Test suma i proizvod permutacije faktora. Priča o ruskoj matematici, ljubaznom seljaku i glupim mušterijama. Problemi sa pronalaženjem sume

Kako je smiješno gledati kako kipi govna u glavama ljudi koji su daleko od matematike, fizike, prirodne nauke općenito i o metodama njihovog podučavanja u srednjim školama.

Govorim o široko rasprostranjenoj raspravi o "nepravednoj" procjeni nastavnika o ovom rješenju jednostavnog problema:

Kada ljudi vide takvu procjenu, u njihovim glavama obično nastane kognitivna disonanca zbog činjenice da se većina, iako intuitivno, sjeća da je operacija množenja komunikativna, tj. Preuređivanje mjesta faktora ne mijenja proizvod, tj. a*b = b*a.

Ali ovdje morate shvatiti da problem o kojem se raspravlja spada u kategoriju najosnovnijih, kada dijete ne samo da ne poznaje svojstva množenja, već se tek prvi put susrelo s konceptom množenja, predstavljenim kao dodavanje identičnih pojmova.

Dakle, sa matematičke tačke gledišta, rješenje problema bi trebalo izgledati ovako:

2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l = 2l * 9 = 18l

A redoslijed faktora je zaista važan za razumijevanje operacije množenja. I to nije hira modernih ruskih metodologa. Upravo ovo su pisali u udžbenicima matematike prije 130 godina: § 42. Šta je množenje. Množenje je sabiranje identičnih članova. U ovom slučaju, broj koji se ponavlja kao sabirak naziva se množenik (množi se), a broj koji pokazuje koliko je takvih identičnih sabiraka uzeto naziva se množitelj.(Kiselev, prvo izdanje 1884).

O istome se pisalo u komunističkim udžbenicima početkom prošlog vijeka (Dr pedagoški institut njima. Herzen, I.N. Kavun, N.S. Popova, "Metodika nastave aritmetike. Za nastavnike osnovnih škola i studente pedagoških fakulteta." Odobren od strane Narodnog komesarijata obrazovanja RSFSR-a, 1934.):

Očigledno je da rješenje koje je učenik predložio pokazuje njegovo nerazumijevanje suštine operacije množenja, što je nastavnik shodno tome ocijenio.

Čak i pod pretpostavkom da je učenik genije i sam je pretpostavio (ili čak znao) o komunikativnoj prirodi operacije množenja, njegovo rješenje je i dalje netačno. Poenta je da je u odluci napisao:

onda bi odgovor bio tačan. Međutim, litre, kao dimenzija, nema na lijevoj strani jednadžbe i pojavljuju se niotkuda na desnoj. Snimak je

u ovom slučaju je ispravno, uprkos odsustvu dimenzije (l) na lijevoj strani, jer ova dimenzija je izostavljena na osnovu početnih uslova zadatka, što implicira da će dimenzija odgovora biti ista kao i dimenzija množenika, koji je uvijek prvi.

Inače, nerazumijevanje dimenzija dovodi do tužnih posljedica u odraslom životu. Pročitajte ljutiti opus biglebowsky koji sa samodopadljivim osmehom piše potpune gluposti, računajući put koji je automobil prešao za 2 sata brzinom od 60 kilometara na sat: S = 60 km/h * 2 h = 120 km/h. Zatim se prisjećamo fizičkog značenja problema i odbacujemo rep rješenja “/h”.

A takvi nepismeni ljudi, koji ne razumiju elementarnu matematiku i fiziku, smatraju mogućim i prihvatljivim kritikovati vek i po metode učenja dece osnovama matematike.

Štaviše, oni sami (a i svi vi) su u svoje vrijeme učili množenje u školi. U SSSR-u je postojao jedan udžbenik za sve škole i u njemu je bio važan redoslijed faktora prilikom proučavanja operacije množenja. I na isti način su smanjene ocjene za faktore preraspodjele, jer je to pokazivalo nerazumijevanje suštine operacije množenja učenika i ukazivalo na jednostavan odabir faktora, bez razumijevanja suštine fenomena.

Druga stvar je što kasnije, nakon proučavanja zakona množenja i učvršćivanja znanja o komunikativnosti opcije množenja, vještina ispravnog pisanja faktora postaje nepotrebna i zaboravlja se. Ali ne smijemo zaboraviti na ispravnu dimenziju. Na kraju krajeva, sve dalje studije fizike su izgrađene na tome.

Općenito, želio sam prenijeti jednostavnu ideju. Ako osoba ne razumije šta mu učitelj govori, onda, po pravilu, nije kriv učitelj, već problem osobe.

Način na koji se djeca upoznaju sa ovim pravilom (zakonom) određen je prethodno uvedenim značenjem radnje množenja. Koristeći objektne modele skupova, djeca izračunavaju rezultate grupiranja svojih elemenata na različite načine, pazeći da se rezultati ne mijenjaju prilikom promjene metoda grupisanja.

Brojanje elemenata slike (skupa) u parovima horizontalno poklapa se sa brojanjem elemenata u trojkama vertikalno. Razmatranje nekoliko varijanti sličnih slučajeva daje nastavniku osnovu da napravi induktivnu generalizaciju (tj. generalizaciju nekoliko posebnih slučajeva u generalizovanom pravilu) da preraspoređivanje faktora ne mijenja vrijednost proizvoda.

Na osnovu ovog pravila, koje se koristi kao metoda brojanja, sastavlja se tablica množenja sa 2.

Na primjer: Koristeći tablicu množenja za broj 2, izračunajte i zapamtite tablicu množenja za 2:

Na osnovu iste tehnike sastavlja se tablica množenja sa 3:

Kompilacija prve dvije tabele je raspoređena na dvije lekcije, što shodno tome povećava vrijeme predviđeno za njihovo pamćenje. Svaka od posljednje dvije tabele sastavlja se u jednoj lekciji, jer se pretpostavlja da djeca, poznavajući originalnu tabelu, ne trebaju posebno pamtiti rezultate tabela dobijenih preraspoređivanjem faktora. U stvari, mnoga djeca uče svaku tablicu zasebno, jer im nedovoljan nivo razvoja fleksibilnosti mišljenja ne dozvoljava da lako rekonstruiraju model zapamćenog dijagrama tablice obrnutim redoslijedom. Kada se računaju slučajevi oblika 9 2 ili 8 3, djeca se ponovo vraćaju na sekvencijalno sabiranje, za koje je prirodno potrebno vrijeme da se dobije rezultat. Ova situacija je najvjerovatnije generirana činjenicom da kod značajnog broja djece ovakvo odvajanje u vremenu međusobno povezanih slučajeva množenja (onih povezanih pravilom preuređivanja faktora) ne dozvoljava formiranje asocijativnog lanca usmjerenog posebno na međusobno povezivanje. .

Prilikom sastavljanja tablice množenja za broj 5 u 3. razredu, samo se prvi proizvod dobija dodavanjem identičnih članova: 5 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25. Preostali slučajevi se dobijaju dodavanjem pet na prethodni rezultat:

5 6 = 5 5+ 5 = 30 5 7 = 5 6+ 5 = 35 5 8 = 5 7 + 5 = 40 5 9 = 5 8 + 5 = 45

Istovremeno sa ovom tablicom sastavlja se međusobno povezana tablica množenja za 5: 6 5; 7 5; 8 5; 9 5.

Tablica množenja za broj 6 sadrži četiri slučaja: 6 6; 6 7; 6 8; 6 9.

Tablica množenja 6 sadrži tri slučaja: 7 6; 8 6; 9 6.

Teorijski pristup Takva konstrukcija sistema za proučavanje tabličnog množenja pretpostavlja da će se u toj korespondenciji dijete sjetiti slučajeva tabličnog množenja.

Najlakša za pamćenje tablica množenja za broj 2 sadrži najveći broj slučajeva, a najteža tablica množenja za broj 9 sadrži samo jedan slučaj. U stvarnosti, uzimajući u obzir svaki novi “dio” tablice množenja, nastavnik obično vraća cijeli volumen svake tablice (svi slučajevi). Čak i ako nastavnik skrene pažnju djeci na činjenicu da je novi padež u ovoj lekciji, na primjer, samo padež 9 9,a 9 8, 9 7it. predmeti su proučavani u prethodnim lekcijama, većina djece cijeli predloženi volumen doživljava kao materijal za novo učenje. Tako je, zapravo, za mnogo djece tablica množenja za broj 9 najveća i najsloženija (i to je zaista slučaj, ako imate na umu popis svih slučajeva koji se na nju odnose).

Velika količina materijala koji zahtijeva pamćenje, poteškoće u formiranju asocijativnih veza pri pamćenju međusobno povezanih padeža, potreba da sva djeca ostvare solidno pamćenje svih tabelarnih padeža napamet u vremenskim okvirima utvrđenim programom - sve to čini temom proučavanje tabelarnog množenja u osnovna škola jedan od metodološki najkompleksnijih. U tom smislu, važna su pitanja vezana za to kako dijete pamti tablicu množenja.

Demonstracioni čas iz matematike u 2. razredu

Routing lekcija iz matematike

u 2. razredu na temu “Permutacija faktora”

Stavka: matematike klasa: 2-a

Tema lekcije : Preuređenje množitelja.

Cilj: stvaranje uslova da učenici postignu obrazovnim rezultatima:

- lični: 1) imati pozitivan stav prema školi i učenju; pokazati kognitivne potrebe i motive za učenje; Budite organizovani i disciplinovani na času.

2) pokazati pažnju i strpljenje prema sagovorniku, sposobnost samoprocjene svojih aktivnosti.

- meta-predmet:

Kognitivni UUD:moj nova znanja, pronaći potrebne informacije, procesne informacije (analiza, poređenje) predstavljene u različitim oblicima.

Regulatorni UUD:zajedno sa nastavnikom otkriti i formulirati obrazovni problem,odredite svrhu vašeg rada, procijenite svoj rezultat i rezultat svojih drugova, razlikovati ispravno obavljen zadatak od netačnog.

Komunikacija UUD:slušajte i uključite se u dijalog,braniti svoj stav, izraziti svoje mišljenje, učestvovati u grupnoj diskusiji,sarađivati ​​u parovima, govoriti pred razredom,

- predmet: razumjeti šta je "komutativno svojstvo množenja", biti u stanju da ga primijeni, konsoliduje značenje radnje množenja i razvije računske vještine u mentalnom proračunu.

Ciljevi lekcije:

upoznavanje učenika sa komutativnim svojstvom množenja na konkretnim primjerima;

razviti sposobnost primjene u praksi; konsolidovati značenje množenja;

razvoj matematičkog govora zasnovanog na korištenju proučavanog obrasca; razvijaju računske vještine, mentalne operacije poređenja, klasifikacije;

Metode i oblici obuke : Objašnjavajuće i ilustrativno; individualna, frontalna, parna soba.

Tehnike organizovanja obrazovnih aktivnosti učenika: traženje novih znanja kroz intervjue i rad u paru; samostalan rad uz pedagošku podršku za one učenike kojima je to potrebno

Tokom nastave:

(etape lekcije

Aktivnosti nastavnika

Aktivnost
studenti

Planirani rezultati

1.Motivacija za aktivnosti učenja .

Prijem: izražavanje dobrih želja učenicima

Zvono nas je sve pozvalo u razred,

Imamo lekciju matematike.

Hajde da razmislimo i razmislimo.

Vrijeme je da započnemo našu lekciju.

Želite naučiti nešto novo? (da)

Tako da svi mogu sjesti!

Započnimo našu lekciju.

Budite pažljivi, aktivni i marljivi, svi.

Otvorite svoje sveske i zapišite broj i razredni rad.

Izrazite dobre želje jedni drugima.

Zapišite datum i vrstu posla.

Organiziranje vremena.

Umeti da se zajednički dogovorimo o pravilima komunikacijskog ponašanja u školi i da ih poštujemo.

Ažuriranje znanja.

Pogledajte numeričke izraze

(Slajd)

2 + 2 + 2 + 2

5 + 5 + 55 + 5

6 + 6 + 6

Pronađite dodatni izraz.

Zašto ste odabrali treći izraz?

Šta je zajedničko svim izrazima?

Kojom radnjom se može zamijeniti zbir identičnih pojmova?

Predstavite sume kao proizvod i pronađite vrijednosti.

Provjera sa slajda(slajd)

Od čega se sastoji rad?

Šta proizlazi iz akcije množenja?

S kojom akcijom nastavljamo da radimo?

Nađite nepotreban izraz.

- uslovi nisu isti

-množenje

2*4=8

6*3=18

-Od množitelja.

-smisao rada

-Sa akcijom množenja

(komunikacijski UUD)

Biti u stanju izgovoriti sekvenciranje,

nagađaj.(Regulatorni UUD)

Budite sposobni verbalno formulisati svoje misli.(komunikacijski UUD)

Formulacija problema. Tema lekcije.

Postavljanje ciljeva

Na vašim stolovima su koverte (Koverta br. 1)

Analizirajte sadržaj koverte, šta već znate?

ŠtaVama je nepoznat i nov.

Ono što smo naučili, znamo, vratimo u kovertu.

A ono što je novo ostavite pred vama.

Koju temu ćemo raditi?

Kako će nam to pomoći provjeriti temu lekcije?

Hajde da proverimo i uporedimo da li smo u pravu.

Hajde da definišemo ciljeve naše lekcije.

- Šta treba da znamo?

- Šta ćemo onda naučiti?

Pokušajmo na početku lekcije procijeniti naše znanje o temi. I onda poredimo rezultat na kraju lekcije na kraju lekcije.

Izvršite zadatak u koverti br.1

Provjerite na slajdu

- sadržaj udžbenika

Šta je permutacija faktora?

Naučite primijeniti pravilo kada obavljate različite zadatke

Budite sposobni verbalno formulisati svoje misli.(komunikacijski UUD)

Budite u mogućnosti da se krećete svojim sistemom znanja: razlikujete novo od već poznatog.(kognitivni UUD)

Inicijalna provjera znanja o temi

Pokušajmo na početku lekcije procijeniti naše znanje o temi. I onda poredimo rezultat na kraju lekcije na kraju lekcije.

Znanje se provjerava na početku časa.

(semafori)

(Lični UUD)

Otkrivanje novih znanja.

Sada ćemo se malo igrati vojnika. Radit ćemo u parovima.

Na vašim stolovima su mali vojnici u kovertama. (koverat br. 2)

Pokušajte (u parovima) rasporediti sve vojnike u kolonu od 2

Šta ste radili7 Ko može demonstrirati na tabli na primjeru mornara?

(Opcija 2: Ako je djeci teško, otvorite njihove udžbenike)

Pogledajte ilustraciju na kojoj se Maša i Miša igraju vojnika i svađaju.

Miša kaže svojoj sestri da je rasporedio vojnike u 2 reda, svaki sa po 5 vojnika. Ali Maša vjeruje da su vojnici postrojeni u 5 redova. U svakom redu su po 2 vojnika. Koje je dijete u pravu?

Zapisati ukupan broj vojnika u formi djeladva načina.

- Može li se reći da će vrijednosti proizvoda biti jednake?

Koji znak treba da stavimo između radova? Zašto?

5*2=2*5

Kako možete provjeriti da je ova jednakost istinita?

Šta vas je iznenadilo?

Mi smo istraživači! Hajde da proverimo da li je ova izjava tačna za druge izraze?

Rad u paru sa vojnicima

Dajem vam vremena da završite zadatak.

Objašnjenje na tabli.

Djeca objašnjavaju novi materijal na tabli

Slušamo mišljenje djece i predlažemo da čips rasporede na isti način kao što stoje vojnici

Dvoje djece zapisuje dvije opcije na tabli

Provjeravamo usmeno i pišemo na tabli: 5 2 I 2 5

- Da, pošto je ovo isti broj vojnika.

- Multiplikatori su isti, samo se zamjenjuju,

Zamijenite množenje zbirom identičnih članova.

Možete pozvati dva učenika na ploču, tražeći od jednog da izračuna vrijednost proizvoda 5 2, a drugog da izračuna 2 5 (5 2 = 5 + 5 = 10, 2 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10).

Faktori su zamijenjeni, ali vrijednost proizvoda je ista

Znati izgovoriti redoslijed radnji u lekciji.(Regulatorni UUD)

Primarna konsolidacija.

Primena znanja

Provjerimo još jednom naše pretpostavke (otkrića).

Uradimo zadatak br. 2

3 žlice. - 1 red

4 st. - 2. red.

5 st. - 3 red

Koje pravilo ste koristili da biste izvršili ovaj zadatak?

- Jesu li naša otkrića potvrđena?

Kakav zaključak se može izvući?

- Uporedimo naše pretpostavke sa pravilom iz udžbenika na 109. strani.

Znate li kako se u matematici nazivaju faktori preraspodjele? Komutativno svojstvo množenja ili komutativni zakon množenja.

Zadatak br. 3 (usmeni)

2 8 = 8 2

9 4 = 4 9

5 3 = 3 5

8 4 = 4 8

5 9 = 9 5

3 7 = 7 3

Izvedite 1 i 2 kolone - zajedno na tabli.

Zamijenite sveske sa komšijom i ocijenite njegov rad (međusobna provjera).

pravilo za preuređivanje faktora

Oni zaključuju: Preuređivanje faktora ne mijenja vrijednost proizvoda.

Pročitajte pravilo

Budite u stanju da usmeno i pismeno izrazite svoje misli: slušajte i razumite govor drugih ( Komunikativni UUD), (Regulatorni UUD)

Budite sposobni verbalno formulisati svoje misli. (Komunikativni UUD

Samokontrola

Evaluacija rezultata

njihovih postupaka

Zadatak br. 4 (U-1, str. 109)

Koristeći stečeno znanje. Dovršite zadatak sami.

- Pročitajmo tekst zadatka. (Pronađite vrijednosti prvog proizvoda) Kako ćemo to učiniti?(

Na tabli ilustriramo uzorak pisanog oblika usmenog odgovora.

Samopotvrda(odgovori na slajdu)

Ko je napravio dve greške - 4

Ko je napravio 3 greške - 3

Samostalan rad.

Možete organizovati rad u paru

Ako je vašoj djeci teško, pitajte svog komšiju!

-Da bismo pronašli vrijednost proizvoda 5 4 smo koristili

jednakost 4 5 = 20.)

5 4 = 4 5 = 20.

Učenici samostalno pronalaze preostala značenja djela i prave bilješke

Ocijenite obavljeni zadatak

Znati izgovoriti redoslijed radnji u razredu i izraziti svoje nagađanje. (Regulatorni UUD)

Budite u stanju da procenite svoje postupke, svoje pretpostavke. (Regulatorni UUD)

Odraz aktivnosti. Sažetak lekcije

Koji zadatak je dobio na lekciji?

Jeste li uspjeli ostvariti svoj cilj?

Gdje ćemo koristiti novo svojstvo množenja?

Čiji su se rezultati promijenili? Dopuni rečenice….

Hvala na lekciji!

Ocjenjivanje korištenjem semafora.

Sposobnost samoocenjivanja na osnovu kriterijuma uspešnosti u vaspitno-obrazovnim aktivnostima (Lični UUD)

Definicija. Množenje je radnja pronalaženja zbira identičnih članova. Pomnožite broj A po broju b znači pronaći zbir b termini, od kojih je svaki jednak a.

Brojevi koji se množe nazivaju se faktori (ili faktori), a rezultat množenja naziva se proizvod.

At množenje prirodni brojevi proizvod je uvijek pozitivan broj. Ako je jedan od faktora jednak 0 (nula), onda je proizvod jednak 0. Ako je proizvod jednak nuli, tada je barem jedan od faktora jednak 0.

Ako je jedan od dva faktora jednak 1 (jedan), onda rad jednak drugom faktoru.

• Na primjer:
• 5 * 6 * 8 * 0 = 0
• 132 * 1 = 132

Zakoni množenja

Pravo kombinacije

Pravilo. Da pomnožite proizvod dva faktora sa trećim faktorom, možete pomnožiti prvi faktor sa proizvodom drugog i trećeg faktora.

• Na primjer:
• (7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210
• (a * b) * c = a * (b * c)

Zakon o putovanju

Pravilo. Preuređivanje faktora ne mijenja proizvod.

• Na primjer:
• 7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210
• a * b * c = c * b * a

Distributivno pravo

Pravilo. Da pomnožite broj sa zbrojem, možete pomnožiti ovaj broj sa svakim od pojmova i dodati rezultirajuće proizvode.

• Na primjer:
• 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77
• a * (b + c) = ab + ac

Distributivni zakon se također primjenjuje na radnju oduzimanja.

• Na primjer:
• 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7

Zakoni množenja primjenjuju se na bilo koji broj faktora u numeričkom ili alfabetskom izrazu. Distributivni zakon množenja koristi se da se zajednički faktor izvuče iz zagrada.

Pravilo. Da bi se zbir (razlika) pretvorio u proizvod, dovoljno je da se isti faktor članova izvadi iz zagrada, a preostale faktore upiše u zagrade kao zbir (razlika).