این روش تقریب انتگرال را در یک بخش جزئی توسط سهمی که از نقاط می گذرد پیشنهاد می کند.
(x j، f(x j))، جایی که j = من-1; من-0.5; من، یعنی تابع انتگرال را با یک چند جمله ای درونیابی لاگرانژ درجه دوم تقریب می زنیم:

پس از انجام یکپارچه سازی، به دست می آوریم:

همین است فرمول سیمپسون یا فرمول سهموی در بخش
[الف، ب] فرمول سیمپسون شکل می گیرد

یک نمایش گرافیکی از روش سیمپسون در شکل 1 نشان داده شده است. 2.4.

برنج. 10.4.روش سیمپسون

بیایید با طراحی مجدد متغیرها از شر شاخص های کسری در عبارت (2.16) خلاص شویم:

سپس فرمول سیمپسون شکل می گیرد

خطای فرمول (2.18) با عبارت زیر تخمین زده می شود:

جایی که h·n = b-a، . بنابراین، خطای فرمول سیمپسون متناسب است O(h 4).

اظهار نظر.لازم به ذکر است که در فرمول سیمپسون، بخش ادغام لزوماً به تقسیم می شود زوجتعداد فواصل

10.5. محاسبه انتگرال های معین با روش ها
مونت کارلو

روش هایی که قبلا مورد بحث قرار گرفت نامیده می شوند قطعی یعنی عاری از عنصر شانس.

روش های مونت کارلو(MMK) روش‌های عددی برای حل مسائل ریاضی با استفاده از مدل‌سازی متغیرهای تصادفی هستند. MMC ها به فرد اجازه می دهند تا مسائل ریاضی ناشی از فرآیندهای احتمالی را با موفقیت حل کند. علاوه بر این، هنگام حل مسائلی که با هیچ احتمالی مرتبط نیستند، می توانید به طور مصنوعی یک مدل احتمالی (و حتی بیش از یک) ارائه دهید که به شما امکان می دهد این مشکلات را حل کنید. محاسبه انتگرال معین را در نظر بگیرید

هنگام محاسبه این انتگرال با استفاده از فرمول مستطیل، فاصله [ الف، ب] تقسیم به نفواصل یکسانی که در وسط آن مقادیر انتگرال محاسبه شد. با محاسبه مقادیر تابع در گره های تصادفی، می توانید نتیجه دقیق تری دریافت کنید:

در اینجا γ i یک عدد تصادفی است که به طور یکنواخت در بازه توزیع شده است
. خطا در محاسبه انتگرال MMC ~ است که به طور قابل توجهی بیشتر از روش های قطعی قبلاً مطالعه شده است.

در شکل شکل 2.5 اجرای گرافیکی روش مونت کارلو را برای محاسبه یک انتگرال منفرد با گره های تصادفی (2.21) و (2.22) نشان می دهد.

(2.23)

برنج. 10.6.ادغام به روش مونت کارلو (مورد دوم)

همانطور که می توان در شکل دیده می شود. 2.6، منحنی انتگرال در مربع واحد قرار دارد، و اگر بتوانیم جفت اعداد تصادفی را که به طور یکنواخت در فاصله توزیع شده به دست آوریم، مقادیر حاصل (γ 1، γ 2) را می توان به عنوان مختصات یک نقطه تفسیر کرد. در مربع واحد سپس، اگر تعداد بسیار زیادی از این جفت اعداد به دست آید، تقریباً می توانیم آن را فرض کنیم
. اینجا استعداد جفت نقاطی است که در زیر منحنی قرار می گیرند و ن- تعداد کل جفت اعداد.

مثال 2.1.انتگرال زیر را محاسبه کنید:

مشکل با استفاده از روش های مختلف حل شد. نتایج به دست آمده در جدول خلاصه شده است. 2.1.

جدول 2.1

اظهار نظر.انتخاب یک انتگرال جدول به ما اجازه داد تا خطای هر روش را مقایسه کنیم و تأثیر تعداد پارتیشن ها را بر دقت محاسبات دریابیم.

11 راه حل تقریبی غیر خطی
و معادلات متعالی

برای یافتن انتگرال معین به روش ذوزنقه ای، مساحت ذوزنقه منحنی به n ذوزنقه مستطیلی با ارتفاع h و پایه های 1، 2، 3،..у n تقسیم می شود که n تعداد ذوزنقه مستطیلی است. . انتگرال از نظر عددی برابر با مجموع مساحت ذوزنقه های مستطیلی خواهد بود (شکل 4).

برنج. 4

n - تعداد پارتیشن ها

خطای فرمول ذوزنقه ای با عدد تخمین زده می شود

خطای فرمول ذوزنقه با رشد سریعتر از خطای فرمول مستطیل کاهش می یابد. بنابراین، فرمول ذوزنقه ای اجازه می دهد تا دقت بیشتری نسبت به روش مستطیل داشته باشد.

فرمول سیمپسون

اگر برای هر جفت قطعه یک چند جمله ای درجه دوم بسازیم، سپس آن را روی قطعه ادغام کنیم و از خاصیت افزایشی انتگرال استفاده کنیم، فرمول سیمپسون را به دست می آوریم.

در روش سیمپسون، برای محاسبه یک انتگرال معین، کل بازه انتگرالی به زیر بازه هایی با طول مساوی h=(b-a)/n تقسیم می شود. تعداد بخش های پارتیشن یک عدد زوج است. سپس، در هر جفت از زیر بازه های مجاور، تابع انتگرال f(x) با چند جمله ای لاگرانژ درجه دوم جایگزین می شود (شکل 5).

برنج. 5 تابع y=f(x) روی قطعه با یک چند جمله ای مرتبه 2 جایگزین می شود

بیایید انتگرال را روی یک سگمنت در نظر بگیریم. اجازه دهید این انتگرال را با یک چند جمله ای درونیابی لاگرانژ با درجه دوم جایگزین کنیم که در نقاط منطبق با y= است:

بیایید در بخش ادغام کنیم:

بیایید یک تغییر متغیرها را معرفی کنیم:

با توجه به فرمول های جایگزین،

پس از انجام ادغام، فرمول سیمپسون را به دست می آوریم:

مقدار بدست آمده برای انتگرال منطبق بر مساحت ذوزنقه منحنی شکل است که توسط یک محور، خطوط مستقیم و یک سهمی که از نقاط عبور می کند محدود شده است. در یک قطعه، فرمول سیمپسون به این صورت خواهد بود:

در فرمول سهمی، مقدار تابع f(x) در نقاط فرد پارتیشن x 1, x 3, ..., x 2n-1 دارای ضریب 4 است، در نقاط زوج x 2, x 4, . ..، x 2n-2 - ضریب 2 و در دو نقطه مرزی x 0 =a، x n =b - ضریب 1.

معنای هندسی فرمول سیمپسون: مساحت ذوزنقه منحنی زیر نمودار تابع f(x) روی یک قطعه تقریباً با مجموع مساحت های شکل های قرار گرفته در زیر سهمی ها جایگزین می شود.

اگر تابع f(x) مشتق پیوسته مرتبه چهارم داشته باشد، قدر مطلق خطای فرمول سیمپسون بیشتر از

که در آن M بزرگترین مقدار در بخش است. از آنجایی که n 4 سریعتر از n 2 رشد می کند، خطای فرمول سیمپسون با افزایش n بسیار سریعتر از خطای فرمول ذوزنقه ای کاهش می یابد.

بیایید انتگرال را محاسبه کنیم

محاسبه این انتگرال آسان است:

بیایید n را برابر با 10 در نظر بگیریم، h=0.1، مقادیر انتگرال را در نقاط پارتیشن و همچنین نقاط نیمه صحیح محاسبه کنیم.

با استفاده از فرمول مستطیل های متوسط، I straight = 0.785606 (خطا 0.027٪ است)، با استفاده از فرمول ذوزنقه I trap = 0.784981 (خطا حدود 0.054 است. هنگام استفاده از روش مستطیل راست و چپ، خطا بیشتر است. بیش از 3 درصد

برای مقایسه دقت فرمول های تقریبی، اجازه دهید دوباره انتگرال را محاسبه کنیم

اما اکنون طبق فرمول سیمپسون با n=4. بیایید بخش را با نقاط x 0 = 0، x 1 = 1/4، x 2 = 1/2، x 3 = 3/4، x 4 =1 به چهار قسمت مساوی تقسیم کنیم و تقریباً مقادیر تابع را محاسبه کنیم. f(x)=1/(1+x) در این نقاط: 0 =1.0000، 1 =0.8000، 2 =0.6667، 3 =0.5714، 4 =0.5000.

با استفاده از فرمول سیمپسون به دست می آوریم

اجازه دهید خطای نتیجه به دست آمده را تخمین بزنیم. برای تابع انتگرال f(x)=1/(1+x) داریم: f (4) (x)=24/(1+x) 5، به این معنی که در قطعه . بنابراین، می توانیم M=24 را بگیریم و خطای نتیجه از 24/(2880 4 4)=0.0004 تجاوز نمی کند. با مقایسه مقدار تقریبی با مقدار دقیق، نتیجه می گیریم که خطای مطلق نتیجه به دست آمده با استفاده از فرمول سیمپسون کمتر از 0.00011 است. این مطابق با برآورد خطای داده شده در بالا است و علاوه بر این، نشان می دهد که فرمول سیمپسون بسیار دقیق تر از فرمول ذوزنقه ای است. بنابراین، فرمول سیمپسون بیشتر از فرمول ذوزنقه ای برای محاسبه تقریبی انتگرال های معین استفاده می شود.

اجازه دهید بخش ادغام را تقسیم کنیم [ آ, ب] به عدد زوج nقسمت های مساوی در افزایش ساعت. در هر بخش [ ایکس 0, ایکس 2], [ایکس 2, ایکس 4],..., [ایکس i-1، ایکس i+1]،...، [ ایکس n-2، ایکس n] تابع انتگرال f(ایکس) با چند جمله ای درونیابی درجه دوم جایگزین می کنیم:

ضرایب این سه جمله های درجه دوم را می توان از شرایط برابری چند جمله ای در نقاط داده های جدولی مربوطه یافت. ما می توانیم چند جمله ای درون یابی لاگرانژ درجه دوم را که از نقاط عبور می کند، در نظر بگیریم :

مجموع مساحت های ابتدایی و (شکل 3.3) را می توان با استفاده از یک انتگرال معین محاسبه کرد. با در نظر گرفتن برابری هایی که به دست می آوریم

-

برنج. 3.3. تصویری برای روش سیمپسون

پس از انجام چنین محاسباتی برای هر بخش ابتدایی، عبارات حاصل را خلاصه می کنیم:

این عبارت برای اسبه عنوان مقدار انتگرال معین در نظر گرفته می شود:

(3.35)

رابطه حاصل نامیده می شود فرمول سیمپسونیا فرمول سهمی.

این فرمول را می توان به روش های دیگری نیز به دست آورد، به عنوان مثال، با استفاده از روش ذوزنقه ای دو بار هنگام تقسیم بندی قطعه [ آ, ب] به قطعات با مراحل ساعتو 2 ساعتیا با ترکیب فرمول های مستطیل و ذوزنقه (به بخش 3.2.6 مراجعه کنید).

گاهی اوقات فرمول سیمپسون با استفاده از شاخص های نیمه صحیح نوشته می شود. در این مورد، تعداد بخش های پارتیشن پدلخواه (نه لزوماً یکنواخت) و فرمول سیمپسون این شکل را دارد

(3.36)

اگر فرمول (3.35) برای تعداد بخش های پارتیشن 2 اعمال شود، به راحتی می توان فهمید که فرمول (3.36) با (3.35) منطبق است. nو قدم ساعت/2.

مثال. انتگرال را با استفاده از روش سیمپسون محاسبه کنید

مقادیر تابع در n = 10, ساعت = 0.1 در جدول آورده شده است. 3.3. با استفاده از فرمول (3.35)، متوجه می شویم

نتیجه ادغام عددی با استفاده از روش سیمپسون با مقدار دقیق مطابقت دارد (شش رقم معنی دار).

یکی از الگوریتم های ممکن برای محاسبه انتگرال معین با استفاده از روش سیمپسون در شکل 1 نشان داده شده است. 3.4. مرزهای بخش ادغام [ آ, ب]، خطا ε, و همچنین فرمولی برای محاسبه مقادیر انتگرال y =f(ایکس) .

برنج. 3.4. الگوریتم روش سیمپسون

در ابتدا قطعه با یک پله به دو قسمت تقسیم می شود ساعت =(ب- الف)/2. مقدار انتگرال محاسبه می شود من 1. سپس تعداد مراحل دو برابر می شود، مقدار محاسبه می شود من 2 در افزایش ساعت/2. شرط پایان حساب در فرم گرفته شده است. اگر این شرط برآورده نشد، مرحله جدید به نصف تقسیم می شود و غیره.

توجه داشته باشید که در شکل نشان داده شده است. 3.4 الگوریتم بهینه نیست: هنگام محاسبه هر تقریب من 2 مقدار تابع استفاده نمی شود f(ایکس), قبلاً در مرحله قبل پیدا شده است. الگوریتم های اقتصادی بیشتر در بخش مورد بحث قرار خواهند گرفت. 3.2.7.

مشکلی در مورد محاسبه عددی یک انتگرال معین ایجاد می شود که با استفاده از فرمول هایی به نام فرمول های ربع قابل حل است.

بیایید ساده ترین فرمول ها را برای ادغام عددی به یاد بیاوریم.

بیایید مقدار عددی تقریبی را محاسبه کنیم. فاصله ادغام [a, b] را با تقسیم نقاط به n قسمت مساوی تقسیم می کنیم
، گره های فرمول مربعی نامیده می شوند. اجازه دهید مقادیر در گره ها مشخص شوند
:

اندازه

فاصله یا مرحله ادغام نامیده می شود. توجه داشته باشید که در عمل - محاسبات، عدد i کوچک انتخاب می شود، معمولاً بیش از 10-20 نیست. در یک بازه جزئی

انتگرال با یک چند جمله ای درون یابی جایگزین می شود

که تقریباً تابع f (x) را در بازه مورد نظر نشان می دهد.

الف) اجازه دهید فقط یک جمله اول را در چند جمله ای درونیابی نگه داریم، سپس

فرمول درجه دوم حاصل

فرمول مستطیل نامیده می شود.

ب) اجازه دهید دو جمله اول را در چند جمله ای درون یابی نگه داریم

(2)

فرمول (2) فرمول ذوزنقه ای نامیده می شود.

ج) فاصله ادغام
ما آن را به تعداد زوج از 2n قسمت مساوی تقسیم می کنیم و مرحله ادغام h برابر است با . در فاصله زمانی
به طول 2h، انتگرال را با یک چند جمله ای درونیابی درجه دوم جایگزین می کنیم، یعنی سه جمله اول را در چند جمله ای حفظ می کنیم:

فرمول ربع به دست آمده را فرمول سیمپسون می نامند

(3)

فرمول های (1)، (2) و (3) معنای هندسی ساده ای دارند. در فرمول مستطیل ها تابع انتگرال f(x) روی بازه
با یک پاره خط مستقیم y = yk، موازی با محور آبسیسا، و در فرمول ذوزنقه ای - با یک پاره خط مستقیم جایگزین می شود.
و مساحت مستطیل و ذوزنقه مستطیل به ترتیب محاسبه می شود که سپس جمع می شوند. در فرمول سیمپسون، تابع f(x) در بازه
طول 2h با یک مثلث مربع جایگزین می شود - سهمی
مساحت ذوزنقه سهموی منحنی محاسبه می شود، سپس مساحت ها جمع می شوند.

نتیجه

در پایان کار، می خواهم به تعدادی از ویژگی های کاربرد روش های مورد بحث در بالا اشاره کنم. هر روش حل تقریبی یک انتگرال معین، مزایا و معایب خاص خود را دارد؛ بسته به کار در دست، باید از روش های خاصی استفاده کرد.

روش جایگزینی متغیریکی از روش های اصلی برای محاسبه انتگرال نامعین است. حتی در مواردی که با روش دیگری ادغام می‌شویم، اغلب مجبوریم در محاسبات میانی به تغییر متغیرها متوسل شویم. موفقیت ادغام تا حد زیادی به این بستگی دارد که آیا ما قادر به انتخاب چنین تغییر موفقیت آمیزی از متغیرها هستیم که انتگرال داده شده را ساده کند.

اساساً، مطالعه روش های یکپارچه سازی به این نتیجه می رسد که بفهمیم چه نوع جایگزینی متغیری باید برای این یا آن نوع انتگرال ساخته شود.

بدین ترتیب، ادغام هر کسر گویابه ادغام یک چند جمله ای و چند کسر ساده کاهش می یابد.

انتگرال هر تابع گویا را می توان از طریق توابع ابتدایی به شکل نهایی بیان کرد، یعنی:

از طریق لگاریتم - در موارد کسرهای ساده نوع 1.

از طریق توابع گویا - در مورد کسرهای ساده از نوع 2

از طریق لگاریتم ها و قوس های قطبی - در مورد کسرهای ساده از نوع 3

از طریق توابع گویا و تانژانتها - در مورد کسرهای ساده از نوع 4. جایگزینی مثلثاتی جهانی همیشه انتگرال را منطقی می کند، اما اغلب منجر به کسرهای گویا بسیار دست و پا گیر می شود، که به ویژه، یافتن ریشه های مخرج برای آنها تقریبا غیرممکن است. بنابراین، در صورت امکان، از جانشینی های جزئی استفاده می شود که انتگرال را نیز منطقی می کند و منجر به کسرهای کمتر پیچیده می شود.

فرمول نیوتن – لایب نیتسیک رویکرد کلی برای یافتن انتگرال های معین است.

در مورد تکنیک های محاسبه انتگرال های معین، عملاً هیچ تفاوتی با تمام آن تکنیک ها و روش ها ندارند.

دقیقا به همین روش اعمال کنید روش های جایگزینی(تغییر متغیر)، روش ادغام توسط قطعات، تکنیک های مشابه برای یافتن پاد مشتق برای توابع مثلثاتی، غیر منطقی و ماورایی. تنها ویژگی این است که هنگام استفاده از این تکنیک ها، لازم است تبدیل نه تنها به تابع انتگرال، بلکه تا حدود یکپارچه سازی گسترش یابد. هنگام جایگزینی متغیر ادغام، فراموش نکنید که محدودیت های ادغام را متناسب با آن تغییر دهید.

به درستی از قضیه، شرط تداوم تابعشرط کافی برای یکپارچگی یک تابع است. اما این بدان معنا نیست که انتگرال معین فقط برای توابع پیوسته وجود دارد. کلاس توابع ادغام پذیر بسیار گسترده تر است. به عنوان مثال، یک انتگرال مشخص از توابع وجود دارد که دارای تعداد محدودی از نقاط ناپیوستگی هستند.

محاسبه یک انتگرال معین از یک تابع پیوسته با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس به یافتن پاد مشتق ختم می شود که همیشه وجود دارد، اما همیشه یک تابع ابتدایی یا تابعی نیست که جداولی برای آن کامپایل شده باشد که به دست آوردن مقدار را ممکن می کند. انتگرال در برنامه های متعدد، تابع ادغام پذیر در یک جدول مشخص شده است و فرمول نیوتن-لایبنیتس به طور مستقیم قابل اجرا نیست.

اگر شما نیاز به دریافت دقیق ترین نتیجه دارید، ایده آل است روش سیمپسون.

از آنچه در بالا مورد بررسی قرار گرفت، می توان نتیجه گرفت که انتگرال در علومی مانند فیزیک، هندسه، ریاضیات و سایر علوم کاربرد دارد. با استفاده از انتگرال، کار نیرو محاسبه می شود، مختصات مرکز جرم و مسیر طی شده توسط نقطه مادی پیدا می شود. در هندسه برای محاسبه حجم جسم، یافتن طول قوس منحنی و غیره استفاده می شود.

گروه ریاضیات عالی

تکمیل شده توسط: Matveev F.I.

بررسی شده توسط: Burlova L.V.

اولان اوده.2002

1. روش های عددی ادغام

2. استخراج فرمول سیمپسون

3. تصویر هندسی

4. انتخاب مرحله ادغام

5-نمونه ها

1. روش های عددی ادغام

مشکل انتگرال عددی محاسبه انتگرال است

از طریق یک سری مقادیر انتگرال.

مسائل یکپارچه سازی عددی باید برای توابع مشخص شده در جداول، توابعی که انتگرال آنها در توابع ابتدایی گرفته نشده است، حل شود. بیایید فقط توابع یک متغیر را در نظر بگیریم.

به جای تابعی که باید یکپارچه شود، چند جمله ای درون یابی را ادغام می کنیم. روش های مبتنی بر جایگزینی انتگرال با یک چند جمله ای درون یابی، تخمین دقت نتیجه را با استفاده از پارامترهای چند جمله ای یا انتخاب این پارامترها بر اساس دقت داده شده ممکن می سازد.

روش های عددی را می توان به صورت مشروط بر اساس روش تقریب انتگرال گروه بندی کرد.

روش های نیوتن کوتس بر اساس تقریب یک تابع با چند جمله ای درجه است. الگوریتم این کلاس فقط در درجه چند جمله ای متفاوت است. به عنوان یک قاعده، گره های چند جمله ای تقریبی معادل هستند.

روش‌های ادغام Spline بر اساس تقریب یک تابع توسط یک چند جمله‌ای تکه‌ای اسپلاین است.

روش‌های با بالاترین دقت جبری (روش گاوسی) از گره‌های نابرابر انتخاب شده ویژه استفاده می‌کنند که حداقل خطای یکپارچه‌سازی را برای تعداد معین (انتخاب شده) گره‌ها فراهم می‌کنند.

روش های مونت کارلو اغلب هنگام محاسبه انتگرال های متعدد استفاده می شود؛ گره ها به طور تصادفی انتخاب می شوند و پاسخ احتمالی است.

خطای کل

خطای کوتاه کردن

خطای گرد کردن

صرف نظر از روش انتخاب شده، در فرآیند یکپارچه سازی عددی لازم است مقدار تقریبی انتگرال محاسبه و خطا برآورد شود. با افزایش عدد n، خطا کاهش می یابد

پارتیشن های سگمنت با این حال، این باعث افزایش خطای گرد می شود

با جمع کردن مقادیر انتگرال های محاسبه شده بر روی بخش های جزئی.

خطای برش به ویژگی های انتگرال و طول قطعه جزئی بستگی دارد.

2. استخراج فرمول سیمپسون

اگر برای هر جفت قطعه یک چند جمله ای درجه دوم بسازیم، سپس آن را ادغام کنیم و از خاصیت افزایشی انتگرال استفاده کنیم، فرمول سیمپسون را به دست می آوریم.

بیایید انتگرال روی سگمنت را در نظر بگیریم. اجازه دهید این انتگرال را با یک چند جمله ای درونیابی لاگرانژ از درجه دوم جایگزین کنیم که در نقاط منطبق است:

بیایید ادغام کنیم:

و فرمول سیمپسون نامیده می شود.

مقدار به دست آمده برای انتگرال منطبق با مساحت ذوزنقه منحنی شکل محدود شده توسط محور، خطوط مستقیم و سهمی که از نقاط عبور می کند.

اجازه دهید اکنون خطای ادغام را با استفاده از فرمول سیمپسون تخمین بزنیم. فرض می کنیم که مشتقات پیوسته روی بازه وجود دارد . بیایید تفاوت را جبران کنیم

از قبل می توان قضیه مقدار میانگین را برای هر یک از این دو انتگرال اعمال کرد، زیرا تابع در بازه انتگرال اول پیوسته و غیر منفی و در فاصله دوم غیر مثبت است (یعنی در هر یک علامت تغییر نمی کند. از این فواصل). از همین رو:

(ما از قضیه مقدار میانگین استفاده کردیم زیرا - یک تابع پیوسته است؛ ).

با دوبار افتراق و سپس اعمال قضیه مقدار میانگین، عبارت دیگری را برای:

، جایی که

از هر دو تخمین برای آن نتیجه می شود که فرمول سیمپسون برای چندجمله ای هایی با درجه بالاتر از سه دقیق است. بیایید فرمول سیمپسون را برای مثال به شکل زیر بنویسیم:

اگر بخش ادغام خیلی بزرگ باشد، به قسمت های مساوی تقسیم می شود (با فرض) و سپس به هر جفت بخش مجاور، ،...، از فرمول سیمپسون استفاده کنید، یعنی:

بیایید فرمول سیمپسون را به صورت کلی بنویسیم:

خطای فرمول سیمپسون - روش مرتبه چهارم:

, (3)

از آنجایی که روش سیمپسون به شما امکان می دهد دقت بالایی، اگر نه خیلی بالا، بدست آورید. در غیر این صورت، روش مرتبه دوم ممکن است دقت بیشتری ارائه دهد.

به عنوان مثال، برای یک تابع، شکل ذوزنقه ای for نتیجه دقیق را نشان می دهد، در حالی که با استفاده از فرمول سیمپسون به دست می آوریم.

3. تصویر هندسی

در قطعه ای به طول 2 ساعت، سهمی ساخته می شود که از سه نقطه عبور می کند. . مساحت زیر سهمی که بین محور OX و خطوط مستقیم محصور شده است برابر با انتگرال در نظر گرفته می شود.

ویژگی خاص کاربرد فرمول سیمپسون زوج بودن تعداد پارتیشن‌های بخش ادغام است.

اگر تعداد بخش‌های پارتیشن فرد باشد، برای سه بخش اول باید فرمولی را با استفاده از سهمی درجه سوم که از چهار نقطه اول عبور می‌کند اعمال کرد تا انتگرال تقریبی شود.

(4)

این فرمول سه هشتم سیمپسون است.

برای یک بخش دلخواه از ادغام، فرمول (4) را می توان «ادامه داد». در این مورد، تعداد بخش های جزئی باید مضرب سه (نقطه) باشد.

, m=2,3,... (5)

کل بخش

شما می توانید فرمول های نیوتن-کوتس را با سفارش های بالاتر بدست آورید:

(6)

تعداد بخش های پارتیشن؛

درجه چند جمله ای مورد استفاده؛

مشتق از مرتبه هفتم در نقطه ;

مرحله تقسیم

جدول 1 ضرایب را نشان می دهد. هر خط مربوط به یک مجموعه از فواصل توسط گره ها برای ساختن چند جمله ای درجه k است. برای استفاده از این طرح برای مجموعه های بیشتر (مثلاً با k=2 و n=6)، باید ضرایب را «ادامه» کنید و سپس آنها را اضافه کنید.

میز 1:

الگوریتم تخمین خطا برای فرمول های ذوزنقه ای و سیمپسون را می توان به صورت زیر نوشت: (7)،

ضریب بسته به روش ادغام و خصوصیات انتگرال کجاست.

h - مرحله ادغام؛

p - ترتیب روش.

قانون Runge برای محاسبه خطا با دو بار محاسبه انتگرال با مراحل h و kh استفاده می شود.

(8) - برآورد پسینی. سپس Iref.= +Ro (9)، مقدار تصفیه شده انتگرال.

اگر ترتیب روش نامشخص باشد، باید برای بار سوم I را با گام محاسبه کرد، یعنی:

از یک سیستم سه معادله:

با مجهول های I، A و p دریافت می کنیم:

از (10) آمده است (11)

بنابراین، روش محاسبه مضاعف، که به تعداد دفعات مورد نیاز استفاده می شود، به فرد اجازه می دهد تا انتگرال را با درجه ای از دقت محاسبه کند. تعداد مورد نیاز پارتیشن به صورت خودکار انتخاب می شود. در این حالت می توانید از فراخوانی های متعدد به زیربرنامه های متدهای ادغام مربوطه بدون تغییر الگوریتم این روش ها استفاده کنید. با این حال، برای روش‌هایی که از گره‌های مرتبط با هم استفاده می‌کنند، می‌توان الگوریتم‌ها را اصلاح کرد و تعداد محاسبات انتگرال را با استفاده از مجموع انتگرال انباشته شده در طول پارتیشن‌های چندگانه قبلی بازه ادغام، نصف کرد. دو مقدار تقریبی انتگرال و محاسبه شده با استفاده از روش ذوزنقه ای با مراحل و با رابطه:

به طور مشابه، برای انتگرال های محاسبه شده با استفاده از فرمول با مراحل و، روابط زیر صادق است:

,

(13)

4. انتخاب مرحله ادغام

برای انتخاب مرحله ادغام، می توانید از عبارت باقیمانده استفاده کنید. به عنوان مثال، بقیه فرمول سیمپسون را در نظر بگیرید:

اگر ê، پس ê ê .

بر اساس دقت داده شده e روش ادغام، گام مناسب را از آخرین نابرابری تعیین می کنیم.

, .

با این حال، این روش نیاز به ارزیابی دارد (که در عمل همیشه امکان پذیر نیست). بنابراین از روش های دیگری برای تعیین تخمین دقت استفاده می کنند که امکان انتخاب مرحله h مورد نظر را در حین محاسبات فراهم می کند.

بیایید به یکی از این تکنیک ها نگاه کنیم. اجازه دهید

,

مقدار تقریبی انتگرال با گام کجاست. بیایید گام را به نصف کاهش دهیم، بخش را به دو قسمت مساوی و () تقسیم کنیم.

اکنون فرض می کنیم که خیلی سریع تغییر نمی کند، به طوری که تقریبا ثابت است: . سپس و ، جایی که ، به این معنا که .

از این نتیجه می‌توان به این نتیجه رسید: اگر یعنی اگر , , a دقت مورد نیاز باشد، گام برای محاسبه انتگرال با دقت کافی مناسب است. اگر، پس محاسبه به صورت مرحله ای تکرار می شود و سپس مقایسه می شود و غیره. این قانون را قانون رانگ می نامند.

با این حال، هنگام اعمال قانون رانگ، باید بزرگی خطای محاسبه را در نظر گرفت: با کاهش آن، خطای مطلق محاسبه انتگرال افزایش می‌یابد (وابستگی به آن نسبت معکوس دارد) و اگر به اندازه کافی کوچک باشد، آن را کاهش می‌دهد. ممکن است بیشتر از خطای روش باشد. اگر بیش از آن باشد، قانون Runge را نمی توان برای این مرحله اعمال کرد و نمی توان به دقت مورد نظر دست یافت. در چنین مواردی باید ارزش را افزایش داد.

هنگام استخراج قانون رانگ، اساساً از این فرض استفاده کردید که . اگر فقط یک جدول از مقادیر وجود داشته باشد، بررسی "ثبات" را می توان مستقیماً از جدول انجام داد.توسعه بیشتر الگوریتم های فوق به ما امکان می دهد به الگوریتم های تطبیقی ​​برویم، که در آن، با انتخاب یک مرحله ادغام متفاوت در بخش های مختلف از بخش ادغام، بسته به ویژگی ها، تعداد محاسبات انتگرال کاهش می یابد.

طرح دیگری برای پالایش مقادیر انتگرال، فرآیند Eithnen است. انتگرال در مراحل محاسبه می شود و . محاسبه مقادیر سپس (14).

اندازه گیری دقت روش سیمپسون به صورت زیر در نظر گرفته می شود:

5. مثال ها

مثال 1.انتگرال را با استفاده از فرمول سیمپسون در صورتی که توسط جدول داده شده است محاسبه کنید. خطا را برآورد کنید.

جدول 3.

راه حل: اجازه دهید با فرمول (1) برای و انتگرال محاسبه کنیم.

طبق قانون Runge ما Accept را دریافت می کنیم.

مثال 2.انتگرال را محاسبه کنید .

راه حل: ما داریم. از این رو h==0.1. نتایج محاسبات در جدول 4 نشان داده شده است.

جدول 4.

محاسبه انتگرال با استفاده از فرمول سیمپسون

		y0=1.00000; -0.329573 £ 3. برآورد خطای روش سیمپسون: 0.0000017 پوند برای 0.1 =، 0.0000002 پوند برای 0.05 = . برای جلوگیری از تحریف خطاهای گرد کردن چنین نتیجه دقیقی برای فرمول سیمپسون، تمام محاسبات با شش رقم اعشار انجام شد. نتایج نهایی: