Razlog za slabljenje je taj što u svakom oscilatornom sistemu, pored sile vraćanja, uvijek postoje različite vrste otpora zraka

itd., koji usporavaju kretanje. Svakim zamahom dio se troši na rad protiv sila trenja. Na kraju, ovaj rad troši cjelokupnu zalihu energije koja je prvobitno dovedena u oscilatorni sistem.

Pri razmatranju , radili smo o idealnim, strogo periodičnim prirodnim oscilacijama. Koristeći takav model za opisivanje stvarnih oscilacija, namjerno dopuštamo nepreciznost u opisu. Međutim, takvo pojednostavljenje je pogodno zbog činjenice da je u mnogim oscilatornim sistemima prigušenje oscilacija izazvanih trenjem zaista malo: sistem uspeva da napravi mnogo oscilacija pre nego što se primetno smanje.

Grafovi prigušenih oscilacija

U prisustvu prigušenja, prirodna oscilacija (slika 1) prestaje biti harmonična. Štoviše, prigušena oscilacija prestaje biti periodični proces - trenje utječe ne samo na amplitudu oscilacija (odnosno, uzrokuje prigušenje), već i na trajanje njihanja. Kako se trenje povećava, vrijeme potrebno da sistem završi jednu potpunu oscilaciju se povećava. Grafikon prigušenih oscilacija prikazan je na Sl. 2.

Fig.1. Slobodni harmonijski graf

Fig.2. Grafikon prigušenih oscilacija

Karakteristična karakteristika oscilatornih sistema je da blago trenje utiče na period oscilovanja u mnogo manjoj meri od amplitude. Ova okolnost je odigrala veliku ulogu u poboljšanju satova. Prvi sat je napravio holandski fizičar i matematičar Christiaan Huygens 1673. godine. Ova godina se može smatrati datumom rođenja modernih satovnih mehanizama. Kretanje satova sa klatnom je malo osetljivo na promene usled trenja, koje generalno zavise od mnogih faktora, dok je brzina prethodnih satova sa klatnom bila veoma zavisna od trenja.

U praksi postoji potreba za smanjenjem i povećanjem prigušenja oscilacija. Na primjer, prilikom dizajniranja mehanizama za sat, oni nastoje smanjiti prigušenje oscilacija balansera sata. Za to je osovina balansera opremljena oštrim vrhovima, koji se oslanjaju na dobro uglačane konusne ležajeve od tvrdog kamena (ahat ili rubin). Naprotiv, kod mnogih mjernih instrumenata vrlo je poželjno da se pokretni dio uređaja u procesu mjerenja brzo instalira, ali da podliježe velikom broju oscilacija. Za povećanje slabljenja u ovom slučaju koriste se različiti amortizeri - uređaji koji povećavaju trenje i općenito gubitak energije.

1.21. 3DAMPED, PRISILNE OSCILACIJE

Diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija i njeno rješenje. Koeficijent slabljenja. Logaritamski špilvreme propadanja.Faktor kvaliteta oscilacijetjelesni sistem.Aperiodični proces. Diferencijalna jednadžba prisilnih oscilacija i njeno rješenje.Amplituda i faza prisilnih oscilacija. Proces uspostavljanja oscilacija. Slučaj rezonancije.Samooscilacije.

Prigušenje oscilacija je postepeno smanjenje amplitude oscilacija tokom vremena, zbog gubitka energije oscilatornog sistema.

Prirodne oscilacije bez prigušenja su idealizacija. Razlozi slabljenja mogu biti različiti. U mehaničkom sistemu, vibracije su prigušene prisustvom trenja. Kada se potroši sva energija uskladištena u oscilatornom sistemu, oscilacije će prestati. Stoga amplituda prigušene oscilacije smanjuje se dok ne postane jednaka nuli.

Prigušene oscilacije, kao i prirodne oscilacije, u sistemima koji su različiti po prirodi, mogu se posmatrati sa jedne tačke gledišta – zajedničkih karakteristika. Međutim, takve karakteristike kao što su amplituda i period zahtijevaju redefiniranje, a druge zahtijevaju dodavanje i pojašnjenje u poređenju sa istim karakteristikama za prirodne neprigušene oscilacije. Opće karakteristike i koncepti prigušenih oscilacija su sljedeći:

Diferencijalna jednačina se mora dobiti uzimajući u obzir smanjenje energije vibracija tokom procesa oscilovanja.

Jednačina oscilovanja je rješenje diferencijalne jednačine.

Amplituda prigušenih oscilacija zavisi od vremena.

Frekvencija i period zavise od stepena slabljenja oscilacija.

Faza i početna faza imaju isto značenje kao i za kontinuirane oscilacije.

Mehaničke prigušene oscilacije.

Mehanički sistem : opružno klatno uzimajući u obzir sile trenja.

Sile koje djeluju na klatno :

Elastična sila., gdje je k koeficijent krutosti opruge, x je pomak klatna iz ravnotežnog položaja.

Sila otpora. Razmotrimo silu otpora proporcionalnu brzini v kretanja (ova zavisnost je tipična za veliku klasu otpornih sila): . Znak minus pokazuje da je smjer sile otpora suprotan smjeru brzine tijela. Koeficijent otpora r je numerički jednak sili otpora koja nastaje pri jediničnoj brzini kretanja tijela:

Zakon kretanja opružno klatno - ovo je drugi Newtonov zakon:

m a = F ex. + F otpor

S obzirom da oboje , pišemo drugi Newtonov zakon u obliku:

. (21.1)

Podijelimo sve članove jednačine sa m i sve ih pomjerimo na desnu stranu, dobivamo diferencijalna jednadžba prigušene oscilacije:

Označimo gdje β – koeficijent slabljenja , , Gdje ω 0 – frekvencija neprigušenih slobodnih oscilacija u odsustvu gubitaka energije u oscilatornom sistemu.

U novoj notaciji, diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija ima oblik:

. (21.2)

Ovo je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda.

Ova linearna diferencijalna jednadžba se rješava promjenom varijabli. Predstavimo funkciju x, ovisno o vremenu t, u obliku:

.

Nađimo prvi i drugi izvod ove funkcije s obzirom na vrijeme, uzimajući u obzir da je funkcija z također funkcija vremena:

, .

Zamijenimo izraze u diferencijalnu jednačinu:

Hajde da predstavimo slične članove u jednačini i smanjimo svaki član za , dobićemo jednačinu:

.

Označimo količinu .

Rješavanje jednačine su funkcije , .

Vraćajući se na varijablu x, dobijamo formule za jednadžbe prigušenih oscilacija:

Dakle , jednadžba prigušenih oscilacija je rješenje diferencijalne jednadžbe (21.2):

Prigušena frekvencija :

(samo pravi korijen ima fizičko značenje, dakle ).

Period prigušenih oscilacija :

(21.5)

Značenje koje je stavljeno u koncept perioda za neprigušene oscilacije nije pogodno za prigušene oscilacije, jer se oscilatorni sistem nikada ne vraća u prvobitno stanje zbog gubitaka oscilatorne energije. U prisustvu trenja, vibracije su sporije: .

Period prigušenih oscilacija je minimalni vremenski period tokom kojeg sistem dvaput prođe ravnotežni položaj u jednom smjeru.

Za mehanički sistem opružnog klatna imamo:

, .

Amplituda prigušenih oscilacija :

Za opružno klatno.

Amplituda prigušenih oscilacija nije konstantna vrijednost, već se mijenja tokom vremena, što je brža što je veći koeficijent β. Stoga se definicija amplitude, data ranije za neprigušene slobodne oscilacije, mora promijeniti za prigušene oscilacije.

Za mala prigušenja amplituda prigušenih oscilacija se naziva najvećim odstupanjem od ravnotežnog položaja tokom perioda.

Charts Grafikoni ovisnosti pomaka i vremena i amplitude u odnosu na vrijeme prikazani su na slikama 21.1 i 21.2.

Slika 21.1 – Ovisnost pomaka o vremenu za prigušene oscilacije.

Slika 21.2 – Zavisnost amplitude od vremena za prigušene oscilacije

Karakteristike prigušenih oscilacija.

1. Koeficijent slabljenja β .

Amplituda prigušenih oscilacija mijenja se prema eksponencijalnom zakonu:

Neka se amplituda oscilacije smanji za “e” puta tokom vremena τ („e” je osnova prirodnog logaritma, e ≈ 2,718). Tada, s jedne strane, , a s druge strane, opisavši amplitude A zat. (t) i A zat. (t+τ), imamo . Iz ovih odnosa slijedi βτ = 1, dakle .

Vremenski interval τ , tokom kojeg se amplituda smanjuje za “e” puta, naziva se vrijeme relaksacije.

Koeficijent slabljenja β – količina obrnuto proporcionalna vremenu opuštanja.

2. Dekrement logaritamskog prigušenja δ - fizička veličina brojčano jednaka prirodnom logaritmu omjera dvije uzastopne amplitude razdvojene u vremenu periodom.

Ako je slabljenje malo, tj. vrijednost β je mala, tada se amplituda neznatno mijenja tokom perioda, a logaritamski dekrement se može definirati na sljedeći način:

,

gdje je A zat. (t) i A zat. (t+NT) – amplitude oscilacija u vremenu e i nakon N perioda, odnosno u vremenu (t + NT).

3. Faktor kvaliteta Q oscilatorni sistem – bezdimenzionalna fizička veličina jednaka proizvodu veličine (2π) ν i omjera energije W(t) sistema u proizvoljnom trenutku i gubitka energije tokom jednog perioda prigušenih oscilacija:

.

Pošto je energija proporcionalna kvadratu amplitude, onda

Za male vrijednosti logaritamskog dekrementa δ, faktor kvaliteta oscilatornog sistema je jednak

,

gdje je N e broj oscilacija tokom kojih se amplituda smanjuje za “e” puta.

Dakle, faktor kvaliteta opružnog klatna je: Što je veći faktor kvaliteta oscilatornog sistema, manje je slabljenje, to će periodični proces u takvom sistemu duže trajati. Faktor kvaliteta oscilatornog sistema - bezdimenzionalna veličina koja karakteriše disipaciju energije tokom vremena.

4. Kako koeficijent β raste, frekvencija prigušenih oscilacija opada, a period raste. Kod ω 0 = β, frekvencija prigušenih oscilacija postaje jednaka nuli ω zat. = 0, i T zat. = ∞. U tom slučaju oscilacije gube svoj periodični karakter i nazivaju se aperiodično.

Pri ω 0 = β, sistemski parametri odgovorni za smanjenje energije vibracija poprimaju vrijednosti tzv. kritičan . Za opružno klatno, uslov ω 0 = β biće zapisan na sledeći način: odakle nalazimo veličinu koeficijent kritičnog otpora:

.

Rice. 21.3. Zavisnost amplitude aperiodičnih oscilacija o vremenu

Prisilne vibracije.

Sve realne oscilacije su prigušene. Da bi se stvarne oscilacije dešavale dovoljno dugo, potrebno je periodično obnavljati energiju oscilatornog sistema djelovanjem na njega vanjskom silom koja se periodično mijenja.

Razmotrimo fenomen oscilacija ako je eksterno (tjeranje) sila se mijenja s vremenom prema harmoničnom zakonu. U tom slučaju će se pojaviti oscilacije u sistemima, čija će priroda, u jednom ili drugom stepenu, ponoviti prirodu pokretačke sile. Takve oscilacije se nazivaju prisiljen .

Opšti znaci prisilnih mehaničkih vibracija.

1. Razmotrimo prisilne mehaničke oscilacije opružnog klatna na koje djeluje vanjski (uvjerljiv ) periodična sila . Sile koje djeluju na klatno, jednom uklonjeno iz ravnotežnog položaja, razvijaju se u samom oscilatornom sistemu. To su sila elastičnosti i sila otpora.

Zakon kretanja (Njutnov drugi zakon) biće napisan na sledeći način:

(21.6)

Podijelimo obje strane jednadžbe sa m, uzmemo u obzir da je , i dobijemo diferencijalna jednadžba prisilne oscilacije:

Označimo ( β – koeficijent slabljenja ), (ω 0 – frekvencija neprigušenih slobodnih oscilacija), sila koja djeluje na jedinicu mase. U ovim notacijama diferencijalna jednadžba prisilne oscilacije će imati oblik:

(21.7)

Ovo je diferencijalna jednadžba drugog reda s desnom stranom različitom od nule. Rješenje takve jednačine je zbir dva rješenja

.

– opšte rješenje homogene diferencijalne jednadžbe, tj. diferencijalna jednadžba bez desne strane kada je jednaka nuli. Poznato nam je takvo rješenje - ovo je jednadžba prigušenih oscilacija, zapisana na tačnost konstante, čija je vrijednost određena početnim uslovima oscilatornog sistema:

Ranije smo raspravljali da se rješenje može napisati u terminima sinusnih funkcija.

Ako razmotrimo proces oscilovanja klatna nakon dovoljno velikog vremenskog perioda Δt nakon uključivanja pokretačke sile (slika 21.2), tada će prigušene oscilacije u sistemu praktično prestati. I tada će rješenje diferencijalne jednadžbe sa desnom stranom biti rješenje.

Rješenje je posebno rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe, tj. jednačine sa desnom stranom. Iz teorije diferencijalnih jednadžbi poznato je da će s promjenom desne strane prema harmonijskom zakonu rješenje biti harmonijska funkcija (sin ili cos) s frekvencijom promjene koja odgovara frekvenciji Ω promjene desnog -ruka strana:

gdje je A ampl. – amplituda prisilnih oscilacija, φ 0 – fazni pomak , one. faznu razliku između faze pokretačke sile i faze prisilnih oscilacija. I amplituda A amp. , a fazni pomak φ 0 zavise od parametara sistema (β, ω 0) i od frekvencije pokretačke sile Ω.

Period prisilnih oscilacija jednaki (21.9)

Grafikon prinudnih vibracija na slici 4.1.

Fig.21.3. Graf prisilnih oscilacija

Prisilne oscilacije u stabilnom stanju su također harmonijske.

Zavisnosti amplitude prisilnih oscilacija i faznog pomaka o frekvenciji vanjskog utjecaja. Rezonancija.

1. Vratimo se mehaničkom sistemu opružnog klatna na koje djeluje vanjska sila koja varira po harmonijskom zakonu. Za takav sistem, diferencijalna jednadžba i njeno rješenje imaju oblik:

, .

Analizirajmo ovisnost amplitude oscilacije i faznog pomaka o frekvenciji vanjske pokretačke sile; da bismo to učinili, pronaći ćemo prvi i drugi izvod x i zamijeniti ih u diferencijalnu jednadžbu.

Koristimo metodu vektorskog dijagrama. Jednačina pokazuje da zbir tri vibracije na lijevoj strani jednačine (slika 4.1) mora biti jednak vibraciji na desnoj strani. Vektorski dijagram je napravljen za proizvoljan trenutak vremena t. Iz njega možete odrediti.

Slika 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Uzimajući u obzir vrijednost , ,, dobijamo formule za φ 0 i A ampl. mehanički sistem:

,

.

2. Proučavamo zavisnost amplitude prisilnih oscilacija od frekvencije pokretačke sile i veličine sile otpora u oscilirajućem mehaničkom sistemu, koristeći ove podatke konstruišemo grafik . Rezultati studije prikazani su na slici 21.5, koja pokazuje da pri određenoj frekvenciji pokretačke sile amplituda oscilacija naglo raste. A ovo povećanje je veće, što je manji koeficijent slabljenja β. Kada amplituda oscilacija postane beskonačno velika.

Fenomen naglog povećanja amplitude prisilne oscilacije na frekvenciji pokretačke sile jednakoj , naziva se rezonancija.

(21.12)

Krive na slici 21.5 odražavaju odnos i zovu se amplitudske rezonantne krive .

Slika 21.5 – Grafikoni zavisnosti amplitude prinudnih oscilacija od frekvencije pokretačke sile.

Amplituda rezonantnih oscilacija će imati oblik:

Prisilne vibracije su neprigušeni fluktuacije. Neizbježni gubici energije zbog trenja kompenziraju se snabdijevanjem energijom iz vanjskog izvora periodično djelujuće sile. Postoje sistemi u kojima neprigušene oscilacije ne nastaju zbog periodičnih vanjskih utjecaja, već kao rezultat sposobnosti takvih sistema da reguliraju opskrbu energijom iz stalnog izvora. Takvi sistemi se nazivaju samooscilirajući, a proces neprigušenih oscilacija u takvim sistemima je samooscilacije.

U samooscilirajućem sistemu mogu se razlikovati tri karakteristična elementa - oscilatorni sistem, izvor energije i uređaj za povratnu spregu između oscilatornog sistema i izvora. Bilo koji mehanički sistem sposoban da izvodi sopstvene prigušene oscilacije (na primer, klatno zidnog sata) može se koristiti kao oscilatorni sistem.

Izvor energije može biti energija deformacije opruge ili potencijalna energija tereta u gravitacionom polju. Uređaj s povratnom spregom je mehanizam pomoću kojeg samooscilirajući sistem regulira protok energije iz izvora. Na sl. Slika 21.6 prikazuje dijagram interakcije različitih elemenata samooscilirajućeg sistema.

Primjer mehaničkog samooscilirajućeg sistema je satni mehanizam sa sidro napredak (slika 21.7.). Točak za trčanje sa kosim zupcima čvrsto je pričvršćen za nazubljeni bubanj, kroz koji se ubacuje lanac sa utegom. Na gornjem kraju klatna nalazi se sidro (sidro) sa dvije ploče od tvrdog materijala, savijene duž kružnog luka sa centrom na osi klatna. U ručnim satovima teg je zamijenjen oprugom, a klatno je zamijenjeno balansom - ručnim kotačićem spojenim na spiralnu oprugu.

Balanser izvodi torzijske vibracije oko svoje ose. Oscilatorni sistem u satu je klatno ili balans. Izvor energije je podignuta težina ili namotana opruga. Uređaj koji se koristi za pružanje povratne informacije je sidro, koje omogućava okretnom točku da okrene jedan zub u jednom poluciklusu.

Povratna informacija se postiže interakcijom sidra i kotača. Svakim oscilacijom klatna, zub trkaćeg točka gura sidrenu viljušku u smjeru kretanja klatna, prenoseći mu određeni dio energije, čime se nadoknađuju gubici energije zbog trenja. Tako se potencijalna energija utega (ili uvrnute opruge) postepeno, u odvojenim dijelovima, prenosi na klatno.

Mehanički samooscilirajući sistemi rasprostranjeni su u životu oko nas iu tehnologiji. Samooscilacije se javljaju kod parnih mašina, motora sa unutrašnjim sagorevanjem, električnih zvona, žica gudačkih muzičkih instrumenata, vazdušnih stubova u cevima duvačkih instrumenata, glasnih žica pri govoru ili pevanju itd.

Dok proučavate ovaj odjeljak, imajte to na umu fluktuacije različite fizičke prirode opisuju se sa zajedničkih matematičkih pozicija. Ovdje je potrebno jasno razumjeti koncepte kao što su harmonijska oscilacija, faza, fazna razlika, amplituda, frekvencija, period oscilovanja.

Mora se imati na umu da u svakom realnom oscilatornom sistemu postoji otpor sredine, tj. oscilacije će biti prigušene. Za karakterizaciju prigušenja oscilacija uveden je koeficijent prigušenja i logaritamski dekrement prigušenja.

Ako se oscilacije javljaju pod utjecajem vanjske, periodično promjenjive sile, tada se takve oscilacije nazivaju prisilnim. Oni će biti neprigušeni. Amplituda prisilnih oscilacija ovisi o frekvenciji pokretačke sile. Kako se frekvencija prisilnih oscilacija približava frekvenciji prirodnih oscilacija, amplituda prisilnih oscilacija naglo raste. Ova pojava se zove rezonancija.

Kada prelazite na proučavanje elektromagnetnih valova, morate to jasno razumjetielektromagnetni talasje elektromagnetno polje koje se širi u svemiru. Najjednostavniji sistem koji emituje elektromagnetne talase je električni dipol. Ako dipol podleže harmonijskim oscilacijama, onda emituje monohromatski talas.

Tablica formula: oscilacije i valovi

Prigušene oscilacije

Prigušene oscilacije opružnog klatna

Prigušene oscilacije- vibracije čija energija opada tokom vremena. U prirodi je nemoguć beskrajno trajan proces vrste. Slobodne oscilacije bilo kojeg oscilatora prije ili kasnije nestaju i prestaju. Stoga se u praksi najčešće bavimo prigušenim oscilacijama. Karakterizira ih činjenica da je amplituda oscilacija A je opadajuća funkcija. Tipično, slabljenje nastaje pod uticajem sila otpora sredine, najčešće izražene kao linearna zavisnost od brzine oscilovanja ili njenog kvadrata.

U akustici: slabljenje - smanjenje nivoa signala do potpune nečujnosti.

Prigušene oscilacije opružnog klatna

Neka postoji sistem koji se sastoji od opruge (podložna Hookeovom zakonu), čiji je jedan kraj čvrsto fiksiran, a na drugom se nalazi tijelo mase m. Oscilacije se javljaju u mediju gdje je sila otpora proporcionalna brzini s koeficijentom c(vidi viskozno trenje).

Čiji se korijeni izračunavaju korištenjem sljedeće formule

Rješenja

U zavisnosti od vrijednosti koeficijenta prigušenja, rješenje se dijeli na tri moguće opcije.

• Aperiodičnost

Ako , tada postoje dva realna korijena, a rješenje diferencijalne jednadžbe ima oblik:

U ovom slučaju, oscilacije opadaju eksponencijalno od samog početka.

• Granica aperiodičnosti

Ako , dva realna korijena se poklapaju, a rješenje jednadžbe je:

U ovom slučaju može doći do privremenog povećanja, ali zatim do eksponencijalnog opadanja.

• Slabo slabljenje

Ako je , tada je rješenje karakteristične jednadžbe dva kompleksna konjugirana korijena

Tada je rješenje originalne diferencijalne jednadžbe

Gdje je prirodna frekvencija prigušenih oscilacija.

Konstante i u svakom slučaju su određene iz početnih uslova:

vidi takođe

• Smanjenje slabljenja

Književnost

Lit.: Savelyev I.V., Kurs opšte fizike: Mehanika, 2001.

Wikimedia Foundation. 2010.

Pogledajte šta su "prigušene oscilacije" u drugim rječnicima:

Prigušene oscilacije- Prigušene oscilacije. PRIGUŠENE VIBRACIJE, oscilacije čija se amplituda A vremenom smanjuje zbog gubitaka energije: pretvaranje energije oscilovanja u toplotu kao rezultat trenja u mehaničkim sistemima (na primjer, u tački ovjesa... ... Ilustrovani enciklopedijski rječnik

Prirodne oscilacije, čija amplituda A opada s vremenom t prema zakonu eksponencijalnog A(t) = Aoexp (?t) (? indikator slabljenja zbog disipacije energije uslijed viskoznih sila trenja za mehaničke prigušene oscilacije i omske. ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

Oscilacije čija se amplituda postepeno smanjuje, npr. oscilacije klatna koje doživljava otpor zraka i trenje u ovjesu. Sve slobodne vibracije koje se javljaju u prirodi su, u većoj ili manjoj mjeri, Z.K. Electrical Z.K.... ...Pomorski rječnik

prigušene oscilacije- Mehaničke oscilacije sa opadajućim vrijednostima opsega generalizirane koordinate ili njene derivacije u odnosu na vrijeme. [Zbirka preporučenih termina. Broj 106. Mehaničke vibracije. Akademija nauka SSSR-a. Naučno-tehnički odbor...... Vodič za tehnički prevodilac

Prigušene oscilacije- (VIBRACIJA) oscilacije (vibracije) sa smanjenjem vrijednosti zamaha... Ruska enciklopedija zaštite rada

Prirodne oscilacije sistema, čija amplituda A opada s vremenom t prema eksponencijalnom zakonu A(t) = A0exp(?α t) (α je indeks prigušenja) zbog disipacije energije uslijed viskoznih sila trenja za mehaničko prigušeno oscilacije i omske ... ... enciklopedijski rječnik

Prigušene oscilacije- 31. Prigušene oscilacije Oscilacije sa opadajućim vrijednostima zamaha Izvor... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

Prirodnih oscilacija sistema, amplituda A prema ryx opada s vremenom t prema eksponencijalnom zakonu A(t) = = Aoehr(at) (indeks prigušenja) zbog disipacije energije zbog sila viskoznog trenja za mehaničko. 3. do. i omski otpor za električne ... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

prigušene oscilacije- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. prigušene oscilacije vok. gedämpfte Schwingung, f rus. prigušene oscilacije, n pranc. amorti oscilacija, f; oscilacije décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas

prigušene oscilacije- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. prigušene oscilacije; prigušene vibracije; umiruće oscilacije vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. prigušene oscilacije, n pranc. oscilacije amorties, f … Fizikos terminų žodynas

Do sada smo razmatrali harmonijske oscilacije koje nastaju, kao što je već rečeno, u prisustvu jedne sile u sistemu - sile elastičnosti ili kvazielastične sile. U prirodi oko nas, strogo govoreći, takve fluktuacije ne postoje. U stvarnim sistemima, pored elastičnih ili kvazielastičnih sila, uvijek postoje i druge sile koje se po prirodi djelovanja razlikuju od elastičnih sila - to su sile koje nastaju pri interakciji tijela sistema sa okolinom - disipativne sile. Krajnji rezultat njihovog djelovanja je pretvaranje mehaničke energije tijela koje se kreće u toplinu. Drugim riječima, dolazi do raspršivanja ili rasipanje mehanička energija. Proces rasipanja energije nije čisto mehanički i za njegovo opisivanje zahtijeva korištenje znanja iz drugih grana fizike. U okviru mehanike ovaj proces možemo opisati uvođenjem sila trenja ili otpora. Kao rezultat disipacije energije, amplituda oscilacija se smanjuje. U ovom slučaju uobičajeno je reći da vibracije tijela ili sistema tijela prigušuju. Prigušene oscilacije više nisu harmonijske, jer se njihova amplituda i frekvencija mijenjaju tokom vremena.

Oscilacije koje se zbog disipacije energije u oscilirajućem sistemu javljaju sa kontinuirano opadajućom amplitudom nazivaju se fading. Ako oscilatorni sistem, izvučen iz stanja ravnoteže, oscilira pod uticajem samo unutrašnjih sila, bez otpora i disipacije (disipacije) energije, tada se oscilacije koje se javljaju u njemu nazivaju besplatno(ili vlastite) neprigušene oscilacije. U stvarnim mehaničkim sistemima sa disipacijom energije, slobodne oscilacije su uvijek prigušene. Njihova frekvencija co razlikuje se od frekvencije co 0 oscilacija sistema bez prigušenja (što je veći uticaj otpornih sila, veći je uticaj sila otpora.

Razmotrimo prigušene oscilacije na primjeru opružnog klatna. Ograničimo se na razmatranje malih oscilacija. Pri malim brzinama oscilovanja, sila otpora se može uzeti kao proporcionalna brzini oscilatornih pomaka

Gdje v = 4 - brzina oscilovanja; G - faktor proporcionalnosti koji se naziva koeficijent otpora. Znak minus u izrazu (2.79) za silu otpora je zbog činjenice da je ona usmjerena u smjeru suprotnom brzini kretanja tijela koje oscilira.

Znajući izraze za kvazielastičnu silu i^p = - i silu otpora Fc= uzimajući u obzir kombinovano djelovanje ovih sila, možemo zapisati dinamičku jednačinu kretanja tijela koje vrši prigušene oscilacije

U ovoj jednačini koeficijent (3 prema formuli (2.49) zamjenjujemo sa ti], nakon čega podijelimo posljednju jednačinu i dobijemo

Tražit ćemo rješenje jednačine (2.81) kao funkciju vremena oblika

Ovdje je konstantna vrijednost y još uvijek nedefinirana. Radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da je početna faza u našem razmatranju jednaka nuli, tj. možemo „uključiti“ štopericu kada oscilatorni pomak prođe kroz ravnotežni položaj (nulta koordinata).

Vrijednost y možemo odrediti zamjenom u diferencijalnu jednadžbu prigušenih oscilacija (2.81) pretpostavljenog rješenja (2.82), kao i brzina dobivenih iz njega

i ubrzanje

Zamjena (2.83) i (2.84) zajedno sa (2.82) u (2.81) daje Nakon smanjenja za /1 () e": " i množenja sa "-1" dobijamo Rješavanje ove kvadratne jednadžbe za y, imamo

Zamjenom y u (2.82), nalazimo kako pomak ovisi o vremenu tokom prigušenih oscilacija. Hajde da uvedemo notaciju

gdje simbol co označava kutnu frekvenciju prigušenih oscilacija, a coo kutnu frekvenciju slobodnih oscilacija bez prigušenja. Može se vidjeti da je za S > 0 frekvencija prigušenih oscilacija uvijek manja od frekvencije

dakle, i, prema tome, pomak za vrijeme prigušenih oscilacija može se izraziti kao

Izbor znaka “+” ili “-” u drugom eksponentu je proizvoljan i odgovara faznom pomaku oscilacija za l. Zapisaćemo prigušene oscilacije uzimajući u obzir izbor znaka „+“, tada će izraz (2.90) biti

Ovo je željena zavisnost pomaka od vremena. Također se može prepisati u trigonometrijskom obliku (ograničeno na pravi dio)

Zavisnost željene amplitude A(t) s vremena na vrijeme može se predstaviti kao

Gdje A(,- amplituda u vremenu t = 0.

Konstanta 8, jednaka prema (2.88) odnosu koeficijenta otpora G da udvostruči masu T zove se oscilirajuće tijelo koeficijent prigušenja vibracija. Hajde da saznamo fizičko značenje ovog koeficijenta. Nađimo vrijeme t tokom kojeg će se amplituda prigušenih oscilacija smanjiti za e (osnova prirodnog logaritma e = 2,72) puta. Da biste to uradili, stavimo

Koristeći relaciju (2.93), dobijamo: ili

odakle sledi

dakle, koeficijent slabljenja 8 je recipročna vrijednost vremena t, nakon kojeg će se amplituda prigušenih oscilacija smanjiti za e puta. Količina m, koja ima dimenziju vremena, naziva se vremenska konstanta prigušenog oscilatornog procesa.

Pored koeficijenta 8, tzv logaritamski dekrement prigušenja X, jednak prirodnom logaritmu omjera dviju amplituda oscilacija koje su međusobno razdvojene vremenskim intervalom jednakim periodu T

Izraz pod logaritmom, označen simbolom d, nazvan jednostavno smanjenje fluktuacija (dekrement slabljenja).

Koristeći izraz amplitude (2.93), dobijamo:

Hajde da saznamo fizičko značenje logaritamskog dekrementa prigušenja. Neka se amplituda oscilacija smanji za e puta nakon N oscilacija. Vrijeme t tokom kojeg će tijelo završiti N oscilacije se mogu izraziti kroz period t = N.T. Zamjenom ove vrijednosti m u (2.97), dobijamo 8NT= 1. Pošto je 67 "= A., onda NX = 1, ili

dakle, logaritamski dekrement prigušenja je recipročna vrijednost broja oscilacija tokom kojih će se amplituda prigušenih oscilacija smanjiti za e puta.

U nekim slučajevima, ovisnost amplitude oscilacije o vremenu A(t) Pogodno je to izraziti u smislu logaritamskog dekrementa prigušenja A. Eksponent 6 1 Izrazi (2.93) se mogu napisati prema (2.99) na sljedeći način:

Tada izraz (2.93) poprima oblik

gdje je vrijednost jednaka broju N oscilacije koje sistem pravi tokom vremena t.

Tabela 2.1 prikazuje približne vrijednosti (po redu veličine) logaritamskih dekremenata prigušenja nekih oscilatornih sistema.

Tabela 2.1

Vrijednosti dekremenata slabljenja nekih oscilatornih sistema

Analizirajmo sada uticaj sila otpora na frekvenciju oscilovanja. Kada se tijelo pomakne iz ravnotežnog položaja i vrati u ravnotežni položaj, sila otpora će djelovati na njega cijelo vrijeme, uzrokujući njegovo usporavanje.

To znači da će iste dijelove puta za vrijeme prigušenih oscilacija tijelo pokrivati ​​u većem vremenskom intervalu nego za vrijeme slobodnih oscilacija. Period prigušenih oscilacija T, stoga će postojati duži period prirodnih slobodnih oscilacija. Iz izraza (2.89) jasno je da razlika u frekvencijama postaje veća što je veći koeficijent slabljenja b. Za velike b (b > coo), prigušene oscilacije degeneriraju u aperiodični (neperiodični) proces, u kojoj se, u zavisnosti od početnih uslova, sistem vraća u ravnotežni položaj odmah bez prolaska kroz njega, ili pre zaustavljanja jednom prolazi kroz ravnotežni položaj (izvodi samo jednu oscilaciju) - vidi sl. 2.16.

Rice. 2.16. Prigušene oscilacije:

Na slici 2.16, A prikazuje graf zavisnosti %(t) I A(t)(pri 5 > co 0 i početnoj fazi so, oscilacije su potpuno nemoguće (ovaj slučaj odgovara imaginarnoj vrijednosti frekvencije određene iz jednakosti (2.89). Sistem prigušuje, a oscilatorni proces postaje aperiodičan (slika 2.16, b).

• Oznaka exp(x) je ekvivalentna e*. Koristićemo oba oblika.
• U opštem razmatranju oscilacija, puna vrednost faze oscilovanja data je početnim uslovima, tj. veličinu pomaka 4(0 i brzinu 4(0) u početnom trenutku vremena (t = 0) i uključuje član