Rotacija krutog tijela oko fiksne ose. Rotaciono kretanje krutog tela oko fiksne ose Zakon o rotacionom kretanju oko fiksne ose

DEFINICIJA: Rotacijsko kretanje krutog tijela takvo kretanje u kojem se sve tačke tijela kreću po kružnicama, čiji centri leže na istoj pravoj liniji, nazvaćemo osom rotacije.

Da bismo proučavali dinamiku rotacionog, dodajemo poznate kinematičke veličine dve količine: momenta moći(M) i moment inercije(J).

1. Iz iskustva je poznato: ubrzanje rotacionog kretanja ne zavisi samo od veličine sile koja deluje na telo, već i od udaljenosti od ose rotacije do linije duž koje sila deluje. Za karakterizaciju ove okolnosti, fizička veličina tzv moment sile.

Razmotrimo najjednostavniji slučaj.

DEFINICIJA: Moment sile oko određene tačke „O” je vektorska veličina definisana izrazom , gde je vektor radijusa povučen od tačke „O” do tačke primene sile.

Iz definicije slijedi da je aksijalni vektor. Njegov smjer je odabran tako da rotacija vektora oko tačke “O” u smjeru sile i vektora formiraju desnoruki sistem. Modul momenta sile je jednak , gdje je a ugao između smjerova vektora i , i l= r grijeh a je dužina okomice spuštene iz tačke "O" na pravu liniju duž koje deluje sila (tzv. rame snage u odnosu na tačku “O”) (slika 4.2).

2. Eksperimentalni podaci pokazuju da na veličinu ugaonog ubrzanja ne utiče samo masa rotirajućeg tela, već i raspodela mase u odnosu na osu rotacije. Količina koja uzima u obzir ovu okolnost naziva se moment inercije u odnosu na os rotacije.

DEFINICIJA: Strogo govoreći, moment inercije tijela u odnosu na određenu os rotacije naziva se vrijednost J, jednaka zbroju proizvoda elementarnih masa kvadratima njihovih udaljenosti od date ose.

Zbrajanje se vrši po svim elementarnim masama na koje je tijelo podijeljeno. Treba imati na umu da ova veličina (J) postoji bez obzira na rotaciju (iako je koncept momenta inercije uveden kada se razmatra rotacija krutog tijela).

Svako tijelo, bez obzira da li miruje ili rotira, ima određeni moment inercije u odnosu na bilo koju osu, kao što tijelo ima masu bez obzira da li se kreće ili miruje.

S obzirom na to , moment inercije se može predstaviti kao: . Ovaj odnos je približan i što su manji elementarni volumeni i odgovarajući elementi mase, to će biti precizniji. Prema tome, zadatak pronalaženja momenata inercije svodi se na integraciju: . Ovdje se integracija vrši preko cijelog volumena tijela.

Zapišimo momente inercije nekih tijela pravilnog geometrijskog oblika.

1. Ujednačena dugačka šipka.
Rice. 4.3	Moment inercije oko ose koja je okomita na štap i prolazi kroz njegovu sredinu jednak je
2. Čvrsti cilindar ili disk.
Rice. 4.4	Moment inercije oko ose koja se poklapa sa geometrijskom osom jednak je .
3. Tankozidni cilindar poluprečnika R.
Rice. 4.5
4. Moment inercije lopte poluprečnika R u odnosu na osu koja prolazi kroz njen centar
Rice. 4.6
5. Moment inercije tankog diska (debljine b<
Rice. 4.7
6. Moment inercije bloka
Rice. 4.8
7. Moment inercije prstena
Rice. 4.9

Izračunavanje momenta inercije ovdje je prilično jednostavno, jer Pretpostavlja se da je tijelo homogeno i simetrično, a moment inercije je određen u odnosu na os simetrije.

Da bi se odredio moment inercije tijela u odnosu na bilo koju osu, potrebno je koristiti Steinerov teorem.

DEFINICIJA: Moment inercije J oko proizvoljne ose jednak je zbiru momenta inercije J c u odnosu na osu paralelnu datoj i koja prolazi kroz centar inercije tijela, i umnožak mase tijela na kvadrat udaljenosti između osa (sl. 4.10).

Ovaj članak opisuje važan dio fizike - "Kinematika i dinamika rotacijskog kretanja".

Osnovni pojmovi kinematike rotacionog kretanja

Rotacijsko kretanje materijalne tačke oko fiksne ose naziva se takvo kretanje, čija je putanja kružnica koja se nalazi u ravni okomitoj na os, a centar joj leži na osi rotacije.

Rotaciono kretanje krutog tela je kretanje u kome se sve tačke tela kreću po koncentričnim (čiji centri leže na istoj osi) kružnicama u skladu sa pravilom rotacionog kretanja materijalne tačke.

Neka proizvoljno kruto tijelo T rotira oko ose O, koja je okomita na ravan crteža. Odaberimo tačku M na ovom tijelu. Kada se rotira, ova tačka će opisivati ​​kružnicu polumjera oko ose O r.

Nakon nekog vremena, radijus će se rotirati u odnosu na svoju prvobitnu poziciju za ugao Δφ.

Smjer desnog zavrtnja (kazaljke na satu) uzima se kao pozitivan smjer rotacije. Promjena ugla rotacije tokom vremena naziva se jednačina rotacionog kretanja krutog tijela:

φ = φ(t).

Ako se φ mjeri u radijanima (1 rad je ugao koji odgovara luku dužine jednak njegovom poluprečniku), tada je dužina kružnog luka ΔS, kojim će materijalna tačka M proći za vrijeme Δt, jednaka:

ΔS = Δφr.

Osnovni elementi kinematike ravnomernog rotacionog kretanja

Mjera kretanja materijalne tačke u kratkom vremenskom periodu dt služi kao elementarni vektor rotacije dφ.

Ugaona brzina materijalne tačke ili tijela je fizička veličina koja je određena omjerom vektora elementarne rotacije i trajanja ove rotacije. Smjer vektora se može odrediti pravilom desnog vijka duž ose O. U skalarnom obliku:

ω = dφ/dt.

Ako ω = dφ/dt = const, onda se takvo kretanje naziva jednoliko rotaciono kretanje. Uz to, kutna brzina je određena formulom

ω = φ/t.

Prema preliminarnoj formuli, dimenzija ugaone brzine

[ω] = 1 rad/s.

Ujednačeno rotacijsko kretanje tijela može se opisati periodom rotacije. Period rotacije T je fizička veličina koja određuje vrijeme tokom kojeg tijelo napravi jedan puni okret oko ose rotacije ([T] = 1 s). Ako u formuli za ugaonu brzinu uzmemo t = T, φ = 2 π (jedan puni okret polumjera r), tada

ω = 2π/T,

Stoga definiramo period rotacije na sljedeći način:

T = 2π/ω.

Broj okretaja koje tijelo napravi u jedinici vremena naziva se frekvencija rotacije ν, koja je jednaka:

ν = 1/T.

Jedinice frekvencije: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Upoređujući formule za ugaonu brzinu i frekvenciju rotacije, dobijamo izraz koji povezuje ove veličine:

ω = 2πν.

Osnovni elementi kinematike neravnomjernog rotacionog kretanja

Neravnomjerno rotacijsko kretanje krutog tijela ili materijalne točke oko fiksne ose karakterizira njegova kutna brzina koja se mijenja s vremenom.

Vector ε , koji karakterizira brzinu promjene ugaone brzine, naziva se vektor ugaonog ubrzanja:

ε = dω/dt.

Ako se tijelo rotira, ubrzavajući, tj dω/dt > 0, vektor ima smjer duž ose u istom smjeru kao i ω.

Ako je rotacijski pokret spor - dω/dt< 0 , tada su vektori ε i ω suprotno usmjereni.

Komentar. Kada dođe do neravnomjernog rotacijskog kretanja, vektor ω se može promijeniti ne samo po veličini, već iu smjeru (kada se os rotacije rotira).

Odnos između veličina koje karakteriziraju translacijsko i rotacijsko kretanje

Poznato je da su dužina luka sa uglom rotacije poluprečnika i njegova vrednost povezani relacijom

ΔS = Δφ r.

Zatim linearna brzina materijalne tačke koja vrši rotaciono kretanje

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Normalno ubrzanje materijalne tačke koja vrši rotacijsko translacijsko kretanje određuje se na sljedeći način:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Dakle, u skalarnom obliku

a = ω 2 r.

Tangencijalna ubrzana materijalna tačka koja vrši rotaciono kretanje

a = ε r.

Zamah materijalne tačke

Vektorski proizvod radijus vektora putanje materijalne tačke mase m i i njenog momenta se naziva ugaoni moment ove tačke oko ose rotacije. Smjer vektora se može odrediti pomoću pravila desnog zavrtnja.

Zamah materijalne tačke ( L i) je usmjeren okomito na ravan povučenu kroz r i i υ i, i sa njima tvori desnu trojku vektora (tj. kada se kreće od kraja vektora r i To υ i desni vijak će pokazati smjer vektora L i).

U skalarnom obliku

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

S obzirom da su pri kretanju u krug vektor radijusa i vektor linearne brzine za i-tu materijalnu tačku međusobno okomiti,

sin(υ i , r i) = 1.

Tako će ugaoni moment materijalne tačke za rotaciono kretanje poprimiti oblik

L = m i υ i r i .

Moment sile koji djeluje na i-tu materijalnu tačku

Vektorski proizvod radijus vektora, koji je povučen do tačke primjene sile, a ta sila se naziva momentom sile koja djeluje na i-tu materijalnu tačku u odnosu na os rotacije.

U skalarnom obliku

M i = r i F i sin(r i , F i).

S obzirom na to r i sinα = l i ,M i = l i F i .

Magnituda l i, jednaka dužini okomice spuštene od točke rotacije do smjera djelovanja sile, naziva se krak sile F i.

Dinamika rotacionog kretanja

Jednadžba za dinamiku rotacijskog kretanja piše se na sljedeći način:

M = dL/dt.

Formulacija zakona je sljedeća: brzina promjene ugaonog momenta tijela koje rotira oko fiksne ose jednaka je rezultirajućem momentu u odnosu na ovu osu svih vanjskih sila koje se primjenjuju na tijelo.

Moment impulsa i moment inercije

Poznato je da je za i-tu materijalnu tačku ugaoni moment u skalarnom obliku dan formulom

L i = m i υ i r i .

Ako umjesto linearne brzine zamijenimo njen izraz kutnom brzinom:

υ i = ωr i ,

tada će izraz za ugaoni moment poprimiti oblik

L i = m i r i 2 ω.

Magnituda I i = m i r i 2 naziva se moment inercije u odnosu na osu i-te materijalne tačke apsolutno krutog tijela koja prolazi kroz njegovo središte mase. Zatim zapisujemo ugaoni moment materijalne tačke:

L i = I i ω.

Zapisujemo ugaoni moment apsolutno krutog tijela kao zbir ugaonog momenta materijalnih tačaka koje čine ovo tijelo:

L = Iω.

Moment sile i moment inercije

Zakon rotacionog kretanja glasi:

M = dL/dt.

Poznato je da se ugaoni moment tijela može predstaviti kroz moment inercije:

L = Iω.

M = Idω/dt.

S obzirom da je ugaona akceleracija određena izrazom

ε = dω/dt,

dobijamo formulu za moment sile, predstavljen kroz moment inercije:

M = Iε.

Komentar. Moment sile smatra se pozitivnim ako je kutno ubrzanje koje ga uzrokuje veće od nule, i obrnuto.

Steinerova teorema. Zakon sabiranja momenata inercije

Ako os rotacije tijela ne prolazi kroz njegovo središte mase, tada se u odnosu na ovu osu može pronaći njegov moment inercije koristeći Steinerov teorem:
I = I 0 + ma 2,

Gdje I 0- početni moment inercije tijela; m- tjelesna masa; a- rastojanje između osovina.

Ako se sistem koji rotira oko fiksne ose sastoji od n tijela, tada će ukupan moment inercije ovog tipa sistema biti jednak zbiru momenata njegovih komponenti (zakon sabiranja momenata inercije).

Gibanje krutog tijela naziva se rotacijskim ako za vrijeme gibanja sve tačke tijela koje se nalaze na određenoj pravoj liniji, koja se naziva osom rotacije, ostanu nepomične(Sl. 2.15).

Obično se određuje položaj tijela tokom rotacijskog kretanja ugao rotacije tijelo , koji se mjeri kao diedarski ugao između nepokretne i pokretne ravnine koja prolazi kroz os rotacije. Štaviše, pokretna ravan je povezana sa rotirajućim tijelom.

Uvedemo u razmatranje pokretne i fiksne koordinatne sisteme čiji će početak biti postavljen u proizvoljnoj tački O na osi rotacije. Osa Oz, zajednička za pokretni i fiksni koordinatni sistem, bit će usmjerena duž ose rotacije, ose Oh fiksnog koordinatnog sistema, usmjeravamo ga okomito na osu Oz tako da leži u fiksnoj ravni, osi Oh 1 Usmjerimo pokretni koordinatni sistem okomito na osu Oz tako da leži u ravnini koja se kreće (slika 2.15).

Ako posmatramo presjek tijela ravninom okomitom na os rotacije, tada je kut rotacije φ može se definirati kao ugao između fiksne ose Oh i pokretna osovina Oh 1, uvek povezan sa rotirajućim telom (slika 2.16).

Prihvaćen je referentni smjer za ugao rotacije tijela φ suprotno od kazaljke na satu smatra se pozitivnim kada se gleda iz pozitivnog smjera ose Oz.

Jednakost φ = φ(t), opisujući promjenu ugla φ u vremenu se naziva zakon ili jednačina rotacionog kretanja krutog tijela.

Brzinu i smjer promjene ugla rotacije krutog tijela karakteriziraju ugaona brzina. Apsolutna vrijednost ugaone brzine obično se označava slovom grčke abecede ω (omega). Algebarska vrijednost ugaone brzine obično se označava sa . Algebarska vrijednost ugaone brzine jednaka je prvoj vremenskoj derivaciji ugla rotacije:

. (2.33)

Jedinice ugaone brzine jednake su jedinicama ugla podeljenim jedinicom vremena, na primer, deg/min, rad/h. U SI sistemu, jedinica mjere za ugaonu brzinu je rad/s, ali se češće naziv ove mjerne jedinice piše kao 1/s.

Ako je > 0, tada se tijelo rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu kada se gleda sa kraja koordinatne ose poravnate s osom rotacije.

Ako< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Brzina i smjer promjene ugaone brzine karakteriziraju ugaono ubrzanje. Apsolutna vrijednost ugaonog ubrzanja obično se označava slovom grčke abecede e (epsilon). Algebarska vrijednost kutnog ubrzanja obično se označava sa . Algebarska vrijednost ugaonog ubrzanja jednaka je prvom izvodu s obzirom na vrijeme algebarske vrijednosti ugaone brzine ili drugom izvodu ugla rotacije:

Jedinice ugaonog ubrzanja jednake su jedinicama ugla podijeljenim jedinicom vremena na kvadrat. Na primjer, deg/s 2, rad/h 2. U SI sistemu, jedinica mjere za ugaono ubrzanje je rad/s 2, ali se češće naziv ove mjerne jedinice piše kao 1/s 2.

Ako algebarske vrijednosti kutne brzine i kutne akceleracije imaju isti predznak, tada se kutna brzina vremenom povećava po veličini, a ako je različita, opada.

Ako je ugaona brzina konstantna ( ω = const), tada je uobičajeno reći da je rotacija tijela ravnomjerna. U ovom slučaju:

φ = t + φ 0, (2.35)

Gdje φ 0 - početni ugao rotacije.

Ako je kutno ubrzanje konstantno (e = const), tada je uobičajeno reći da je rotacija tijela jednoliko ubrzana (jednoliko spora). U ovom slučaju:

Gdje 0 - početna ugaona brzina.

U drugim slučajevima, za utvrđivanje zavisnosti φ od I potrebno je integrisati izraze (2.33), (2.34) pod datim početnim uslovima.

Na crtežima je smjer rotacije tijela ponekad prikazan zakrivljenom strelicom (slika 2.17).

Često se u mehanici ugaona brzina i ugaona ubrzanja smatraju vektorskim veličinama I . Oba ova vektora su usmjerena duž ose rotacije tijela. Štaviše, vektor usmjeren u jednom smjeru s jediničnim vektorom, koji određuje smjer koordinatne ose koja se poklapa sa osom rotacije, ako >0, i obrnuto ako
Smjer vektora se bira na isti način (slika 2.18).

Za vrijeme rotacionog kretanja tijela, svaka njegova točka (osim tačaka koje se nalaze na osi rotacije) kreće se duž putanje, koja je kružnica poluprečnika jednakog najkraćoj udaljenosti od tačke do osi rotacije (sl. 2.19).

Pošto tangenta kružnice u bilo kojoj tački čini ugao od 90° sa poluprečnikom, vektor brzine tačke tela koje se giba biće usmeren okomito na poluprečnik i ležati u ravni kružnice, što je putanja kretanja tačke. Tangencijalna komponenta ubrzanja će ležati na istoj liniji kao i brzina, a normalna komponenta će biti usmjerena radijalno prema centru kružnice. Stoga se ponekad nazivaju tangencijalna i normalna komponenta ubrzanja tokom rotacionog kretanja rotacijski i centripetalni (aksijalni) komponente (slika 2.19)

Algebarska vrijednost brzine tačke određena je izrazom:

, (2.37)

gdje je R = OM najkraća udaljenost od tačke do ose rotacije.

Algebarska vrijednost tangencijalne komponente ubrzanja određena je izrazom:

. (2.38)

Modul normalne komponente ubrzanja određen je izrazom:

. (2.39)

Vektor ubrzanja tačke tokom rotacionog kretanja određen je pravilom paralelograma kao geometrijski zbir komponenti tangente i normale. Prema tome, modul ubrzanja se može odrediti pomoću Pitagorine teoreme:

Ako su ugaona brzina i kutno ubrzanje definirane kao vektorske veličine , , tada se vektori brzine, tangencijalne i normalne komponente ubrzanja mogu odrediti formulama:

gdje je radijus vektor povučen u tačku M iz proizvoljne tačke na osi rotacije (slika 2.20).

Rješavanje zadataka koji uključuju rotacijsko kretanje jednog tijela obično ne izaziva nikakve poteškoće. Koristeći formule (2.33)-(2.40), možete lako odrediti bilo koji nepoznati parametar.

Određene poteškoće nastaju prilikom rješavanja problema povezanih s proučavanjem mehanizama koji se sastoje od nekoliko međusobno povezanih tijela koja vrše i rotacijsko i translacijsko kretanje.

Opšti pristup rješavanju ovakvih problema je da se kretanje s jednog tijela na drugo prenosi kroz jednu tačku - tačku dodira (dodira). Štaviše, tijela u dodiru imaju jednake brzine i tangencijalne komponente ubrzanja u tački kontakta. Normalne komponente ubrzanja za tijela koja su u dodiru u tački dodira su različite i zavise od putanje tačaka tijela.

Prilikom rješavanja problema ove vrste, zgodno je, ovisno o konkretnim okolnostima, koristiti i formule date u odjeljku 2.3 i formule za određivanje brzine i ubrzanja tačke kada se odredi njeno kretanje kao prirodno (2.7), (2.14 ) (2.16) ili koordinatne (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) metode. Štaviše, ako je kretanje tijela kojem tačka pripada rotaciono, putanja tačke će biti kružnica. Ako je kretanje tijela pravolinijsko translatorno, onda će putanja točke biti prava linija.

Primjer 2.4. Tijelo se rotira oko fiksne ose. Ugao rotacije tijela mijenja se po zakonu φ = π t 3 drago. Za tačku koja se nalazi na udaljenosti OM = R = 0,5 m od ose rotacije, odredite brzinu, tangentu, normalne komponente ubrzanja i ubrzanja u trenutku t 1= 0,5 s. Pokažite smjer ovih vektora na crtežu.

Razmotrimo presjek tijela ravninom koja prolazi kroz tačku O okomito na osu rotacije (slika 2.21). Na ovoj slici, tačka O je tačka preseka ose rotacije i ravni sečenja, tačka M o I M 1- početni i trenutni položaj tačke M. Kroz tačke O i M o nacrtati fiksnu osu Oh, i kroz tačke O i M 1 - pokretna osovina Oh 1. Ugao između ovih osa će biti jednak

Zakon promjene ugaone brzine tijela nalazimo razlikovanjem zakona promjene ugla rotacije:

U momentu t 1 ugaona brzina će biti jednaka

Pronaći ćemo zakon promjene ugaonog ubrzanja tijela razlikovanjem zakona promjene ugaone brzine:

U momentu t 1 kutno ubrzanje će biti jednako:

1/s 2,

Algebarske vrijednosti vektora brzine, tangencijalne komponente ubrzanja, modula normalne komponente ubrzanja i modula ubrzanja pronalazimo pomoću formula (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):

M/s 2 ;

m/s 2 .

Od ugla φ 1>0, onda ćemo ga pomjeriti sa ose Ox u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. I od tada > 0, zatim vektori će biti usmjeren okomito na polumjer OM 1 tako da ih vidimo kako rotiraju suprotno od kazaljke na satu. Vector će biti usmjerena duž radijusa OM 1 na os rotacije. Vector Gradimo prema pravilu paralelograma na vektorima τ I .

Primjer 2.5. Prema datoj jednačini pravolinijskog translacionog kretanja tereta 1 x = 0,6t 2 - 0,18 (m) određuju brzinu, kao i tangencijalnu, normalnu komponentu ubrzanja i ubrzanje tačke M mehanizma u trenutku vremena t 1, kada je put koji pređe teret 1 s = 0,2 m. Prilikom rješavanja zadatka pretpostavit ćemo da nema klizanja na mjestu dodira tijela 2 i 3, R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R 3 = 0,5 m (sl. 2.22).

Zakon pravolinijskog translatornog kretanja tereta 1 dat je u koordinatnom obliku. Odredimo trenutak u vremenu t 1, za koji će put prijeđen teretom 1 biti jednak s

s = x(t l)-x(0),

odakle dobijamo:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

dakle,

Nakon što smo diferencirali jednadžbu gibanja s obzirom na vrijeme, nalazimo projekcije brzine i ubrzanja tereta 1 na os Ox:

gospođa 2 ;

U trenutku t = t 1 projekcija brzine tereta 1 će biti jednaka:

to jest, biće veće od nule, kao i projekcija ubrzanja tereta 1. Dakle, opterećenje 1 će biti u trenutku t 1 kretati se ravnomjerno ubrzano prema dolje, odnosno tijelo 2 će se rotirati ravnomjerno ubrzano u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a tijelo 3 će se rotirati u smjeru kazaljke na satu.

Tijelo 2 se pokreće u rotaciju pomoću tijela 1 kroz navoj namotan na mali bubanj. Dakle, moduli brzina tačaka tela 1, konca i površine bubnja tela 2 su jednaki, a moduli ubrzanja tačaka tela 1, navoja i tangencijalne komponente ubrzanja tačaka površine bubnja tela 2 takođe će biti jednake.Shodno tome, modul ugaone brzine tela 2 može se definisati kao

Modul ugaonog ubrzanja tijela 2 bit će jednak:

1/s 2 .

Odredimo module brzine i tangencijalne komponente ubrzanja za tačku K tijela 2 - dodirnu tačku tijela 2 i 3:

gospođa, gospođa 2

Budući da se tijela 2 i 3 rotiraju bez međusobnog klizanja, veličine brzine i tangencijalne komponente ubrzanja tačke K - dodirne tačke za ova tijela će biti jednake.

usmjerimo ga okomito na polumjer u smjeru rotacije tijela, jer tijelo 3 rotira jednoliko ubrzano

Progresivna je kretanje krutog tijela u kojem svaka ravna linija koja je uvijek povezana s ovim tijelom ostaje paralelna sa svojim početnim položajem.

Teorema. Za vrijeme translacijskog kretanja krutog tijela, sve njegove točke opisuju identične putanje i u svakom trenutku imaju jednaku brzinu i ubrzanje po veličini i smjeru.

Dokaz. Provucimo kroz dvije tačke i , linearno pokretni segment tijela
i razmotrite kretanje ovog segmenta u poziciji
. Istovremeno, poenta opisuje putanju
, i tačka - putanja
(Sl. 56).

S obzirom da segment
kreće se paralelno sa sobom, a njegova dužina se ne mijenja, može se ustanoviti da trajektorije tačaka I biće isti. To znači da je prvi dio teoreme dokazan. Odredićemo položaj tačaka I vektorska metoda u odnosu na fiksno ishodište . Štaviše, ovi radijusi - vektori su zavisni
. Jer. ni dužina ni pravac segmenta
se ne mijenja kada se tijelo kreće, tada vektor

. Pređimo na određivanje brzina pomoću zavisnosti (24):

, dobijamo
.

Prijeđimo na određivanje ubrzanja pomoću zavisnosti (26):

, dobijamo
.

Iz dokazane teoreme slijedi da će translacijsko kretanje tijela biti potpuno određeno ako je poznato kretanje samo jedne tačke. Stoga se proučavanje translacionog kretanja krutog tijela svodi na proučavanje kretanja jedne njegove tačke, tj. na problem kinematike tačke.

Tema 11. Rotacijsko kretanje krutog tijela

Rotacijski To je kretanje krutog tijela u kojem dvije njegove tačke ostaju nepomične tijekom cijelog kretanja. U ovom slučaju naziva se prava linija koja prolazi kroz ove dvije fiksne tačke osa rotacije.

Pri tom kretanju svaka tačka tijela koja ne leži na osi rotacije opisuje kružnicu čija je ravan okomita na os rotacije, a centar joj leži na ovoj osi.

Kroz os rotacije povlačimo nepokretnu ravan I i pokretnu ravan II, koja je uvek povezana sa telom i rotira sa njim (slika 57). Položaj ravni II, a samim tim i cijelog tijela, u odnosu na ravan I u prostoru, u potpunosti je određen uglom . Kada se tijelo rotira oko ose ovaj ugao je kontinuirana i nedvosmislena funkcija vremena. Dakle, poznavajući zakon promjene ovog ugla tokom vremena, možemo odrediti položaj tijela u prostoru:

- zakon rotacionog kretanja tela. (43)

U ovom slučaju, pretpostavićemo da je ugao mjereno iz fiksne ravnine u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu, gledano s pozitivnog kraja ose . Pošto je položaj tijela koje rotira oko fiksne ose određen jednim parametrom, kaže se da takvo tijelo ima jedan stepen slobode.

Ugaona brzina

Promjena ugla rotacije tijela tokom vremena naziva se ugaona telesna brzina i određen je
(omega):

.(44)

Ugaona brzina, baš kao i linearna brzina, je vektorska veličina i ovaj vektor izgrađena na osi rotacije tela. Usmjeren je duž ose rotacije u tom smjeru tako da se, gledajući od njegovog kraja prema njegovom početku, vidi rotacija tijela u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (sl. 58). Modul ovog vektora je određen zavisnošću (44). Tačka aplikacije na osi se može birati proizvoljno, budući da se vektor može prenijeti duž linije njegovog djelovanja. Ako orth-vektor osi rotacije označimo sa , tada dobijamo vektorski izraz za ugaonu brzinu:

. (45)

Kutno ubrzanje

Brzina promjene ugaone brzine tijela tokom vremena naziva se ugaono ubrzanje tijelo i određen je (epsilon):

. (46)

Kutno ubrzanje je vektorska veličina i ovaj vektor izgrađena na osi rotacije tela. Usmjeren je duž ose rotacije u tom smjeru tako da se, gledajući od njegovog kraja prema njegovom početku, vidi smjer rotacije ipsilona u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (sl. 58). Modul ovog vektora je određen zavisnošću (46). Tačka aplikacije na osi se može birati proizvoljno, budući da se vektor može prenijeti duž linije njegovog djelovanja.

Ako orth-vektor osi rotacije označimo sa , tada dobijamo vektorski izraz za ugaono ubrzanje:

. (47)

Ako su ugaona brzina i ubrzanje istog predznaka, tada se tijelo rotira ubrzano, a ako je drugačije - polako. Primjer spore rotacije prikazan je na sl. 58.

Razmotrimo posebne slučajeve rotacionog kretanja.

1. Ravnomjerna rotacija:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Jednaka rotacija:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

Odnos linearnih i ugaonih parametara

Razmotrimo kretanje proizvoljne tačke
rotirajuće telo. U ovom slučaju, putanja tačke će biti kružnica sa radijusom
, koji se nalazi u ravni okomitoj na os rotacije (Sl. 59, A).

Pretpostavimo da je to u trenutku tačka je na poziciji
. Pretpostavimo da se tijelo rotira u pozitivnom smjeru, tj. u pravcu povećanja ugla . U trenutku
tačka će zauzeti poziciju
. Označimo luk
. Stoga, tokom određenog vremenskog perioda
tačka je prešla put
. Njena prosečna brzina , i kada
,
. Ali, sa Sl. 59, b, to je jasno
. Onda. Konačno dobijamo

. (50)

Evo - linearna brzina tačke
. Kao što je ranije dobijeno, ova brzina je usmjerena tangencijalno na putanju u datoj tački, tj. tangenta na kružnicu.

Dakle, modul linearne (obodne) brzine tačke rotirajućeg tela jednak je proizvodu apsolutne vrednosti ugaone brzine i udaljenosti od ove tačke do ose rotacije.

Sada povežimo linearne komponente ubrzanja tačke sa ugaonim parametrima.

,
. (51)

Modul tangencijalnog ubrzanja tačke krutog tijela koje se okreće oko fiksne ose jednak je proizvodu kutnog ubrzanja tijela i udaljenosti od ove točke do ose rotacije.

,
. (52)

Modul normalnog ubrzanja točke krutog tijela koja se okreće oko fiksne ose jednak je proizvodu kvadrata ugaone brzine tijela i udaljenosti od ove točke do ose rotacije.

Tada izraz za ukupno ubrzanje tačke poprima oblik

. (53)

Vektorski smjerovi ,,prikazano na slici 59, V.

Ravno kretanje krutog tijela je kretanje u kojem se sve tačke tijela kreću paralelno s nekom fiksnom ravninom. Primjeri takvih kretanja:

Kretanje bilo kojeg tijela čija osnova klizi duž date fiksne ravni;

Kotrljanje točka duž pravog dijela kolosijeka (šine).

Dobijamo jednadžbe ravninskog kretanja. Da biste to učinili, razmotrite ravnu figuru koja se kreće u ravnini lista (slika 60). Povežimo ovo kretanje sa fiksnim koordinatnim sistemom
, a sa samom figurom povezujemo pokretni koordinatni sistem
, koji se kreće s njim.

Očigledno je da je položaj pokretne figure na stacionarnoj ravni određen položajem pokretnih osa
u odnosu na fiksne ose
. Ovaj položaj je određen položajem pokretačkog početka , tj. koordinate ,i ugao rotacije , pokretni koordinatni sistem, relativno fiksiran, koji ćemo računati od ose u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu.

Prema tome, kretanje ravne figure u njenoj ravnini će biti potpuno određeno ako su vrijednosti od ,,, tj. jednačine oblika:

,
,
. (54)

Jednačine (54) su jednadžbe ravninskog gibanja krutog tijela, jer ako su ove funkcije poznate, onda je za svaki trenutak vremena moguće pronaći iz ovih jednačina, odnosno ,,, tj. odrediti položaj pokretne figure u datom trenutku.

Razmotrimo posebne slučajeve:

1.

, tada će kretanje tijela biti translatorno, budući da se ose pomiču dok ostaju paralelne sa svojim početnim položajem.

2.

,

. Ovim kretanjem mijenja se samo ugao rotacije , tj. tijelo će se rotirati oko ose koja prolazi okomito na ravan crtanja kroz tačku .

Dekompozicija kretanja ravne figure na translaciono i rotaciono

Razmotrite dva uzastopna položaja I
zauzeto telom u trenucima vremena I
(Sl. 61). Telo iz pozicije na poziciju
može se prenijeti na sljedeći način. Pomerimo prvo telo progresivno. U ovom slučaju, segment
kretaće se paralelno sa sobom u poziciju
, i onda okrenimo se tijelo oko tačke (pola) pod uglom
sve dok se tačke ne poklope I .

dakle, bilo koje kretanje u ravnini može se predstaviti kao zbir translacijskog kretanja zajedno sa odabranim polom i rotacijskim kretanjem, u odnosu na ovaj pol.

Razmotrimo metode koje se mogu koristiti za određivanje brzina tačaka tijela koje se kreće u ravnini.

1. Metoda stubova. Ova metoda se zasniva na rezultujućoj dekompoziciji kretanja u ravnini na translaciono i rotaciono. Brzina bilo koje tačke ravne figure može se predstaviti u obliku dvije komponente: translatorne, sa brzinom jednakom brzini proizvoljno odabrane tačke -stubovi , i rotacijski oko ovog pola.

Razmotrimo ravno tijelo (slika 62). Jednačine kretanja su:
,
,
.

Iz ovih jednačina određujemo brzinu tačke (kao sa koordinatnom metodom specificiranja)

,
,
.

Dakle, brzina tačke - količina je poznata. Uzimamo ovu tačku kao pol i određujemo brzinu proizvoljne tačke
tijela.

Brzina
sastojat će se od translacijske komponente , kada se kreće zajedno sa točkom , i rotacijski
, prilikom rotacije tačke
u odnosu na tačku . Tačkasta brzina pređite na tačku
paralelno sa sobom, budući da su tokom translacionog kretanja brzine svih tačaka jednake i po veličini i po pravcu. Brzina
bit će određen ovisnošću (50)
, a ovaj vektor je usmjeren okomito na polumjer
u smjeru rotacije
. Vector
će biti usmjerena duž dijagonale paralelograma izgrađenog na vektorima I
, a njegov modul je određen ovisnošću:

, .(55)

2. Teorema o projekcijama brzina dviju tačaka tijela.

Projekcije brzina dviju tačaka krutog tijela na pravu liniju koja povezuje ove tačke jednake su jedna drugoj.

Razmotrite dvije tačke tijela I (Sl. 63). Uzimam poen iza pola, određujemo pravac zavisno od (55):
. Projektiramo ovu vektorsku jednakost na pravu
i s obzirom na to
okomito
, dobijamo

3. Trenutni centar brzine.

Centar trenutne brzine(MCS) je tačka čija je brzina u datom trenutku nula.

Pokažimo da ako se tijelo ne kreće translacijsko, onda takva tačka postoji u svakom trenutku vremena i, štoviše, jedinstvena je. Neka u trenutku bodova I tijela koja leže u sekciji , imaju brzine I , nisu paralelne jedna s drugom (Sl. 64). Onda pokažite
, koji leži na presjeku okomitih vektora I , i postojaće MCS, pošto
.

Zaista, ako to pretpostavimo
, zatim prema teoremi (56) vektor
mora istovremeno biti okomito
I
, što je nemoguće. Iz iste teoreme jasno je da nijedna druga tačka nije tačna u ovom trenutku ne može imati brzinu jednaku nuli.

Koristeći metodu stubova
- stub, odredi brzinu tačke (55): jer
,
. (57)

Sličan rezultat se može dobiti za bilo koju drugu tačku tijela. Stoga je brzina bilo koje tačke na tijelu jednaka njenoj brzini rotacije u odnosu na MCS:

,
,
, tj. Brzine tačaka tela su proporcionalne njihovoj udaljenosti do MCS.

Iz tri razmatrane metode za određivanje brzina tačaka ravne figure, jasno je da je MCS poželjniji, jer se ovdje brzina odmah određuje i po veličini i u smjeru jedne komponente. Međutim, ova metoda se može koristiti ako znamo ili možemo odrediti položaj MCS za tijelo.

Određivanje položaja MCS-a

1. Ako za dati položaj tijela znamo smjerove brzina dviju tačaka tijela, tada će MCS biti tačka presjeka okomita na ove vektore brzina.

2. Brzine dve tačke tela su antiparalelne (slika 65, A). U ovom slučaju, okomita na brzine će biti uobičajena, tj. MCS se nalazi negdje na ovoj okomici. Za određivanje položaja MCS-a potrebno je povezati krajeve vektora brzina. Tačka presjeka ove linije sa okomom će biti željeni MCS. U ovom slučaju, MCS se nalazi između ove dvije tačke.

3. Brzine dve tačke tela su paralelne, ali nisu jednake po veličini (slika 65, b). Procedura za dobijanje MDS-a je slična onoj opisanoj u paragrafu 2.

d) Brzine dve tačke su jednake i po veličini i po pravcu (Sl. 65, V). Dobijamo slučaj trenutnog translacijskog kretanja, u kojem su brzine svih tačaka tijela jednake. Prema tome, ugaona brzina tijela u ovom položaju je nula:

4. Odredimo MCS za kotrljanje točka bez klizanja po stacionarnoj površini (Sl. 65, G). Pošto se kretanje odvija bez klizanja, u tački kontakta točka sa površinom brzina će biti ista i jednaka nuli, jer površina miruje. Prema tome, tačka kontakta točka sa nepokretnom površinom će biti MCS.

Određivanje ubrzanja tačaka ravne figure

Prilikom određivanja ubrzanja tačaka ravne figure postoji analogija s metodama za određivanje brzina.

1. Metoda stubova. Kao što pri određivanju brzina uzimamo kao pol proizvoljnu tačku tijela čije ubrzanje znamo ili možemo odrediti. Onda ubrzanje bilo koje tačke ravne figure jednako je zbroju ubrzanja pola i ubrzanja rotacionog kretanja oko ovog pola:

U ovom slučaju komponenta
određuje ubrzanje tačke dok se okreće oko pola . Prilikom rotacije, putanja tačke će biti krivolinijska, što znači
(Sl. 66).

Tada zavisnost (58) poprima oblik
. (59)

Uzimajući u obzir zavisnosti (51) i (52), dobijamo
,
.

2. Centar za trenutno ubrzanje.

Centar za trenutno ubrzanje(MCU) je tačka čije je ubrzanje u datom trenutku nula.

Pokažimo da u bilo kom trenutku postoji takva tačka. Uzimamo tačku kao motku , čije ubrzanje
mi znamo. Pronalaženje ugla , leži unutra
, i zadovoljavajući uslov
. Ako
, To
i obrnuto, tj. ugao kasni u pravcu . Hajde da odložimo sa tačke pod uglom na vektor
linijski segment
(Sl. 67). Bod dobijen takvim konstrukcijama
postojat će MCU.

Zaista, ubrzanje tačke
jednak zbiru ubrzanja
stubovi i ubrzanje
u rotacionom kretanju oko pola :
.

,
. Onda
. S druge strane, ubrzanje
formira sa smjerom segmenta
ugao
, što zadovoljava uslov
. Ispred tangente ugla stavlja se znak minus , od rotacije
u odnosu na pol suprotno od kazaljke na satu i ugao
deponuje se u smeru kazaljke na satu. Onda
.

dakle,
i onda
.

Posebni slučajevi određivanja MCU

1.
. Onda
, pa stoga MCU ne postoji. U ovom slučaju tijelo se kreće translatorno, tj. brzine i ubrzanja svih tačaka tela su jednake.

2.
. Onda
,
. To znači da MCU leži na preseku linija delovanja ubrzanja tačaka tela (Sl. 68, A).

3.
. onda,
,
. To znači da MCU leži na presjeku okomica na ubrzanja tačaka tijela (Sl. 68, b).

4.
. Onda
,

. To znači da MCU leži na sjecištu zraka povučenih do ubrzanja tačaka tijela pod kutom (Sl. 68, V).

Iz razmatranih posebnih slučajeva možemo zaključiti: ako prihvatimo poentu
izvan pola, tada je ubrzanje bilo koje točke ravne figure određeno ubrzanjem u rotacijskom kretanju oko MCU:

. (60)

Složeno kretanje tačke kretanje u kojem tačka istovremeno učestvuje u dva ili više kretanja naziva se. Ovakvim kretanjem određuje se položaj tačke u odnosu na pokretni i relativno stacionarni referentni sistem.

Pomeranje tačke u odnosu na pokretni referentni okvir se naziva relativno kretanje tačke . Slažemo se da označimo parametre relativnog kretanja
.

Kretanje one tačke pokretnog referentnog sistema sa kojom se pokretna tačka u odnosu na stacionarni referentni sistem trenutno poklapa naziva se prenosivo kretanje tačke . Slažemo se da označimo parametre prijenosnog kretanja
.

Pomicanje tačke u odnosu na fiksni referentni okvir naziva se apsolutni (složen) pomeranje tačke . Slažemo se da označimo parametre apsolutnog kretanja
.

Kao primjer složenog kretanja možemo uzeti u obzir kretanje osobe u vozilu u pokretu (tramvaju). U ovom slučaju, ljudsko kretanje je vezano za pokretni koordinatni sistem - tramvaj i za fiksni koordinatni sistem - zemlja (put). Zatim, na osnovu gore navedenih definicija, kretanje osobe u odnosu na tramvaj je relativno, kretanje zajedno sa tramvajem u odnosu na tlo je prenosivo, a kretanje osobe u odnosu na tlo je apsolutno.

Odredićemo poziciju tačke
radijusi - vektori u odnosu na kretanje
i nepomično
koordinatni sistemi (slika 69). Hajde da uvedemo sljedeću notaciju: - radijus vektor koji definiše poziciju tačke
u odnosu na pokretni koordinatni sistem
,
;- radijus vektor koji određuje poziciju početka pokretnog koordinatnog sistema (tačka ) (tačke );- radijus – vektor koji određuje položaj tačke
u odnosu na fiksni koordinatni sistem
;
,.

Dobijmo uslove (ograničenja) koji odgovaraju relativnim, prenosivim i apsolutnim kretanjima.

1. Kada razmatramo relativno kretanje, pretpostavićemo da je tačka
kreće se u odnosu na pokretni koordinatni sistem
, i sam pokretni koordinatni sistem
u odnosu na fiksni koordinatni sistem
ne pomera se.

Zatim koordinate tačke
će se mijenjati u relativnom kretanju, ali orth-vektori pomičnog koordinatnog sistema neće se mijenjati u smjeru:

,

,

.

2. Kada razmatramo prijenosno kretanje, pretpostavit ćemo da su koordinate tačke
u odnosu na pokretni koordinatni sistem su fiksni, a tačka se kreće zajedno sa pokretnim koordinatnim sistemom
relativno stacionarni
:

,

,

,.

3. Sa apsolutnim kretanjem, tačka se takođe kreće relativno
i zajedno sa koordinatnim sistemom
relativno stacionarni
:

Tada izrazi za brzine, uzimajući u obzir (27), imaju oblik

,
,

Upoređujući ove zavisnosti, dobijamo izraz za apsolutnu brzinu:
. (61)

Dobili smo teoremu o sabiranju brzina tačke u kompleksnom kretanju: apsolutna brzina tačke jednaka je geometrijskom zbiru relativne i prenosive komponente brzine.

Koristeći zavisnost (31) dobijamo izraze za ubrzanja:

,

Upoređujući ove zavisnosti, dobijamo izraz za apsolutno ubrzanje:
.

Otkrili smo da apsolutno ubrzanje tačke nije jednako geometrijskom zbroju relativne i prenosive komponente ubrzanja. Odredimo apsolutnu komponentu ubrzanja u zagradama za posebne slučajeve.

1. Prijenosno translacijsko kretanje točke
. U ovom slučaju, osi pokretnog koordinatnog sistema
onda se sve vreme kreću paralelno sa sobom.

,

,

,
,
,
, Onda
. Konačno dobijamo

. (62)

Ako je prenosivo kretanje tačke translatorno, tada je apsolutno ubrzanje tačke jednako geometrijskom zbroju relativne i prenosive komponente ubrzanja.

2. Prenosno kretanje tačke nije translaciono. To znači da je u ovom slučaju pokretni koordinatni sistem
rotira oko trenutne ose rotacije ugaonom brzinom (Sl. 70). Označimo tačku na kraju vektora kroz . Zatim, koristeći vektorsku metodu specificiranja (15), dobijamo vektor brzine ove tačke
.

Na drugoj strani,
. Izjednačavajući desne strane ovih vektorskih jednakosti, dobijamo:
. Postupajući na sličan način za preostale jedinične vektore, dobijamo:
,
.

U opštem slučaju, apsolutno ubrzanje tačke je jednako geometrijskom zbroju relativne i prenosive komponente ubrzanja plus udvojeni vektorski proizvod vektora ugaone brzine prenosivog kretanja i vektora linearne brzine relativnog kretanja.

Dvostruki vektorski proizvod vektora ugaone brzine prenosnog kretanja i vektora linearne brzine relativnog kretanja naziva se Coriolisovo ubrzanje i određen je

. (64)

Coriolisovo ubrzanje karakterizira promjenu relativne brzine u translacijskom kretanju i promjenu translacijske brzine u relativnom kretanju.

Na čelu
prema pravilu vektorskog proizvoda. Coriolisov vektor ubrzanja je uvijek usmjeren okomito na ravan koju čine vektori I , na takav način da, gledajući s kraja vektora
, vidi skretanje To , kroz najmanji ugao, u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Coriolisov modul ubrzanja je jednak.

Ugao rotacije, ugaona brzina i ugaono ubrzanje

Rotacija krutog tijela oko fiksne ose Naziva se takvo kretanje u kojem dvije tačke tijela ostaju nepomične za cijelo vrijeme kretanja. U tom slučaju, sve tačke tijela koje se nalaze na pravoj liniji koja prolazi kroz njegove fiksne tačke također ostaju nepomične. Ova linija se zove osa rotacije tela.

Ako A I IN- fiksne tačke tela (sl. 15 ), tada je osa rotacije osa Oz, koji može imati bilo koji smjer u prostoru, ne nužno vertikalni. Smjer jedne ose Oz se uzima kao pozitivna.

Kroz os rotacije crtamo fiksnu ravan By i mobilni P, pričvršćen za rotirajuće tijelo. Neka se u početnom trenutku obe ravni poklapaju. Onda u jednom trenutku t Položaj ravnine koja se kreće i samog rotirajućeg tijela može se odrediti diedralnim uglom između ravnina i odgovarajućim linearnim uglom φ između pravih linija koje se nalaze u ovim ravninama i okomito na os rotacije. Ugao φ pozvao ugao rotacije tela.

Položaj tijela u odnosu na odabrani referentni sistem potpuno je određen u bilo kojem

trenutak u vremenu, ako je data jednačina φ =f(t) (5)

Gdje f(t)- bilo koja dvostruko diferencibilna funkcija vremena. Ova jednačina se zove jednadžba za rotaciju krutog tijela oko fiksne ose.

Tijelo koje rotira oko fiksne ose ima jedan stupanj slobode, jer se njegov položaj određuje specificiranjem samo jednog parametra - kuta φ .

Ugao φ smatra se pozitivnim ako je ucrtan u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnim u suprotnom smjeru kada se gleda iz pozitivnog smjera ose Oz. Putanja tačaka tijela za vrijeme njegove rotacije oko fiksne ose su kružnice koje se nalaze u ravninama okomitim na os rotacije.

Da bismo okarakterizirali rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose, uvodimo koncepte ugaone brzine i ugaonog ubrzanja. Algebarska ugaona brzina tijela u bilo kom trenutku naziva se prvim izvodom u odnosu na vrijeme ugla rotacije u ovom trenutku, tj. dφ/dt = φ. Pozitivna je veličina kada se tijelo rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, jer se ugao rotacije povećava s vremenom, a negativan kada se tijelo rotira u smjeru kazaljke na satu, jer se ugao rotacije smanjuje.

Modul ugaone brzine je označen sa ω. Onda ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Dimenzija ugaone brzine se postavlja u skladu sa (6)

[ω] = ugao/vrijeme = rad/s = s -1.

U tehnici, kutna brzina je brzina rotacije izražena u okretajima u minuti. Za 1 minut telo će se rotirati za ugao 2πp, Ako P- broj obrtaja u minuti. Podijelimo ovaj ugao sa brojem sekundi u minuti, dobijemo: (7)

Algebarsko ugaono ubrzanje tijela naziva se prvim izvodom u odnosu na vrijeme algebarske brzine, tj. drugi izvod ugla rotacije d 2 φ/dt 2 = ω. Označimo modul kutnog ubrzanja ε , Onda ε=|φ| (8)

Dimenzija ugaonog ubrzanja se dobija iz (8):

[ε ] = ugaona brzina/vrijeme = rad/s 2 = s -2

Ako φ’’>0 at φ’>0 , tada se algebarska ugaona brzina povećava s vremenom i, prema tome, tijelo u tom trenutku ubrzano rotira u pozitivnom smjeru (u suprotnom smjeru kazaljke na satu). At φ’’<0 I φ’<0 tijelo se brzo rotira u negativnom smjeru. Ako φ’’<0 at φ’>0 , tada imamo sporu rotaciju u pozitivnom smjeru. At φ’’>0 I φ’<0 , tj. spora rotacija se događa u negativnom smjeru. Kutna brzina i kutno ubrzanje na slikama prikazani su lučnim strelicama oko ose rotacije. Strelica u obliku luka za ugaonu brzinu pokazuje smjer rotacije tijela;

Za ubrzanu rotaciju, lučne strelice za kutnu brzinu i ugaono ubrzanje imaju isti smjer; za sporu rotaciju, njihovi smjerovi su suprotni.

Posebni slučajevi rotacije krutog tijela

Za rotaciju se kaže da je uniformna ako ω=const, φ= φ’t

Rotacija će biti ujednačena ako ε=konst. φ’= φ’ 0 + φ’’t i

Općenito, ako φ’’ nije uvijek,

Brzine i ubrzanja tjelesnih tačaka

Jednačina za rotaciju krutog tijela oko fiksne ose je poznata φ= f(t)(Sl. 16). Razdaljina s bodova M u avionu u pokretu P duž kružnog luka (putanja tačke), mjereno od tačke M o, nalazi u fiksnoj ravni, izraženoj kroz ugao φ zavisnost s=hφ, Gdje h- poluprečnik kružnice po kojoj se tačka kreće. To je najkraća udaljenost od tačke M na os rotacije. To se ponekad naziva radijusom rotacije tačke. U svakoj tački tijela polumjer rotacije ostaje nepromijenjen kada se tijelo rotira oko fiksne ose.

Algebarska brzina tačke M određena formulom v τ =s’=hφ Modul brzine tačke: v=hω(9)

Brzine tačaka tijela kada se rotiraju oko fiksne ose proporcionalne su njihovim najkraćim udaljenostima do ove ose. Koeficijent proporcionalnosti je ugaona brzina. Brzine tačaka su usmjerene duž tangenta na trajektorije i stoga su okomite na polumjere rotacije. Brzine tačaka tela koje se nalaze na segmentu prave linije OM, u skladu sa (9) su raspoređeni prema linearnom zakonu. Oni su međusobno paralelni, a njihovi krajevi se nalaze na istoj pravoj liniji koja prolazi kroz os rotacije. Ubrzanje tačke razlažemo na tangencijalnu i normalnu komponentu, tj. a=a τ +a nτ Tangencijalna i normalna ubrzanja izračunavaju se pomoću formula (10)

budući da je za kružnicu polumjer zakrivljenosti p=h(Sl. 17 ). dakle,

Tangentna, normalna i totalna ubrzanja tačaka, kao i brzine, takođe su raspoređeni prema linearnom zakonu. One linearno zavise od udaljenosti tačaka do ose rotacije. Normalno ubrzanje je usmjereno duž polumjera kružnice prema osi rotacije. Smjer tangencijalnog ubrzanja ovisi o predznaku algebarskog kutnog ubrzanja. At φ’>0 I φ’’>0 ili φ’<0 I φ’<0 imamo ubrzanu rotaciju tijela i smjerove vektora a τ I v podudaraju se. Ako φ’ I φ’" tada imaju različite predznake (spora rotacija). a τ I v usmerene jedna naspram druge.

Nakon što je odredio α ugao između ukupnog ubrzanja tačke i njenog radijusa rotacije, imamo

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

od normalnog ubrzanja a p uvek pozitivno. Ugao A isto za sve tačke tela. Treba ga odgoditi sa ubrzanja na radijus rotacije u smjeru lučne strelice kutnog ubrzanja, bez obzira na smjer rotacije krutog tijela.

Vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja

Hajde da uvedemo pojmove vektora ugaone brzine i ugaonog ubrzanja tela. Ako TO je jedinični vektor osi rotacije usmjerene u njenom pozitivnom smjeru, zatim vektori ugaone brzine ώ i ugaono ubrzanje ε određeno izrazima (12)

Jer k je vektorska konstanta po veličini i smjeru, onda iz (12) slijedi da

ε=dώ/dt(13)

At φ’>0 I φ’’>0 vektorski pravci ώ I ε podudaraju se. Oba su usmjerena prema pozitivnoj strani ose rotacije Oz(Sl. 18.a) Ako φ’>0 I φ’’<0 , onda su usmjereni u suprotnim smjerovima (slika 18.b ). Vektor ugaonog ubrzanja poklapa se u pravcu sa vektorom ugaone brzine tokom ubrzane rotacije i suprotan mu je tokom spore rotacije. Vektori ώ I ε može biti prikazan u bilo kojoj tački na osi rotacije. Oni su pokretni vektori. Ovo svojstvo slijedi iz vektorskih formula za brzine i ubrzanja tačaka tijela.

Složeno kretanje tačke

Osnovni koncepti

Za proučavanje nekih složenijih tipova kretanja krutog tijela, preporučljivo je razmotriti najjednostavnije složeno kretanje tačke. U mnogim problemima, kretanje tačke se mora razmatrati u odnosu na dva (ili više) referentnih sistema koji se kreću jedan u odnosu na drugi. Dakle, kretanje svemirske letjelice koja se kreće prema Mjesecu mora se posmatrati istovremeno i u odnosu na Zemlju i u odnosu na Mjesec koji se kreće u odnosu na Zemlju. Svako kretanje tačke može se smatrati složenim, koje se sastoji od nekoliko pokreta. Na primjer, kretanje broda duž rijeke u odnosu na Zemlju može se smatrati složenim, koje se sastoji od kretanja kroz vodu i zajedno s tekućom vodom.

U najjednostavnijem slučaju, složeno kretanje tačke sastoji se od relativnog i translacionog kretanja. Hajde da definišemo ove pokrete. Neka nam se dva referentna sistema kreću jedan u odnosu na drugi. Ako jedan od ovih sistema O l x 1 y 1 z 1(Sl. 19 ) uzeti kao glavni ili stacionarni (njegovo kretanje u odnosu na druge referentne sisteme se ne razmatra), zatim drugi referentni sistem Oxyz kretat će se u odnosu na prvu. Kretanje tačke u odnosu na pokretni referentni okvir Oxyz pozvao relativno. Karakteristike ovog kretanja, kao što su putanja, brzina i ubrzanje, nazivaju se relativno. Označeni su indeksom r; za brzinu i ubrzanje v r , a r . Kretanje tačke u odnosu na glavni ili fiksni sistemski referentni okvir O 1 x 1 y 1 z 1 pozvao apsolutno(ili složeno ). Također se ponekad naziva kompozitni pokret. Putanja, brzina i ubrzanje ovog kretanja nazivaju se apsolutnim. Brzina i ubrzanje apsolutnog kretanja označeni su slovima v, a nema indeksa.

Prenosivo kretanje tačke je kretanje koje ona čini zajedno sa pokretnim referentnim okvirom, kao tačka koja je čvrsto vezana za ovaj sistem u trenutku razmatranja. Zbog relativnog kretanja, točka koja se kreće u različito vrijeme poklapa se s različitim tačkama tijela S, na koji je vezan pokretni referentni sistem. Prijenosna brzina i prijenosno ubrzanje su brzina i ubrzanje te točke tijela S, sa kojom se pokretna tačka trenutno poklapa. Prijenosna brzina i ubrzanje označavaju v e , a e.

Ako trajektorije svih tačaka tijela S, priključen na pokretni referentni sistem, prikazan na slici (slika 20), onda dobijamo familiju linija - familiju trajektorija prenosivog kretanja tačke M. Zbog relativnog kretanja tačke M u svakom trenutku nalazi se na jednoj od putanja pokretnog kretanja. Dot M može se podudarati sa samo jednom tačkom na svakoj od putanja ove porodice prenosivih putanja. S tim u vezi, ponekad se smatra da ne postoje trajektorije prenosivog kretanja, jer je potrebno linije smatrati putanjama prenosivog kretanja, za koje je samo jedna tačka zapravo tačka putanje.

U kinematici tačke proučavano je kretanje tačke u odnosu na bilo koji referentni sistem, bez obzira da li se ovaj referentni sistem kreće u odnosu na druge sisteme ili ne. Dopunimo ovu studiju razmatranjem složenog kretanja, u najjednostavnijem slučaju koje se sastoji od relativnog i figurativnog kretanja. Za jedno te isto apsolutno kretanje, birajući različite pokretne referentne okvire, može se smatrati da se sastoji od različitih prenosivih i, shodno tome, relativnih kretanja.

Dodatak brzine

Odredimo brzinu apsolutnog kretanja tačke ako su poznate brzine relativnog i prenosivog kretanja ove tačke. Neka tačka napravi samo jedno, relativno kretanje u odnosu na pokretni referentni okvir Oxyz i u trenutku vremena t zauzima poziciju M na putanji relativnog kretanja (slika 20). U trenutku vremena t+ t, zbog relativnog kretanja, tačka će biti u poziciji M 1, pomerajući MM 1 duž putanje relativnog kretanja. Pretpostavimo da je poenta uključena Oxyz i sa relativnom putanjom će se kretati duž neke krive dalje MM 2. Ako tačka učestvuje istovremeno u relativnom i prenosivom kretanju, tada u vremenu A; ona će se preseliti u MM" duž putanje apsolutnog kretanja iu trenutku vremena t+Atće zauzeti poziciju M". Ako je vrijeme At malo i onda idite do granice na u, težeći nuli, tada se mali pomaci duž krivih mogu zamijeniti segmentima tetiva i uzeti kao vektori pomaka. Zbrajanjem vektorskih pomaka dobijamo

U tom pogledu, male količine višeg reda se odbacuju, težeći nuli na u, teži nuli. Prolazeći do granice, imamo (14)

Stoga će (14) poprimiti oblik (15)

Dobija se takozvana teorema adicije brzine: brzina apsolutnog kretanja tačke jednaka je vektorskom zbiru brzina prenosivog i relativnog kretanja ove tačke. Kako u općem slučaju brzine prijenosnog i relativnog kretanja nisu okomite, tada (15’)

Povezane informacije.