Nađimo trokut koristeći Heronovu formulu. Površina trougla. Izračunavanje površine četvorougla
Ova formula vam omogućava da izračunate površinu trokuta na osnovu njegovih stranica a, b i c:
S=√(r(r-a)(r-b)(r-s),gdje je p poluperimetar trougla, tj. p = (a + b + c)/2.
Formula je dobila ime po starogrčkom matematičaru Heronu iz Aleksandrije (oko 1. vek). Heron je razmatrao trouglove sa cijelim stranicama čije su površine također cijeli brojevi. Takvi trouglovi se nazivaju Heronovi trouglovi. Na primjer, to su trokuti sa stranicama 13, 14, 15 ili 51, 52, 53.
Postoje analozi Heronove formule za četvorouglove. Zbog činjenice da problem konstruisanja četvorougla duž njegovih stranica a, b, c i d nema jedinstveno rešenje, za izračunavanje površine četvorougla u opštem slučaju nije dovoljno samo znati dužine stranica. Morate unijeti dodatne parametre ili nametnuti ograničenja. Na primjer, površina upisanog četverokuta nalazi se po formuli: S=√(r-a)(r-b)(r-s)(p-d)
Ako je četverougao i upisan i opisan u isto vrijeme, njegova površina je koristeći jednostavniju formulu: S=√(abcd).
Heron od Aleksandrije - grčki matematičar i mehaničar.
Prvi je izumio automatska vrata, automatsko lutkarsko pozorište, automat, brzometni samopunjajući samostrel, parna turbina, automatske dekoracije, uređaj za mjerenje dužine puteva (stari kilometraža) itd. Prvi je stvorio programabilne uređaje (okret sa iglama oko kojeg je namotano uže).
Studirao je geometriju, mehaniku, hidrostatiku i optiku. Glavna djela: metrika, pneumatika, automatopoetika, mehanika (djelo je u potpunosti sačuvano u arapskom prijevodu), katoptrika (nauka o ogledalima; sačuvana samo u latinskom prijevodu) itd. 1814. godine pronađen je Heronov esej „O dioptriji“, koji utvrđuje pravila premjera zemljišta, zapravo zasnovana na korištenju pravokutnih koordinata. Heron je koristio dostignuća svojih prethodnika: Euklida, Arhimeda, Stratona od Lampsaka. Mnoge njegove knjige su nepovratno izgubljene (svitci su se čuvali u Aleksandrijskoj biblioteci).
U svojoj raspravi “Mehanika” Heron je opisao pet tipova jednostavnih mašina: poluga, kapija, klin, vijak i blok.
U svojoj raspravi “Pneumatika” Heron je opisao različite sifone, pametno dizajnirane posude i automate pokretane komprimiranim zrakom ili parom. Ovo je eolipil, koji je bio prva parna turbina - lopta rotirana silom mlaza vodene pare; mašina za otvaranje vrata, mašina za prodaju “svete” vode, vatrogasna pumpa, vodene orgulje, mehaničko pozorište lutaka.
Knjiga “O dioptriji” opisuje dioptriju - najjednostavniji uređaj koji se koristi za geodetske radove. Heron u svojoj raspravi postavlja pravila za mjerenje zemljišta, zasnovana na korištenju pravokutnih koordinata.
U Catoptrics, Heron potkrepljuje pravoliniju svjetlosnih zraka sa beskonačno velikom brzinom širenja. Heron razmatra različite vrste ogledala, obraćajući posebnu pažnju na cilindrična ogledala.
Heronova "Metrika" i "Geometrija" i "Stereometrija" izvučene iz nje su referentne knjige o primijenjena matematika. Među informacijama sadržanim u Metrica:
Formule za površine pravilnih poligona.
Zapremine pravilnih poliedara, piramide, konusa, skraćenog konusa, torusa, sfernog segmenta.
Heronova formula za izračunavanje površine trokuta iz dužina njegovih stranica (otkrio Arhimed).
Pravila numeričko rešenje kvadratne jednačine.
Algoritmi za vađenje kvadratnih i kubnih korijena.
Heronova knjiga "Definicije" je opsežna zbirka geometrijskih definicija, koje se uglavnom poklapaju sa definicijama Euklidovih "Elemenata".
Sažetak lekcije
Predmet: "Heronova formula i druge formule za površinu trokuta."
Vrsta lekcije : lekcija u otkrivanju novih znanja.
klasa: 10.
Ciljevi lekcije: tokom lekcije osigurajte svjesno ponavljanje formula za izračunavanje površine trokuta, koje se proučavaju u školski program. Pokažite potrebu da znate Heronovu formulu II, formulu za površinu trokuta datu u pravougaonom koordinatnom sistemu. Osigurajte svjesno usvajanje i primjenu ovih formula prilikom rješavanja problema.
Zadaci:
edukativni: razvoj logičko razmišljanje, sposobnost samostalnog odlučivanja ciljevi učenja; razvoj radoznalostistudenti, kognitivni interes za predmet; razvoj kreativnog mišljenja i matematičkog govora učenika;
edukativni: negovanje interesovanja za matematiku; stvaranje uslova zaformiranje komunikacijskih vještina i osobine jake volje ličnost.
edukativni: produbljivanje znanjath modul realnog broja; podučavati sposobnost rješavanja tipičnih problema.
Univerzalne aktivnosti učenja:
Lično: poštovanje pojedinca i njegovog dostojanstva; stabilan kognitivni interes; sposobnost vođenja dijaloga na bazi ravnopravnih odnosa i međusobnog poštovanja.
Regulatorno: postaviti ciljeve za aktivnosti na času; planirati načine za postizanje cilja; donose odluke u problemskoj situaciji na osnovu pregovora.
kognitivni: V ovladati općim tehnikama rješavanja problema, izvođenja zadataka i proračuna; izvršavati zadatke bazirane na korištenju svojstava modula realnog broja.
Komunikativna: A adekvatno koristiti govor za planiranje i regulaciju svojih aktivnosti; formulišite svoje mišljenje.
Tehnička podrška : računar, projektor, interaktivna tabla.
Struktura lekcije
Motivaciona faza – 2 min.
Domaća zadaća – 1 min.
Faza ažuriranja znanja o predloženoj temi i izvođenje prve probne radnje - 10 minuta.
Prepoznavanje poteškoća: koja je složenost novog materijala, šta tačno stvara problem, traženje kontradiktornosti - 4 min.
Izrada projekta, plan za prevazilaženje postojećih poteškoća, razmatranje mnogih opcija, traženje optimalnog rješenja - 2 min.
Implementacija odabranog plana za rješavanje poteškoća - 5 min.
Primarna konsolidacija novih znanja - 10 min.
Samostalan rad i provjera u odnosu na standard - 5 min.
Refleksija, koja uključuje razmišljanje o aktivnostima učenja, samoanalizu i razmišljanje o osjećajima i emocijama – 1 min.
Napredak lekcije.
Motivaciona faza.
Zdravo momci, sedite. Danas će naša lekcija slijediti sljedeći plan: tokom lekcije ćemo učiti nova tema: « Heronova formula i druge formule za površinu trokuta "; Hajde da ponovimo formule koje znate; Naučimo kako primijeniti ove formule prilikom rješavanja problema. Dakle, hajdemo na posao.
Faza ažuriranja znanja o predloženoj temi i izvođenje prve probne radnje.
Slajd 1.
Zapišite temu lekcije. Prije nego što prijeđemo direktno na formule, prisjetimo se koje formule za izračunavanje površine trokuta znate?
Slajd 2.
Napišite ove formule.
Koje formule znate za izračunavanje površine trokuta?(učenici se prisjećaju svih formula koje su naučili)
Slajd 3.
Površina pravouglog trougla. S=ab. Zapišite formulu
Slajd 4.
Površina bilo kojeg trougla. S= A . a = , = Zapišite formulu.
Slajd 5. Površina trokuta zasnovana na dvije strane i ugao između njih.
S=½·ab·sinα. Zapišite formulu.
Sada ćemo proučavati nove formule za pronalaženje područja.
Slajd 6.
Površina trokuta u smislu polumjera upisane kružnice. S= P r. Zapišite formulu.
