Srednja kvadratna aproksimacija funkcija specificiranih u tablici. Nastavni rad: numeričke metode rješavanja tipičnih matematičkih zadataka Tema: Metode rješavanja sistema jednačina

Često vrijednosti interpolirane funkcije y, y2 , ..., y„ su određene eksperimentom sa nekim greškama, pa je nerazumno koristiti tačnu aproksimaciju na interpolacijskim čvorovima. U ovom slučaju, prirodnije je aproksimirati funkciju ne po točkama, već po prosjek, tj. u jednoj od normi L p .

Razmak 1 p - mnoge funkcije d(x), definisano na segmentu [a,b] i modulo integrabilan sa p-tom potencijom ako je norma definirana

Konvergencija u takvoj normi naziva se konvergencija u prosjek Prostor 1,2 naziva se Hilbert, a konvergencija u njemu je srednji kvadratni korijen.

Neka su funkcija Dx) i skup funkcija φ(x) dati iz nekog linearnog normiranog prostora. U kontekstu problema interpolacije, aproksimacije i aproksimacije mogu se formulisati sljedeća dva problema.

Prvi zadatak je aproksimacija sa datom tačnošću, tj. prema datom e naći φ(x) tako da je nejednakost |[Dx) - φ(x)|| G..

Drugi zadatak- ovo je pretraga najbolja aproksimacija tj. traženje funkcije φ*(x) koja zadovoljava relaciju:

Definirajmo bez dokaza dovoljan uslov za postojanje najbolje aproksimacije. Da bismo to učinili, u linearnom prostoru funkcija biramo skup koji je parametriran izrazom

pri čemu će se skup funkcija φ[(x), ..., φ„(x) smatrati linearno nezavisnim.

Može se pokazati da u bilo kojem normaliziranom prostoru s linearnom aproksimacijom (2.16) postoji najbolja aproksimacija, iako nije jedinstvena ni u jednom linearnom prostoru.

Razmotrimo Hilbertov prostor LzCp) realnih funkcija koje su kvadratno integrabilne s težinom p(x) > 0 na [, gdje je skalarni proizvod ( g,h) određuje

formula:

Zamjenom linearne kombinacije (2.16) u uslov za najbolju aproksimaciju, nalazimo

Izjednačavanje derivata u odnosu na koeficijente (D, k= 1, ..., P, dobijamo sistem linearnih jednadžbi

Determinanta sistema jednačina (2.17) naziva se Gramova determinanta. Gramova determinanta nije nula, jer se pretpostavlja da je sistem funkcija φ[(x), ..., φ„(x) linearno nezavisan.

Dakle, najbolja aproksimacija postoji i jedinstvena je. Za njegovo dobijanje potrebno je riješiti sistem jednačina (2.17). Ako je sistem funkcija φ1(x), ..., φ„(x) ortogonaliziran, tj. (φ/,φ,) = 5y, gdje je 5, = 1, 8y = 0, SCH,ij = 1, ..., P, tada se sistem jednačina može riješiti u obliku:

Koeficijenti pronađeni prema (2.18) Q, ..., th nazivaju se koeficijenti generalizovanog Fourierovog reda.

Ako skup funkcija φ t (X),..., φ„(x),... čini kompletan sistem, onda na osnovu Parsevalove jednakosti kao P -» co norma greške opada bez ograničenja. To znači da najbolja aproksimacija konvergira srednji kvadrat u Dx) sa bilo kojom zadatom tačnošću.

Imajte na umu da je traženje koeficijenata najbolje aproksimacije rješavanjem sistema jednačina (2.17) praktično nemoguće provesti, jer kako se red Gram matrice povećava, njena determinanta brzo teži nuli, a matrica postaje loše uslovljena. Rešavanje sistema linearnih jednačina sa takvom matricom će dovesti do značajnog gubitka tačnosti. Hajde da to proverimo.

Neka se stepeni biraju kao sistem funkcija φ„ i =1, ..., P, tj. φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., P, onda, uz pretpostavku da je segment aproksimacijski segment, nalazimo Gram matricu

Gramova matrica oblika (2.19) se također naziva Hilbertova matrica. Ovo je klasičan primjer takozvane loše uvjetovane matrice.

Koristeći MATLAB, izračunavamo determinantu Hilbertove matrice u obliku (2.19) za neke prve vrijednosti P. Listing 2.5 prikazuje kod za odgovarajući program.

Listing 23

%Izračunavanje determinante Hilbertovih matrica %čišćenje radnog područja očisti sve;

%odaberite maksimalnu vrijednost poretka %Hilbertove matrice ptah =6;

%izgradite petlju za generiranje %Hilbertovih matrica i izračunajte njihove determinante

za n = 1: ptah d(n)=det(hi I b(n)); kraj

%ispisati vrijednosti determinanti %Hilbertovih matrica

za kratak kraj

Nakon pokretanja koda u Listingu 2.5, MATLAB komandni prozor bi trebao prikazati vrijednosti determinanti Hilbertovih matrica za prvih šest matrica. U tabeli ispod prikazane su odgovarajuće numeričke vrijednosti redova matrica (n) i njihovih determinanti (d). Tabela jasno pokazuje koliko brzo determinanta Hilbertove matrice teži nuli kako red raste i, počevši od redova 5 i 6, postaje neprihvatljivo mala.

Tabela vrijednosti determinante Hilbertovih matrica

Numerička ortogonalizacija sistema funkcija φ, i = 1, ..., P takođe dovodi do uočljivog gubitka tačnosti, stoga je, da bi se uzeo u obzir veliki broj članova u ekspanziji (2.16), potrebno ili da izvrši ortogonalizaciju analitički, odnosno tačno, ili da koristi gotov sistem ortogonalnih funkcija.

Ako prilikom interpolacije obično koriste stepene kao sistem baznih funkcija, onda se pri aproksimaciji u prosjeku kao bazne funkcije biraju polinomi ortogonalni sa datom težinom. Najčešće korišteni od njih su Jacobi polinomi, čiji su poseban slučaj Legendre i Chebyshev polinomi. Lagsr i Hermite polinomi se također koriste. Više detalja o ovim polinomima može se naći, na primjer, u dodatku Ortogonalni polinomi knjige

Neka tablica sadrži vrijednosti funkcija dobivene, na primjer, iz eksperimenta, tj. izmjerene s greškom. Zatim pomoću aproksimacije interpolacijski aparat , koji se zasniva na izjednačavanju vrijednosti polinoma na interpolacijskim čvorovima sa tabličnim vrijednostima, neprikladan.

Kod ove formulacije problema potrebno je izvršiti aproksimaciju u prosjeku, odnosno opisati tabelarnu funkciju nekom prilično jednostavnom analitičkom ovisnošću koja ima mali broj parametara. Optimalan izbor ovih parametara će nam omogućiti da izvršimo aproksimaciju srednjeg kvadrata funkcije specificirane u tabeli.

Odabir tipa analitičke zavisnosti trebali biste početi iscrtavanjem tabelarnih podataka na koordinatnoj ravni - ovo će formirati polje eksperimentalnih tačaka. Kroz polje ovih tačaka povlači se glatka kriva tako da neke tačke leže na ovoj krivoj, neke su iznad, a neke ispod nacrtane krive. Na osnovu oblika ove krive treba odrediti vrstu analitičke zavisnosti - da li je linearna, stepena, hiperbolička ili neka druga.

Međutim, vrlo je teško izabrati tip analitičke zavisnosti iz grafa na oko. Stoga je predloženo metoda aproksimativne procjene i odabira vrste analitičke zavisnosti. Ova metoda je zaista približna i neprecizna, budući da se kriva može na različite načine povući kroz polje eksperimentalnih tačaka, a iz tabele se mogu uzeti različite referentne tačke za proračun, a tačnost predložene metode je nepoznata. U isto vrijeme, može se smatrati približnim načinom odabira vrste ovisnosti.

Predlaže se sljedeći algoritam radnji.

1. U originalnoj tabeli izaberite dve udaljene tačke jedna od druge sa koordinatama (x 1,y 1) i (x n,y n) - referentnim tačkama, i za svaki par koordinata izračunajte aritmetičku sredinu, geometrijsku sredinu i harmonijsku sredinu.

2. Na krivulji povučenoj kroz polje eksperimentalnih tačaka pronađite tri ordinate koje odgovaraju pronađenim apscisama x ap, x geom, x harm:

3. Uporedite one pronađene na krivulji sa izračunatim izračunavanjem sljedećih modula razlike:

4. Minimalna vrijednost se bira od pronađenih vrijednosti:

5. Zaključci: ako se ispostavi da je minimalan

Zavisnost je linearna

Ovisnost je eksponencijalna

Frakcijski linearni odnos

Logaritamska zavisnost

Ovisnost o snazi

Hiperbolička zavisnost

Razlomački-racionalni odnos

Bilo koja od ovih zavisnosti može se svesti na linearnu izvođenjem koordinatne transformacije ili tzv usklađivanje podataka.
Dakle, prva faza se završava izborom vrste analitičke zavisnosti čiji parametri nisu definisani.

Druga faza sastoji se u određivanju najboljih vrijednosti koeficijenata odabrane analitičke zavisnosti. U tu svrhu, matematički metoda najmanjeg kvadrata.

Metoda se zasniva na minimiziranju zbira kvadrata odstupanja datih tabelarnih vrijednosti () od onih izračunatih iz teorijske zavisnosti (): .

Neka odabrana zavisnost bude duž: . Zamijenimo ga u funkcionalni: . Tada se funkcionalnost minimizira:

Da biste pronašli najbolje vrijednosti koeficijenata i potrebno je pronaći parcijalne derivate i u odnosu na i i izjednačiti ih sa nulom:

Nakon transformacije, sistem jednačina poprima oblik:

Rješavanje ovog sistema linearnih jednadžbi omogućava vam da pronađete najbolje vrijednosti koeficijenata i linearne ovisnosti.

Ako je odabrana ovisnost kvadratna parabola:

tada se funkcionalnost minimizira: .

Parabola ima tri varijabilna koeficijenta - , od kojih najbolje vrijednosti treba pronaći izjednačavanjem s nulom parcijalnih izvoda minimiziranog funkcionala u odnosu na tražene koeficijente. Ovo nam omogućava da dobijemo sledeći sistem od tri linearne jednačine za pronalaženje koeficijenata:

Primjer 1. Odredite vrstu zavisnosti datu sljedećom tablicom.

Rješenje.

Tačke navedene u tabeli treba da budu iscrtane na koordinatnoj ravni - a polje eksperimentalnih podataka. Kroz ovo polje se vodi glatka krivulja.

Izaberite iz tabele dvije referentne tačke sa koordinatama (3;0.55) i (10;1.11) i za svaki par apscisa i ordinata izračunava se aritmetička, geometrijska i harmonijska sredina:

Za tri izračunate apscise, duž krivulje povučene kroz polje eksperimentalnih tačaka, određuju se tri odgovarajuće ordinate:

Bilješka na orijentaciju proračuna koji se izvode. Zatim je definirano sedam modula razlika:

Dobijene su tri minimalne vrijednosti bliske jedna drugoj

U drugoj fazi treba odrediti najbolje vrijednosti koeficijenata za svaku od ovih ovisnosti metodom najmanjih kvadrata, a zatim izračunati standardnu ​​devijaciju od datih vrijednosti u tabeli.

Konačni odabir analitičke zavisnosti vrši se na osnovu minimalne vrijednosti standardne devijacije.

Primjer 2. U tabeli su prikazani rezultati eksperimentalnih istraživanja, koji se mogu aproksimirati ravnom linijom. Pronađite najbolje vrijednosti koeficijenata linije koristeći metodu najmanjih kvadrata.

Rješenje.

Opća jednačina prave linije: .

Sistem linearnih jednadžbi iz kojih treba odrediti najbolje vrijednosti koeficijenata, vođen metodom najmanjih kvadrata, ima oblik:

Zamenimo izračunate sume iz 2., 3., 4. i 5. kolone poslednjeg reda tabele u sistem jednačina:

Gdje se određuju koeficijenti linearne zavisnosti? To znači da jednačina teorijske linije ima oblik:

. (*)

Šesta kolona tabele prikazuje vrednosti funkcije izračunate korišćenjem teorijske jednadžbe za date vrednosti argumenta. Sedma kolona tabele prikazuje razlike između navedenih vrednosti funkcije (3. kolona) i teoretskih vrednosti (6. kolona) izračunatih pomoću jednadžbe (*).

U osmi koloni su prikazana kvadratna odstupanja teorijskih vrijednosti od eksperimentalnih i određuje se zbir kvadrata odstupanja. Sada možete pronaći

Primjer 3. Neka eksperimentalni podaci dati u tabeli budu aproksimirani kvadratnom parabolom: Pronađite najbolje vrijednosti koeficijenata parabole koristeći metodu najmanjih kvadrata.

Rješenje.

Sistem linearnih jednadžbi za određivanje koeficijenata parabole ima oblik:

Iz posljednjeg reda tabele, odgovarajući iznosi se zamjenjuju u sistem jednačina:

Rješavanje sistema jednadžbi nam omogućava da odredimo vrijednosti koeficijenata:

Dakle, zavisnost od segmenta navedenog u tabeli je aproksimirana kvadratnom parabolom:

Izračunavanje pomoću date formule za date vrijednosti argumenta omogućava vam da formirate devetu kolonu tabele koja sadrži teorijske vrijednosti funkcije.

Zbir kvadrata odstupanja teorijskih vrijednosti od eksperimentalnih dat je u posljednjem redu 11. stupca tabele. Ovo vam omogućava da odredite standardna devijacija:

PRAKTIČNA LEKCIJA br. 3

Tema: Metode rješavanja sistema jednačina

Gaussova metoda - metoda sekvencijalnog isključivanja nepoznatih - pripada grupi preciznim metodama a da nije bilo greške u proračunu moglo bi se dobiti tačno rješenje.

Prilikom izvođenja ručnih proračuna, preporučljivo je izvršiti proračune u tabeli koja sadrži kontrolnu kolonu. Ispod je opšta verzija takve tabele za rešavanje sistema linearnih jednačina 4. reda.

				Besplatni članovi	Kontrolna kolona

				Besplatni članovi	Kontrolna kolona

Primjer 1. Pomoću Gaussove metode riješite sistem jednačina 4. reda:

Ove približne vrijednosti korijena mogu se zamijeniti u originalni sistem jednadžbi i izračunati ostaci - , koje su razlike između desne i lijeve strane svake jednadžbe sistema pri zamjeni pronađenih korijena u lijevu stranu. Zatim se zamenjuju kao slobodni termini rezidualnog sistema i dobijaju amandmani

korijeni - :

U prethodnom poglavlju je detaljno razmotrena jedna od najčešćih metoda aproksimacije funkcija – interpolacija. Ali ova metoda nije jedina. Prilikom rješavanja različitih primijenjenih problema i konstruiranja računskih kola često se koriste i druge metode. U ovom poglavlju ćemo pogledati načine za dobivanje aproksimacija srednjeg kvadrata. Naziv aproksimacija je povezan sa metričkim prostorima u kojima se razmatra problem aproksimacije funkcije. U prvom poglavlju uveli smo koncepte “metričkog linearnog normiranog prostora” i “metričkog euklidskog prostora” i vidjeli da je greška aproksimacije određena metrikom prostora u kojem se razmatra problem aproksimacije. U različitim prostorima, pojam greške ima različita značenja. Prilikom razmatranja greške interpolacije, nismo se fokusirali na ovo. I u ovom poglavlju ćemo se morati detaljnije pozabaviti ovim pitanjem.

5.1. Aproksimacije trigonometrijskim polinomima i Legendreovim polinomima Prostor l2

Razmotrimo skup funkcija koje su Lebesgueov kvadrat integrabilne na intervalu
, odnosno takav da integral mora postojati
.

Budući da vrijedi očigledna nejednakost, iz integrabilnosti sa kvadratom funkcija
I
bilo koja njihova linearna kombinacija mora također biti kvadratno integrabilna
, (Gdje
I
 bilo koji realni brojevi), kao i integrabilnost proizvoda
.

Uvedemo skup funkcija koje su kvadratno integrabilne u smislu Lebesguea na intervalu
, operacija skalarnog proizvoda

. (5.1.1)

Iz svojstava integrala proizilazi da uvedena operacija skalarnog proizvoda ima gotovo sva svojstva skalarnog proizvoda u Euklidskom prostoru (vidi paragraf 1.10, str. 57):

Samo prvo svojstvo nije u potpunosti zadovoljeno, odnosno uslov neće biti ispunjen.

U stvari, ako
, onda to ne slijedi
na segmentu
. Da bi uvedena operacija imala ovo svojstvo, u budućnosti ćemo se dogovoriti da ne razlikujemo (smatramo ekvivalentne) funkcije
I
, za koji

.

Uzimajući u obzir posljednju napomenu, uvjereni smo da skup Lebesgueovih kvadratno integrabilnih funkcija (tačnije, skup klasa ekvivalentnih funkcija) čini euklidski prostor u kojem je skalarna operacija proizvoda definirana formulom (5.1.1). Ovaj prostor se naziva Lebesgueov prostor i označava se
ili kraće .

Pošto je svaki euklidski prostor automatski i normiran i metrički, prostor
je također normirani i metrički prostor. Norma (veličina elementa) i metrika (razdaljina između elemenata) se obično unose u njega na standardni način:

(5.1.2)

(5.1.3)

Svojstva (aksiomi) norme i metrike su data u odjeljku 1.10. Elementi prostora
nisu funkcije, već klase ekvivalentnih funkcija. Funkcije koje pripadaju istoj klasi mogu imati različite vrijednosti na bilo kojem konačnom ili čak prebrojivom podskupu
. Dakle, aproksimacije u prostoru
definisani su dvosmisleno. Ova neprijatna karakteristika prostora
isplati se zbog pogodnosti korištenja skalarnog proizvoda.

Da bi se izgladile diskretne Altmanove funkcije, a time i uvela ideja kontinuiteta u teoriju, korištena je aproksimacija srednjeg kvadrata integrala polinomom različitih stupnjeva.

Poznato je da niz interpolacijskih polinoma u ekvidistantnim čvorovima ne mora nužno konvergirati funkciji, čak i ako je funkcija beskonačno diferencibilna. Za aproksimiranu funkciju, koristeći odgovarajući raspored čvorova, moguće je smanjiti stepen polinoma. . Struktura Altmanovih funkcija je takva da je pogodnije koristiti aproksimaciju funkcije ne interpolacijom, već konstruiranjem najbolje srednje kvadratne aproksimacije u normaliziranom linearnom prostoru. Razmotrimo osnovne koncepte i informacije prilikom konstruisanja najbolje aproksimacije. Problemi aproksimacije i optimizacije postavljaju se u linearnim normiranim prostorima.

Metrički i linearni normirani prostori

Najširi pojmovi u matematici uključuju “skup” i “karta”. Koncepti “skup”, “skup”, “kolekcija”, “porodica”, “sistem”, “klasa” u nestrogoj teoriji skupova smatraju se sinonimima.

Termin "operator" je identičan terminu "mapiranje". Izrazi “operacija”, “funkcija”, “funkcionalni”, “mjera” su posebni slučajevi koncepta “mapiranje”.

Termini "struktura" i "prostor" takođe su dobili fundamentalni značaj u aksiomatskoj konstrukciji matematičkih teorija. Matematičke strukture uključuju teorijske strukture skupova (uređene i parcijalno uređene skupove); apstraktne algebarske strukture (polugrupe, grupe, prstenovi, podjelni prstenovi, polja, algebre, rešetke); diferencijalne strukture (vanjski diferencijalni oblici, vlaknasti prostori) , , , , , , .

Pod strukturom se podrazumijeva konačni skup koji se sastoji od skupova nosača (glavnog skupa), numeričkog polja (pomoćnog skupa) i preslikavanja definiranog na elementima nosača i brojevima polja. Ako se skup kompleksnih brojeva uzme kao nosilac, onda on igra ulogu i glavnog i pomoćnog skupa. Termin "struktura" je identičan konceptu "prostora".

Da biste definirali razmak, prvo morate definirati skup nosača sa njegovim elementima (tačkama), označenim latinskim i grčkim slovima

Nosač može biti skup realnih (ili složenih) elemenata: brojeva; vektori, ; Matrice, ; Sekvence, ; Funkcije;

Kao elementi nosača mogu biti i sljedeći skupovi: realna os, ravan, trodimenzionalni (i višedimenzionalni) prostor, permutacija, kretanje; apstraktni setovi.

Definicija. Metrički prostor je struktura koja formira trojku, gdje je preslikavanje nenegativna realna funkcija dva argumenta za bilo koji x i y iz M i zadovoljava tri aksioma.

• 1- nenegativnost; , at.
• 2- - simetrija;
• 3- - aksiom refleksivnosti.

gdje su razmaci između elemenata.

U metričkom prostoru se specificira metrika i formira se koncept blizine dva elementa iz skupa nosioca.

Definicija. Pravi linearni (vektorski) prostor je struktura u kojoj je preslikavanje aditivna operacija sabiranja elemenata kojem pripadaju, a preslikavanje je operacija množenja broja elementom iz.

Operacija znači da je za bilo koja dva elementa treći element jedinstveno definiran, nazvan njihov zbir i označen sa, a vrijede sljedeći aksiomi.

Komutativno svojstvo.

Asocijativno svojstvo.

U postoji poseban element, označen sa takvim da za bilo koje vrijedi.

jer bilo ko postoji, takav da.

Element se naziva suprotno od i označava se kroz.

Operacija znači da je za bilo koji element i bilo koji broj element definiran, označen sa i aksiomi su zadovoljeni:

Element (tačka) linearnog prostora naziva se i vektor. Aksiomi 1 - 4 definiraju grupu (aditiv), nazvanu modul, koja je struktura.

Ako operacija u strukturi ne poštuje nijedan aksiom, onda se takva struktura naziva groupoid. Ova struktura je izuzetno loša; ne sadrži nikakav aksiom asocijativnosti, tada se struktura naziva monoid (polugrupa).

U strukturi, koristeći mapiranje i aksiome 1-8, specificirano je svojstvo linearnosti.

Dakle, linearni prostor je grupni modul, u čiju strukturu se dodaje još jedna operacija - množenje elemenata nosača brojem sa 4 aksioma. Ako umjesto operacije specificiramo, uz drugu grupnu operaciju množenja elemenata sa 4 aksioma i postuliramo aksiom distributivnosti, tada nastaje struktura koja se zove polje.

Definicija. Linearni normirani prostor je struktura u kojoj preslikavanje zadovoljava sljedeće aksiome:

• 1. i ako i samo ako.
• 2. , .
• 3. , .

I tako dalje u ukupno 11 aksioma.

Na primjer, ako se modul koji ima sva tri svojstva norme doda strukturi polja realnih brojeva, gdje su realni brojevi, tada polje realnih brojeva postaje normirani prostor

Postoje dva uobičajena načina da se uvede norma: ili eksplicitnim specificiranjem intervalnog oblika homogeno konveksnog funkcionala , ili specificiranjem skalarnog proizvoda , .

Neka se tada tip funkcionalnosti može specificirati na bezbroj načina, mijenjajući vrijednost:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Drugi uobičajeni način pristupa zadatku je uvođenje drugog preslikavanja u strukturu prostora (funkcija dva argumenta, koja se obično označava i naziva skalarnim proizvodom).

Definicija. Euklidski prostor je struktura u kojoj skalarni proizvod sadrži normu i zadovoljava aksiome:

• 4. , i ako i samo ako

U Euklidskom prostoru, norma je generisana formulom

Iz svojstava 1 - 4 skalarnog proizvoda slijedi da su svi aksiomi norme zadovoljeni. Ako je skalarni proizvod u obliku, tada će se norma izračunati pomoću formule

Norma prostora ne može se specificirati pomoću skalarnog proizvoda , .

U prostorima sa skalarnim proizvodom pojavljuju se takvi kvaliteti koji su odsutni u linearnim normiranim prostorima (ortogonalnost elemenata, jednakost paralelograma, Pitagorina teorema, Apolonijev identitet, Ptolemejeva nejednakost. Uvođenje skalarnog proizvoda pruža načine za efikasnije rješavanje aplikacije probleme.

Definicija. Beskonačan niz elemenata u linearnom normiranom prostoru naziva se normo-konvergentan (jednostavno konvergentan ili koji ima ograničenje u) ako postoji element takav da za bilo koji postoji broj koji zavisi od takvog da je za

Definicija. Niz elemenata u se naziva fundamentalnim ako za bilo koji postoji broj u zavisnosti od toga šta je bilo koji od njih zadovoljen (Trenogin Kolmogorov, Kantorovič, str. 48)

Definicija. Banahov prostor je struktura u kojoj bilo koji fundamentalni niz konvergira u odnosu na normu.

Definicija. Hilbertov prostor je struktura u kojoj bilo koji fundamentalni niz konvergira u odnosu na normu koju generiše skalarni proizvod.

Uzmimo polukvadratni koordinatni sistem. Ovo je koordinatni sistem u kojem je skala na osi apscisa kvadratna, tj. vrijednosti podjela su iscrtane prema izrazu, ovdje m – skala u nekim jedinicama dužine, na primjer, u cm.

Linearna skala je iscrtana duž ordinatne ose u skladu sa izrazom

Nacrtajmo eksperimentalne tačke na ovom koordinatnom sistemu. Ako se tačke ovog grafa nalaze približno u pravoj liniji, to potvrđuje našu pretpostavku da je zavisnost y od x je dobro izražena funkcijom oblika (4.4). Da nađemo koeficijente a I b Sada možete primijeniti jednu od gore navedenih metoda: metodu rastegnute niti, metodu odabranih tačaka ili metodu prosjeka.

Metoda čvrstog konca primjenjuje se na isti način kao i za linearnu funkciju.

Metoda odabranih bodova možemo ga primijeniti ovako. Na pravolinijskom grafu uzmite dvije tačke (daleko jedna od druge). Označavamo koordinate ovih tačaka i ( x, y). Onda možemo pisati

Iz datog sistema dvije jednačine nalazimo a I b i zamijenimo ih u formulu (4.4) i dobijemo konačni oblik empirijske formule.

Ne morate graditi pravolinijski graf, već uzmite brojeve, ( x,y) direktno sa stola. Međutim, formula dobijena ovim izborom tačaka biće manje tačna.

Proces pretvaranja zakrivljenog grafa u pravi graf naziva se izravnavanje.

Srednji metod. Primjenjuje se na isti način kao i u slučaju linearne ovisnosti. Eksperimentalne tačke dijelimo u dvije grupe sa istim (ili gotovo istim) brojem bodova u svakoj grupi. Jednakost (4.4) prepisujemo na sljedeći način

Pronalazimo zbir reziduala za tačke prve grupe i izjednačavamo ih sa nulom. Isto radimo i za bodove druge grupe. Dobijamo dvije jednačine sa nepoznanicama a I b. Rješavajući sistem jednačina, nalazimo a I b.

Imajte na umu da prilikom korištenja ove metode nije potrebno konstruirati aproksimirajuću ravnu liniju. Dijagram raspršenja u polukvadratnom koordinatnom sistemu je potreban samo da bi se potvrdilo da je funkcija oblika (4.4) prikladna za empirijsku formulu.

Primjer. Proučavanjem uticaja temperature na rad hronometra dobijeni su sljedeći rezultati:

U ovom slučaju nas ne zanima sama temperatura, već njeno odstupanje od . Stoga, uzimamo kao argument , gdje t– temperatura u stepenima Celzijusa na uobičajenoj skali.

Ucrtavanjem odgovarajućih tačaka u Dekartov koordinatni sistem, primećujemo da se kao aproksimirajuća kriva može uzeti parabola sa osom koja je paralelna sa ordinatnom osom (slika 4). Uzmimo polukvadratni koordinatni sistem i nacrtamo eksperimentalne tačke na njemu. Vidimo da se ove tačke prilično dobro uklapaju na pravu liniju. Dakle, empirijska formula

može se pretraživati ​​u obliku (4.4).

Odredimo koeficijente a I b koristeći prosječnu metodu. Da bismo to učinili, podijelimo eksperimentalne točke u dvije grupe: u prvoj grupi - prve tri točke, u drugoj - preostale četiri točke. Koristeći jednakost (4.5), nalazimo zbir reziduala za svaku grupu i izjednačavamo svaki zbir sa nulom.