سری اعداد: تعاریف، خواص، نشانه های همگرایی، مثال ها، راه حل ها. سری اعداد: تعاریف، خواص، نشانه های همگرایی، مثال ها، راه حل های سری برای علامت d'Alembert

ژان لرون d'Alembert ریاضیدان مشهور فرانسوی قرن هجدهم بود. به طور کلی، دالامبر در این زمینه تخصص داشت معادلات دیفرانسیلو بر اساس تحقیقاتش روی بالستیک کار کرد تا گلوله های توپ اعلیحضرت بهتر پرواز کنند. در عین حال ، من سری اعداد را فراموش نکردم؛ بیهوده نبود که صفوف سربازان ناپلئون بعداً به وضوح به هم نزدیک شدند و از هم جدا شدند.

قبل از فرمول بندی خود علامت، اجازه دهید یک سوال مهم را در نظر بگیریم:
چه زمانی باید از آزمون همگرایی دالامبر استفاده کرد؟

بیایید ابتدا با یک بررسی شروع کنیم. بیایید مواردی را به یاد بیاوریم که باید از محبوب ترین ها استفاده کنید حد مقایسه. معیار محدود کننده برای مقایسه زمانی اعمال می شود که در اصطلاح کلی سری باشد:
1) مخرج شامل یک چند جمله ای است.
2) چند جمله ای ها هم در صورت و هم در مخرج هستند.
3) یک یا هر دو چند جمله ای می توانند زیر ریشه باشند.

پیش نیازهای اصلی برای استفاده از آزمون d'Alembert به شرح زیر است:

1) اصطلاح متداول سریال («پر کردن» سریال) تعدادی عدد را تا حدی شامل می شود، مثلاً، و غیره. علاوه بر این ، اصلاً مهم نیست که این چیز در کجا قرار دارد ، در صورت یا مخرج - مهم این است که در آنجا وجود داشته باشد.

2) اصطلاح رایج سری شامل فاکتوریل است. فاکتوریل چیست؟ هیچ چیز پیچیده ای نیست، فاکتوریل فقط یک نمایش فشرده از محصول است:

…

…

! هنگام استفاده از آزمون d'Alembert، باید فاکتوریل را با جزئیات شرح دهیم. مانند پاراگراف قبل، فاکتوریل را می توان در بالا یا پایین کسر قرار داد.

3) اگر در اصطلاح کلی سریال "زنجیره ای از عوامل" وجود داشته باشد، به عنوان مثال، . این مورد نادر است، اما! هنگام مطالعه چنین مجموعه ای، اغلب اشتباه می شود - به مثال 6 مراجعه کنید.

همراه با توان ها و/یا فاکتوریل ها، چند جمله ای ها اغلب در پر کردن یک سری یافت می شوند؛ این وضعیت را تغییر نمی دهد - باید از علامت دالامبر استفاده کنید.

علاوه بر این، در یک عبارت مشترک از یک سری، هر دو درجه و فاکتوریل می توانند به طور همزمان رخ دهند. ممکن است دو فاکتوریل، دو درجه وجود داشته باشد، مهم است که وجود داشته باشد حداقل چیزیاز نکات در نظر گرفته شده - و این دقیقاً پیش نیاز استفاده از علامت D'Alembert است.

علامت دالامبر: بیایید در نظر بگیریم سری اعداد مثبت. اگر محدودیتی در نسبت ترم بعدی به دوره قبلی وجود داشته باشد: ، پس:
الف) هنگامی که ردیف همگرا می شود
ب) هنگامی که ردیف واگرا می شود
ج) چه زمانی علامت جواب نمی دهد. باید از علامت دیگری استفاده کنید. بیشتر اوقات، زمانی که آنها سعی می کنند از آزمون d'Alembert استفاده کنند که در آن لازم است از آزمون مقایسه محدود کننده استفاده شود، یکی به دست می آید.

کسانی که هنوز با محدودیت ها یا سوء تفاهم از حدود مشکل دارند به تاپیک مراجعه کنند محدودیت ها. نمونه هایی از راه حل ها. بدون درک محدودیت و توانایی آشکارسازی عدم قطعیت، متأسفانه، نمی توان بیشتر پیش رفت. و اکنون نمونه های مورد انتظار.

مثال 1
می بینیم که در اصطلاح کلی مجموعه ای که داریم، و این یک پیش نیاز مطمئن برای استفاده از آزمون d'Alembert است. ابتدا، راه حل کامل و طرح نمونه، نظرات در زیر.

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

همگرا می شود.

(1) نسبت عضو بعدی سری به قبلی را می سازیم: . از این شرط می بینیم که اصطلاح کلی سریال است. برای به دست آوردن عضو بعدی سری لازم است به جای جایگزین کردن: .
(2) از کسری چهار طبقه خلاص می شویم. اگر تجربه ای در مورد راه حل دارید، می توانید از این مرحله صرف نظر کنید.
(3) پرانتزها را در صورت حساب باز کنید. در مخرج چهار را از توان خارج می کنیم.
(4) کاهش دهید. ثابت فراتر از علامت حد را می گیریم. در صورت‌حساب، اصطلاحات مشابه را در پرانتز ارائه می‌کنیم.
(5) عدم قطعیت به روش استاندارد حذف می شود - با تقسیم صورت و مخرج بر "en" به بالاترین توان.
(6) ما اعداد را به صورت ترم بر مخرج تقسیم می کنیم و عبارت هایی را نشان می دهیم که تمایل به صفر دارند.
(7) پاسخ را ساده می‌کنیم و یادداشت می‌کنیم که با این نتیجه که طبق معیار D'Alembert، سری مورد مطالعه همگرا می‌شوند.

در مثال در نظر گرفته شده، در عبارت کلی سری با یک چند جمله ای درجه 2 مواجه شدیم. اگر چند جمله ای درجه 3، 4 یا بالاتر وجود داشته باشد چه باید کرد؟ واقعیت این است که اگر یک چند جمله ای درجه بالاتر داده شود، با باز کردن براکت ها مشکلاتی ایجاد می شود. در این مورد، می توانید از روش حل "توربو" استفاده کنید.

مثال 2 بیایید یک سری مشابه را برداریم و آن را برای همگرایی بررسی کنیم
ابتدا راه حل کامل، سپس نظرات:

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

(1) ما رابطه را ایجاد می کنیم.
(2) از کسری چهار طبقه خلاص می شویم.
(3) عبارت را در صورت و عبارت را در مخرج در نظر بگیرید. می بینیم که در صورت حساب باید پرانتزها را باز کنیم و آنها را به توان چهارم برسانیم: که مطلقاً نمی خواهیم انجام دهیم. علاوه بر این، برای کسانی که با دوجمله ای نیوتن آشنایی ندارند، این کار ممکن است اصلا قابل اجرا نباشد. بیایید درجات بالاتر را تجزیه و تحلیل کنیم: اگر براکت ها را در بالا باز کنیم، بالاترین درجه را به دست می آوریم. در زیر همین مدرک ارشد را داریم: . با قیاس با مثال قبلی، بدیهی است که هنگام تقسیم عدد و مخرج بر جمله، در نهایت به یک در حد می رسیم. یا همانطور که ریاضیدانان می گویند، چند جمله ای ها و - همان ترتیب رشد. بنابراین، کاملاً ممکن است که نسبت را با یک مداد ساده دور بزنیم و بلافاصله نشان دهیم که این چیز به یک گرایش دارد. ما با جفت دوم چند جمله ای ها به همین ترتیب برخورد می کنیم: و , آنها نیز همان ترتیب رشد، و نسبت آنها به وحدت گرایش دارد.

در واقع، چنین «هک»ی می‌توانست در مثال شماره 1 انجام شود، اما برای چند جمله‌ای درجه 2، چنین راه‌حلی هنوز به‌نوعی بی‌وقار به نظر می‌رسد. من شخصاً این کار را انجام می‌دهم: اگر چند جمله‌ای (یا چند جمله‌ای) درجه اول یا دوم وجود داشته باشد، از راه طولانی برای حل مثال 1 استفاده می‌کنم. اگر به چند جمله‌ای 3 یا بیشتر برخورد کنم درجات بالا، من از روش توربو مشابه مثال 2 استفاده می کنم.

مثال 3 .

بیایید به مثال های معمولی با فاکتوریل نگاه کنیم:

مثال 4 سری را برای همگرایی بررسی کنید

اصطلاح رایج سری شامل هر دو درجه و فاکتوریل است. مثل روز روشن است که باید از علامت دالامبر در اینجا استفاده شود. بیا تصمیم بگیریم

بنابراین، سری تحت مطالعه واگرا می شود.

(1) ما رابطه را ایجاد می کنیم. دوباره تکرار می کنیم. با شرط، عضو مشترک مجموعه عبارت است از: . برای دریافت ترم بعدی این مجموعه، در عوض باید جایگزین کنید، بدین ترتیب: .
(2) از کسری چهار طبقه خلاص می شویم.
(3) هفت را از درجه جدا کنید. ما فاکتوریل ها را با جزئیات توضیح می دهیم. چگونه این کار را انجام دهیم - ابتدای درس را ببینید.
(4) ما هر چیزی را که می توان برش داد می بریم.
(5) ثابت را فراتر از علامت حد حرکت می کنیم. پرانتزها را در صورت حساب باز کنید.
(6) ما عدم قطعیت را به روش استاندارد حذف می کنیم - با تقسیم صورت و مخرج بر "en" به بالاترین توان.

مثال 5سری ها را از نظر همگرایی بررسی کنید راه حل کامل در زیر آمده است.

مثال 6سری را برای همگرایی بررسی کنید

گاهی اوقات سریال هایی وجود دارند که حاوی "زنجیره ای" از عوامل در پرکردن آنها هستند، ما هنوز به این نوع سریال ها توجه نکرده ایم. چگونه می توان مجموعه ای را با "زنجیره ای" از عوامل مطالعه کرد؟ از علامت d'Alembert استفاده کنید. اما ابتدا برای درک اینکه چه اتفاقی در حال رخ دادن است، اجازه دهید این سریال را با جزئیات شرح دهیم:

از بسط می بینیم که هر عضو بعدی سری یک عامل اضافی به مخرج اضافه می کند، بنابراین، اگر عضو مشترک سری باشد، عضو بعدی سری است:
. اینجاست که آنها اغلب به طور خودکار اشتباه می کنند و رسماً طبق الگوریتمی که می نویسند

یک نمونه راه حل تقریبی ممکن است به این صورت باشد: بیایید از علامت D'Alembert استفاده کنیم:
بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.
علامت کوشی رادیکال

آگوستین لوئی کوشی یک ریاضیدان فرانسوی حتی مشهورتر است. هر دانش آموزی می تواند بیوگرافی کوشی را به شما بگوید. تخصص فنی. در زیباترین رنگ ها. تصادفی نیست که این نام در طبقه اول برج ایفل حک شده است.

آزمون همگرایی کوشی برای سری اعداد مثبت تا حدودی شبیه به آزمون دالامبر است که در مورد آن صحبت شد.

نشانه کوشی رادیکال:در نظر بگیریم سری اعداد مثبت. اگر محدودیتی وجود دارد: , پس:
الف) هنگامی که ردیف همگرا می شود. به طور خاص، این مجموعه در .
ب) هنگامی که ردیف واگرا می شود. به طور خاص، این سریال در .
ج) چه زمانی علامت جواب نمی دهد. باید از علامت دیگری استفاده کنید. جالب است بدانید که اگر تست کوشی پاسخی به سوال همگرایی یک سری به ما ندهد، تست دالامبر هم جوابی به ما نمی دهد. اما اگر آزمون دالامبر جوابی ندهد، تست کوشی ممکن است «کار کند». یعنی علامت کوشی از این نظر نشانه قوی تری است.

چه زمانی باید از علامت کوشی رادیکال استفاده کرد؟تست کوشی رادیکال معمولاً در مواردی استفاده می شود که اصطلاح رایج سری است به طور کاملدر درجه است بسته به "en". یا زمانی که ریشه "خوب" از یکی از اعضای مشترک مجموعه استخراج می شود. موارد عجیب و غریب نیز وجود دارد، اما ما نگران آنها نخواهیم بود.

مثال 7سری را برای همگرایی بررسی کنید

می بینیم که عبارت کلی این سری کاملاً تحت یک توان است که به آن بستگی دارد، به این معنی که باید از تست کوشی رادیکال استفاده کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه واگرا می شود.

(1) اصطلاح رایج سری را در زیر ریشه فرمول بندی می کنیم.
(2) ما همان چیز را فقط بدون ریشه با استفاده از خاصیت درجه بازنویسی می کنیم.
(3) در اندیکاتور، صورت را بر مخرج ترم تقسیم می کنیم، که نشان می دهد که
(4) در نتیجه عدم قطعیت داریم. این جایی است که می توانید بروید راه طولانی: مکعب، مکعب، سپس صورت و مخرج را بر "en" تقسیم کنید تا به بالاترین توان برسد. ولی در در این موردراه حل مؤثرتری وجود دارد: می توانید عبارت صورت و مخرج را مستقیماً تحت توان ثابت بر ترم تقسیم کنید. برای حذف عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر (بالاترین توان) تقسیم کنید.
(5) ما در واقع تقسیم بندی ترم به ترم را انجام می دهیم و عبارت هایی را نشان می دهیم که تمایل به صفر دارند.
(6) ما پاسخ را به ذهن می آوریم، آنچه را که داریم علامت گذاری می کنیم و نتیجه می گیریم که سریال از هم جدا می شود.

در اینجا یک مثال ساده تر برای تصمیم مستقل:

مثال 8 سری را برای همگرایی بررسی کنید

و چند مثال معمولی دیگر.

راه حل کامل و طرح نمونه در زیر آمده است.

مثال 9 سری را برای همگرایی بررسی کنید
ما از آزمون کوشی رادیکال استفاده می کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

(1) عبارت مشترک سری را زیر ریشه قرار دهید.
(2) همان چیزی را بازنویسی می کنیم، اما بدون ریشه، در حالی که پرانتزها را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری باز می کنیم: .
(3) در اندیکاتور، صورت را بر مخرج ترم تقسیم می کنیم و نشان می دهیم که .
(4) عدم قطعیت شکل. در اینجا می توانید مستقیماً صورت را بر مخرج داخل پرانتز بر "en" تا بالاترین درجه تقسیم کنید. ما در هنگام مطالعه با چنین چیزی مواجه شدیم دومین محدودیت فوق العاده. اما اینجا وضعیت فرق می کند. اگر ضرایب در توان های بالاتر بود همسانبه عنوان مثال: ، پس ترفند با تقسیم ترم به ترم دیگر جواب نمی دهد و لازم است از محدودیت قابل توجه دوم استفاده شود. اما ما این ضرایب را داریم ناهمسان(5 و 6)، بنابراین می توان (و ضروری) را به مدت تقسیم کرد (به هر حال، برعکس - دومین حد قابل توجه برای ناهمسانضرایب در توان های بالاتر دیگر کار نمی کند).
(5) ما در واقع تقسیم بندی ترم به ترم را انجام می دهیم و نشان می دهیم که کدام عبارات به سمت صفر گرایش دارند.
(6) عدم قطعیت از بین رفته است، ساده ترین حد باقی می ماند: چرا در بی نهایت بزرگبه صفر تمایل دارد؟ زیرا پایه درجه نابرابری را ارضا می کند. اگر کسی در مورد عادلانه بودن حد شک دارد ، من تنبل نخواهم شد ، یک ماشین حساب برمی دارم:
اگر پس از آن
اگر پس از آن
اگر پس از آن
اگر پس از آن
اگر پس از آن
… و غیره. تا بی نهایت - یعنی در حد:
(7) نشان می‌دهیم که نتیجه می‌گیریم که سری همگرا می‌شوند.

مثال 10 سری را برای همگرایی بررسی کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

گاهی اوقات مثال تحریک آمیزی برای راه حل ارائه می شود، به عنوان مثال:. اینجا به صورت توان بدون "en"، فقط ثابت است. در اینجا شما باید صورت و مخرج را مربع کنید (چندجمله ای دریافت می کنید) و سپس الگوریتم مقاله را دنبال کنید. ردیف هایی برای آدمک ها. در چنین مثالی، یا آزمون لازم برای همگرایی سری یا آزمون محدودکننده برای مقایسه باید کار کند.
علامت کوشی انتگرال

کسانی که مطالب دوره اول را به خوبی درک نکرده اند را ناامید خواهم کرد. برای استفاده از آزمون انتگرال کوشی، باید کم و بیش در یافتن مشتقات، انتگرال ها اطمینان داشته باشید و همچنین مهارت محاسبه را داشته باشید. انتگرال نامناسباولین نوع در کتاب های درسی در تجزیه و تحلیل ریاضیآزمون کوشی انتگرال از نظر ریاضی به طور دقیق داده می شود؛ بیایید آزمون را به روشی بسیار ابتدایی، اما قابل فهم فرمول بندی کنیم. و بلافاصله مثال هایی برای روشن شدن.

تست کوشی انتگرال:در نظر بگیریم سری اعداد مثبت. آیا این سری همگرا هستند یا واگرا؟

مثال 11 سری را برای همگرایی بررسی کنید

تقریبا کلاسیک لگاریتم طبیعی و چند مزخرف.

پیش نیاز اصلی استفاده از آزمون انتگرال کوشی استاین واقعیت است که در اصطلاح کلی سری یک تابع معین و مشتق آن وجود دارد. از موضوع مشتقاحتمالاً ساده ترین چیز جدول را به خاطر دارید: ، و ما دقیقاً چنین مورد متعارفی داریم.

چگونه از ویژگی انتگرال استفاده کنیم؟ ابتدا آیکون انتگرال را می گیریم و حدهای بالا و پایین را از “counter” سری بازنویسی می کنیم: . سپس زیر انتگرال «پر کردن» سریال را با حرف «او» بازنویسی می کنیم: . چیزی کم است...، اوه، بله، شما همچنین باید یک نماد دیفرانسیل را در صورتگر بچسبانید: .

حالا باید محاسبه کنیم انتگرال نامناسب. در این حالت دو حالت ممکن است:

1) اگر معلوم شد که انتگرال همگرا می شود، سری ما نیز همگرا می شود.

2) اگر معلوم شد که انتگرال واگرا می شود، سری ما نیز واگرا می شود.

تکرار می کنم، اگر مطالب نادیده گرفته شود، خواندن پاراگراف دشوار و نامشخص خواهد بود، زیرا استفاده از یک ویژگی اساساً به محاسبه ختم می شود. انتگرال نامناسباولین نوع

راه حل کامل و فرمت مثال باید چیزی شبیه به این باشد:

از علامت انتگرال استفاده می کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه واگرا می شودهمراه با انتگرال نامناسب مربوطه.

مثال 12 سری را برای همگرایی بررسی کنید

حل و نمونه طرح در پایان درس

در مثال‌های در نظر گرفته شده، لگاریتم می‌تواند زیر ریشه نیز باشد؛ این روش حل را تغییر نمی‌دهد.

و دو مثال دیگر برای شروع

مثال 13 سری را برای همگرایی بررسی کنید

با توجه به "پارامترهای" کلی، به نظر می رسد عبارت کلی سری برای استفاده از معیار محدود کننده برای مقایسه مناسب باشد. فقط باید پرانتزها را باز کنید و فوراً برای مقایسه کامل به داوطلب ارسال کنید این سریالبا سری همگرا با این حال، من کمی تقلب کردم، ممکن است پرانتز باز نشود، اما همچنان راه حل از طریق معیار مقایسه محدود کننده نسبتاً پرمدعا به نظر می رسد.

بنابراین از آزمون کوشی انتگرال استفاده می کنیم:

تابع انتگرال پیوسته روشن است

همگرا می شودهمراه با انتگرال نامناسب مربوطه.

! توجه داشته باشید:عدد به دست آمده استنیست مجموع سریال!!!

مثال 14 سری را برای همگرایی بررسی کنید

راه حل و طرح نمونه در انتهای قسمتی است که به پایان می رسد.

برای تسلط کامل و غیر قابل برگشت به مبحث سری اعداد به تاپیک ها سر بزنید.

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 3:ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه واگرا می شود.
توجه: همچنین می توان از روش حل "توربو" استفاده کرد: بلافاصله نسبت را با مداد دور بزنید، نشان دهید که تمایل به وحدت دارد و یادداشت کنید: "از همان ترتیب رشد".

مثال 5: از علامت d'Alembert استفاده می کنیم: بنابراین، سری مورد مطالعه همگرا می شود.

مثال 8:

بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

مثال 10:
ما از آزمون کوشی رادیکال استفاده می کنیم.

بنابراین، سری تحت مطالعه واگرا می شود.
توجه: در اینجا پایه درجه است، بنابراین

مثال 12: از علامت انتگرال استفاده می کنیم.

یک عدد محدود به دست می آید که به معنای سری مورد مطالعه است همگرا می شود

مثال 14: از علامت انتگرال استفاده می کنیم
انتگرال پیوسته است.

بنابراین، سری تحت مطالعه واگرا می شودهمراه با انتگرال نامناسب مربوطه.
نکته: یک سری نیز با استفاده از آن قابل بررسی استمعیار محدود کننده برای مقایسه . برای این کار باید براکت های زیر ریشه را باز کنید و سری های مورد مطالعه را با سری واگرا مقایسه کنید.

ردیف های متناوب علامت لایب نیتس نمونه هایی از راه حل ها

برای درک مثال های این درس، باید درک خوبی از سری اعداد مثبت داشته باشید: بفهمید یک سری چیست، علامت لازم برای همگرایی یک سری را بدانید، بتوانید تست های مقایسه ای را اعمال کنید، تست دالامبر. ، آزمون کوشی. با مطالعه مداوم مقالات می توان موضوع را تقریباً از ابتدا مطرح کرد ردیف هایی برای آدمک هاو علامت دالامبر نشانه های کوشی. به طور منطقی، این درس سومین درس متوالی است و به شما امکان می دهد نه تنها ردیف های متناوب را درک کنید، بلکه مطالبی را که قبلاً پوشش داده شده را نیز ادغام کنید! تازگی کمی وجود خواهد داشت و تسلط بر ردیف های متناوب دشوار نخواهد بود. همه چیز ساده و در دسترس است.

سریال متناوب چیست؟این از خود نام واضح یا تقریباً واضح است. فقط یک مثال ساده. بیایید به سریال نگاه کنیم و آن را با جزئیات بیشتر توصیف کنیم:

و حالا یک نظر قاتل وجود خواهد داشت. اعضای یک سری متناوب دارای علائم متناوب هستند: بعلاوه، منهای، بعلاوه، منهای، مثبت، منفی و غیره. تا بی نهایت.
تراز یک ضریب را فراهم می کند: اگر زوج باشد، علامت مثبت، اگر فرد، علامت منفی وجود دارد. در اصطلاحات ریاضی به این چیز "فلاشر" می گویند. بنابراین، یک سری متناوب با منهای یک به درجه "en" "شناسایی" می شود.

در مثال های عملی، تناوب اصطلاحات سری را می توان نه تنها توسط ضریب، بلکه توسط خواهر و برادرهای آن نیز ارائه کرد: , , , …. مثلا:

دام «فریب ها» است: , , و غیره. - چنین ضرب کننده هایی تغییر علامت را ارائه ندهید. کاملاً واضح است که برای هر طبیعی: , , . ردیف هایی با فریب ها نه تنها به دانش آموزان با استعداد خاص لغزش می یابد، بلکه هر از گاهی "به خودی خود" در طول راه حل ایجاد می شوند. سری کاربردی.

چگونه یک سری متناوب را برای همگرایی بررسی کنیم؟از آزمون لایب نیتس استفاده کنید. من نمی خواهم در مورد غول فکری آلمانی گوتفرید ویلهلم لایبنیتس چیزی بگویم، زیرا او علاوه بر آثار ریاضی، چندین جلد در مورد فلسفه نیز نوشت. برای مغز خطرناک است.

آزمون لایب نیتس: اگر اعضای یک سری متناوب یکنواختمدول کاهش می یابد، سپس سری همگرا می شود. یا در دو نکته:

2) شرایط سری در قدر مطلق کاهش می یابد: . علاوه بر این، آنها به طور یکنواخت کاهش می یابند.

در صورت تکمیل هر دوشرایط، سپس سری همگرا می شوند.

اطلاعات مختصری در مورد ماژول در دفترچه راهنما آورده شده استفرمول های داغ دوره مدرسهریاضیدانان ، اما برای راحتی یک بار دیگر:

"modulo" به چه معناست؟ ماژول، همانطور که از مدرسه به یاد داریم، علامت منفی را "می خورد". بیایید به ردیف برگردیم. تمام علائم را با یک پاک کن ذهنی پاک کنید و بیایید به اعداد نگاه کنیم. ما آن را خواهیم دید هر بعدیعضو سریال کمترنسبت به قبلی بنابراین، عبارات زیر به همین معنی است:

- اعضای سریال بدون توجه به علامتدر حال کاهش هستند.
- اعضای سریال کاهش می یابد مدول.
- اعضای سریال کاهش می یابد به ارزش مطلق.
– مدولعبارت رایج سری به صفر میل می کند: پایان کمک

حالا بیایید کمی در مورد یکنواختی صحبت کنیم. یکنواختی قوام خسته کننده است.

اعضای سریال کاملا یکنواختکاهش مدول اگر هر عضو بعدی سری باشد مدولکمتر از قبلی: . این سری دارای یکنواختی شدید کاهش است؛ می توان آن را با جزئیات شرح داد:

یا می توان به طور خلاصه بگوییم: هر یک از اعضای بعدی مجموعه مدولکمتر از قبلی: .

اعضای سریال کاملا یکنواخت نیستاگر هر عضو زیر از مدول سری بزرگتر از قبلی نباشد، مدول کاهش می یابد: . بیایید یک سری با فاکتوریل در نظر بگیریم: در اینجا یکنواختی ضعیف وجود دارد، زیرا دو عبارت اول سری از نظر مدول یکسان هستند. یعنی هر کدام از اعضای بعدی سریال مدولنه بیشتر از قبلی: .

تحت شرایط قضیه لایب نیتس، یکنواختی کاهشی باید برآورده شود (مهم نیست که سخت باشد یا غیر دقیق). در این صورت اعضای سریال می توانند حتی برای مدتی مدول افزایش می یابد، اما "دم" سریال لزوما باید به طور یکنواخت در حال کاهش باشد. نیازی به ترس از آنچه انباشته ام نیست، مثال های عملی همه چیز را در جای خود قرار می دهد:

مثال 1سری را برای همگرایی بررسی کنید

اصطلاح رایج این سری شامل یک فاکتور است، به این معنی که شما باید از معیار لایب نیتس استفاده کنید

1) بررسی ردیف برای تناوب. معمولاً در این مرحله از تصمیم، سریال با جزئیات شرح داده می شود و حکم "سریال متناوب است" صادر می شود.

2) آیا شرایط سری در قدر مطلق کاهش می یابد؟ لازم است حد را حل کنیم، که اغلب بسیار ساده است.

- شرایط سری در مدول کاهش نمی یابد. ضمناً دیگر نیازی به بحث در مورد یکنواختی کاهش نیست. نتیجه گیری: سریال از هم جدا می شود.

چگونه بفهمیم چه چیزی برابر است؟ بسیار ساده. همانطور که می دانید، ماژول معایب را از بین می برد، بنابراین برای ایجاد یکی، فقط باید چراغ چشمک زن را از سقف حذف کنید. در این مورد، اصطلاح رایج سری است. ما احمقانه "چراغ چشمک زن" را حذف می کنیم: .

مثال 2 سری را برای همگرایی بررسی کنید

ما از معیار لایب نیتس استفاده می کنیم:

1) سریال متناوب است.

2) - شرایط سری در قدر مطلق کاهش می یابد. هر عضو بعدی سری از نظر قدر مطلق کمتر از قبلی است: بنابراین، کاهش یکنواخت است.

نتیجه گیری: سری همگرا می شود.

همه چیز بسیار ساده خواهد بود - اما این پایان راه حل نیست!

اگر یک سری بر اساس آزمون لایب نیتس همگرا شود، آنگاه نیز گفته می شود که سری به صورت مشروط همگرا می شود.

اگر یک سری متشکل از ماژول ها نیز همگرا شوند، آنگاه می گویند که سری کاملاً همگرا می شود.

بنابراین، مرحله دوم حل یک مشکل معمولی در دستور کار است - مطالعه علامت سری متناوب برای همگرایی مطلق.

تقصیر من نیست - این فقط تئوری سری اعداد است =)

اجازه دهید سری خود را برای همگرایی مطلق بررسی کنیم.
بیایید یک سری از ماژول ها را بسازیم - دوباره به سادگی عاملی را حذف می کنیم که تناوب علائم را تضمین می کند: - واگرا می شود (سری هارمونیک).

بنابراین سری ما مطلقا همگرا نیست.
سریال در دست مطالعه فقط به صورت مشروط همگرا می شود.

توجه داشته باشید که در مثال شماره 1 نیازی به مطالعه همگرایی غیرمطلق نیست، زیرا در مرحله اول به این نتیجه رسیدیم که سری واگرا می شود.

سطل ها، بیل ها، ماشین ها را جمع می کنیم و جعبه شنی را ترک می کنیم تا با چشمان باز از کابین بیل مکانیکی به دنیا نگاه کنیم:

مثال 3 سری ها را برای همگرایی بررسی کنید ما از معیار لایب نیتس استفاده می کنیم:

1)
این سریال متناوب است.

2) - شرایط سری در قدر مطلق کاهش می یابد. هر عضو بعدی سری از نظر مقدار مطلق کمتر از قبلی است: این به این معنی است که کاهش یکنواخت است. نتیجه گیری: سری همگرا می شوند.

با تجزیه و تحلیل پر شدن سری، به این نتیجه می رسیم که در اینجا لازم است از معیار محدود کننده برای مقایسه استفاده کنیم. باز کردن پرانتز در مخرج راحت تر است:

بیایید این سری را با یک سری همگرا مقایسه کنیم. برای مقایسه از معیار محدود کننده استفاده می کنیم.

یک عدد متناهی متفاوت از صفر به دست می آید، به این معنی که سری با سری همگرا می شود. سریال در دست مطالعه کاملاً همگرا می شود.

مثال 4 سری را برای همگرایی بررسی کنید

مثال 5 سری را برای همگرایی بررسی کنید

اینها نمونه هایی هستند که می توانید خودتان تصمیم بگیرید. راه حل کامل و طراحی نمونه در انتهای بخش.

همانطور که می بینید، ردیف های متناوب ساده و خسته کننده هستند! اما برای بستن صفحه عجله نکنید، فقط در چند صفحه ما به موردی نگاه خواهیم کرد که بسیاری را گیج می کند. در این میان چند مثال دیگر برای تمرین و تکرار.

مثال 6 سری را برای همگرایی بررسی کنید

ما از معیار لایب نیتس استفاده می کنیم.
1) سریال متناوب است.
2)
شرایط سری در مدول کاهش می یابد. هر عضو بعدی سری از نظر مقدار مطلق کمتر از قبلی است، به این معنی که کاهش یکنواخت است. نتیجه گیری: سری همگرا می شود.

لطفا توجه داشته باشید که من اعضای سریال را با جزئیات توضیح نداده ام. همیشه توصیه می شود آنها را توصیف کنید، اما به دلیل تنبلی غیرقابل مقاومت در موارد "سخت"، می توانید خود را به عبارت "سریال در علامت متناوب است" محدود کنید. ضمناً نیازی به رسیدگی رسمی به این نکته نیست. ما همیشه بررسی می کنیم(حداقل از نظر ذهنی) که سریال در واقع متناوب است. یک نگاه سریع با شکست مواجه می شود و یک اشتباه به طور خودکار انجام می شود. "فریب ها" را به خاطر بسپارید، اگر آنها وجود دارند، باید از شر آنها خلاص شوید و یک سریال "معمولی" با اصطلاحات مثبت دریافت کنید.

ظرافت دوم مربوط به عبارت یکنواختی است که آن را نیز تا حد امکان کوتاه کردم. شما می توانید این کار را انجام دهید و تقریباً همیشه وظیفه شما پذیرفته می شود. من چیز کاملاً بدی خواهم گفت - شخصاً اغلب در مورد یکنواختی سکوت می کنم و چنین عددی می گذرد. اما آماده باشید که همه چیز را با جزئیات توصیف کنید، تا زنجیره های دقیق نابرابری ها (به مثال ابتدای درس مراجعه کنید). علاوه بر این، گاهی اوقات یکنواختی سختگیرانه نیست و این نیز نیاز به نظارت دارد تا کلمه «کمتر» با کلمه «نه بیشتر» جایگزین شود.

ما سری را برای همگرایی مطلق بررسی می کنیم:

بدیهی است که باید از تست کوشی رادیکال استفاده کنید:

بنابراین، مجموعه همگرا می شود. سریال در دست مطالعه کاملاً همگرا می شود.

مثال 7سری را برای همگرایی بررسی کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است.اغلب ردیف های متناوب وجود دارد که باعث ایجاد مشکل می شود.

مثال 8سری را برای همگرایی بررسی کنید

ما از معیار لایب نیتس استفاده می کنیم:
1) سریال متناوب است.

نکته این است که هیچ تکنیک استاندارد و روزمره ای برای حل چنین محدودیت هایی وجود ندارد. این حد به کجا می رود؟ به صفر تا بی نهایت؟ آنچه در اینجا مهم است این است که چه چیزی در بی نهایت سریعتر رشد می کند- صورت یا مخرج

توجه: مفهوم ترتیب رشد یک تابع به طور مفصل در مقاله پوشش داده شده استروش های حل حدود . ما داریم محدودیت های توالی، اما این ماهیت را تغییر نمی دهد.

اگر شمارنده در سریعتر از فاکتوریل رشد کند، پس . اگر در بی نهایت، فاکتوریل سریعتر از صورت‌گر رشد کند، برعکس، حد را به صفر می‌کشد: . یا شاید این حد برابر با عددی غیر صفر باشد؟

بیایید سعی کنیم چند ترم اول این مجموعه را یادداشت کنیم:
می توانید چند جمله ای درجه هزارم را جایگزین کنید، این دوباره وضعیت را تغییر نمی دهد - دیر یا زود فاکتوریل همچنان از چنین چند جمله ای وحشتناک "سبقت می گیرد". فاکتوریل بیشتر نظم بالارشداز هر توالی قدرتی

- فاکتوریل در حال رشد سریعتر از محصول از هر مقداردنباله های نمایی و توانی (مورد ما).

– هریک دنباله نمایی سریعتر از هر توالی قدرتی رشد می کند، به عنوان مثال: , . دنباله نمایی مرتبه رشد بالاتراز هر توالی قدرتی مشابه فاکتوریل، دنباله نمایی حاصل ضرب هر تعداد از هر توالی توانی یا چندجمله ای را "کشش" می کند: .

- آیا چیزی "سردتر" از فاکتوریل وجود دارد؟ بخور! یک دنباله نمایی توان ("en" به توان "en") سریعتر از فاکتوریل رشد می کند. در عمل نادر است، اما اطلاعات اضافی نخواهد بود. پایان کمک

بنابراین، نکته دوم مطالعه (آیا هنوز این را به خاطر دارید؟ =)) را می توان به صورت زیر نوشت:
2) چون ترتیب رشد بالاتر از .
شرایط سری کاهش در مدول، از یک عدد شروع می شوددر این حالت، هر عضو بعدی سری از نظر مقدار مطلق کمتر از قبلی است، بنابراین کاهش یکنواخت است.

نتیجه گیری: سری همگرا می شود.

در اینجا دقیقاً مورد عجیبی است که شرایط سریال برای اولین بار در مقدار مطلق افزایش می یابد، به همین دلیل است که ما نظر اولیه اشتباهی در مورد حد داشتیم. ولی، شروع از مقداری "en"، فاکتوریل توسط صورت سبقت گرفته می شود و "دم" سری به طور یکنواخت کاهش می یابد که اساساً برای تحقق شرایط قضیه لایب نیتس مهم است. کشف این "en" دقیقاً چه چیزی است بسیار دشوار است.

طبق قضیه مربوطه، از همگرایی مطلق سری، همگرایی شرطی سری به دست می آید. نتیجه: سری مطالعاتی کاملاً همگرا می شود.

و در نهایت، چند مثال برای شما که خودتان تصمیم بگیرید. یکی از همان اپرا (راهنما را دوباره بخوانید)، اما ساده تر. یکی دیگر از خوش‌خوراک‌ها، تثبیت علامت جدایی‌ناپذیر همگرایی است.

مثال 9سری را برای همگرایی بررسی کنید

مثال 10سری را برای همگرایی بررسی کنید

پس از مطالعه با کیفیت بالای سری های عددی مثبت و متناوب، با وجدان راحت می توانید به ادامه مطلب بروید سری کاربردی، که کمتر از یکنواختی و یکنواختی آن ها جالب نیست.

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 4: ما از معیار لایب نیتس استفاده می کنیم:

1) این سری متناوب است.
2)
شرایط سری در مدول کاهش نمی یابد. نتیجه گیری: سریال از هم جدا می شود.. در این حالت، هر عضو بعدی سری از نظر مقدار مطلق کمتر از قبلی است، بنابراین کاهش یکنواخت است.

بنابراین، سری همراه با انتگرال نامناسب مربوطه واگرا می شود. سریال در دست مطالعه فقط به صورت مشروط همگرا می شود.

این مقاله اطلاعات لازم را برای حل تقریباً هر مثالی در مورد موضوع سری اعداد، از یافتن مجموع یک سری گرفته تا بررسی آن برای همگرایی، جمع آوری و ساختار می دهد.

بررسی مقاله.

بیایید با تعاریف سری های مثبت و متناوب و مفهوم همگرایی شروع کنیم. در مرحله بعد، سری های استاندارد مانند سری هارمونیک، سری هارمونیک تعمیم یافته را در نظر می گیریم و فرمول برای یافتن مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش را به یاد می آوریم. پس از این، به سراغ ویژگی‌های سری همگرا می‌رویم، به شرط لازم برای همگرایی سری می‌پردازیم و معیارهای کافی برای همگرایی سری را بیان می‌کنیم. ما تئوری را با راه حل هایی برای مثال های معمولی با توضیحات مفصل رقیق می کنیم.

پیمایش صفحه.

تعاریف و مفاهیم اساسی

اجازه دهید یک دنباله اعداد در آن داشته باشیم .

در اینجا نمونه ای از دنباله اعداد آورده شده است: .

سری شمارهمجموع عبارت های یک دنباله عددی از فرم است .

به عنوان مثال سری اعدادشما می توانید مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش را با مخرج q = -0.5 بدست آورید: .

تماس گرفت عضو مشترک سری اعدادیا k امین عضو سری.

برای مثال قبلی، عبارت کلی سری اعداد به شکل .

مجموع جزئی یک سری اعدادمجموع شکل است که n مقداری است عدد طبیعی. nامین مجموع جزئی یک سری اعداد نیز نامیده می شود.

مثلا چهارمین مجموع جزئی سری وجود دارد .

مقادیر جزئی یک دنباله بی نهایت تشکیل دهد مقادیر جزئیسری اعداد

برای سری ما، nامین مجموع جزئی با استفاده از فرمول مجموع n جمله اول یک پیشروی هندسی یافت می شود. ، یعنی دنباله ای از مجموع جزئی را خواهیم داشت: .

سری اعداد نامیده می شود همگرا، اگر برای دنباله مجموع جزئی حد محدودی وجود داشته باشد. اگر حد دنباله مجموع جزئی یک سری اعداد وجود نداشته باشد یا نامحدود باشد، آن سری نامیده می شود. واگرا.

مجموع یک سری اعداد همگراحد دنباله مجموع جزئی آن نامیده می شود، یعنی .

در مثال ما، بنابراین، سری همگرا می شود و مجموع آن برابر با شانزده سوم است: .

یک مثال از یک سری واگرا مجموع یک تصاعد هندسی با مخرج بزرگتر از یک است: . nامین مجموع جزئی با عبارت تعیین می شود و حد مجموع جزئی بی نهایت است: .

مثال دیگری از سری اعداد واگرا مجموع شکل است . در این مورد، nامین مجموع جزئی را می توان به صورت محاسبه کرد. حد مجموع جزئی نامحدود است .

جمع فرم تماس گرفت سری اعداد هارمونیک.

جمع فرم ، جایی که s مقداری واقعی است، فراخوانی می شود تعمیم با سری اعداد هارمونیک.

تعاریف فوق برای توجیه عبارات بسیار پرکاربرد زیر کافی است؛ توصیه می کنیم آنها را به خاطر بسپارید.

سری هارمونیک واگرا است.

اجازه دهید واگرایی سری هارمونیک را ثابت کنیم.

بیایید فرض کنیم که سریال همگرا باشد. سپس یک حد محدود برای مجموع جزئی آن وجود دارد. در این صورت می توانیم و را بنویسیم که ما را به برابری می رساند .

از طرف دیگر،

نابرابری های زیر بدون شک هستند. بدین ترتیب، . نابرابری حاصل به ما نشان می دهد که برابری نمی توان به دست آورد، که با فرض ما در مورد همگرایی سری هارمونیک در تضاد است.

نتیجه گیری: سری هارمونیک واگرا می شود.

مجموع پیشرفت هندسی نوع با مخرج q یک سری عددی همگرا IF و یک سری واگرا برای .

بیایید آن را ثابت کنیم.

می دانیم که مجموع n جمله اول یک پیشروی هندسی با فرمول بدست می آید .

وقتی منصفانه

که نشان دهنده همگرایی سری اعداد است.

برای q = 1 سری اعداد را داریم . مجموع جزئی آن به صورت , و حد مجموع جزئی بی نهایت است ، که نشان دهنده واگرایی سریال در این مورد است.

اگر q = -1 باشد، سری اعداد شکل خواهد گرفت . مجموع جزئی برای n فرد و برای n زوج ارزش دارند. از این می توان نتیجه گرفت که هیچ محدودیتی برای مبالغ جزئی وجود ندارد و سری ها از هم جدا می شوند.

وقتی منصفانه

که نشان دهنده واگرایی سری اعداد است.

به طور کلی، سری هارمونیک در s > 1 همگرا می شود و در s واگرا می شود.

اثبات

برای s = 1 یک سری هارمونیک به دست می آوریم و در بالا واگرایی آن را تعیین می کنیم.

در s نابرابری برای همه k طبیعی برقرار است. با توجه به واگرایی سری هارمونیک، می توان استدلال کرد که دنباله مجموع جزئی آن نامحدود است (چون حد محدودی وجود ندارد). سپس دنباله مجموع جزئی یک سری اعداد نامحدودتر است (هر عضو این سری بزرگتر از عضو متناظر سری هارمونیک است)؛ بنابراین، سری هارمونیک تعمیم یافته به صورت s واگرا می شود.

باقی مانده است که همگرایی سری برای s > 1 ثابت شود.

بیایید تفاوت را بنویسیم:

بدیهی است، پس

اجازه دهید نابرابری حاصل را برای n = 2، 4، 8، 16، … بنویسیم.

با استفاده از این نتایج می توانید با سری اعداد اصلی کارهای زیر را انجام دهید:

اصطلاح مجموع یک تصاعد هندسی است که مخرج آن . از آنجایی که ما مورد s > 1 را در نظر می گیریم، پس. از همین رو
. بنابراین، دنباله مجموع جزئی یک سری هارمونیک تعمیم یافته برای s> 1 در حال افزایش است و در عین حال از بالا با مقدار محدود می شود، بنابراین دارای یک حد است که نشان دهنده همگرایی سری است. اثبات کامل است.

سری اعداد نامیده می شود علامت مثبت، اگر همه شرایط آن مثبت باشد، یعنی .

سری اعداد نامیده می شود سیگنالینگ، در صورتی که نشانه های اعضای مجاور آن متفاوت باشد. یک سری اعداد متناوب را می توان به صورت نوشتاری نوشت یا ، جایی که .

سری اعداد نامیده می شود علامت متناوب، اگر شامل تعداد نامتناهی از دو جمله مثبت و منفی باشد.

یک سری اعداد متناوب یک مورد خاص از یک سری اعداد متناوب است.

ردیف ها

به ترتیب مثبت، متناوب و متناوب هستند.

برای یک سری متناوب، مفهوم همگرایی مطلق و مشروط وجود دارد.

کاملا همگرا، اگر یک سری از مقادیر مطلق اعضای آن همگرا شود، یعنی یک سری عدد مثبت همگرا شود.

مثلا سری اعداد و کاملاً همگرا هستند، زیرا سری همگرا هستند ، که مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است.

یک سری متناوب نامیده می شود مشروط همگرا، اگر سری واگرا شود و سری همگرا شوند.

نمونه ای از سری اعداد مشروط همگرا سری است . سری شماره ، متشکل از مقادیر مطلق عبارات سری اصلی، واگرا، زیرا هارمونیک است. در عین حال، سری اصلی همگرا است که به راحتی با استفاده از . بنابراین، علامت عددی یک سری متناوب است مشروط همگرا

ویژگی های سری اعداد همگرا

مثال.

همگرایی سری اعداد را ثابت کنید.

راه حل.

بیایید سریال را به شکل دیگری بنویسیم . سری اعداد همگرا می شوند، زیرا سری هارمونیک تعمیم یافته برای s > 1 همگرا هستند و به دلیل خاصیت دوم سری اعداد همگرا، سری با ضریب عددی نیز همگرا می شوند.

مثال.

آیا سری اعداد همگرا هستند؟

راه حل.

بیایید سری اصلی را تغییر دهیم: . بنابراین، ما مجموع دو سری عددی و، را به دست آورده‌ایم و هر کدام از آنها همگرا می‌شوند (به مثال قبلی مراجعه کنید). در نتیجه، به موجب ویژگی سوم سری اعداد همگرا، سری اصلی نیز همگرا می شوند.

مثال.

همگرایی یک سری اعداد را ثابت کنید و مقدار آن را محاسبه کنید.

راه حل.

این سری اعداد را می توان به عنوان تفاوت بین دو سری نشان داد:

هر یک از این سری‌ها مجموع یک پیشروی هندسی بی‌نهایت رو به کاهش را نشان می‌دهند و بنابراین همگرا هستند. سومین ویژگی سری همگرا به ما امکان می دهد ادعا کنیم که سری اعداد اصلی همگرا هستند. بیایید مقدار آن را محاسبه کنیم.

جمله اول سری یک است و مخرج پیشرفت هندسی مربوطه برابر با 0.5 است، بنابراین، .

جمله اول سری 3 است و مخرج پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش 1/3 است، بنابراین .

بیایید از نتایج به دست آمده برای یافتن مجموع سری اعداد اصلی استفاده کنیم:

شرط لازم برای همگرایی یک سری.

اگر یک سری اعداد همگرا شود، حد k امین جمله آن برابر با صفر است: .

هنگام بررسی هر سری اعداد برای همگرایی، اولین چیزی که باید بررسی شود تحقق شرط همگرایی لازم است. عدم تحقق این شرط نشان دهنده واگرایی سری اعداد است، یعنی اگر، آنگاه سری واگرا می شود.

از طرف دیگر، باید درک کنید که این شرط کافی نیست. یعنی تحقق برابری نشان دهنده همگرایی سری اعداد نیست. به عنوان مثال، برای یک سری هارمونیک شرط لازم برای همگرایی برآورده می شود و سری واگرا می شود.

مثال.

یک سری اعداد را برای همگرایی بررسی کنید.

راه حل.

بیایید شرط لازم برای همگرایی یک سری اعداد را بررسی کنیم:

حد جمله n ام سری اعداد برابر با صفر نیست، بنابراین، سری واگرا می شود.

نشانه های کافی از همگرایی یک سری مثبت.

هنگام استفاده از ویژگی های کافی برای مطالعه سری اعداد برای همگرایی، دائماً با مشکلاتی مواجه می شوید، بنابراین توصیه می کنیم در صورت داشتن هر گونه مشکل به این بخش مراجعه کنید.

شرط لازم و کافی برای همگرایی یک سری اعداد مثبت.

برای همگرایی یک سری اعداد مثبت لازم و کافی است که دنباله مجموع جزئی آن محدود شود.

بیایید با نشانه های مقایسه سریال ها شروع کنیم. ماهیت آنها در مقایسه سری عددی مورد مطالعه با سری هایی است که همگرایی یا واگرایی آن مشخص است.

نشانه های اول، دوم و سوم مقایسه.

اولین نشانه مقایسه سریال.

بگذارید و دو سری عددی مثبت باشند و نابرابری برای همه k = 1, 2, 3, ... برقرار است سپس همگرایی سری دلالت بر همگرایی و واگرایی سری دلالت بر واگرایی .

معیار مقایسه اول اغلب استفاده می شود و ابزار بسیار قدرتمندی برای مطالعه سری اعداد برای همگرایی است. مشکل اصلی انتخاب یک سری مناسب برای مقایسه است. یک سری برای مقایسه معمولا (اما نه همیشه) به گونه ای انتخاب می شود که توان k امین جمله آن برابر با تفاوت بین توان های صورتگر و مخرج k امین عبارت سری عددی مورد مطالعه باشد. به عنوان مثال، اجازه دهید تفاوت بین مصارف و مخرج برابر 2 – 3 = -1 باشد، بنابراین برای مقایسه، یک سری با عبارت k، یعنی یک سری هارمونیک انتخاب می کنیم. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال.

ایجاد همگرایی یا واگرایی یک سری.

راه حل.

از آنجایی که حد جمله کلی سری برابر با صفر است، پس شرط لازم برای همگرایی سری برقرار است.

به راحتی می توان فهمید که نابرابری برای همه k طبیعی صادق است. می دانیم که سری هارمونیک واگرا است؛ بنابراین، با اولین معیار مقایسه، سری اصلی نیز واگرا است.

مثال.

سری اعداد را برای همگرایی بررسی کنید.

راه حل.

پيش نيازهمگرایی سری اعداد راضی است، زیرا . نابرابری آشکار است برای هر مقدار طبیعی k. سری همگرا می شود، زیرا سری هارمونیک تعمیم یافته برای s > 1 همگرا است. بنابراین، اولین علامت مقایسه سری ها به ما امکان می دهد همگرایی سری اعداد اصلی را بیان کنیم.

مثال.

همگرایی یا واگرایی یک سری اعداد را تعیین کنید.

راه حل.

بنابراین شرط لازم برای همگرایی سری اعداد برقرار است. کدام ردیف را برای مقایسه انتخاب کنم؟ یک سری اعداد خودش را پیشنهاد می کند و برای تصمیم گیری در مورد s، دنباله اعداد را به دقت بررسی می کنیم. شرایط یک دنباله اعداد به سمت بی نهایت افزایش می یابد. بنابراین، با شروع از مقداری N (یعنی از N = 1619)، شرایط این دنباله بزرگتر از 2 خواهد بود. با شروع از این عدد N، نابرابری درست است. یک سری اعداد به دلیل اولین ویژگی سری همگرا همگرا می شود، زیرا از یک سری همگرا با کنار گذاشتن اولین عبارت N - 1 به دست می آید. بنابراین، با معیار اول مقایسه، سری همگرا است و به موجب اولین خاصیت سری اعداد همگرا، سری نیز همگرا خواهند شد.

دومین نشانه مقایسه.

اجازه دهید و سری اعداد مثبت باشد. اگر ، پس همگرایی سری دلالت بر همگرایی . اگر، پس واگرایی سری اعداد دلالت بر واگرایی .

نتیجه.

اگر و، پس همگرایی یک سری دلالت بر همگرایی سری دیگر دارد و واگرایی دلالت بر واگرایی دارد.

ما سری ها را برای همگرایی با استفاده از معیار مقایسه دوم بررسی می کنیم. به عنوان یک سری ما یک سری همگرا می گیریم. بیایید حد نسبت kامین سری اعداد را پیدا کنیم:

بنابراین، طبق معیار دوم مقایسه، از همگرایی یک سری اعداد، همگرایی سری اصلی به دست می آید.

مثال.

همگرایی یک سری اعداد را بررسی کنید.

راه حل.

اجازه دهید شرایط لازم برای همگرایی سری را بررسی کنیم . شرط برقرار است. برای اعمال معیار مقایسه دوم، سری هارمونیک را در نظر می گیریم. بیایید حد نسبت kth عبارت را پیدا کنیم:

در نتیجه، از واگرایی سری هارمونیک، واگرایی سری اصلی طبق معیار دوم مقایسه به دست می آید.

برای اطلاع، معیار سوم مقایسه سری ها را ارائه می کنیم.

سومین نشانه مقایسه.

اجازه دهید و سری اعداد مثبت باشد. اگر شرط از مقداری N برآورده شود، همگرایی سری دلالت بر همگرایی و واگرایی سری دلالت بر واگرایی دارد.

علامت دالامبر

اظهار نظر.

آزمون دالامبر در صورتی معتبر است که حد نامحدود باشد، یعنی اگر ، سپس سری همگرا می شود اگر ، سپس سریال از هم جدا می شود.

اگر، پس آزمون دالامبر اطلاعاتی در مورد همگرایی یا واگرایی سری ارائه نمی دهد و تحقیقات بیشتری لازم است.

مثال.

یک سری اعداد را برای همگرایی با استفاده از معیار d'Alembert بررسی کنید.

راه حل.

بیایید تحقق شرط لازم برای همگرایی یک سری اعداد را بررسی کنیم؛ حد را با استفاده از:

شرط برقرار است.

بیایید از علامت d'Alembert استفاده کنیم:

بنابراین، مجموعه همگرا می شود.

علامت کوشی رادیکال

بگذارید یک سری عدد مثبت باشد. اگر، سپس سری اعداد همگرا می شوند، اگر، آنگاه سری واگرا می شود.

اظهار نظر.

آزمون رادیکال کوشی در صورتی معتبر است که حد نامحدود باشد، یعنی اگر ، سپس سری همگرا می شود اگر ، سپس سریال از هم جدا می شود.

اگر، آزمون کوشی رادیکال اطلاعاتی در مورد همگرایی یا واگرایی سری ارائه نمی دهد و تحقیقات بیشتری لازم است.

تشخیص مواردی که در آن بهترین روش استفاده از آزمون کوشی رادیکال است، معمولاً نسبتاً آسان است. یک مورد معمول زمانی است که عبارت کلی یک سری اعداد یک عبارت توان نمایی باشد. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال.

یک سری اعداد مثبت را برای همگرایی با استفاده از آزمون کوشی رادیکال بررسی کنید.

راه حل.

. با استفاده از آزمون کوشی رادیکال به دست می آوریم .

بنابراین، مجموعه همگرا می شود.

مثال.

آیا سری اعداد همگرا هستند؟ .

راه حل.

اجازه دهید از آزمون کوشی رادیکال استفاده کنیم بنابراین، سری اعداد همگرا می شوند.

تست کوشی انتگرال.

بگذارید یک سری عدد مثبت باشد. بیایید تابعی از آرگومان پیوسته y = f(x) مشابه تابع ایجاد کنیم. فرض کنید تابع y = f(x) مثبت، پیوسته و نزولی در بازه، جایی که ) باشد. سپس در صورت همگرایی انتگرال نامناسبسری اعداد مورد مطالعه همگرا می شوند. اگر انتگرال نامناسب واگرا شود، سری اصلی نیز واگرا می شود.

هنگام بررسی کاهش تابع y = f(x) در یک بازه، نظریه بخش ممکن است برای شما مفید باشد.

مثال.

یک سری اعداد را با شرایط مثبت برای همگرایی بررسی کنید.

راه حل.

شرط لازم برای همگرایی سریال برآورده شده است، زیرا . بیایید عملکرد را در نظر بگیریم. مثبت، پیوسته و در فاصله زمانی کاهش می یابد. تداوم و مثبت بودن این تابع بدون شک است، اما اجازه دهید با جزئیات بیشتر در مورد کاهش صحبت کنیم. بیایید مشتق را پیدا کنیم:
. در بازه منفی است، بنابراین، تابع در این بازه کاهش می یابد.

نشانه های همگرایی سری.
علامت دالامبر نشانه های کوشی

کار، کار - و درک بعداً خواهد آمد
جی.ال. دالامبر

شروع را به همه تبریک می گویم سال تحصیلی! امروز 1 سپتامبر است، و به افتخار تعطیلات، تصمیم گرفتم خوانندگان را با آنچه مدتها منتظر بودید و مشتاق دانستن آن بودید آشنا کنم - نشانه های همگرایی سری های عددی مثبت. تعطیلات اول سپتامبر و تبریک من همیشه مرتبط است، اشکالی ندارد اگر واقعاً تابستان است، شما اکنون برای سومین بار امتحان را دوباره امتحان می کنید، اگر از این صفحه بازدید کرده اید مطالعه کنید!

برای کسانی که تازه شروع به مطالعه مجموعه ها کرده اند، توصیه می کنم ابتدا مقاله را مطالعه کنند سری اعداد برای آدمک ها. در واقع این گاری در ادامه ضیافت است. بنابراین، امروز در درس به مثال ها و راه حل هایی در مورد موضوعات نگاه خواهیم کرد:

یکی از علائم مقایسه رایج که در مثال های عملی یافت می شود، علامت دالامبر است. علائم کوشی کمتر رایج هستند، اما بسیار محبوب هستند. مثل همیشه، سعی خواهم کرد مطالب را ساده، قابل دسترس و قابل فهم ارائه کنم. موضوع دشوارترین موضوع نیست و همه کارها تا حدی استاندارد هستند.

آزمون همگرایی دالامبر

ژان لرون d'Alembert ریاضیدان مشهور فرانسوی قرن هجدهم بود. به طور کلی، دالامبر در معادلات دیفرانسیل تخصص داشت و بر اساس تحقیقات خود به مطالعه بالستیک پرداخت تا گلوله های توپ اعلیحضرت بهتر پرواز کنند. در عین حال ، من سری اعداد را فراموش نکردم؛ بیهوده نبود که صفوف سربازان ناپلئون بعداً به وضوح به هم نزدیک شدند و از هم جدا شدند.

1) مخرج شامل یک چند جمله ای است.
2) چند جمله ای ها هم در صورت و هم در مخرج هستند.
3) یک یا هر دو چند جمله ای می توانند زیر ریشه باشند.
4) البته ممکن است چند جمله ای ها و ریشه های بیشتری وجود داشته باشد.

پیش نیازهای اصلی برای استفاده از آزمون d'Alembert به شرح زیر است:

1) اصطلاح متداول سریال (پر کردن سریال) تعدادی عدد را تا حدی شامل می شود، مثلاً، و غیره. علاوه بر این ، اصلاً مهم نیست که این چیز در کجا قرار دارد ، در صورت یا مخرج - مهم این است که در آنجا وجود داشته باشد.

2) اصطلاح رایج سری شامل فاکتوریل است. ما شمشیرها را با فاکتوریل در درس دنباله شماره و حد آن تلاقی کردیم. با این حال، باز کردن سفره‌ای که خود مونتاژ شده را دوباره باز کنید، ضرری ندارد:

…

…

علامت دالامبر: بیایید در نظر بگیریم سری اعداد مثبت. اگر محدودیتی در نسبت ترم بعدی به دوره قبلی وجود داشته باشد: ، پس:
الف) هنگامی که ردیف همگرا می شود
ب) هنگامی که ردیف واگرا می شود
ج) چه زمانی علامت جواب نمی دهد. باید از علامت دیگری استفاده کنید. بیشتر اوقات، زمانی که آنها سعی می کنند آزمون دالامبر را در جایی که لازم است از آزمون مقایسه محدود کننده استفاده کنند، به دست می آید.

برای کسانی که هنوز با محدودیت ها یا درک نادرست از حدود مشکل دارند به درس مراجعه کنند محدودیت ها. نمونه هایی از راه حل ها. بدون درک محدودیت و توانایی آشکارسازی عدم قطعیت، متأسفانه، نمی توان بیشتر پیش رفت.

و اکنون نمونه های مورد انتظار.

مثال 1

می بینیم که در اصطلاح کلی مجموعه ای که داریم، و این یک پیش نیاز مطمئن برای استفاده از آزمون d'Alembert است. ابتدا، راه حل کامل و طرح نمونه، نظرات در زیر.

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

همگرا می شود.
(1) نسبت عضو بعدی سری به قبلی را می سازیم: . از این شرط می بینیم که اصطلاح کلی سریال است. به منظور به دست آوردن عضو بعدی مجموعه شما نیاز دارید به جای جایگزین کردن: .
(2) از کسری چهار طبقه خلاص می شویم. اگر تجربه ای در مورد راه حل دارید، می توانید از این مرحله صرف نظر کنید.
(3) پرانتزها را در صورت حساب باز کنید. در مخرج چهار را از توان خارج می کنیم.
(4) کاهش دهید. ثابت فراتر از علامت حد را می گیریم. در صورت‌حساب، اصطلاحات مشابه را در پرانتز ارائه می‌کنیم.
(5) عدم قطعیت به روش استاندارد حذف می شود - با تقسیم صورت و مخرج بر "en" به بالاترین توان.
(6) ما اعداد را به صورت ترم بر مخرج تقسیم می کنیم و عبارت هایی را نشان می دهیم که تمایل به صفر دارند.
(7) پاسخ را ساده می‌کنیم و یادداشت می‌کنیم که با این نتیجه که طبق معیار D'Alembert، سری مورد مطالعه همگرا می‌شوند.

مثال 2

بیایید یک سری مشابه را برداریم و آن را برای همگرایی بررسی کنیم

ابتدا راه حل کامل، سپس نظرات:

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

(1) ما رابطه را ایجاد می کنیم.

(3) عبارت را در نظر بگیرید در صورت و عبارت در مخرج. می بینیم که در صورت حساب باید پرانتزها را باز کنیم و آنها را به توان چهارم برسانیم: که مطلقاً نمی خواهیم انجام دهیم. و برای کسانی که با دوجمله ای نیوتن آشنایی ندارند، این کار حتی دشوارتر خواهد بود. بیایید درجات بالاتر را تجزیه و تحلیل کنیم: اگر براکت ها را در بالا باز کنیم ، پس از آن مدرک ارشد می گیریم. در زیر همین مدرک ارشد را داریم: . با قیاس با مثال قبلی، بدیهی است که هنگام تقسیم عدد و مخرج بر جمله، در نهایت به یک در حد می رسیم. یا به قول ریاضیدانان چند جمله ای ها و - همان ترتیب رشد. بنابراین، ترسیم این رابطه کاملاً ممکن است با یک مداد ساده و بلافاصله نشان می دهد که این چیز در حال تمایل به یکی است. ما با جفت دوم چند جمله ای ها به همین ترتیب برخورد می کنیم: و , آنها نیز همان ترتیب رشد، و نسبت آنها به وحدت گرایش دارد.

در واقع، چنین «هک»ی می‌توانست در مثال شماره 1 انجام شود، اما برای چند جمله‌ای درجه 2، چنین راه‌حلی هنوز به‌نوعی بی‌وقار به نظر می‌رسد. من شخصاً این کار را انجام می دهم: اگر چند جمله ای (یا چند جمله ای) درجه اول یا دوم وجود داشته باشد، از روش "طولانی" برای حل مثال 1 استفاده می کنم. اگر با چند جمله ای درجه 3 یا بالاتر مواجه شدم، از روش "طولانی" استفاده می کنم. روش توربو مشابه مثال 2.

مثال 3

سری را برای همگرایی بررسی کنید

بیایید به مثال های معمولی با فاکتوریل نگاه کنیم:

مثال 4

سری را برای همگرایی بررسی کنید

بنابراین، سری تحت مطالعه واگرا می شود.
(1) ما رابطه را ایجاد می کنیم. دوباره تکرار می کنیم. طبق شرط، اصطلاح رایج این سری است: . برای دریافت ترم بعدی این مجموعه، در عوض باید جایگزین کنید، بدین ترتیب: .
(2) از کسری چهار طبقه خلاص می شویم.
(3) هفت را از درجه جدا کنید. ما فاکتوریل ها را با جزئیات توضیح می دهیم. چگونه این کار را انجام دهیم - ابتدای درس یا مقاله مربوط به دنباله اعداد را ببینید.
(4) ما هر چیزی را که می توان برش داد می بریم.
(5) ثابت را فراتر از علامت حد حرکت می کنیم. پرانتزها را در صورت حساب باز کنید.
(6) ما عدم قطعیت را به روش استاندارد حذف می کنیم - با تقسیم صورت و مخرج بر "en" به بالاترین توان.

مثال 5

سری را برای همگرایی بررسی کنید

حل کامل و طراحی نمونه در پایان درس

مثال 6

سری را برای همگرایی بررسی کنید

از بسط می بینیم که هر عضو بعدی سری یک عامل اضافی به مخرج اضافه می کند، بنابراین اگر عضو مشترک سری باشد. ، سپس عضو بعدی مجموعه:
. اینجاست که آنها اغلب به طور خودکار اشتباه می کنند و رسماً طبق الگوریتمی که می نویسند

یک نمونه راه حل ممکن است به شکل زیر باشد:

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

علامت رادیکال کوشی

آگوستین لوئی کوشی یک ریاضیدان فرانسوی حتی مشهورتر است. هر دانشجوی مهندسی می تواند بیوگرافی کوشی را به شما بگوید. در زیباترین رنگ ها. تصادفی نیست که این نام در طبقه اول برج ایفل حک شده است.

آزمون همگرایی کوشی برای سری اعداد مثبت تا حدودی شبیه به آزمون دالامبر است که در مورد آن صحبت شد.

نشانه کوشی رادیکال:در نظر بگیریم سری اعداد مثبت. اگر محدودیتی وجود دارد: , پس:
الف) هنگامی که ردیف همگرا می شود. به طور خاص، این مجموعه در .
ب) هنگامی که ردیف واگرا می شود. به طور خاص، این سریال در .
ج) چه زمانی علامت جواب نمی دهد. باید از علامت دیگری استفاده کنید. جالب است بدانید که اگر تست کوشی پاسخی به سوال همگرایی یک سری به ما ندهد، تست دالامبر هم جوابی نخواهد داد. اما اگر آزمون دالامبر جوابی ندهد، تست کوشی ممکن است «کار کند». یعنی علامت کوشی از این نظر نشانه قوی تری است.