Slajd 7.
Površina trokuta u smislu R-radijusa opisane kružnice.
Zapišite formulu.
Slajd 8.
Heronova formula.
Prije nego započnemo dokaz, prisjetimo se dvije teoreme geometrije - teoreme sinusa i teoreme kosinusa.
1. , a=2R; b=2R; c=2R
2.,cosγ = .
Slajd 9-10
Dokaz Heronove formule. Zapišite formulu.
Slajd 11.
Formulu za površinu trougla zasnovanu na tri strane otkrio je Arhimed u 3. veku pre nove ere. Međutim, odgovarajući rad nije stigao do naših dana. Ova formula je sadržana u „Metrici“ Herona Aleksandrijskog (1. vek nove ere) i nazvana je po njemu. Čaplju su zanimali trouglovi sa cijelim stranicama čije su površine također cijele. Takvi trouglovi se nazivaju Heronovi trouglovi. Najjednostavniji heronov trougao je egipatski trougao
Identifikacija poteškoća: koja je složenost novog materijala, šta tačno stvara problem, traženje kontradikcije.
Slajd 12.
Nađite površinu trokuta sa datim stranicama: 4,6,8. Ima li dovoljno informacija za rješavanje problema? Koju formulu možete koristiti za rješavanje ovog problema?
Izrada projekta, plan za rješavanje postojećih poteškoća, razmatranje mnogih opcija, traženje optimalnog rješenja.
Ovaj problem se može riješiti korištenjem Heronove formule. Prvo morate pronaći polu-perimetar trokuta, a zatim zamijeniti rezultirajuće vrijednosti u formulu.
Implementacija odabranog plana za rješavanje poteškoća.
Nalaz str
str=(13+14+15)/2=21
str- a=21-13=8
p-b=21-14=7
p-c=21-15=6
S = 21*8*7*6=84
Odgovori :84
Zadatak br. 2
Pronađite stranice trouglaABC, ako je površina trokutaABO, BCO, ACO, gdje je O centar upisane kružnice, jednako 17,65,80 dc 2 .
Rješenje: 
S=17+65+80=162 – saberite površine trouglova. Prema formuli
S ABO =1/2 AB* r, dakle 17=1/2AB* r; 65=1/2VS* r; 80=1/2 A.C.* r
34/r=AB; 130/r=BC; 160/r=AC
Pronađite str
str= (34+130+160)/2=162/ r
(r-a)=162-34=128 (r- c)=162-160=2
(p- b)=162-130=32
Prema Heronovoj formuliS= 128/ r*2/ r*32/ r*162/ r=256*5184/ r 4 =1152/ r 2
Jer S=162, dakler = 1152/162=3128/18
odgovor: AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.
Primarna konsolidacija novih znanja.
№10(1)
Pronađite površinu trokuta sa datim stranicama:
№12
Samostalan rad i ispitivanje prema standardu.
№10.(2)
Domaći . P.83, br. 10(3), br. 15
Refleksija, koja uključuje razmišljanje o aktivnostima učenja, samoanalizu i refleksiju o osjećajima i emocijama.
Koje ste formule danas ponovili?
Koje ste formule danas naučili?
Može se pronaći poznavanjem osnove i visine. Čitava jednostavnost dijagrama leži u činjenici da visina dijeli bazu a na dva dijela a 1 i a 2, a sam trokut na dva pravokutna trokuta, čija je površina i. Tada će površina cijelog trokuta biti zbir dvije naznačene površine, a ako jednu sekundu visine izvadimo iz zagrade, tada ćemo u zbroju dobiti natrag bazu:
Teža metoda za proračun je Heronova formula, za koju morate znati sve tri strane. Za ovu formulu, prvo morate izračunati poluperimetar trokuta: 
Sama Heronova formula podrazumijeva kvadratni korijen poluperimetra, pomnožen njegovom razlikom na svakoj strani.
Sljedeća metoda, također relevantna za bilo koji trokut, omogućava vam da pronađete površinu trokuta kroz dvije strane i ugao između njih. Dokaz za to dolazi iz formule sa visinom - povučemo visinu na bilo koju od poznatih stranica i kroz sinus ugla α dobijemo da je h=a⋅sinα. Da biste izračunali površinu, pomnožite polovinu visine sa drugom stranom.
Drugi način je pronaći površinu trokuta, znajući 2 ugla i stranu između njih. Dokaz ove formule je prilično jednostavan i može se jasno vidjeti iz dijagrama.
Visinu od vrha trećeg ugla spuštamo na poznatu stranu i u skladu s tim nazivamo rezultujuće segmente x. Od pravokutnih trouglova jasno je da je prvi segment x jednak proizvodu
Teorema. Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove stranice i visine:
Dokaz je vrlo jednostavan. Ovaj trougao ABC(Sl. 1.15) hajde da ga izgradimo do paralelograma ABDC. Trouglovi ABC I DCB jednake su na tri strane, pa su im površine jednake. Dakle, površina trougla ABC jednaka polovini površine paralelograma ABDC, tj.
Ali ovdje se postavlja sljedeće pitanje: zašto su tri moguća poluproizvoda osnove i visine za bilo koji trokut isti? To je, međutim, lako dokazati iz sličnosti pravokutnika sa zajedničkim oštrim uglom. Zamislite trougao ABC(Sl. 1.16):
I stoga
Međutim, u školski udžbenici To se ne radi tako. Naprotiv, jednakost tri poluproizvoda utvrđuje se na osnovu toga da svi ti poluproizvodi izražavaju površinu trokuta. Dakle, postojanje jedne funkcije se implicitno iskorištava. Ali ovdje dolazi zgodna i poučna prilika da se pokaže primjer matematičko modeliranje. Zaista, postoji fizička realnost iza koncepta područja, ali direktna provjera jednakosti tri poluproizvoda pokazuje kvalitetu prijevoda ovog koncepta na jezik matematike.
Koristeći gornju teoremu o površini trougla, često je zgodno uporediti površine dva trougla. U nastavku predstavljamo neke očigledne, ali važne posljedice teoreme.
Zaključak 1. Ako se vrh trougla pomjeri duž prave linije paralelne s njegovom osnovom, tada se njegova površina ne mijenja.
Na sl. 1,17 trokuta ABC I ABD imaju zajednički jezik AB i jednake visine spuštene na ovu osnovu, od prave linije A, koji sadrži vrhove WITH I D paralelno sa bazom AB, pa su stoga površine ovih trouglova jednake.
Korolar 1 se može preformulisati na sledeći način.
Zaključak 1?. Neka je zadan segment AB. Mnogo poena M tako da je površina trokuta AMV jednako datu vrijednost S, postoje dvije prave paralelne segmentu AB i one koje se nalaze na udaljenosti od njega (sl. 1. 18)
Zaključak 2. Ako se jedna od stranica trokuta koja graniči sa datim kutom poveća za k puta, tada će se i njegova površina povećati za k jednom.
Na sl. 1,19 trokuta ABC I ABD imaju zajedničku visinu BH, stoga je omjer njihovih površina jednak omjeru baza
Važni posebni slučajevi slijede iz korolara 2:
1. Medijan dijeli trougao na dva mala dijela.
2. Simetrala ugla trougla, zatvorenog između njegovih stranica A I b, dijeli ga na dva trokuta čije su površine povezane kao a : b.
Zaključak 3. Ako dva trokuta imaju zajednički ugao, tada su njihove površine proporcionalne proizvodu stranica koje zatvaraju ovaj ugao.
Ovo proizilazi iz činjenice da (slika 1.19)
Posebno vrijedi sljedeća izjava:
Ako su dva trokuta slična i stranica jednog od njih jeste k puta veća od odgovarajućih strana drugog, tada je njegova površina k 2 puta veća od površine sekunde.
Heronovu formulu za površinu trokuta izvodimo na sljedeća dva načina. U prvoj koristimo teoremu kosinusa:
gdje su a, b, c dužine stranica trougla, r je ugao nasuprot stranice c.
Iz (1.3) nalazimo.
Primetivši to
gdje je poluperimetar trougla, dobijamo.
Učitavanje...