Tačka u kojoj je derivacija funkcije nula. Derivat funkcije. Geometrijsko značenje derivacije. Koncept povećanja, smanjenja, maksimuma, minimuma funkcije

Sergej Nikiforov

Ako je derivacija funkcije konstantnog predznaka na intervalu, a sama funkcija je kontinuirana na svojim granicama, tada se granične točke dodaju i rastućim i opadajućim intervalima, što u potpunosti odgovara definiciji rastućih i opadajućih funkcija.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Zdravo. Kako (na osnovu čega) možemo reći da u tački gdje je derivacija jednaka nuli, funkcija raste. Navedite razloge. Inače, to je samo nečiji hir. Po kojoj teoremi? I takođe dokaz. Hvala.

Help Desk

Vrijednost derivacije u tački nije direktno povezana s povećanjem funkcije u intervalu. Razmotrite, na primjer, funkcije - sve se povećavaju u intervalu

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Ako je funkcija rastuća na intervalu (a;b) i definirana je i kontinuirana u tačkama a i b, tada raste na intervalu . One. tačka x=2 je uključena u ovaj interval.

Iako se u pravilu povećanje i smanjenje ne razmatraju na segmentu, već na intervalu.

Ali u samoj tački x=2, funkcija ima lokalni minimum. I kako objasniti deci da kada traže tačke porasta (spadanja), mi ne brojimo tačke lokalnog ekstremuma, već ulazimo u intervale povećanja (pada).

S obzirom da je prvi dio Jedinstvenog državnog ispita za " srednja grupa vrtić“, onda je možda takvih nijansi previše.

Zasebno, veliko hvala cijelom osoblju za “Rješavanje Jedinstvenog državnog ispita” - odličan vodič.

Sergej Nikiforov

Jednostavno objašnjenje se može dobiti ako krenemo od definicije rastuće/opadajuće funkcije. Da vas podsjetim da to zvuči ovako: funkcija se naziva povećanje/smanjenje na intervalu ako veći argument funkcije odgovara većoj/manjoj vrijednosti funkcije. Ova definicija ni na koji način ne koristi koncept derivacije, tako da se ne mogu postaviti pitanja o tačkama u kojima derivacija nestaje.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Dobar dan. Ovdje u komentarima vidim uvjerenja da granice moraju biti uključene. Recimo da se slažem sa ovim. Ali pogledajte svoje rješenje za problem 7089. Tamo, kada specificirate povećanje intervala, granice nisu uključene. I to utiče na odgovor. One. rješenja zadataka 6429 i 7089 su u suprotnosti. Molimo razjasnite ovu situaciju.

Aleksandar Ivanov

Zadaci 6429 i 7089 imaju potpuno različita pitanja.

Jedan se odnosi na povećanje intervala, a drugi na intervale s pozitivnim izvodom.

Nema kontradikcije.

Ekstremi su uključeni u intervale rasta i opadanja, ali tačke u kojima je izvod jednak nuli nisu uključene u intervale u kojima je izvod pozitivan.

A Z 28.01.2019 19:09

Kolege, postoji koncept povećanja u jednom trenutku

(vidi Fichtenholtz na primjer)

a vaše razumijevanje povećanja pri x=2 je suprotno klasičnoj definiciji.

Povećanje i smanjenje je proces i ja bih se htio pridržavati ovog principa.

U bilo kojem intervalu koji sadrži tačku x=2, funkcija se ne povećava. Stoga inkluzija dati poen x=2 je poseban proces.

Obično, kako bi se izbjegla zabuna, uključivanje krajeva intervala se razmatra zasebno.

Aleksandar Ivanov

Kaže se da funkcija y=f(x) raste u određenom intervalu ako veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

U tački x=2 funkcija je diferencibilna, a na intervalu (2; 6) izvod je pozitivan, što znači na intervalu . Pronađite minimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.

Oslobodimo se nepotrebnih informacija i ostavimo samo granice [−5; 5] i nule izvoda x = −3 i x = 2.5. Također primjećujemo znakove:

Očigledno, u tački x = −3 predznak derivacije se mijenja iz minusa u plus. Ovo je minimalna tačka.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−3; 7]. Pronađite maksimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.

Ponovo nacrtajmo graf, ostavljajući samo granice [−3; 7] i nule izvoda x = −1,7 i x = 5. Zabilježimo znakove izvoda na rezultirajućem grafu. imamo:

Očigledno, u tački x = 5 znak derivacije se mijenja sa plusa na minus - ovo je maksimalna tačka.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu [−6; 4]. Odrediti broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) koje pripadaju segmentu [−4; 3].

Iz uslova zadatka proizilazi da je dovoljno razmotriti samo dio grafa ograničen segmentom [−4; 3]. Stoga gradimo novi graf na kojem označavamo samo granice [−4; 3] i nule izvoda unutar njega. Naime, tačke x = −3,5 i x = 2. Dobijamo:

Na ovom grafu postoji samo jedna maksimalna tačka x = 2. U toj tački se predznak derivacije menja sa plus na minus.

Mala napomena o tačkama sa necelobrojnim koordinatama. Na primjer, u posljednjem zadatku razmatrana je tačka x = −3,5, ali sa istim uspjehom možemo uzeti x = −3,4. Ako je problem pravilno sastavljen, takve promjene ne bi trebale utjecati na odgovor, jer točke „bez određenog mjesta stanovanja“ ne učestvuju direktno u rješavanju problema. Naravno, ovaj trik neće raditi s cijelim točkama.

Pronalaženje intervala rastućih i opadajućih funkcija

U takvom problemu, kao što su tačke maksimuma i minimuma, predlaže se korištenje grafa derivacije za pronalaženje područja u kojima se sama funkcija povećava ili smanjuje. Prvo, hajde da definišemo šta je povećanje i smanjenje:

1. Kaže se da funkcija f(x) raste na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačna sljedeća tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Drugim riječima, što je veća vrijednost argumenta, veća je vrijednost funkcije.
2. Funkcija f(x) se naziva opadajućom na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačna sljedeća tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). One. Veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Formulirajmo dovoljne uslove za povećanje i smanjenje:

1. Da bi kontinuirana funkcija f(x) porasla na segmentu, dovoljno je da njen izvod unutar segmenta bude pozitivan, tj. f’(x) ≥ 0.
2. Da bi se kontinuirana funkcija f(x) smanjila na segmentu , dovoljno je da njen izvod unutar segmenta bude negativan, tj. f’(x) ≤ 0.

Prihvatimo ove izjave bez dokaza. Tako dobijamo šemu za pronalaženje intervala rasta i opadanja, koja je u mnogome slična algoritmu za izračunavanje ekstremnih tačaka:

1. Uklonite sve nepotrebne informacije. U originalnom grafu derivacije nas prvenstveno zanimaju nule funkcije, pa ćemo ostaviti samo njih.
2. Označite predznake izvoda na razmacima između nula. Gdje je f’(x) ≥ 0, funkcija raste, a gdje je f’(x) ≤ 0, ona opada. Ako problem postavlja ograničenja na varijablu x, dodatno ih označavamo na novom grafu.
3. Sada kada znamo ponašanje funkcije i ograničenja, ostaje da izračunamo količinu potrebnu za zadatak.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−3; 7.5]. Naći intervale opadanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite zbir cijelih brojeva uključenih u ove intervale.

Kao i obično, hajde da ponovo nacrtamo graf i označimo granice [−3; 7.5], kao i nule izvoda x = −1.5 i x = 5.3. Zatim bilježimo znakove derivacije. imamo:

Pošto je izvod negativan na intervalu (− 1,5), ovo je interval opadajuće funkcije. Ostaje da se zbroje svi cijeli brojevi koji se nalaze unutar ovog intervala:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Zadatak. Na slici je prikazan grafik derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu [−10; 4]. Naći intervale povećanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.

Oslobodimo se nepotrebnih informacija. Ostavimo samo granice [−10; 4] i nule izvoda kojih je ovoga puta bilo četiri: x = −8, x = −6, x = −3 i x = 2. Označimo predznake izvoda i dobijemo sljedeću sliku:

Zanimaju nas intervali rastuće funkcije, tj. gdje je f’(x) ≥ 0. Na grafu postoje dva takva intervala: (−8; −6) i (−3; 2). Izračunajmo njihove dužine:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Pošto treba da nađemo dužinu najvećeg intervala, kao odgovor zapisujemo vrednost l 2 = 5.

Zadatak.

Funkcija y=f(x) definirana je na intervalu (-5; 6). Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x). Pronađite među tačkama x 1, x 2, ..., x 7 one tačke u kojima je izvod funkcije f(x) jednak nuli. Kao odgovor, zapišite broj pronađenih bodova.

Rješenje:

Princip u rješavanju ovog problema je sljedeći: postoje tri moguća ponašanja funkcije na ovom intervalu:

1) kada se funkcija povećava (izvod je veći od nule)

2) kada se funkcija smanjuje (gdje je izvod manji od nule)

3) kada se funkcija ne povećava ili smanjuje (gdje je izvod ili nula ili ne postoji)

Nas zanima treća opcija.

Izvod je jednak nuli gdje je funkcija glatka i ne postoji na prijelomnim tačkama. Pogledajmo sve ove tačke.

x 1 - funkcija raste, što znači da je izvod f′(x) >0

x 2 - funkcija uzima minimum i glatka je, što znači da je izvod f ′(x) = 0

x 3 - funkcija uzima maksimum, ali u ovom trenutku dolazi do prekida, što znači derivat f ′(x) ne postoji

x 4 - funkcija uzima maksimum, ali u ovom trenutku dolazi do prekida, što znači derivat f ′(x) ne postoji

x 5 - izvod f ′(x) = 0

x 6 - funkcija raste, što znači derivaciju f′(x) >0

x 7 - funkcija uzima minimum i glatka je, što znači izvod f ′(x) = 0

Vidimo da je f ′(x) = 0 u tačkama x 2, x 5 i x 7, ukupno 3 boda.

Izvod funkcije je jedan od teške teme V školski program. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.

Ovaj članak na jednostavan i jasan način objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti u prezentaciji. Najvažnije je razumjeti značenje.

Prisjetimo se definicije:

Izvod je stopa promjene funkcije.

Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji od njih raste brže?

Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.

Evo još jednog primjera.

Kostya, Grisha i Matvey dobili su posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su im se prihodi promijenili tokom godine:

Grafikon prikazuje sve odjednom, zar ne? Kostijin prihod se više nego udvostručio za šest mjeseci. I Grišin prihod se također povećao, ali samo malo. A Matveyev prihod pao je na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, njegov derivat prihoda je općenito negativan.

Intuitivno, lako procjenjujemo brzinu promjene funkcije. Ali kako da ovo uradimo?

Ono što zapravo gledamo je koliko strmo graf funkcije ide nagore (ili naniže). Drugim riječima, koliko brzo se mijenja y kako se mijenja x? Očigledno, ista funkcija u različitim tačkama može imati drugačije značenje derivat – to jest, može se mijenjati brže ili sporije.

Derivat funkcije je označen .

Pokazat ćemo vam kako ga pronaći pomoću grafikona.

Nacrtan je graf neke funkcije. Uzmimo tačku sa apscisom na njoj. Nacrtajmo tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko strmo ide graf funkcije. Pogodna vrijednost za ovo je tangenta tangentnog ugla.

Derivat funkcije u nekoj tački jednak je tangenti tangentnog ugla nacrtanog na graf funkcije u ovoj tački.

Imajte na umu da kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.

Ponekad učenici pitaju šta je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija koja ima samo jednu zajednička tačka sa grafikonom, i kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.

Hajde da ga nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravougaonog trougla jednak omjeru suprotne i susjedne strane. Iz trougla:

Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi problemi se često nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike pod brojem.

Postoji još jedan važan odnos. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom

Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.

.

Shvatili smo to

Prisjetimo se ove formule. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.

Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

Drugim riječima, derivacija je jednaka tangentu ugla tangente.

Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.

U jednom trenutku funkcija se povećava. Tangenta na graf nacrtan u tački formira oštar ugao s pozitivnim smjerom ose. To znači da je izvod u tački pozitivan.

U tom trenutku naša funkcija opada. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao s pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.

Evo šta se dešava:

Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.

Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.

Šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u tačkama (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Prema tome, tangenta tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.

Point - maksimalni poen. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa “plus” na “minus”.

U tački - minimalnoj tački - derivacija je također nula, ali se njen predznak mijenja iz "minus" u "plus".

Zaključak: pomoću izvoda možemo saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.

Ako je izvod negativan, onda je funkcija opadajuća.

U tački maksimuma, izvod je nula i mijenja predznak iz “plus” u “minus”.

U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak iz minusa u plus.

Zapišimo ove zaključke u obliku tabele:

Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati prilikom rješavanja Problemi na objedinjenom državnom ispitu. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.

Moguće je da je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ovo je tzv :

U tački je tangenta na graf horizontalna, a izvod je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak derivacije se ne mijenja - ostaje pozitivan kakav je bio.

Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.

Kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje