Visina trougla. Vizuelni vodič (2020). Odredite najveću visinu trougla Nađite visinu trougla spuštenog od vrha

Izračunavanje visine trokuta ovisi o samoj figuri (jednakokračna, jednakostranična, razmjerna, pravokutna). U praktičnoj geometriji složene formule se po pravilu ne nalaze. Dovoljno je poznavati opći princip proračuna kako bi mogao biti univerzalno primjenjiv na sve trouglove. Danas ćemo vas upoznati sa osnovnim principima izračunavanja visine figure, formulama za izračunavanje na osnovu svojstava visina trokuta.

Šta je visina?

Visina ima nekoliko karakterističnih svojstava

1. Tačka u kojoj se spajaju sve visine naziva se ortocentar. Ako je trokut šiljast, ortocentar se nalazi unutar figure; ako je jedan od uglova tup, tada se ortocentar, u pravilu, nalazi izvana.
2. U trouglu gdje je jedan ugao 90°, ortocentar i vrh se poklapaju.
3. Ovisno o vrsti trokuta, postoji nekoliko formula za određivanje visine trokuta.

Tradicionalno računarstvo

1. Ako je p polovina perimetra, tada su a, b, c oznake stranica tražene figure, h je visina, zatim prva i većina jednostavna formulaće izgledati ovako: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
2. IN školski udžbeniciČesto možete pronaći probleme u kojima znate vrijednost jedne od stranica trokuta i veličinu ugla između ove stranice i baze. Tada će formula za izračunavanje visine izgledati ovako: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. Kada se da površina trougla– S, kao i dužina baze – a, tada će proračuni biti što jednostavniji. Visina se nalazi pomoću formule: h = 2S/a.
4. Kada je zadan poluprečnik kružnice opisane oko figure, prvo izračunavamo dužine njene dve strane, a zatim prelazimo na izračunavanje date visine trougla. Da bismo to učinili, koristimo formulu: h = b ∙ c/2R, gdje su b i c dvije stranice trougla koje nisu osnova, a R je polumjer.

Sve strane ove figure su jednake, njihove dužine su jednake, stoga će i uglovi u osnovi biti jednaki. Iz ovoga slijedi da će i visine koje crtamo na osnovicama biti jednake, one su istovremeno i medijane i simetrale. Govoreći jednostavnim jezikom, visina u jednakokrakom trouglu dijeli osnovu na dva dijela. Trougao sa pravim uglom, koji se dobije nakon iscrtavanja visine, razmatraćemo pomoću Pitagorine teoreme. Označimo stranu kao a, a osnovu kao b, tada je visina h = ½ √4 a2 − b2.

Kako pronaći visinu jednakostraničnog trougla?

Formula za jednakostranični trokut (figura gdje su sve strane jednake veličine) može se pronaći na osnovu prethodnih proračuna. Potrebno je samo izmjeriti dužinu jedne od stranica trokuta i označiti je kao a. Tada se visina izvodi po formuli: h = √3/2 a.

Kako pronaći visinu pravougaonog trougla?

Kao što znate, ugao u pravokutnom trokutu je 90°. Visina spuštena za jednu stranu ujedno je i druga strana. Na njima će ležati visine trougla sa pravim uglom. Da biste dobili podatke o visini, morate malo transformirati postojeću Pitagorinu formulu, označavajući noge - a i b, a također i mjerenje dužine hipotenuze - c.

Nađimo dužinu kraka (stranu na koju će visina biti okomita): a = √ (c2 − b2). Dužina drugog kraka se nalazi koristeći potpuno istu formulu: b =√ (c2 − b2). Nakon toga možete početi izračunavati visinu trokuta s pravim kutom, nakon što ste prvo izračunali površinu figure - s. Vrijednost visine je h = 2s/a.

Proračuni sa skaliranim trouglom

Kada skalirani trokut ima oštre uglove, vidljiva je visina spuštena na osnovu. Ako trokut ima tup ugao, tada visina može biti izvan figure i morate je mentalno nastaviti da biste dobili tačku spajanja visine i osnove trokuta. Najviše na jednostavan način izmjeriti visinu znači je izračunati kroz jednu od stranica i veličinu uglova. Formula je sljedeća: h = b sin y + c sin ß.

Prilikom rješavanja raznih vrsta zadataka, kako čisto matematičke tako i primijenjene prirode (posebno u građevinarstvu), često je potrebno odrediti vrijednost visine određene geometrijske figure. Kako izračunati ovu vrijednost(visina) u trouglu?

Ako kombiniramo 3 točke u paru koje se ne nalaze na jednoj liniji, onda će rezultirajuća figura biti trokut. Visina je dio prave linije iz bilo kojeg vrha figure koji, kada se siječe sa suprotnom stranom, formira ugao od 90°.

Odredite visinu razmjernog trougla

Odredimo vrijednost visine trokuta u slučaju kada figura ima proizvoljne uglove i stranice.

Heronova formula

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, gdje je

p – polovina perimetra figure, h(a) – segment na strani a, nacrtan pod pravim uglom na nju,

p=(a+b+c)/2 – proračun poluperimetra.

Ako postoji površina figure, možete koristiti odnos h(a)=2S/a da odredite njegovu visinu.

Trigonometrijske funkcije

Da biste odredili dužinu segmenta koji čini pravi ugao kada se siječe sa stranicom a, možete koristiti sljedeće relacije: ako su poznati stranica b i ugao γ ili stranica c i ugao β, tada je h(a)=b*sinγ ili h(a)=c *sinβ.
gdje:
γ – ugao između stranica b i a,
β je ugao između stranica c i a.

Odnos sa radijusom

Ako je originalni trokut upisan u krug, možete koristiti radijus takvog kruga da odredite visinu. Njegov centar se nalazi u tački gdje se sijeku sve 3 visine (iz svakog vrha) - ortocentar, a udaljenost od njega do vrha (bilo kojeg) je polumjer.

Tada je h(a)=bc/2R, gdje je:
b, c – 2 druge strane trougla,
R je polumjer kružnice koja opisuje trokut.

Pronađite visinu u pravokutnom trokutu

U ovoj vrsti geometrijske figure, 2 strane, kada se ukrštaju, formiraju pravi ugao - 90°. Stoga, ako želite odrediti vrijednost visine u njemu, tada morate izračunati ili veličinu jedne od nogu, ili veličinu segmenta koji formira 90° s hipotenuzom. Prilikom određivanja:
a, b – noge,
c – hipotenuza,
h(c) – okomito na hipotenuzu.
Možete napraviti potrebne proračune koristeći sljedeće odnose:

• Pitagorina teorema:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, jer S=ab/2, tada je h(c)=ab/c.

• Trigonometrijske funkcije:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=s* sinβ* cosβ.

Odredite visinu jednakokračnog trougla

Ovo geometrijska figura Odlikuje se prisustvom dvije strane jednake veličine i treće - baze. Za određivanje visine povučene do treće, različite strane, u pomoć dolazi Pitagorina teorema. Sa notacijama
sa strane,
c – baza,
h(c) je segment na c pod uglom od 90°, tada je h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Trougao) ili proći izvan trougla kod tupougla.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

✪ SREDNJA VISINA Bisektrisa trougla Razred 7

✪ simetrala, medijana, visina trougla. Geometrija 7. razred

✪ 7. razred, lekcija 17, Medijane, simetrale i visine trougla

✪ Medijan, simetrala, visina trougla | Geometrija

✪ Kako pronaći dužinu simetrale, medijanu i visinu? | Štreber sa mnom #031 | Boris Trushin

Titlovi

Svojstva tačke preseka tri visine trougla (ortocentar)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ overrightarrow (CA))+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(Da biste dokazali identitet, trebali biste koristiti formule

Tačku E treba uzeti kao sjecište dvije visine trougla.)

• Orthocenter izogonalno konjugiran sa centrom opisan krug .
• Orthocenter leži na istoj liniji sa središtem, središtem circumcircle i središte kruga od devet tačaka (vidi Ojlerovu pravu liniju).
• Orthocenter oštrog trougla je središte kruga upisanog u njegov pravougao.
• Središte trougla opisanog ortocentrom sa vrhovima u sredinama stranica datog trougla. Posljednji trokut naziva se komplementarni trokut prvom trokutu.
• Posljednje svojstvo se može formulirati na sljedeći način: Središte kružnice opisane oko trokuta služi ortocentar dodatni trougao.
• Tačke, simetrične ortocentar trougla u odnosu na njegove stranice leže na opisanoj kružnici.
• Tačke, simetrične ortocentar trokuti u odnosu na sredine stranica također leže na opisanoj kružnici i poklapaju se s tačkama dijametralno suprotnim od odgovarajućih vrhova.
• Ako je O centar opisane kružnice ΔABC, onda O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
• Udaljenost od vrha trokuta do ortocentra je dvostruko veća od udaljenosti od centra opisane kružnice do suprotne strane.
• Bilo koji segment izvučen iz ortocentar Prije nego što se siječe s opisanom kružnicom, ona je uvijek podijeljena na pola Ojlerovom kružnicom. Orthocenter je homotetičko središte ova dva kruga.
• Hamiltonova teorema. Tri pravolinijska segmenta koji povezuju ortocentar sa vrhovima oštrog trougla dijele ga na tri trougla koji imaju isti Ojlerov krug (krug od devet tačaka) kao originalni oštrougao.
• Posljedice Hamiltonove teoreme:
  • Tri pravolinijska segmenta koji povezuju ortocentar sa vrhovima oštrog trougla dijele ga na tri Hamiltonov trougao imaju jednake polumjere opisanih kružnica.
  • Polumjeri opisanih krugova od tri Hamiltonovi trouglovi jednak poluprečniku kružnice opisane oko prvobitnog oštrog trougla.
• U oštrom trouglu, ortocentar leži unutar trougla; u tupom uglu - izvan trougla; u pravougaonom - na vrhu pravog ugla.

Svojstva visina jednakokračnog trougla

• Ako su dvije visine u trokutu jednake, tada je trokut jednakokračan (Steiner-Lemusov teorem), a treća visina je i medijana i simetrala ugla iz kojeg izlazi.
• Isto tako vrijedi i obrnuto: u jednakokračnom trouglu dvije su visine jednake, a treća visina je i medijana i simetrala.
• Jednakostranični trougao ima sve tri visine jednake.

Svojstva osnova visina trougla

• Grounds visine formiraju takozvani ortotrougao, koji ima svoja svojstva.
• Krug opisan oko pravougaonog trougla je Ojlerov krug. Ovaj krug takođe sadrži tri sredine stranica trougla i tri sredine tri segmenta koji povezuju ortocentar sa vrhovima trougla.
• Još jedna formulacija posljednjeg svojstva:
  • Ojlerova teorema za krug od devet tačaka. Grounds tri visine proizvoljni trokut, sredine njegove tri strane ( osnove njenog unutrašnjeg medijane) i sredine tri segmenta koji povezuju svoje vrhove sa ortocentrom, svi leže na istoj kružnici (na krug od devet tačaka).
• Teorema. U bilo kojem trokutu, segment se spaja osnove dva visine trougao, odsijeca trokut sličan datom.
• Teorema. U trouglu, segment koji povezuje osnove dva visine trouglovi koji leže na dvije strane antiparalelno trećem licu sa kojim nema zajednički jezik. Kroz njegova dva kraja, kao i kroz dva vrha treće navedene strane, uvijek se može povući krug.

Ostala svojstva visina trougla

• Ako je trougao svestran (scalene), onda to interni simetrala povučena iz bilo kojeg vrha leži između interni medijana i visina povučena iz istog vrha.
• Visina trokuta je izogonalno konjugirana sa prečnikom (radijusom) opisan krug, izvučen iz istog vrha.
• U oštrom trouglu postoje dva visine odrežite slične trokute od njega.
• U pravouglu visina, povučen iz vrha pravog ugla, dijeli ga na dva trokuta slična originalnom.

Svojstva minimalne visine trougla

Minimalna visina trougla ima mnoga ekstremna svojstva. Na primjer:

• Minimalna ortogonalna projekcija trougla na prave koje leže u ravni trougla ima dužinu jednaku najmanjoj od njegovih visina.
• Minimalni ravni rez u ravni kroz koji se može provući kruta trokutasta ploča mora imati dužinu jednaku najmanjoj visini ove ploče.
• Uz kontinuirano kretanje dvije tačke duž perimetra trokuta jedna prema drugoj, maksimalna udaljenost između njih za vrijeme kretanja od prvog susreta do drugog ne može biti manja od dužine najmanje visine trougla.
• Minimalna visina u trouglu uvijek leži unutar tog trougla.

Osnovni odnosi

• h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot)\sin \gamma =c(\cdot)\sin \beta ,)
• h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a)),) Gdje S (\displaystyle S)- površina trougla, a (\displaystyle a)- dužina stranice trougla za koju se visina spušta.
• h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)),) Gdje b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- proizvod strana, R − (\displaystyle R-) cirkumradius
• h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot )c):(a(\cdot )b).)
• 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), Gdje r (\displaystyle r)- poluprečnik upisane kružnice.
• S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), Gdje S (\displaystyle S)- površina trougla.
• a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\ displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (a))))))))), a (\displaystyle a)- stranica trougla na koju se visina spušta h a (\displaystyle h_(a)).
• Visina jednakokračnog trokuta spuštenog na osnovu: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ))

Teorema o visini pravouglog trougla

Ako je visina u pravokutnom trokutu ABC dužine h (\displaystyle h) povučen iz vrha pravog ugla, dijeli hipotenuzu dužinom c (\displaystyle c) u segmente m (\displaystyle m) I n (\displaystyle n), što odgovara nogama b (\displaystyle b) I a (\displaystyle a), tada su sljedeće jednakosti tačne.

Prije svega, trokut je geometrijska figura koju čine tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji i povezane su sa tri segmenta. Da biste pronašli visinu trokuta, prvo morate odrediti njegovu vrstu. Trokuti se razlikuju po veličini uglova i broju jednakih uglova. Prema veličini uglova trokut može biti oštar, tup i pravougaonik. Na osnovu broja jednakih stranica trokuti se razlikuju kao jednakokračni, jednakostrani i razmjerni. Visina je okomica koja je spuštena na suprotnu stranu trokuta od njegovog vrha. Kako pronaći visinu trougla?

Kako pronaći visinu jednakokračnog trougla

Jednakokračni trokut karakterizira jednakost stranica i uglova u njegovoj osnovi, stoga su visine jednakokračnog trougla povučene na bočne stranice uvijek jednake jedna drugoj. Također, visina ovog trougla je i medijana i simetrala. U skladu s tim, visina dijeli bazu na pola. Razmatramo rezultirajući pravokutni trokut i pronalazimo stranu, odnosno visinu jednakokračnog trokuta, koristeći Pitagorinu teoremu. Koristeći sljedeću formulu, izračunavamo visinu: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, gdje je: a stranica ovog jednakokračnog trougla, b osnova ovog jednakokračnog trougla.

Kako pronaći visinu jednakostraničnog trougla

Trokut sa jednakim stranicama naziva se jednakostraničan. Visina takvog trokuta se izvodi iz formule za visinu jednakokračnog trougla. Ispada: H = √3/2*a, gdje je a stranica ovog jednakostraničnog trougla.

Kako pronaći visinu skalenskog trougla

Skalana je trougao u kojem bilo koje dvije strane nisu jednake jedna drugoj. U takvom trokutu, sve tri visine će biti različite. Dužine visina možete izračunati pomoću formule: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, gdje je a stranica trokuta ili prvo izračunajte površinu određenog trokuta koristeći Heronovu formulu, koja izgleda ovako: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, gdje su a, b, c stranice razmjernog trougla, a p je njegov poluperimetar. Svaka visina = 2*površina/strana

Kako pronaći visinu pravouglog trougla

Pravougli trougao ima jedan pravi ugao. Visina koja ide do jedne od nogu je istovremeno i druga noga. Stoga, da biste pronašli visine koje leže na nogama, morate koristiti modificiranu Pitagorinu formulu: a = √(c 2 − b 2), gdje su a, b noge (a je noga koju treba pronaći), c je dužina hipotenuze. Da biste pronašli drugu visinu, trebate staviti rezultujuću vrijednost a umjesto b. Da bismo pronašli treću visinu koja leži unutar trokuta, koristi se sljedeća formula: h = 2s/a, gdje je h visina pravokutnog trokuta, s je njegova površina, a je dužina stranice do koje će visina biti okomito.

Trokut se naziva oštar ako su mu svi uglovi oštri. U ovom slučaju, sve tri visine nalaze se unutar oštrog trougla. Trokut se naziva tupougao ako ima jedan tup ugao. Dvije visine tupouglog trougla su izvan trougla i padaju na nastavak stranica. Treća strana je unutar trougla. Visina je određena korištenjem iste Pitagorine teoreme.

Opće formule za izračunavanje visine trokuta

• Formula za određivanje visine trougla kroz stranice: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), gdje je h visina koju treba pronaći, a, b i c stranice dati trokut, p je njegov poluperimetar, .
• Formula za pronalaženje visine trokuta pomoću ugla i stranice: H=b sin y = c sin ß
• Formula za pronalaženje visine trougla kroz površinu i stranicu: h = 2S/a, gdje je a stranica trougla, a h visina konstruirana na strani a.
• Formula za pronalaženje visine trougla pomoću poluprečnika i stranica: H= bc/2R.