Izračunavanje volumena tijela okretanja pomoću određenog integrala. Volumen tijela dobiven parametarskim rotiranjem luka cikloida Površina ravne figure

Kada smo shvatili geometrijsko značenje definitivni integral, imamo formulu s kojom možete pronaći površinu krivolinijskog trapeza omeđenu x-osom i pravim linijama x = a, x = b, kao i kontinuirana (nenegativna ili nepozitivna) funkcija y = f(x). Ponekad je zgodnije odrediti funkciju koja ograničava figuru u parametarskom obliku, tj. izraziti funkcionalnu zavisnost kroz parametar t. Unutar ovog materijala pokazat ćemo kako možete pronaći površinu figure ako je ona ograničena parametarski definiranom krivom.

Nakon objašnjenja teorije i izvođenja formule, pogledat ćemo nekoliko tipičnih primjera kako bismo pronašli površinu takvih figura.

Osnovna formula za proračun

Pretpostavimo da imamo krivolinijski trapez, čije su granice prave x = a, x = b, osa O x i parametarski definisana kriva x = φ (t) y = ψ (t), a funkcije x = φ (t) i y = ψ (t) su kontinuirane na intervalu α; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Definicija 1

Da biste izračunali površinu trapeza pod takvim uvjetima, trebate koristiti formulu S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ " (t) d t.

Izveli smo je iz formule za površinu krivolinijskog trapeza S (G) = ∫ a b f (x) d x metodom zamjene x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Definicija 2

Uzimajući u obzir monotoni pad funkcije x = φ (t) na intervalu β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Ako funkcija x = φ (t) nije jedna od osnovnih elementarnih, tada ćemo morati zapamtiti osnovna pravila za povećanje i smanjenje funkcije na intervalu kako bismo odredili hoće li ona rasti ili opadati.

U ovom paragrafu ćemo analizirati nekoliko problema koristeći formulu koja je gore izvedena.

Primjer 1

Stanje: pronađite površinu figure koju formira pravac date jednadžbama oblika x = 2 cos t y = 3 sin t.

Rješenje

Imamo parametarski definisanu liniju. Grafički se može prikazati kao elipsa sa dvije poluose 2 i 3. Pogledajte ilustraciju:

Pokušajmo pronaći površinu 1 4 rezultirajuće figure, koja zauzima prvi kvadrant. Područje je u intervalu x ∈ a; b = 0 ; 2. Zatim pomnožite rezultirajuću vrijednost sa 4 i pronađite površinu cijele figure.

Evo napretka naših proračuna:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Sa k jednakim 0, dobijamo interval β; α = 0 ; π 2. Funkcija x = φ (t) = 2 cos t će se na njoj monotono smanjivati (za više detalja pogledajte članak o glavnom elementarne funkcije i njihova svojstva). To znači da možete primijeniti formulu za izračunavanje površine i pronaći definitivni integral koristeći Newton-Leibniz formulu:

- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π 2

To znači da će površina figure date originalnom krivom biti jednaka S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π.

Odgovor: S(G) = 6π

Pojasnimo da je prilikom rješavanja gornjeg problema bilo moguće uzeti ne samo četvrtinu elipse, već i njenu polovinu - gornju ili donju. Jedna polovina će se nalaziti na intervalu x ∈ a; b = - 2 ; 2. U ovom slučaju imali bismo:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

Dakle, sa k jednakim 0, dobijamo β; α = 0 ; π. Funkcija x = φ (t) = 2 cos t će se monotono smanjivati na ovom intervalu.

Nakon toga izračunavamo površinu polovine elipse:

- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Važno je napomenuti da možete uzeti samo gornji ili donji dio, ali ne i desni ili lijevo.

Možete kreirati parametarsku jednačinu za datu elipsu, čiji će centar biti lociran na početku. Izgledaće kao x = a · cos t y = b · sin t . Postupajući na isti način kao u gornjem primjeru, dobijamo formulu za izračunavanje površine elipse S e l i p sa a = πab.

Možete definisati kružnicu čiji se centar nalazi na početku pomoću jednačine x = R · cos t y = R · sin t , gde je t parametar, a R poluprečnik ove kružnice. Ako odmah koristimo formulu za površinu elipse, onda ćemo dobiti formulu s kojom možemo izračunati površinu kruga polumjera R: S k r y r a = πR 2 .

Pogledajmo još jedan problem.

Primjer 2

Stanje: pronađite koliko će biti jednaka površina figure, koja je ograničena parametarski definisanom krivom x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Rješenje

Odmah da pojasnimo da ova kriva ima oblik izdužene astroide. Obično se astroid izražava pomoću jednačine oblika x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

Pogledajmo sada detaljno kako konstruirati takvu krivu. Hajde da gradimo na osnovu pojedinačnih poena. Ovo je najčešća metoda i primjenjiva je na većinu zadataka. Više složeni primjeri zahtijevaju diferencijalni račun za identifikaciju parametarski definirane funkcije.

Imamo x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Ove funkcije su definirane za sve realne vrijednosti t. Za sin i cos je poznato da su periodični i njihov period je 2 pi. Nakon što smo izračunali vrijednosti funkcija x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t za neki t = t 0 ∈ 0; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8, dobijamo tačke x 0; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Napravimo tabelu ukupnih vrijednosti:

t 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Nakon toga označite tražene tačke na ravni i povežite ih jednom linijom.

Sada moramo pronaći površinu onog dijela figure koji se nalazi u prvoj koordinatnoj četvrtini. Za to x ∈ a; b = 0 ; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Ako je k jednako 0, onda dobijamo interval β; α = 0 ; π 2 , a funkcija x = φ (t) = 3 cos 3 t će na njoj monotono opadati. Sada uzimamo formulu površine i izračunavamo:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Dobili smo određene integrale koji se mogu izračunati korištenjem Newton-Leibnizove formule. Antiderivati za ovu formulu mogu se naći koristeći rekurentnu formulu J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , gdje je J n (x) = ∫ sin n x d x .

∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + 5 0 0 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Izračunali smo površinu četvrtine figure. Jednako je 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

Ako ovu vrijednost pomnožimo sa 4, dobićemo površinu cijele figure - 9 π 4.

Na potpuno isti način možemo dokazati da se površina astroida, data jednadžbama x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t, može naći po formuli S a stroid = 3 πa 2 8 , a površina figure, koja je ograničena linijom x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t , izračunava se pomoću formule S = 3 πab 8 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Nađimo volumen tijela nastao rotacijom cikloidnog luka oko njegove osnove. Roberval ga je pronašao tako što je nastalo tijelo u obliku jajeta (slika 5.1) razbio na beskonačno tanke slojeve, upisivao cilindre u te slojeve i zbrajao njihove zapremine. Dokaz se pokazao dugim, zamornim i ne baš rigoroznim. Stoga, da bismo ga izračunali, okrećemo se višu matematiku. Definirajmo parametarski jednadžbu cikloide.

U integralnom računu, pri proučavanju volumena, koristi se sljedeća napomena:

Ako je kriva koja graniči krivolinijski trapez data parametarskim jednadžbama i funkcije u ovim jednadžbama zadovoljavaju uvjete promjene teoreme promjenljive u određenom integralu, tada je volumen tijela rotacije trapez oko ose Ox, izračunat će se po formuli:

Koristimo ovu formulu da pronađemo volumen koji nam je potreban.

Na isti način izračunavamo površinu ovog tijela.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - trošak), 0 ? t ? 2r)

U integralnom računu postoji sledeća formula da pronađemo površinu tijela rotacije oko x-ose krive specificirane na segmentu parametarski (t 0 ?t ?t 1):

Primjenom ove formule na našu cikloidnu jednačinu dobijamo:

Razmotrimo i drugu površinu nastalu rotacijom cikloidnog luka. Da bismo to uradili, konstruisaćemo zrcalnu sliku cikloidnog luka u odnosu na njegovu osnovu i rotirati ćemo ovalnu figuru koju formira cikloida i njen odraz oko KT ose (slika 5.2)

Prvo, pronađimo volumen tijela nastalog rotacijom cikloidnog luka oko KT ose. Izračunat ćemo njen volumen koristeći formulu (*):

Tako smo izračunali zapreminu polovine ovog tijela u obliku repe. Tada će cijeli volumen biti jednak

U lekcijama o jednačina prave linije na ravni I jednačine prave u prostoru.

Upoznajte starog prijatelja:

Krivolinijski trapez ponosno je okrunjen grafom i, kao što znate, površina se izračunava pomoću određenog integrala prema osnovnoj formuli ili, ukratko: .

Razmotrimo situaciju kada istu funkciju dato u parametarskom obliku.

Kako pronaći područje u ovom slučaju?

Kod nekih prilično specifično vrijednost parametra, parametarske jednačine će odrediti koordinate tačke, a za drugu prilično specifično vrijednost – koordinate tačke. Kada se "te" promijeni od uključivo, parametarske jednačine "crtaju" krivu. Mislim da je sve postalo jasno o granicama integracije. Sada u integral umjesto“X” i “Y” zamjenjujemo funkcije i otvaramo diferencijal:

Bilješka : pretpostavlja se da su funkcije kontinuirano na interval integracije i, pored toga, funkciju monotono Na njega.

Formula za volumen tijela rotacije jednako je jednostavna:

Volumen tijela dobiven rotacijom zakrivljenog trapeza oko ose izračunava se po formuli ili: . U njega zamjenjujemo parametarske funkcije, kao i granice integracije:

Zabilježite obje radne formule u svoju referentnu knjigu.

Prema mojim zapažanjima, problemi s pronalaženjem volumena su prilično rijetki, pa će stoga značajan dio primjera u ovoj lekciji biti posvećen pronalaženju područja. Nemojmo dugo stvari odlagati:

Primjer 1

Izračunajte površinu zakrivljenog trapeza , Ako

Rješenje: koristite formulu .

Klasičan problem na temu koja se razume uvek i svuda:

Primjer 2

Izračunajte površinu elipse

Rješenje: radi određenosti, pretpostavljamo da parametarske jednačine definiraju kanonska elipsa sa centrom u ishodištu, velikom poluosom “a” i malom poluosom “be”. Odnosno, prema uslovu, ne nudi nam se ništa više

pronađite površinu elipse

Očigledno je da su parametarske funkcije periodične, i . Čini se da možete naplatiti formulu, ali nije sve tako transparentno. Saznajmo smjer, u kojem parametarske jednačine „crtaju“ elipsu. Kao vodič, naći ćemo nekoliko tačaka koje najviše odgovaraju jednostavne vrijednosti parametar:

Lako je razumjeti da kada se parametar “te” promijeni od nule do “dva pi”, parametarske jednadžbe “crtaju” elipsu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu:

Zbog simetrije figure, izračunavamo dio površine u 1. koordinatnoj četvrtini, a rezultat množimo sa 4. Ovdje vidimo u osnovi istu sliku, koju sam komentirao malo iznad: parametarske jednadžbe "crtaju" luk elipse “u suprotnom smjeru” od ose, ali se brojke površine broje s lijeva na desno! Zbog toga niže granica integracije odgovara vrijednosti, i top granica – vrijednost .

Kao što sam već savjetovao u lekciji Područje u polarnim koordinatama, četverostruki rezultat je bolji Odjednom:

Integral (ako je neko iznenada otkrio tako nevjerovatan jaz) se analizirao na času Integrali trigonometrijskih funkcija.

Odgovori:

U suštini, izveli smo formulu za pronalaženje područja elipsa. A ako u praksi naiđete na zadatak s određenim vrijednostima "a" i "be", onda možete lako izvršiti pomirenje/provjeru, jer je problem riješen u općem obliku.

Površina elipse se također izračunava u pravokutnim koordinatama; da biste to učinili, morate izraziti "y" iz jednadžbe i riješiti problem točno kao u primjeru br. 4 članka Efikasne metode za rješavanje određenih integrala. Obavezno pogledajte ovaj primjer i usporedite koliko je lakše izračunati površinu elipse ako je definirana parametarski.

I, naravno, skoro sam zaboravio, parametarske jednačine mogu definirati krug ili elipsu u nekanonskom položaju.

Primjer 3

Izračunajte površinu jednog luka cikloide

Da biste riješili problem, morate znati šta je to cikloida ili barem čisto formalno dovršiti crtež. Uzorak dizajna na kraju lekcije. Međutim, neću vas slati daleko, možete pogledati graf ove linije u sljedećem zadatku:

Primjer 4

Rješenje: parametarske jednadžbe definirati cikloidu, a ograničenje ukazuje na činjenicu da je riječ o njoj prvi arh, koji se "crta" kada se vrijednost parametra promijeni unutar . Imajte na umu da je ovdje "ispravan" smjer ovog "crtanja" (s lijeva na desno), što znači da neće biti problema sa granicama integracije. Ali pojavit će se gomila drugih cool stvari =) Jednačina se postavlja direktno, paralelno s x-osi i dodatni uvjet (cm. linearne nejednakosti) govori nam da trebamo izračunati površinu sljedeće figure:

Željenu osenčenu figuru asocijativno ću nazvati “krovom kuće”, pravougaonik – “zidom kuće”, a cijelu konstrukciju (zid + krov) – “fasadom kuće”. Iako ova zgrada više liči na nekakvu štalu =)

Da biste pronašli površinu "krova", potrebno je oduzeti površinu "zida" od površine "fasade".

Prvo, hajde da se pozabavimo "fasadom". Da biste pronašli njegovu površinu, morate saznati vrijednosti koje određuju točke presjeka linije s prvim lukom cikloide (tačke i ). Zamijenimo u parametarsku jednačinu:

Trigonometrijska jednadžba se može lako riješiti jednostavnim gledanjem kosinus plot: na intervalu, jednakost je zadovoljena sa dva korijena: . U principu, sve je jasno, ali, ipak, igrajmo na sigurno i zamijenimo ih u jednadžbu:

– ovo je “X” koordinata tačke;

– a ovo je “X” koordinata tačke.

Dakle, uvjereni smo da vrijednost parametra odgovara tački , a vrijednost točki .

Izračunajmo površinu "fasade". Za kompaktniju notaciju, funkcija se često diferencira direktno ispod integrala:

Površina "zida" može se izračunati metodom "škola" množenjem dužina susjednih strana pravokutnika. Dužina je očigledna, ostaje samo pronaći je. Izračunava se kao razlika između "X" koordinata tačaka "tse" i "be" (pronađene ranije):

Površina zida:

Naravno, nije sramota pronaći ga čak ni uz pomoć najjednostavnijih definitivni integral iz funkcije na segmentu:

Kao rezultat, površina krova je:

Odgovori:

I, naravno, ako imamo crtež, procjenjujemo kutiju po kutiju, da li je dobijeni rezultat sličan istini. Slično

Sljedeći zadatak za nezavisna odluka:

Primjer 5

Izračunajte površinu figure ograničene linijama datim jednadžbama

Ukratko sistematizujmo algoritam rješenja:

– U većini slučajeva moraćete da napravite crtež i odredite figuru čiju oblast želite da pronađete.

– U drugom koraku treba da shvatite kako se izračunava tražena površina: to može biti jedan zakrivljeni trapez, može biti razlika u površinama, može biti zbir površina – ukratko, svi oni čipovi koje smo gledali u lekciji.

– U trećem koraku treba analizirati da li je preporučljivo koristiti simetriju figure (ako je simetrična), a zatim saznati granice integracije (početna i konačna vrijednost parametra). Obično to zahtijeva rješavanje jednostavne trigonometrijske jednadžbe - ovdje možete koristiti analitička metoda, grafičkom metodom ili jednostavnim odabirom potrebnih korijena prema trigonometrijska tabela.

! Ne zaboravi da parametarske jednačine mogu „crtati“ liniju s desna na lijevo, u ovom slučaju pravimo odgovarajuću rezervu i dopunu u radnoj formuli.

– I u završnoj fazi se vrše tehnički proračuni. Uvijek je lijepo ocijeniti vjerodostojnost odgovora dobijenog na crtežu.

A sada dugo očekivani susret sa zvijezdom:

Primjer 6

Izračunajte površinu figure ograničene linijama datim jednadžbama

Rješenje: kriva data jednadžbama je astroid, And linearna nejednakost jedinstveno identificira osenčenu figuru na crtežu:

Nađimo vrijednosti parametara koje određuju točke presjeka linije i astroide. Da bismo to učinili, zamijenimo parametarsku jednačinu:

Metode za rješavanje takve jednačine su već navedene gore, a posebno se ovi korijeni mogu lako odabrati prema trigonometrijska tabela.

Slika je simetrična oko x-ose, pa izračunajmo gornju polovinu površine (plavo sjenčanje) i udvostručimo rezultat.

Zamijenimo vrijednost u parametarsku jednačinu:
Kao rezultat toga, dobili smo "grčku" koordinatu gornje (potrebne) tačke presjeka astroida i prave linije.

Desni vrh astroida očito odgovara vrijednosti . Provjerimo za svaki slučaj:
, što je trebalo provjeriti.

Kao i kod elipse, parametarske jednačine "crtaju" luk astroida s desna na lijevo. Radi raznolikosti, završetak ću formatirati na drugi način: kada se parametar promijeni unutar granica, funkcija se smanjuje, dakle (ne zaboravite udvostručiti!!):

Integr se pokazao prilično glomaznim, a da "ne nosite sve sa sobom", bolje je prekinuti rješenje i transformirati integrand zasebno. Standard snizi stepen korišćenjem trigonometrijske formule:

Pogodno, u prošlom mandatu stavimo funkciju pod diferencijalni predznak:

Odgovori:

Da, malo je teško sa zvijezdama =)

Sledeći zadatak je za napredne učenike:

Primjer 7

Izračunajte površinu figure ograničene linijama datim jednadžbama

Da bismo to riješili, materijali koje smo već pregledali bit će dovoljni, ali uobičajeni put je vrlo dug, a sada ću vam reći o još jednoj efikasnoj metodi. Ideja je zapravo poznata iz lekcije Izračunavanje površine pomoću određenog integrala– ovo je integracija preko “y” varijable i upotreba formule . Zamjenom parametarskih funkcija u nju, dobijamo zrcalnu radnu formulu:

Zaista, zašto je gori od „standardnog“? Ovo je još jedna prednost parametarskog oblika - jednadžbe sposoban da igra ulogu ne samo „običnog“, već istovremeno I inverzna funkcija.

IN u ovom slučaju pretpostavlja se da funkcije kontinuirano o intervalu integracije i funkciji monotono Na njega. Štaviše, ako smanjuje se na intervalu integracije (parametarske jednadžbe "crtaju" graf "u suprotnom smjeru" (pažnja!!) axis), a zatim koristeći tehnologiju o kojoj je već bilo riječi, trebali biste preurediti granice integracije ili u početku staviti „minus“ ispred integrala.

Rješenje i odgovor na primjer br. 7 nalaze se na kraju lekcije.

Završni mini dio posvećen je rjeđem problemu:

Kako pronaći zapreminu tela rotacije,
ako je figura ograničena parametarski definiranom linijom?

Ažurirajmo formulu izvedenu na početku lekcije: . Opća metoda rješenja je potpuno ista kao i za pronalaženje područja. Izvući ću nekoliko zadataka iz svoje kasice.

Razmotrimo primjere primjene rezultirajuće formule, koja nam omogućava da izračunamo površine figura ograničene parametarski određenim linijama.

Primjer.

Izračunajte površinu figure ograničene linijom čije parametarske jednadžbe imaju oblik.

Rješenje.

U našem primjeru, parametarski definirana linija je elipsa sa poluosama od 2 i 3 jedinice. Hajde da ga izgradimo.

Nađimo područječetvrtina elipse koja se nalazi u prvom kvadrantu. Ovo područje leži u intervalu . Izračunavamo površinu cijele figure množenjem rezultirajuće vrijednosti sa četiri.

šta imamo:

Za k = 0 dobijamo interval . Na ovom intervalu funkcija monotono opadajuće (vidi odjeljak). Primjenjujemo formulu da izračunamo površinu i pronađemo definitivni integral koristeći Newton-Leibniz formulu:

Dakle, površina originalne figure je jednaka .

Komentar.

Postavlja se logično pitanje: zašto smo uzeli četvrtinu elipse, a ne polovinu? Bilo je moguće vidjeti gornju (ili donju) polovinu figure. Ona je u intervalu . Za ovaj slučaj bismo dobili

To jest, za k = 0 dobijamo interval . Na ovom intervalu funkcija monotono opadajuće.

Tada se nalazi površina polovine elipse kao

Ali nećete moći uzeti desnu ili lijevu polovinu elipse.

Parametarski prikaz elipse sa središtem na ishodištu i poluosi a i b ima oblik . Ako postupimo na isti način kao u analiziranom primjeru, dobićemo formula za izračunavanje površine elipse .

Krug sa centrom u početku poluprečnika R je specificiran kroz parametar t sistemom jednačina. Ako koristite rezultirajuću formulu za područje elipse, možete odmah napisati formula za pronalaženje površine kruga poluprečnik R: .

Da riješimo još jedan primjer.

Primjer.

Izračunajte površinu figure ograničenu krivuljom koja je parametarski određena.

Rješenje.

Gledajući malo unapred, kriva je "izduženi" astroid. (Astroid ima sljedeću parametarsku reprezentaciju).

Zaustavimo se detaljno na konstrukciji krivulje koja ograničava figuru. Gradićemo ga tačku po tačku. Obično je takva konstrukcija dovoljna za rješavanje većine problema. U složenijim slučajevima nesumnjivo će biti potrebna detaljna parametarska studija. datu funkciju koristeći diferencijalni račun.

U našem primjeru.

Ove funkcije su definirane za sve realne vrijednosti parametra t, a iz svojstava sinusa i kosinusa znamo da su periodične s periodom od dva pi. Dakle, izračunavanje vrijednosti funkcije za neke (Na primjer ), dobijamo skup bodova .

Radi praktičnosti, stavimo vrijednosti u tabelu:

Označavamo tačke na ravni i DOSTOJNO ih povezujemo pravom.

Izračunajmo površinu regije koja se nalazi u prvom koordinatnom kvadrantu. Za ovu oblast .

At k=0 dobijamo interval , na kojoj je funkcija monotono opada. Primjenjujemo formulu da pronađemo površinu:

Dobivene definitivne integrale izračunavamo koristeći Newton-Leibnizovu formulu i pronalazimo antiderivate za Newton-Leibnizovu formulu koristeći rekurentnu formulu oblika , Gdje .

Dakle, površina četvrtine figure je , tada je površina cijele figure jednaka .

Slično, to se može pokazati astroid area se nalazi kao , a površina figure ograničene linijom izračunava se po formuli.

Prije nego što pređemo na formule za površinu okretne površine, daćemo kratku formulaciju same površine okretanja. Revoluciona površina ili, što je isto, površina obrtnog tijela je prostorna figura nastala rotacijom segmenta AB krivulja oko ose Ox(slika ispod).

Zamislimo zakrivljeni trapez omeđen odozgo navedenim segmentom krive. Tijelo nastalo rotacijom ovog trapeza oko iste ose Ox, i tijelo je rotacije. A površina površine okretanja ili površina tijela okretanja je njegova vanjska ljuska, ne računajući krugove nastale rotacijom oko osi pravih linija x = a I x = b .

Imajte na umu da se tijelo okretanja i, shodno tome, njegova površina također mogu formirati rotiranjem figure ne oko ose Ox, i oko ose Oy.

Izračunavanje površine okretne površine navedene u pravokutnim koordinatama

Neka u pravokutnim koordinatama na ravni bude jednačina y = f(x) data je kriva čija rotacija okolo koordinatna osa formira se tijelo rotacije.

Formula za izračunavanje površine okretanja je sljedeća:

(1).

Primjer 1. Pronađite površinu paraboloida nastalog rotacijom oko svoje ose Ox luk parabole koji odgovara promjeni x od x= 0 do x = a .

Rješenje. Izrazimo eksplicitno funkciju koja definira luk parabole:

Nađimo derivaciju ove funkcije:

Prije upotrebe formule za pronalaženje površine okretne površine, napišimo dio njenog integrala koji predstavlja korijen i zamijenimo derivaciju koju smo upravo tamo pronašli:

Odgovor: Dužina luka krive je

Primjer 2. Pronađite površinu nastalu rotacijom oko ose Ox astroid.

Rješenje. Dovoljno je izračunati površinu koja nastaje rotacijom jedne grane astroida, koja se nalazi u prvoj četvrtini, i pomnožiti je sa 2. Iz jednačine astroida eksplicitno ćemo izraziti funkciju koju ćemo morati zamijeniti u formula za pronalaženje površine rotacije:

Integriramo od 0 do a:

Izračunavanje parametarski specificirane površine okretne površine

Razmotrimo slučaj kada je kriva koja formira površinu okretanja data parametarskim jednadžbama

Tada se površina rotacije izračunava po formuli

(2).

Primjer 3. Pronađite površinu okretne površine koja se formira rotacijom oko ose Oy lik omeđen cikloidom i pravom linijom y = a. Cikloida je data parametarskim jednadžbama