Slučajna varijabla je data funkcijom distribucije; pronađite konstantu. Očekivanje kontinuirane slučajne varijable
RANDOM VARIABLES
Primjer 2.1. Slučajna vrijednost X dato funkcijom distribucije
Pronađite vjerovatnoću da kao rezultat testa Xće uzeti vrijednosti sadržane u intervalu (2.5; 3.6).
Rješenje: X u intervalu (2.5; 3.6) može se odrediti na dva načina:
Primjer 2.2. Na kojim vrijednostima parametara A I IN funkcija F(x) = A + Be - x može biti funkcija distribucije za nenegativne vrijednosti slučajna varijabla X.
Rješenje: Pošto su sve moguće vrijednosti slučajne varijable X pripadaju intervalu , tada da bi funkcija bila funkcija distribucije za X, imovina mora biti zadovoljena:
.
odgovor: 
.
Primjer 2.3. Slučajna varijabla X određena je funkcijom distribucije
Nađite vjerovatnoću da, kao rezultat četiri nezavisna testa, vrijednost X tačno 3 puta će uzeti vrijednost koja pripada intervalu (0,25;0,75).
Rješenje: Verovatnoća dostizanja vrednosti X u intervalu (0,25;0,75) nalazimo pomoću formule:
Primjer 2.4. Verovatnoća da lopta udari u koš jednim udarcem je 0,3. Sastaviti zakon raspodjele za broj pogodaka sa tri bacanja.
Rješenje: Slučajna vrijednost X– broj pogodaka u koš sa tri šuta – može imati sljedeće vrijednosti: 0, 1, 2, 3. Vjerovatnoće koje X
X:
Primjer 2.5. Dva strijelca ispaljuju po jedan hitac u metu. Vjerovatnoća da ga prvi strijelac pogodi je 0,5, drugi - 0,4. Napraviti zakon raspodjele za broj pogodaka u metu.
Rješenje: Nađimo zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X– broj pogodaka u metu. Neka događaj bude prvi strijelac koji pogađa metu, a drugi strijelac neka pogodi metu, odnosno njihovi promašaji.
Sastavimo zakon raspodjele vjerovatnoće SV X:
Primjer 2.6. Ispituju se tri elementa koji rade nezavisno jedan od drugog. Trajanje vremena (u satima) nesmetanog rada elemenata ima funkciju gustine raspodjele: za prvi: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, za drugo: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, za treću: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Naći vjerovatnoću da će u vremenskom intervalu od 0 do 5 sati: samo jedan element otkazati; samo dva elementa neće uspjeti; sva tri elementa neće uspjeti.
Rješenje: Koristimo definiciju funkcije generiranja vjerovatnoće:
Vjerovatnoća da u nezavisnim ispitivanjima, u prvom od kojih je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi A jednako , u drugom, itd., događaju A pojavljuje se točno jednom, jednako koeficijentu u ekspanziji generirajuće funkcije u potencijama . Pronađimo vjerovatnoće kvara, odnosno nekvara prvog, drugog i trećeg elementa u vremenskom intervalu od 0 do 5 sati:
Kreirajmo generirajuću funkciju:
Koeficijent at je jednak vjerovatnoći da je događaj A pojavit će se tačno tri puta, odnosno vjerovatnoća kvara sva tri elementa; koeficijent at je jednak vjerovatnoći da će tačno dva elementa otkazati; koeficijent at je jednak vjerovatnoći da će samo jedan element otkazati.
Primjer 2.7. S obzirom na gustinu vjerovatnoće f(x)slučajna varijabla X:
Naći funkciju distribucije F(x).
Rješenje: Koristimo formulu:
.
Dakle, funkcija distribucije izgleda ovako:
Primjer 2.8. Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu.
Rješenje: Slučajna vrijednost X– broj elemenata koji nisu uspjeli u jednom eksperimentu – može imati sljedeće vrijednosti: 0, 1, 2, 3. Vjerovatnoće koje X uzima ove vrijednosti, nalazimo koristeći Bernoullijevu formulu:
Tako dobijamo sljedeći zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X:
Primjer 2.9. U seriji od 6 dijelova nalaze se 4 standardna. 3 dijela su odabrana nasumično. Napraviti zakon raspodjele za broj standardnih dijelova među odabranim.
Rješenje: Slučajna vrijednost X– broj standardnih dijelova među odabranim – može imati sljedeće vrijednosti: 1, 2, 3 i ima hipergeometrijsku distribuciju. Vjerovatnoće koje X
Gdje -- broj delova u seriji;
-- broj standardnih dijelova u seriji;
– broj odabranih dijelova;
-- broj standardnih dijelova među odabranim.
.
.
.
Primjer 2.10. Slučajna varijabla ima gustinu distribucije
i nisu poznati, ali , a i . Pronađite i.
Rješenje: IN u ovom slučaju slučajna vrijednost X ima trokutnu distribuciju (Simpsonovu distribuciju) na intervalu [ a, b]. Numeričke karakteristike X:
dakle, 
. Odlučivanje ovaj sistem, dobijamo dva para vrijednosti: . Pošto prema uslovima problema konačno imamo: 
.
odgovor: .
Primjer 2.11. U prosjeku 10% ugovora osiguravajuće društvo isplaćuje iznose osiguranja u vezi sa nastankom osiguranog slučaja. Izračunajte matematičko očekivanje i disperziju broja takvih ugovora između četiri nasumično odabrana.
Rješenje: Matematička očekivanja i varijansa mogu se pronaći pomoću formula:
.
Moguće vrijednosti SV (broj ugovora (od četiri) sa nastankom osiguranog slučaja): 0, 1, 2, 3, 4.
Koristimo Bernoullijevu formulu da izračunamo vjerovatnoće razni brojevi ugovora (od četiri) za koje su plaćeni osigurani iznosi:
.
Serija distribucije IC (broj ugovora sa nastankom osiguranog slučaja) ima oblik:
| 0,6561 | 0,2916 | 0,0486 | 0,0036 | 0,0001 |
Odgovor: , .
Primjer 2.12. Od pet ruža, dvije su bijele. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable koja izražava broj bijelih ruža između dvije istovremeno uzete.
Rješenje: U izboru od dvije ruže, možda neće biti bijele ruže, ili može biti jedna ili dvije bijele ruže. Dakle, slučajna varijabla X može imati vrijednosti: 0, 1, 2. Vjerovatnoće koje X uzima ove vrijednosti, nalazimo ga pomoću formule:
Gdje -- broj ruža;
-- broj bijelih ruža;
– broj ruža uzetih u isto vrijeme;
-- broj bijelih ruža među uzetima.
.
.
.
Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći:
Primjer 2.13. Od 15 sklopljenih jedinica, 6 zahtijeva dodatno podmazivanje. Napraviti zakon raspodjele za broj jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje između pet nasumično odabranih od ukupnog broja.
Rješenje: Slučajna vrijednost X– broj jedinica koje zahtijevaju dodatno podmazivanje između pet odabranih – može imati sljedeće vrijednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5 i ima hipergeometrijsku distribuciju. Vjerovatnoće koje X uzima ove vrijednosti, nalazimo ga pomoću formule:
Gdje -- broj sklopljenih jedinica;
-- broj jedinica koje zahtijevaju dodatno podmazivanje;
– broj odabranih jedinica;
-- broj jedinica koje zahtijevaju dodatno podmazivanje među odabranim.
.
.
.
.
.
Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći:
Primjer 2.14. Od 10 satova primljenih na popravku, 7 zahtijevaju generalno čišćenje mehanizma. Satovi nisu razvrstani po vrsti popravke. Majstor, želeći pronaći satove koje je potrebno očistiti, pregledava ih jedan po jedan i, nakon što je pronašao takve satove, zaustavlja dalje gledanje. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu broja sati gledanja.
Rješenje: Slučajna vrijednost X– broj jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje između pet odabranih – može imati sljedeće vrijednosti: 1, 2, 3, 4. Vjerovatnoće koje X uzima ove vrijednosti, nalazimo ga pomoću formule:
.
.
.
.
Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći:
Sada izračunajmo numeričke karakteristike količine:
Odgovor: , .
Primjer 2.15. Pretplatnik je zaboravio zadnju cifru telefonskog broja koji mu je potreban, ali se sjeća da je to čudno. Nađite matematičko očekivanje i varijansu broja puta kada je birao telefonski broj prije nego što stigne do željenog broja, ako nasumično bira posljednju cifru i nakon toga ne bira biranu cifru.
Rješenje: Slučajna varijabla može imati sljedeće vrijednosti: . Budući da pretplatnik ubuduće ne bira biranu cifru, vjerovatnoće ovih vrijednosti su jednake.
Hajde da sastavimo seriju distribucije slučajne varijable:
| 0,2 |
Izračunajmo matematičko očekivanje i varijansu broja pokušaja biranja:
Odgovor: , .
Primjer 2.16. Verovatnoća kvara tokom ispitivanja pouzdanosti za svaki uređaj u seriji je jednaka str. Odredite matematičko očekivanje broja uređaja koji nisu uspjeli ako su testirani N uređaja.
Rješenje: Diskretna slučajna varijabla X je broj neispravnih uređaja N nezavisni testovi, u svakom od kojih je vjerovatnoća neuspjeha jednaka p, distribuiraju prema binomskom zakonu. Očekivana vrijednost binomna distribucija jednak je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće da će se događaj desiti u jednom pokušaju:
Primjer 2.17. Diskretna slučajna varijabla X uzima 3 moguće vrijednosti: sa vjerovatnoćom ; sa verovatnoćom i sa verovatnoćom. Pronađite i , znajući da je M( X) = 8.
Rješenje: Koristimo definicije matematičkog očekivanja i zakona distribucije diskretne slučajne varijable:
Mi nalazimo: .
Primjer 2.18. Odjel tehničke kontrole provjerava standardnost proizvoda. Vjerovatnoća da je proizvod standardan je 0,9. Svaka serija sadrži 5 proizvoda. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable X– broj serija, od kojih svaka sadrži tačno 4 standardna proizvoda, ako je 50 serija podložno kontroli.
Rješenje: U ovom slučaju, svi provedeni eksperimenti su nezavisni, a vjerovatnoće da svaka serija sadrži tačno 4 standardna proizvoda su iste, stoga se matematičko očekivanje može odrediti formulom:
,
gdje je broj stranaka;
Vjerovatnoća da serija sadrži tačno 4 standardna proizvoda.
Pronalazimo vjerovatnoću koristeći Bernoullijevu formulu:
odgovor: 
.
Primjer 2.19. Pronađite varijansu slučajne varijable X– broj pojavljivanja događaja A u dva nezavisna ispitivanja, ako su vjerovatnoće nastanka događaja u ovim ogledima iste i poznato je da M(X) = 0,9.
Rješenje: Problem se može riješiti na dva načina.
1) Moguće vrijednosti SV X: 0, 1, 2. Koristeći Bernoullijevu formulu, određujemo vjerovatnoće ovih događaja:
, , .
Zatim zakon o raspodjeli X ima oblik:
Iz definicije matematičkog očekivanja određujemo vjerovatnoću:
Nađimo disperziju SV X:
.
2) Možete koristiti formulu:
.
odgovor: 
.
Primjer 2.20. Očekivanje i standardna devijacija normalno raspoređene slučajne varijable X 20 i 5. Nađite vjerovatnoću da će kao rezultat testa Xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (15; 25).
Rješenje: Vjerovatnoća pogađanja normalne slučajne varijable X na odsjeku od do izražava se kroz Laplaceovu funkciju:
Primjer 2.21. Zadana funkcija: 
Na kojoj vrijednosti parametra C ova funkcija je gustina distribucije neke kontinuirane slučajne varijable X? Pronađite matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable X.
Rješenje: Da bi funkcija bila gustina distribucije neke slučajne varijable, mora biti nenegativna i mora zadovoljiti svojstvo:
.
dakle:
Izračunajmo matematičko očekivanje koristeći formulu:
.
Izračunajmo varijansu koristeći formulu:
T je jednako str. Potrebno je pronaći matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable.
Rješenje: Zakon distribucije diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja u nezavisnim ispitivanjima, u svakom od kojih je vjerovatnoća da će se događaj pojaviti jednaka , naziva se binom. Matematičko očekivanje binomske distribucije jednako je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće pojave događaja A u jednom pokušaju:
.
Primjer 2.25. Tri nezavisna hica se ispaljuju u metu. Vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki metak je 0,25. Odredite standardnu devijaciju broja pogodaka sa tri hica.
Rješenje: Budući da se izvode tri nezavisna pokušaja, a vjerovatnoća pojave događaja A (pogodak) u svakom pokušaju je ista, pretpostavićemo da je diskretna slučajna varijabla X - broj pogodaka na meti - raspoređena prema binomni zakon.
Varijanca binomske distribucije jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerovatnoće pojave i nepostojanja događaja u jednom pokusu:
Primjer 2.26. Prosječan broj klijenata koji posjete osiguravajuće društvo za 10 minuta je tri. Pronađite vjerovatnoću da će barem jedan klijent doći u sljedećih 5 minuta.
Prosječan broj klijenata koji dolaze za 5 minuta: 
. .
Primjer 2.29. Vrijeme čekanja za aplikaciju u procesorskom redu slijedi eksponencijalni zakon raspodjele s prosječnom vrijednošću od 20 sekundi. Pronađite vjerovatnoću da će sljedeći (nasumični) zahtjev čekati na procesoru više od 35 sekundi.
Rješenje: U ovom primjeru, matematičko očekivanje 
, a stopa neuspjeha je jednaka .
Tada željena vjerovatnoća:
Primjer 2.30. Grupa od 15 učenika održava sastanak u sali sa 20 redova od po 10 sedišta. Svaki učenik nasumično zauzima mjesto u sali. Kolika je vjerovatnoća da ne više od tri osobe budu na sedmom mjestu u redu?
Rješenje:
Primjer 2.31.
Zatim, prema klasičnoj definiciji vjerovatnoće:
Gdje -- broj delova u seriji;
-- broj nestandardnih delova u seriji;
– broj odabranih dijelova;
-- broj nestandardnih delova među odabranim.
Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći.
Gustina distribucije vjerovatnoće X pozovite funkciju f(x)– prvi izvod funkcije distribucije F(x):
Koncept gustine distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X Za diskretna vrijednost nije primjenjivo.
Gustoća raspodjele vjerovatnoće f(x)– naziva se funkcija diferencijalne distribucije:
Nekretnina 1. Gustina distribucije je nenegativna veličina:
Nekretnina 2. Nepravilan integral iz gustine distribucije u rasponu od do jednak je jedinici:
Primjer 1.25. S obzirom na funkciju distribucije kontinuirane slučajne varijable X:
f(x).
Rješenje: Gustoća distribucije jednaka je prvom izvodu funkcije distribucije:
1. Zadana funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X:
Pronađite gustinu distribucije.
2. Zadana je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X:
Pronađite gustinu distribucije f(x).
1.3. Numeričke karakteristike kontinuiranog slučajnog
količine
Očekivana vrijednost kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi Oh, određen je jednakošću:
Pretpostavlja se da integral konvergira apsolutno.
a,b), To:
f(x)– gustina distribucije slučajne varijable.
Disperzija kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi, određena je jednakošću:
Poseban slučaj. Ako vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu ( a,b), To:
Verovatnoća da Xće uzeti vrijednosti koje pripadaju intervalu ( a,b), određena je jednakošću:
.
Primjer 1.26. Kontinuirana slučajna varijabla X
Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable X u intervalu (0;0,7).
Rješenje: Slučajna varijabla je raspoređena po intervalu (0,1). Odredimo gustinu distribucije kontinuirane slučajne varijable X:
a) Matematičko očekivanje 
:
b) Varijanca 
V) 
Zadaci za samostalan rad:
1. Slučajna varijabla X dato funkcijom distribucije:
M(x);
b) varijansa D(x);
X u interval (2,3).
2. Slučajna varijabla X
Pronađite: a) matematičko očekivanje M(x);
b) varijansa D(x);
c) odrediti vjerovatnoću slučajnog udara X u interval (1;1.5).
3. Slučajna varijabla X je dato kumulativnom funkcijom distribucije:
Pronađite: a) matematičko očekivanje M(x);
b) varijansa D(x);
c) odrediti vjerovatnoću slučajnog udara X u intervalu
1.4. Zakoni distribucije kontinuirane slučajne varijable
1.4.1. Ujednačena distribucija
Kontinuirana slučajna varijabla X ima ujednačenu distribuciju na segmentu [ a,b], ako je na ovom segmentu gustina distribucije vjerovatnoće slučajne varijable konstantna, a van nje jednaka je nuli, tj.:
Rice. 4.
; 
; 
.
Primjer 1.27. Autobus na određenoj relaciji kreće se ravnomjerno u intervalima od 5 minuta. Nađite vjerovatnoću da je jednoliko raspoređena slučajna varijabla X– vrijeme čekanja na autobus će biti manje od 3 minute.
Rješenje: Slučajna vrijednost X– ravnomjerno raspoređeni po intervalu .
Gustoća vjerovatnoće: 
.
Kako vrijeme čekanja ne bi bilo duže od 3 minute, putnik se mora pojaviti na stajalištu u roku od 2 do 5 minuta nakon polaska prethodnog autobusa, tj. slučajna vrijednost X mora pasti u interval (2;5). To. potrebna vjerovatnoća:
Zadaci za samostalan rad:
1. a) naći matematičko očekivanje slučajne varijable X ravnomjerno raspoređeni u intervalu (2;8);
b) pronaći varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređeni u intervalu (2;8).
2. Minutna kazaljka električnog sata naglo se pomjera na kraju svake minute. Nađite vjerovatnoću da će u datom trenutku sat pokazati vrijeme koje se razlikuje od pravog vremena za najviše 20 sekundi.
1.4.2. Eksponencijalna distribucija
Kontinuirana slučajna varijabla X distribuira se prema eksponencijalnom zakonu ako njegova gustina vjerovatnoće ima oblik:
gdje je parametar eksponencijalne distribucije.
Dakle 
Rice. 5.
Numeričke karakteristike:
Primjer 1.28. Slučajna vrijednost X– vrijeme rada sijalice – ima eksponencijalnu distribuciju. Odrediti vjerovatnoću da će vrijeme rada sijalice biti najmanje 600 sati ako je prosječno vrijeme rada 400 sati.
Rješenje: Prema uslovima zadatka, matematičko očekivanje slučajne varijable X iznosi 400 sati, dakle:
; 
Tražena vjerovatnoća, gdje
konačno:
Zadaci za samostalan rad:
1. Napišite gustoću i funkciju distribucije eksponencijalnog zakona ako je parametar .
2. Slučajna varijabla X
Pronađite matematičko očekivanje i varijansu veličine X.
3. Slučajna varijabla X je dato funkcijom raspodjele vjerovatnoće:
Pronađite matematičko očekivanje i standardnu devijaciju slučajne varijable.
1.4.3. Normalna distribucija
Normalno naziva se distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X, čija gustina ima oblik:
Gdje A– matematičko očekivanje, – standardna devijacija X.
Verovatnoća da Xće uzeti vrijednost koja pripada intervalu:
, Gdje
– Laplace funkcija.
Distribucija za koju ; , tj. sa gustinom vjerovatnoće 
naziva se standardnim.
Rice. 6.
Vjerovatnoća da će apsolutna vrijednost biti odbijena je manja pozitivan broj :
.
Konkretno, kada a= 0 jednakost je tačna:
Primjer 1.29. Slučajna vrijednost X normalno raspoređeni. Standardna devijacija. Naći vjerovatnoću da će odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja u apsolutnoj vrijednosti biti manje od 0,3.
Rješenje: .
Zadaci za samostalan rad:
1. Napišite gustinu vjerovatnoće normalna distribucija slučajna varijabla X, znajući to M(x)= 3, D(x)= 16.
2. Očekivanje i standardna devijacija normalno raspoređene slučajne varijable X 20 i 5. Nađite vjerovatnoću da će kao rezultat testa Xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (15;20).
3. Slučajne greške mjerenja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom mm i matematičkim očekivanjem a= 0. Odrediti vjerovatnoću da od 3 nezavisna mjerenja greška barem jednog ne bude veća od 4 mm u apsolutnoj vrijednosti.
4. Određena supstanca se vaga bez sistematskih grešaka. Slučajne greške vaganja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom r. Naći vjerovatnoću da će vaganje biti izvršeno sa greškom koja ne prelazi 10 g u apsolutnoj vrijednosti.
Poglavlje 1. Diskretna slučajna varijabla
§ 1. Koncepti slučajne varijable.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable.
Definicija : Slučajna je veličina koja, kao rezultat testiranja, uzima samo jednu vrijednost iz mogućeg skupa svojih vrijednosti, unaprijed nepoznatih i ovisno o slučajnim razlozima.
Postoje dvije vrste slučajnih varijabli: diskretne i kontinuirane.
Definicija : Poziva se slučajna varijabla X diskretno (diskontinuirano) ako je skup njegovih vrijednosti konačan ili beskonačan, ali prebrojiv.
Drugim riječima, moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable mogu se prenumerisati.
Slučajna varijabla se može opisati korištenjem njenog zakona distribucije.
Definicija : Zakon distribucije diskretne slučajne varijable nazvati korespondenciju između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerovatnoća.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable X može se specificirati u obliku tabele, u čijem su prvom redu navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable u rastućem redoslijedu, au drugom redu odgovarajuće vjerovatnoće ovih vrijednosti, tj.
gdje je r1+ r2+…+ rn=1
Takva tabela se naziva nizom distribucije diskretne slučajne varijable.
Ako je skup mogućih vrijednosti slučajne varijable beskonačan, tada niz p1+ p2+…+ pn+… konvergira i njegov zbir je jednak 1.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable X može se prikazati grafički, za koju se konstruiše izlomljena linija u pravougaonom koordinatnom sistemu, koja uzastopno povezuje tačke sa koordinatama (xi; pi), i=1,2,…n. Rezultirajuća linija se zove distributivni poligon (Sl. 1).
Organska hemija" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organska hemija su 0,7 i 0,8, respektivno. Napraviti zakon raspodele za slučajnu varijablu X - broj ispita koje će student položiti.
Rješenje. Razmatrana slučajna varijabla X kao rezultat ispita može poprimiti jednu od sljedećih vrijednosti: x1=0, x2=1, x3=2.
Nađimo vjerovatnoću ovih vrijednosti. Označimo događaje:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Dakle, zakon raspodjele slučajne varijable X dat je tablicom:
Kontrola: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Funkcija distribucije
Potpuni opis slučajne varijable također je dat funkcijom distribucije.
definicija: Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable X naziva se funkcija F(x), koja za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost manju od x:
F(x)=P(X<х)
Geometrijski, funkcija distribucije se tumači kao vjerovatnoća da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost koja je predstavljena na brojevnoj pravoj tačkom koja leži lijevo od tačke x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) je neopadajuća funkcija na (-∞;+∞);
3) F(x) - kontinuirano s lijeve strane u tačkama x= xi (i=1,2,...n) i kontinuirano u svim ostalim tačkama;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Ako je zakon distribucije diskretne slučajne varijable X dat u obliku tabele:
tada je funkcija distribucije F(x) određena formulom:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 za x≤ x1,
r1 na x1< х≤ x2,
F(x)= r1 + r2 na x2< х≤ х3
1 za x> xn.
Njegov grafikon je prikazan na slici 2:
§ 3. Numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable.
Jedna od važnih numeričkih karakteristika je matematičko očekivanje.
Definicija: matematičko očekivanje M(X) diskretna slučajna varijabla X je zbir proizvoda svih njenih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća:
M(X) = ∑ xiri= x1r1 + x2r2+…+ xnrn
Matematičko očekivanje služi kao karakteristika prosječne vrijednosti slučajne varijable.
Svojstva matematičkog očekivanja:
1)M(C)=C, gdje je C konstantna vrijednost;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), gdje su X, Y nezavisne slučajne varijable;
5)M(X±C)=M(X)±C, gdje je C konstantna vrijednost;
Za karakterizaciju stepena disperzije mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable oko njene srednje vrijednosti, koristi se disperzija.
Definicija: Varijanca D ( X ) slučajna varijabla X je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:
Svojstva disperzije:
1)D(C)=0, gdje je C konstantna vrijednost;
2)D(X)>0, gdje je X slučajna varijabla;
3)D(C X)=C2 D(X), gdje je C konstantna vrijednost;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), gdje su X, Y nezavisne slučajne varijable;
Za izračunavanje varijanse često je zgodno koristiti formulu:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
gdje je M(X)=∑ xi2ri= x12r1 + x22r2+…+ xn2rn
Varijanca D(X) ima dimenziju slučajne varijable na kvadrat, što nije uvijek zgodno. Stoga se vrijednost √D(X) koristi i kao indikator disperzije mogućih vrijednosti slučajne varijable.
definicija: Standardna devijacija σ(X) slučajna varijabla X naziva se kvadratni korijen varijanse:
Zadatak br. 2. Diskretna slučajna varijabla X određena je zakonom distribucije:
Pronađite P2, funkciju raspodjele F(x) i nacrtajte njen graf, kao i M(X), D(X), σ(X).
Rješenje: Pošto je zbir vjerovatnoća mogućih vrijednosti slučajne varijable X jednak 1, onda
R2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Nađimo funkciju distribucije F(x)=P(X Geometrijski, ova jednakost se može tumačiti na sljedeći način: F(x) je vjerovatnoća da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja je predstavljena na brojevnoj osi tačkom koja leži lijevo od tačke x. Ako je x≤-1, onda je F(x)=0, pošto ne postoji nijedna vrijednost ove slučajne varijable na (-∞;x); Ako je -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Ako je 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) postoje dvije vrijednosti x1=-1 i x2=0; Ako 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Ako 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Ako je x>3, onda je F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, jer četiri vrijednosti x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 spadaju u interval (-∞;x) i x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 na x≤-1, 0,1 na -1<х≤0, 0,2 na 0<х≤1, F(x)= 0,5 na 1<х≤2, 0,7 na 2<х≤3, 1 na x>3 Predstavimo funkciju F(x) grafički (slika 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845. §
4. Zakon binomne distribucije diskretna slučajna varijabla, Poissonov zakon. definicija: Binom
se naziva zakon distribucije diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja A u n nezavisnih ponovljenih pokušaja, u svakom od kojih se događaj A može dogoditi sa vjerovatnoćom p ili se ne dogoditi sa vjerovatnoćom q = 1-p. Tada se P(X=m) - vjerovatnoća pojave događaja A tačno m puta u n pokušaja izračunava korištenjem Bernoullijeve formule: R(H=m)=Smnpmqn-m Matematičko očekivanje, disperzija i standardna devijacija slučajne varijable X distribuirane prema binarnom zakonu nalaze se, respektivno, pomoću formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Vjerovatnoća događaja A - "izbacivanje petice" u svakom pokušaju je ista i jednaka je 1/6 , tj. P(A)=p=1/6, zatim P(A)=1-p=q=5/6, gdje je - “neuspeh u dobijanju petice.” Slučajna varijabla X može imati sljedeće vrijednosti: 0;1;2;3. Pronalazimo vjerovatnoću svake od mogućih vrijednosti X koristeći Bernoullijevu formulu: R(H=0)=R3(0)=S03r0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; R(H=1)=R3(1)=S13r1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; R(H=2)=R3(2)=S23r2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; R(H=3)=R3(3)=S33r3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. To. zakon raspodjele slučajne varijable X ima oblik: Kontrola: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Nađimo numeričke karakteristike slučajne varijable X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Zadatak br. 4. Automatska mašina štanca delove. Vjerovatnoća da će proizvedeni dio biti neispravan je 0,002. Pronađite vjerovatnoću da će među 1000 odabranih dijelova biti: a) 5 neispravnih; b) barem jedan je neispravan. Rješenje:
Broj n=1000 je velik, vjerovatnoća proizvodnje neispravnog dijela p=0,002 je mala, a događaji koji se razmatraju (ispostavi se da je dio neispravan) su nezavisni, stoga vrijedi Poissonova formula: Rn(m)= e-
λ
λm Nađimo λ=np=1000 0,002=2. a) Pronađite vjerovatnoću da će biti 5 neispravnih dijelova (m=5): R1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Pronađite vjerovatnoću da će postojati barem jedan neispravan dio. Događaj A – “barem jedan od odabranih dijelova je neispravan” je suprotan događaju – “svi odabrani dijelovi nisu neispravni.” Dakle, P(A) = 1-P(). Stoga je željena vjerovatnoća jednaka: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Zadaci za samostalan rad.
1.1
1.2.
Disperzovana slučajna varijabla X određena je zakonom distribucije: Naći p4, funkciju raspodjele F(X) i nacrtati njen graf, kao i M(X), D(X), σ(X). 1.3.
U kutiji je 9 markera, od kojih 2 više ne pišu. Uzmi 3 markera nasumce. Slučajna varijabla X je broj markera za pisanje među uzetima. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable. 1.4.
Na polici biblioteke je nasumično raspoređeno 6 udžbenika, od kojih su 4 ukoričena. Bibliotekar nasumično uzima 4 udžbenika. Slučajna varijabla X je broj ukoričenih udžbenika među preuzetim. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable. 1.5.
Na listiću su dva zadatka. Vjerovatnoća pravilnog rješavanja prvog zadatka je 0,9, a drugog 0,7. Slučajna varijabla X je broj tačno riješenih problema u listiću. Nacrtajte zakon raspodjele, izračunajte matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable, a također pronađite funkciju raspodjele F(x) i izgradite njen graf. 1.6.
Tri strijelca gađaju metu. Vjerovatnoća pogađanja mete jednim udarcem je 0,5 za prvog strijelca, 0,8 za drugog i 0,7 za trećeg. Slučajna varijabla X je broj pogodaka u metu ako strijelci ispaljuju jedan po jedan hitac. Naći zakon raspodjele, M(X),D(X). 1.7.
Košarkaš ubacuje loptu u koš sa vjerovatnoćom da pogodi svaki udarac 0,8. Za svaki pogodak dobija 10 poena, a ako promaši, neće mu biti dodeljeni poeni. Napraviti zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj poena koje košarkaš dobije u 3 udarca. Pronađite M(X),D(X), kao i vjerovatnoću da dobije više od 10 bodova. 1.8.
Na karticama su ispisana slova, ukupno 5 samoglasnika i 3 suglasnika. 3 karte se biraju nasumično i svaki put se uzeta karta vraća nazad. Slučajna varijabla X je broj samoglasnika među uzetima. Nacrtajte zakon raspodjele i pronađite M(X),D(X),σ(X). 1.9.
U prosjeku, ispod 60% ugovora osiguravajuće društvo isplaćuje iznose osiguranja u vezi sa nastankom osiguranog slučaja. Napraviti zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj ugovora za koje je isplaćen iznos osiguranja između četiri nasumično odabrana ugovora. Pronađite numeričke karakteristike ove veličine. 1.10.
Radio stanica šalje pozivne znakove (ne više od četiri) u određenim intervalima dok se ne uspostavi dvosmjerna komunikacija. Vjerovatnoća primanja odgovora na pozivni znak je 0,3. Slučajna varijabla X je broj poslanih pozivnih znakova. Nacrtajte zakon raspodjele i pronađite F(x). 1.11.
Postoje 3 ključa, od kojih samo jedan odgovara bravi. Napraviti zakon za raspodjelu slučajne varijable X-broj pokušaja otvaranja brave, ako isprobani ključ ne učestvuje u narednim pokušajima. Pronađite M(X),D(X). 1.12.
Sprovedena su uzastopna nezavisna ispitivanja tri uređaja za pouzdanost. Svaki sljedeći uređaj se testira samo ako se prethodni pokazao pouzdanim. Vjerovatnoća prolaska testa za svaki uređaj je 0,9. Napraviti zakon raspodjele za slučajnu varijablu X-broj testiranih uređaja. 1.13
.Diskretna slučajna varijabla X ima tri moguće vrijednosti: x1=1, x2, x3 i x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Blok elektroničkog uređaja sadrži 100 identičnih elemenata. Vjerovatnoća otkaza svakog elementa tokom vremena T je 0,002. Elementi rade nezavisno. Odrediti vjerovatnoću da neće više od dva elementa otkazati za vrijeme T. 1.15.
Udžbenik je objavljen u tiražu od 50.000 primjeraka. Vjerovatnoća da je udžbenik pogrešno ukoričen je 0,0002. Pronađite vjerovatnoću da cirkulacija sadrži: a) četiri neispravne knjige, b) manje od dvije neispravne knjige. 1
.16.
Broj poziva koji pristižu na PBX svakog minuta distribuira se prema Poissonovom zakonu sa parametrom λ=1,5. Pronađite vjerovatnoću da će za minut stići sljedeće: a) dva poziva; b) najmanje jedan poziv. 1.17.
Pronađite M(Z),D(Z) ako je Z=3X+Y. 1.18.
Dati su zakoni distribucije dvije nezavisne slučajne varijable: Pronađite M(Z),D(Z) ako je Z=X+2Y. odgovori:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 na x≤-2, 0,3 na -2<х≤0, F(x)= 0,5 na 0<х≤2, 0,9 na 2<х≤5, 1 na x>5 0,3 na -1<х≤0, 0,4 na 0<х≤1, F(x)= 0,6 na 1<х≤2, 0,7 na 2<х≤3, 1 na x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 na x≤0, 0,03 na 0<х≤1, F(x)= 0,37 na 1<х≤2, 1 za x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a)0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Poglavlje 2. Kontinuirana slučajna varijabla
definicija: Kontinuirano
je veličina čije sve moguće vrijednosti u potpunosti ispunjavaju konačan ili beskonačan raspon brojevne prave. Očigledno, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan. Kontinuirana slučajna varijabla može se specificirati korištenjem funkcije distribucije. definicija: F funkcija distribucije
kontinuirana slučajna varijabla X naziva se funkcija F(x), koja za svaku vrijednost određuje xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Funkcija distribucije se ponekad naziva kumulativna funkcija distribucije. Svojstva funkcije distribucije:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Za kontinuiranu slučajnu varijablu, funkcija distribucije je kontinuirana u bilo kojoj tački i diferencibilna svuda, osim, možda, u pojedinačnim tačkama. 3) Vjerovatnoća da slučajna varijabla X padne u jedan od intervala (a;b), [a;b], [a;b], jednaka je razlici između vrijednosti funkcije F(x) u tačkama a i b, tj. R(a)<Х 4) Vjerovatnoća da će kontinuirana slučajna varijabla X uzeti jednu zasebnu vrijednost je 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Određivanje kontinuirane slučajne varijable pomoću funkcije distribucije nije jedini način. Hajde da uvedemo koncept gustine raspodele verovatnoće (gustine distribucije). Definicija
:
Gustoća raspodjele vjerovatnoće
f
(
x
)
kontinuirane slučajne varijable X je derivacija njene funkcije distribucije, tj.: Funkcija gustoće vjerovatnoće se ponekad naziva diferencijalna funkcija raspodjele ili zakon diferencijalne distribucije. Poziva se graf distribucije gustine vjerovatnoće f(x). krivulja raspodjele vjerovatnoće
.
Svojstva distribucije gustine vjerovatnoće:
1) f(x) ≥0, na xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8s; b) Poznato je da je F(x)= ∫ f(x)dx Prema tome, x ako je x≤2, onda je F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 ako je x>6, onda je F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. dakle, 0 na x≤2, F(x)= (x-2)2/16 na 2<х≤6, 1 za x>6. Grafikon funkcije F(x) prikazan je na slici 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 na x≤0, F(x)= (3 arktan x)/π na 0<х≤√3, 1 za x>√3. Pronađite diferencijalnu funkciju distribucije f(x) Rješenje:
Pošto je f(x)= F’(x), onda DIV_ADBLOCK93"> · matematičko očekivanje M (X)
kontinuirane slučajne varijable X određene su jednakošću: M(X)= ∫ x f(x)dx, pod uslovom da ovaj integral konvergira apsolutno. · Disperzija
D
(
X
)
kontinuirana slučajna varijabla X određena je jednakošću: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, ili D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · Standardna devijacija σ(X)
kontinuirana slučajna varijabla određena je jednakošću: Sva svojstva matematičkog očekivanja i disperzije, o kojima smo ranije govorili za dispergovane slučajne varijable, vrijede i za kontinuirane. Zadatak br. 3. Slučajna varijabla X određena je diferencijalnom funkcijom f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Problemi za samostalno rješavanje.
2.1.
Kontinuirana slučajna varijabla X određena je funkcijom distribucije: 0 na x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤ π/6, F(x)= - cos 3x na π/6<х≤ π/3, 1 za x> π/3. Naći diferencijalnu funkciju distribucije f(x), i također R(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 na x≤2, f(x)= c x na 2<х≤4, 0 za x>4. 2.4.
Kontinuirana slučajna varijabla X određena je gustinom distribucije: 0 na x≤0, f(x)= c √x na 0<х≤1, 0 za x>1. Pronađite: a) broj c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> na x, 0 na x. Pronađite: a) F(x) i konstruirajte njegov graf; b) M(X),D(X), σ(X); c) vjerovatnoća da će u četiri nezavisna pokušaja vrijednost X uzeti tačno 2 puta vrijednost koja pripada intervalu (1;4). 2.6.
Gustoća distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X je data: f(x)= 2(x-2) na x, 0 na x. Pronađite: a) F(x) i konstruirajte njegov graf; b) M(X),D(X), σ (X); c) vjerovatnoća da će u tri nezavisna ispitivanja vrijednost X uzeti tačno 2 puta vrijednost koja pripada segmentu. 2.7.
Funkcija f(x) je data kao: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Funkcija f(x) je data kao: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Naći: a) vrijednost konstante c pri kojoj će funkcija biti gustina vjerovatnoće neke slučajne varijable X; b) funkcija raspodjele F(x). 2.9.
Slučajna varijabla X, koncentrisana na interval (3;7), određena je funkcijom distribucije F(x)= . Pronađite vjerovatnoću da slučajna varijabla X će imati vrijednost: a) manju od 5, b) ne manju od 7. 2.10.
Slučajna varijabla X, koncentrisana na interval (-1;4), je data funkcijom distribucije F(x)= . Pronađite vjerovatnoću da slučajna varijabla X će imati vrijednost: a) manju od 2, b) ne manju od 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Pronađite: a) broj c; b) M(X); c) vjerovatnoća P(X> M(X)). 2.12.
Slučajna varijabla je određena funkcijom diferencijalne distribucije: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Naći: a) M(X); b) vjerovatnoća P(X≤M(X)) 2.13.
Rem distribucija je data gustinom vjerovatnoće: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> za x ≥0. Dokažite da je f(x) zaista funkcija gustoće vjerovatnoće. 2.14.
Gustoća distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X je data: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(Sl. 5) 2.16.
Slučajna varijabla X distribuira se prema zakonu “ pravougaonog trougla"u intervalu (0;4) (slika 5). Naći analitički izraz za gustinu vjerovatnoće f(x) na cijeloj brojevnoj pravoj. Odgovori
0 na x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x na π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 za x≤a, f(x)= za a<х 0 za x≥b. Grafikon funkcije f(x) prikazan je na sl. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Zadatak br. 1. Slučajna varijabla X je ravnomjerno raspoređena na segmentu. Nađi: a) gustinu distribucije vjerovatnoće f(x) i nacrtajte je; b) funkciju distribucije F(x) i nacrtaj je; c) M(X),D(X), σ(X). Rješenje:
Koristeći formule o kojima smo raspravljali, sa a=3, b=7, nalazimo: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> na 3≤h≤7, 0 za x>7 Napravimo njegov graf (slika 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 na x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Sl. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 na x<0, f(x)= λe-λh za x≥0. Funkcija distribucije slučajne varijable X, raspoređena prema eksponencijalnom zakonu, data je formulom: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> Slika 6 Matematičko očekivanje, varijansa i standardna devijacija eksponencijalne distribucije su, respektivno, jednake: M(X)= , D(X)=, σ (H)= Dakle, matematičko očekivanje i standardna devijacija eksponencijalne distribucije su međusobno jednaki. Vjerovatnoća da će X upasti u interval (a;b) izračunava se po formuli: P(a<Х Zadatak br. 2. Prosječno vrijeme rada uređaja bez kvara je 100 sati Pod pretpostavkom da vrijeme bez kvara uređaja ima eksponencijalni zakon raspodjele, naći: a) gustina raspodjele vjerovatnoće; b) funkcija distribucije; c) vjerovatnoća da će vrijeme rada uređaja bez kvara premašiti 120 sati. Rješenje:
Prema uslovu, matematička distribucija M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 na x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x za x≥0. b) F(x)= 0 na x<0, 1-e -0,01x pri x≥0. c) Željenu vjerovatnoću nalazimo koristeći funkciju distribucije: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3.Normalni zakon distribucije definicija:
Kontinuirana slučajna varijabla X ima zakon normalne distribucije (Gaussov zakon),
ako njegova gustina distribucije ima oblik: gdje je m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Kriva normalne distribucije se naziva normalna ili Gausova kriva
(Sl.7) Funkcija distribucije slučajne varijable X, raspoređena prema normalnom zakonu, izražava se kroz Laplaceovu funkciju F (x) prema formuli: gdje je Laplaceova funkcija. komentar:
Funkcija F(x) je neparna (F(-h)=-F(h)), osim toga, za x>5 možemo pretpostaviti da je F(h) ≈1/2. Grafikon funkcije distribucije F(x) prikazan je na Sl. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Vjerojatnost da je apsolutna vrijednost odstupanja manja od pozitivnog broja δ izračunava se po formuli: Konkretno, za m=0 vrijedi sljedeća jednakost: "Pravilo tri sigme"
Ako slučajna varijabla X ima zakon normalne distribucije sa parametrima m i σ, onda je gotovo sigurno da njena vrijednost leži u intervalu (a-3σ; a+3σ), jer https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Koristimo formulu: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Iz tabele vrednosti funkcije F(h) nalazimo F(1.5)=0.4332, F(1)=0.3413. Dakle, željena vjerovatnoća: P(28 Zadaci za samostalan rad
3.1.
Slučajna varijabla X je ravnomjerno raspoređena u intervalu (-3;5). Nađi: b) funkcija raspodjele F(x); c) numeričke karakteristike; d) vjerovatnoća P(4<х<6). 3.2.
Slučajna varijabla X je ravnomjerno raspoređena na segmentu. Nađi: a) gustina distribucije f(x); b) funkcija raspodjele F(x); c) numeričke karakteristike; d) vjerovatnoća P(3≤h≤6). 3.3.
Na autoputu je automatski semafor na kojem je zeleno svjetlo upaljeno 2 minute, žuto 3 sekunde, crveno 30 sekundi itd. Autoput se vozi u nasumičnom trenutku. Pronađite vjerovatnoću da će automobil proći semafor bez zaustavljanja. 3.4.
Vozovi podzemne željeznice voze redovno u intervalima od 2 minute. Putnik ulazi na platformu u nasumično vrijeme. Kolika je vjerovatnoća da će putnik morati čekati više od 50 sekundi na voz? Naći matematičko očekivanje slučajne varijable X - vrijeme čekanja na voz. 3.5.
Pronađite varijansu i standardnu devijaciju eksponencijalne distribucije koju daje funkcija distribucije: F(x)= 0 na x<0, 1.-8x za x≥0. 3.6.
Kontinuirana slučajna varijabla X određena je gustinom raspodjele vjerovatnoće: f(x)= 0 na x<0, 0,7 e-0,7x pri x≥0. a) Imenujte zakon raspodjele slučajne varijable koja se razmatra. b) Pronađite funkciju raspodjele F(X) i numeričke karakteristike slučajne varijable X. 3.7.
Slučajna varijabla X se distribuira prema eksponencijalnom zakonu određenom gustinom raspodjele vjerovatnoće: f(x)= 0 na x<0, 0,4 e-0,4 x pri x≥0. Odrediti vjerovatnoću da će kao rezultat testa X uzeti vrijednost iz intervala (2.5;5). 3.8.
Kontinuirana slučajna varijabla X distribuira se prema eksponencijalnom zakonu određenom funkcijom distribucije: F(x)= 0 na x<0, 1.-0,6x na x≥0 Pronađite vjerovatnoću da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost iz segmenta. 3.9.
Očekivana vrijednost i standardna devijacija normalno distribuirane slučajne varijable su 8 i 2, respektivno. a) gustina distribucije f(x); b) vjerovatnoća da će kao rezultat testa X uzeti vrijednost iz intervala (10;14). 3.10.
Slučajna varijabla X je normalno distribuirana sa matematičkim očekivanjem od 3,5 i varijansom od 0,04. Nađi: a) gustina distribucije f(x); b) vjerovatnoća da će kao rezultat testa X uzeti vrijednost iz segmenta . 3.11.
Slučajna varijabla X je normalno distribuirana sa M(X)=0 i D(X)=1. Koji je od događaja: |X|≤0,6 ili |X|≥0,6 vjerovatniji? 3.12.
Slučajna varijabla X se distribuira normalno sa M(X)=0 i D(X)=1. Iz kojeg intervala (-0,5;-0,1) ili (1;2) je vjerovatnije da će uzeti vrijednost tokom jednog testa? 3.13.
Trenutna cijena po akciji može se modelirati korištenjem zakona normalne distribucije sa M(X)=10 den. jedinice i σ (X)=0,3 den. jedinice Nađi: a) verovatnoća da će trenutna cena akcije biti od 9,8 den. jedinice do 10,4 dana jedinice; b) koristeći „pravilo tri sigme“, pronađite granice unutar kojih će se nalaziti trenutna cijena dionica. 3.14.
Supstanca se vaga bez sistematskih grešaka. Slučajne greške vaganja podliježu normalnom zakonu sa srednjim kvadratnim omjerom σ=5g. Naći vjerovatnoću da se u četiri nezavisna eksperimenta ne dogodi greška u tri vaganja u apsolutnoj vrijednosti 3r. 3.15.
Slučajna varijabla X je normalno distribuirana sa M(X)=12,6. Vjerovatnoća da slučajna varijabla padne u interval (11,4;13,8) je 0,6826. Naći standardnu devijaciju σ. 3.16.
Slučajna varijabla X je normalno distribuirana sa M(X)=12 i D(X)=36. Pronađite interval u koji će slučajna varijabla X pasti kao rezultat testa sa vjerovatnoćom od 0,9973. 3.17.
Dio proizveden od strane automatske mašine smatra se neispravnim ako odstupanje X njegovog kontrolisanog parametra od nominalne vrijednosti premašuje modul 2 mjerne jedinice. Pretpostavlja se da je slučajna varijabla X normalno raspoređena sa M(X)=0 i σ(X)=0,7. Koliki procenat neispravnih delova mašina proizvodi? 3.18.
X parametar dijela se distribuira normalno sa matematičkim očekivanjem od 2 jednakim nominalnoj vrijednosti i standardnom devijacijom od 0,014. Naći vjerovatnoću da odstupanje X od nominalne vrijednosti neće preći 1% nominalne vrijednosti. Odgovori
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 za x≤-3, F(x)= lijevo"> 3.10.
a)f(x)= , b) R(3,1≤H≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤H≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Kontinuirana slučajna varijabla može se specificirati korištenjem funkcije distribucije F(x)
. Ova metoda dodjele nije jedina. Kontinuirana slučajna varijabla se također može specificirati korištenjem druge funkcije koja se zove gustina distribucije ili gustina vjerovatnoće (ponekad se naziva diferencijalna funkcija). Definicija 4.1:
Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable X pozovite funkciju f
(x)
- prvi izvod funkcije distribucije F(x)
: f
(
x
)
=
F
"(
x
)
.
Iz ove definicije slijedi da je funkcija distribucije antiderivat gustine raspodjele. Imajte na umu da gustina distribucije nije primjenjiva za opisivanje distribucije vjerovatnoće diskretne slučajne varijable. Vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla padne u dati interval
Poznavajući gustinu distribucije, možete izračunati vjerovatnoću da će kontinuirana slučajna varijabla uzeti vrijednost koja pripada datom intervalu. Teorema:
Vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla X uzeti vrijednosti koje pripadaju intervalu (a,
b), jednak je određenom integralu gustine raspodjele, uzetom u rasponu odaprijeb :
dokaz: Koristimo omjer P(a
≤
Xb)
=
F(b)
–
F(a).
Prema Newton-Leibnizovoj formuli, dakle, Jer P(a
≤
X b)=
P(a
X b)
, onda konačno dobijamo
Geometrijski, dobijeni rezultat se može protumačiti na sljedeći način: vjerovatnoća da će kontinuirana slučajna varijabla uzeti vrijednost koja pripada intervalu (a,
b), jednako površini krivolinijskog trapeza omeđenog osomOx, kriva distribucijef(x) i ravnox =
aIx =
b.
komentar: Konkretno, ako f(x)
– funkcija je parna i krajevi intervala su simetrični u odnosu na ishodište, dakle Primjer. Zadana je gustina vjerovatnoće slučajne varijable X Pronađite vjerovatnoću da kao rezultat testa Xće uzeti vrijednosti koje pripadaju intervalu (0,5, 1). Rješenje: Potrebna vjerovatnoća Pronalaženje funkcije raspodjele iz poznate gustine raspodjele
Poznavanje gustine distribucije f(x)
, možemo pronaći funkciju distribucije F(x)
prema formuli stvarno, F(x)
=
P(X
x) = P(-∞
X x)
.
dakle, dakle, Poznavajući gustinu distribucije, možete pronaći funkciju distribucije. Naravno, iz poznate funkcije raspodjele može se pronaći gustina raspodjele, naime: f(x)
=
F"(x).
Primjer. Pronađite funkciju distribucije za datu gustinu distribucije: Rješenje: Koristimo formulu
Ako x
≤
a, To f(x)
= 0
, dakle, F(x)
= 0
. Ako a , onda f(x) = 1/(b-a),
dakle, Ako x
>
b, To Dakle, potrebna funkcija distribucije komentar: Dobili smo funkciju raspodjele ravnomjerno raspoređene slučajne varijable (vidi uniformnu distribuciju). Svojstva gustine distribucije
Nekretnina 1: Gustoća distribucije je nenegativna funkcija: f
(
x
)
≥ 0
. Nekretnina 2: Nepravilan integral gustine distribucije u rasponu od -∞ do ∞ jednak je jedinici: komentar: Poziva se graf gustine distribucije kriva distribucije. komentar: Gustoća raspodjele kontinuirane slučajne varijable se također naziva zakon raspodjele. Primjer. Gustoća distribucije slučajne varijable ima sljedeći oblik: Pronađite konstantni parametar a. Rješenje: Gustoća raspodjele mora zadovoljiti uvjet , pa ćemo zahtijevati da jednakost bude zadovoljena Odavde
Izračunajmo nepravilan integral: Dakle, traženi parametar Vjerovatno značenje gustine distribucije
Neka F(x)
– funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X. Po definiciji gustine distribucije, f(x)
=
F"(x)
, ili Razlika F(x+∆x) -F(x)
određuje vjerovatnoću da Xće uzeti vrijednost koja pripada intervalu (x,
x+∆x). Dakle, granica omjera vjerovatnoće da će kontinuirana slučajna varijabla uzeti vrijednost koja pripada intervalu (x,
x+∆x), na dužinu ovog intervala (at ∆h→0) jednak je vrijednosti gustine raspodjele u tački X. Dakle, funkcija f(x)
određuje gustinu distribucije vjerovatnoće za svaku tačku X. Iz diferencijalnog računa je poznato da je prirast funkcije približno jednak diferencijalu funkcije, tj. Jer F"(x)
=
f(x)
I dx = ∆
x, To F(x+∆
x)
-
F(x)
≈
f(x)∆
x. Vjerojatnostno značenje ove jednakosti je: vjerovatnoća da će slučajna varijabla uzeti vrijednost koja pripada intervalu (x,
x+∆
x) je približno jednak proizvodu gustine vjerovatnoće u tački x i dužine intervala ∆x. Geometrijski, ovaj rezultat se može protumačiti na sljedeći način:
vjerovatnoća da će slučajna varijabla uzeti vrijednost koja pripada intervalu (x,
x+∆
x) je približno jednaka površini pravougaonika sa osnovom ∆h i visinomf(x).
Definicija 5.1:
Slučajna vrijednost X, uzimajući dvije vrijednosti 1
I 0
sa vjerovatnoćama ("uspjeh") str i (“neuspjeh”) q, zvao Bernoullievskaya: ,
Gdje k=0,1.
Neka se proizvede n
nezavisnih suđenja, u svakom od kojih događaj A može se pojaviti ili ne mora. Vjerovatnoća da se neki događaj dogodi u svim ispitivanjima je konstantna i jednaka str(dakle vjerovatnoća da se ne dogodi q = 1 -
str). Uzmite u obzir slučajnu varijablu X– broj pojavljivanja događaja A u ovim testovima. Slučajna vrijednost X preuzima vrijednosti 0,1,2,…
n sa vjerovatnoćama izračunatim korištenjem Bernoullijeve formule:
, Gdje k = 0,1,2,…
n. Definicija 5.2:
Binom naziva se raspodjela vjerovatnoće određena Bernoullijevom formulom. Primjer. U metu se ispaljuju tri hica, a vjerovatnoća da se pogodi svaki hitac je 0,8. Uzmite u obzir slučajnu varijablu X– broj pogodaka u metu. Pronađite njegovu distribucijsku seriju. Rješenje: Slučajna vrijednost X preuzima vrijednosti 0,1,2,3
sa vjerovatnoćama izračunatim korištenjem Bernoullijeve formule, gdje je n = 3,
str
= 0,8
(vjerovatnoća pogotka), q
= 1 - 0,8 = = 0,2
(vjerovatnoća nestanka). Dakle, serija distribucije ima sljedeći oblik: Koristite Bernoullijevu formulu za velike vrijednosti n prilično je teško, stoga, izračunati odgovarajuće vjerovatnoće, koristite lokalnu Laplaceovu teoremu, koja vam omogućava da približno pronađete vjerovatnoću pojave događaja tačno k jednom svaki n testova, ako je broj testova dovoljno velik. Lokalna Laplaceova teorema: Ako je vjerovatnoća str pojava događaja A
Napomena1: Tablice koje sadrže vrijednosti funkcija
primjer: Nađite vjerovatnoću da će događaj A
doći će tačno 80
jednom svaki 400
pokušaja ako je vjerovatnoća pojave ovog događaja u svakom ispitivanju jednaka 0,2.
Rješenje: Po uslovu n = 400,
k = 80,
str
= 0,2
, q = 0,8
. Izračunajmo vrijednost koju određuju podaci zadatka x:
Ako trebate izračunati vjerovatnoću da će neki događaj Aće se pojaviti u n testovi ništa manje k 1
jednom i ne više k 2
puta, onda morate koristiti Laplaceov integralni teorem: Laplasova integralna teorema: Ako je vjerovatnoća str pojava događaja A u svakom pokušaju je konstantna i različita od nule i jedan, tada je vjerovatnoća
Drugim riječima, vjerovatnoća da će neki događaj A
će se pojaviti u n testovi iz k 1
prije k 2
puta, približno jednako Gdje
Napomena 2: Funkcija
primjer: Pronađite vjerovatnoću da među
400
slučajno odabrani dijelovi će se pokazati netestiranim od 70 do 100 dijelova, ako je vjerovatnoća da dio nije prošao inspekciju kontrole kvaliteta jednaka 0,2.
Rješenje: Po uslovu n = 400,
str = 0,2
, q
= 0,8,
k 1
=
70,
k 2
=
100
. Izračunajmo donju i gornju granicu integracije: Tako imamo: Iz tabele u Dodatku 2 to nalazimo
Napomena 3: U nizu nezavisnih pokušaja (kada je n veliko, p je malo), Poissonova formula se koristi za izračunavanje vjerovatnoće da će se događaj desiti tačno k puta (pogledajte Poissonovu distribuciju). Definicija 5.3:
Poziva se diskretna slučajna varijabla Poisson, ako njegov zakon raspodjele ima sljedeći oblik: Primjeri Poissonovih slučajnih varijabli: Broj poziva na automatsku stanicu u određenom vremenskom periodu T.
Broj čestica raspada neke radioaktivne supstance u određenom vremenskom periodu T.
Broj televizora koji stignu u radionicu u određenom vremenskom periodu T u velikom gradu .
Broj automobila koji će stići na zaustavnu liniju raskrsnice u velikom gradu .
Napomena1: Posebne tabele za izračunavanje ovih vjerovatnoća date su u Dodatku 3. Napomena 2: U nizu nezavisnih testova (kada n sjajno, str nije dovoljno) za izračunavanje vjerovatnoće da će se događaj tačno dogoditi k puta koristeći Poissonovu formulu:
,
Gdje
,
odnosno prosječan broj pojavljivanja događaja ostaje konstantan. Napomena 3: Ako postoji slučajna varijabla koja je raspoređena prema Poissonovom zakonu, onda nužno postoji slučajna varijabla koja je raspoređena prema eksponencijalnom zakonu i, obrnuto (vidi Eksponencijalna distribucija). Primjer. Biljka poslata u bazu 5000
dobar kvalitet proizvoda. Vjerovatnoća da će se proizvod oštetiti u transportu jednaka je 0,0002
. Nađite vjerovatnoću da tačno tri neupotrebljiva proizvoda stignu u bazu. Rješenje: Po uslovu n = 5000,
str
= 0,0002,
k = 3.
Naći ćemo λ: λ =
n.p.= 5000·0,0002 = 1. Prema Poissonovoj formuli, željena vjerovatnoća je jednaka: ,
gdje je slučajna varijabla X– broj neupotrebljivih proizvoda. Neka se izvrše nezavisni testovi, u svakom od kojih je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi A jednak str(0 str q
= 1 -
str. Izazovi se završavaju čim se događaj pojavi A. Dakle, ako je događaj A pojavio se u k-ti test, zatim u prethodni k
– 1
nije se pojavio na testovima. Označimo sa X diskretna slučajna varijabla - broj pokušaja koji se moraju provesti prije prvog pojavljivanja događaja A. Očigledno, moguće vrijednosti X su cijeli brojevi x 1 = 1, x 2 = 2, ... Neka prvo k-1
događaj testiranja A nije došao, nego je ušao k-ti test se pojavio. Vjerovatnoća ovog “složenog događaja”, prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja,
P
(X =
k) =
q
k -1
str.
Definicija 5.4:
Diskretna slučajna varijabla ima geometrijska distribucija, ako njegov zakon raspodjele ima sljedeći oblik: P
(
X
=
k
) =
q
k
-1
str
,
Gdje
.
Napomena1: Believing k = 1,2,…
, dobijamo geometrijsku progresiju sa prvim članom str i imenilac q (0q. Iz tog razloga, distribucija se naziva geometrijska.
Napomena 2: Red
konvergira i njen zbir je jednak jedan. Zaista, zbir serije je jednak
. Primjer. Iz pištolja se puca na metu sve dok se ne izvrši prvi pogodak. Verovatnoća pogađanja mete str
= 0,6
. Nađite vjerovatnoću da će se pogoditi treći hitac. Rješenje: Po uslovu str = 0,6,
q
= 1 – 0,6 = 0,4,
k = 3.
Tražena vjerovatnoća je: P
(X = 3) = 0,4
2
·0,6 = 0,096. Hajde da razmotrimo sledeći problem. Pusti žurku N dostupni proizvodi M standard (MN).
Nasumično uzeto iz serije n proizvode (svaki proizvod se može izdvojiti sa istom vjerovatnoćom), a odabrani proizvod se ne vraća u seriju prije odabira sljedećeg (dakle, Bernoullijeva formula ovdje nije primjenjiva). Označimo sa X slučajna varijabla - broj m standardni proizvodi među n odabrano. Zatim moguće vrijednosti X biće 0, 1, 2,…, min ; Označimo ih i... By vrijednosti nezavisne varijable (Fonds) koristite dugme ( poglavlje ... ... metodološki instrukcije By izvođenje praktičnog rada 5.1 Metodički preporuke By realizacija obrazovnih projekata 5.2 Metodički preporuke By... osjetljivost), jednodimenzionalni i višedimenzionalni... nasumično komponenta u veličina... Sa odjeljak"Performans... ... sekcije u udžbenicima. Rješavanje problema By svaku temu. Razrada metodološki instrukcije za laboratorijske radove By ... nasumično i instrumentalna mjerna greška 1.8 Teme testovi I metodološki instrukcije By...Čestice unutra jednodimenzionalni potencijalna rupa. ... ... Metodički instrukcije za LABORATORIJSKI RAD By ... veličina, i najveći iznos količine... niz nasumično brojevi... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 a) jednodimenzionalni niz b) dvodimenzionalni niz Sl. 2– Fajlovi... su opisani u odjeljak implementacija nakon...
1.2.
p4=0,1; 0 na x≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤a,
,
Normalna kriva je simetrična u odnosu na pravu x=m, ima maksimum na x=a, jednak .
,
4. Gustoća vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable
.
.
.
.
.
.
.
. Nađimo neodređeni integral:
.
.5. Tipične distribucije diskretnih slučajnih varijabli
5.1. Bernulijeva distribucija
5.2. Binomna distribucija
da događaj A
će se pojaviti u n tačno testira k puta, približno jednaka (što tačnije, to više n) vrijednost funkcije
,
Gdje
,
.
,
date su u Dodatku 1, i
.
Funkcija
je gustina standardne normalne distribucije (vidi normalnu distribuciju).
.
Iz tabele u Dodatku 1 nalazimo
.
Tada će tražena vjerovatnoća biti:
da događaj A
će se pojaviti u n testovi iz k 1
prije k 2
puta, približno jednako određenom integralu
,
Gdje
I
.
,
I
.
nazvana Laplaceova funkcija (vidi normalnu distribuciju). Tablice koje sadrže vrijednosti funkcija
,
date su u Dodatku 2, i
.
;
.
I
.
Tada je tražena vjerovatnoća:5.3. Poissonova distribucija
,
Gdje
I
(konstantna vrijednost).5.4. Geometrijska distribucija
5.5. Hipergeometrijska distribucija
Obrazovno-metodički kompleks za disciplinu „Opća psihološka radionica“
Trening i metodološki kompleks
Nastavno-metodički kompleks za disciplinu fizika (naslov)
Trening i metodološki kompleksSmjernice za laboratorijski rad iz discipline računarstvo
Smjernice
Učitavanje...