چه زمانی باید از علامت کوشی رادیکال استفاده کرد؟تست کوشی رادیکال معمولاً در مواردی استفاده می شود که ریشه "خوب" از یک عضو مشترک سری استخراج شود. به عنوان یک قاعده، این فلفل در درجه است که بستگی دارد. موارد عجیب و غریب نیز وجود دارد، اما ما نگران آنها نخواهیم بود.

مثال 7

سری را برای همگرایی بررسی کنید

ما می بینیم که کسری کاملاً تحت یک توان بسته به "en" است، به این معنی که باید از آزمون کوشی رادیکال استفاده کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه واگرا می شود.

(1) اصطلاح رایج سری را در زیر ریشه فرمول بندی می کنیم.

(2) ما همان چیز را فقط بدون ریشه با استفاده از خاصیت درجه بازنویسی می کنیم.
(3) در اندیکاتور، صورت را بر مخرج ترم تقسیم می کنیم، که نشان می دهد که
(4) در نتیجه عدم قطعیت داریم. در اینجا می توانید راه طولانی را طی کنید: مکعب، مکعب، سپس صورت و مخرج را بر مکعب "en" تقسیم کنید. اما در این مورد راه حل مؤثرتری وجود دارد: این تکنیک را می توان مستقیماً تحت درجه ثابت استفاده کرد. برای حذف عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر (بالاترین توان چندجمله ای ها) تقسیم کنید.

(5) ما تقسیم بندی ترم به ترم را انجام می دهیم و عبارت هایی را نشان می دهیم که تمایل به صفر دارند.
(6) ما پاسخ را به ذهن می آوریم، آنچه را که داریم علامت گذاری می کنیم و نتیجه می گیریم که سریال از هم جدا می شود.

در اینجا یک مثال ساده تر برای شما وجود دارد که می توانید آن را به تنهایی حل کنید:

مثال 8

سری را برای همگرایی بررسی کنید

و چند مثال معمولی دیگر.

حل کامل و طراحی نمونه در پایان درس

مثال 9

سری را برای همگرایی بررسی کنید
ما از آزمون کوشی رادیکال استفاده می کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

(1) عبارت مشترک سری را زیر ریشه قرار دهید.

(2) ما همان چیزی را بازنویسی می کنیم، اما بدون ریشه، در حالی که پرانتزها را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری باز می کنیم: .
(3) در اندیکاتور، صورت را بر مخرج ترم تقسیم می کنیم و نشان می دهیم که .
(4) عدم قطعیت فرم به دست می آید و در اینجا نیز می توان مستقیماً تحت درجه تقسیم را انجام داد. اما با یک شرط:ضرایب توان های بالاتر چند جمله ای ها باید متفاوت باشد. طبقه ما متفاوت است (5 و 6)، و بنابراین امکان (و ضروری) تقسیم هر دو طبقه به . اگر این ضرایب همان هستندبه عنوان مثال (1 و 1): ، پس چنین ترفندی کار نمی کند و باید از آن استفاده کنید دومین محدودیت فوق العاده. اگر به خاطر داشته باشید، در پاراگراف آخر مقاله به این نکات ظریف پرداخته شد روش های حل حدود.

(5) ما در واقع تقسیم بندی ترم به ترم را انجام می دهیم و نشان می دهیم که کدام عبارات به سمت صفر گرایش دارند.
(6) عدم قطعیت از بین رفته است، ما با ساده ترین حد باقی مانده ایم: . چرا در بی نهایت بزرگبه صفر تمایل دارد؟ زیرا پایه درجه نابرابری را ارضا می کند. اگر کسی در مورد عادلانه بودن حد شک دارد ، پس تنبل نخواهم شد، یک ماشین حساب برمی دارم:
اگر پس از آن
اگر پس از آن
اگر پس از آن
اگر پس از آن
اگر پس از آن
… و غیره. تا بی نهایت - یعنی در حد:

همینطور پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش استروی انگشتات =)
! هرگز از این تکنیک به عنوان مدرک استفاده نکنید! زیرا فقط به این دلیل که چیزی بدیهی است، به این معنی نیست که درست است.

(7) نشان می‌دهیم که نتیجه می‌گیریم که سری همگرا می‌شوند.

مثال 10

سری را برای همگرایی بررسی کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

تست کوشی انتگرال

یا فقط یک علامت جدایی ناپذیر. کسانی که مطالب دوره اول را به خوبی درک نکرده اند را ناامید خواهم کرد. برای استفاده از آزمون انتگرال کوشی، باید کم و بیش در یافتن مشتقات، انتگرال ها اطمینان داشته باشید و همچنین مهارت محاسبه را داشته باشید. انتگرال نامناسباولین نوع

در کتاب های درسی آنالیز ریاضی تست کوشی انتگرالاز نظر ریاضی به شدت، اما خیلی گیج کننده است، بنابراین من علامت را نه خیلی دقیق، بلکه واضح فرموله می کنم:

در نظر بگیریم سری اعداد مثبت. اگر یک انتگرال نامناسب وجود داشته باشد، آنگاه سری همراه با این انتگرال همگرا یا واگرا می شود.

و فقط چند مثال برای روشن شدن:

مثال 11

سری را برای همگرایی بررسی کنید

تقریبا کلاسیک لگاریتم طبیعی و چند مزخرف.

پیش نیاز اصلی استفاده از آزمون انتگرال کوشی استاین واقعیت است که عبارت کلی سری شامل عواملی مشابه یک تابع خاص و مشتق آن است. از موضوع

آزمون همگرایی دالامبر آزمون همگرایی کوشی رادیکال آزمون همگرایی کوشی انتگرال

پیش نیازهای اصلی برای استفاده از آزمون d'Alembert به شرح زیر است:

2) اصطلاح رایج سری شامل فاکتوریل است. دوباره سر کلاس شمشیرها را با فاکتوریل رد کردیم دنباله اعداد و حد آن. با این حال، باز کردن سفره‌ای که خود مونتاژ شده را دوباره باز کنید، ضرری ندارد:

…

…

علاوه بر این، در یک عبارت مشترک از یک سری، هر دو درجه و فاکتوریل می توانند به طور همزمان رخ دهند. ممکن است دو فاکتوریل، دو درجه وجود داشته باشد، مهم است که وجود داشته باشد حداقل چیزینکات در نظر گرفته شده - و این دقیقاً پیش نیاز استفاده از علامت D'Alembert است.

علامت دالامبر: بیایید در نظر بگیریم سری اعداد مثبت. اگر محدودیتی در نسبت ترم بعدی به دوره قبلی وجود داشته باشد: ، پس:
الف) هنگامی که ردیف همگرا می شود. به طور خاص، این مجموعه در .
ب) هنگامی که ردیف واگرا می شود. به طور خاص، این سریال در .
ج) چه زمانی علامت جواب نمی دهد. باید از علامت دیگری استفاده کنید. بیشتر اوقات، زمانی که آنها سعی می کنند از آزمون d'Alembert استفاده کنند که در آن لازم است از آزمون مقایسه محدود کننده استفاده شود، یکی به دست می آید.

و اکنون نمونه های مورد انتظار.

مثال 1

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

همگرا می شود.

مثال 2

بیایید یک سری مشابه را برداریم و آن را برای همگرایی بررسی کنیم

ابتدا راه حل کامل، سپس نظرات:

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

مثال 3

سری را برای همگرایی بررسی کنید

حل کامل و طراحی نمونه در پایان درس در مورد دنباله اعداد.
(4) ما هر چیزی را که می توان برش داد می بریم.
(5) ثابت را فراتر از علامت حد حرکت می کنیم. پرانتزها را در صورت حساب باز کنید.
(6) ما عدم قطعیت را به روش استاندارد حذف می کنیم - با تقسیم صورت و مخرج بر "en" به بالاترین توان.

مثال 5

سری را برای همگرایی بررسی کنید

حل کامل و طراحی نمونه در پایان درس

مثال 6

سری را برای همگرایی بررسی کنید

یک نمونه راه حل ممکن است به شکل زیر باشد:

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

پیش نیازهای اصلی برای استفاده از آزمون d'Alembert به شرح زیر است:

1) اصطلاح متداول سریال («پر کردن» سریال) تعدادی عدد را تا حدی شامل می شود، مثلاً، و غیره. علاوه بر این، اصلا مهم نیست که این توابع در کجا قرار دارند، در صورت یا مخرج - مهم این است که آنها در آنجا حضور دارند.

2) اصطلاح رایج سری شامل فاکتوریل است. فاکتوریل چیست؟

…

…

3) اگر در اصطلاح کلی سریال "زنجیره ای از عوامل" وجود داشته باشد، به عنوان مثال، . این مورد نادر است.

بدون درک محدودیت و توانایی آشکارسازی عدم قطعیت، متأسفانه، نمی توان بیشتر پیش رفت.

مثال:
راه حل:می بینیم که در اصطلاح کلی مجموعه ای که داریم، و این یک پیش نیاز مطمئن برای استفاده از آزمون d'Alembert است.

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

همگرا می شود.

علامت کوشی رادیکال

آزمون همگرایی کوشی برای سری اعداد مثبت تا حدودی شبیه به آزمون دالامبر است که در مورد آن صحبت شد.

! جالب است بدانید که اگر تست کوشی پاسخی به سوال همگرایی یک سری به ما ندهد، تست دالامبر هم جوابی به ما نمی دهد. اما اگر آزمون دالامبر جوابی ندهد، تست کوشی ممکن است «کار کند». یعنی علامت کوشی از این نظر نشانه قوی تری است.

!!! چه زمانی باید از علامت کوشی رادیکال استفاده کرد؟تست کوشی رادیکال معمولاً در مواردی استفاده می شود که اصطلاح رایج سری است به طور کاملدر درجه است بسته به "en". یا زمانی که ریشه "خوب" از یکی از اعضای مشترک مجموعه استخراج می شود. موارد عجیب و غریب نیز وجود دارد، اما ما نگران آنها نخواهیم بود.

مثال:سری را برای همگرایی بررسی کنید

راه حل:می بینیم که عبارت کلی این سری کاملاً تحت یک توان است که به آن بستگی دارد، به این معنی که باید از تست کوشی رادیکال استفاده کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه واگرا می شود.

تست کوشی انتگرال.

برای استفاده از آزمون انتگرال کوشی، باید کم و بیش در یافتن مشتقات، انتگرال ها اطمینان داشته باشید و همچنین مهارت محاسبه را داشته باشید. انتگرال نامناسباولین نوع

من آن را به زبان خودم (برای سهولت درک) بیان خواهم کرد.

تست کوشی انتگرال:در نظر بگیریم سری اعداد مثبت. این سری با انتگرال نامناسب مربوطه همگرا یا واگرا می شود.

! !! پیش نیاز اصلی استفاده از آزمون انتگرال کوشی استاین واقعیت است که در اصطلاح کلی سری یک تابع معین و مشتق آن وجود دارد.

مثال:سری را برای همگرایی بررسی کنید

راه حل:از موضوع مشتقاحتمالاً ساده ترین چیز جدول را به خاطر دارید: ، و ما دقیقاً چنین مورد متعارفی داریم.

چگونه از ویژگی انتگرال استفاده کنیم؟ ابتدا آیکون انتگرال را می گیریم و حدهای بالا و پایین را از “counter” سری بازنویسی می کنیم: . سپس در زیر انتگرال، "پر کردن" سری را با حرف "X" بازنویسی می کنیم: .

حال باید انتگرال نامناسب را محاسبه کنیم. در این حالت دو حالت ممکن است:

1) اگر معلوم شد که انتگرال همگرا می شود، سری ما نیز همگرا می شود.

2) اگر معلوم شد که انتگرال واگرا می شود، سری ما نیز واگرا می شود.

از علامت انتگرال استفاده می کنیم:

تابع انتگرال پیوسته روشن است

بنابراین، سری تحت مطالعه واگرا می شودهمراه با انتگرال نامناسب مربوطه.

مثال:همگرایی سریال را بررسی کنید

راه حل:اول از همه، بیایید بررسی کنیم نشانه ضروری همگرایی یک سری. این یک امر رسمی نیست، بلکه فرصتی عالی برای مقابله با مثال با "خونریزی اندک" است.

دنباله اعدادبالاتر ترتیب رشد, از , بنابراین یعنی علامت همگرایی لازم برآورده می شود و سری ها می توانند همگرا شوند یا واگرا شوند.

بنابراین، شما باید از نوعی علامت استفاده کنید. اما کدام یک؟ حد مقایسهبه وضوح مناسب نیست، زیرا یک لگاریتم در عبارت رایج سری فشرده شده است، نشانه های دالامبر و کوشیهمچنین منجر به نتیجه نمی شود. اگر داشتیم، حداقل می توانستیم از آن عبور کنیم ویژگی جدایی ناپذیر.

"بازرسی از صحنه" یک سری واگرا را پیشنهاد می کند (مورد یک سری هارمونیک تعمیم یافته)، اما دوباره این سوال مطرح می شود که چگونه لگاریتم را در صورت حساب در نظر بگیریم؟

آنچه باقی می ماند اولین نشانه مقایسه است، بر اساس نابرابری ها، که اغلب مورد توجه قرار نمی گیرد و گرد و غبار را در قفسه ای دور جمع می کند. بیایید این سریال را با جزئیات بیشتری توضیح دهیم:

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که - به طور نامحدود در حال رشد است دنباله اعداد:

و با شروع از عدد، نابرابری برآورده می شود:

یعنی اعضای سریال خواهند بود حتی بیشتراعضای مربوطه واگرا ردیف

در نتیجه سریال چاره ای جز پراکندگی ندارد.

همگرایی یا واگرایی یک سری اعداد به "دم نامتناهی" آن (باقیمانده) بستگی دارد. در مورد ما، می توانیم این واقعیت را نادیده بگیریم که نابرابری برای دو عدد اول درست نیست - این بر نتیجه گیری تأثیری ندارد.

مثال تمام شده باید چیزی شبیه به این باشد:

بیایید این سریال را با یک سریال واگرا مقایسه کنیم.
برای همه اعداد با شروع نابرابری برقرار است، بنابراین با توجه به معیار مقایسه، سری مورد مطالعه واگرا می شود.

ردیف های متناوب علامت لایب نیتس نمونه هایی از راه حل ها

سریال متناوب چیست؟این از خود نام واضح یا تقریباً واضح است. فقط یک مثال ساده

بیایید به این سریال نگاه کنیم و آن را با جزئیات بیشتر توصیف کنیم:

تراز یک ضریب را فراهم می کند: اگر زوج باشد، علامت مثبت، اگر فرد، علامت منفی وجود دارد.

دام «فریب ها» است: , , و غیره. - چنین ضرب کننده هایی تغییر علامت را ارائه ندهید. کاملاً واضح است که برای هر طبیعی: , , .

چگونه یک سری متناوب را برای همگرایی بررسی کنیم؟از آزمون لایب نیتس استفاده کنید.

آزمون لایب نیتس: اگر در یک سری متناوب دو شرط وجود داشته باشد: 1) شرایط سری به طور یکنواخت در مقدار مطلق کاهش می یابد. 2) حد جمله مشترک در مدول برابر با صفر است، سپس سری همگرا می شود و مدول مجموع این سری از مدول جمله اول تجاوز نمی کند.

اطلاعات مختصر در مورد ماژول:

"modulo" به چه معناست؟ ماژول، همانطور که از مدرسه به یاد داریم، علامت منفی را "می خورد". بیایید به ردیف برگردیم . تمام علائم را با یک پاک کن ذهنی پاک کنید و بیایید به اعداد نگاه کنیم. ما آن را خواهیم دید هر بعدیعضو سریال کمترنسبت به قبلی

حالا کمی در مورد یکنواختی.

اعضای سریال کاملا یکنواختکاهش مدول اگر هر عضو بعدی سری باشد مدولکمتر از قبلی: . برای یک ردیف یکنواختی شدید کاهش برآورده شده است؛ می توان آن را با جزئیات شرح داد:

یا می توان به طور خلاصه بگوییم: هر یک از اعضای بعدی مجموعه مدولکمتر از قبلی: .

اعضای سریال کاملا یکنواخت نیستاگر هر عضو زیر از مدول سری بزرگتر از قبلی نباشد، مدول کاهش می یابد: . یک سری با فاکتوریل را در نظر بگیرید: در اینجا یکنواختی ضعیف وجود دارد، زیرا دو عبارت اول سری از نظر مدول یکسان هستند. یعنی هر کدام از اعضای بعدی سریال مدولنه بیشتر از قبلی: .

مثال:سری را برای همگرایی بررسی کنید

راه حل:اصطلاح رایج این سری شامل یک فاکتور است، به این معنی که شما باید از معیار لایب نیتس استفاده کنید

1) بررسی سری برای کاهش یکنواخت.

1<2<3<…, т.е. n+1>n –شرط اول برآورده نمی شود

2) - شرط دوم نیز محقق نمی شود.

نتیجه گیری: سریال از هم جدا می شود.

تعریف:اگر یک سری بر اساس معیار لایب نیتس همگرا شود و یک سری متشکل از ماژول ها نیز همگرا شوند، آنگاه می گویند که سری کاملاً همگرا می شود.

اگر یک سری بر اساس معیار لایب نیتس همگرا شود، و یک سری متشکل از ماژول ها واگرا شوند، آنگاه به این سری گفته می شود که به صورت مشروط همگرا می شود.

اگر یک سری متشکل از ماژول ها همگرا شوند، این سری نیز همگرا می شوند.

بنابراین یک سری همگرای متناوب باید از نظر همگرایی مطلق یا شرطی بررسی شود.

مثال:

راه حل:ما از معیار لایب نیتس استفاده می کنیم:

1) هر عضو بعدی سری نسبت به قبلی از نظر قدر مطلق کمتر است: - شرط اول برقرار است.

2) - شرط دوم نیز برقرار است.

نتیجه گیری: سری همگرا می شود.

بیایید همگرایی مشروط یا مطلق را بررسی کنیم.

بیایید یک سری ماژول بسازیم - دوباره به سادگی ضریب را حذف می کنیم، که تناوب علامت را تضمین می کند:
– واگرا می شود (سری هارمونیک).

بنابراین سری ما مطلقا همگرا نیست.
سریال در دست مطالعه به صورت مشروط همگرا می شود.

مثال:یک سری را برای همگرایی مشروط یا مطلق بررسی کنید

راه حل:ما از معیار لایب نیتس استفاده می کنیم:
1) بیایید سعی کنیم چند اصطلاح اول این مجموعه را یادداشت کنیم:

…?!

اگر شمارنده در سریعتر از فاکتوریل رشد کند، پس . اگر در بی نهایت، فاکتوریل سریعتر از صورت‌گر رشد کند، برعکس، حد را به صفر می‌کشد: . یا شاید این حد برابر با عددی غیر صفر باشد؟ یا . در عوض، می توانید چند جمله ای درجه هزارم را جایگزین کنید، این دوباره وضعیت را تغییر نمی دهد - دیر یا زود فاکتوریل همچنان از چنین چند جمله ای وحشتناک "سبقت می گیرد". فاکتوریل مرتبه رشد بالاتر.

– فاکتوریل در حال رشد سریعتر از محصول از هر مقدارتوالی های نمایی و توانی(مورد ما).

– هریک دنباله نمایی سریعتر از هر توالی قدرتی رشد می کند، به عنوان مثال: , . دنباله نمایی مرتبه رشد بالاتراز هر توالی قدرتی. مشابه فاکتوریل، یک دنباله نمایی حاصل ضرب هر تعداد از هر توالی توانی یا چندجمله ای را "کشش" می کند: .

- آیا چیزی "قوی تر" از فاکتوریل وجود دارد؟ بخور! یک دنباله نمایی توان ("en" به توان "en") سریعتر از فاکتوریل رشد می کند.. در عمل نادر است، اما اطلاعات اضافی نخواهد بود.

پایان کمک

بنابراین، نکته دوم تحقیق را می توان به صورت زیر نوشت:
2) ، از آنجایی که ترتیب رشد بالاتر از .
شرایط سری کاهش در مدول، از یک عدد شروع می شوددر این حالت، هر عضو بعدی سری از نظر مقدار مطلق کمتر از قبلی است، بنابراین کاهش یکنواخت است.

نتیجه: سریال همگرا می شود.

در اینجا دقیقاً مورد عجیبی است که شرایط سریال برای اولین بار در مقدار مطلق افزایش می یابد، به همین دلیل است که ما نظر اولیه اشتباهی در مورد حد داشتیم. ولی، شروع از مقداری "en"، فاکتوریل از شمارنده پیشی می گیرد و "دم" سری به طور یکنواخت کاهش می یابد ، که اساساً برای تحقق شرایط قضیه لایب نیتس مهم است. کشف این "en" دقیقاً چه چیزی است بسیار دشوار است..

ما سری را برای همگرایی مطلق یا مشروط بررسی می کنیم:

و در اینجا علامت D'Alembert قبلاً کار می کند:

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

بنابراین، مجموعه همگرا می شود.

سریال در دست مطالعه کاملاً همگرا می شود.

مثال تحلیل شده را می توان به روش دیگری حل کرد (از معیار کافی برای همگرایی یک سری متناوب استفاده می کنیم).

نشانه کافی از همگرایی یک سری متناوب:اگر یک سری متشکل از مقادیر مطلق عبارات یک سری داده شده همگرا شود، سری داده شده نیز همگرا می شود.

راه دوم:

یک سری را برای همگرایی مشروط یا مطلق بررسی کنید

راه حل : ما سری را برای همگرایی مطلق بررسی می کنیم:

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

بنابراین، مجموعه همگرا می شود.
بر اساس یک معیار کافی برای همگرایی یک سری متناوب، خود سری همگرا می شود.

نتیجه: سری مطالعاتی کاملاً همگرا می شود.

برای محاسبه مجموع یک سری با دقت معیناز قضیه زیر استفاده خواهیم کرد:

بگذارید سری متناوب علامت بزند شرایط ملاک لایب نیتس و اجازه - او را برآورده می کند nمبلغ جزئی. سپس سری همگرا می شود و مجموع آن در محاسبه تقریبی خطا رخ می دهد اسدر قدر مطلق از مدول اولین جمله حذف شده تجاوز نمی کند: