Odredite stranu trougla prema njegovoj strani i uglu. Parametri trokuta prema zadatim parametrima. Formula za površinu trokuta sa jednom stranom i dva ugla

U matematici, kada se razmatra trokut, puno pažnje se poklanja njegovim stranicama. Zato što ovi elementi formiraju ovu geometrijsku figuru. Stranice trokuta se koriste za rješavanje mnogih geometrijskih problema.

Definicija pojma

Segmenti koji spajaju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj nazivaju se stranicama trougla. Elementi koji se razmatraju ograničavaju dio ravnine, koji se naziva unutrašnjost ove geometrijska figura.

Matematičari u svojim proračunima dozvoljavaju generalizacije u vezi sa stranicama geometrijskih figura. Dakle, u degenerisanom trouglu tri njegova segmenta leže na jednoj pravoj liniji.

Karakteristike koncepta

Izračunavanje stranica trokuta uključuje određivanje svih ostalih parametara figure. Znajući dužinu svakog od ovih segmenata, lako možete izračunati perimetar, površinu, pa čak i uglove trokuta.

Rice. 1. Proizvoljni trougao.

Zbrajanjem stranica date figure, možete odrediti perimetar.

P=a+b+c, gdje su a, b, c stranice trougla

A da biste pronašli površinu trokuta, trebali biste koristiti Heronovu formulu.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Gdje je p poluperimetar.

Uglovi date geometrijske figure izračunavaju se pomoću kosinusne teoreme.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Značenje

Neka svojstva ove geometrijske figure izražena su kroz omjer stranica trokuta:

Nasuprot najmanjoj strani trougla nalazi se njegov najmanji ugao.
Vanjski ugao dotične geometrijske figure dobija se proširenjem jedne od strana.
Nasuprot jednakih uglova trougla su jednake stranice.
U bilo kojem trouglu jedna od stranica je uvijek veća od razlike druga dva segmenta. A zbir bilo koje dvije strane ove brojke je veći od treće.

Jedan od znakova da su dva trokuta jednaka je omjer zbira svih strana geometrijske figure. Ako su ove vrijednosti iste, tada će trokuti biti jednaki.

Neka svojstva trougla zavise od njegovog tipa. Stoga prvo trebate uzeti u obzir veličinu stranica ili kutova ove figure.

Formiranje trouglova

Ako su dvije strane geometrijske figure u pitanju iste, onda se ovaj trokut naziva jednakokračnim.

Rice. 2. Jednakokraki trougao.

Kada su svi segmenti u trokutu jednaki, dobićete jednakostranični trougao.

Rice. 3. Jednakostranični trougao.

Pogodnije je izvršiti bilo kakav proračun u slučajevima kada se proizvoljni trokut može klasificirati kao specifičan tip. Jer će tada nalaženje traženog parametra ove geometrijske figure biti značajno pojednostavljeno.

Iako vam pravilno odabrana trigonometrijska jednadžba omogućuje rješavanje mnogih problema u kojima se razmatra proizvoljan trokut.

Šta smo naučili?

Tri segmenta koja su povezana tačkama i ne pripadaju istoj pravoj liniji čine trougao. Ove strane formiraju geometrijsku ravan, koja se koristi za određivanje površine. Koristeći ove segmente, možete pronaći mnoge važne karakteristike figure, kao što su perimetar i uglovi. Omjer stranica trokuta pomaže u pronalaženju njegovog tipa. Neka svojstva date geometrijske figure mogu se koristiti samo ako su poznate dimenzije svake njene strane.

Testirajte na temu

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.3. Ukupno primljenih ocjena: 142.

U geometriji, ugao je lik koji je formiran od dve zrake koje izlaze iz jedne tačke (koja se naziva vrh ugla). U većini slučajeva, jedinica mjere za ugao je stepen (°) - zapamtite da je pun ugao, ili jedan obrt, 360°. Vrijednost ugla poligona možete pronaći prema njegovom tipu i vrijednostima drugih uglova, a ako je zadan pravokutni trokut, kut se može izračunati sa dvije strane. Osim toga, ugao se može izmjeriti pomoću kutomjera ili izračunati pomoću grafičkog kalkulatora.

