پیشرفت حسابی فرمول nامین ترم یک پیشرفت حسابی C 12 فرمول پیشروی حسابی برای n عدد

بله، بله: پیشرفت حسابی برای شما اسباب بازی نیست :)

خوب، دوستان، اگر شما این متن را می خوانید، آنگاه cap-evidence داخلی به من می گوید که شما هنوز نمی دانید پیشرفت حسابی چیست، اما واقعاً (نه، مانند این: SOOOOO!) می خواهید بدانید. بنابراین، من شما را با مقدمه های طولانی عذاب نمی دهم و مستقیماً می روم سر اصل مطلب.

ابتدا چند مثال. بیایید به چندین مجموعه از اعداد نگاه کنیم:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

وجه اشتراک همه این مجموعه ها چیست؟ در نگاه اول هیچی. اما در واقع چیزی وجود دارد. یعنی: هر عنصر بعدی با یک عدد قبلی متفاوت است.

خودت قضاوت کن مجموعه اول به سادگی اعداد متوالی هستند که هر کدام یک عدد بیشتر از مجموعه قبلی است. در حالت دوم، تفاوت بین اعداد مجاور در حال حاضر پنج است، اما این تفاوت هنوز ثابت است. در مورد سوم اصلاً ریشه ای وجود ندارد. با این حال، $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$، و $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$، یعنی. و در این مورد، هر عنصر بعدی به سادگی با $\sqrt(2)$ افزایش می یابد (و نترسید که این عدد غیرمنطقی است).

بنابراین: همه این دنباله ها را پیشروی های حسابی می نامند. بیایید یک تعریف دقیق ارائه دهیم:

تعریف. دنباله ای از اعداد که در آن هر عدد بعدی دقیقاً به همان میزان با اعداد قبلی تفاوت داشته باشد، پیشرفت حسابی نامیده می شود. همان مقداری که اعداد با هم تفاوت دارند، اختلاف پیشروی نامیده می شود و اغلب با حرف $d$ نشان داده می شود.

نماد: $\left(((a)_(n)) \right)$ خود پیشرفت است، $d$ تفاوت آن است.

و فقط چند نکته مهم اولاً، پیشرفت فقط در نظر گرفته می شود دستور داددنباله ای از اعداد: آنها مجاز به خواندن دقیق به ترتیبی که نوشته شده اند - و نه چیز دیگر. اعداد را نمی توان دوباره مرتب کرد یا تعویض کرد.

ثانیاً خود دنباله می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. برای مثال، مجموعه (1؛ 2؛ 3) آشکارا یک پیشرفت محاسباتی محدود است. اما اگر چیزی را در روح بنویسید (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...) - این قبلاً یک پیشرفت نامحدود است. به نظر می رسد بیضی بعد از چهار نشان می دهد که تعداد کمی دیگر در راه است. برای مثال بی نهایت زیاد.

من همچنین می خواهم توجه داشته باشم که پیشرفت ها می تواند افزایش یا کاهش یابد. ما قبلاً شاهد افزایش آنها بوده ایم - همان مجموعه (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...). در اینجا نمونه هایی از کاهش پیشرفت ها آورده شده است:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

خوب، خوب: آخرین مثال ممکن است بیش از حد پیچیده به نظر برسد. اما بقیه، فکر می کنم، متوجه می شوید. بنابراین تعاریف جدیدی را معرفی می کنیم:

تعریف. یک پیشرفت حسابی نامیده می شود:

1. اگر هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی باشد افزایش می یابد.
2. اگر برعکس، هر عنصر بعدی کمتر از عنصر قبلی باشد، کاهش می یابد.

علاوه بر این، توالی های به اصطلاح "ایستا" وجود دارد - آنها از همان تعداد تکراری تشکیل شده اند. به عنوان مثال، (3; 3; 3; ...).

فقط یک سوال باقی می ماند: چگونه یک پیشرفت فزاینده را از یک روند کاهشی تشخیص دهیم؟ خوشبختانه، همه چیز در اینجا فقط به علامت عدد $d$ بستگی دارد، یعنی. تفاوت های پیشرفت:

1. اگر $d \gt 0$ باشد، پیشرفت افزایش می یابد.
2. اگر $d \lt 0$، آنگاه پیشرفت آشکارا در حال کاهش است.
3. در نهایت، حالت $d=0$ وجود دارد - در این مورد کل پیشرفت به دنباله ای ثابت از اعداد یکسان کاهش می یابد: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ ...) و غیره.

بیایید سعی کنیم تفاوت $d$ را برای سه روند کاهشی که در بالا ارائه شده است محاسبه کنیم. برای این کار کافی است هر دو عنصر مجاور (مثلاً اول و دوم) را بردارید و عدد سمت چپ را از عدد سمت راست کم کنید. به این صورت خواهد بود:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

همانطور که می بینیم، در هر سه مورد تفاوت در واقع منفی بود. و اکنون که کم و بیش تعاریف را فهمیدیم، وقت آن است که بفهمیم پیشرفت ها چگونه توصیف می شوند و چه ویژگی هایی دارند.

شرایط پیشرفت و فرمول عود

از آنجایی که عناصر دنباله های ما قابل تعویض نیستند، می توان آنها را شماره گذاری کرد:

\[\left(((a)_(n)) \راست)=\چپ\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 ))... \راست\)\]

عناصر منفرد این مجموعه را اعضای یک پیشروی می نامند. آنها با یک عدد نشان داده می شوند: عضو اول، عضو دوم و غیره.

علاوه بر این، همانطور که قبلاً می دانیم، شرایط همسایه پیشرفت با فرمول مرتبط هستند:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\ فلش راست ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

به طور خلاصه، برای یافتن ترم $n$th یک پیشرفت، باید ترم $n-1$th و تفاوت $d$ را بدانید. این فرمول تکراری نامیده می شود، زیرا با کمک آن می توانید هر عددی را فقط با دانستن شماره قبلی (و در واقع همه موارد قبلی) پیدا کنید. این بسیار ناخوشایند است، بنابراین یک فرمول حیله گر تری وجود دارد که هر گونه محاسبات را به ترم اول و تفاوت کاهش می دهد:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\چپ(n-1 \راست)d\]

احتمالا قبلاً با این فرمول برخورد کرده اید. آنها دوست دارند آن را در انواع کتاب های مرجع و کتاب های حل ارائه دهند. و در هر کتاب ریاضی منطقی یکی از اولین هاست.

با این حال پیشنهاد می کنم کمی تمرین کنید.

وظیفه شماره 1. سه جمله اول پیشروی حسابی $\left(((a)_(n)) \right)$ را بنویسید اگر $((a)_(1))=8,d=-5$.

راه حل. بنابراین، اولین عبارت $((a)_(1))=8$ و تفاوت پیشرفت $d=-5$ را می دانیم. بیایید از فرمول ارائه شده استفاده کنیم و $n=1$، $n=2$ و $n=3$ را جایگزین کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\چپ(2-1 \راست)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\چپ(3-1 \راست)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \پایان (تراز کردن)\]

پاسخ: (8؛ 3؛ -2)

همین! لطفا توجه داشته باشید: پیشرفت ما در حال کاهش است.

البته، $n=1$ نمی تواند جایگزین شود - اولین عبارت از قبل برای ما شناخته شده است. با این حال، با جایگزینی وحدت، ما متقاعد شدیم که حتی برای اولین ترم فرمول ما کار می کند. در موارد دیگر، همه چیز به حساب پیش پا افتاده بود.

وظیفه شماره 2. اگر جملۀ هفتم آن برابر با 40- و جملۀ هفدهم آن برابر با 50- باشد، سه جمله اول یک تصاعد حسابی را بنویسید.

راه حل. بیایید شرط مشکل را با عبارات آشنا بنویسیم:

\[((a)_(7))=-40;\چهار ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \پایان (تراز کردن) \راست.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end (تراز کردن) \درست.\]

من علامت سیستم را گذاشتم زیرا این الزامات باید به طور همزمان برآورده شوند. حال توجه داشته باشیم که اگر معادله اول را از معادله دوم کم کنیم (از آنجایی که سیستم داریم حق انجام این کار را داریم)، ​​به این نتیجه می رسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به همین راحتی می توان تفاوت پیشرفت را پیدا کرد! تنها چیزی که باقی می ماند این است که عدد پیدا شده را با هر یک از معادلات سیستم جایگزین کنیم. به عنوان مثال، در مورد اول:

\[\begin(ماتریس) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \پایان (ماتریس)\]

حال، با دانستن عبارت اول و تفاوت، باقی مانده است که عبارت دوم و سوم را بیابیم:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \پایان (تراز کردن)\]

آماده! مشکل حل شده است.

پاسخ: (34-؛ 35-؛ 36-)

به ویژگی جالب پیشروی که کشف کردیم توجه کنید: اگر عبارت‌های $n$th و $m$th را بگیریم و آنها را از یکدیگر کم کنیم، تفاوت پیشرفت را در عدد $n-m$ ضرب می‌کنیم:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \چپ(n-m \راست)\]

ساده اما خیلی دارایی مفید، که قطعاً باید بدانید - با کمک آن می توانید حل بسیاری از مشکلات پیشرفت را به میزان قابل توجهی سرعت بخشید. در اینجا یک مثال واضح از این موضوع وجود دارد:

وظیفه شماره 3. جمله پنجم یک پیشروی حسابی 8.4 و جمله دهم آن 14.4 است. جمله پانزدهم این پیشرفت را پیدا کنید.

راه حل. از آنجایی که $((a)_(5))=8.4$، $((a)_(10))=14.4$، و ما باید $((a)_(15))$ را پیدا کنیم، به موارد زیر توجه می کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اما با شرط $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$، بنابراین $5d=6$، که از آن داریم:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \پایان (تراز کردن)\]

پاسخ: 20.4

همین! ما نیازی به ایجاد سیستم معادلات و محاسبه اولین جمله و تفاوت نداشتیم - همه چیز فقط در چند خط حل شد.

اکنون بیایید به نوع دیگری از مشکل نگاه کنیم - جستجوی عبارات منفی و مثبت یک پیشرفت. بر کسی پوشیده نیست که اگر یک پیشرفت افزایش یابد و اولین عبارت آن منفی باشد، دیر یا زود اصطلاحات مثبت در آن ظاهر می شود. و بالعکس: شرایط یک پیشرفت کاهشی دیر یا زود منفی خواهد شد.

در عین حال، همیشه نمی‌توان این لحظه را با مرور متوالی عناصر به صورت «سر به سر» پیدا کرد. اغلب، مسائل به گونه‌ای نوشته می‌شوند که بدون دانستن فرمول‌ها، محاسبات چندین ورق کاغذ را می‌گیرد - در حالی که پاسخ را پیدا می‌کنیم به سادگی می‌خوابیم. بنابراین بیایید سعی کنیم این مشکلات را با سرعت بیشتری حل کنیم.

وظیفه شماره 4. چند جمله منفی در پیشروی حسابی 38.5- وجود دارد. −35.8; ...؟

راه حل. بنابراین، $((a)_(1))=-38.5$، $((a)_(2))=-35.8$، از جایی که بلافاصله تفاوت را پیدا می کنیم:

توجه داشته باشید که تفاوت مثبت است، بنابراین پیشرفت افزایش می یابد. جمله اول منفی است، بنابراین در برخی مواقع به اعداد مثبت برخورد خواهیم کرد. تنها سوال این است که چه زمانی این اتفاق خواهد افتاد.

بیایید سعی کنیم دریابیم که منفی بودن عبارات چه مدت (یعنی تا چه عدد طبیعی $n$) باقی می ماند:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \راست. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \پایان (تراز کردن)\]

خط آخر نیاز به توضیح دارد. بنابراین می دانیم که $n \lt 15\frac(7)(27)$. از طرف دیگر، ما فقط به مقادیر صحیح عدد راضی هستیم (به علاوه: $n\in \mathbb(N)$)، بنابراین بزرگترین عدد مجاز دقیقاً $n=15$ است و در هیچ موردی 16 است. .

وظیفه شماره 5. در پیشروی حسابی $(()_(5))=-150،(()_(6))=-147$. عدد اولین جمله مثبت این پیشرفت را بیابید.

این دقیقاً همان مشکل قبلی است، اما ما $((a)_(1))$ را نمی دانیم. اما اصطلاحات همسایه شناخته شده اند: $((a)_(5))$ و $((a)_(6))$، بنابراین ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

علاوه بر این، بیایید سعی کنیم جمله پنجم را از طریق اول و تفاوت را با استفاده از فرمول استاندارد بیان کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اکنون به قیاس با کار قبلی پیش می رویم. بیایید دریابیم که اعداد مثبت در چه نقطه ای از دنباله ما ظاهر می شوند:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ فلش راست ((n)_(\min ))=56. \\ \پایان (تراز کردن)\]

حداقل راه حل عدد صحیح برای این نابرابری عدد 56 است.

لطفا توجه داشته باشید: در آخرین کارهمه چیز به نابرابری شدید منجر شد، بنابراین گزینه $n=55$ برای ما مناسب نیست.

اکنون که یاد گرفتیم چگونه مسائل ساده را حل کنیم، بیایید به مسائل پیچیده تر برویم. اما ابتدا بیایید یکی دیگر از ویژگی های بسیار مفید پیشرفت های حسابی را مطالعه کنیم که در آینده باعث صرفه جویی در زمان و سلول های نابرابر می شود.

میانگین حسابی و تورفتگی مساوی

بیایید چندین ترم متوالی از پیشرفت محاسباتی فزاینده $\left(((a)_(n)) \right)$ را در نظر بگیریم. بیایید سعی کنیم آنها را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم:

شرایط یک تصاعد حسابی روی خط اعداد

من به طور خاص عبارات دلخواه را علامت گذاری کردم $((a)_(n-3))،...،((a)_(n+3))$، و نه برخی از $((a)_(1)) ،\ ((a)_(2))،\ ((a)_(3))$ و غیره. زیرا قانونی که اکنون در مورد آن به شما خواهم گفت برای هر "بخش" یکسان عمل می کند.

و قانون بسیار ساده است. بیایید فرمول تکرارشونده را به خاطر بسپاریم و آن را برای تمام عبارات علامت گذاری شده بنویسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \پایان (تراز کردن)\]

با این حال، این برابری ها را می توان به طور متفاوت بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \پایان (تراز کردن)\]

پس چی؟ و این واقعیت که عبارات $((a)_(n-1))$ و $((a)_(n+1))$ در فاصله یکسانی از $((a)_(n)) $ قرار دارند. . و این فاصله برابر با $d$ است. همین امر را می توان در مورد عبارات $((a)_(n-2))$ و $((a)_(n+2))$ گفت - آنها نیز از $((a)_(n) حذف شده اند. )$ در همان فاصله برابر با $2d$. ما می‌توانیم تا بی نهایت ادامه دهیم، اما معنی به خوبی توسط تصویر نشان داده شده است

شرایط پیشرفت در همان فاصله از مرکز قرار دارد

این برای ما چه معنایی دارد؟ این بدان معنی است که اگر اعداد مجاور شناخته شده باشند، $((a)_(n))$ را می توان یافت:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

ما یک جمله عالی به دست آورده ایم: هر جمله یک پیشرفت حسابی با میانگین حسابی عبارت های مجاور آن برابر است! علاوه بر این: می‌توانیم از $((a)_(n))$ خود به چپ و راست نه با یک قدم، بلکه با $k$ قدم برداریم - و فرمول همچنان درست خواهد بود:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

آن ها ما به راحتی می توانیم مقداری $((a)_(150))$ پیدا کنیم اگر $((a)_(100))$ و $((a)_(200))$ را بدانیم، زیرا $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این واقعیت چیز مفیدی به ما نمی دهد. با این حال، در عمل، بسیاری از مسائل به طور خاص برای استفاده از میانگین حسابی طراحی شده اند. نگاهی بیندازید:

وظیفه شماره 6. تمام مقادیر $x$ را پیدا کنید که برای آنها اعداد $-6((x)^(2))$، $x+1$ و $14+4((x)^(2))$ عبارت های متوالی هستند. یک پیشرفت حسابی (به ترتیب نشان داده شده).

راه حل. از آنجایی که این اعداد اعضای یک پیشرفت هستند، شرط میانگین حسابی برای آنها برآورده می شود: عنصر مرکزی $x+1$ را می توان بر حسب عناصر همسایه بیان کرد:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

کلاسیک شد معادله درجه دوم. ریشه های آن: $x=2$ و $x=-3$ پاسخ هستند.

پاسخ: −3; 2.

وظیفه شماره 7. مقادیر $$ را بیابید که اعداد $-1;4-3;(()^(2))+1$ یک پیشروی حسابی را تشکیل می دهند (به ترتیب).

راه حل. اجازه دهید دوباره عبارت میانی را از طریق میانگین حسابی اصطلاحات همسایه بیان کنیم:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

دوباره معادله درجه دوم. و دوباره دو ریشه وجود دارد: $x=6$ و $x=1$.

پاسخ: 1; 6.

اگر در روند حل یک مشکل با تعدادی اعداد وحشیانه مواجه شدید یا کاملاً از صحت پاسخ های یافت شده مطمئن نیستید، تکنیک فوق العاده ای وجود دارد که به شما امکان می دهد بررسی کنید: آیا مشکل را به درستی حل کرده ایم؟

فرض کنید در مسئله شماره 6 پاسخ های -3 و 2 را دریافت کردیم. چگونه می توانیم درستی این پاسخ ها را بررسی کنیم؟ بیایید آنها را به حالت اولیه وصل کنیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد. اجازه دهید یادآوری کنم که ما سه عدد ($-6(()^(2))$، $+1$ و $14+4(()^(2))$ داریم که باید یک پیشروی حسابی تشکیل دهند. بیایید $x=-3$ را جایگزین کنیم:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \پایان (تراز کردن)\]

ما اعداد -54 را بدست آوردیم. −2; 50 که با 52 تفاوت دارند بدون شک یک پیشرفت حسابی است. همین اتفاق برای $x=2$ نیز می افتد:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \پایان (تراز کردن)\]

باز هم یک پیشرفت، اما با اختلاف 27. بنابراین، مشکل به درستی حل شد. کسانی که مایل هستند می توانند مشکل دوم را خودشان بررسی کنند، اما من فوراً می گویم: همه چیز در آنجا نیز درست است.

به طور کلی در حین حل آخرین مشکلات به مشکل دیگری برخوردیم واقعیت جالب، که همچنین باید به خاطر داشت:

اگر سه عدد به گونه ای باشد که عدد دوم وسط باشد اول حسابیو در آخر، سپس این اعداد یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند.

در آینده، درک این بیانیه به ما این امکان را می دهد که به معنای واقعی کلمه پیشرفت های لازم را بر اساس شرایط مشکل "ساخت" کنیم. اما قبل از پرداختن به چنین «ساختی»، باید به یک واقعیت دیگر توجه کنیم، که مستقیماً از آنچه قبلاً بحث شد ناشی می شود.

گروه بندی و جمع بندی عناصر

بیایید دوباره به محور اعداد برگردیم. اجازه دهید در آنجا چندین عضو از پیشرفت را یادداشت کنیم که شاید بین آنها وجود داشته باشد. ارزش بسیاری از اعضای دیگر را دارد:

6 عنصر در خط اعداد مشخص شده است

بیایید سعی کنیم "دم سمت چپ" را از طریق $((a)_(n))$ و $d$، و "دم سمت راست" را از طریق $((a)_(k))$ و $d$ بیان کنیم. خیلی ساده است:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اکنون توجه داشته باشید که مقادیر زیر برابر است:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= اس. \پایان (تراز کردن)\]

به بیان ساده، اگر دو عنصر پیشرفت را به عنوان شروع در نظر بگیریم که در مجموع برابر با مقداری $S$ هستند و سپس شروع به گام برداشتن از این عناصر در جهت مخالف (به سمت یکدیگر یا برعکس برای دور شدن) کنیم. سپس مجموع عناصری که به آنها برخورد خواهیم کرد نیز برابر خواهد بود$S$. این را می توان به وضوح به صورت گرافیکی نشان داد:

تورفتگی های مساوی مقادیر مساوی را نشان می دهند

درک این واقعیت به ما این امکان را می دهد که مشکلات را به طور اساسی بیشتر حل کنیم سطح بالامشکلاتی نسبت به مواردی که در بالا در نظر گرفتیم. مثلاً اینها:

وظیفه شماره 8. تفاوت یک تصاعد حسابی را که جمله اول 66 و حاصل ضرب جمله دوم و دوازدهم کوچکترین است را تعیین کنید.

راه حل. بیایید همه چیزهایی را که می دانیم بنویسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=؟ \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، ما تفاوت پیشرفت $d$ را نمی دانیم. در واقع، کل راه حل حول این تفاوت ساخته می شود، زیرا محصول $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \راست)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \پایان (تراز کردن)\]

برای کسانی که در مخزن هستند: من ضریب کلی 11 را از براکت دوم برداشتم. بنابراین، محصول مورد نیاز یک تابع درجه دوم با توجه به متغیر $d$ است. بنابراین، تابع $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ را در نظر بگیرید - نمودار آن یک سهمی با شاخه‌های بالا خواهد بود، زیرا اگر براکت ها را گسترش دهیم، دریافت می کنیم:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

همانطور که می بینید، ضریب بالاترین عبارت 11 است - این است عدد مثبت، بنابراین ما واقعاً با یک سهمی با شاخه های بالا روبرو هستیم:

برنامه تابع درجه دوم- سهمی

لطفاً توجه داشته باشید: این سهمی حداقل مقدار خود را در رأس خود با ابسیسا $((d)_(0))$ می گیرد. البته، می‌توانیم این آبسیسا را ​​با استفاده از طرح استاندارد محاسبه کنیم (فرمول $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ وجود دارد)، اما توجه به آن بسیار معقول‌تر خواهد بود. که راس مورد نظر روی تقارن محور سهمی قرار دارد، بنابراین نقطه $((d)_(0))$ از ریشه های معادله $f\left(d \right)=0$ مساوی است:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\چهار ((د)_(2))=-6. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به همین دلیل است که من عجله خاصی برای باز کردن براکت ها نداشتم: در شکل اصلی آنها، ریشه ها بسیار بسیار آسان بود. بنابراین، آبسیسا برابر است با میانگین حسابی اعداد -66 و -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

عدد کشف شده چه چیزی به ما می دهد؟ با آن، محصول مورد نیاز کوچکترین مقدار را به خود می گیرد (به هر حال، ما هرگز $((y)_(\min ))$ را محاسبه نکردیم - این مورد از ما لازم نیست). در عین حال، این عدد تفاوت پیشروی اصلی است، یعنی. ما جواب را پیدا کردیم.

پاسخ: -36

وظیفه شماره 9. بین اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac(1)(6)$ سه عدد درج کنید تا همراه با این اعداد یک تصاعد حسابی تشکیل دهند.

راه حل. در اصل، ما باید دنباله ای از پنج عدد بسازیم که اولین و آخرین عدد از قبل مشخص باشد. بیایید اعداد گمشده را با متغیرهای $x$، $y$ و $z$ نشان دهیم:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

توجه داشته باشید که عدد $y$ "وسط" دنباله ما است - از اعداد $x$ و $z$ و از اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac فاصله دارد. (1) (6) دلار. و اگر در حال حاضر نتوانیم $y$ را از اعداد $x$ و $z$ بدست آوریم، در این صورت وضعیت با انتهای پیشرفت متفاوت است. بیایید میانگین حسابی را به خاطر بسپاریم:

اکنون با دانستن $y$، اعداد باقیمانده را خواهیم یافت. توجه داشته باشید که $x$ بین اعداد $-\frac(1)(2)$ و $y=-\frac(1)(3)$ قرار دارد. به همین دلیل است

با استفاده از استدلال مشابه، عدد باقیمانده را پیدا می کنیم:

آماده! ما هر سه عدد را پیدا کردیم. بیایید آنها را به ترتیبی که باید بین اعداد اصلی درج شوند، در پاسخ بنویسیم.

پاسخ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

وظیفه شماره 10. بین اعداد 2 و 42 چند عدد درج کنید که به همراه این اعداد یک تصاعد حسابی تشکیل می دهند، اگر می دانید مجموع اعداد اول، دوم و آخر اعداد درج شده 56 است.

راه حل. یک مشکل حتی پیچیده تر، که، با این حال، مطابق با همان طرح قبلی - از طریق میانگین حسابی حل می شود. مشکل این است که ما دقیقا نمی دانیم چند عدد باید درج شود. بنابراین، برای قطعیت فرض می کنیم که پس از درج همه چیز دقیقاً اعداد $n$ وجود خواهد داشت که اولین آنها 2 و آخرین آن 42 است. در این حالت، پیشرفت محاسباتی مورد نیاز را می توان به شکل زیر نشان داد:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \راست\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

البته توجه داشته باشید که اعداد $((a)_(2))$ و $((a)_(n-1))$ از اعداد 2 و 42 در لبه ها یک قدم به سمت یکدیگر به دست می آیند. یعنی . به مرکز دنباله و این به این معنی است

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

اما سپس عبارت نوشته شده در بالا را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \پایان (تراز کردن)\]

با دانستن $((a)_(3))$ و $((a)_(1))$، ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\چپ(3-1 \راست)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\arrow d=5. \\ \پایان (تراز کردن)\]

تنها چیزی که باقی می ماند یافتن شرایط باقی مانده است:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، در مرحله نهم به انتهای سمت چپ دنباله خواهیم رسید - عدد 42. در مجموع، فقط 7 عدد باید درج می شد: 7. 12; 17; 22; 27; 32; 37.

پاسخ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

مشکلات کلمه با پیشرفت

در پایان، من می خواهم چند مورد را نسبتاً در نظر بگیرم کارهای ساده. خب، به همین سادگی: برای اکثر دانش‌آموزانی که در مدرسه ریاضیات می‌خوانند و آنچه در بالا نوشته شده را نخوانده‌اند، این مشکلات ممکن است سخت به نظر برسند. با این وجود، اینها انواع مشکلاتی هستند که در OGE و آزمون دولتی واحد در ریاضیات ظاهر می شوند، بنابراین توصیه می کنم با آنها آشنا شوید.

وظیفه شماره 11. این تیم در ژانویه 62 قسمت تولید کرد و در هر ماه بعد 14 قسمت بیشتر از ماه قبل تولید کرد. تیم در ماه نوامبر چند قسمت تولید کرد؟

راه حل. بدیهی است که تعداد قسمت‌های فهرست‌شده بر اساس ماه نشان‌دهنده یک پیشرفت محاسباتی فزاینده است. علاوه بر این:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\چپ(n-1 \راست)\cdot 14. \\ \end (تراز کردن)\]

نوامبر یازدهمین ماه سال است، بنابراین باید $((a)_(11))$ را پیدا کنیم:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

بنابراین در آبان ماه 202 قطعه تولید خواهد شد.

کار شماره 12. کارگاه صحافی در دی ماه 216 جلد کتاب صحافی کرد و در هر ماه بعد 4 جلد کتاب بیشتر از ماه قبل صحافی کرد. کارگاه در آذرماه چند کتاب صحافی کرد؟

راه حل. همه چیز یکسان است:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \راست)\cdot 4. \\ \end (تراز کردن)$

دسامبر آخرین و دوازدهمین ماه سال است، بنابراین ما به دنبال $((a)_(12))$ هستیم:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

پاسخ این است - 260 کتاب در دسامبر صحافی می شود.

خوب، اگر تا اینجا خوانده اید، من عجله می کنم به شما تبریک بگویم: شما "دوره مبارزان جوان" را در پیشرفت های حسابی با موفقیت به پایان رساندید. می توانید با خیال راحت به درس بعدی بروید، جایی که ما فرمول جمع پیشرفت و همچنین پیامدهای مهم و بسیار مفید آن را مطالعه خواهیم کرد.

هنگام مطالعه جبر در دبیرستان(پایه نهم) یکی از مباحث مهم مطالعه دنباله اعداد است که شامل پیشروی - هندسی و حسابی می باشد. در این مقاله به یک پیشروی حسابی و مثال هایی همراه با راه حل خواهیم پرداخت.

پیشروی حسابی چیست؟

برای درک این موضوع، لازم است پیشروی مورد نظر را تعریف کنیم و همچنین فرمول های اساسی را ارائه کنیم که بعداً در حل مسائل مورد استفاده قرار خواهند گرفت.

پیشروی حسابی یا جبری مجموعه ای از اعداد گویا مرتب شده است که هر جمله آن با مقداری ثابت با عبارت قبلی متفاوت است. به این مقدار تفاوت می گویند. یعنی با دانستن هر عضوی از یک سری اعداد مرتب شده و تفاوت، می توانید کل پیشروی حسابی را بازیابی کنید.

بیایید یک مثال بزنیم. دنباله اعداد زیر یک پیشرفت حسابی خواهد بود: 4، 8، 12، 16، ...، زیرا تفاوت در این مورد 4 است (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). اما مجموعه اعداد 3، 5، 8، 12، 17 را دیگر نمی توان به نوع پیشرفت مورد بررسی نسبت داد، زیرا تفاوت برای آن یک مقدار ثابت نیست (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

فرمول های مهم

اجازه دهید فرمول های اساسی را که برای حل مسائل با استفاده از پیشروی حسابی مورد نیاز است، ارائه کنیم. اجازه دهید با علامت a n نشان دهیم ترم نهمدنباله هایی که n یک عدد صحیح است. تفاوت را با حرف لاتین d نشان می دهیم. سپس عبارات زیر معتبر هستند:

1. برای تعیین مقدار n ام فرمول زیر مناسب است: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. برای تعیین مجموع n جمله اول: S n = (a n +a 1)*n/2.

برای درک هر نمونه ای از پیشروی حسابی با راه حل در کلاس نهم، کافی است این دو فرمول را به خاطر بسپارید، زیرا هر گونه مشکل از نوع مورد بررسی بر اساس استفاده از آنها است. همچنین باید به یاد داشته باشید که تفاوت پیشرفت با فرمول تعیین می شود: d = a n - a n-1.

مثال شماره 1: یافتن یک اصطلاح ناشناخته

بیایید یک مثال ساده از یک پیشروی حسابی و فرمول هایی که برای حل آن باید استفاده شود، بیاوریم.

بگذارید دنباله 10، 8، 6، 4، ... داده شود، باید پنج عبارت را در آن پیدا کنید.

از شرایط مسئله از قبل چنین است که 4 عبارت اول شناخته شده است. پنجم به دو صورت قابل تعریف است:

1. بیایید ابتدا تفاوت را محاسبه کنیم. ما داریم: d = 8 - 10 = -2. به طور مشابه، می توانید هر دو عضو دیگر را که در کنار یکدیگر ایستاده اند، ببرید. به عنوان مثال، d = 4 - 6 = -2. از آنجا که مشخص است که d = a n - a n-1، پس d = a 5 - a 4، که از آن به دست می آوریم: a 5 = a 4 + d. مقادیر شناخته شده را جایگزین می کنیم: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. روش دوم همچنین نیاز به آگاهی از تفاوت پیشرفت مورد نظر دارد، بنابراین ابتدا باید آن را همانطور که در بالا نشان داده شده است تعیین کنید (d = -2). با دانستن اینکه جمله اول a 1 = 10 است، از فرمول n عدد دنباله استفاده می کنیم. داریم: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. با جایگزینی n = 5 به آخرین عبارت، به دست می آوریم: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

همانطور که می بینید، هر دو راه حل به یک نتیجه منجر شد. توجه داشته باشید که در این مثال تفاوت پیشرفت d یک مقدار منفی است. به این دنباله ها نزولی می گویند، زیرا هر جمله بعدی کمتر از عبارت قبلی است.

مثال شماره 2: تفاوت پیشرفت

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم، بیایید مثالی از چگونگی ارائه دهیم

مشخص است که در برخی جمله اول برابر با 6 و جمله هفتم برابر با 18 است.

بیایید از فرمول برای تعیین عبارت مجهول استفاده کنیم: a n = (n - 1) * d + a 1 . بیایید داده های شناخته شده از شرط را در آن جایگزین کنیم، یعنی اعداد a 1 و a 7، داریم: 18 = 6 + 6 * d. از این عبارت می توانید به راحتی تفاوت را محاسبه کنید: d = (18 - 6) /6 = 2. بنابراین، بخش اول مسئله را پاسخ دادیم.

برای بازگرداندن دنباله به جمله هفتم، باید از تعریف پیشروی جبری استفاده کنید، یعنی a 2 = a 1 + d، a 3 = a 2 + d و غیره. در نتیجه، کل دنباله را بازیابی می کنیم: a 1 = 6، a 2 = 6 + 2=8، a 3 = 8 + 2 = 10، a 4 = 10 + 2 = 12، a 5 = 12 + 2 = 14 ، a 6 = 14 + 2 = 16، a 7 = 18.

مثال شماره 3: ترسیم یک پیشرفت

بیایید مشکل را حتی بیشتر پیچیده کنیم. حال باید به این سوال پاسخ دهیم که چگونه یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم. می توان مثال زیر را ارائه داد: دو عدد داده شده است، به عنوان مثال - 4 و 5. لازم است یک پیشروی جبری ایجاد شود تا سه عبارت دیگر بین آنها قرار گیرد.

قبل از شروع حل این مشکل، باید بدانید که اعداد داده شده چه جایگاهی را در پیشرفت آینده اشغال خواهند کرد. از آنجایی که سه عبارت دیگر بین آنها وجود خواهد داشت، پس 1 = -4 و 5 = 5. پس از ایجاد این، به مشکل می رویم، که مشابه مورد قبلی است. باز هم، برای ترم n که از فرمول استفاده می کنیم، به دست می آوریم: a 5 = a 1 + 4 * d. از: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. چیزی که در اینجا به دست آوردیم یک مقدار صحیح تفاوت نیست، بلکه یک عدد گویا است، بنابراین فرمول های پیشروی جبری یکسان باقی می مانند.

حالا بیایید تفاوت پیدا شده را به 1 اضافه کنیم و عبارت های از دست رفته پیشرفت را بازیابی کنیم. دریافت می کنیم: a 1 = - 4، a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، a 5 = 2.75 + 2.25 = 5، که منطبق با با شرایط مشکل

مثال شماره 4: ترم اول پیشرفت

بیایید به بیان مثال هایی از پیشروی حسابی با حل ادامه دهیم. در تمام مسائل قبلی، عدد اول پیشروی جبری مشخص بود. حالا بیایید یک مسئله از نوع دیگری را در نظر بگیریم: اجازه دهید دو عدد داده شود، که در آن 15 = 50 و 43 = 37. لازم است پیدا کنیم که این دنباله با کدام عدد شروع می شود.

فرمول های استفاده شده تا کنون دانش 1 و d را فرض می کنند. در بیانیه مشکل، چیزی در مورد این اعداد مشخص نیست. با این وجود، ما عباراتی را برای هر عبارت در مورد اطلاعات موجود می نویسیم: a 15 = a 1 + 14 * d و a 43 = a 1 + 42 * d. ما دو معادله دریافت کردیم که در آنها 2 کمیت مجهول وجود دارد (a 1 و d). این بدان معنی است که مسئله به حل یک سیستم معادلات خطی کاهش می یابد.

ساده ترین راه برای حل این سیستم این است که در هر معادله 1 را بیان کنید و سپس عبارات حاصل را با هم مقایسه کنید. معادله اول: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; معادله دوم: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. با معادل سازی این عبارات، به دست می آوریم: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d، از آنجا تفاوت d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (فقط 3 رقم اعشار داده شده است).

با دانستن d، می توانید از هر یک از 2 عبارت بالا برای 1 استفاده کنید. به عنوان مثال، ابتدا: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

اگر در مورد نتیجه به دست آمده شک دارید، می توانید آن را بررسی کنید، به عنوان مثال، ترم 43 پیشرفت را که در شرط مشخص شده است، تعیین کنید. دریافت می کنیم: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. خطای کوچک به این دلیل است که از گرد کردن به هزارم در محاسبات استفاده شده است.

مثال شماره 5: مبلغ

حال بیایید به چندین مثال با راه حل برای مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه کنیم.

یک پیشروی عددی به شکل زیر داده شود: 1، 2، 3، 4، ...،. چگونه می توان مجموع 100 عدد از این اعداد را محاسبه کرد؟

به لطف توسعه فناوری رایانه، می توان این مشکل را حل کرد، یعنی تمام اعداد را به ترتیب اضافه کرد که به محض فشار دادن کلید Enter رایانه این کار را انجام می دهد. با این حال، اگر به این نکته توجه کنید که سری اعداد ارائه شده یک پیشرفت جبری است و اختلاف آن برابر با 1 است، مشکل را می توان به صورت ذهنی حل کرد. a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

جالب است بدانید که این مشکل "گاوسی" نامیده می شود زیرا در آغاز قرن هجدهم آلمانی مشهور که هنوز تنها 10 سال داشت توانست در چند ثانیه آن را در ذهن خود حل کند. پسر فرمول جمع یک پیشروی جبری را نمی دانست، اما متوجه شد که اگر اعداد انتهای دنباله را به صورت جفت جمع کنید، همیشه همان نتیجه را می گیرید، یعنی 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ...، و از آنجایی که این مجموع دقیقاً 50 خواهد بود (100 / 2)، پس برای به دست آوردن پاسخ صحیح کافی است 50 را در 101 ضرب کنید.

مثال شماره 6: مجموع عبارت از n تا m

مثال معمولی دیگر از مجموع یک پیشروی حسابی به شرح زیر است: با توجه به یک سری اعداد: 3، 7، 11، 15، ...، باید دریابید که مجموع عبارت های آن از 8 تا 14 برابر است با چه چیزی. .

مشکل به دو صورت حل می شود. اولین مورد شامل یافتن عبارات مجهول از 8 تا 14 و سپس جمع کردن آنها به ترتیب است. از آنجایی که اصطلاحات کمی وجود دارد، این روش کاملاً کار فشرده نیست. با این وجود، برای حل این مشکل با استفاده از روش دوم، که جهانی تر است، پیشنهاد می شود.

ایده این است که فرمولی برای مجموع پیشرفت جبری بین ترم‌های m و n بدست آوریم، که در آن n > m اعداد صحیح هستند. برای هر دو مورد، دو عبارت برای جمع می نویسیم:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

از آنجایی که n > m، بدیهی است که مجموع 2 شامل اولین است. نتیجه آخر یعنی اگر تفاضل این مجموع را بگیریم و عبارت a m را به آن اضافه کنیم (در صورت گرفتن اختلاف از مجموع S n کسر شود) پاسخ لازم را برای مسئله به دست خواهیم آورد. داریم: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). لازم است که فرمول های n و m را در این عبارت جایگزین کنید. سپس دریافت می کنیم: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

فرمول حاصل تا حدودی دست و پا گیر است، با این حال، مجموع S mn فقط به n، m، a 1 و d بستگی دارد. در مورد ما، a 1 = 3، d = 4، n = 14، m = 8. با جایگزینی این اعداد، به دست می آوریم: S mn = 301.

همانطور که از راه‌حل‌های بالا مشاهده می‌شود، همه مسائل مبتنی بر آگاهی از عبارت ترم n و فرمول مجموع مجموع جمله‌های اول هستند. قبل از شروع حل هر یک از این مشکلات، توصیه می شود که شرایط را به دقت بخوانید، به وضوح آنچه را که باید پیدا کنید، درک کنید و تنها پس از آن راه حل را ادامه دهید.

نکته دیگر این است که برای سادگی تلاش کنید، یعنی اگر بتوانید بدون استفاده از محاسبات پیچیده ریاضی به سؤالی پاسخ دهید، باید دقیقاً این کار را انجام دهید، زیرا در این مورد احتمال اشتباه کمتر است. به عنوان مثال، در مثال یک پیشروی حسابی با حل شماره 6، می توان در فرمول S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m متوقف شد، و شکستن وظیفه مشترکبه وظایف فرعی جداگانه (در در این موردابتدا عبارت a n و a m را پیدا کنید.

اگر در مورد نتیجه به دست آمده شک دارید، توصیه می شود همانطور که در برخی از مثال های ارائه شده انجام شد، آن را بررسی کنید. ما متوجه شدیم که چگونه یک پیشرفت حسابی را پیدا کنیم. اگر آن را بفهمید، آنقدرها هم سخت نیست.

چی نکته اصلیفرمول ها؟

این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هر با شماره او " n" .

البته باید ترم اول را هم بدانید یک 1و تفاوت پیشرفت دخوب، بدون این پارامترها نمی توانید یک پیشرفت خاص را یادداشت کنید.

حفظ کردن این فرمول کافی نیست. شما باید ماهیت آن را درک کنید و فرمول را در مسائل مختلف اعمال کنید. و همچنین در لحظه مناسب فراموش نکنیم، بله...) چگونه فراموش نکن- من نمی دانم. اما چگونه به خاطر بسپاریمدر صورت لزوم حتما به شما مشاوره خواهم داد. برای کسانی که درس را تا پایان کامل می کنند.)

بنابراین، بیایید به فرمول ترم n یک پیشروی حسابی نگاه کنیم.

به طور کلی فرمول چیست؟ به هر حال، اگر آن را نخوانده اید، نگاهی بیندازید. آنجا همه چیز ساده است. باقی مانده است که بفهمیم چیست ترم نهم

به طور کلی پیشرفت را می توان به صورت یک سری اعداد نوشت:

a 1، a 2، a 3، a 4، a 5، .....

یک 1- نشان دهنده اولین جمله یک پیشرفت حسابی است، یک 3- عضو سوم، یک 4- چهارم، و غیره. اگر به دوره پنجم علاقه مندیم، فرض کنیم که با آن کار می کنیم یک 5، اگر صد و بیستم یک 120.

چگونه می توانیم آن را به طور کلی تعریف کنیم؟ هرعبارت یک پیشرفت حسابی، با هرشماره؟ خیلی ساده! مثل این:

a n

این است نهمین ترم یک پیشرفت حسابی.حرف n همه اعداد اعضا را به طور همزمان پنهان می کند: 1، 2، 3، 4 و غیره.

و چنین رکوردی چه چیزی به ما می دهد؟ فقط فکر کن به جای عدد یک حرف نوشتند...

این نماد یک ابزار قدرتمند برای کار با پیشرفت حسابی به ما می دهد. با استفاده از نماد a n، ما می توانیم به سرعت پیدا کنیم هرعضو هرپیشرفت حسابی و یک سری مشکلات پیشرفت دیگر را حل کنید. خودت بیشتر میبینی

در فرمول ترم n یک پیشرفت حسابی:

a n = a 1 + (n-1)d

یک 1- اولین ترم یک پیشرفت حسابی؛

n- شماره عضو

فرمول پارامترهای کلیدی هر پیشرفت را به هم متصل می کند: a n ; a 1 ; دو n. تمام مشکلات پیشرفت حول این پارامترها می چرخد.

از فرمول ترم n نیز می توان برای نوشتن یک پیشرفت خاص استفاده کرد. به عنوان مثال، مشکل ممکن است بگوید که پیشرفت با شرط مشخص شده است:

a n = 5 + (n-1) 2.

چنین مشکلی می تواند بن بست باشد... نه سری است و نه تفاوت... اما با مقایسه شرط با فرمول به راحتی می توان فهمید که در این پیشروی a 1 = 5 و d = 2.

و حتی می تواند بدتر باشد!) اگر همین شرط را در نظر بگیریم: a n = 5 + (n-1) 2،بله پرانتز را باز کنید و مشابه بیاورید؟ ما یک فرمول جدید دریافت می کنیم:

a n = 3 + 2n.

این فقط نه کلی، بلکه برای یک پیشرفت خاص. اینجاست که دام در کمین است. برخی از مردم فکر می کنند که ترم اول یک سه است. اگرچه در واقع اولین ترم پنج است ... کمی پایین تر با چنین فرمول اصلاح شده ای کار خواهیم کرد.

در مشکلات پیشرفت علامت دیگری وجود دارد - یک n+1. همانطور که حدس زدید این عبارت "n به علاوه اول" پیشرفت است. معنی آن ساده و بی ضرر است.) این عضوی از پیشرفت است که تعداد آن از عدد n به یک بیشتر است. به عنوان مثال، اگر در برخی از مشکل ما را a nترم پنجم پس از آن یک n+1ششمین عضو خواهد بود. و امثال آن.

اغلب تعیین یک n+1در فرمول های عود یافت می شود. از این کلمه ترسناک نترسید!) این فقط راهی برای بیان عضوی از یک پیشروی حسابی است. از طریق قبلیفرض کنید با استفاده از یک فرمول مکرر، یک پیشرفت حسابی در این شکل به ما داده می شود:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

چهارم - از طریق سوم، پنجم - از طریق چهارم، و غیره. چگونه می توانیم فوراً مثلاً ترم بیستم را بشماریم؟ یک 20? اما هیچ راهی وجود ندارد!) تا زمانی که ترم 19 را پیدا نکنیم، نمی توانیم بیستمین را بشماریم. این تفاوت اساسی بین فرمول مکرر و فرمول ترم n است. مکرر فقط از طریق کار می کند قبلیترم، و فرمول ترم n از طریق است اولو اجازه می دهد بلافاصلههر عضوی را با شماره آن پیدا کنید. بدون محاسبه کل سری اعداد به ترتیب.

در یک پیشرفت حسابی، تبدیل فرمول تکراری به یک فرمول معمولی آسان است. یک جفت عبارت متوالی بشمارید، تفاوت را محاسبه کنید د،در صورت لزوم، اولین ترم را پیدا کنید یک 1فرمول را به شکل معمولش بنویسید و با آن کار کنید. چنین وظایفی اغلب در آکادمی علوم دولتی انجام می شود.

استفاده از فرمول برای ترم n یک پیشروی حسابی.

ابتدا به کاربرد مستقیم فرمول نگاه می کنیم. در پایان درس قبلی یک مشکل وجود داشت:

یک پیشرفت حسابی (a n) داده شده است. اگر 1=3 و d=1/6 باشد عدد 121 را پیدا کنید.

این مشکل را می توان بدون هیچ فرمولی، به سادگی بر اساس معنای یک پیشرفت حسابی حل کرد. اضافه کنید و اضافه کنید... یکی دو ساعت.)

و طبق فرمول حل کمتر از یک دقیقه طول خواهد کشید. شما می توانید آن را زمان بندی کنید.) بیایید تصمیم بگیریم.

شرایط تمام داده ها را برای استفاده از فرمول فراهم می کند: a 1 = 3، d = 1/6.باقی مانده است که بفهمیم چه چیزی برابر است nسوالی نیست! ما باید پیدا کنیم یک 121. پس می نویسیم:

لطفا توجه کنید! به جای شاخص nیک عدد مشخص ظاهر شد: 121. که کاملاً منطقی است.) ما به عضوی از پیشروی حسابی علاقه مندیم. شماره یکصد و بیست و یکاین مال ما خواهد بود nاین معناست n= 121 ما بیشتر در فرمول، در پرانتز جایگزین خواهیم کرد. همه اعداد را در فرمول جایگزین می کنیم و محاسبه می کنیم:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

همین است. به همان سرعتی که می‌توان کلمه پانصد و دهم و هزار و سوم را پیدا کرد. به جای آن قرار دادیم nعدد مورد نظر در نمایه حرف " یک"و در پرانتز، و ما شمارش می کنیم.

بگذارید این نکته را به شما یادآوری کنم: این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هرترم پیشروی حسابی با شماره او " n" .

بیایید مشکل را به روشی زیرکانه تر حل کنیم. اجازه دهید با مشکل زیر مواجه شویم:

جمله اول پیشروی حسابی (a n) را بیابید، اگر a 17 =-2; d=-0.5.

اگر مشکلی دارید قدم اول را به شما می گویم. فرمول n ام یک پیشروی حسابی را بنویسید!بله، بله. با دستانتان درست در دفترچه یادداشت کنید:

a n = a 1 + (n-1)d

و اکنون، با نگاهی به حروف فرمول، متوجه می شویم که چه داده هایی داریم و چه چیزی کم است؟ موجود است d=-0.5،یک عضو هفدهم وجود دارد... همین است؟ اگر فکر می کنید همین است، پس مشکل را حل نمی کنید، بله...

ما هنوز یک شماره داریم n! در شرایط a 17 =-2پنهان شده است دو پارامتراین هم مقدار جمله هفدهم (2-) و هم عدد آن (17) است. آن ها n=17.این «ریزه کاری» اغلب از سر می‌گذرد و بدون آن، (بدون «چیز»، نه سر!) مشکل حل نمی‌شود. گرچه... و بدون سر هم.)

اکنون می‌توانیم به سادگی داده‌های خود را با فرمول جایگزین کنیم:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

اوه بله، یک 17ما می دانیم که -2 است. خوب، بیایید جایگزین کنیم:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

اساساً همین است. باقی مانده است که جمله اول پیشروی حسابی را از فرمول بیان کنیم و آن را محاسبه کنیم. پاسخ این خواهد بود: a 1 = 6.

این تکنیک نوشتن فرمول و جایگزینی سادهداده های شناخته شده - در کارهای ساده بسیار کمک می کند. خب البته باید بتونی یک متغیر رو از روی فرمول بیان کنی اما چیکار باید کرد!؟ بدون این مهارت ممکن است اصلا ریاضیات خوانده نشود...

یک معمای محبوب دیگر:

تفاوت پیشروی حسابی (a n) را بیابید، اگر a 1 =2; a 15 = 12.

ما چه کار می کنیم؟ تعجب خواهید کرد، ما در حال نوشتن فرمول هستیم!)

a n = a 1 + (n-1)d

بیایید آنچه را که می دانیم در نظر بگیریم: a 1 = 2; a 15 = 12; و (به ویژه برجسته می کنم!) n=15. با خیال راحت این را در فرمول جایگزین کنید:

12=2 + (15-1) روز

ما حساب را انجام می دهیم.)

12=2 + 14 روز

د=10/14 = 5/7

این پاسخ صحیح است.

بنابراین، وظایف برای a n، a 1و دتصمیم گرفت. تنها چیزی که باقی می ماند این است که یاد بگیرید چگونه شماره را پیدا کنید:

عدد 99 عضوی از پیشروی حسابی (a n) است که در آن a 1 =12; d=3. شماره این عضو را پیدا کنید.

ما مقادیر شناخته شده را در فرمول n ام جایگزین می کنیم:

a n = 12 + (n-1) 3

در نگاه اول، دو کمیت ناشناخته در اینجا وجود دارد: a n و nاما a n- این برخی از اعضای پیشرفت با یک عدد است n...و ما این عضو پیشرفت را می شناسیم! 99 است. ما شماره اش را نمی دانیم. nبنابراین این شماره همان چیزی است که باید پیدا کنید. عبارت پیشرفت 99 را با فرمول جایگزین می کنیم:

99 = 12 + (n-1) 3

از فرمول بیان می کنیم n، ما فکر می کنیم. جواب میگیریم: n=30.

و اکنون یک مشکل در همان موضوع، اما خلاقانه تر):

تعیین کنید که آیا عدد 117 عضوی از پیشروی حسابی (a n) است یا خیر:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

بیایید دوباره فرمول را بنویسیم. چه، هیچ پارامتری وجود ندارد؟ هوم... چرا به ما چشم می دهند؟) ترم اول پیشرفت را می بینیم؟ می بینیم. این -3.6 است. می توانید با خیال راحت بنویسید: a 1 = -3.6.تفاوت دآیا می توانید از سریال بگویید؟ اگر بدانید تفاوت یک پیشرفت حسابی چیست آسان است:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

بنابراین، ما ساده ترین کار را انجام دادیم. تنها چیزی که باقی می ماند رسیدگی به شماره ناشناخته است nو عدد نامفهوم 117. در مسئله قبلی حداقل معلوم بود که اصطلاح پیشروی داده شده است. اما اینجا ما حتی نمی دانیم ... چه باید کرد!؟ خوب، چه باید کرد، چه باید کرد... روشن کنید خلاقیت!)

ما فرض کنیدبالاخره 117 عضوی از پیشرفت ماست. با شماره نامعلوم n. و درست مانند مشکل قبلی، بیایید سعی کنیم این عدد را پیدا کنیم. آن ها ما فرمول را می نویسیم (بله، بله!)) و اعداد خود را جایگزین می کنیم:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

دوباره از فرمول بیان می کنیمn، می شماریم و می گیریم:

اوه! شماره معلوم شد کسری!صد و یک و نیم. و اعداد کسری در پیشرفت اتفاق نمی افتدچه نتیجه ای می توانیم بگیریم؟ بله! شماره 117 نیستعضو پیشرفت ما جایی بین ترم صد و اول و صد و دوم است. اگر عدد طبیعی بود، یعنی. یک عدد صحیح مثبت است، آنگاه عدد عضوی از پیشرفت با عدد یافت شده خواهد بود. و در مورد ما، پاسخ مشکل این خواهد بود: خیر

وظیفه ای بر اساس نسخه واقعی GIA:

یک پیشروی حسابی با شرط داده می شود:

a n = -4 + 6.8n

عبارت اول و دهم پیشرفت را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت به روشی غیرعادی تنظیم شده است. نوعی فرمول ... این اتفاق می افتد.) با این حال، این فرمول (همانطور که در بالا نوشتم) - همچنین فرمول nامین ترم یک پیشروی حسابی!او هم اجازه می دهد هر عضوی از پیشرفت را با تعداد آن پیدا کنید.

ما به دنبال اولین عضو هستیم. اونی که فکر میکنه این که عبارت اول منهای چهار است، به طرز مهلکی اشتباه می شود!) زیرا فرمول در مسئله اصلاح شده است. عبارت اول از پیشروی حسابی در آن پنهان شده است.اشکالی ندارد، اکنون آن را پیدا خواهیم کرد.)

همانطور که در مشکلات قبلی جایگزین می کنیم n=1به این فرمول:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

اینجا! جمله اول 2.8 است نه -4!

ترم دهم را به همین ترتیب جستجو می کنیم:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

همین است.

و اکنون، برای کسانی که این خطوط را خوانده اند، پاداش وعده داده شده است.)

فرض کنید، در یک موقعیت رزمی دشوار آزمون دولتی یا یکپارچه آزمون دولتی، فرمول مفید ترم n یک پیشرفت حسابی را فراموش کرده اید. چیزی را به خاطر می آورم، اما به نوعی نامطمئن... یا nوجود دارد، یا n+1 یا n-1...چگونه باشیم!؟

آرام! این فرمول به راحتی قابل استخراج است. خیلی سخت گیرانه نیست، اما قطعا برای اطمینان و تصمیم درست کافی است!) برای نتیجه گیری، کافی است معنای ابتدایی یک پیشروی حسابی را به خاطر بسپارید و چند دقیقه وقت داشته باشید. شما فقط باید یک تصویر بکشید. برای وضوح.

یک خط اعداد بکشید و اولین مورد را روی آن علامت بزنید. دوم، سوم و غیره اعضا و ما تفاوت را یادداشت می کنیم دبین اعضا مثل این:

ما به تصویر نگاه می کنیم و فکر می کنیم: عبارت دوم برابر با چه چیزی است؟ دوم یکی د:

الف 2 =a 1 + 1 د

ترم سوم چیست؟ سومترم برابر با ترم اول به اضافه است دو د.

الف 3 =a 1 + 2 د

آیا آن را می گیرید؟ بیهوده نیست که برخی کلمات را به صورت پررنگ برجسته می کنم. خوب، یک قدم دیگر).

ترم چهارم چیست؟ چهارمترم برابر با ترم اول به اضافه است سه د.

الف 4 =a 1 + 3 د

وقت آن رسیده است که متوجه شویم که تعداد شکاف ها، یعنی. د، همیشه یک کمتر از تعداد عضو مورد نظر شما n. یعنی به عدد n، تعداد فضاهاخواهد شد n-1.بنابراین، فرمول (بدون تغییرات!) خواهد بود:

a n = a 1 + (n-1)d

به طور کلی، تصاویر بصری در حل بسیاری از مسائل در ریاضیات بسیار مفید هستند. از تصاویر غافل نشوید اما اگر ترسیم یک تصویر دشوار است، پس ... فقط یک فرمول!) علاوه بر این، فرمول ترم n به شما امکان می دهد کل زرادخانه قدرتمند ریاضیات را به راه حل متصل کنید - معادلات، نابرابری ها، سیستم ها و غیره. شما نمی توانید تصویری را در معادله وارد کنید ...

وظایف برای راه حل مستقل

برای گرم کردن:

1. در پیشرفت حسابی (a n) a 2 =3; a 5 = 5.1. 3 را پیدا کنید.

نکته: با توجه به تصویر، مشکل در 20 ثانیه حل می شود ... طبق فرمول، دشوارتر می شود. اما برای تسلط بر فرمول مفیدتر است.) در قسمت 555 این مشکل با استفاده از تصویر و فرمول حل شده است. تفاوت را احساس کنید!)

و این دیگر گرم کردن نیست.)

2. در پیشروی حسابی (a n) a 85 =19.1; a 236 = 49، 3. یک 3 را پیدا کنید.

چه، شما نمی خواهید یک نقاشی بکشید؟) البته! طبق فرمول بهتره، بله...

3. پیشروی حسابی با شرط داده می شود:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. جمله صد و بیست و پنجم این پیشروی را پیدا کنید.

در این کار، پیشرفت به صورت تکراری مشخص می شود. اما شمردن تا ترم صد و بیست و پنجم... همه توانایی چنین شاهکاری را ندارند.) اما فرمول ترم n در توان همه است!

4. با توجه به پیشروی حسابی (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

عدد کوچکترین جمله مثبت پیشرفت را پیدا کنید.

5. با توجه به شرایط تکلیف 4، مجموع کوچکترین مثبت و بزرگترین جمله های منفی پیشروی را پیدا کنید.

6. حاصل ضرب جمله های پنجم و دوازدهم یک پیشروی حسابی فزاینده برابر با 2.5- و مجموع جمله های سوم و یازدهم برابر با صفر است. 14 را پیدا کنید.

ساده ترین کار نیست، بله...) روش "نوک انگشت" در اینجا کار نخواهد کرد. شما باید فرمول بنویسید و معادلات را حل کنید.

پاسخ ها (به هم ریخته):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

کار کرد؟ خوب است!)

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. به هر حال، یک نکته ظریف در آخرین کار وجود دارد. هنگام خواندن مشکل دقت لازم است. و منطق.

راه حل همه این مسائل به تفصیل در بخش 555 مورد بحث قرار گرفته است. و عنصر فانتزی برای چهارم، و نکته ظریف برای ششم، و رویکردهای کلی برای حل هر مشکلی که شامل فرمول n ام است - همه چیز شرح داده شده است. من آن را توصیه می کنم.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

نوع درس:یادگیری مطالب جدید

اهداف درس:

• گسترش و تعمیق درک دانش آموزان از مسائل حل شده با استفاده از پیشرفت حسابی. سازماندهی فعالیت های جستجوی دانش آموزان هنگام استخراج فرمول مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی.
• توسعه توانایی به دست آوردن مستقل دانش جدید و استفاده از دانش از قبل به دست آمده برای دستیابی به یک وظیفه معین.
• ایجاد تمایل و نیاز به تعمیم حقایق به دست آمده، توسعه استقلال.

وظایف:

• خلاصه و نظام مند دانش موجود در مورد موضوع "پیشرفت حسابی"؛
• استخراج فرمول برای محاسبه مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی.
• آموزش نحوه استفاده از فرمول های به دست آمده هنگام حل مسائل مختلف.
• توجه دانش آموزان را به روش یافتن مقدار یک عبارت عددی جلب کنید.

تجهیزات:

• کارت هایی با وظایف برای کار در گروه ها و جفت ها؛
• برگه امتیازات؛
• ارائه"پیشرفت حسابی."

I. به روز رسانی دانش پایه.

1. کار مستقلبه صورت جفت

گزینه 1:

پیشرفت حسابی را تعریف کنید. یک فرمول تکرارشونده را بنویسید که یک پیشرفت حسابی را تعریف می کند. لطفاً یک مثال از پیشروی حسابی ارائه دهید و تفاوت آن را مشخص کنید.

گزینه دوم:

فرمول n ام یک پیشروی حسابی را بنویسید. صدمین جمله پیشرفت حسابی را بیابید ( a n}: 2, 5, 8 …
در این زمان، دو دانش آموز پشت تخته در حال آماده سازی پاسخ به سوالات مشابه هستند.
دانش آموزان کار شریک خود را با بررسی آنها روی تخته ارزیابی می کنند. (برگ های حاوی پاسخ ها تحویل داده می شود.)

2. لحظه بازی.

وظیفه 1.

معلممن به مقداری پیشرفت حسابی فکر کردم. فقط دو سوال از من بپرس تا بعد از جواب ها سریع ترم هفتم این پیشرفت را نام ببری. (1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15…)

سوالات دانش آموزان.

1. ترم ششم پیشرفت چیست و چه تفاوتی دارد؟
2. ترم هشتم پیشرفت چیست و چه تفاوتی دارد؟

اگر سؤال دیگری وجود نداشته باشد، معلم می تواند آنها را تحریک کند - "ممنوعیت" در مورد d (تفاوت)، یعنی نمی توان پرسید که تفاوت با چه چیزی برابر است. شما می توانید سوال بپرسید: ترم 6 پیشرفت برابر است و ترم 8 ترم برابر با چیست؟

وظیفه 2.

20 عدد روی تابلو نوشته شده است: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

معلم با پشت به تخته می ایستد. دانش آموزان شماره را صدا می کنند و معلم بلافاصله خود شماره را صدا می کند. توضیح دهید چگونه می توانم این کار را انجام دهم؟

معلم فرمول ترم n را به خاطر می آورد a n = 3n – 2و با جایگزینی مقادیر مشخص شده n، مقادیر مربوطه را پیدا می کند a n.

II. تنظیم یک کار یادگیری

من پیشنهاد می کنم یک مشکل باستانی را حل کنم که قدمت آن به هزاره دوم قبل از میلاد برمی گردد، که در پاپیروس های مصری یافت شده است.

وظیفه:به شما گفته شود: 10 پیمانه جو را بین 10 نفر تقسیم کنید، تفاوت هر نفر با همسایه اش 8/1 پیمانه است.

• این مشکل چگونه با مبحث پیشروی حسابی مرتبط است؟ (هر نفر بعدی 1/8 اندازه بیشتر دریافت می کند، یعنی تفاوت d=1/8 است، 10 نفر، یعنی n=10.)
• به نظر شما معیارهای عدد 10 به چه معناست؟ (مجموع تمام شرایط پیشرفت.)
• چه چیز دیگری باید بدانید تا تقسیم جو با توجه به شرایط مشکل آسان و ساده باشد؟ (اولین ترم پیشرفت.)

هدف درس- به دست آوردن وابستگی مجموع شرایط پیشرفت به تعداد آنها، جمله اول و تفاوت و بررسی اینکه آیا مشکل در زمان های قدیم به درستی حل شده است یا خیر.

قبل از استنباط فرمول، بیایید ببینیم مصریان باستان چگونه مشکل را حل کردند.

و آن را به صورت زیر حل کردند:

1) 10 معیار: 10 = 1 اندازه - سهم متوسط;
2) 1 پیمانه ∙ = 2 پیمانه - دو برابر شده است متوسطبه اشتراک بگذارید
دو برابر شد متوسطسهم مجموع سهام شخص پنجم و ششم است.
3) 2 پیمانه – 1/8 پیمانه = 1 7/8 پیمانه – دو برابر سهم نفر پنجم.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - کسری از یک پنجم. و به همین ترتیب، می توانید سهم هر فرد قبلی و بعدی را پیدا کنید.

دنباله را می گیریم:

III. حل مشکل.

1. به صورت گروهی کار کنید

گروه اول:مجموع 20 متوالی را پیدا کنید اعداد طبیعی: S 20 =(20+1)∙10 =210.

به طور کلی

گروه دوم:مجموع اعداد طبیعی از 1 تا 100 را بیابید (افسانه گاوس کوچک).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

نتیجه گیری:

گروه سوم:مجموع اعداد طبیعی 1 تا 21 را بیابید.

راه حل: 1+21=2+20=3+19=4+18…

نتیجه گیری:

گروه چهارم:مجموع اعداد طبیعی از 1 تا 101 را بیابید.

نتیجه گیری:

این روش برای حل مسائل در نظر گرفته شده "روش گاوس" نامیده می شود.

2. هر گروه راه حل مسئله را روی تخته ارائه می کند.

3. تعمیم راه حل های پیشنهادی برای یک پیشروی حسابی دلخواه:

a 1، a 2، a 3،…، a n-2، a n-1، a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

بیایید این مجموع را با استفاده از استدلال مشابه پیدا کنیم:

4. آیا مشکل را حل کرده ایم؟(بله.)

IV. درک اولیه و کاربرد فرمول های به دست آمده هنگام حل مسائل.

1. بررسی راه حل یک مسئله باستانی با استفاده از فرمول.

2. کاربرد فرمول در حل مسائل مختلف.

3. تمرین هایی برای توسعه توانایی به کار بردن فرمول ها هنگام حل مسائل.

الف) شماره 613

داده شده: ( a n) -پیشرفت حسابی؛

(a n): 1، 2، 3، …، 1500

پیدا کردن: S 1500

راه حل: , a 1 = 1 و 1500 = 1500،

ب) با توجه به: ( a n) -پیشرفت حسابی؛
(a n): 1، 2، 3، …
S n = 210

پیدا کردن: n
راه حل:

V. کار مستقل با تأیید متقابل.

دنیس به عنوان پیک شروع به کار کرد. در ماه اول حقوق او 200 روبل بود، در هر ماه بعد 30 روبل افزایش یافت. در کل در یک سال چقدر درآمد داشت؟

داده شده: ( a n) -پیشرفت حسابی؛
a 1 = 200، d = 30، n = 12
پیدا کردن: S 12
راه حل:

پاسخ: دنیس برای سال 4380 روبل دریافت کرد.

VI. آموزش تکلیف.

1. بخش 4.3 - اشتقاق فرمول را یاد بگیرید.
2. №№ 585, 623 .
3. با استفاده از فرمول مجموع n جمله اول یک پیشروی حسابی، مسئله ای ایجاد کنید که بتوان آن را حل کرد.

VII. جمع بندی درس.

1. برگه امتیاز

2. جملات را ادامه دهید

• امروز سر کلاس یاد گرفتم...
• فرمول های آموخته شده ...
• من معتقدم که ...

3. آیا می توانید مجموع اعداد 1 تا 500 را پیدا کنید؟ از چه روشی برای حل این مشکل استفاده خواهید کرد؟

مراجع

1. جبر، پایه نهم. آموزش برای موسسات آموزشی. اد. G.V. دوروفیوا.م.: "روشنگری"، 2009.

بنابراین، بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. به عنوان مثال:
شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند هر تعداد که دوست دارید وجود داشته باشد (در مورد ما، آنها وجود دارند). مهم نیست که چند عدد بنویسیم، همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است، کدام دوم و همینطور تا آخرین عدد، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:

دنباله اعداد
به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک عدد در دنباله است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد هفتم) همیشه یکسان است.
عددی که دارای عدد است، ترم امین دنباله نامیده می شود.

ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

در مورد ما:

فرض کنید یک دنباله عددی داریم که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.
به عنوان مثال:

و غیره
این دنباله اعداد را پیشروی حسابی می نامند.
اصطلاح "پیشرفت" توسط نویسنده رومی Boethius در قرن ششم معرفی شد و در معنای گسترده تر به عنوان یک دنباله عددی بی نهایت درک شد. نام "حساب" از نظریه نسبت های پیوسته که توسط یونانیان باستان مورد مطالعه قرار گرفت، منتقل شد.

این یک دنباله اعداد است که هر عضو آن برابر است با عضو قبلی که به همان عدد اضافه شده است. این عدد را تفاضل یک تصاعد حسابی می نامند و مشخص می شود.

سعی کنید تعیین کنید که کدام دنباله اعداد یک تصاعد حسابی هستند و کدام یک نیستند:

الف)
ب)
ج)
د)

متوجه شدید؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:
استپیشرفت حسابی - b، c.
نیستپیشرفت حسابی - a, d.

بیایید به پیشرفت داده شده () برگردیم و سعی کنیم مقدار ترم آن را پیدا کنیم. وجود دارد دوراهی برای پیدا کردن آن

1. روش

می توانیم عدد پیشرفت را به مقدار قبلی اضافه کنیم تا زمانی که به ترم ترم پیشرفت برسیم. خوب است که چیز زیادی برای خلاصه کردن نداریم - فقط سه مقدار:

بنابراین، امین ترم پیشروی حسابی توصیف شده برابر است با.

2. روش

اگر لازم بود مقدار ترم ترم پیشرفت را پیدا کنیم چه؟ جمع‌بندی بیش از یک ساعت طول می‌کشد و این یک واقعیت نیست که هنگام جمع کردن اعداد اشتباه نکنیم.
البته ریاضیدانان روشی را ابداع کرده اند که در آن لازم نیست تفاوت یک تصاعد حسابی را به مقدار قبلی اضافه کنیم. به تصویر کشیده شده با دقت نگاه کنید... مطمئناً قبلاً متوجه الگوی خاصی شده اید، یعنی:

برای مثال، بیایید ببینیم که مقدار ترم سوم این پیشروی حسابی شامل چه چیزی است:


به عبارت دیگر:

سعی کنید ارزش عضوی از یک پیشرفت محاسباتی را خودتان از این طریق بیابید.

حساب کردی؟ یادداشت های خود را با پاسخ مقایسه کنید:

لطفاً توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را به دست آوردید که در روش قبلی، زمانی که ما به طور متوالی شرایط پیشروی حسابی را به مقدار قبلی اضافه کردیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصیت" کنیم - بیایید آن را به شکل کلی قرار دهیم و دریافت کنیم:

معادله پیشرفت حسابی.

پیشروی های حسابی می تواند افزایش یا کاهش یابد.

در حال افزایش است- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها از مقدار قبلی بیشتر است.
به عنوان مثال:

نزولی- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها کمتر از مقدار قبلی است.
به عنوان مثال:

فرمول مشتق شده در محاسبه عبارات در هر دو حالت افزایشی و کاهشی یک پیشروی حسابی استفاده می شود.
بیایید این را در عمل بررسی کنیم.
به ما یک تصاعد حسابی متشکل از اعداد زیر داده شده است: بیایید بررسی کنیم که اگر از فرمول خود برای محاسبه آن استفاده کنیم، عدد امین این پیشروی حسابی چقدر خواهد بود:

از آن زمان تاکنون:

بنابراین، ما متقاعد شده‌ایم که این فرمول هم در کاهش و هم در افزایش پیشروی حسابی عمل می‌کند.
سعی کنید خود ترم های این پیشروی حسابی را پیدا کنید.

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

خاصیت پیشرفت محاسباتی

بیایید مشکل را پیچیده کنیم - ما خاصیت پیشرفت حسابی را به دست خواهیم آورد.
فرض کنید شرایط زیر به ما داده شده است:
- پیشرفت حسابی، مقدار را پیدا کنید.
آسان است، می گویید و طبق فرمولی که از قبل می دانید شروع به شمارش می کنید:

بگذار، آه، پس:

کاملا درسته معلوم می شود که ما ابتدا پیدا می کنیم، سپس آن را به عدد اول اضافه می کنیم و آنچه را که به دنبال آن هستیم به دست می آوریم. اگر پیشرفت با مقادیر کوچک نشان داده شود، هیچ چیز پیچیده ای در مورد آن وجود ندارد، اما اگر در شرایط به ما اعداد داده شود چه؟ موافقم، احتمال اشتباه در محاسبات وجود دارد.
حال به این فکر کنید که آیا با استفاده از هر فرمولی می توان این مشکل را در یک مرحله حل کرد؟ البته بله، و این چیزی است که ما اکنون سعی خواهیم کرد آن را بیان کنیم.

بیایید عبارت مورد نیاز پیشروی حسابی را به عنوان فرمول پیدا کردن آن برای ما مشخص کنیم - این همان فرمولی است که در ابتدا به دست آوردیم:
، سپس:

• ترم قبلی پیشرفت عبارت است از:
• ترم بعدی پیشرفت عبارت است از:

بیایید شرایط قبلی و بعدی پیشرفت را خلاصه کنیم:

به نظر می رسد که مجموع عبارت های قبلی و بعدی پیشرفت، مقدار دو برابر عبارت پیشروی است که بین آنها قرار دارد. به عبارت دیگر، برای یافتن مقدار یک عبارت پیشرفت با مقادیر قبلی و متوالی شناخته شده، باید آنها را جمع کرده و بر آن تقسیم کنید.

درست است، ما همین عدد را گرفتیم. بیایید مواد را ایمن کنیم. ارزش پیشرفت را خودتان محاسبه کنید، اصلاً سخت نیست.

آفرین! شما تقریباً همه چیز را در مورد پیشرفت می دانید! باقی مانده است که فقط یک فرمول را پیدا کنیم که طبق افسانه، یکی از بزرگترین ریاضیدانان تمام دوران، "پادشاه ریاضیدانان" - کارل گاوس، به راحتی برای خود استنباط شده است.

وقتی کارل گاوس 9 ساله بود، معلمی که مشغول بررسی کار دانش‌آموزان در کلاس‌های دیگر بود، این کار را در کلاس پرسید: «مجموع تمام اعداد طبیعی را از تا (طبق منابع دیگر تا) فراگیر محاسبه کنید.» تعجب معلم را تصور کنید که یکی از شاگردانش (این کارل گاوس بود) یک دقیقه بعد جواب درست را به تکلیف داد، در حالی که اکثر همکلاسی های جسور، پس از محاسبات طولانی، نتیجه اشتباه را دریافت کردند...

کارل گاوس جوان متوجه الگوی خاصی شد که شما نیز به راحتی می توانید متوجه آن شوید.
فرض کنید ما یک پیشروی حسابی داریم که از جمله های -ام تشکیل شده است: باید مجموع این ترم های پیشروی حسابی را پیدا کنیم. البته، ما می‌توانیم به صورت دستی همه مقادیر را جمع کنیم، اما اگر کار مستلزم یافتن مجموع عبارت‌های آن باشد، همانطور که گاوس به دنبال آن بود، چه؟

اجازه دهید پیشرفتی که به ما داده شده را به تصویر بکشیم. به اعداد برجسته شده دقت کنید و سعی کنید با آنها عملیات ریاضی مختلفی انجام دهید.


آیا آن را امتحان کرده اید؟ متوجه چی شدی؟ درسته! مجموع آنها مساوی است

حالا به من بگویید، در مجموع چند جفت از این دست در پیشرفتی که به ما داده شده است وجود دارد؟ البته دقیقاً نیمی از اعداد، یعنی.
بر اساس این واقعیت که مجموع دو جمله یک پیشروی حسابی مساوی است و جفت های مشابه برابر هستند، به دست می آوریم که مجموع کل برابر است با:
.
بنابراین، فرمول مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

در برخی از مسائل ما اصطلاح هفتم را نمی دانیم، اما تفاوت پیشرفت را می دانیم. سعی کنید فرمول جمله ام را با فرمول جمع جایگزین کنید.
چه چیزی به دست آوردی؟

آفرین! حالا بیایید به مسئله ای که از کارل گاوس پرسیده شد برگردیم: خودتان محاسبه کنید که مجموع اعدادی که از th شروع می شوند با چه مقدار و مجموع اعدادی که از th شروع می شوند برابر است.

چقدر گرفتی؟
گاوس دریافت که مجموع عبارت ها برابر است و مجموع عبارت ها. این همان چیزی است که شما تصمیم گرفتید؟

در واقع، فرمول مجموع عبارات یک پیشروی حسابی توسط دانشمند یونان باستان دیوفانتوس در قرن سوم به اثبات رسید و در طول این مدت، افراد شوخ طبع از خواص یک پیشروی حسابی استفاده کامل کردند.
مثلا تصور کنید مصر باستانو بزرگترین پروژه ساختمانی آن زمان - ساخت هرم ... تصویر یک طرف آن را نشان می دهد.

شما می گویید پیشرفت اینجا کجاست؟ با دقت نگاه کنید و الگویی از تعداد بلوک های شنی در هر ردیف دیوار هرم پیدا کنید.


چرا یک پیشرفت حسابی نیست؟ اگر آجرهای بلوکی در پایه قرار گیرند، محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار چند بلوک لازم است. امیدوارم وقتی انگشت خود را روی مانیتور حرکت می‌دهید، شمارش نکنید، آخرین فرمول و همه چیزهایی را که در مورد پیشروی حسابی گفتیم به خاطر دارید؟

در این مورد، پیشرفت به این صورت است: .
تفاوت پیشروی حسابی
تعداد اصطلاحات یک تصاعد حسابی.
بیایید داده های خود را با آخرین فرمول ها جایگزین کنیم (تعداد بلوک ها را به 2 روش محاسبه کنید).

روش 1.

روش 2.

و اکنون می توانید روی مانیتور محاسبه کنید: مقادیر به دست آمده را با تعداد بلوک هایی که در هرم ما هستند مقایسه کنید. متوجه شدید؟ آفرین، شما بر مجموع nام یک پیشروی حسابی تسلط دارید.
البته، شما نمی توانید یک هرم را از بلوک هایی در پایه بسازید، اما از؟ سعی کنید محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار با این شرایط چند آجر شنی لازم است.
موفق شدی؟
پاسخ صحیح بلوک است:

آموزش

وظایف:

1. ماشا در حال خوش فرم شدن برای تابستان است. او هر روز تعداد اسکات ها را افزایش می دهد. اگر ماشا در اولین جلسه تمرین اسکوات انجام دهد، چند بار در هفته اسکات انجام می دهد؟
2. مجموع همه اعداد فرد موجود در چیست؟
3. هنگام ذخیره لاگ ها، لاگرها آنها را به گونه ای روی هم می چینند که هر لایه بالایی یک لاگ کمتر از لاگ قبلی داشته باشد. در صورتی که پایه سنگ تراشی کنده ها باشد در یک سنگ تراشی چند کنده وجود دارد؟

پاسخ ها:

1. اجازه دهید پارامترهای پیشرفت حسابی را تعریف کنیم. در این مورد
   (هفته = روز).

   پاسخ:در دو هفته، ماشا باید یک بار در روز اسکات انجام دهد.

2. اولین عدد فرد، آخرین عدد.
   تفاوت پیشروی حسابی
   تعداد اعداد فرد در نصف است، با این حال، بیایید این واقعیت را با استفاده از فرمول برای یافتن جمله ترم یک پیشرفت حسابی بررسی کنیم:

   اعداد حاوی اعداد فرد هستند.
   بیایید داده های موجود را با فرمول جایگزین کنیم:

   پاسخ:مجموع تمام اعداد فرد موجود در برابر است.

3. بیایید مشکل اهرام را به یاد بیاوریم. برای مورد ما، a، از آنجایی که هر لایه بالایی یک لاگ کاهش می یابد، در مجموع یک دسته لایه وجود دارد، یعنی.
   بیایید داده ها را با فرمول جایگزین کنیم:

   پاسخ:در سنگ تراشی کنده هایی وجود دارد.

بیایید آن را جمع بندی کنیم

1. - دنباله اعدادی که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است. می تواند در حال افزایش یا کاهش باشد.
2. یافتن فرمولجمله ترم یک پیشروی حسابی با فرمول - نوشته می شود، که در آن تعداد اعداد در پیشروی است.
3. ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی- - تعداد اعداد در حال پیشرفت کجاست.
4. مجموع عبارات یک تصاعد حسابیرا می توان به دو صورت یافت:
   
   ، تعداد مقادیر کجاست.

پیشروی حسابی. سطح میانی

دنباله اعداد

بیا بشینیم و شروع کنیم به نوشتن چند عدد. به عنوان مثال:

شما می توانید هر عددی را بنویسید و هر تعداد که دوست دارید می تواند وجود داشته باشد. اما همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است کدام دوم و ... یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است.

دنباله اعدادمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک شماره منحصر به فرد اختصاص داد.

به عبارت دیگر، هر عدد می تواند با یک عدد طبیعی خاص و یک عدد منحصر به فرد مرتبط باشد. و این شماره را به هیچ شماره دیگری از این مجموعه اختصاص نمی دهیم.

به عددی که دارای عدد است، امین عضو دنباله نامیده می شود.

ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

بسیار راحت است اگر بتوان ترم 7 دنباله را با فرمولی مشخص کرد. به عنوان مثال، فرمول

دنباله را تنظیم می کند:

و فرمول به ترتیب زیر است:

به عنوان مثال، یک پیشروی حسابی یک دنباله است (جمله اول در اینجا برابر است و تفاوت آن است). یا (، تفاوت).

فرمول ترم n

ما یک فرمول را تکراری می نامیم که در آن، برای پیدا کردن عبارت، باید موارد قبلی یا چند مورد قبلی را بدانید:

برای مثال برای یافتن ترم ترم پیشروی با استفاده از این فرمول، باید نه قبلی را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید. سپس:

خوب حالا معلوم شد فرمولش چیه؟

در هر خطی که به آن اضافه می کنیم، در یک عدد ضرب می کنیم. کدام یک؟ خیلی ساده: این تعداد عضو فعلی منهای است:

الان خیلی راحت تره، درسته؟ بررسی می کنیم:

خودتان تصمیم بگیرید:

در یک تصاعد حسابی، فرمول جمله n را پیدا کنید و جمله صدم را پیدا کنید.

راه حل:

جمله اول برابر است. تفاوت در چیست؟ این چیزی است که:

(به همین دلیل است که به آن تفاوت می گویند زیرا برابر است با اختلاف ترم های متوالی پیشرفت).

بنابراین، فرمول:

سپس جمله صدم برابر است با:

مجموع همه اعداد طبیعی از تا چقدر است؟

طبق افسانه ها، کارل گاوس، ریاضیدان بزرگ، به عنوان یک پسر 9 ساله، این مقدار را در چند دقیقه محاسبه کرد. او متوجه شد که مجموع اعداد اول و آخر برابر است، مجموع عدد دوم و ماقبل آخر یکسان است، مجموع عدد سوم و سوم از آخر یکسان است و غیره. در کل چند جفت از این دست وجود دارد؟ درست است، دقیقاً نصف تعداد تمام اعداد، یعنی. بنابراین،

فرمول کلی برای مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

مثال:
مجموع همه مضرب های دو رقمی را پیدا کنید.

راه حل:

اولین چنین عددی این است. هر عدد بعدی با اضافه کردن به عدد قبلی بدست می آید. بنابراین، اعدادی که ما به آنها علاقه مندیم، با جمله اول و تفاوت، یک پیشروی حسابی تشکیل می دهند.

فرمول ترم این پیشرفت:

اگر همه آنها باید دو رقمی باشند، چند عبارت در پیشرفت وجود دارد؟

خیلی راحت: .

آخرین ترم پیشرفت برابر خواهد بود. سپس مجموع:

پاسخ: .

حالا خودتان تصمیم بگیرید:

1. هر روز ورزشکار مترهای بیشتری نسبت به روز قبل می دود. اگر در روز اول کیلومتر متر دوید، در مجموع چند کیلومتر در هفته خواهد دوید؟
2. یک دوچرخه سوار هر روز کیلومترهای بیشتری را نسبت به روز قبل طی می کند. روز اول کیلومتر را طی کرد. برای طی کردن یک کیلومتر به چند روز سفر نیاز دارد؟ او در آخرین روز سفر چند کیلومتر را طی خواهد کرد؟
3. قیمت یخچال در مغازه ها هر سال به همین میزان کاهش می یابد. تعیین کنید که قیمت یک یخچال در هر سال چقدر کاهش می یابد اگر شش سال بعد به روبل برای فروش گذاشته شود.

پاسخ ها:

1. مهمترین چیز در اینجا تشخیص پیشروی حسابی و تعیین پارامترهای آن است. در این صورت، (هفته = روز). شما باید مجموع جمله های اول این پیشرفت را تعیین کنید:
   .
   پاسخ:
2. در اینجا داده می شود: , باید پیدا شود.
   بدیهی است که باید از همان فرمول جمع مانند مشکل قبلی استفاده کنید:
   .
   مقادیر را جایگزین کنید:

   بدیهی است که ریشه مناسب نیست، بنابراین پاسخ این است.
   بیایید مسیر طی شده در روز گذشته را با استفاده از فرمول جمله ام محاسبه کنیم:
   (کیلومتر).
   پاسخ:

3. داده شده: . پیدا کنید: .
   ساده تر از این نمی تواند باشد:
   (مالیدن).
   پاسخ:

پیشرفت حسابی. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

این یک دنباله اعداد است که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.

پیشرفت محاسباتی می تواند افزایش () و کاهش () باشد.

به عنوان مثال:

فرمول یافتن ترم n یک پیشرفت حسابی

با فرمول نوشته می شود، جایی که تعداد اعداد در حال پیشرفت است.

ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی

این به شما امکان می دهد به راحتی یک عبارت از یک پیشروی را در صورت شناخته شدن شرایط همسایه آن پیدا کنید - تعداد اعداد در پیشرفت کجاست.

مجموع شرایط یک پیشرفت حسابی

دو راه برای پیدا کردن مقدار وجود دارد:

تعداد مقادیر کجاست.

تعداد مقادیر کجاست.

2/3 مقاله باقیمانده فقط برای دانش‌آموزان باهوش در دسترس است!

دانش آموز YouClever شوید،

برای آزمون دولتی واحد یا آزمون دولتی واحد در ریاضیات به قیمت "یک فنجان قهوه در ماه" آماده شوید.

و همچنین دسترسی نامحدود به کتاب درسی "YouClever"، برنامه آماده سازی (کتاب کار) "100gia"، نامحدود آزمایشی آزمون یکپارچه ایالتیو OGE، 6000 مشکل با تجزیه و تحلیل راه حل ها و سایر خدمات YouClever و 100gia.