih problema korištenjem grafa funkcije i njenih svojstava.
Tema: Trigonometrijske funkcije
Lekcija: Funkcija y=sinx, njena osnovna svojstva i graf
Kada se razmatra funkcija, važno je povezati svaku vrijednost argumenta s jednom vrijednošću funkcije. Ovo zakon dopisivanja i naziva se funkcija.
Hajde da definiramo korespondencijski zakon za .
Bilo koji realan broj odgovara jednoj tački na jediničnom krugu.Tačka ima jednu ordinatu, koja se naziva sinusom broja (slika 1).
Svaka vrijednost argumenta je povezana s jednom vrijednošću funkcije.
Očigledna svojstva proizlaze iz definicije sinusa.
Slika to pokazuje 
jer je ordinata tačke na jediničnom krugu.
Razmotrimo graf funkcije. Prisjetimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je centralni ugao, mjeren u radijanima. Duž ose ćemo iscrtati realne brojeve ili uglove u radijanima, duž ose odgovarajuće vrednosti funkcije.
Na primjer, ugao na jediničnom krugu odgovara tački na grafikonu (slika 2)
Dobili smo grafik funkcije u tom području, ali znajući period sinusa, možemo prikazati graf funkcije u cijelom domenu definicije (slika 3).
Glavni period funkcije je To znači da se graf može dobiti na segmentu, a zatim nastaviti kroz cijeli domen definicije.
Razmotrite svojstva funkcije:
1) Obim definicije:
2) Raspon vrijednosti: 
3) Neparna funkcija:
4) Najmanji pozitivni period:
5) Koordinate tačaka preseka grafika sa apscisom: 
6) Koordinate tačke preseka grafika sa ordinatnom osom:
7) Intervali u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti:
8) Intervali u kojima funkcija poprima negativne vrijednosti:
9) Povećani intervali:
10) Smanjenje intervala:
11) Minimum bodova: 
12) Minimalne funkcije:
13) Maksimalni broj bodova: 
14) Maksimalne funkcije:
Pogledali smo svojstva funkcije i njenog grafa. Svojstva će se više puta koristiti prilikom rješavanja problema.
Bibliografija
1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Udžbenik za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematička analiza za 10. razred (udžbenik za učenike škola i odjeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike) - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dubinski studij algebre i matematičke analize.-M.: Obrazovanje, 1997.
5. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (priredio M.I. Skanavi) - M.: Viša škola, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi iz algebre i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova) - M.: Prosveščenie, 2003.
8. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. sa dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.
Zadaća
Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Dodatni web resursi
3. Edukativni portal za pripremu ispita ().
Nazad napred
Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.
Gvožđe rđa bez ikakve upotrebe,
stajaća voda trune ili se smrzava na hladnoći,
a nečiji um, ne nalazeći nikakvu upotrebu za sebe, vene.
Leonardo da Vinci
Korištene tehnologije: problemsko učenje, kritičko mišljenje, komunikativna komunikacija.
Ciljevi:
- Razvoj kognitivnog interesa za učenje.
- Proučavanje svojstava funkcije y = sin x.
- Formiranje praktičnih vještina konstruisanja grafa funkcije y = sin x na osnovu proučenog teorijskog materijala.
Zadaci:
1. Iskoristiti postojeći potencijal znanja o svojstvima funkcije y = sin x u određenim situacijama.
2. Primijeniti svjesno uspostavljanje veza između analitičkih i geometrijskih modela funkcije y = sin x.
Razvijati inicijativu, određenu volju i interes za pronalaženje rješenja; sposobnost donošenja odluka, ne zaustavljanja na tome, i odbrane svoje tačke gledišta.
Negovati kod učenika kognitivnu aktivnost, osjećaj odgovornosti, međusobnog poštovanja, međusobnog razumijevanja, međusobne podrške i samopouzdanja; kulture komunikacije.
Tokom nastave
Faza 1. Ažuriranje osnovnih znanja, motivisanje za učenje novog gradiva
"Ulazak u lekciju."
Na tabli su napisane 3 izjave:
- Trigonometrijska jednačina sin t = a uvijek ima rješenja.
- Graf neparne funkcije može se konstruirati korištenjem transformacije simetrije oko ose Oy.
- Trigonometrijska funkcija se može prikazati koristeći jedan glavni poluval.
Učenici diskutuju u parovima: da li su tvrdnje tačne? (1 minuta). Rezultati početne rasprave (da, ne) se zatim unose u tabelu u koloni „Prije“.
Nastavnik postavlja ciljeve i zadatke časa.
2. Ažuriranje znanja (frontalno na modelu trigonometrijskog kruga).
Već smo se upoznali sa funkcijom s = sin t.
1) Koje vrijednosti može uzeti varijabla t. Koji je opseg ove funkcije?
2) U kom intervalu se nalaze vrijednosti izraza sin t? Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije s = sin t.
3) Riješite jednačinu sin t = 0.
4) Šta se dešava sa ordinatom tačke dok se kreće duž prve četvrtine? (ordinata raste). Šta se dešava sa ordinatom tačke dok se kreće duž druge četvrtine? (ordinata se postepeno smanjuje). Kako se to odnosi na monotonost funkcije? (funkcija s = sin t raste na segmentu i opada na segmentu ).
5) Napišimo funkciju s = sin t u nama poznatom obliku y = sin x (konstruiraćemo je u uobičajenom xOy koordinatnom sistemu) i sastaviti tablicu vrijednosti ove funkcije.
| X | 0 | ||||||
| at | 0 | 1 | 0 |
Faza 2. Percepcija, razumijevanje, primarna konsolidacija, nevoljno pamćenje
Faza 4. Primarna sistematizacija znanja i metoda djelovanja, njihov prijenos i primjena u novim situacijama
6. br. 10.18 (b,c)
Faza 5. Završna kontrola, korekcija, procjena i samoprocjena
7. Vraćamo se na iskaze (početak lekcije), razgovaramo o korištenju svojstava trigonometrijske funkcije y = sin x i popunjavamo kolonu “Nakon” u tabeli.
8. D/z: klauzula 10, br. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)
Geometrijska definicija sinusa i kosinusa
\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)
α - ugao izražen u radijanima.
sinus (sin α) je trigonometrijska funkcija ugla α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine suprotne krake |BC| na dužinu hipotenuze |AB|.
kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija ugla α između hipotenuze i kraka pravouglog trougla, jednaka omjeru dužine susjednog kraka |AC| na dužinu hipotenuze |AB|.
Trigonometrijska definicija
Koristeći gornje formule, možete pronaći sinus i kosinus oštrog ugla. Ali morate naučiti kako izračunati sinus i kosinus ugla proizvoljne veličine. Pravougli trokut ne pruža takvu mogućnost (ne može imati tup ugao, na primjer); Stoga nam je potrebna općenitija definicija sinusa i kosinusa, koja sadrži ove formule kao poseban slučaj.
Trigonometrijski krug dolazi u pomoć. Neka je zadan neki ugao; odgovara istoimenoj tački na trigonometrijskom krugu.
Rice. 2. Trigonometrijska definicija sinusa i kosinusa
Kosinus ugla je apscisa tačke. Sinus ugla je ordinata tačke.
Na sl. 2, ugao se uzima kao oštar i lako je razumjeti da se ova definicija poklapa sa općom geometrijskom definicijom. U stvari, vidimo pravokutni trokut sa jediničnom hipotenuzom O i oštrim uglom. Susedni krak ovog trougla je cos (uporedi sa sl. 1) i istovremeno apscisa tačke; suprotna strana je sin (kao na slici 1) i istovremeno ordinata tačke.
Ali sada više nismo ograničeni prvom četvrtinom i imamo priliku proširiti ovu definiciju iz bilo kojeg kuta. Na sl. Slika 3 pokazuje koliki su sinus i kosinus ugla u drugoj, trećoj i četvrtoj četvrtini.
Rice. 3. Sinus i kosinus u II, III i IV kvartalu
Tabelarne vrijednosti sinusa i kosinusa
Nulti ugao \(\LARGE 0^(\circ ) \)
Apscisa tačke 0 jednaka je 1, ordinata tačke 0 jednaka je 0. dakle,
cos 0 = 1 sin 0 = 0
Slika 4. Nulti ugao
Ugao \(\LARGE \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)
Vidimo pravokutni trokut sa jediničnom hipotenuzom i oštrim uglom od 30°. Kao što znate, krak koji leži nasuprot ugla od 30° jednak je polovini hipotenuze 1; drugim riječima, okomita noga je jednaka 1/2 i, prema tome,
\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]
Horizontalnu nogu nalazimo pomoću Pitagorine teoreme (ili, što je isto, nalazimo kosinus koristeći osnovni trigonometrijski identitet):
\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 ) \]
1 Zašto se to dešava? Izrežite jednakostranični trokut sa stranom 2 po visini! Podijelit će se na dva pravokutna trougla s hipotenuzom 2, oštrim uglom od 30° i kraćim krakom 1.
Slika 5. Ugao π/6
Ugao \(\LARGE \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)
U ovom slučaju, pravougli trokut je jednakokračan; Sinus i kosinus ugla od 45° su međusobno jednaki. Označimo ih za sada sa x. Imamo:
\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]
odakle \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). dakle,
\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]
Slika 5. Ugao π/4
Svojstva sinusa i kosinusa
Prihvaćene notacije
\(\sin^2 x \ekviv (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).
\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\(\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).
Periodičnost
Funkcije y = sin x i y = cos x su periodične s periodom od 2π.
\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)
Paritet
Funkcija sinusa je neparna. Kosinusna funkcija je parna.
\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)
Područja definicije i vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje
Osnovna svojstva sinusa i kosinusa prikazana su u tabeli ( n- cijeli).
| \(\malo< x < \) | \(\mali -\pi + 2\pi n \) \(\mali< x < \) \(\small 2\pi n \) | |
| Silazno | \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\malo< x < \) \(\small \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \) | \(\small 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \) |
| Maksimum, \(\mali x = \) \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\mali x = 2\pi n\) | |
| Minimum, \(\mali x = \) \(\small -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\mali x = \) \(\mali \pi + 2\pi n \) | |
| Nule, \(\mali x = \pi n\) | \(\mali x = \dfrac(\pi)2 + \pi n \) | |
| Točke preseka ose Y, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Osnovne formule koje sadrže sinus i kosinus
Zbir kvadrata
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
Sinusne i kosinusne formule za zbroj i razliku
\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)
\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \desno) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \desno) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)
Formule za proizvod sinusa i kosinusa
\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Large]) \)
\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 - \cos 2x (\Large ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 + \cos 2x (\Large]) \)
Formule zbira i razlike
\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)
Izražavanje sinusa kroz kosinus
\(\sin x = \cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \desno) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).
Izražavanje kosinusa kroz sinus
\(\cos x = \sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \desno) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).
Izraz kroz tangentu
\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).
At \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
At \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \)
:
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Tablica sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa
Ova tabela prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za određene vrijednosti argumenta.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Tabela sinusa i kosinusa" title="Tabela sinusa i kosinusa" ]!}
Izrazi kroz kompleksne varijable
\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)
Ojlerova formula
\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)
Izrazi kroz hiperboličke funkcije
\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)
Derivati
\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Izvođenje formula > > >
Derivati n-tog reda:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \)\(\left(\cos x \right)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \).
Integrali
\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
Vidi također odjeljak Tabela neodređenih integrala >>>
Proširenja serije
\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \)
!} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
!} \(\( - \infty< x < \infty \} \)
Sekans, kosekans
\(\sec x = \dfrac1( \cos x ) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x ) \)
Inverzne funkcije
Inverzne funkcije sinusa i kosinusa su arksinus i arkosinus, respektivno.
Arcsin, arcsin
\(y = \arcsin x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \desno\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\left\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \desno\) \)
Arccosine, arccos
\(y = \arccos x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \desno\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!
>>Matematika: Funkcije y = sin x, y = cos x, njihova svojstva i grafovi
Funkcije y = sin x, y = cos x, njihova svojstva i grafovi
U ovom dijelu ćemo raspravljati o nekim svojstvima funkcija y = sin x, y = cos x i konstruirati njihove grafove.
1. Funkcija y = sin X.
Iznad, u § 20, formulisali smo pravilo koje dozvoljava da svaki broj t bude povezan sa brojem cos t, tj. karakterizira funkciju y = sin t. Napomenimo neka njegova svojstva.
Svojstva funkcije u = sin t.
Područje definicije je skup K realnih brojeva.
Ovo proizilazi iz činjenice da bilo koji broj 2 odgovara tački M(1) na brojevnoj kružnici, koja ima dobro definiranu ordinatu; ova ordinata je cos t.
u = sin t je neparna funkcija.
Ovo proizilazi iz činjenice da je, kao što je dokazano u § 19, za bilo koje t jednakost
To znači da je graf funkcije u = sin t, kao i graf bilo koje neparne funkcije, simetričan u odnosu na početak u pravougaonom koordinatnom sistemu tOi.
Funkcija u = sin t raste na intervalu 
Ovo proizilazi iz činjenice da kada se tačka kreće duž prve četvrtine brojevnog kruga, ordinata se postepeno povećava (od 0 do 1 - vidi sliku 115), a kada se tačka kreće duž druge četvrtine brojevnog kruga, ordinata se postepeno smanjuje (od 1 do 0 - vidi sliku 116).
Funkcija u = sint je ograničena i odozdo i odozgo. Ovo proizilazi iz činjenice da, kao što smo vidjeli u § 19, za bilo koje t vrijedi nejednakost
(funkcija dostigne ovu vrijednost u bilo kojoj tački forme 
(funkcija dostigne ovu vrijednost u bilo kojoj tački forme
Koristeći dobijena svojstva, konstruisaćemo graf funkcije koja nas zanima. Ali (pažnja!) umjesto u - sin t pisaćemo y = sin x (na kraju krajeva, više smo navikli pisati y = f(x), a ne u = f(t)). To znači da ćemo graf izgraditi u uobičajenom xOy koordinatnom sistemu (a ne tOy).
Napravimo tablicu vrijednosti funkcije y - sin x:
Komentar.
Navedimo jednu od verzija porijekla pojma "sinus". Na latinskom, sinus znači savijanje (tetiva luka).
Konstruisani graf donekle opravdava ovu terminologiju. 
Prava koja služi kao grafik funkcije y = sin x naziva se sinusni val. Onaj dio sinusoide koji je prikazan na sl. 118 ili 119 naziva se sinusni val, a onaj dio sinusnog vala koji je prikazan na sl. 117, naziva se poluval ili luk sinusnog vala.
2. Funkcija y = cos x.
Proučavanje funkcije y = cos x moglo bi se provesti približno prema istoj shemi koja je korištena gore za funkciju y = sin x. Ali mi ćemo izabrati put koji brže vodi do cilja. Prvo ćemo dokazati dvije formule koje su same po sebi važne (vidjet ćete to u srednjoj školi), ali za sada imaju samo pomoćni značaj za naše potrebe.
Za bilo koju vrijednost t vrijede sljedeće jednakosti:
Dokaz. Neka broj t odgovara tački M numeričke kružnice n, a broj * + - tački P (sl. 124; radi jednostavnosti, u prvoj četvrtini uzeli smo tačku M). Lukovi AM i BP su jednaki, a pravougli trouglovi OKM i OLBP su shodno tome jednaki. To znači O K = Ob, MK = Pb. Iz ovih jednakosti i položaja trouglova OCM i OBP u koordinatnom sistemu izvodimo dva zaključka:
1) ordinata tačke P i po veličini i po predznaku poklapa se sa apscisom tačke M; to znači da
2) apscisa tačke P je po apsolutnoj vrednosti jednaka ordinati tačke M, ali se od nje razlikuje po znaku; to znači da
Približno isto razmišljanje se provodi u slučajevima kada tačka M ne pripada prvoj četvrtini.
Koristimo formulu 
(ovo je formula dokazana gore, samo umjesto varijable t koristimo varijablu x). Šta nam ova formula daje? Omogućava nam da tvrdimo da su funkcije
su identični, što znači da im se grafovi poklapaju.
Nacrtajmo funkciju 
Da bismo to uradili, pređimo na pomoćni koordinatni sistem sa ishodištem u tački (isprekidana linija je nacrtana na slici 125). Vežemo funkciju y = sin x na novi koordinatni sistem - ovo će biti graf funkcije 
(Sl. 125), tj. grafik funkcije y - cos x. On se, kao i graf funkcije y = sin x, naziva sinusnim valom (što je sasvim prirodno).
Svojstva funkcije y = cos x.
y = cos x je parna funkcija.
Faze izgradnje su prikazane na sl. 126:
1) izgraditi grafik funkcije y = cos x (tačnije, jedan polutalas);
2) rastezanjem konstruisanog grafika od x-ose sa faktorom 0,5 dobijamo jedan polutalas traženog grafika;
3) koristeći rezultirajući poluval, konstruiramo cijeli graf funkcije y = 0,5 cos x.
Učitavanje...