Kinematika tačke.

1. Predmet teorijske mehanike. Osnovne apstrakcije.

Teorijska mehanikaje nauka koja proučava opšti zakoni mehaničko kretanje i mehanička interakcija materijalna tela

Mehanički pokretje kretanje tijela u odnosu na drugo tijelo koje se dešava u prostoru i vremenu.

Mehanička interakcija je interakcija materijalnih tijela koja mijenja prirodu njihovog mehaničkog kretanja.

Statika - ovo je odeljak teorijske mehanike, koji proučava metode za pretvaranje sistema sila u ekvivalentne sisteme i uspostavlja uslove ravnoteže za sile koje se primenjuju na čvrsto telo.

Kinematika - je grana teorijske mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela u prostoru s geometrijska tačka viziju, bez obzira na sile koje na njih djeluju.

Dynamics je grana mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela u prostoru ovisno o silama koje na njih djeluju.

Objekti izučavanja teorijske mehanike:

materijalna tačka,

sistem materijalnih tačaka,

Apsolutno čvrsto telo.

Apsolutni prostor i apsolutno vrijeme su nezavisni jedno od drugog. Apsolutni prostor - trodimenzionalni, homogeni, nepomični euklidski prostor. Apsolutno vrijeme - teče iz prošlosti u budućnost kontinuirano, homogena je, ista u svim tačkama prostora i ne zavisi od kretanja materije.

2. Predmet kinematike.

kinematika - ovo je grana mehanike u kojoj se proučavaju geometrijska svojstva gibanja tijela bez uzimanja u obzir njihove inercije (tj. mase) i sila koje na njih djeluju

Za određivanje položaja pokretnog tijela (ili tačke) sa tijelom u odnosu na koje se proučava kretanje ovog tijela, kruto je povezan neki koordinatni sistem koji zajedno sa tijelom formira referentni sistem.

Glavni zadatak kinematike je da se, poznavajući zakon kretanja datog tijela (tačke), odredi sve kinematičke veličine koje karakterišu njegovo kretanje (brzina i ubrzanje).

3. Metode za određivanje kretanja tačke

· Prirodnim putem

Treba znati:

Putanja tačke;

Porijeklo i smjer reference;

Zakon kretanja tačke duž date putanje u obliku (1.1)

· Metoda koordinata

Jednačine (1.2) su jednačine kretanja tačke M.

Jednačina za putanju tačke M može se dobiti eliminacijom vremenskog parametra « t » iz jednačina (1.2)

· Vektorska metoda

(1.3) Odnos koordinatnih i vektorskih metoda specificiranja kretanja tačke (1.4)

Odnos između koordinatnih i prirodnih metoda specificiranja kretanja tačke

Odrediti putanju tačke eliminacijom vremena iz jednačina (1.2);

-- pronađite zakon kretanja tačke duž putanje (koristite izraz za diferencijal luka)

Nakon integracije, dobijamo zakon kretanja tačke duž date putanje:

Veza između koordinatnih i vektorskih metoda specificiranja kretanja tačke određena je jednadžbom (1.4)

4. Određivanje brzine tačke pomoću vektorske metode zadavanja kretanja.

Neka u trenutkutpoložaj tačke je određen radijus vektorom, a u trenutku vremenat 1 – radijus vektor, zatim za određeni vremenski period tačka će se pomeriti.

(1.5) prosječna brzina tačke, smjer vektora je isti kao i smjer vektora

Brzina tačke u datom trenutku

Da bi se dobila brzina tačke u datom trenutku, potrebno je napraviti prolaz do granice

(1.6)

(1.7)

Vektor brzine tačke u datom trenutku jednak prvom izvodu radijus vektora s obzirom na vrijeme i usmjeren tangencijalno na putanju u datoj tački.

(jedinica¾ m/s, km/h)

Prosječni vektor ubrzanja ima isti smjer kao i vektorΔ v , odnosno usmjeren prema udubljenosti putanje.

Vektor ubrzanja tačke u datom trenutku jednak prvom izvodu vektora brzine ili drugom izvodu vektora radijusa tačke u odnosu na vreme.

(jedinica - )

Kako se vektor nalazi u odnosu na putanju tačke?

At pravo kretanje vektor je usmjeren duž prave linije duž koje se tačka kreće. Ako je putanja tačke ravna kriva, tada vektor ubrzanja , kao i vektor sr, leži u ravni ove krive i usmjeren je prema njenoj konkavnosti. Ako putanja nije ravna kriva, tada će vektor sr biti usmjeren prema konkavnosti putanje i ležat će u ravni koja prolazi kroz tangentu putanje u tačkiM i prava paralelna sa tangentom u susjednoj tačkiM 1 . IN granica kada tačkaM 1 teži za M ova ravan zauzima poziciju takozvane oskulirajuće ravni. Stoga, u opštem slučaju, vektor ubrzanja leži u dodirnoj ravni i usmjeren je prema udubljenosti krive.

Force. Sistem snaga. Ravnoteža apsolutno krutog tijela

U mehanici se sila shvaća kao mjera mehaničke interakcije materijalnih tijela, zbog čega tijela u interakciji mogu međusobno ubrzavati ili deformirati (promijeniti svoj oblik). Sila je vektorska veličina. Karakterizira ga numerička vrijednost ili modul, tačka primjene i smjer. Tačka primjene sile i njen smjer određuju liniju djelovanja sile. Na slici je prikazano kako se sila primjenjuje na tačku A. Odsječak AB = veličina sile F. Prava LM naziva se linija djelovanja sile. In syst. SI mjere sile. u njutnima (N). Postoje i 1MN = 10 6 N, 1 kN = 10 3 N. Postoje 2 načina za postavljanje sile: direktnim opisom i vektorom (kroz projekciju na koordinatne ose). F= F x i + F y j + F z k, gdje su F x, F y, F z projekcije sile na koordinatne ose, a i, j, k su jedinični vektori. Apsolutno solidno telo-telo u kojoj je udaljenost između 2 i njegovih tačaka ostatak. nepromijenjen bez obzira na sile koje na njega djeluju.

Skup od nekoliko sila (F 1, F 2, ..., F n) naziva se sistem sila. Ako se, bez narušavanja stanja tela, jedan sistem sila (F 1, F 2, ..., F n) može zameniti drugim sistemom (P 1, P 2, ..., P n) i porokom obrnuto, onda se takvi sistemi sila nazivaju ekvivalentnim. Simbolično se to označava na sljedeći način: (F 1, F 2, ..., F n)~ (P 1, P 2, ..., P n). Međutim, to ne znači da ako dva sistema sila imaju isti učinak na tijelo, oni će biti ekvivalentni. Ekvivalentni sistemi uzrokuju isto stanje sistema. Kada je sistem sila (F 1, F 2, ..., F n) ekvivalentan jednoj sili R, tada se R naziva. rezultantno. Rezultirajuća sila može zamijeniti djelovanje svih datih sila. Ali nema svaki sistem sila rezultantu. U inercijskom koordinatnom sistemu zakon inercije je zadovoljen. To posebno znači da će tijelo koje miruje u početnom trenutku ostati u tom stanju ako na njega ne djeluju sile. Ako apsolutno kruto tijelo miruje pod dejstvom sistema sila (F 1, F 2, ..., F n), onda se ovaj sistem naziva uravnoteženim ili sistemom sila ekvivalentnim nuli: (F 1 , F 2, ..., F n)~0. U ovom slučaju se kaže da je tijelo u ravnoteži. U matematici se dva vektora smatraju jednakima ako su paralelni, usmjereni u istom smjeru i jednaki po veličini. Ovo nije dovoljno za ekvivalentnost dvije sile, a relacija F~P još ne slijedi iz jednakosti F=P. Dvije sile su ekvivalentne ako su vektorski jednake i primijenjene na istu tačku tijela.

Aksiomi statike i njihove posljedice

Tijelo pod utjecajem sile dobiva ubrzanje i ne može mirovati. Prvi aksiom postavlja uslove pod kojima će sistem sila biti uravnotežen.

Aksiom 1. Dvije sile primijenjene na apsolutno kruto tijelo bit će uravnotežene (ekvivalentne nuli) ako i samo ako su jednake po veličini, djeluju u jednoj pravoj liniji i usmjerene su u suprotnim smjerovima. To znači da ako apsolutno kruto tijelo miruje pod djelovanjem dvije sile, tada su te sile jednake po veličini, djeluju u jednoj pravoj liniji i usmjerene su u suprotnim smjerovima. Obrnuto, ako na apsolutno kruto tijelo u jednoj pravoj liniji u suprotnim smjerovima djeluju dvije sile jednake veličine, a tijelo je u početnom trenutku mirovalo, tada će stanje mirovanja tijela ostati.

Na sl. Na slici 1.4 prikazane su uravnotežene sile F 1, F 2 i P 1, P 2 koje zadovoljavaju relacije: (F 1,F 2)~0, (P1,P2)~0. Prilikom rješavanja nekih problema statike potrebno je uzeti u obzir sile koje djeluju na krajeve krutih štapova, čija se težina može zanemariti, a poznato je da su štapovi u ravnoteži. Prema formuliranom aksiomu, sile koje djeluju na takav štap usmjerene su duž prave linije koja prolazi kroz krajeve štapa, suprotnog smjera i jednake jedna drugoj po veličini (slika 1.5, a). Isto vrijedi iu slučaju kada je os štapa zakrivljena (slika 1.5, b).

Aksiom 2. A da uopšte ne remete državu solidan, sile se na njega mogu primijeniti ili odbaciti ako i samo ako čine uravnotežen sistem, posebno ako se ovaj sistem sastoji od dvije sile jednake veličine, koje djeluju u jednoj pravoj liniji i usmjerene u suprotnim smjerovima. Iz ovog aksioma slijedi zaključak: bez narušavanja stanja tijela, tačka primjene sile može se prenijeti duž linije njenog djelovanja.Zaista, neka sila F A bude primijenjena na tačku A (Sl. 1.6, a) . Primijenimo u tački B na liniji djelovanja sile F A dvije uravnotežene sile F B i F" B, uz pretpostavku da je F B = F A (slika 1.6, b). Tada ćemo, prema aksiomu 2, imati F A ~F A , F B, F` B). Dakle, pošto sile F A i F B takođe čine uravnotežen sistem sila (aksiom 1), onda se prema aksiomu 2 mogu odbaciti (slika 1.6, c). Dakle, F A ~F A, F B,F` B)~F B, ili F A ~F B , što dokazuje korolar. Ovaj zaključak pokazuje da je sila primijenjena na apsolutno kruto tijelo klizni vektor. I aksiomi i dokazana posljedica ne mogu se primijeniti na deformabilna tijela, u posebno, pomeranje tačke primene sile duž linije njenog delovanja menja napregnuto deformisano stanje tela.

Aksiom 3.Bez promjene stanja tijela, dvije sile primijenjene na jednu tačku mogu se zamijeniti jednom rezultantnom silom primijenjenom na istoj tački i jednakom njihovom geometrijskom zbiru (paralelogram aksioma sila). Ovaj aksiom utvrđuje dvije okolnosti: 1) dvije sile F 1 i F 2 (slika 1.7), primijenjene na jednu tačku, imaju rezultantu, odnosno ekvivalentne su jednoj sili (F 1,F 2) ~ R; 2) aksiom u potpunosti određuje modul, tačku primjene i smjer rezultujuće sile R=F 1 +F 2 .(1.5) Drugim riječima, rezultanta R se može konstruirati kao dijagonala paralelograma sa stranicama koje se poklapaju sa F 1 i F 2 . Modul rezultante određen je jednakošću R=(F 1 2 +F 2 2 +2F l F 2 cosa) 1/2, gdje je a ugao između datih vektora F 1 i F 2. Treći aksiom se odnosi na bilo koja tijela. Drugi i treći aksiom statike omogućavaju prelazak sa jednog sistema sila na drugi sistem koji mu je ekvivalentan. Konkretno, one omogućavaju razlaganje bilo koje sile R na dvije, tri, itd. komponente, tj. prelazak na drugi sistem sila za koji je sila R rezultanta. Određivanjem, na primjer, dva smjera koja leže u istoj ravni sa R, možete konstruirati paralelogram u kojem dijagonala predstavlja silu R. Tada će sile usmjerene duž stranica paralelograma formirati sistem za koji će sila R će biti rezultanta (slika 1.7). Slična konstrukcija se može izvesti u svemiru. Da biste to učinili, dovoljno je iz tačke primjene sile R povući tri prave linije koje ne leže u istoj ravni i na njima izgraditi paralelepiped sa dijagonalom koja predstavlja silu R i sa rubovima usmjerenim duž ovih ravnih linije (slika 1.8).

Aksiom 4 (Njutnov 3. zakon). Sile interakcije između dva tijela jednake su po veličini i usmjerene duž jedne prave u suprotnim smjerovima. Imajte na umu da sile interakcije dva tijela ne čine sistem uravnoteženih sila, jer se primjenjuju na različita tijela. Ako tijelo I djeluje na tijelo II sa silom P, a tijelo II djeluje na tijelo I sa silom F (slika 1.9), tada su te sile jednake po veličini (F = P) i usmjerene su duž jedne prave u suprotnom smjeru. pravci, tj. .F= –P. Ako sa F označimo silu kojom Sunce privlači Zemlju, tada Zemlja privlači Sunce istom veličinom, ali suprotno usmjerenom silom - F. Kada se tijelo kreće duž ravni, na njega će biti primijenjena sila trenja T , usmjerena u smjeru suprotnom kretanju. Ovo je sila kojom nepokretna ravan djeluje na tijelo. Na osnovu četvrtog aksioma, tijelo djeluje na ravan istom silom, ali će njegov smjer biti suprotan sili T.

Na sl. 1.10 prikazuje tijelo koje se kreće udesno; sila trenja T se primenjuje na telo koje se kreće, a sila T "= –T primenjuje se na ravan. Razmotrimo nepokretni sistem, prikazan na slici 1.11, a. Sastoji se od motora A instaliranog na temelj B, koji se pak nalazi na bazi C. Na motor i temelj djeluju sile gravitacije F 1 odnosno F 2. Djeluju i sljedeće sile: F 3 - sila djelovanja tijela A na tijelo B ( jednaka je težini tijela A); F'z - sila obrnutog djelovanja tijela B na tijelo A; F4 je sila djelovanja tijela A i B na bazu C (jednaka je ukupnoj težina tijela A i B); F` 4 je sila obrnutog djelovanja baze C na tijelo B. Ove sile su prikazane na slici 1.11, b, c, d. Prema aksiomu 4, F 3 =–F ` 3, F 4 =–F` 4, a ove sile interakcije određene su datim silama F 1 i F 2. Da bismo pronašli sile interakcije, potrebno je poći od aksioma 1. Zbog ostatka tijela A ( Slika 1.11.6) treba da bude F z = –F 1, što znači F 3 =F 1. Na isti način, iz uslova ravnoteže tela B (slika 1.11, c) sledi F` 4 =–( F 2 +F 3) , tj. F` 4 =–(F 1 +F 2) i F 4 =F 1 +F 2.

Aksiom 5. Ravnoteža deformabilnog tijela neće biti poremećena ako su njegove tačke kruto povezane i tijelo se smatra apsolutno čvrstim. Ovaj aksiom se koristi u slučajevima kada je riječ o ravnoteži tijela koja se ne mogu smatrati čvrstim. Vanjske sile koje se primjenjuju na takva tijela moraju zadovoljiti uslove ravnoteže krutog tijela, ali za nekruta tijela ovi uslovi su samo neophodni, ali ne i dovoljni. Na primjer, za ravnotežu apsolutno čvrstog bestežinskog štapa potrebno je i dovoljno da sile F i F" primijenjene na krajeve štapa djeluju duž prave linije koja spaja njegove krajeve, jednake su po veličini i usmjerene u različitim smjerovima. Isti uslovi su neophodni za ravnotežu komada bestežinskog konca, ali za konac nisu dovoljni, potrebno je dodatno zahtevati da sile koje deluju na konac budu zatezne (sl. 1.12, b), dok za štap mogu biti i tlačni (slika 1.12, a).

Razmotrimo slučaj ekvivalencije nuli tri neparalelne sile primijenjene na kruto tijelo (slika 1.13, a). Teorema o tri neparalelne sile. Ako je pod utjecajem tri sile tijelo u ravnoteži i linije djelovanja te dvije sile se sijeku, tada sve sile leže u istoj ravni, a njihove se linije djelovanja sijeku u jednoj tački Neka na tijelo djeluje sistem tri sile F 1, F 3 i F 3, a linije djelovanja sila F 1 i F 2 seku se u tački A (sl. 1.13, a). Prema posledicama aksioma 2, sile F 1 i F 2 se mogu preneti u tačku A (sl. 1.13, b), a prema aksiomu 3 mogu se zameniti jednom silom R, i (sl. 1.13, c) R = F 1 + F 2 . Tako se razmatrani sistem sila svodi na dvije sile R i F 3 (slika 1.13, c). Prema uslovima teoreme, tijelo je u ravnoteži, dakle, prema aksiomu 1, sile R i F 3 moraju imati zajedničku liniju djelovanja, ali tada se linije djelovanja sve tri sile moraju seći u jednoj tački .

Aktivne sile i reakcije veza

Tijelo se zove besplatno, ako njegovi pokreti nisu ničim ograničeni. Tijelo čija su kretanja ograničena drugim tijelima naziva se neslobodan, a tijela koja ograničavaju kretanje datog tijela su veze. U dodirnim tačkama nastaju sile interakcije između datog tijela i veza. Zovu se sile kojima veze djeluju na dato tijelo reakcije veza.

Princip oslobođenja : svako neslobodno tijelo može se smatrati slobodnim ako se djelovanje veza zamijeni njihovim reakcijama primijenjenim na dato tijelo. U statici se reakcije veza mogu u potpunosti odrediti pomoću uslova ili jednačina ravnoteže tijela, koje će se kasnije utvrditi, ali se njihovi smjerovi u mnogim slučajevima mogu odrediti s obzirom na svojstva veza. Kao jednostavan primjer na sl. 1.14, a prikazano je tijelo čija je tačka M povezana sa fiksnom tačkom O pomoću štapa, čija se težina može zanemariti; krajevi šipke imaju šarke koje omogućavaju slobodu rotacije. IN u ovom slučaju za tijelo spoj je šipka OM; ograničenje slobode kretanja tačke M izražava se u činjenici da je ona prinuđena da bude na konstantnoj udaljenosti od tačke O. Sila dejstva na takav štap treba da bude usmerena duž prave OM, a prema aksiomu 4, protusila štapa (reakcija) R treba biti usmjerena duž iste prave linije. Dakle, smjer reakcije štapa poklapa se s pravom linijom OM (slika 1.14, b). Slično tome, sila reakcije fleksibilne, nerastezljive niti mora biti usmjerena duž niti. Na sl. Na slici 1.15 prikazano je tijelo koje visi na dvije niti i reakcije niti R 1 i R 2. Sile koje djeluju na stegnuto tijelo dijele se u dvije kategorije. Jednu kategoriju formiraju sile koje ne zavise od veza, a drugu čine reakcije veza. U ovom slučaju, reakcije veza su pasivne prirode - nastaju jer na tijelo djeluju sile prve kategorije. Sile koje ne ovise o vezama nazivaju se aktivnim, a reakcije veza pasivnim silama. Na sl. 1.16, a na vrhu su prikazane dvije aktivne sile F 1 i F 2 jednake veličine koje istežu štap AB, na dnu su prikazane reakcije R 1 i R 2 istegnutog štapa. Na sl. 1.16, b na vrhu su prikazane aktivne sile F 1 i F 2 koje komprimiraju štap, dolje su prikazane reakcije R 1 i R 2 komprimirane šipke.

Svojstva veze

1. Ako čvrsto tijelo leži na idealno glatkoj (bez trenja) površini, tada tačka dodira tijela sa površinom može slobodno kliziti po površini, ali se ne može kretati u smjeru duž normale na površinu. Reakcija idealno glatke površine je usmjerena duž zajedničke normale na dodirne površine (slika 1.17, a).Ako čvrsto tijelo ima glatku površinu i leži na vrhu (slika 1.17, b), tada je reakcija usmjerena duž normale na površinu samog tijela Ako se čvrsto tijelo vrh naslanja na ugao (sl. 1.17, c), tada veza sprječava da se vrh pomjera i horizontalno i vertikalno. U skladu s tim, reakcija ugla R može se predstaviti sa dvije komponente - horizontalnom R x i vertikalnom R y, čije su veličine i smjerovi konačno određeni datim silama.

2. Sferna šarka je uređaj prikazan na Sl. 1.18, a, što čini tačku O posmatranog tijela nepomičnom. Ako je sferna kontaktna površina idealno glatka, tada je reakcija sfernog zgloba u smjeru normale na ovu površinu. Reakcija prolazi kroz centar šarke O; smjer reakcije može biti bilo koji i određuje se u svakom konkretnom slučaju.

Također je nemoguće unaprijed odrediti smjer reakcije potisnog ležaja prikazanog na sl. 1.18, b. 3. Cilindrični zglobno-fiksni nosač (sl. 1.19, a). Reakcija takvog nosača prolazi kroz njegovu os, a smjer reakcije može biti bilo koji (u ravnini okomitoj na os nosača). 4. Cilindrični zglobni pokretni oslonac (slika 1.19, b) sprečava pomeranje fiksne tačke tela okomito na avioni I-I; prema tome, reakcija takvog oslonca također ima smjer ove okomice.

U mehaničkim sistemima nastalim artikulacijom više čvrstih tijela postoje unutrašnje veze sa vanjskim vezama (nosačima). U tim slučajevima ponekad se sistem mentalno secira i odbačene ne samo vanjske, već i unutrašnje veze zamjenjuju se odgovarajućim reakcijama. Sile interakcije između pojedinih tačaka datog tijela nazivaju se unutrašnjim, a sile koje djeluju na dato tijelo i uzrokovane drugim tijelima nazivaju se vanjskim.

Glavni zadaci statike

1. Problem redukcije sistema sila: kako se dati sistem sila može zamijeniti drugim, najjednostavnijim, ekvivalentnim?

2. Problem ravnoteže: koje uslove mora da zadovolji sistem sila primenjenih na dato telo (ili materijalnu tačku) da bi to bio uravnotežen sistem?

Drugi problem se često postavlja u slučajevima kada se zna da dolazi do ravnoteže, na primjer, kada se unaprijed zna da je tijelo u ravnoteži, što se osigurava vezama nametnutim tijelu. U ovom slučaju, uslovi ravnoteže uspostavljaju odnos između svih sila koje se primenjuju na telo. Koristeći ove uslove, moguće je odrediti reakcije podrške. Mora se imati na umu da je određivanje reakcija veza (vanjskih i unutarnjih) neophodno za naknadni proračun čvrstoće konstrukcije.

U opštijem slučaju, kada se razmatra sistem tela koja imaju sposobnost da se kreću jedno u odnosu na drugo, jedan od glavnih problema statike je problem određivanja mogućih ravnotežnih položaja.

Dovođenje sistema konvergentnih sila na rezultantu

Sile se nazivaju konvergentne ako se linije djelovanja svih sila koje čine sistem sijeku u jednoj tački. Dokažimo teoremu: Sistem konvergentnih sila je ekvivalentan jednoj sili (rezultantu), koja je jednaka zbiru svih ovih sila i prolazi kroz tačku preseka njihovih linija delovanja. Neka je dat sistem konvergentnih sila F 1, F 2, F 3, ..., F n, primijenjenih na apsolutno kruto tijelo (slika 2.1, a). Pomerimo tačke primene sila duž linija njihovog delovanja do tačke preseka ovih pravih (21, b). Dobili smo sistem snaga, primenjenih na jednu tačku. To je ekvivalentno datom. Saberimo F 1 i F 2 i dobijemo njihovu rezultantu: R 2 =F 1 +F 2. Dodajmo R 2 sa F 3: R 3 =R 2 +F 3 =F 1 +F 2 +F 3. Dodajmo F 1 +F 2 +F 3 +…+F n =R n =R=åF i . itd. Umjesto paralelograma, možete konstruirati poligon sile. Neka se sistem sastoji od 4 sile (slika 2.2.). Od kraja vektora F 1 odvajamo vektor F 2 . Vektor koji povezuje početak O i kraj vektora F 2 će biti vektor R 2 . Zatim ćemo odgoditi vektor F 3, stavljajući njegov početak na kraj vektora F 2. Tada dobijamo vektor R 8 koji ide od tačke O do kraja vektora F 3. Dodajmo vektor F 4 na isti način; u ovom slučaju nalazimo da je vektor koji ide od početka prvog vektora F 1 do kraja vektora F 4 rezultanta R. Takav prostorni poligon se naziva poligon sile. Ako se kraj posljednje sile ne poklapa s početkom prve sile, tada se poligon sile naziva otvoren. Ako se za pronalaženje rezultante koristi geometar, onda se ova metoda naziva geometrijska.

Oni češće koriste analitičku metodu da bi odredili rezultantu. Projekcija sume vektora na određenu osu jednaka je zbiru projekcija vektora sabranja na istu osu, dobijamo R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx ; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny ; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz ; gdje su F kx, F ky, F kz projekcije sile F k na ose, a R x, R y, R z su projekcije rezultante na iste ose. Projekcije rezultantnog sistema konvergirajućih sila na koordinatne ose jednake su algebarskim sumama projekcija ovih sila na odgovarajuće ose. Modul rezultanta R je jednak: R=(R x 2 +R y 2 +R z 2) 1/2. Kosinusi smjera su jednaki: cos(x,R)=R x /R, cos(y,R)=R y /R, cos(z,R)=R z /R. Ako su sile raspoređene u istom pravcu, onda je sve isto, nema Z osi.

Uslovi ravnoteže za sistem konvergentnih sila

(F 1 , F 2 , ... ,F n)~R => za ravnotežu tela pod uticajem sistema sila koje se konvergiraju, potrebno je i dovoljno da njihova rezultanta bude jednaka nuli: R = 0 Prema tome, u poligonu sila uravnoteženog sistema sila koje konvergiraju, kraj posljednje sile mora se poklopiti s početkom prve sile; u ovom slučaju kažu da je poligon sila zatvoren (slika 2.3). Ovaj uslov se koristi kada grafičko rješenje problemi za sisteme ravnih sila. Vektorska jednakost R=0 je ekvivalentna trima skalarnim jednakostima: R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0; gdje su F kx, F ky, F kz projekcije sile F k na ose, a R x, R y, R z su projekcije rezultante na iste ose. To jest, za ravnotežu konvergentnog sistema sila, neophodno je i dovoljno da algebarski sumi projekcija svih sila datog sistema na svaku od koordinatnih ose budu jednaki nuli. Za ravan sistem sila nestaje uslov povezan sa osom Z. Uslovi ravnoteže vam omogućavaju da proverite da li ovaj sistem snagu

Sabiranje dvije paralelne sile

1) Neka paralelne i identično usmerene sile F 1 i F 2 budu primenjene na tačke A i B tela i treba da nađete njihovu rezultantu (slika 3.1). Primijenimo jednake po veličini i suprotno usmjerene sile Q 1 i Q 2 na tačke A i B (njihov modul može biti bilo koji); takav dodatak se može napraviti na osnovu aksioma 2. Tada u tačkama A i B dobijamo dvije sile R 1 i R 2: R 1 ~(F 1, Q 1) i R 2 ~(F 2, Q 2). Linije djelovanja ovih sila seku se u određenoj tački O. Prenesimo sile R1 i R2 u tačku O i svaku razložimo na komponente: R1 ~(F 1 ', Q 2 ') i R 2 ~( F 2 ', Q 2 '). Iz konstrukcije je jasno da Q 1 ’=Q 1 i Q 2 ’=Q 2 , dakle, Q 1 ’= –Q 2 ’ i ove dvije sile, prema aksiomu 2, mogu se odbaciti. Osim toga, F 1 ’=F 1 , F 2 ’=F 2 . Sile F 1 ’ i F 2 ’ djeluju u jednoj pravoj liniji, a mogu se zamijeniti jednom silom R = F 1 + F 2, koja će biti željena rezultanta. Modul rezultante je jednak R = F 1 + F 2. Linija akcije rezultante je paralelna sa linijama akcije F 1 i F 2. Iz sličnosti trouglova Oac 1 i OAC, kao i Obc 2 i OBC, dobijamo omjer: F 1 /F 2 =BC/AC. Ovaj odnos određuje tačku primjene rezultantne R. Sistem dviju paralelnih sila usmjerenih u jednom smjeru ima rezultantnu paralelu tim silama, a njegov modul jednak zbiru moduli ovih snaga.

2) Neka na tijelo djeluju dvije paralelne sile, usmjerene u različitim smjerovima i nisu jednake po veličini. Dato: F 1, F 2; F 1 >F 2 .

Koristeći formule R = F 1 + F 2 i F 1 /F 2 =BC/AC, možemo razložiti silu F 1 na dvije komponente, F" 2 i R, usmjerene prema sili F 1. Uradimo to tako da ispostavilo se da je sila F" 2 primijenjena na tačku B, i stavimo F" 2 = –F 2. Dakle, (F l, F 2)~(R, F" 2, F 2). Ovlasti F 2 , F 2 ' može se odbaciti kao ekvivalent nuli (aksiom 2), dakle, (F1,F2)~R, tj. sila R je rezultanta. Definirajmo silu R koja zadovoljava ovu ekspanziju sile F 1 . Formule R = F 1 + F 2 i F 1 /F 2 =BC/AC daju R+F 2 '=F 1, R/F 2 =AB/AC (*). ovo implicira R = F 1 –F 2 '= F 1 + F 2, a kako su sile F t i F 2 usmjerene u različitim smjerovima, onda je R=F 1 –F 2. Zamjenom ovog izraza u drugu formulu (*) dobijamo nakon jednostavnih transformacija F 1 /F 2 =BC/AC. odnos određuje tačku primjene rezultante R. Dvije nejednake po veličini suprotno usmjerene paralelne sile imaju rezultantu paralelnu ovim silama, a njen modul je jednak razlici u modulima tih sila.

3) Neka na tijelo djeluju dvije paralelne sile, jednake po veličini, ali suprotnog smjera. Ovaj sistem se naziva par sila i označava se simbolom (F 1, F 2). Pretpostavimo da se modul F 2 postepeno povećava, približavajući se vrijednosti modula F 1 . Tada će razlika u modulima težiti nuli, a sistem sila (F 1, F 2) će težiti paru. U tom slučaju |R|Þ0, a linija njegovog djelovanja se udaljava od linija djelovanja ovih sila. Par sila je neuravnotežen sistem koji se ne može zamijeniti jednom silom. Par sila nema rezultantu.

Moment sile u odnosu na tačku i osu.Moment para sila

Moment sile u odnosu na tačku (centar) je vektor koji je brojčano jednak proizvodu modula sile po kraku, odnosno najkraćoj udaljenosti od navedene tačke do linije djelovanja sile . Usmjerena je okomito na ravan koja prolazi kroz odabranu tačku i liniju djelovanja sile. Ako je obrtni moment u smjeru kazaljke na satu, tada je moment negativan, a ako je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, onda je pozitivan. Ako je O tačka, relacija je moment sile F, tada je moment sile označen simbolom M o (F). Ako je tačka primjene sile F određena vektorom radijusa r u odnosu na O, tada vrijedi relacija M o (F) = r x F. (3.6) Tj. moment sile je jednak vektorskom proizvodu vektora r sa vektorom F. Modul vektorskog proizvoda je jednak M o (F)=rF sin a=Fh, (3.7) gdje je h krak sile. Vektor Mo (F) je usmjeren okomito na ravan koja prolazi kroz vektore r i F, i obrnuto. Dakle, formula (3.6) u potpunosti određuje modul i smjer momenta sile F. Formula (3.7) se može zapisati u obliku M O (F) = 2S, (3.8) gdje je S površina trokuta OAB . Neka su x, y, z koordinate tačke primene sile, a Fx, F y, Fz projekcije sile na koordinatne ose. Ako je tako, o nama. u početku, zatim moment sile:

To znači da su projekcije momenta sile na koordinatne ose određene sa f-mi: M ox (F)=yF z –zF y, M oy (F)=zF x –xF z, M oz (F) =xF y –yF x (3.10).

Hajde da uvedemo koncept projekcije sile na ravan. Neka je data sila F i određena sila. Spustimo okomice sa početka i kraja vektora sile na ovu ravan (slika 3.5). Projekcija sile na ravan je vektor čiji se početak i kraj poklapaju sa projekcijom početka i projekcijom kraja sile na ovu ravan. Projekcija sile F na površinu xOy biće F xy. Moment sile F xy rel. t. O (ako je z=0, F z =0) će biti M o (F xy)=(xF y –yF x)k. Ovaj moment je usmjeren duž ose z, a njegova projekcija na osu z tačno se poklapa sa projekcijom na istu osu momenta sile F u odnosu na tačku O.T.e, M Oz (F) = M Oz (F xy) = xF y –yF x. (3.11). Isti rezultat se može dobiti ako projiciramo silu F na bilo koju drugu ravan paralelnu ravnini xOy. U ovom slučaju, tačka preseka ose sa ravninom će biti drugačija (označena O 1). Međutim, sve veličine x, y, F x, F y uključene u desnu stranu jednakosti (3.11) će ostati nepromijenjene: M Oz (F) = M Olz (F xy). Projekcija momenta sile u odnosu na tačku na osu koja prolazi kroz ovu tačku ne zavisi od izbora tačke na osi. Umjesto M Oz (F) pišemo M z (F). Ova projekcija momenta naziva se moment sile oko z-ose. Prije proračuna, sila F se projektuje na kvadratnu i okomitu osu. M z (F)=M z (F xy)=±F xy h (3.12). h- rame. Ako je u smjeru kazaljke na satu, onda +, suprotno od kazaljke na satu, zatim –. Za izračunavanje m.m. sile koje su vam potrebne: 1) izaberite proizvoljnu tačku na osi i konstruišite ravan okomitu na osu; 2) projektuje silu na ovu ravan; 3) odrediti krak projekcije sile h. Moment sile u odnosu na osu jednak je proizvodu modula projekcije sile na njeno rame, uzet sa odgovarajućim predznakom. Iz (3.12) proizilazi da je moment sile u odnosu na osu jednak nuli: 1) kada je projekcija sile na ravan okomitu na osu jednaka nuli, odnosno kada su sila i osa paralelne; 2) kada je krak projekcije h jednak nuli, odnosno kada linija djelovanja sile seče osu. Ili: moment sile oko ose je nula ako i samo ako su linija djelovanja sile i ose u istoj ravni.

Hajde da uvedemo koncept par trenutaka. Nađimo zbir momenata sila koje čine par u odnosu na proizvoljnu tačku. Neka je O proizvoljna tačka u prostoru (slika 3.8), a F i F" su sile koje čine par. Tada je M o (F) = OAxF, M o (F") = OBxF", od čega je M o (F) + M o (F")=OAxF+OBxF", ali pošto je F"=–F, onda je M 0 (F)+M 0 (F")=OAxF–OBxF=(OA–OB)xF. Uzimajući u obzir jednakost OA –OB = BA, konačno nalazimo: M 0 (F) + M 0 (F") = BAxF. To jest, zbir momenata sila koje čine par ne zavisi od položaja tačke u odnosu na koju se momenti uzimaju. Vektorski proizvod BAxF naziva se moment para. Moment para je označen simbolom M(F,F"), sa M(F,F")=BAxF=ABxF", ili M=BAxF=ABxF". (3.13). Moment para je vektor okomit na ravan para, jednak po veličini proizvodu modula jedne od sila para na kraku para (tj. najkraća udaljenost između linija djelovanja sila koje čine par) i usmjerene u smjeru iz kojeg je vidljiva „rotacija“ para u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Ako je h rame para, onda je M(F,F") = hF. Da bi par sila bio izbalansiran, potrebno je da je moment para = 0, odnosno rame = 0.

Teoreme para

Teorema 1.Dva para koja leže u istoj ravni mogu se zamijeniti jednim parom koji leži u istoj ravni, sa momentom jednakim zbroju momenata ova dva para . Za dokaz, razmotrite dva para (F 1, F` 1) i (F 2, F` 2) (slika 3.9) i pomerite tačke primene svih sila duž linija njihovog delovanja do tačaka A i B, respektivno. . Sabiranjem sila prema aksiomu 3, dobijamo R=F 1 +F 2 i R"=F` 1 +F` 2, ali F" 1 =–F 1 i F` 2 =–F 2. Posljedično, R=–R", tj. sile R i R" čine par. Moment ovog para: M=M(R, R")=BAxR=BAx(F 1 +F 2)=BAxF 1 +BAxF 2. (3.14). Kada se sile koje čine par prenose duž linija njihovog djelovanja, ne mijenja se ni rame ni smjer rotacije para, pa se ne mijenja ni moment para. To znači da je VAxF 1 =M(F 1, F" 1) = M 1, VAxF 2 =M(F 2, f` 2) = M 2, a formula (3.14) će imati oblik M=M 1 +M 2 , (3.15) itd. Hajde da damo dva komentara. 1. Linije djelovanja sila koje čine parove mogu se pokazati paralelnim. Teorema ostaje važeća iu ovom slučaju. 2. Nakon sabiranja može se ispostaviti da je M(R,R")=0; na osnovu napomene 1, slijedi da je skup dva para (F 1, F` 1, F 2, F` 2)~0 .

Teorema 2.Dva para koja imaju jednake momente su ekvivalentna. Neka par (F 1 ,F` 1) deluje na telo u ravni I sa momentom M 1 . Pokažimo da se ovaj par može zamijeniti drugim parom (F 2, F` 2), koji se nalazi u ravni II, ako je samo njegov moment M 2 jednak M 1. Imajte na umu da ravni I i II moraju biti paralelne; posebno, mogu se poklapati. Zaista, iz paralelizma momenata M 1 i M 2 proizilazi da su ravni djelovanja parova, okomite na momente, također paralelne. Hajde da uvedemo novi par (F 3 , F` 3) i primenimo ga zajedno sa parom (F 2 , F` 2) na telo, stavljajući oba para u ravan II. Da biste to uradili, prema aksiomu 2, potrebno je da izaberete par (F 3, F` 3) sa momentom M 3 tako da primenjeni sistem sila (F 2, F` 2, F 3, F` 3) je uravnotežen. Stavimo F 3 =–F` 1 i F` 3 =–F 1 i kombinujemo tačke primene ovih sila sa projekcijama A 1 i B 1 tačaka A i B na ravan II (vidi sliku 3.10). U skladu sa konstrukcijom imaćemo: M 3 ​​=–M 1 ili, uzimajući u obzir da je M 1 = M 2, M 2 + M 3 = 0, dobijamo (F 2 , F` 2 , F 3 , F` 3)~0. Dakle, parovi (F 2 , F` 2) i (F 3 , F` 3) su međusobno uravnoteženi i njihova vezanost za tijelo ne narušava njegovo stanje (aksiom 2), pa (F 1, F` 1)~ (F 1, F` 1, F 2, F` 2, F 3, F` 3). (3.16). S druge strane, sile F 1 i F 3, kao i F` 1 i F` 3 se mogu sabirati prema pravilu za sabiranje paralelnih sila usmjerenih u jednom smjeru. One su jednake po modulu, pa se njihove rezultante R i R" moraju primijeniti u tački sjecišta dijagonala pravokutnika ABB 1 A 1, osim toga, jednake su po modulu i usmjerene u suprotnim smjerovima. To znači da su čine sistem ekvivalentan nuli. Dakle, (F 1 , F` 1 , F 3 , F` 3)~(R, R")~0. Sada možemo pisati (F 1 , F` 1 , F 2 , F` 2 , F 3 ,F` 3)~(F 2 , F` 2).(3.17). Upoređujući relacije (3.16) i (3.17), dobijamo (F 1 , F` 1)~(F 2 , F` 2) itd. Iz ove teoreme sledi da se par sila može pomerati i rotirati u ravni svog delovanja, preneti u paralelnu ravan; u paru, možete istovremeno mijenjati sile i polugu, zadržavajući samo smjer rotacije para i modul njegovog momenta (F 1 h 1 =F 2 h 2).

Teorema 3. Dva para koja leže u ravninama koje se seku su ekvivalentne jednom paru čiji je moment jednak zbiru momenata dva data para. Neka se parovi (F 1 , F` 1) i (F 2 , F` 2) nalaze u ravninama I i II koje se seku. Koristeći posljedicu teoreme 2, oba para dovodimo do kraka AB (slika 3.11), koji se nalazi na liniji presjeka ravnina I i II. Označimo transformisane parove sa (Q 1 , Q` 1) i (Q 2 , Q` 2). U ovom slučaju moraju biti zadovoljene sljedeće jednakosti: M 1 =M(Q 1, Q` 1)=M(F 1, F` 1) i M 2 =M(Q 2, Q` 2)=M(F 2, F` 2). Dodajmo, prema aksiomu 3, sile primijenjene u tačkama A i B, respektivno. Tada dobijamo R=Q 1 +Q 2 i R"=Q` 1 +Q` 2. Uzimajući u obzir da je Q` 1 =–Q 1 i Q` 2 = –Q 2, dobijamo: R=–R”. Tako smo dokazali da je sistem od dva para ekvivalentan jednom paru (R, R"). Nađimo trenutak M ovog para. M(R, R")=BAxR, ali R=Q 1 +Q 2 i M(R , R")=BAx(Q 1 +Q 2)=BAxQ 1 +BAxQ 2 =M(Q 1, Q` 1)+M(Q 2, Q` 2)=M(F 1, F" 1)+ M(F 2 , F` 2), ili M=M 1 +M 2, tj. teorema je dokazana.

Zaključak: moment para je slobodan vektor i u potpunosti određuje djelovanje para na apsolutno kruto tijelo. Za deformabilna tijela teorija parova nije primjenjiva.

Svođenje sistema parova na njegov najjednostavniji oblik.Ravnoteža sistema parova

Neka je dat sistem od n parova (F 1 ,F 1 `),(F 2 ,F` 2) ..., (F n ,F` n), proizvoljno lociranih u prostoru, čiji su momenti jednaki M 1, M 2. .., M n . Prva dva para mogu se zamijeniti jednim parom (R 1,R` 1) sa momentom M* 2:M* 2 =M 1 +M 2. Dobijeni par (R 1, R` 1) dodajemo sa parom (F 3, F` 3), onda dobijamo novi par (R 2, R` 2) sa momentom M* 3: M* 3 = M * 2 + M 3 =M 1 +M 2 +M 3. Nastavljajući sekvencijalno sabiranje momenata parova, dobijamo poslednji rezultujući par (R, R") sa momentom M=M 1 +M 2 +...+M n =åM k. (3.18). Sistem od parova se svodi na jedan par, čiji je moment jednak zbiru momenata svih parova.Sada je lako riješiti drugi problem statike, tj. pronaći uslove ravnoteže tijela na kojem se nalazi sistem parova. Da bi sistem parova bio ekvivalentan nuli, tj. sveden na dvije uravnotežene sile, potrebno je i dovoljno da moment nastalog para bude jednak nuli. Tada iz formule (3.18) dobijamo sljedeći uvjet ravnoteže u vektorskom obliku: M 1 + M 2 + M 3 + ... + M n = 0. (3.19).

U projekcijama na koordinatne ose, jednačina (3.19) daje tri skalarne jednačine. Uslov ravnoteže (3.19) je pojednostavljen kada svi parovi leže u istoj ravni. U ovom slučaju, svi momenti su okomiti na ovu ravan, pa je dovoljno projicirati jednačinu (3.19) samo na jednu osu, na primjer, osu okomitu na ravan parova. Neka je ovo z osa (slika 3.12). Tada iz jednačine (3.19) dobijamo: M 1Z + M 2Z +...+ M nZ =0. Jasno je da je M Z = M ako je rotacija para vidljiva iz pozitivnog smjera ose z u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a M Z = –M u suprotnom smjeru rotacije. Oba ova slučaja prikazana su na sl. 3.12.

Lema o paralelnom prijenosu sile

Dokažimo lemu:Sila primijenjena u bilo kojoj tački krutog tijela je ekvivalentna istoj sili primijenjenoj u bilo kojoj drugoj tački ovog tijela, a par sila čiji je moment jednak momentu date sile u odnosu na novu tačku primjene. Neka sila F deluje na tačku A krutog tela (slika 4.1). Primijenimo sada u tački B tijela sistem dvije sile F" i F²-, ekvivalentne nuli, i izaberemo F"=F (dakle F"=–F). Tada sila F~(F, F" , F"), jer (F",F")~0. Ali, s druge strane, sistem sila (F, F", F") je ekvivalentan sili F" i paru sila (F , F"); dakle, sila F je ekvivalentna sili F" i paru sila (F, F"). Moment para (F, F") je jednak M=M(F,F" )=BAxF, tj. jednak momentu sile F u odnosu na tačku B M=M B (F) Time je dokazana lema o paralelnom prijenosu sile.

Osnovna teorema statike

Neka je dat proizvoljan sistem sila (F 1, F 2,..., F n). Zbir ovih sila F=åF k naziva se glavni vektor sistema sila. Zbir momenata sila u odnosu na bilo koji pol naziva se glavnim momentom sistema sila koji se razmatra u odnosu na ovaj pol.

Osnovna teorema statike (Poinsotova teorema ):U opštem slučaju, bilo koji prostorni sistem sila može se zamijeniti ekvivalentnim sistemom koji se sastoji od jedne sile primijenjene u nekoj tački tijela (centar redukcije) i jednake glavnom vektoru ovog sistema sila i jednog para sila. , čiji je moment jednak glavnom momentu svih sila u odnosu na odabrani centar adukcije. Neka je O centar redukcije, uzet kao ishodište koordinata, r 1 , r 2 , r 3 , ..., r n - odgovarajući radijus vektori tačaka primjene sila F 1 , F 2 , F 3 , ..., F n , koje čine sile ovog sistema (slika 4.2, a). Premjestimo sile F 1, F a, F 3, ..., F n u tačku O. Dodajmo ove sile kao konvergentne; dobijamo jednu silu: F o =F 1 +F 2 +…+F n =åF k, koja je jednaka glavnom vektoru (slika 4.2, b). Ali sekvencijalnim prijenosom sila F 1, F 2,..., F n u tačku O, svaki put dobijamo odgovarajući par sila (F 1, F” 1), (F 2, F” 2), ...,( F n, F" n). Momenti ovih parova su respektivno jednaki momentima ovih sila u odnosu na tačku O: M 1 = M (F 1, F" 1) = r 1 x F 1 = M o (F 1), M 2 = M (F 2 , F” 2)=r 2 x F 2 =M o (F 2), ..., M n =M(F n, F” n) =r n x F n =M o (F n). Na osnovu pravila za svođenje sistema parova na najjednostavniji oblik, svi ovi parovi se mogu zamijeniti jednim parom. Njegov moment jednak je zbiru momenata svih sila sistema u odnosu na tačku O, odnosno jednak je glavnom momentu, pošto prema formulama (3.18) i (4.1) imamo (slika 4.2, c) M 0 = M 1 + M 2 +.. .+M n =M o (F 1)+M o (F 2)+…+ M o (F n)==åM o (F k)=år k x F k . Sistem sila, proizvoljno lociranih u prostoru, može se zamijeniti u proizvoljno odabranom redukcionom centru silom F o =åF k (4.2) i parom sila sa momentom M 0 =åM 0 (F k)=år k x F k . (4.3). U tehnologiji je često lakše odrediti ne silu ili par, već njihove trenutke. Na primjer, karakteristike elektromotora uključuju ne silu kojom stator djeluje na rotor, već okretni moment.

Uslovi za ravnotežu prostornog sistema sila

Teorema.Za ravnotežu prostornog sistema sila potrebno je i dovoljno da glavni vektor i glavni moment ovog sistema budu jednaki nuli. Adekvatnost: pri F o =0 sistem konvergentnih sila primijenjenih u centru redukcije O je ekvivalentan nuli, a pri M o =0 sistem parova sila je ekvivalentan nuli. Prema tome, originalni sistem sila je ekvivalentan nuli. Nužnost: Neka ovaj sistem sila bude ekvivalentan nuli. Svodeći sistem na dvije sile, primjećujemo da sistem sila Q i P (slika 4.4) mora biti ekvivalentan nuli, dakle, ove dvije sile moraju imati zajedničku liniju djelovanja i jednakost Q = –P mora biti zadovoljan. Ali to može biti ako linija djelovanja sile P prolazi kroz tačku O, odnosno ako je h = 0. To znači da je glavni moment nula (M o =0). Jer Q + P = 0, a Q = F o + P ", zatim F o + P" + P = 0, i, prema tome, F o = 0. Potrebni i dovoljni uslovi jednaki su prostornom sistemu sila u oblik: F o = 0 , M o =0 (4.15),

ili, u projekcijama na koordinatne ose, Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16). M Ox =åM Ox (F k)=M Ox (F 1)+M ox (F 2)+...+M Ox (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, M oz =åM Oz (F k)=M Oz (F 1)+M oz (F 2)+...+ M oz (F n)=0. (4.17)

To. Prilikom rješavanja zadataka sa 6 nivoa možete pronaći 6 nepoznatih. Napomena: par sila se ne može svesti na rezultantu. Posebni slučajevi: 1) Ravnoteža prostornog sistema paralelnih sila. Neka je Z osa paralelna sa linijama djelovanja sile (slika 4.6), tada su projekcije sila na x i y jednake 0 (F kx = 0 i F ky = 0), a ostaje samo F oz. . Što se momenata tiče, ostali su samo M ox i M oy, a nedostaje M oz. 2) Ravnoteža ravnog sistema sila. Preostali nivoi su F ox , F oy i moment M oz (slika 4.7). 3) Ravnoteža ravnog sistema paralelnih sila. (Sl. 4.8). Ostala su samo 2 nivoa: F oy i M oz. Prilikom sastavljanja ravnotežnih nivoa, bilo koja tačka se može odabrati kao centar duha.

Svođenje ravnog sistema sila na njegov najjednostavniji oblik

Razmotrimo sistem sila (F 1, F 2,..., F n) koji se nalazi u istoj ravni. Kombinirajmo koordinatni sistem Oxy sa ravninom položaja sila i, birajući njegovo ishodište kao centar redukcije, svedemo razmatrani sistem sila na jednu silu F 0 =åF k , (5.1) jednaku glavnom vektoru , i na par sila, čiji je moment jednak glavnom momentu M 0 =åM 0 (F k), (5.2) gdje je M o (F k) moment sile F k u odnosu na centar redukcija O. Kako se sile nalaze u jednoj ravni, u ovoj ravni leži i sila F o. Moment para M o usmjeren je okomito na ovu ravan, jer sam par se nalazi u delovanju sila koje se razmatra. Dakle, za ravan sistem sila, glavni vektor i glavni moment su uvijek okomiti jedan na drugi (slika 5.1). Trenutak je u potpunosti karakteriziran algebarskom veličinom M z , jednakim umnošku kraka para na vrijednost jedne od sila koje čine par, uzetu sa znakom plus ako je "rotacija-" para javlja se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i sa predznakom minus ako se dešava strelice u smjeru kazaljke na satu. Neka su, na primjer, data dva para, (F 1, F` 1) i (F 2, F` 2) (slika 5.2); onda, prema ovoj definiciji, imamo M z (F 1,F` 1)=h 1 F 1, M Z (F 2,F" 2)=-h 2 F 2. Moment sile u odnosu na tačku će biti algebarska veličina jednaka projekciji sile vektora momenta u odnosu na ovu tačku na osu okomitu na ravan, tj. jednaka proizvodu modula sile na ramenu, uzet sa odgovarajućim predznakom. Za slučajeve prikazane u 5.3, a i b, respektivno, biće M oz (F 1) = hF 1 , M oz (F 2) = –hF 2 (5.4) Indeks z u formulama (5.3) i (5.4) je sačuvana kako bi se ukazala na algebarsku prirodu momenata. Moduli momenta para i momenta sile se označavaju na sljedeći način: M(F ,F")=| M z (F,F`)|, M o (F)=|M Oz (F)|. Dobijamo M oz =åM oz (F z). Za analitički određivanje glavnog vektora koriste se sljedeće formule: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx, F oy =åF ky =F 1y,+F 2y +…+F ny, F o =(F 2 ox +F 2 oy) 1/2 =([åF kx ] 2 +[åF ky ] 2) 1/2 (5.8); cos(x, F o)=F ox /F o , cos(y, F o)=F Oy /F o .(5.9). A glavni moment je jednak M Oz =åM Oz (F k)=å(x k F ky –y k F kx), (5.10) gdje su x k, y k koordinate tačke primjene sile F k.

Dokažimo da ako glavni vektor ravnog sistema sila nije jednak nuli, onda je ovaj sistem sila ekvivalentan jednoj sili, odnosno sveden je na rezultantu. Neka Fo≠0, MOz ≠0 (sl. 5.4, a). Strelica luka na sl. 5.4, ​​ali simbolično prikazuje par sa momentom MOz. Predstavimo par sila, čiji je moment jednak glavnom momentu, u obliku dvije sile F1 i F`1, po veličini jednake glavnom vektoru Fo, tj. F1=F`1 =Fo. U tom slučaju ćemo jednu od sila (F`1) koje čine par primijeniti na centar redukcije i usmjeriti je u smjeru suprotnom od smjera sile Fo (slika 5.4, b). Tada je sistem sila Fo i F`1 ekvivalentan nuli i može se odbaciti. Dakle, dati sistem sila je ekvivalentan jedina sila F1 primijenjen na tačku 01; ova sila je rezultanta. Rezultantu ćemo označiti slovom R, tj. F1=R. Očigledno, udaljenost h od prethodnog centra redukcije O do linije djelovanja rezultante može se naći iz uvjeta |MOz|=hF1 =hFo, tj. h=|MOz|/Fo. Udaljenost h mora se odvojiti od tačke O tako da se moment para sila (F1, F`1) poklopi sa glavnim momentom MOz (sl. 5.4, b). Kao rezultat dovođenja sistema sila u dato središte, mogu se javiti sljedeći slučajevi: (1) Fo≠0, MOz≠0. U tom slučaju sistem sila se može svesti na jednu silu (rezultantu), kao prikazano na sl. 5.4, ​​c. (2) Fo≠0, MOz=0. U ovom slučaju, sistem sila se svodi na jednu silu (rezultantu) koja prolazi kroz dati centar redukcije. (3) Fo=0, MOz≠0. U ovom slučaju, sistem sila je ekvivalentan jednom paru sila. (4) Fo=0, MOz=0. U ovom slučaju, sistem sila koji se razmatra je ekvivalentan nuli, odnosno sile koje čine sistem su međusobno uravnotežene.

Varignon-ova teorema

Varignon-ova teorema. Ako se ravan sistem sila koji se razmatra svede na rezultantu, tada je moment ove rezultante u odnosu na bilo koju tačku jednak algebarskom zbiru momenata svih sila datog sistema u odnosu na istu tačku. Pretpostavimo da je sistem sila sveden na rezultantu R koja prolazi kroz tačku O. Uzmimo sada drugu tačku O 1 kao centar redukcije. Glavni moment (5.5) oko ove tačke jednak je zbiru momenata svih sila: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). S druge strane, imamo M O1Z =M Olz (R), (5.12) pošto je glavni moment za centar redukcije O jednak nuli (M Oz =0). Upoređujući relacije (5.11) i (5.12), dobijamo M O1z (R)=åM OlZ (F k); (5.13) itd. Koristeći Varignonovu teoremu, može se pronaći jednačina linije djelovanja rezultante. Neka se rezultantni R 1 primeni u nekoj tački O 1 sa koordinatama x i y (slika 5.5) i neka su poznati glavni vektor F o i glavni moment M O u centru redukcije na početku. Pošto je R 1 =F o, komponente rezultante duž x i y osa su jednake R lx =F Ox =F Ox i i R ly =F Oy =F oy j. Prema Varignonovoj teoremi, moment rezultante u odnosu na ishodište jednak je glavnom momentu u centru redukcije na početku, odnosno Moz =M Oz (R 1)=xF Oy –yF Ox. (5.14). Veličine M Oz, F Ox i Foy se ne mijenjaju kada se tačka primjene rezultante pomjeri duž njene linije djelovanja; stoga se koordinate x i y u jednačini (5.14) mogu posmatrati kao trenutne koordinate prave akcije rezultante. Dakle, jednadžba (5.14) je jednačina linije djelovanja rezultante. Kada je F ox ≠0 može se prepisati kao y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox).

Uslovi ravnoteže za ravan sistem sila

Neophodan i dovoljan uslov za ravnotežu sistema sila je jednakost glavnog vektora i glavnog momenta nuli. Za ravan sistem sila, ovi uslovi imaju oblik F o =åF k =0, M Oz =åM oz (F k)=0, (5.15), gdje je O proizvoljna tačka u ravni djelovanja sila . Dobijamo: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0, P ox =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0, M Oz =åM Oz (F k) = M oz (F 1)+M oz (F 2)+…+M oz (F n)=0, tj. Za ravnotežu ravnog sistema sila potrebno je i dovoljno da algebarski zbir projekcija svih sila na dvije koordinatne ose i algebarski zbir momenata svih sila u odnosu na proizvoljnu tačku budu jednaki nuli. Drugi oblik jednadžbe ravnoteže je jednakost sa nulom algebarskih suma momenata svih sila u odnosu na bilo koje tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji; åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, åM Cz (F k)=0, (5.17), gdje su A, B i C označene tačke. Neophodnost ispunjenja ovih jednakosti proizilazi iz uslova (5.15). Hajde da dokažemo njihovu dovoljnost. Pretpostavimo da su sve jednakosti (5.17) zadovoljene. Jednakost glavnog momenta nuli u centru redukcije u tački A moguća je ili ako se sistem svede na rezultantu (R≠0) i linija njegovog djelovanja prolazi kroz tačku A, ili R=0; Slično, jednakost glavnog momenta sa nulom u odnosu na tačke B i C znači da ili R≠0 i rezultanta prolaze kroz obje tačke, ili R=0. Ali rezultanta ne može proći kroz sve ove tri tačke A, B i C (po uslovu, one ne leže na istoj pravoj liniji). Prema tome, jednakosti (5.17) su moguće samo kada je R = 0, tj. sistem sila je u ravnoteži. Imajte na umu da ako tačke A, B i C leže na istoj pravoj, onda ispunjenje uslova (5.17) neće biti dovoljan uslov za ravnotežu - u ovom slučaju sistem se može svesti na rezultantu čija linija delovanja prolazi kroz ove tačke.

Treći oblik jednadžbi ravnoteže za ravan sistem sila

Treći oblik jednadžbi ravnoteže za ravan sistem sila je jednakost nuli algebarskih zbira momenata svih sila sistema u odnosu na bilo koje dvije tačke i jednakost nuli algebarskog zbira projekcija svih sile sistema na osi koja nije okomita na pravu koja prolazi kroz dvije odabrane tačke; åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, åF kx =0 (5.18) (os x nije okomita na segment A B) Slijedi potreba da se ispune ove jednakosti za ravnotežu sila direktno iz uslova (5.15). Potrudimo se da ispunjenje ovih uslova bude dovoljno za ravnotežu snaga. Iz prve dvije jednakosti, kao iu prethodnom slučaju, slijedi da ako sistem sila ima rezultantu, tada njegova linija djelovanja prolazi kroz tačke A i B (slika 5.7). Tada će projekcija rezultante na x-osu, koja nije okomita na segment AB, biti različita od nule. Ali ova mogućnost je isključena trećom jednačinom (5.18) budući da je R x =åF hx). Dakle, rezultanta mora biti jednaka nuli i sistem je u ravnoteži. Ako je x osa okomita na segment AB, tada jednačine (5.18) neće biti dovoljni uslovi ravnoteže, jer u ovom slučaju sistem može imati rezultantu čija linija djelovanja prolazi kroz tačke A i B. Dakle, sistem ravnoteže jednadžbe mogu sadržavati jednu jednadžbu momenata i dvije jednačine projekcija, ili dvije jednačine momenata i jednu jednačinu projekcija, ili tri jednačine momenata. Neka su linije djelovanja svih sila paralelne sa y-osi (slika 4.8). Tada će jednačine ravnoteže za razmatrani sistem paralelnih sila biti åF ky =0, åM Oz (F k)=0.(5.19). åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, (5.20) i tačke A i B ne bi trebale ležati na pravoj liniji paralelnoj sa y-osi. Sistem sila koje djeluju na čvrsto tijelo može se sastojati od koncentrisanih (izolovanih) sila i raspoređenih sila. Postoje sile raspoređene duž linije, po površini i po zapremini tijela.

Ravnoteža tijela u prisustvu trenja klizanja

Ako dva tijela I i II (slika 6.1) međusobno djeluju, dodirujući se u tački A, tada se uvijek reakcija R A, koja djeluje, na primjer, iz tijela II i primjenjuje na tijelo I, može razložiti na dvije komponente: N A, usmjerena duž zajedničke normale na površinu dodirujućih tijela u tački A, a T A koja leži u tangentnoj ravni. Komponenta N A naziva se normalna reakcija, sila T A naziva se sila trenja klizanja – sprečava da tijelo I klizi preko tijela II. U skladu sa aksiomom 4 (treći Newtonov zakon), na tijelo II djeluje reakciona sila jednake veličine i suprotnog smjera od tijela I. Njegova komponenta okomita na tangentnu ravan naziva se normalna sila pritiska. Sila trenja T A = 0 ako su dodirne površine savršeno glatke. U realnim uslovima, površine su hrapave i u mnogim slučajevima sila trenja se ne može zanemariti. Maksimalna sila trenja je približno proporcionalna normalnom pritisku, tj. T max =fN. (6.3) – Amonton-Coulomb zakon. Koeficijent f naziva se koeficijent trenja klizanja. Njegova vrijednost ne ovisi o površini dodirnih površina, već ovisi o materijalu i stupnju hrapavosti dodirnih površina. Sila trenja se može izračunati iz formule T=fN samo u slučaju kritičnog slučaja. U drugim slučajevima, silu trenja treba odrediti iz jednačina. Na slici je prikazana reakcija R (ovdje aktivne sile teže pomjeranju tijela udesno). Ugao j između granične reakcije R i normale na površinu naziva se ugao trenja. tgj=T max /N=f.

Geometrijsko mjesto svega mogućim pravcima granična reakcija R formira konusnu površinu - konus trenja (slika 6.6, b). Ako je koeficijent trenja f isti u svim smjerovima, tada će konus trenja biti kružni. U slučajevima kada koeficijent trenja f zavisi od smera mogućeg kretanja tela, konus trenja neće biti kružnog oblika. Ako je rezultanta aktivnih sila. nalazi se unutar konusa trenja, tada povećanje njegovog modula ne može narušiti ravnotežu tijela; Da bi se tijelo počelo kretati, potrebno je (i dovoljno) da rezultanta aktivnih sila F bude izvan konusa trenja. Razmotrimo trenje fleksibilnih tijela (slika 6.8). Ojlerova formula pomaže da se pronađe najmanja sila P koja može uravnotežiti silu Q. P=Qe -fj*. Takođe možete pronaći silu P sposobnu da savlada otpor trenja zajedno sa silom Q. U ovom slučaju, samo će se predznak f promijeniti u Ojlerovoj formuli: P=Qe fj*.

Ravnoteža tijela u prisustvu trenja kotrljanja

Razmotrimo cilindar (valjak) koji počiva na horizontalnoj ravni kada na njega djeluje horizontalna aktivna sila S; pored nje, djeluje sila gravitacije P, normalna reakcija N i sila trenja T (slika 6.10, a). Pri dovoljno malom modulu sile S, cilindar ostaje u mirovanju. Ali ova činjenica se ne može objasniti ako se zadovoljimo uvođenjem sila prikazanih na sl. 6.10, a. Prema ovoj shemi, ravnoteža je nemoguća, jer je glavni moment svih sila koje djeluju na cilindar M Cz = –Sr različit od nule, a jedan od uslova ravnoteže nije zadovoljen. Razlog za ovo neslaganje je to što zamišljamo ovo tijelo kao apsolutno čvrsto i pretpostavljamo da se kontakt cilindra s površinom dešava duž generatrikse. Da bi se otklonio uočeni nesklad između teorije i eksperimenta, potrebno je napustiti hipotezu o apsolutno krutom tijelu i uzeti u obzir da su u stvarnosti cilindar i ravnina blizu točke C deformirani i da postoji određena kontaktna površina od konačne širina. Kao rezultat toga, u svom desnom dijelu cilindar je pritisnut jače nego u lijevom, a puna reakcija R se primjenjuje desno od tačke C (vidi tačku C 1 na slici 6.10, b). Dobijeni dijagram djelujućih sila je statički zadovoljavajući, budući da se moment para (S, T) može izbalansirati momentom para (N, P). Za razliku od prve sheme (slika 6.10, a), na cilindar se primjenjuje par sila sa momentom M T = Nh (6.11). Ovaj moment se naziva momentom trenja kotrljanja. h=Sr/, gdje je h udaljenost od C do C 1. (6.13). Kako se aktivni modul sile S povećava, rastojanje h se povećava. Ali ova udaljenost je povezana s površinom kontakta i stoga se ne može povećavati beskonačno. To znači da će doći do stanja kada će povećanje sile S dovesti do neravnoteže. Označimo maksimalnu moguću vrijednost h slovom d. Vrijednost d je proporcionalna polumjeru cilindra i različita je za različite materijale. Dakle, ako dođe do ravnoteže, onda je uslov zadovoljen: h<=d.(6.14). d называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины. Условие (6.14) можно также записать в виде М т <=dN, или, учитывая (6.12), S<=(d/r)N.(6.15). Очевидно, что максимальный момент трения качения M T max =dN пропорционален силе нормального давления.

Centar paralelnih snaga

Uslovi za dovođenje sistema paralelnih sila na rezultantnu silu svode se na jednu nejednačinu F≠0. Šta se dešava sa rezultantom R kada se linije dejstva ovih paralelnih sila istovremeno rotiraju za isti ugao, ako tačke primene ovih sila ostanu nepromenjene, a rotacije linija delovanja sila se dešavaju oko paralelnih osa. Pod tim uslovima, rezultanta datog sistema sila takođe se istovremeno rotira pod istim uglom, a rotacija se dešava oko određene fiksne tačke, koja se naziva središte paralelnih sila. Pređimo na dokaz ove tvrdnje. Pretpostavimo da za razmatrani sistem paralelnih sila F 1 , F 2 ,...,F n glavni vektor nije jednak nuli, pa se ovaj sistem sila svodi na rezultantu. Neka je tačka O 1 bilo koja tačka na liniji djelovanja ove rezultante. Neka je sada r radijus vektor tačke 0 1 u odnosu na izabrani pol O, a r k radijus vektor tačke primene sile F k (slika 8.1). Prema Varignonovoj teoremi, zbir momenata svih sila sistema u odnosu na tačku 0 1 jednak je nuli: å(r k –r)xF k =0, tj. år k xF k –årxF k =år k xF k –råF k =0. Hajde da uvedemo jedinični vektor e, tada se bilo koja sila F k može predstaviti kao F k =F * k e (gdje je F * k =F h, ako se smjer sile F h i vektor e poklapaju, a F * k = –F h, ako su F k i e usmjereni jedan prema drugome); åF k =eåF * k . Dobijamo: år k xF * k e–rxeåF * k =0, odakle je [år k F * k –råF * k ]xe=0. Posljednja jednakost je zadovoljena za bilo koji smjer sila (tj. smjer jediničnog vektora e) samo pod uslovom da je prvi faktor jednak nuli: år k F * k –råF * k =0. Ova jednadžba ima jedinstveno rješenje u odnosu na radijus vektor r, koji određuje tačku primjene rezultante koja ne mijenja svoj položaj kada se linije djelovanja sila rotiraju. Ova tačka je centar paralelnih sila. Označavajući radijus vektor centra paralelnih sila kroz r c: r c =(år k F * k)/(åF * k)=(r 1 F * 1 +r 2 F * 2 +…+r n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n). Neka su x s, u s, z s – koordinate centra paralelnih sila, a x k, y k, z k – koordinate tačke primene proizvoljne sile F k; tada se koordinate centra paralelnih sila mogu naći iz formula:

x c =(x k F * k)/(F * k)=(x 1 F * 1 +x 2 F * 2 +…+x n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n ), y c =(y k F * k)/(F * k)=

=(y 1 F * 1 +y 2 F * 2 +…+y n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n), z c =

=(z k F * k)/(åF * k)=(z 1 F * 1 +z 2 F * 2 +…+z n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n)

Izrazi x k F * k , y k F * k , z k F * k nazivaju se statički momenti datog sistema sila, respektivno, u odnosu na koordinatne ravni yOz, xOz, xOy. Ako je ishodište koordinata odabrano u centru paralelnih sila, tada je x c ​​= y c = z c = 0, a statički momenti datog sistema sila jednaki su nuli.

Centar gravitacije

Tijelo proizvoljnog oblika koje se nalazi u polju gravitacije može se podijeliti na elementarne zapremine po presjecima paralelnim koordinatnim ravnima (slika 8.2). Ako zanemarimo veličinu tijela u odnosu na radijus Zemlje, onda se gravitacijske sile koje djeluju na svaki elementarni volumen mogu smatrati paralelnim jedna s drugom. Označimo sa DV k zapreminu elementarnog paralelepipeda sa centrom u tački M k (vidi sliku 8.2), a silu gravitacije koja djeluje na ovaj element sa DP k. Tada se prosječna specifična težina elementa zapremine naziva omjerom DP k /DV k. Skupljanjem paralelepipeda u tačku M k, dobijamo specifičnu težinu u datoj tački tela kao granicu prosečne specifične težine g(x k, y k, z k)=lim DVk®0 (8.10). Dakle, specifična težina je funkcija koordinata, tj. g=g(x, y, z). Pretpostavićemo da je pored geometrijskih karakteristika tela data i specifična težina u svakoj tački tela. Vratimo se razbijanju tijela na elementarne količine. Ako izuzmemo volumene onih elemenata koji graniče s površinom tijela, onda možemo dobiti stepenasto tijelo koje se sastoji od skupa paralelepipeda. Primijenimo silu gravitacije na centar svakog paralelepipeda DP k =g k DV k , gdje je g h specifična težina u tački tijela koja se poklapa sa centrom paralelepipeda. Za sistem od n paralelnih sila gravitacije formiran na ovaj način, može se pronaći centar paralelnih sila r (n) =(år k DP k)/(åDP k)= (r 1 DP 1 +r 2 DP 2 + …+r n DP n) / (DP 1 +DP 2 +…+DP n). Ova formula određuje položaj određene tačke C n. Težište je tačka koja je granična tačka za tačke C n na n®µ.

Statika je grana teorijske mehanike u kojoj se proučavaju uslovi ravnoteže materijalnih tela pod dejstvom sila.

U statici, stanje ravnoteže se shvata kao stanje u kome svi delovi mehaničkog sistema miruju (u odnosu na fiksni koordinatni sistem). Iako su metode statike primenljive i na pokretna tela, pa je uz njihovu pomoć moguće proučavati probleme dinamike, osnovni objekti proučavanja statike su stacionarna mehanička tela i sistemi.

Force je mjera uticaja jednog tijela na drugo. Sila je vektor koji ima tačku primjene na površini tijela. Pod uticajem sile slobodno telo dobija ubrzanje proporcionalno vektoru sile i obrnuto proporcionalno masi tela.

Zakon jednakosti akcije i reakcije

Sila kojom prvo tijelo djeluje na drugo jednaka je po apsolutnoj vrijednosti i suprotna po smjeru od sile kojom drugo tijelo djeluje na prvo.

Princip otvrdnjavanja

Ako je deformabilno tijelo u ravnoteži, onda njegova ravnoteža neće biti poremećena ako se tijelo smatra apsolutno čvrstim.

Statika materijalne tačke

Razmotrimo materijalnu tačku koja je u ravnoteži. I neka na njega djeluje n sila, k = 1, 2, ..., br.

Ako je materijalna tačka u ravnoteži, tada je vektorski zbroj sila koje djeluju na nju jednak nuli:
(1) .

U ravnoteži, geometrijski zbir sila koje djeluju na tačku je nula.

Geometrijska interpretacija. Ako stavite početak drugog vektora na kraj prvog vektora, a početak trećeg na kraj drugog vektora, a zatim nastavite ovaj proces, onda će kraj posljednjeg, n-og vektora biti poravnat sa početkom prvog vektora. Odnosno, dobijamo zatvorenu geometrijsku figuru, dužine stranica jednake su modulima vektora. Ako svi vektori leže u istoj ravni, onda ćemo dobiti zatvoreni poligon.

Često je zgodno odabrati pravougaoni koordinatni sistem Oxyz. Tada su zbroji projekcija svih vektora sila na koordinatne osi jednaki nuli:

Ako odaberete bilo koji smjer određen nekim vektorom, tada je zbroj projekcija vektora sile na ovaj smjer jednak nuli:
.
Pomnožimo jednačinu (1) skalarno vektorom:
.
Ovdje je skalarni proizvod vektora i .
Imajte na umu da je projekcija vektora na smjer vektora određena formulom:
.

Statika krutog tijela

Moment sile oko tačke

Određivanje momenta sile

Trenutak moći, primijenjen na tijelo u tački A, u odnosu na fiksni centar O, naziva se vektor jednak vektorskom proizvodu vektora i:
(2) .

Geometrijska interpretacija

Moment sile jednak je proizvodu sile F i kraka OH.

Neka se vektori i nalaze u ravni crtanja. Prema svojstvu vektorskog proizvoda, vektor je okomit na vektore, odnosno okomit na ravan crteža. Njegov smjer je određen pravilom desnog zavrtnja. Na slici je vektor momenta usmjeren prema nama. Apsolutna vrijednost momenta:
.
Od tada
(3) .

Koristeći geometriju, možemo dati drugačiju interpretaciju momenta sile. Da biste to učinili, povucite pravu liniju AH kroz vektor sile. Iz centra O spuštamo okomitu OH na ovu pravu liniju. Dužina ove okomice se zove rame snage. Onda
(4) .
Budući da su , tada su formule (3) i (4) ekvivalentne.

dakle, apsolutnu vrijednost momenta sile u odnosu na centar O je jednako proizvod sile po ramenu ova sila u odnosu na odabrani centar O.

Prilikom izračunavanja obrtnog momenta, često je zgodno rastaviti silu na dvije komponente:
,
Gdje . Sila prolazi kroz tačku O. Stoga je njen moment jednak nuli. Onda
.
Apsolutna vrijednost momenta:
.

Komponente momenta u pravougaonom koordinatnom sistemu

Ako odaberemo pravougaoni koordinatni sistem Oxyz sa centrom u tački O, tada će moment sile imati sljedeće komponente:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Evo koordinata tačke A u odabranom koordinatnom sistemu:
.
Komponente predstavljaju vrijednosti momenta sile oko osi, respektivno.

Svojstva momenta sile u odnosu na centar

Moment oko centra O, zbog sile koja prolazi kroz ovaj centar, jednak je nuli.

Ako se tačka primjene sile pomjeri duž linije koja prolazi kroz vektor sile, tada se trenutak takvim kretanjem neće promijeniti.

Moment iz vektorskog zbira sila primijenjenih na jednu tačku tijela jednak je vektorskom zbroju momenata svake od sila primijenjenih na istu tačku:
.

Isto važi i za sile čije se linije nastavljanja seku u jednoj tački.

Ako je vektorski zbir sila nula:
,
tada zbroj momenata ovih sila ne zavisi od položaja centra u odnosu na koji se momenti računaju:
.

Par sila

Par sila- to su dvije sile, jednake po apsolutnoj veličini i suprotnih smjerova, aplicirane na različite tačke tijela.

Par sila karakteriše trenutak kada stvaraju. Pošto je vektorski zbir sila koje ulaze u par jednak nuli, moment koji par stvara ne zavisi od tačke u odnosu na koju se moment izračunava. Sa stanovišta statičke ravnoteže, priroda sila uključenih u par nije bitna. Par sila se koristi da označi da na tijelo djeluje moment sile određene vrijednosti.

Moment sile oko date ose

Često postoje slučajevi kada ne moramo znati sve komponente momenta sile oko odabrane tačke, već samo trebamo znati moment sile oko odabrane ose.

Moment sile oko ose koja prolazi kroz tačku O je projekcija vektora momenta sile, u odnosu na tačku O, na pravac ose.

Svojstva momenta sile oko ose

Moment oko ose zbog sile koja prolazi kroz ovu osu jednak je nuli.

Moment oko ose zbog sile paralelne ovoj osi jednak je nuli.

Proračun momenta sile oko ose

Neka na tijelo u tački A djeluje sila. Nađimo moment ove sile u odnosu na osu O′O′′.

Konstruirajmo pravougaoni koordinatni sistem. Neka se Oz os poklapa sa O′O′′. Iz tačke A spuštamo okomicu OH na O′O′′. Kroz tačke O i A povlačimo os Ox. Osu Oy nacrtamo okomito na Ox i Oz. Razložimo silu na komponente duž osa koordinatnog sistema:
.
Sila seče O′O′′ osu. Stoga je njen moment jednak nuli. Sila je paralelna sa O′O′′ osom. Stoga je i njegov moment jednak nuli. Koristeći formulu (5.3) nalazimo:
.

Imajte na umu da je komponenta usmjerena tangencijalno na kružnicu čiji je centar tačka O. Smjer vektora određen je pravilom desnog zavrtnja.

Uslovi za ravnotežu krutog tijela

U ravnoteži, vektorski zbir svih sila koje djeluju na tijelo jednak je nuli, a vektorski zbir momenata ovih sila u odnosu na proizvoljno fiksno središte jednak je nuli:
(6.1) ;
(6.2) .

Naglašavamo da se centar O, u odnosu na koji se računaju momenti sila, može birati proizvoljno. Tačka O može ili pripadati tijelu ili se nalaziti izvan njega. Obično se bira centar O da bi proračun bio jednostavniji.

Uslovi ravnoteže mogu se formulisati i na drugi način.

U ravnoteži, zbir projekcija sila na bilo koji smjer specificiran proizvoljnim vektorom jednak je nuli:
.
Zbir momenata sila u odnosu na proizvoljnu osu O′O′′ je također jednak nuli:
.

Ponekad se takvi uslovi pokažu pogodnijim. Postoje slučajevi kada se odabirom osa mogu pojednostaviti proračuni.

Telo težišta

Razmotrimo jednu od najvažnijih sila - gravitaciju. Ovdje se sile ne primjenjuju na određenim tačkama tijela, već su kontinuirano raspoređene po njegovom volumenu. Za svako područje tijela sa beskonačno malim volumenom ΔV, djeluje sila gravitacije. Ovdje je ρ gustina tjelesne tvari i ubrzanje gravitacije.

Neka je masa beskonačno malog dijela tijela. I neka tačka A k odredi položaj ovog odseka. Nađimo veličine vezane za gravitaciju koje su uključene u jednadžbe ravnoteže (6).

Nađimo zbir sila gravitacije koje formiraju svi dijelovi tijela:
,
gdje je tjelesna masa. Dakle, zbir gravitacijskih sila pojedinačnih beskonačno malih dijelova tijela može se zamijeniti jednim vektorom gravitacijske sile cijelog tijela:
.

Nađimo zbir momenata gravitacije, na relativno proizvoljan način za odabrano središte O:

.
Ovdje smo uveli tačku C, koja se zove centar gravitacije tijela. Položaj centra gravitacije, u koordinatnom sistemu sa središtem u tački O, određuje se formulom:
(7) .

Dakle, pri određivanju statičke ravnoteže, zbir sila gravitacije pojedinih dijelova tijela može se zamijeniti rezultantom
,
primijenjen na centar mase tijela C, čiji je položaj određen formulom (7).

Položaj centra gravitacije za različite geometrijske figure može se naći u odgovarajućim referentnim knjigama. Ako tijelo ima os ili ravan simetrije, tada se težište nalazi na ovoj osi ili ravni. Dakle, težišta sfere, kruga ili kruga nalaze se u centrima krugova ovih figura. Težišta pravokutnog paralelepipeda, pravokutnika ili kvadrata također se nalaze u njihovim središtima - u točkama presjeka dijagonala.

Ravnomjerno (A) i linearno (B) raspoređeno opterećenje.

Postoje i slučajevi slični gravitaciji, kada se sile ne primjenjuju na određene točke tijela, već se kontinuirano raspoređuju po njegovoj površini ili zapremini. Takve sile se nazivaju raspoređene snage ili .

(Slika A). Također, kao iu slučaju gravitacije, može se zamijeniti rezultantnom silom veličine , primijenjenom u centru gravitacije dijagrama. Pošto je dijagram na slici A pravougaonik, težište dijagrama se nalazi u njegovom centru - tački C: | AC| = | CB|.

(Slika B). Također se može zamijeniti rezultantom. Veličina rezultante jednaka je površini dijagrama:
.
Tačka primjene je u centru gravitacije dijagrama. Težište trougla, visine h, nalazi se na udaljenosti od osnove. Zbog toga .

Sile trenja

Trenje klizanja. Neka tijelo bude na ravnoj površini. I neka je sila okomita na površinu kojom površina djeluje na tijelo (sila pritiska). Tada je sila trenja klizanja paralelna s površinom i usmjerena u stranu, sprječavajući kretanje tijela. Njegova najveća vrijednost je:
,
gdje je f koeficijent trenja. Koeficijent trenja je bezdimenzionalna veličina.

Trenje kotrljanja. Neka se telo okruglog oblika kotrlja ili može da se kotrlja po površini. I neka je sila pritiska okomita na površinu s koje površina djeluje na tijelo. Tada na tijelo, na mjestu dodira s površinom, djeluje moment sile trenja, sprječavajući kretanje tijela. Najveća vrijednost momenta trenja jednaka je:
,
gdje je δ koeficijent trenja kotrljanja. Ima dimenziju dužine.

Reference:
S. M. Targ, Kratki kurs iz teorijske mehanike, “Viša škola”, 2010.

Kao dio svakog obrazovnog predmeta, studij fizike počinje mehanikom. Ne iz teorijske, ne iz primijenjene ili računske, već iz dobre stare klasične mehanike. Ova mehanika se još naziva i Njutnova mehanika. Prema legendi, naučnik je šetao vrtom i vidio jabuku kako pada, a upravo ga je taj fenomen potaknuo da otkrije zakon univerzalne gravitacije. Naravno, zakon je oduvijek postojao, a Newton mu je samo dao oblik razumljiv ljudima, ali njegova zasluga je neprocjenjiva. U ovom članku nećemo što detaljnije opisivati ​​zakone Njutnove mehanike, već ćemo izložiti osnove, osnovna znanja, definicije i formule koje vam uvijek mogu pomoći.

Mehanika je grana fizike, nauka koja proučava kretanje materijalnih tijela i interakcije između njih.

Sama riječ je grčkog porijekla i prevedena je kao "umijeće izgradnje mašina". Ali prije nego što napravimo mašine, mi smo i dalje poput Mjeseca, pa hajde da krenemo stopama naših predaka i proučimo kretanje kamenja bačenog pod uglom prema horizontu i jabuka koje nam padaju na glavu sa visine h.

Zašto proučavanje fizike počinje mehanikom? Budući da je ovo potpuno prirodno, zar ne bismo trebali početi s termodinamičkom ravnotežom?!

Mehanika je jedna od najstarijih nauka, a istorijski proučavanje fizike počelo je upravo sa osnovama mehanike. Smješteni u okvire vremena i prostora, ljudi, zapravo, nisu mogli početi s nečim drugim, ma koliko željeli. Pokretna tijela su prva stvar na koju obraćamo pažnju.

Šta je kretanje?

Mehaničko kretanje je promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo tokom vremena.

Nakon ove definicije sasvim prirodno dolazimo do koncepta referentnog okvira. Promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo. Ključne riječi ovdje: jedni prema drugima . Na kraju krajeva, putnik u automobilu se kreće u odnosu na osobu koja stoji pored puta određenom brzinom, i miruje u odnosu na svog komšiju na sedištu pored njega, i kreće se nekom drugom brzinom u odnosu na putnika u automobilu koji ih pretiče.

Zato nam je potrebno, kako bismo normalno mjerili parametre pokretnih objekata i ne bismo se zbunili referentni sistem - kruto međusobno povezano referentno tijelo, koordinatni sistem i sat. Na primjer, Zemlja se kreće oko Sunca u heliocentričnom referentnom okviru. U svakodnevnom životu gotovo sva naša mjerenja provodimo u geocentričnom referentnom sistemu povezanom sa Zemljom. Zemlja je referentno tijelo u odnosu na koje se kreću automobili, avioni, ljudi i životinje.

Mehanika, kao nauka, ima svoj zadatak. Zadatak mehanike je da u svakom trenutku zna položaj tijela u prostoru. Drugim riječima, mehanika gradi matematički opis kretanja i pronalazi veze između fizičkih veličina koje ga karakteriziraju.

Da bismo krenuli dalje, potreban nam je koncept “ materijalna tačka " Kažu da je fizika egzaktna nauka, ali fizičari znaju koliko aproksimacija i pretpostavki treba napraviti da bi se složili upravo oko ove tačnosti. Niko nikada nije video materijalnu tačku ili pomirisao idealan gas, ali oni postoje! Sa njima je jednostavno mnogo lakše živjeti.

Materijalna tačka je tijelo čija se veličina i oblik mogu zanemariti u kontekstu ovog problema.

Sekcije klasične mehanike

Mehanika se sastoji od nekoliko sekcija

• Kinematika
• Dynamics
• Statika

Kinematika sa fizičke tačke gledišta, proučava tačno kako se telo kreće. Drugim riječima, ovaj dio se bavi kvantitativnim karakteristikama kretanja. Pronađi brzinu, putanju - tipični kinematički problemi

Dynamics rješava pitanje zašto se kreće na način na koji se kreće. To jest, razmatra sile koje djeluju na tijelo.

Statika proučava ravnotežu tijela pod utjecajem sila, odnosno odgovara na pitanje: zašto uopće ne pada?

Granice primjene klasične mehanike.

Klasična mehanika više ne tvrdi da je nauka koja sve objašnjava (na početku prošlog veka sve je bilo potpuno drugačije), i ima jasan okvir primenljivosti. Generalno, zakoni klasične mehanike vrijede u svijetu na koji smo navikli po veličini (makrosvijetu). Oni prestaju raditi u slučaju svijeta čestica, kada kvantna mehanika zamjenjuje klasičnu mehaniku. Također, klasična mehanika nije primjenjiva na slučajeve kada se kretanje tijela odvija brzinom bliskom brzini svjetlosti. U takvim slučajevima relativistički efekti postaju izraženi. Grubo rečeno, u okviru kvantne i relativističke mehanike – klasične mehanike, ovo je poseban slučaj kada su dimenzije tijela velike, a brzina mala. Više o tome možete saznati iz našeg članka.

Uopšteno govoreći, kvantni i relativistički efekti nikada ne nestaju; oni se takođe javljaju tokom običnog kretanja makroskopskih tela brzinom mnogo manjom od brzine svetlosti. Druga stvar je da je efekat ovih efekata toliko mali da ne ide dalje od najpreciznijih merenja. Klasična mehanika tako nikada neće izgubiti svoju temeljnu važnost.

Nastavit ćemo proučavati fizičke osnove mehanike u budućim člancima. Za bolje razumijevanje mehanike uvijek se možete obratiti njima, koji će pojedinačno rasvijetliti tamnu točku najtežeg zadatka.

Teorijska mehanika je dio mehanike koji postavlja osnovne zakone mehaničkog kretanja i mehaničke interakcije materijalnih tijela.

Teorijska mehanika je nauka koja proučava kretanje tela tokom vremena (mehanička kretanja). Služi kao osnova za druge grane mehanike (teorija elastičnosti, čvrstoće materijala, teorija plastičnosti, teorija mehanizama i mašina, hidroaerodinamika) i mnoge tehničke discipline.

Mehanički pokret- ovo je promena tokom vremena u relativnom položaju materijalnih tela u prostoru.

Mehanička interakcija- ovo je interakcija uslijed koje se mijenja mehaničko kretanje ili se mijenja relativni položaj dijelova tijela.

Statika krutog tijela

Statika je dio teorijske mehanike koji se bavi problemima ravnoteže čvrstih tijela i transformacije jednog sistema sila u drugi, njemu ekvivalentan.

Osnovni pojmovi i zakoni statike
• Apsolutno kruto tijelo(čvrsto tijelo, tijelo) je materijalno tijelo, rastojanje između bilo koje tačke u kojem se ne mijenja.
• Materijalna tačka je tijelo čije se dimenzije, prema uslovima problema, mogu zanemariti.
• Slobodno tijelo- ovo je tijelo na čije kretanje nisu nametnuta ograničenja.
• Neslobodno (vezano) tijelo je tijelo čije je kretanje podložno ograničenjima.
• Veze– to su tijela koja sprečavaju kretanje predmetnog objekta (tijela ili sistema tijela).
• Komunikacijska reakcija je sila koja karakterizira djelovanje veze na čvrsto tijelo. Ako silu kojom čvrsto tijelo djeluje na vezu smatramo djelovanjem, onda je reakcija veze reakcija. U ovom slučaju, sila - djelovanje se primjenjuje na vezu, a reakcija veze primjenjuje se na čvrsto tijelo.
• Mehanički sistem je skup međusobno povezanih tijela ili materijalnih tačaka.
• Solid se može posmatrati kao mehanički sistem čiji se položaji i rastojanja između tačaka ne menjaju.
• Force je vektorska veličina koja karakterizira mehaničko djelovanje jednog materijalnog tijela na drugo.
  Silu kao vektor karakterizira tačka primjene, smjer djelovanja i apsolutna vrijednost. Jedinica modula sile je Njutn.
• Linija djelovanja sile je prava linija duž koje je usmjeren vektor sile.
• Fokusirana snaga– sila primijenjena u jednoj tački.
• Raspodijeljene sile (distribuirano opterećenje)- to su sile koje djeluju na sve tačke volumena, površine ili dužine tijela.
  Distribuirano opterećenje je određeno silom koja djeluje po jedinici volumena (površine, dužine).
  Dimenzija raspoređenog opterećenja je N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Spoljna sila je sila koja djeluje iz tijela koje ne pripada mehaničkom sistemu koji se razmatra.
• Unutrašnja snaga je sila koja djeluje na materijalnu tačku mehaničkog sistema iz druge materijalne tačke koja pripada sistemu koji se razmatra.
• Sistem sile je skup sila koje djeluju na mehanički sistem.
• Ravni sistem sile je sistem sila čije linije djelovanja leže u istoj ravni.
• Prostorni sistem snaga je sistem sila čije linije djelovanja ne leže u istoj ravni.
• Sistem konvergirajućih sila je sistem sila čije se linije djelovanja seku u jednoj tački.
• Proizvoljni sistem sila je sistem sila čije se linije djelovanja ne seku u jednoj tački.
• Sistemi ekvivalentnih sila- to su sistemi sila čija zamjena jedne drugima ne mijenja mehaničko stanje tijela.
  Prihvaćena oznaka: .
• Equilibrium- ovo je stanje u kojem tijelo pod djelovanjem sila ostaje nepomično ili se kreće ravnomjerno pravolinijski.
• Uravnotežen sistem snaga- ovo je sistem sila koji, kada se primijeni na slobodno čvrsto tijelo, ne mijenja njegovo mehaničko stanje (ne izbacuje ga iz ravnoteže).
  .
• Rezultirajuća sila je sila čije je djelovanje na tijelo ekvivalentno djelovanju sistema sila.
  .
• Trenutak snage je veličina koja karakteriše rotirajuću sposobnost sile.
• Par sila je sistem dvije paralelne sile jednake veličine i suprotno usmjerene.
  Prihvaćena oznaka: .
  Pod uticajem para sila, telo će izvršiti rotacioni pokret.
• Projekcija sile na osu- ovo je segment zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu os.
  Projekcija je pozitivna ako se smjer segmenta poklapa s pozitivnim smjerom ose.
• Projekcija sile na ravan je vektor na ravni, zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu ravan.
• Zakon 1 (zakon inercije). Izolovana materijalna tačka miruje ili se kreće jednoliko i pravolinijski.
  Ujednačeno i pravolinijsko kretanje materijalne tačke je kretanje po inerciji. Stanje ravnoteže materijalne tačke i krutog tela ne shvata se samo kao stanje mirovanja, već i kao kretanje po inerciji. Za kruto tijelo postoje različite vrste kretanja po inerciji, na primjer, ravnomjerna rotacija krutog tijela oko fiksne ose.
• Zakon 2. Kruto tijelo je u ravnoteži pod djelovanjem dviju sila samo ako su te sile jednake po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž zajedničke linije djelovanja.
  Ove dvije sile se nazivaju balansiranjem.
  Općenito, sile se nazivaju uravnoteženim ako čvrsto tijelo na koje se te sile primjenjuju miruje.
• Zakon 3. Bez narušavanja stanja (reč „stanje“ ovde označava stanje kretanja ili mirovanja) krutog tela, može se dodati i odbaciti balansne sile.
  Posljedica. Bez narušavanja stanja čvrstog tijela, sila se može prenijeti duž njegove linije djelovanja na bilo koju tačku tijela.
  Dva sistema sila nazivaju se ekvivalentnima ako se jedan od njih može zamijeniti drugim bez narušavanja stanja čvrstog tijela.
• Zakon 4. Rezultanta dvije sile primijenjene u jednoj tački, primijenjene u istoj tački, jednaka je po veličini dijagonali paralelograma konstruiranog na tim silama i usmjerena je duž ove
  dijagonale.
  Apsolutna vrijednost rezultante je:
  
• Zakon 5 (zakon jednakosti akcije i reakcije). Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž iste prave linije.
  Treba to imati na umu akcija- sila primijenjena na tijelo B, And opozicija- sila primijenjena na tijelo A, nisu izbalansirani, jer se primjenjuju na različita tijela.
• Zakon 6 (zakon očvršćavanja). Ravnoteža nečvrstog tijela se ne narušava kada se očvrsne.
  Ne treba zaboraviti da su uslovi ravnoteže, koji su neophodni i dovoljni za čvrsto telo, neophodni, ali nedovoljni za odgovarajuće nečvrsto telo.
• Zakon 7 (zakon emancipacije od veza). Neslobodno čvrsto tijelo može se smatrati slobodnim ako je mentalno oslobođeno veza, zamjenjujući djelovanje veza odgovarajućim reakcijama veza.

Veze i njihove reakcije
• Glatka površina ograničava kretanje normalno na površinu potpore. Reakcija je usmjerena okomito na površinu.
• Zglobni pokretni oslonac ograničava kretanje tijela normalno na referentnu ravan. Reakcija je usmjerena normalno na površinu potpore.
• Zglobni fiksni oslonac suprotstavlja se svakom kretanju u ravni okomitoj na os rotacije.
• Zglobni bestežinski štap sprečava kretanje tijela duž linije štapa. Reakcija će biti usmjerena duž linije štapa.
• Slijepi pečat sprečava svako kretanje i rotaciju u ravnini. Njegovo djelovanje može se zamijeniti silom predstavljenom u obliku dvije komponente i parom sila s momentom.

Kinematika

Kinematika- dio teorijske mehanike koji ispituje opća geometrijska svojstva mehaničkog kretanja kao procesa koji se odvija u prostoru i vremenu. Pokretni objekti se smatraju geometrijskim tačkama ili geometrijskim tijelima.

Osnovni pojmovi kinematike
• Zakon o kretanju tačke (tela)– ovo je zavisnost položaja tačke (tijela) u prostoru od vremena.
• Putanja tačke– ovo je geometrijski položaj tačke u prostoru tokom njenog kretanja.
• Brzina tačke (tijela)– ovo je karakteristika promjene u vremenu položaja tačke (tijela) u prostoru.
• Ubrzanje tačke (tijela)– ovo je karakteristika promjene u vremenu brzine tačke (tijela).

Određivanje kinematičkih karakteristika tačke
• Putanja tačke
  U vektorskom referentnom sistemu, putanja se opisuje izrazom: .
  U koordinatnom referentnom sistemu, putanja je određena zakonom kretanja tačke i opisana je izrazima z = f(x,y)- u svemiru, ili y = f(x)- u avionu.
  U prirodnom referentnom sistemu, putanja je unaprijed specificirana.
• Određivanje brzine tačke u vektorskom koordinatnom sistemu
  Kada se specificira kretanje tačke u vektorskom koordinatnom sistemu, omjer kretanja i vremenskog intervala naziva se prosječna vrijednost brzine u ovom vremenskom intervalu: .
  Uzimajući vremenski interval kao beskonačno malu vrijednost, dobijamo vrijednost brzine u datom trenutku (trenutna vrijednost brzine): .
  Vektor prosječne brzine usmjeren je duž vektora u smjeru kretanja točke, a vektor trenutne brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke.
  zaključak: brzina tačke je vektorska veličina jednaka vremenskom izvodu zakona kretanja.
  Svojstvo derivata: derivacija bilo koje veličine u odnosu na vrijeme određuje brzinu promjene ove veličine.
• Određivanje brzine tačke u koordinatnom referentnom sistemu
  Brzina promjene koordinata tačke:
  .
  Modul ukupne brzine tačke sa pravougaonim koordinatnim sistemom biće jednak:
  .
  Smjer vektora brzine određen je kosinusima uglova smjera:
  ,
  gdje su uglovi između vektora brzine i koordinatnih osa.
• Određivanje brzine tačke u prirodnom referentnom sistemu
  Brzina tačke u prirodnom referentnom sistemu definisana je kao derivacija zakona kretanja tačke: .
  Prema prethodnim zaključcima, vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke i u osi je određen samo jednom projekcijom.

Kinematika krutog tijela
• U kinematici krutih tijela rješavaju se dva glavna problema:
  1) postavljanje kretanja i određivanje kinematičkih karakteristika tela u celini;
  2) određivanje kinematičkih karakteristika tačaka tela.
• Translacijsko kretanje krutog tijela
  Translacijsko kretanje je kretanje u kojem prava linija povučena kroz dvije točke tijela ostaje paralelna svom prvobitnom položaju.
  Teorema: za vrijeme translacijskog kretanja, sve točke tijela kreću se po identičnim putanjama i u svakom trenutku imaju istu veličinu i smjer brzine i ubrzanja.
  zaključak: translacijsko gibanje krutog tijela određeno je kretanjem bilo koje njegove tačke, pa se stoga zadatak i proučavanje njegovog kretanja svodi na kinematiku tačke.
• Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose
  Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose je kretanje krutog tijela u kojem dvije tačke koje pripadaju tijelu ostaju nepomične za cijelo vrijeme kretanja.
  Položaj tijela je određen uglom rotacije. Mjerna jedinica za ugao je radijan. (Radijan je središnji ugao kruga čija je dužina luka jednaka poluprečniku; ukupni ugao kružnice sadrži 2π radijan.)
  Zakon rotacionog kretanja tijela oko fiksne ose.
  Ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje tijela određujemo metodom diferencijacije:
  — ugaona brzina, rad/s;
  — ugaono ubrzanje, rad/s².
  Ako secirate tijelo ravninom okomitom na os, odaberite tačku na osi rotacije WITH i proizvoljna tačka M, zatim pokažite Mće opisati oko tačke WITH radijus kruga R. Tokom dt postoji elementarna rotacija kroz ugao , i tačka M kretat će se duž putanje na udaljenosti .
  Modul linearne brzine:
  .
  Ubrzanje tačke M sa poznatom putanjom, određen je njegovim komponentama:
  ,
  Gdje .
  Kao rezultat, dobijamo formule
  tangencijalno ubrzanje: ;
  normalno ubrzanje: .

Dynamics

Dynamics je dio teorijske mehanike u kojem se proučavaju mehanička kretanja materijalnih tijela ovisno o uzrocima koji ih uzrokuju.

Osnovni pojmovi dinamike
• Inercija- ovo je svojstvo materijalnih tijela da održavaju stanje mirovanja ili ravnomjernog pravolinijskog kretanja sve dok vanjske sile ne promijene ovo stanje.
• Težina je kvantitativna mjera inercije tijela. Jedinica mase je kilogram (kg).
• Materijalna tačka- ovo je tijelo sa masom, čije se dimenzije zanemaruju pri rješavanju ovog problema.
• Centar mase mehaničkog sistema- geometrijska tačka čije su koordinate određene formulama:
  
  Gdje m k , x k , y k , z k— masa i koordinate k- ta tačka mehaničkog sistema, m— masa sistema.
  U jednoličnom polju gravitacije, položaj centra mase se poklapa sa položajem težišta.
• Moment inercije materijalnog tijela u odnosu na osu je kvantitativna mjera inercije tokom rotacionog kretanja.
  Moment inercije materijalne tačke u odnosu na osu jednak je umnošku mase tačke na kvadrat udaljenosti tačke od ose:
  .
  Moment inercije sistema (tijela) u odnosu na osu jednak je aritmetičkom zbiru momenata inercije svih tačaka:
  
• Sila inercije materijalne tačke je vektorska veličina jednaka po modulu proizvodu mase tačke i modula ubrzanja i usmjerena suprotno od vektora ubrzanja:
• Sila inercije materijalnog tijela je vektorska veličina jednaka po modulu proizvodu mase tijela i modula ubrzanja centra mase tijela i usmjerena suprotno vektoru ubrzanja centra mase: ,
  gdje je ubrzanje centra mase tijela.
• Elementarni impuls sile je vektorska veličina jednaka proizvodu vektora sile i beskonačno malog vremenskog perioda dt:
  .
  Ukupni impuls sile za Δt jednak je integralu elementarnih impulsa:
  .
• Elementarni rad sile je skalarna veličina dA, jednako skalarnom proi