Koraci

Kako pronaći unutrašnje uglove poligona

Izbrojite broj strana poligona. Da biste izračunali unutrašnje uglove poligona, prvo morate odrediti koliko strana ima poligon. Imajte na umu da je broj stranica poligona jednak broju njegovih uglova.

Na primjer, trokut ima 3 stranice i 3 unutrašnja ugla, a kvadrat 4 stranice i 4 unutrašnja ugla.

Izračunajte zbir svih unutrašnjih uglova poligona. Da biste to učinili, koristite sljedeću formulu: (n - 2) x 180. U ovoj formuli, n je broj stranica poligona. Slijede zbrojevi uglova poligona koji se često susreću:
- Zbir uglova trougla (mnogougla sa 3 strane) je 180°.
- Zbir uglova četvorougla (mnogougla sa 4 strane) je 360°.
- Zbir uglova petougla (poligona sa 5 strana) je 540°.
- Zbir uglova šesterokuta (poligona sa 6 strana) je 720°.
- Zbir uglova osmougla (poligona sa 8 strana) je 1080°.
Podijelite zbir svih uglova pravilnog poligona sa brojem uglova. Pravilan mnogokut je mnogokut sa jednakim stranicama i jednakih uglova. Na primjer, svaki ugao jednakostraničnog trougla izračunava se na sljedeći način: 180 ÷ 3 = 60°, a svaki ugao kvadrata se izračunava na sljedeći način: 360 ÷ 4 = 90°.
- Jednakostranični trokut i kvadrat su pravilni poligoni. I u zgradi Pentagona (Vašington, SAD) i putokaz"Stop" oblik pravilnog osmougla.
Oduzmite zbir svih poznatih uglova od ukupnog zbira uglova nepravilnog poligona. Ako stranice poligona nisu jednake jedna drugoj, a ni njegovi uglovi nisu međusobno jednaki, prvo zbrojite poznate uglove poligona. Sada oduzmite rezultujuću vrijednost od zbira svih uglova poligona - na ovaj način ćete pronaći nepoznati ugao.
- Na primjer, ako se uzme da su 4 ugla petougla 80°, 100°, 120° i 140°, saberite ove brojeve: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Sada oduzmite ovu vrijednost od zbira svih uglovi pentagona; ovaj zbir je jednak 540°: 540 - 440 = 100°. Dakle, nepoznati ugao je 100°.
savjet: nepoznati ugao nekih poligona može se izračunati ako poznajete svojstva figure. Na primjer, u jednakokračnom trokutu, dvije stranice su jednake, a dva ugla jednaka; U paralelogramu (koji je četverokut), suprotne strane su jednake, a suprotni uglovi jednaki.

Izmjerite dužinu dvije strane trougla. Najduža strana pravougaonog trougla zove hipotenuza. Susjedna strana je strana koja je blizu nepoznatog ugla. Suprotna strana je strana koja je suprotna nepoznatom uglu. Izmjerite dvije strane da biste izračunali nepoznate uglove trougla.

savjet: koristite grafički kalkulator za rješavanje jednadžbi ili pronađite online tablicu s vrijednostima sinusa, kosinusa i tangenta.

Izračunajte sinus ugla ako znate suprotnu stranu i hipotenuzu. Da biste to učinili, ubacite vrijednosti u jednadžbu: sin(x) = suprotna strana ÷ hipotenuza. Na primjer, suprotna strana je 5 cm, a hipotenuza 10 cm Podijelite 5/10 = 0,5. Dakle, sin(x) = 0,5, odnosno, x = sin -1 (0,5).

Trougao je geometrijski broj koji se sastoji od tri segmenta koji spajaju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj. Tačke koje formiraju trougao nazivaju se njegove tačke, a segmenti su jedan pored drugog.

U zavisnosti od vrste trougla (pravougaoni, jednobojni, itd.), stranu trougla možete izračunati na različite načine, zavisno od ulaznih podataka i uslova zadatka.

Brza navigacija za članak

Za izračunavanje stranica pravokutnog trokuta koristi se Pitagorina teorema prema kojoj je kvadrat hipotenuze jednak zbiru kvadratnih stopa.

Ako noge označimo kao "a" i "b", a hipotenuzu kao "c", stranice se mogu pronaći sa sljedećim formulama:

Ako su oštri uglovi pravokutnog trokuta (a i b) poznati, njegove stranice se mogu naći sa sljedećim formulama:

Izrezani trougao

Trokut se naziva jednakostranični trokut u kojem su obje strane iste.

Kako pronaći hipotenuzu u dva kraka

Ako je slovo "a" identično istoj stranici, "b" je osnova, "b" je ugao nasuprot osnovici, "a" je susjedni ugao za izračunavanje stranica koje mogu koristiti slijedeće formule:

Dva ugla i strana

Ako su poznata jedna stranica (c) i dva ugla (a i b) bilo kojeg trokuta, za izračunavanje preostalih stranica koristi se sinusna formula:

Morate pronaći treću vrijednost y = 180 - (a + b) jer

zbir svih uglova trougla je 180°;

Dvije strane i ugao

Ako su poznate dvije strane trokuta (a i b) i ugao između njih (y), za izračunavanje treće strane može se koristiti kosinusna teorema.

Kako odrediti obim pravokutnog trougla

Trouglasti trougao je trougao, od kojih je jedan 90 stepeni, a druga dva su oštra. proračun perimetar takav trougao ovisno o količini poznatih informacija o tome.

Trebaće ti

Ovisno o slučaju, vještine 2 tri strane trougla, kao i jedan od njegovih oštrih uglova.

instrukcije

prvo Metoda 1. Ako su poznate sve tri stranice trougao Zatim, bez obzira da li je okomita ili netrouglasta, perimetar se računa kao: P = A + B + C, gdje je moguće, c je hipotenuza; a i b su noge.

sekunda Metoda 2.

Ako pravougaonik ima samo dvije stranice, onda koristeći Pitagorinu teoremu, trougao može se izračunati pomoću formule: P = v (a2 + b2) + a + b ili P = v (c2 - b2) + b + c.

treće Metod 3. Neka je hipotenuza c i oštar ugao? Za pravougli trokut, biće moguće pronaći obim na ovaj način: P = (1 + sin?

četvrto Metoda 4. Kažu da je u pravokutnom trouglu dužina jedne noge jednaka a i, naprotiv, ima oštar ugao. Zatim izračunajte perimetar Ovo trougaoće se provesti prema formuli: P = a * (1 / tg?

1/sin? + 1)

petine Metod 5.

Online proračun trougla

Neka naša noga vodi i bude uključena u nju, tada će se raspon izračunati kao: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Povezani video zapisi

Pitagorina teorema je osnova svake matematike. Određuje odnos između stranica pravog trougla. Sada postoji 367 dokaza ove teoreme.

instrukcije

prvo Klasična školska formulacija Pitagorine teoreme zvuči ovako: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta.

Da biste pronašli hipotenuzu u pravokutnom trokutu od dva Cateta, morate konstruirati kvadrat dužina kateta, sastaviti ih i uzeti Kvadratni korijen od iznosa. U originalnoj formulaciji njegove izjave, tržište se zasniva na hipotenuzi, koja je jednaka zbroju kvadrata 2 kvadrata koje je proizvela Catete. Međutim, moderna algebarska formulacija ne zahtijeva uvođenje domenske reprezentacije.

sekunda Na primjer, pravokutni trokut čiji su kraci 7 cm i 8 cm.

Tada je, prema Pitagorinoj teoremi, kvadratna hipotenuza jednaka R + S = 49 + 64 = 113 cm Hipotenuza je jednaka kvadratnom korijenu broja 113.

Uglovi pravouglog trougla

Rezultat je bio neosnovan broj.

treće Ako su trokuti katete 3 i 4, onda je hipotenuza = 25 = 5. Kada uzmete kvadratni korijen, dobijete prirodan broj. Brojevi 3, 4, 5 čine Pigagorinu trojku, pošto zadovoljavaju relaciju x? +Y? = Z, što je prirodno.

Drugi primjeri Pitagorine trojke su: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

četvrto U ovom slučaju, ako su noge identične jedna drugoj, Pitagorina teorema se pretvara u primitivniju jednačinu. Na primjer, pretpostavimo da je takva ruka jednaka broju A i da je hipotenuza definirana za C, a zatim c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. U ovom slučaju ne trebate A.

petine Pitagorina teorema je poseban slučaj, veći od opće kosinusne teoreme, koja uspostavlja odnos između tri strane trougla za bilo koji ugao između njih.

Savjet 2: Kako odrediti hipotenuzu za noge i uglove

Hipotenuza je stranica u pravokutnom trokutu koja je nasuprot kuta od 90 stepeni.

instrukcije

prvo U slučaju poznatih katetera, kao i oštrog ugla pravokutnog trokuta, hipotenuza može imati veličinu jednaku omjeru kraka i kosinusa/sinusa ovog ugla, ako je ugao suprotan /e uključuje: H = C1 (ili C2) / sin, H = C1 (ili C2?) / cos?. Primjer: Neka je ABC dat nepravilan trokut sa hipotenuzom AB i pravim uglom C.

Neka je B 60 stepeni, a A 30 stepeni. Dužina stabljike BC je 8 cm.Treba pronaći dužinu hipotenuze AB. Da biste to učinili, možete koristiti jednu od gore navedenih metoda: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenuza je najduža stranica pravougaonika trougao. Nalazi se pod pravim uglom. Metoda za pronalaženje hipotenuze pravokutnika trougao zavisno od izvornih podataka.

instrukcije

prvo Ako su vam noge okomite trougao, zatim dužina hipotenuze pravokutnika trougao može se otkriti pomoću Pitagorinog analoga - kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata dužina kateta: c2 = a2 + b2, gdje su a i b dužine kateta desnog trougao .

sekunda Ako je jedan od krakova poznat i pod oštrim uglom, formula za pronalaženje hipotenuze ovisit će o prisutnosti ili odsustvu ispod određeni ugao u odnosu na poznati krak - susjedni (kat se nalazi blizu), ili obrnuto (suprotan slučaj se nalazi nego.V navedenog ugla jednak je razlomku hipotenuze kateta u kosinusnom kutu: a = a / cos; E, s druge strane, hipotenuza je ista kao i omjer sinusnih uglova: da = a / sin.

Povezani video zapisi

Korisni savjeti
Ugaoni trokut čije su stranice povezane kao 3:4:5, nazvan egipatska delta zbog činjenice da su ove figure naširoko koristili arhitekti starog Egipta.

Ovo je ujedno i najjednostavniji primjer Jeroovih trouglova, u kojima su stranice i površina predstavljeni cijelim brojevima.

Trougao se naziva pravougaonik čiji je ugao 90°. Strana naspram desnog ugla naziva se hipotenuza, druga se naziva kateta.

Ako želite pronaći kako se pravi pravokutni trokut formira nekim svojstvima pravilnih trokuta, odnosno činjenicom da je zbir oštrih uglova 90°, što se koristi, i činjenicom da je dužina suprotnog kraka polovina hipotenuze je 30°.

Brza navigacija za članak

Izrezani trougao

Jedno od svojstava jednakog trougla je da su mu dva ugla jednaka.

Da biste izračunali ugao pravougaonog podudarnog trougla, morate znati da:

Ovo nije gore od 90°.
Vrijednosti oštrih uglova određuju se formulom: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, tj.
Uglovi α i β su jednaki 45°.

Ako je poznata vrijednost jednog od oštrih uglova poznata, drugi se može naći pomoću formule: β = 180º-90º-α ili α = 180º-90º-β.

Ovaj omjer se najčešće koristi ako je jedan od uglova 60° ili 30°.

Ključni koncepti

Zbir unutrašnjih uglova trougla je 180°.

Pošto je to jedan nivo, dva ostaju oštra.

Izračunajte trougao na mreži

Ako želite da ih pronađete, morate znati da:

druge metode

Vrijednosti oštrih uglova pravokutnog trokuta mogu se izračunati iz prosjeka - linijom iz tačke na suprotnoj strani trokuta, a visina - prava je okomica povučena iz hipotenuze pod pravim kutom .

Neka se medijan proteže od desnog ugla do sredine hipotenuze, a neka je h visina. U ovom slučaju ispada da:

sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
sin α = h/b; sin β = h/a.

Dvije stranice

Ako su dužine hipotenuze i jedne od kateta poznate u pravokutnom trokutu ili na obje strane, tada se za određivanje vrijednosti oštrih uglova koriste trigonometrijski identiteti:

α = arcsin (a/c), β = arcsin (b/c).
α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
α = arktan (a / b), β = arktan (b / a).

Dužina pravouglog trougla

Površina i površina trougla

perimetar

Obim bilo kojeg trougla jednak je zbiru dužina triju stranica. Opća formula pronaći trouglasti trokut:

gdje je P obim trougla, a, b i c njegovih stranica.

Perimetar jednakog trougla može se naći uzastopnim kombinovanjem dužina njegovih stranica ili množenjem dužine stranice sa 2 i dodavanjem osnovne dužine proizvodu.

Opća formula za pronalaženje ravnotežnog trougla izgledat će ovako:

gdje je P obim jednakog trougla, ali je ili b, b baza.

Perimetar jednakostraničnog trougla može se naći uzastopnim kombinovanjem dužina njegovih stranica ili množenjem dužine bilo koje stranice sa 3.

Opća formula za pronalaženje oboda jednakostraničnih trokuta izgledat će ovako:

gdje je P obim jednakostraničnog trougla, a bilo koja od njegovih stranica.

region

Ako želite izmjeriti površinu trokuta, možete je uporediti sa paralelogramom. Razmotrimo trougao ABC:

Ako uzmemo isti trokut i popravimo ga tako da dobijemo paralelogram, dobićemo paralelogram iste visine i osnove kao i ovaj trokut:

U ovom slučaju, zajednička strana trokuta je presavijena duž dijagonale oblikovanog paralelograma.

Iz svojstava paralelograma. Poznato je da su dijagonale paralelograma uvijek podijeljene na dva jednaka trougla, tada je površina svakog trougla jednaka polovini raspona paralelograma.

Budući da je površina paralelograma jednaka umnošku visine njegove osnove, površina trokuta će biti jednaka polovini ovog proizvoda. Dakle, za ΔABC površina će biti ista

Sada razmotrite pravougli trokut:

Dva identična pravougaona trokuta mogu se saviti u pravougaonik ako se naslanja na njih, što je jedan drugom hipotenuza.

Budući da se površina pravokutnika poklapa s površinom susjednih stranica, površina ovog trokuta je ista:

Iz ovoga možemo zaključiti da je površina bilo kojeg pravokutnog trokuta jednaka umnošku kateta podijeljenih sa 2.

Iz ovih primjera može se zaključiti da je površina svakog trokuta jednaka umnošku dužine, a visina se svodi na podlogu podijeljenu sa 2.

Opća formula za pronalaženje površine trokuta bi izgledala ovako:

gdje je S površina trokuta, ali njegova osnova, ali visina pada na dno a.

Trokut se naziva pravouglim trouglom ako mu je jedan od uglova 90º. Strana naspram pravog ugla naziva se hipotenuza, a druge dvije se nazivaju kraci.

Za pronalaženje ugla u pravokutnom trokutu koriste se neka svojstva pravokutnih trokuta, a to su: zbir oštrih uglova je 90º, kao i činjenica da nasuprot kraka čija je dužina polovina dužine hipotenuze leži ugao jednak 30º.

Brza navigacija kroz članak

Jednakokraki trougao

Jedno od svojstava jednakokračnog trougla je da su mu dva ugla jednaka. Da biste izračunali uglove pravokutnog jednakokračnog trokuta, morate znati sljedeće:

Pravi ugao je 90º.
Vrijednosti oštrih uglova određuju se formulom: (180º-90º)/2=45º, tj. uglovi α i β su jednaki 45º.

Ako je poznata veličina jednog od oštrih uglova, drugi se može naći pomoću formule: β=180º-90º-α, ili α=180º-90º-β. Najčešće se ovaj omjer koristi ako je jedan od uglova 60º ili 30º.

Ključni koncepti

Zbir unutrašnjih uglova trougla je 180º. Pošto je jedan ugao pravi, preostala dva će biti oštra. Da biste ih pronašli morate znati sljedeće:

druge metode

Vrijednosti oštrih uglova pravokutnog trokuta mogu se izračunati znajući vrijednost medijane - linije povučene od vrha do suprotne strane trokuta, i visine - ravne linije, koja je spuštena okomita iz pravog ugla na hipotenuzu. Neka je s medijan povučen iz pravog ugla do sredine hipotenuze, h visina. U ovom slučaju ispada da:

sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
sin α=h/b; sin β =h/a.

Dvije strane

Ako su u pravokutnom trokutu poznate dužine hipotenuze i jedne od kateta, ili dvije stranice, za pronalaženje vrijednosti oštrih uglova koriste se trigonometrijski identiteti:

α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

Prvi su segmenti koji se nalaze pored pravog ugla, a hipotenuza je najduži deo figure i nalazi se nasuprot ugla od 90 stepeni. Pitagorin trougao naziva se onaj čije su stranice jednake prirodni brojevi; njihove dužine se u ovom slučaju nazivaju “pitagorina trojka”.

Egipatski trougao

Da bi sadašnja generacija prepoznala geometriju u onom obliku u kojem se sada uči u školi, ona se razvijala kroz nekoliko stoljeća. Osnovna tačka se smatra Pitagorinom teoremom. Stranice pravougaonika poznate su u cijelom svijetu) su 3, 4, 5.

Malo ljudi nije upoznato s frazom “Pitagorine pantalone su jednake u svim smjerovima.” Međutim, u stvarnosti teorema zvuči ovako: c 2 (kvadrat hipotenuze) = a 2 + b 2 (zbir kvadrata kateta).

Među matematičarima, trougao sa stranicama 3, 4, 5 (cm, m, itd.) naziva se "egipatski". Zanimljivo je da je ono što je upisano na slici jednako jedan. Ime je nastalo oko 5. veka pre nove ere, kada su grčki filozofi putovali u Egipat.

Prilikom izgradnje piramida, arhitekte i geodeti su koristili omjer 3:4:5. Ispostavile su se da su takve strukture proporcionalne, ugodne za pogled i prostrane, a također su se rijetko srušile.

Kako bi izgradili pravi ugao, graditelji su koristili konopac sa 12 čvorova vezanih na njemu. U ovom slučaju, vjerovatnoća izgradnje pravouglog trougla je porasla na 95%.

Znakovi jednakosti figura

Oštar ugao u pravokutnom trokutu i duga stranica, koji su jednaki istim elementima u drugom trokutu, neosporan su znak jednakosti figura. Uzimajući u obzir zbir uglova, lako je dokazati da su i drugi oštri uglovi jednaki. Dakle, trouglovi su identični prema drugom kriterijumu.
Prilikom namještanja dvije figure jednu na drugu, rotiramo ih tako da, kada se spoje, postanu jedan jednakokraki trokut. Po svom svojstvu, stranice, tačnije hipotenuze, su jednake, kao i uglovi u osnovi, što znači da su ove figure iste.

Na osnovu prvog znaka vrlo je lako dokazati da su trouglovi zaista jednaki, glavno je da su dvije manje stranice (tj. noge) jedna drugoj jednake.

Trokuti će biti identični prema drugom kriteriju, čija je suština jednakost kraka i oštrog ugla.

Svojstva trougla sa pravim uglom

Visina koja se spušta iz pravog ugla dijeli figuru na dva jednaka dijela.

Stranice pravokutnog trokuta i njegova medijana lako se mogu prepoznati po pravilu: medijana koja pada na hipotenuzu jednaka je njegovoj polovini. može se naći i Heronovom formulom i tvrdnjom da je jednak polovini umnoška nogu.

U pravokutnom trokutu vrijede svojstva uglova od 30°, 45° i 60°.

Uz ugao od 30°, treba imati na umu da će suprotna noga biti jednaka 1/2 najveće strane.
Ako je ugao 45°, onda je i drugi oštri ugao 45°. Ovo sugerira da je trokut jednakokračan i da su mu kraci isti.
Svojstvo ugla od 60° je da treći ugao ima stepen od 30°.

Područje se lako može pronaći pomoću jedne od tri formule:

kroz visinu i stranu na koju se spušta;
prema Heronovoj formuli;
na stranama i ugao između njih.

Stranice pravokutnog trougla, odnosno katete, konvergiraju se s dvije visine. Da bismo pronašli treći, potrebno je razmotriti rezultirajući trokut, a zatim, koristeći Pitagorinu teoremu, izračunati potrebnu dužinu. Pored ove formule, postoji i odnos između dvostruke površine i dužine hipotenuze. Najčešći izraz među studentima je prvi, jer zahtijeva manje proračuna.

Teoreme koje se primjenjuju na pravokutni trokut

Geometrija pravokutnog trokuta uključuje korištenje teorema kao što su: