Studenti i školarci - pomoć u učenju. Koncept serije varijacija. Vrste varijacionih serija Date varijacione serije

Metoda grupisanja također vam omogućava mjerenje varijacija(varijabilnost, fluktuacija) znakova. Kada je broj jedinica u populaciji relativno mali, varijacija se mjeri na osnovu rangiranog broja jedinica koje čine populaciju. Serija se zove rangiran, ako su jedinice raspoređene u rastućem (opadajućem) redoslijedu karakteristike.

Međutim, rangirane serije su prilično indikativne kada je potrebna uporedna karakteristika varijacije. Osim toga, u mnogim slučajevima imamo posla sa statističkim populacijama koje se sastoje od velikog broja jedinica, koje je praktično teško predstaviti u obliku određene serije. S tim u vezi, radi početnog opšteg upoznavanja sa statističkim podacima, a posebno radi lakšeg proučavanja varijacije karakteristika, fenomeni i procesi koji se proučavaju obično se kombinuju u grupe, a rezultati grupisanja se prikazuju u obliku grupnih tabela.

Ako tabela grupa ima samo dva stupca - grupe prema odabranoj karakteristici (opcije) i broju grupa (učestalost ili učestalost), naziva se blizu distribucije.

Raspon distribucije - najjednostavniji tip strukturalnog grupiranja zasnovanog na jednoj karakteristici, prikazan u grupnoj tabeli sa dve kolone koje sadrže varijante i frekvencije karakteristike. U mnogim slučajevima, sa ovakvim strukturnim grupisanjem, tj. Sastavljanjem serija distribucije počinje proučavanje početnog statističkog materijala.

Strukturno grupisanje u obliku distributivnog niza može se pretvoriti u istinsko strukturno grupisanje ako se odabrane grupe karakterišu ne samo po učestalostima, već i po drugim statističkim pokazateljima. Glavna svrha distributivnih serija je proučavanje varijacija karakteristika. Teorija redova distribucije je detaljno razvijena matematičkom statistikom.

Distribucijske serije su podijeljene na atributivno(grupiranje prema atributnim karakteristikama, na primjer, podjela stanovništva po spolu, nacionalnosti, bračnom statusu, itd.) i varijacijski(grupiranje po kvantitativnim karakteristikama).

Varijacijska serija je grupna tabela koja sadrži dvije kolone: grupiranje jedinica prema jednoj kvantitativnoj karakteristici i broju jedinica u svakoj grupi. Intervali u nizu varijacija obično se formiraju jednaki i zatvoreni. Serija varijacija je sljedeća grupacija ruske populacije prema prosječnom novčanom dohotku po glavi stanovnika (tabela 3.10).

Tabela 3.10

Distribucija stanovništva Rusije prema prosječnom dohotku po glavi stanovnika u 2004-2009.

Grupe stanovništva prema prosječnom novčanom dohotku po glavi stanovnika, rub./mjesečno	Stanovništvo u grupi, % od ukupnog broja





8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
Preko 25.000,0
Celo stanovništvo

Varijacijski nizovi se, pak, dijele na diskretne i intervalne. Diskretno varijantne serije kombinuju varijante diskretnih karakteristika koje variraju u uskim granicama. Primjer diskretne serije varijacija je distribucija ruskih porodica prema broju djece koju imaju.

Interval serije varijacija kombinuju varijante ili kontinuiranih karakteristika ili diskretnih karakteristika koje variraju u širokom rasponu. Interval je serija varijacija distribucije ruskog stanovništva prema prosječnom novčanom dohotku po glavi stanovnika.

Diskretne serije varijacija se ne koriste često u praksi. U međuvremenu, njihovo sastavljanje nije teško, budući da je sastav grupa određen specifičnim varijantama koje proučavane karakteristike grupisanja zapravo posjeduju.

Intervalne varijacijske serije su rasprostranjenije. Prilikom njihovog sastavljanja postavlja se teško pitanje o broju grupa, kao i o veličini intervala koje treba uspostaviti.

Principi za rješavanje ovog pitanja navedeni su u poglavlju o metodologiji za konstruisanje statističkih grupa (vidjeti paragraf 3.3).

Varijacijski nizovi su sredstvo sažimanja ili sažimanja različitih informacija u kompaktan oblik; iz njih se može donijeti prilično jasan sud o prirodi varijacije i proučavati razlike u karakteristikama fenomena uključenih u skup koji se proučava. Ali najvažniji značaj varijacionih nizova je da se na osnovu njih izračunavaju posebne generalizirajuće karakteristike varijacije (vidi Poglavlje 7).

Grupisanje- ovo je podjela populacije na grupe koje su homogene prema nekom svojstvu.

Svrha usluge. Koristeći online kalkulator možete:

izgraditi seriju varijacija, izgraditi histogram i poligon;
pronaći indikatore varijacije (prosjek, način (uključujući i grafički), medijan, raspon varijacije, kvartili, decili, kvartilni koeficijent diferencijacije, koeficijent varijacije i drugi pokazatelji);

Instrukcije. Da biste grupisali niz, morate odabrati vrstu dobivene serije varijacija (diskretna ili intervalna) i navesti količinu podataka (broj redova). Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku (pogledajte primjer grupiranja statističkih podataka).

Ako je grupisanje već izvršeno i diskretne serije varijacija ili intervalne serije, tada trebate koristiti online kalkulator Indeksi varijacije. Testiranje hipoteze o vrsti distribucije vrši se korištenjem usluge Proučavanje obrasca distribucije.

Vrste statističkih grupa

Varijacijska serija. U slučaju posmatranja diskretne slučajne varijable, ista se vrijednost može naići nekoliko puta. Takve vrijednosti x i slučajne varijable se bilježe pokazujući n i koliko se puta pojavljuje u n opservacijama, ovo je učestalost ove vrijednosti.
U slučaju kontinuirane slučajne varijable, u praksi se koristi grupisanje.

Tipološko grupisanje- ovo je podjela kvalitativno heterogene populacije koja se proučava na klase, socio-ekonomske tipove, homogene grupe jedinica. Da biste izgradili ovo grupiranje, koristite parametar Diskretne serije varijacija.
Grupacija se naziva strukturalna, u kojem je homogena populacija podijeljena u grupe koje karakteriziraju njenu strukturu prema nekim varijabilnim karakteristikama. Da biste izgradili ovo grupiranje, koristite parametar serije Interval.
Grupiranje koje otkriva odnose između fenomena koji se proučavaju i njihovih karakteristika naziva se analitička grupa(vidi analitičko grupisanje serija).

Primjer br. 1. Na osnovu podataka u Tabeli 2, konstruirajte seriju distribucije za 40 komercijalnih banaka Ruske Federacije. Koristeći rezultujuću seriju distribucije, odrediti: prosječnu dobit po komercijalnoj banci, kreditna ulaganja u prosjeku po komercijalnoj banci, modalnu i srednju vrijednost dobiti; kvartili, decili, opseg varijacije, srednja linearna devijacija, standardna devijacija, koeficijent varijacije.

Rješenje:
U poglavlju "Vrsta statističkih serija" odaberite Diskretni niz. Kliknite na Umetni iz Excela. Broj grupa: prema Sturgessovoj formuli

Principi za konstruisanje statističkih grupa

Zove se niz opažanja poredanih uzlaznim redom varijantne serije . Funkcija grupisanja je karakteristika po kojoj se populacija dijeli u posebne grupe. Zove se osnova grupe. Grupisanje se može zasnivati i na kvantitativnim i na kvalitativnim karakteristikama.
Nakon utvrđivanja osnove grupisanja, treba odlučiti o broju grupa na koje treba podijeliti populaciju koja se proučava.

Prilikom korišćenja personalnih računara za obradu statističkih podataka, grupisanje objektnih jedinica vrši se standardnim procedurama.
Jedan takav postupak temelji se na korištenju Sturgessove formule za određivanje optimalnog broja grupa:

k = 1+3,322*log(N)

Gdje je k broj grupa, N je broj populacijskih jedinica.

Dužina parcijalnih intervala se izračunava kao h=(x max -x min)/k

Zatim se broji broj opservacija koje spadaju u ove intervale, koji se uzimaju kao frekvencije n i . Nekoliko frekvencija, čije su vrijednosti manje od 5 (n i< 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
Kao nove vrijednosti uzimaju se srednje vrijednosti intervala x i =(c i-1 +c i)/2.

Primjer br. 3. Kao rezultat slučajnog uzorka od 5% dobijena je sljedeća raspodjela proizvoda prema sadržaju vlage. Izračunajte: 1) prosečan procenat vlažnosti; 2) indikatori koji karakterišu varijacije vlažnosti.
Rješenje je dobijeno pomoću kalkulatora: Primjer br. 1

Konstruirajte seriju varijacija. Na osnovu pronađene serije, konstruirajte poligon distribucije, histogram i kumulirajte. Odredite mod i medijan.
Preuzmite rješenje

Primjer. Prema rezultatima posmatranja uzorka (uzorak A, Dodatak):
a) napraviti varijantni niz;
b) izračunati relativne frekvencije i akumulirane relativne frekvencije;
c) izgraditi poligon;
d) kreirati empirijsku funkciju distribucije;
e) nacrtajte empirijsku funkciju distribucije;
f) izračunati numeričke karakteristike: aritmetičku sredinu, disperziju, standardnu devijaciju. Rješenje

Na osnovu podataka datih u Tabeli 4 (Dodatak 1) i koji odgovaraju vašoj opciji, uradite:

Na osnovu strukturnog grupisanja, konstruisati seriju varijacione frekvencije i kumulativnu distribuciju koristeći jednake zatvorene intervale, uzimajući broj grupa jednak 6. Rezultate predstaviti u obliku tabele i prikazati grafički.
Analizirajte seriju varijacija distribucije tako što ćete izračunati:
- aritmetička srednja vrijednost karakteristike;
- mod, medijan, 1. kvartil, 1. i 9. decil;
- standardna devijacija;
- koeficijent varijacije.
Izvucite zaključke.

Obavezno: rangirati seriju, konstruisati niz intervalne distribucije, izračunati prosječnu vrijednost, varijabilnost prosječne vrijednosti, mod i medijan za rangiranu i intervalnu seriju.

Na osnovu početnih podataka, konstruirati diskretni varijacioni niz; predstaviti u obliku statističke tabele i statističkih grafikona. 2). Na osnovu početnih podataka konstruirajte intervalnu varijantnu seriju sa jednakim intervalima. Sami odaberite broj intervala i objasnite ovaj izbor. Rezultirajuće serije varijacija predstaviti u obliku statističke tabele i statističkih grafikona. Navedite tipove korištenih tabela i grafikona.

Kako bi se utvrdilo prosječno trajanje usluge korisnicima u penzionom fondu, čiji je broj klijenata veoma velik, sprovedeno je istraživanje na 100 klijenata primjenom slučajnog nerepetitivnog uzorka. Rezultati istraživanja prikazani su u tabeli. Nađi:
a) granice u kojima se, sa verovatnoćom 0,9946, nalazi prosečno vreme službe za sve klijente penzionog fonda;
b) vjerovatnoća da se udio svih klijenata fonda sa trajanjem usluge kraćim od 6 minuta razlikuje od udjela takvih klijenata u uzorku za najviše 10% (u apsolutnoj vrijednosti);
c) obim ponovljenog uzorkovanja, u kojem se sa vjerovatnoćom od 0,9907 može konstatovati da se udio svih klijenata fonda s trajanjem usluge kraćim od 6 minuta razlikuje od udjela takvih klijenata u uzorku za najviše 10 % (u apsolutnoj vrijednosti).
2. Prema zadatku 1, koristeći Pearsonov X2 test, na nivou značajnosti α = 0,05, testirati hipotezu da slučajna vrijednost X – vrijeme za korisničku podršku – distribuira se prema normalnom zakonu. Konstruirajte histogram empirijske distribucije i odgovarajuću normalnu krivu u jednom crtežu.
Preuzmite rješenje

Dat je uzorak od 100 elemenata. potrebno:

Konstruirajte rangiranu seriju varijacija;
Pronađite maksimalne i minimalne članove serije;
Pronađite opseg varijacije i broj optimalnih intervala za konstruisanje intervalne serije. Odrediti dužinu intervala intervalne serije;
Konstruirajte intervalni niz. Pronađite frekvencije elemenata uzorka koji spadaju u sastavljene intervale. Pronađite sredine svakog intervala;
Konstruirajte histogram i poligon frekvencije. Uporedite sa normalna distribucija(analitički i grafički);
Nacrtajte empirijsku funkciju distribucije;
Izračunati numeričke karakteristike uzorka: srednju vrijednost uzorka i središnji moment uzorka;
Izračunajte približne vrijednosti standardne devijacije, nagiba i kurtozisa (koristeći MS Excel paket za analizu). Uporedite približne izračunate vrijednosti sa tačnim (izračunate pomoću MS Excel formula);
Uporedite odabrane grafičke karakteristike sa odgovarajućim teorijskim.

Preuzmite rješenje

Dostupni su sljedeći uzorci podataka (10% uzorak, mehanički) o proizvodnji proizvoda i iznosu dobiti, miliona rubalja. Prema originalnim podacima:
Zadatak 13.1.
13.1.1. Konstruisati statističku seriju distribucije preduzeća po visini dobiti, formirajući pet grupa sa jednakim intervalima. Konstruirati grafove distribucijskih serija.
13.1.2. Izračunati numeričke karakteristike serije distribucije preduzeća po visini dobiti: aritmetička sredina, standardna devijacija, disperzija, koeficijent varijacije V. Izvesti zaključke.
Zadatak 13.2.
13.2.1. Odrediti granice unutar kojih se, sa vjerovatnoćom 0,997, nalazi iznos dobiti jednog preduzeća u opštoj populaciji.
13.2.2. Koristeći Pearsonov x2 test, na nivou značajnosti α, testirajte hipotezu da je slučajna varijabla X – iznos profita – distribuirana prema normalnom zakonu.
Zadatak 13.3.
13.3.1. Odredite koeficijente regresijske jednačine uzorka.
13.3.2. Ustanoviti prisustvo i prirodu korelacije između troškova proizvedenih proizvoda (X) i iznosa dobiti po preduzeću (Y). Konstruirajte dijagram raspršenja i liniju regresije.
13.3.3. Izračunajte koeficijent linearne korelacije. Koristeći Studentov t-test, testirajte značaj koeficijenta korelacije. Izvedite zaključak o bliskoj vezi između faktora X i Y koristeći Chaddockovu skalu.
Smjernice . Zadatak 13.3 se izvodi pomoću ove usluge.
Preuzmite rješenje

Zadatak. Sljedeći podaci predstavljaju vrijeme koje klijenti utroše na sklapanje ugovora. Konstruirajte intervalnu varijantnu seriju prikazanih podataka, histogram, pronađite nepristrasnu procjenu matematičko očekivanje, pristrasna i nepristrasna procjena varijanse.

Primjer. Prema tabeli 2:
1) Izgradite distributivnu seriju za 40 komercijalnih banaka Ruske Federacije:
A) u smislu dobiti;
B) po visini kreditnih ulaganja.
2) Koristeći dobijenu distribucijsku seriju, odredite:
A) prosječna dobit po komercijalnoj banci;
B) kreditna ulaganja u prosjeku po komercijalnoj banci;
C) modalnu i srednju vrijednost profita; kvartili, decili;
D) modalnu i srednju vrijednost kreditnih ulaganja.
3) Koristeći redove raspodjele dobijene u koraku 1, izračunajte:
a) raspon varijacija;
b) prosječno linearno odstupanje;
c) standardna devijacija;
d) koeficijent varijacije.
Popunite potrebne proračune u obliku tabele. Analizirajte rezultate. Izvucite zaključke.
Nacrtajte grafove rezultirajuće serije distribucije. Odredite grafički mod i medijan.

Rješenje:
Da bismo izgradili grupisanje sa jednakim intervalima, koristićemo uslugu Grupisanje statističkih podataka.

Slika 1 – Unos parametara

Opis parametara
Broj linija: broj ulaznih podataka. Ako je veličina reda mala, navedite njegovu količinu. Ako je izbor dovoljno velik, kliknite na dugme Umetni iz Excela.
Broj grupa: 0 – broj grupa će biti određen Sturgessovom formulom.
Ako je naveden određeni broj grupa, navedite ga (na primjer, 5).
Vrsta serije: Diskretna serija.
Nivo značaja: na primjer 0,954 . Ovaj parametar je postavljen da odredi interval pouzdanosti srednje vrijednosti.
Uzorak: Na primjer, izvršeno je 10% mehaničkog uzorkovanja. Označavamo broj 10. Za naše podatke navodimo 100.

Skup predmeta ili pojava ujedinjenih nekom zajedničkom osobinom ili svojstvom kvalitativne ili kvantitativne prirode naziva se objekt posmatranja .

Svaki objekat statističkog posmatranja sastoji se od pojedinačnih elemenata - jedinice za posmatranje .

Rezultati statističkog posmatranja predstavljaju numeričku informaciju - podaci . Statistički podaci - ovo je podatak o tome koje vrijednosti je karakteristika od interesa za istraživača zauzela u statističkoj populaciji.

Ako su vrijednosti neke karakteristike izražene brojevima, tada se karakteristika naziva kvantitativno .

Ako znak karakterizira neko svojstvo ili stanje elemenata populacije, onda se znak naziva visoka kvaliteta .

Ako su svi elementi populacije predmet proučavanja (kontinuirano posmatranje), tada se naziva statistička populacija general

Ako je dio elemenata opće populacije predmet istraživanja, onda se naziva statistička populacija selektivno (uzorkovanje) . Uzorak iz populacije se izvlači nasumično tako da svaki od n elemenata u uzorku ima jednaku šansu da bude izabran.

Vrijednosti karakteristike se mijenjaju (varijiraju) pri prelasku s jednog elementa populacije na drugi, pa se u statistici nazivaju i različite vrijednosti karakteristike opcije . Opcije se obično označavaju malim latiničnim slovima x, y, z.

Poziva se serijski broj opcije (vrijednost karakteristike). rang . x 1 - 1. opcija (1. vrijednost atributa), x 2 - 2. opcija (2. vrijednost atributa), x i - i-ta opcija (i-ta vrijednost znak).

Niz vrijednosti atributa (opcija) poredanih u rastućem ili opadajućem redoslijedu s odgovarajućim težinama naziva se varijacijski niz (distribucijski niz).

As vage pojavljuju se frekvencije ili frekvencije.

Frekvencija(m i) pokazuje koliko puta se ova ili ona opcija (vrijednost atributa) pojavljuje u statističkoj populaciji.

Frekvencija ili relativna frekvencija(w i) pokazuje koji dio jedinica stanovništva ima jednu ili drugu opciju. Učestalost se izračunava kao omjer frekvencije određene opcije prema zbroju svih frekvencija serije.

. (6.1)

Zbir svih frekvencija je 1.

. (6.2)

Varijacijski nizovi su diskretni i intervalni.

Diskretne serije varijacija Obično se konstruiraju ako se vrijednosti karakteristike koje se proučavaju mogu razlikovati jedna od druge za ne manje od određenog konačnog iznosa.

U diskretnim nizovima varijacija specificiraju se tačkaste vrijednosti karakteristike.

Opšti prikaz diskretne serije varijacija prikazan je u tabeli 6.1.

Tabela 6.1

gdje je i = 1, 2, … , l.

U intervalnim varijantnim serijama, u svakom intervalu se razlikuju gornja i donja granica intervala.

Razlika između gornje i donje granice intervala naziva se intervalna razlika ili dužina (vrijednost) intervala .

Vrijednost prvog intervala k 1 određena je formulom:

k 1 = a 2 - a 1;

drugo: k 2 = a 3 - a 2; ...

zadnje: k l = a l - a l -1 .

Uglavnom intervalna razlika k i se izračunava po formuli:

k i = x i (max) - x i (min) . (6.3)

Ako interval ima obje granice, onda se zove zatvoreno .

Prvi i posljednji intervali mogu biti otvoren , tj. imaju samo jednu granicu.

Na primjer, prvi interval se može postaviti kao "do 100", drugi - "100-110", ..., pretposljednji - "190-200", posljednji - "200 i više". Očigledno, prvi interval nema donju granicu, a posljednji nema gornju granicu; oba su otvorena.

Često otvoreni intervali moraju biti uslovno zatvoreni. Da biste to učinili, obično se vrijednost prvog intervala uzima jednakom vrijednosti drugog, a vrijednost posljednjeg - vrijednosti pretposljednjeg. U našem primjeru vrijednost drugog intervala je 110-100=10, stoga će donja granica prvog intervala biti uslovno 100-10=90; vrijednost pretposljednjeg intervala je 200-190=10, stoga će gornja granica posljednjeg intervala biti uslovno 200+10=210.

Osim toga, u nizu varijacija intervala mogu postojati intervali različitih dužina. Ako intervali u nizu varijacija imaju istu dužinu (intervalnu razliku), oni se nazivaju jednake veličine , inače - nejednake veličine.

Prilikom konstruisanja intervalne varijacione serije često se javlja problem izbora veličine intervala (intervalne razlike).

Za određivanje optimalne veličine intervala (u slučaju da je niz konstruiran sa jednakim intervalima), koristite Sturgessova formula:

, (6.4)

gdje je n broj jedinica u populaciji,

x (max) i x (min) - najveća i najmanja vrijednost opcija serije.

Za karakterizaciju serije varijacija, uz frekvencije i frekvencije, koriste se akumulirane frekvencije i frekvencije.

akumulirane frekvencije (frekvencije) pokazuju koliko jedinica populacije (koji njihov dio) ne prelazi datu vrijednost (varijantu) x.

Akumulirane frekvencije ( v i) na osnovu podataka diskretnih serija može se izračunati pomoću sljedeću formulu:

. (6.5)

Za niz intervalnih varijacija, ovo je zbir frekvencija (učestalosti) svih intervala koji ne prelaze ovaj.

Diskretna serija varijacija može se grafički predstaviti pomoću poligon distribucije frekvencija ili frekvencije.

Prilikom konstruiranja poligona distribucije, vrijednosti karakteristike (varijante) se crtaju duž apscisne ose, a frekvencije ili frekvencije se crtaju duž ordinatne ose. Na sjecištu vrijednosti atributa i odgovarajućih frekvencija (frekvencija) polažu se tačke koje su, zauzvrat, povezane segmentima. Rezultirajuća isprekidana linija naziva se poligon raspodjele frekvencije (frekvencije).

x k

x 2

x 1 x i

Rice. 6.1.

Intervalne varijacijske serije mogu se grafički prikazati pomoću histogrami, tj. trakasti grafikon.

Prilikom konstruiranja histograma, vrijednosti karakteristike koja se proučava (granice intervala) iscrtavaju se duž osi apscise.

U slučaju da su intervali iste veličine, frekvencije ili frekvencije se mogu iscrtati duž ordinatne ose.

Ako intervali imaju različite veličine, vrijednosti apsolutne ili relativne gustine distribucije moraju se iscrtati duž ordinatne ose.

Apsolutna gustina- odnos frekvencije intervala prema veličini intervala:

; (6.6)

gdje je: f(a) i - apsolutna gustina i-tog intervala;

m i - frekvencija i-tog intervala;

k i - vrijednost i-tog intervala (intervalne razlike).

Apsolutna gustina pokazuje koliko populacijskih jedinica postoji po jediničnom intervalu.

Relativna gustina- odnos frekvencije intervala prema veličini intervala:

; (6.7)

gdje je: f(o) i - relativna gustina i-tog intervala;

w i - frekvencija i-tog intervala.

Relativna gustina pokazuje koji dio jedinica populacije pripada jedinici intervala.

a l

a 1 x i

a 2

I diskretne i intervalne varijacijske serije mogu se grafički predstaviti u obliku kumulata i oživa.

Prilikom izgradnje kumulira prema podacima diskretne serije, vrijednosti karakteristike (varijante) se crtaju duž x-ose, a akumulirane frekvencije ili frekvencije se crtaju duž ordinatne ose. Na sjecištu vrijednosti atributa (varijanti) i odgovarajućih akumuliranih frekvencija (frekvencija), konstruiraju se točke koje su, zauzvrat, povezane segmentima ili krivuljom. Rezultirajuća izlomljena linija (kriva) naziva se kumulativna (kumulativna kriva).

Prilikom konstruiranja kumulata na osnovu podataka iz niza intervala, granice intervala se crtaju duž ose apscise. Apscise tačaka su gornje granice intervala. Ordinate čine akumulirane frekvencije (frekvencije) odgovarajućih intervala. Često se dodaje još jedna tačka, čija je apscisa donja granica prvog intervala, a ordinata je nula. Povezivanjem tačaka sa segmentima ili krivom dobijamo kumulat.

Ogiva se konstruira slično kumulati, s jedinom razlikom što su tačke koje odgovaraju akumuliranim frekvencijama (frekvencijama) iscrtane na osi apscise, a vrijednosti karakteristike (varijante) na osi ordinata.

Uvodna lekcija besplatno;
Veliki broj iskusni nastavnici (materinji i ruski);
Kursevi NISU za određeni period (mjesec, šest mjeseci, godina), već za određeni broj časova (5, 10, 20, 50);
Više od 10.000 zadovoljnih kupaca.
Cijena jedne lekcije sa nastavnikom koji govori ruski je od 600 rubalja, sa izvornim govornikom - od 1500 rubalja

Koncept serije varijacija. Prvi korak u sistematizaciji materijala za statističko posmatranje je prebrojavanje broja jedinica koje imaju određenu karakteristiku. Raspoređivanjem jedinica u rastućem ili opadajućem redosledu njihove kvantitativne karakteristike i prebrojavanjem broja jedinica sa određenom vrednošću karakteristike, dobijamo varijacioni niz. Varijacijska serija karakterizira raspodjelu jedinica određene statističke populacije prema nekoj kvantitativnoj karakteristici.

Serija varijacija se sastoji od dva stupca, lijeva kolona sadrži vrijednosti varijabilne karakteristike, koje se nazivaju varijante i označavaju (x), a desna kolona sadrži apsolutne brojeve koji pokazuju koliko puta se svaka varijanta pojavljuje. Indikatori u ovoj koloni nazivaju se frekvencijama i označeni su (f).

Serija varijacija može se shematski prikazati u obliku tabele 5.1:

Tabela 5.1

Vrsta varijantne serije

Opcije (x)	Frekvencije (f)

U desnoj koloni mogu se koristiti i relativni indikatori koji karakterišu udio učestalosti pojedinih opcija u ukupnom zbiru frekvencija. Ovi relativni indikatori nazivaju se frekvencijama i konvencionalno se označavaju sa , tj. . Zbir svih frekvencija jednak je jedan. Frekvencije se mogu izraziti i u procentima, i tada će njihov zbir biti jednak 100%.

Različiti znakovi mogu biti različite prirode. Varijante nekih karakteristika izražavaju se cijelim brojevima, na primjer, broj soba u stanu, broj objavljenih knjiga itd. Ovi znakovi se nazivaju diskontinuirani ili diskretni. Varijante drugih karakteristika mogu poprimiti bilo koju vrijednost u određenim granicama, kao što je ispunjenje planiranih zadataka, nadnica itd. Ove karakteristike se nazivaju kontinuiranim.

Diskretne serije varijacija. Ako su varijante varijacionog niza izražene u obliku diskretne količine, tada se takav varijacijski niz naziva diskretnim, a njegov izgled je prikazan u tabeli. 5.2:

Tabela 5.2

Raspodjela studenata prema ispitnim ocjenama

Ocjene (x)	Broj učenika (f)	U % od ukupnog ()

Priroda distribucije u diskretnim serijama je grafički prikazana u obliku poligona distribucije, slika 5.1.

Rice. 5.1. Raspodjela studenata prema ocjenama dobijenim na ispitu.

Serija intervalnih varijacija. Za kontinuirane karakteristike, varijacioni nizovi se konstruišu kao intervalni, tj. vrijednosti karakteristike u njima izražene su u obliku intervala "od i do". U ovom slučaju, minimalna vrijednost karakteristike u takvom intervalu naziva se donja granica intervala, a maksimalna se naziva gornja granica intervala.

Intervalne varijacijske serije se konstruiraju kako za diskontinuirane karakteristike (diskretne) tako i za one koje variraju u velikom rasponu. Intervalni redovi mogu biti sa jednakim ili nejednakim intervalima. U ekonomskoj praksi se koristi većina nejednakih intervala, koji se progresivno povećavaju ili smanjuju. Ova potreba se javlja posebno u slučajevima kada se fluktuacija neke karakteristike dešava neravnomjerno iu velikim granicama.

Razmotrimo vrstu intervalne serije sa jednakim intervalima, tabela. 5.3:

Tabela 5.3

Raspodjela radnika po proizvodnji

Izlaz, t.r. (X)	Broj radnika (f)	Kumulativna frekvencija (f´)

Serija intervalne distribucije grafički je prikazana u obliku histograma, slika 5.2.

Sl.5.2. Raspodjela radnika po proizvodnji

Akumulirana (kumulativna) frekvencija. U praksi postoji potreba za transformacijom distributivnih serija u kumulativne serije, izgrađen prema akumuliranim frekvencijama. Uz njihovu pomoć, možete odrediti strukturne prosjeke koji olakšavaju analizu podataka serije distribucije.

Kumulativne frekvencije se određuju uzastopnim dodavanjem učestalosti (ili učestalosti) prve grupe ovih indikatora sljedećih grupa distributivnih serija. Kumulati i oživi se koriste za ilustraciju distributivnih serija. Za njihovu konstruiranje, vrijednosti diskretne karakteristike (ili krajevi intervala) su označene na osi apscise, a kumulativni zbroji frekvencija (kumulati) su označeni na osi ordinata, slika 5.3.

Rice. 5.3. Kumulativna distribucija radnika po proizvodnji

Ako su skale frekvencija i opcija obrnute, tj. osa apscisa odražava akumulirane frekvencije, a osa ordinata prikazuje vrijednosti varijanti, tada će se kriva koja karakterizira promjenu frekvencija od grupe do grupe nazvati distribucijskim ogive, slika 5.4.

Rice. 5.4. Ogiva raspodjele radnika po proizvodnji

Varijacijski nizovi sa jednakim intervalima predstavljaju jedan od najvažnijih zahtjeva za statističke distributivne serije, osiguravajući njihovu uporedivost u vremenu i prostoru.

Gustina distribucije. Međutim, frekvencije pojedinačnih nejednakih intervala u imenovanoj seriji nisu direktno uporedive. U takvim slučajevima, da bi se osigurala potrebna uporedivost, izračunava se gustina distribucije, tj. odrediti koliko jedinica u svakoj grupi ima po jedinici vrijednosti intervala.

Prilikom konstruiranja grafa distribucije niza varijacija s nejednakim intervalima, visina pravokutnika se određuje proporcionalno ne frekvencijama, već pokazateljima gustoće distribucije vrijednosti karakteristike koja se proučava u odgovarajućem intervalima.

Izrada varijacionog niza i njegovo grafičko predstavljanje je prvi korak u obradi početnih podataka i prva faza u analizi populacije koja se proučava. Sljedeći korak u analizi varijacionih serija je određivanje glavnih općih indikatora, koji se nazivaju karakteristike serije. Ove karakteristike bi trebale dati predstavu o prosječnoj vrijednosti karakteristike među populacijskim jedinicama.

prosječna vrijednost. Prosječna vrijednost je generalizovana karakteristika karakteristike koja se proučava u populaciji koja se proučava, odražavajući njen tipičan nivo po jedinici populacije u specifičnim uslovima mjesta i vremena.

Prosječna vrijednost je uvijek imenovana i ima istu dimenziju kao karakteristika pojedinih jedinica populacije.

Prije izračunavanja prosječnih vrijednosti, potrebno je grupirati jedinice populacije koja se proučava, identifikujući kvalitativno homogene grupe.

Prosjek izračunat za populaciju u cjelini naziva se ukupnim prosjekom, a za svaku grupu - grupnim prosjekom.

Postoje dvije vrste prosjeka: snaga (aritmetička sredina, harmonijska sredina, geometrijska sredina, kvadratna sredina); strukturni (mod, medijan, kvartili, decili).

Izbor prosjeka za izračunavanje ovisi o namjeni.

Vrste prosječnih snaga i metode za njihovo izračunavanje. U praksi statističke obrade prikupljenog materijala javljaju se različiti problemi za čije su rješavanje potrebni različiti prosjeki.

Matematička statistika izvodi različite prosjeke iz formula prosječne moći:

gdje je prosječna vrijednost; x – pojedinačne opcije (vrijednosti karakteristika); z – eksponent (sa z = 1 – aritmetička sredina, z = 0 geometrijska sredina, z = - 1 – harmonijska sredina, z = 2 – kvadratna sredina).

Međutim, rješava se pitanje koji tip prosjeka treba primijeniti u svakom pojedinačnom slučaju specifične analize populaciju koja se proučava.

Najčešći tip prosjeka u statistici je aritmetička sredina. Izračunava se u slučajevima kada se volumen prosječne karakteristike formira kao zbir njenih vrijednosti za pojedinačne jedinice statističke populacije koja se proučava.

U zavisnosti od prirode izvornih podataka, aritmetička sredina se određuje na različite načine:

Ako su podaci negrupisani, tada se izračunavanje vrši pomoću jednostavne prosječne formule

Izračunavanje aritmetičke sredine u diskretnom nizu odvija se prema formuli 3.4.

Izračunavanje aritmetičke sredine u intervalnoj seriji. U nizu varijacije intervala, gdje se vrijednost karakteristike u svakoj grupi konvencionalno uzima kao sredina intervala, aritmetička sredina može se razlikovati od srednje izračunate iz negrupisanih podataka. Štaviše, što je veći interval u grupama, veća su moguća odstupanja prosjeka izračunatog iz grupisanih podataka od prosjeka izračunatog iz negrupisanih podataka.

Prilikom izračunavanja prosjeka u nizu varijacije intervala, da bi se izvršili potrebni proračuni, kreće se od intervala do njihovih srednjih tačaka. Zatim se prosjek izračunava korištenjem formule ponderiranog aritmetičkog prosjeka.

Svojstva aritmetičke sredine. Aritmetička sredina ima neka svojstva koja omogućavaju pojednostavljenje proračuna; hajde da ih razmotrimo.

1. Aritmetička sredina konstantnih brojeva jednaka je ovom konstantnom broju.

Ako je x = a. Onda .

2. Ako se ponderi svih opcija mijenjaju proporcionalno, tj. povećati ili smanjiti za isti broj puta, tada se aritmetička sredina nove serije neće promijeniti.

Ako se sve težine f smanje za k puta, onda .

3. Zbir pozitivnih i negativnih odstupanja pojedinačnih opcija od prosjeka, pomnožen ponderima, jednak je nuli, tj.

Ako onda. Odavde.

Ako se sve opcije smanje ili poveća za bilo koji broj, tada će se aritmetička sredina nove serije smanjiti ili povećati za isti iznos.

Smanjimo sve opcije x on a, tj. x´ = x– a.

Onda

Aritmetička sredina originalnog niza može se dobiti dodavanjem smanjene srednje vrijednosti prethodno oduzetog broja od opcija a, tj. .

5. Ako su sve opcije smanjene ili povećane k puta, tada će se aritmetička sredina nove serije smanjiti ili povećati za isti iznos, tj. V k jednom.

Neka bude onda .

Dakle, tj. da bi se dobio prosjek originalne serije, aritmetički prosjek nove serije (sa smanjenim opcijama) mora se povećati za k jednom.

Harmonična sredina. Harmonska sredina je recipročna vrijednost aritmetičke sredine. Koristi se kada statističke informacije ne sadrži frekvencije za pojedinačne varijante populacije, već je predstavljen kao njihov proizvod (M = xf). Harmonička sredina će se izračunati korištenjem formule 3.5

Praktična primjena harmonijske sredine je izračunavanje nekih indeksa, posebno indeksa cijena.

Geometrijska sredina. Kada se koristi geometrijska sredina, pojedinačne vrijednosti karakteristike su po pravilu relativne vrijednosti dinamike, konstruirane u obliku lančanih vrijednosti, kao omjer prema prethodnom nivou svakog nivoa u nizu dinamike. Prosjek tako karakteriše prosječnu stopu rasta.

Geometrijska srednja vrijednost se također koristi za određivanje ekvidistantne vrijednosti od maksimalne i minimalne vrijednosti karakteristike. Na primjer, osiguravajuće društvo zaključuje ugovore o pružanju usluga auto osiguranja. U zavisnosti od konkretnog osiguranog slučaja, isplata osiguranja može se kretati od 10.000 do 100.000 dolara godišnje. Prosječan iznos plaćanja osiguranja će biti USD.

Geometrijska sredina je veličina koja se koristi kao prosjek omjera ili u nizu distribucije predstavljena u obliku geometrijske progresije kada je z = 0. Ova srednja vrijednost je pogodna za korištenje kada se pažnja ne obraća na apsolutne razlike, već na omjere dva brojevi.

Formule za izračun su sljedeće

gdje su varijante karakteristike koje se prosječuju; – proizvod opcija; f– učestalost opcija.

Geometrijska sredina se koristi u proračunima prosječnih godišnjih stopa rasta.

Srednji kvadrat. Formula srednjeg kvadrata se koristi za mjerenje stepena fluktuacije pojedinačnih vrijednosti karakteristike oko aritmetičke sredine u seriji distribucije. Dakle, pri izračunavanju indikatora varijacije prosjek se izračunava iz kvadrata odstupanja pojedinačnih vrijednosti karakteristike od aritmetičke sredine.

Srednja kvadratna vrijednost izračunava se pomoću formule

IN ekonomska istraživanja srednji kvadrat u modifikovanom obliku se široko koristi u izračunavanju indikatora varijacije neke karakteristike, kao što su disperzija, standardna devijacija.

Vladavina većine. Postoji sljedeća veza između prosječnih snaga - što je veći eksponent, to je veća vrijednost prosjeka, tabela 5.4:

Tabela 5.4

Odnos između prosjeka

z vrijednost
Odnos između prosjeka

Ovaj odnos se naziva pravilo većine.

Strukturni proseci. Za karakterizaciju strukture stanovništva koriste se posebni indikatori, koji se mogu nazvati strukturnim prosjecima. Ovi indikatori uključuju mod, medijan, kvartile i decile.

Moda. Mod (Mo) je najčešća vrijednost karakteristike među jedinicama stanovništva. Mod je vrijednost atributa koja odgovara maksimalnoj tački teorijske krivulje distribucije.

Moda se široko koristi u komercijalnoj praksi prilikom proučavanja potražnje potrošača (prilikom određivanja veličina odjeće i obuće za kojima se traži velika potražnja) i evidentiranja cijena. Može postojati nekoliko modova ukupno.

Proračun moda u diskretnoj seriji. U diskretnoj seriji, mod je varijanta sa najvećom frekvencijom. Razmotrimo pronalaženje moda u diskretnoj seriji.

Proračun moda u intervalnoj seriji. U nizu intervalne varijacije, mod se približno smatra centralnom varijantom modalnog intervala, tj. interval koji ima najveću frekvenciju (frekvenciju). Unutar intervala morate pronaći vrijednost atributa koji je način rada. Za intervalnu seriju, mod će biti određen formulom

gdje je donja granica modalnog intervala; – vrijednost modalnog intervala; – frekvencija koja odgovara modalnom intervalu; – frekvencija koja prethodi modalnom intervalu; – učestalost intervala koji slijedi nakon modalnog.

Medijan. Medijan () je vrijednost atributa srednje jedinice rangirane serije. Rangirani niz je niz u kojem se vrijednosti atributa pišu uzlaznim ili silaznim redoslijedom. Ili je medijan vrijednost koja dijeli broj uređene varijacijske serije na dva jednaka dijela: jedan dio ima vrijednost varijabilne karakteristike koja je manja od prosječne opcije, a drugi ima vrijednost koja je veća.

Da biste pronašli medijanu, prvo odredite njen redni broj. Da biste to učinili, ako je broj jedinica neparan, jedan se dodaje zbroju svih frekvencija i sve se dijeli sa dva. Kod parnog broja jedinica, medijana se nalazi kao vrijednost atributa jedinice, čiji je serijski broj određen ukupnim zbrojem frekvencija podijeljenim s dva. Poznavajući serijski broj medijane, lako je pronaći njegovu vrijednost koristeći akumulirane frekvencije.

Izračunavanje medijane u diskretnom nizu. Uzorkom istraživanja dobijeni su podaci o raspodjeli porodica po broju djece, tabela. 5.5. Da bismo odredili medijan, prvo odredimo njegov redni broj

Zatim ćemo konstruisati niz akumuliranih frekvencija (, koristeći serijski broj i akumuliranu frekvenciju naći ćemo medijanu. Akumulirana frekvencija od 33 pokazuje da u 33 porodice broj djece ne prelazi 1 dijete, ali pošto je broj djece medijan je 50, medijan će biti u rasponu od 34 do 55 porodica.

Tabela 5.5

Distribucija broja porodica na osnovu broja djece

Broj djece u porodici

Broj porodica, – vrijednost srednjeg intervala;

Svi razmatrani oblici prosječnih snaga imaju važno svojstvo (za razliku od strukturnih prosjeka) - formula za određivanje prosjeka uključuje sve vrijednosti serije, tj. na veličinu prosjeka utiče vrijednost svake opcije.

S jedne strane, ovo je vrlo pozitivno svojstvo jer u ovom slučaju se uzima u obzir efekat svih uzroka koji utiču na sve jedinice populacije koja se proučava. S druge strane, čak i jedno zapažanje koje je slučajno uključeno u izvorne podatke može značajno iskriviti ideju o stupnju razvoja osobine koja se proučava u populaciji koja se razmatra (posebno u kratkim serijama).

Kvartili i decili. Analogno pronalaženju medijane u nizu varijacija, možete pronaći vrijednost karakteristike za bilo koju jedinicu rangirane serije. Tako, posebno, možete pronaći vrijednost atributa za jedinice koje dijele niz na 4 jednaka dijela, na 10 itd.

Kvartili. Opcije koje dijele rangiranu seriju na četiri jednaka dijela nazivaju se kvartili.

U ovom slučaju razlikuju: donji (ili prvi) kvartil (Q1) - vrijednost atributa za jedinicu rangirane serije, dijeleći populaciju u omjeru od ¼ do ¾ i gornji (ili treći) kvartil ( Q3) - vrijednost atributa za jedinicu rangirane serije, dijeleći populaciju u omjeru ¾ prema ¼.

Drugi kvartil je medijan Q2 = Me. Donji i gornji kvartil u nizu intervala izračunavaju se pomoću formule slične medijane.

gdje je donja granica intervala koji sadrži donji i gornji kvartil, respektivno;

– akumulirana frekvencija intervala koji prethodi intervalu koji sadrži donji ili gornji kvartil;

– frekvencije kvartilnih intervala (donji i gornji)

Intervali koji sadrže Q1 i Q3 određeni su akumuliranim frekvencijama (ili frekvencijama).

Decili. Osim kvartila, izračunavaju se decili - opcije koje dijele rangiranu seriju na 10 jednakih dijelova.

Označeni su sa D, prvi decil D1 dijeli niz u omjeru 1/10 i 9/10, drugi D2 - 2/10 i 8/10, itd. Izračunavaju se prema istoj shemi kao medijana i kvartili.

I medijan, kvartil i decil pripadaju takozvanoj ordinalnoj statistici, koja se podrazumijeva kao opcija koja zauzima određeno redno mjesto u rangiranoj seriji.

RUSKA AKADEMIJA NARODNE EKONOMIJE I JAVNE SLUŽBE pod PREDSEDNIKOM RUSKOG FEDERACIJE

ORLOJSKA FILIJALA

Odsjek za matematiku i matematičke metode u menadžmentu

Samostalan rad

Matematika

na temu “Varijacijski niz i njegove karakteristike”

za studente odeljenje sa punim radnim vremenom Fakultet za ekonomiju i menadžment

oblasti obuke "Upravljanje ljudskim resursima"

Cilj rada: Ovladavanje konceptima matematičke statistike i metode primarne obrade podataka.

Primjer rješavanja tipičnih problema.

Zadatak 1.

Anketom su dobijeni sljedeći podaci ():

1 2 3 2 2 4 3 3 5 1 0 2 4 3 2 2 3 3 1 3 2 4 2 4 3 3 3 2 0 6

3 3 1 1 2 3 1 4 3 1 7 4 3 4 2 3 2 3 3 1 4 3 1 4 5 3 4 2 4 5

3 6 4 1 3 2 4 1 3 1 0 0 4 6 4 7 4 1 3 5

potrebno:

1) Sastavite niz varijacija ( statistička distribucija uzorci), nakon što su prethodno zapisali rangirani diskretni niz opcija.

2) Konstruirajte frekvencijski poligon i kumulirajte.

3) Sastaviti niz distribucija relativnih frekvencija (frekvencija).

4) Pronađite glavne numeričke karakteristike niza varijacija (koristite pojednostavljene formule da ih pronađete): a) aritmetička sredina, b) medijana Meh i moda Mo, c) disperzija s 2, d) standardna devijacija s, e) koeficijent varijacije V.

5) Objasnite značenje dobijenih rezultata.

Rješenje.

1) Za kompajliranje rangirani diskretni niz opcija Razvrstajmo podatke ankete po veličini i rasporedimo ih uzlaznim redoslijedom

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 6 6 6 7 7.

Sastavimo niz varijacija tako što ćemo posmatrane vrijednosti (varijante) upisati u prvi red tabele, a odgovarajuće frekvencije u drugi (tabela 1)

Tabela 1.

2) Frekvencijski poligon je izlomljena linija koja povezuje tačke ( x i; n i), i=1, 2,…, m, Gdje m X.

Predstavimo poligon frekvencija varijacionog niza (slika 1).

Fig.1. Frekvencijski poligon

Kumulativna kriva (kumulacija) za diskretnu seriju varijacija predstavlja izlomljenu liniju koja povezuje tačke ( x i; n i nak), i=1, 2,…, m.

Nađimo akumulirane frekvencije n i nak(akumulirana učestalost pokazuje koliko je varijanti uočeno sa manjom karakterističnom vrijednošću X). Pronađene vrijednosti unosimo u treći red tabele 1.

Napravimo kumulat (slika 2).

Fig.2. Kumulira

3) Nađimo relativne frekvencije (frekvencije), gdje , gdje m– broj različitih karakterističnih vrijednosti X, koje ćemo izračunati sa jednakom tačnošću.

Zapišimo distributivnu seriju relativnih frekvencija (frekvencija) u obliku tabele 2

tabela 2

4) Nađimo glavne numeričke karakteristike serije varijacija:

a) Pronađite aritmetičku sredinu koristeći pojednostavljenu formulu:

gdje su uslovne opcije

Hajde da stavimo With= 3 (jedna od prosječnih posmatranih vrijednosti), k= 1 (razlika između dvije susjedne opcije) i sastaviti proračunsku tablicu (tabela 3).

Tabela 3.

x i	n i	u i	u i n i	u i 2 n i
		-3	-12
		-2	-26
		-1	-14





Suma			-11

Zatim aritmetička sredina

b) Medijan Meh varijacijski niz je vrijednost karakteristike koja se nalazi u sredini rangirane serije opažanja. Ova diskretna serija varijacija sadrži paran broj pojmova ( n=80), što znači da je medijana jednaka polovini zbira dvije srednje opcije.

Moda Mo varijacijski niz naziva se opcija koja odgovara najvišoj frekvenciji. Za dati niz varijacija, najveća frekvencija n max = 24 odgovara opciji X= 3, znači moda Mo=3.

c) Varijanca s 2, što je mjera disperzije mogućih vrijednosti indikatora X oko njegove prosječne vrijednosti, nalazimo ga pomoću pojednostavljene formule:

, Gdje u i– uslovne opcije

U tabelu 3 ćemo takođe uključiti međukalkulacije.

Zatim varijansa

d) Standardna devijacija s nalazimo ga pomoću formule:

e) Koeficijent varijacije V: (),

Koeficijent varijacije je nemjerljiva veličina, pa je pogodan za poređenje disperzije varijacionih serija čije varijante imaju različite dimenzije.

Koeficijent varijacije

5) Smisao dobijenih rezultata je da vrednost karakteriše prosečnu vrednost karakteristike X u okviru razmatranog uzorka, odnosno prosječna vrijednost iznosila je 2,86. Standardna devijacija s opisuje apsolutni raspon vrijednosti indikatora X i u u ovom slučaju iznosi s≈ 1,55. Koeficijent varijacije V karakteriše relativnu varijabilnost indikatora X, odnosno relativno širenje oko njegove prosječne vrijednosti, au ovom slučaju je .

odgovor: ; ; ; .

Zadatak 2.

Dostupni su sljedeći podaci o vlasničkom kapitalu 40 najvećih banaka u centralnoj Rusiji:

12,0	49,4	22,4	39,3	90,5	15,2	75,0	73,0	62,3	25,2
70,4	50,3	72,0	71,6	43,7	68,3	28,3	44,9	86,6	61,0
41,0	70,9	27,3	22,9	88,6	42,5	41,9	55,0	56,9	68,1
120,8	52,4	42,0	119,3	49,6	110,6	54,5	99,3	111,5	26,1

potrebno:

1) Konstruirajte niz intervalnih varijacija.

2) Izračunajte srednju vrijednost uzorka i varijansu uzorka

3) Pronađite standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

4) Konstruisati histogram distribucije frekvencija.

Rješenje.

1) Odaberimo proizvoljan broj intervala, na primjer, 8. Tada je širina intervala:

Kreirajmo tabelu proračuna:

opcija intervala, x k –x k +1	frekvencija, n i	Sredina intervala x i	Uslovna opcija, i ja	i i n i	i ja 2 n i	(i i+ 1) 2 n i
10 – 25		17,5	– 3	– 12
25 – 40		32,5	– 2	– 10
40 – 55		47,5	– 1	– 11
55 – 70		62,5
70 – 85		77,5
85 – 100		92,5
100 – 115		107,5
115 – 130		122,5
Suma				– 5

Vrijednost odabrana kao lažna nula je c= 62.5 (ova opcija se nalazi otprilike u sredini serije varijacija) .

Uvjetne opcije određuju se formulom