چه اتفاقی برای مساحت یک ورق کاغذ مستطیلی می افتد. کاربرد عناصر تریز در درس ریاضی. گرم کردن زبانی "بله - نه"

صفحه 6 از 8

فصل پنجم.

ناپدید شدن ارقام. بخش I

در این فصل و فصل بعدی توسعه بسیاری از پارادوکس های هندسی قابل توجه را دنبال خواهیم کرد. همه آنها با قطعه قطعه کردن یک فیگور شروع می شوند و با ساختن یک فیگور جدید از این قطعات به پایان می رسند. در این حالت، به نظر می‌رسد که بخشی از شکل اصلی (ممکن است بخشی از مساحت شکل یا یکی از چندین طرح ترسیم شده روی آن باشد) بدون هیچ اثری ناپدید شده است. هنگامی که قطعات به مکان اصلی خود باز می گردند، قسمت ناپدید شده منطقه یا طرح به طور مرموزی دوباره ظاهر می شود.

ماهیت هندسی این ناپدید شدن ها و ظهورهای عجیب، طبقه بندی این پارادوکس ها به عنوان پازل های ریاضی را توجیه می کند.

پارادوکس با خطوط

همه پارادوکس‌های بسیاری که در اینجا می‌خواهیم در نظر بگیریم، بر اساس همان اصل هستند که آن را «اصل بازتوزیع پنهان» می‌نامیم. در اینجا یک پارادوکس بسیار قدیمی و بسیار ابتدایی وجود دارد که بلافاصله ماهیت این اصل را توضیح می دهد.

بیایید ده خط عمودی با طول مساوی روی یک ورق کاغذ مستطیلی بکشیم و یک مورب با یک خط نقطه چین بکشیم، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 50.

بیایید به بخش های این خطوط در بالا و پایین مورب نگاه کنیم. به راحتی می توان متوجه شد که طول اولی کاهش می یابد و طول دومی بر این اساس افزایش می یابد.

همانطور که در شکل نشان داده شده است، مستطیل را در امتداد خط نقطه برش دهید و قسمت پایین را به سمت چپ پایین ببرید. 51.

پس از شمارش تعداد خطوط عمودی، متوجه خواهید شد که اکنون 9 تا از آنها وجود دارد. کدام خط و کجا ناپدید شد؟ قسمت چپ را به موقعیت اصلی خود برگردانید و خط ناپدید شده دوباره ظاهر می شود.

اما کدام خط در جای خود قرار گرفت و از کجا آمد؟

در ابتدا این سؤالات مرموز به نظر می رسند، اما پس از اندکی تأمل مشخص می شود که هیچ خط جداگانه ای ناپدید یا ظاهر نمی شود. اتفاقی که می افتد این است که این هشت افزایش دقیقا برابر با طول هر یک از خطوط اصلی است.

شاید اگر با سنگریزه ها نشان داده شود، ماهیت پارادوکس واضح تر ظاهر شود.

بیایید پنج توده سنگریزه، چهار سنگریزه در یک توده برداریم. بیایید یک سنگریزه را از شمع دوم به اولی، دو سنگریزه از سومی به دومی، سه سنگریزه را از چهارم به سومی و در نهایت هر چهار سنگریزه را از پنجمی به چهارمی منتقل کنیم. برنج. 52 اعمال ما را توضیح می دهد.

پس از چنین تغییری، معلوم می شود که تنها چهار شمع وجود دارد. پاسخ به این سوال که کدام توده ناپدید شده است غیرممکن است، زیرا سنگریزه ها به گونه ای توزیع شدند که به هر یک از چهار توده یک سنگریزه اضافه شد. دقیقاً همین اتفاق در پارادوکس خط می افتد. هنگامی که بخش‌هایی از ورق به صورت مورب جابه‌جا می‌شوند، بخش‌های خطوط برش مجدداً توزیع می‌شوند و هر خط حاصل کمی طولانی‌تر از خط اصلی می‌شود.

ناپدید شدن یک چهره

بیایید به توصیف روش هایی بپردازیم که از طریق آنها می توان پارادوکس خط را جالب تر و سرگرم کننده تر کرد. به عنوان مثال، می توان با جایگزینی ناپدید شدن و ظاهر شدن خطوط با همان ناپدید شدن و ظاهر شدن فیگورهای مسطح به این امر دست یافت. به خصوص در اینجا تصاویری از مداد، سیگار، آجر، کلاه های تاج بلند، لیوان های آب و سایر اشیاء عمودی کشیده شده است که ماهیت تصویر آنها قبل و بعد از شیفت یکسان است. با کمی نبوغ هنری، می توانید اشیاء پیچیده تری را به دست بگیرید. به عنوان مثال، به صورت ناپدید شده در شکل 1 نگاه کنید. 53.
با حرکت دادن نوار پایین در بالای طرح به سمت چپ، همه کلاه ها بدون پیرایه می مانند، اما یک صورت کاملا ناپدید می شود! (پایین تصویر را ببینید). هیچ فایده ای ندارد که بپرسیم کدام چهره، زیرا این تغییر، چهار چهره را به دو قسمت تقسیم می کند. سپس این قسمت‌ها دوباره توزیع می‌شوند و هر صورت چندین ویژگی اضافی دریافت می‌کند: یکی، برای مثال، بینی بلندتر، دیگری چانه درازتر، و غیره. البته بسیار چشمگیرتر از ناپدید شدن یک قطعه خط.

"جنگجوی ناپدید شده"

در این پازل، پارادوکس خط یک شکل دایره ای داده می شود و قطعات مستقیم با شکل های 13 جنگجو جایگزین می شوند (شکل 54).
فلش بزرگ به شمال شرقی اشاره می کند اگر نقاشی در امتداد یک دایره بریده شود، و سپس قسمت داخلی شروع به چرخاندن در خلاف جهت عقربه های ساعت کند، ابتدا شکل ها به قطعات تقسیم می شوند، سپس دوباره به هم متصل می شوند، اما به روشی متفاوت، فلش بزرگ فلش به شمال غربی شمال غربی اشاره خواهد کرد، در تصویر 12 جنگجو وجود خواهد داشت (شکل 55).
هنگامی که دایره در جهت مخالف چرخانده می شود تا زمانی که فلش بزرگ دوباره در شمال بایستد، جنگجوی ناپدید شده دوباره ظاهر می شود.

اگر انجیر 54 با دقت بیشتری نگاه کنید، متوجه خواهید شد که دو جنگجو در قسمت پایین سمت چپ تصویر به شکل خاصی قرار گرفته اند: آنها در مقابل یکدیگر قرار دارند، در حالی که بقیه در یک زنجیر قرار گرفته اند. این دو شکل با خطوط افراطی در پارادوکس پاره خط مطابقت دارند. بر اساس الزامات نقاشی، هر یک از این شکل ها باید قسمتی از یک ساق را نداشته باشند و برای اینکه در وضعیت چرخش چرخ این نقص کمتر به چشم بیاید، بهتر است آنها را در کنار هم به تصویر بکشیم.

همچنین توجه داشته باشیم که جنگجویان در تصویر با نبوغی بسیار بیشتر از آنچه در نگاه اول به نظر می رسد به تصویر کشیده شده اند. به عنوان مثال، برای اینکه شکل ها در تمام نقاط کره زمین در حالت عمودی باقی بمانند، در یک مورد به جای پای چپ، یک پای راست و در مورد دیگر، برعکس، به جای پای چپ ضروری است. یک پای راست، یک پای چپ

خرگوش گم شده

بدیهی است که تناقض خطوط عمودی را می توان بر روی اجسام پیچیده تر، به عنوان مثال، صورت انسان، پیکره حیوانات و غیره نشان داد. در شکل. شکل 56 یک گزینه را نشان می دهد.
هنگامی که پس از برش در امتداد یک خط ضخیم، مستطیل های A و B با هم عوض می شوند، یک خرگوش ناپدید می شود و یک تخم مرغ عید پاک در جای خود باقی می ماند. اگر به جای مرتب کردن مجدد مستطیل های A و B، نیمه سمت راست تصویر در امتداد خط نقطه بریده شود و قسمت های سمت راست عوض شوند، تعداد خرگوش ها به 12 افزایش می یابد، اما یک خرگوش گوش های خود را از دست می دهد و جزئیات خنده دار دیگری ظاهر می شود.

فصل ششم.

ناپدید شدن ارقام. بخش Iمن

پارادوکس صفحه شطرنج

ارتباط نزدیک با پارادوکس‌هایی که در فصل قبل مورد بحث قرار گرفت، دسته دیگری از پارادوکس‌ها هستند که در آن «اصل بازتوزیع پنهان» ناپدید شدن یا ظهور مرموز مناطق را توضیح می‌دهد. یکی از قدیمی ترین و قدیمی ترین مثال های سادهپارادوکس هایی از این دست در شکل نشان داده شده است. 57.
صفحه شطرنج همانطور که در نیمه چپ تصویر نشان داده شده است به صورت مورب برش داده می شود و سپس قسمت B همانطور که در نیمه سمت راست تصویر نشان داده شده است به سمت چپ پایین می رود. اگر مثلث بیرون زده در گوشه بالا سمت راست را با قیچی بریده و روی فضای خالی که شبیه مثلث در گوشه سمت چپ پایین تصویر است قرار دهید، یک مستطیل 7*9 خواهید داشت. واحدهای مربع.

مساحت اولیه 64 واحد مربع بود، اما اکنون 63 است. یک واحد مربع گم شده کجا رفت؟

پاسخ این است که خط مورب ما کمی زیر گوشه سمت چپ پایین مربع واقع در گوشه سمت راست بالای تابلو قرار دارد.

با تشکر از این، مثلث برش دارای ارتفاعی برابر با 1 نیست، بلکه 1 1/7 است. و بنابراین ارتفاع 9 نیست، بلکه 9 1/7 واحد است. افزایش ارتفاع 1/7 واحد تقریباً نامحسوس است، اما وقتی در نظر گرفته شود، به مساحت مستطیل مورد نیاز 64 واحد مربع منجر می شود.

این تناقض حتی قابل توجه تر می شود اگر به جای صفحه شطرنج فقط یک ورق مربع بدون سلول برداریم، زیرا در مورد ما، پس از بررسی دقیق، بسته شدن شلخته سلول ها در امتداد خط برش آشکار می شود.

ارتباط بین پارادوکس ما و پارادوکس خطوط عمودی، که در فصل قبل مورد بحث قرار گرفت، اگر سلول‌های نزدیک خط برش را دنبال کنیم، روشن می‌شود. هنگام حرکت به سمت بالا در امتداد خط برش، مشخص می شود که در بالای خط، قسمت هایی از سلول های برش (در شکل تیره شده اند) به تدریج کاهش می یابد و در زیر خط به تدریج افزایش می یابد. پانزده مربع تاریک روی صفحه شطرنج وجود داشت، اما در مستطیلی که پس از مرتب کردن مجدد مهره ها به دست آمد، فقط چهارده مورد وجود داشت. ناپدید شدن ظاهری یک سلول تیره به سادگی شکل دیگری از پارادوکس مورد بحث در بالا است. وقتی مثلث کوچک را برش می دهیم و سپس آن را به هم می زنیم، در واقع قسمت A از صفحه شطرنج را به دو تکه برش می دهیم که سپس در امتداد مورب عوض می شوند.

برای پازل، فقط سلول های مجاور خط برش مهم هستند، بقیه هیچ معنایی ندارند، نقش طراحی را بازی می کنند. با این حال، حضور آنها ماهیت پارادوکس را تغییر می دهد. به جای ناپدید شدن یکی از چندین سلول کوچک (یا یک شکل تا حدی پیچیده تر، مثلاً یک کارت بازی، یک صورت انسان و غیره، که می تواند در داخل هر سلول کشیده شود)، با تغییری در ناحیه روبرو هستیم. یک شکل هندسی بزرگ

پارادوکس با مساحت

در اینجا پارادوکس دیگری با منطقه وجود دارد. تغییر موقعیت قطعات A و C همانطور که در شکل نشان داده شده است. در شکل 58، می توان یک مستطیل 30 واحد مربعی را به دو مستطیل کوچکتر با مساحت 32 واحد مربع تبدیل کرد و به این ترتیب "بهره" دو واحد مربع را به دست آورد. مانند پارادوکس قبلی، تنها سلول های مجاور خط برش در اینجا نقش دارند. بقیه فقط به عنوان تزئین مورد نیاز است.
در این پارادوکس دو اساسی وجود دارد راه های مختلفقطعه قطعه کردن یک شکل

می توانید با یک مستطیل بزرگ به ابعاد 3x10 واحد شروع کنید (بالای شکل 58)، با دقت یک مورب در آن بکشید، سپس دو مستطیل کوچکتر (پایین شکل 58) 1/5 واحد کوتاهتر از ابعاد ظاهری خود خواهند بود.

اما شما همچنین می توانید با شکلی شروع کنید که از دو مستطیل کوچکتر با اندازه های 2x6 و 4x5 تشکیل شده است. سپس بخشهایی که نقطه X را به نقطه Y و نقطه Y را به نقطه Z متصل می کنند یک خط مستقیم تشکیل نمی دهند. و فقط به این دلیل که زاویه منفردی که با راس در نقطه Y ایجاد می‌کنند بسیار نزدیک به زاویه باز شده است، خط شکسته XYZ یک خط مستقیم به نظر می‌رسد. بنابراین، شکلی که از قسمت‌هایی از مستطیل‌های کوچک تشکیل شده باشد، در واقع مستطیل نخواهد بود، زیرا این قسمت‌ها کمی در امتداد مورب همپوشانی دارند. پارادوکس صفحه شطرنج و همچنین بسیاری از پارادوکس های دیگری که در این فصل به بررسی آنها می پردازیم را نیز می توان در دو نسخه ارائه کرد. در یکی از آنها، پارادوکس به دلیل کاهش یا افزایش جزئی در ارتفاع (یا عرض) شکل ها به دست می آید، در دیگری - به دلیل افزایش یا از دست دادن مساحت در امتداد مورب، ناشی از همپوشانی شکل ها. ارقام، مانند موردی که اخیراً در نظر گرفته شد، یا با ظاهر فضاهای خالی، که به زودی با آنها ملاقات خواهیم کرد.

با تغییر اندازه شکل ها و شیب مورب می توان طرح های متنوعی به این پارادوکس داد. می توانید مساحت 1 واحد مربع یا 2، 3، 4، 5 واحد و غیره را از دست بدهید یا به دست آورید.

گزینه با مربع

در یک تغییر منظم، مستطیل های اصلی 3x8 و 5x8، هنگامی که در کنار یکدیگر قرار می گیرند، یک صفحه شطرنج 8x8 را تشکیل می دهند. این مستطیل ها به قطعات بریده می شوند که پس از توزیع مجدد، مستطیل بزرگ جدیدی را با افزایش ظاهری یک واحد مربع تشکیل می دهند (شکل 59).
ماهیت پارادوکس به شرح زیر است. هنگام ساختن نقشه یک مربع با دقت، مورب دقیق یک مستطیل بزرگ کار نمی کند. در عوض، شکلی به شکل الماس ظاهر می شود، چنان دراز که دو طرف آن تقریباً با هم ترکیب شده اند. از طرف دیگر، اگر قطر یک مستطیل بزرگ را با دقت ترسیم کنید. ارتفاع بالای دو مستطیلی که مربع را تشکیل می دهند کمی بزرگتر از آنچه باید باشد و مستطیل پایین کمی گسترده تر خواهد بود. توجه داشته باشید که بسته شدن نادقیق قسمت‌هایی از شکل در روش برش دوم بسیار چشمگیرتر از عدم دقت در طول مورب در روش اول است. بنابراین روش اول ارجحیت دارد. همانطور که در نمونه هایی که قبلاً با آنها روبرو شده بودیم، در داخل سلول هایی که به صورت مورب بریده شده اند، می توانید دایره ها، چهره ها یا نوعی شکل را بکشید. هنگام تنظیم مجدد اجزاءمستطیل های این شکل ها یک کم یا زیاد می شود.

اعداد فیبوناچی

معلوم می شود که طول اضلاع چهار قسمتی که شکل ها را تشکیل می دهند (شکل 59 و 60) اعضای سری فیبوناچی هستند، یعنی یک سری اعداد که با دو واحد شروع می شوند: 1، 1، هر یک از که از سومی شروع می شود، مجموع دو مورد قبلی است. سری ما شبیه 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34 است...
چیدمان قطعاتی که به شکل مستطیل به صورت مربع بریده شده اند، یکی از ویژگی های سری فیبوناچی را نشان می دهد، یعنی موارد زیر: هنگام مربع کردن هر یک از اعضای این سری، حاصل ضرب دو عضو مجاور سری به اضافه یا منهای یک به دست می آید. در مثال ما، ضلع مربع 8 و مساحت آن 64 است. رقم هشت در سری فیبوناچی بین 5 و 13 قرار دارد. از آنجایی که اعداد 5 و 13 به طول اضلاع مستطیل تبدیل می شوند، مساحت آن باید برابر با 65 باشد که باعث افزایش مساحت یک واحد می شود.

به لطف این ویژگی یک سری، می توان مربعی ساخت که ضلع آن هر عدد فیبوناچی بزرگتر از یک باشد و سپس آن را بر اساس دو عدد قبلی این سری برش داد.

به عنوان مثال، اگر یک مربع 13x13 واحد بگیرید، باید سه ضلع آن را به قطعاتی به طول 5 و 8 واحد تقسیم کنید و سپس همانطور که در شکل نشان داده شده است برش دهید. 60. مساحت این میدان 169 واحد مربع است. اضلاع مستطیلی که از قسمت های مربع تشکیل می شود 21 و 8 خواهد بود که 168 واحد مربع مساحت می دهد. در اینجا، به دلیل همپوشانی قطعات در امتداد مورب، یک واحد مربع اضافه نمی شود، بلکه گم می شود.

اگر مربعی با ضلع 5 بگیرید، یک واحد مربع را نیز از دست خواهید داد. امکان تدوین وجود دارد قانون کلی: با گرفتن ضلع مربع هر عددی از دنباله "اول" اعداد فیبوناچی متناوب (3، 8...) و ایجاد یک مستطیل از قسمت های این مربع، در امتداد قطر آن شکاف به دست خواهیم آورد و در نتیجه افزایش آشکار مساحت یک واحد. با در نظر گرفتن ضلع مربع مقداری از دنباله دوم "دوم" (2، 5، 13...)، مناطقی با هم تداخل دارند در امتداد قطر مستطیل و از دست دادن یک واحد مربع مساحت.

حتی در مربعی با ضلع دو واحد می توانید یک پارادوکس بسازید. اما پس از آن چنان همپوشانی آشکاری در مستطیل 3x1 وجود دارد که اثر پارادوکس کاملاً از بین می رود.

با استفاده از سری های دیگر فیبوناچی برای پارادوکس، می توانید گزینه های بی شماری را دریافت کنید. بنابراین، به عنوان مثال، مربع های مبتنی بر سری های 2، 4، 6، 10، 16، 26 و غیره منجر به ضرر یا سود 4 واحد مربعی می شود. بزرگی این ضررها یا سودها را می توان با محاسبه برای پیدا کرد این سریالتفاوت مربع هر یک از جمله های آن و حاصل ضرب دو جمله همسایه آن در سمت چپ و راست. ردیف های 3، 4، 7، 11، 18، 29 و غیره سود یا زیان پنج واحد مربعی را نشان می دهند. T. de Mulidar بر اساس سری های 1، 4، 5، 9، 14 و غیره ترسیم مربعی ارائه کرد که ضلع این مربع 9 در نظر گرفته شده و پس از تبدیل آن به مستطیل، 11 واحد مربع از بین می رود. . ردیف 2، 5، 7، 12، 19... همچنین 11 واحد مربع ضرر یا سود می دهد. در هر دو مورد، همپوشانی ها (یا شکاف ها) در امتداد مورب به قدری بزرگ هستند که می توان بلافاصله متوجه آنها شد.

هر سه عدد فیبوناچی متوالی را با A، B و C و با X نشان دادن از دست دادن یا افزایش مساحت، دو فرمول زیر را بدست می آوریم:

A + B = C

B 2 = AC ± X

اگر سود یا ضرر مورد نظر را به جای X جایگزین کنید و به جای B عددی که به عنوان طول ضلع مربع در نظر گرفته شده است، می توانید بسازید. معادله درجه دوم، که از آن دو عدد فیبوناچی دیگر می توان یافت، اگرچه اینها، البته، لزوما اعداد گویا نیستند. به عنوان مثال، معلوم می شود که با تقسیم یک مربع به ارقامی با طول ضلع منطقی، نمی توان سود یا زیان دو یا سه واحد مربع را بدست آورد. البته با کمک اعداد غیر منطقی می توان به این امر دست یافت. بنابراین، سری فیبوناچی 2 1/2, 2 2 1/2, 3 2 1/2, 5 2 1/2 سود یا زیان دو واحد مربع و سری 3 1/2, 2 3 1/2 می دهد. ، 3 3 1/2، 5 3 1/2 منجر به سود یا زیان سه واحد مربع می شود.

گزینه مستطیل

راه های زیادی وجود دارد که در آن می توان یک مستطیل را به تعداد کمی تکه تکه کرد و سپس به مستطیل دیگری با مساحت بزرگتر یا کوچکتر تا کرد. در شکل 61 یک پارادوکس را به تصویر می کشد که همچنین بر اساس سری فیبوناچی است.
مشابه مورد مربعی که قبلاً مورد بحث قرار گرفت، انتخاب تعدادی عدد فیبوناچی از دنباله "دوم" به عنوان عرض مستطیل اول (در این مورد 13) منجر به افزایش مساحت مستطیل دوم به میزان یک واحد مربع می شود.

اگر هر عدد فیبوناچی را از دنباله «اضافی» به عنوان عرض مستطیل اول بگیریم، آنگاه مساحت مستطیل دوم یک واحد کاهش می یابد. تلفات و سودهای ناحیه با همپوشانی ها یا شکاف های کوچک در امتداد بخش مورب مستطیل دوم توضیح داده می شوند. نسخه دیگری از چنین مستطیلی که در شکل نشان داده شده است. شکل 62، هنگام ساخت مستطیل دوم، باعث افزایش مساحت دو واحد مربع می شود.

اگر قسمت سایه دار ناحیه مستطیل دوم بالای قسمت بدون سایه قرار گیرد، دو برش مورب در یک مورب بزرگتر ادغام می شوند. اکنون با مرتب کردن مجدد قسمت های A و B (مانند شکل 61)، یک مستطیل دوم از یک منطقه بزرگتر به دست می آوریم.

نسخه دیگری از پارادوکس

هنگام جمع کردن مساحت قطعات، مرتب سازی مجدد مثلث های B و C در قسمت بالایی شکل. 63 منجر به از دست دادن ظاهری یک واحد مربع می شود.
همانطور که خواننده متوجه خواهد شد، این به دلیل ناحیه قسمت های سایه دار رخ می دهد: در بالای تصویر 15 مربع سایه دار وجود دارد، در پایین - 16. با جایگزینی قطعات سایه دار با دو شکل از نوع خاصی که آنها را می پوشانیم، ما. به شکل جدید و قابل توجهی از پارادوکس می رسیم. اکنون یک مستطیل در مقابل خود داریم که می توان آن را به 5 قسمت تقسیم کرد و سپس با تغییر مکان آنها یک مستطیل جدید ایجاد کرد و با وجود ثابت ماندن ابعاد خطی آن، سوراخی به مساحت . یک واحد مربع در داخل ظاهر می شود (شکل 64).
امکان تبدیل یک شکل به شکل دیگر، با همان ابعاد خارجی، اما با سوراخ در داخل محیط، بر اساس موارد زیر است. اگر نقطه X را دقیقاً سه واحد از پایه و پنج واحد از ضلع مستطیل بگیرید، آنگاه قطر از آن عبور نمی کند. با این حال، چند خطی که نقطه X را به رئوس مخالف مستطیل متصل می کند، به قدری از قطر منحرف می شود که تقریباً نامحسوس خواهد بود.

پس از مرتب کردن مجدد مثلث های B و C در نیمه پایینی طرح، قسمت هایی از شکل کمی در امتداد مورب همپوشانی دارند.

از طرف دیگر، اگر در قسمت بالای شکل، خط اتصال رئوس مقابل مستطیل را به صورت یک مورب دقیقاً ترسیم شده در نظر بگیریم، خط XW کمی بلندتر از سه واحد خواهد بود. و در نتیجه این، مستطیل دوم کمی بالاتر از آنچه به نظر می رسد خواهد بود. در حالت اول، واحد سطح از دست رفته را می توان از گوشه ای به گوشه دیگر توزیع کرد و در امتداد مورب ها همپوشانی ایجاد کرد. در حالت دوم، مربع از دست رفته در عرض مستطیل توزیع می شود. همانطور که قبلاً از مورد قبلی می دانیم، تمام تناقضات از این نوع را می توان به یکی از این دو گزینه ساخت نسبت داد. در هر دو مورد، نادرستی ارقام به حدی جزئی است که کاملاً غیر قابل توجه است.

زیباترین شکل این پارادوکس مربع هایی است که پس از توزیع مجدد قطعات و ایجاد سوراخ، مربع باقی می مانند.

چنین مربع هایی با تغییرات بی شمار و با سوراخ هایی از هر تعداد واحد مربع شناخته می شوند. برخی از جالب ترین آنها در شکل نشان داده شده است. 65 و 66.

می توانید اشاره کنید فرمول ساده، اندازه سوراخ را به نسبت های مثلث بزرگ مرتبط می کند. ما سه اندازه را نشان خواهیم داد که با A، B تا C مورد بحث قرار خواهند گرفت (شکل 67).
مساحت سوراخ در واحدهای مربع برابر است با اختلاف حاصل ضرب A و C و نزدیکترین مضرب اندازه B. بنابراین در مثال آخر حاصل ضرب A و C برابر با 25 است. اندازه B تا 25 24 است، بنابراین سوراخ یک واحد مربع است. این قانون صرف نظر از اینکه یک قطر واقعی رسم شده باشد یا نقطه X در شکل اعمال می شود. 67 به طور منظم در تقاطع خطوط شبکه مربع قرار می گیرد.

اگر مورب، همانطور که باید، به صورت یک خط کاملاً مستقیم رسم شود، یا اگر نقطه X دقیقاً در یکی از رئوس شبکه مربع گرفته شود، هیچ تناقضی ایجاد نمی شود. در این موارد، فرمول حفره ای به اندازه صفر واحد مربع می دهد، به این معنی که البته اصلاً سوراخی وجود ندارد.

گزینه با مثلث

بیایید به اولین مثال از پارادوکس برگردیم (شکل 64 را ببینید). توجه داشته باشید که مثلث بزرگدر حالی که قسمت های دیگر حرکت می کنند A موقعیت خود را تغییر نمی دهد. از آنجایی که این مثلث نقش مهمی در پارادوکس ندارد، می توان آن را به طور کلی کنار گذاشت و فقط مثلث قائم الزاویه را به چهار قسمت برش داد. سپس می توان این قطعات را مجدداً توزیع کرد و در نتیجه به دست آمد مثلث قائم الزاویهبا یک سوراخ (شکل 68)، به ظاهر برابر با سوراخ اصلی.
با ترکیب دو مثلث قائم الزاویه با پاها، می توانید انواع مختلفی از مثلث های متساوی الساقین را بسازید، مشابه آنچه در شکل نشان داده شده است. 69.
همانطور که در پارادوکس های قبلاً مورد بحث قرار گرفت، این مثلث ها را می توان به دو صورت ساخت: یا اضلاع آنها را کاملاً مستطیل بکشید، سپس نقطه X روی تقاطع خطوط شبکه مربع قرار نمی گیرد، یا نقطه X را دقیقاً در محل تقاطع قرار دهید، سپس طرفین کمی محدب یا مقعر خواهند بود. به نظر می رسد روش دوم، نادرستی های نقاشی را بهتر می پوشاند. این پارادوکس حتی شگفت‌انگیزتر به نظر می‌رسد اگر خطوط شبکه مربعی روی قسمت‌هایی که مثلث را تشکیل می‌دهند اعمال شود و در نتیجه تأکید شود که قطعات با دقت لازم ساخته شده‌اند.

با دادن اندازه‌های مختلف به مثلث‌های متساوی الساقین، می‌توانیم هر تعداد واحد مربعی زوج به دست آوریم یا از دست بدهیم.

چندین مثال معمولی در شکل 1 آورده شده است. 70، 71 و 72.

با ساختن دو مثلث متساوی الساقین از هر یک از این انواع با پایه های آنها، می توانید انواع مختلفی از گزینه های لوزی را بسازید. با این حال، آنها اساسا چیز جدیدی به پارادوکس ما اضافه نمی کنند.

چهار تکه مربع

تمام انواع پارادوکس ها با تغییرات مساحتی که تا کنون در نظر گرفته ایم، در روش ساخت آنها ارتباط تنگاتنگی با یکدیگر دارند. با این حال، پارادوکس هایی وجود دارد که با استفاده از روش های کاملاً متفاوت به دست می آیند. برای مثال می توانید یک مربع را به چهار قسمت برش دهید همان شکلو اندازه (شکل 73)، و سپس آنها را به روشی جدید بنویسید که در شکل نشان داده شده است. 74. با این کار مربعی تولید می شود که ابعاد آن بدون تغییر و در عین حال با سوراخی در وسط به نظر می رسد.
به روشی مشابه، می توانید یک مستطیل را با هر نسبت ابعادی برش دهید. جالب است که نقطه A، جایی که این دو متقاطع می شوند، بدون تغییر به نظر می رسد و در همان زمان دارای یک سوراخ در وسط است.

به روشی مشابه، می توانید یک مستطیل را با هر نسبت ابعادی برش دهید. جالب است که نقطه A، که در آن دو خط برش عمود بر هم متقاطع می شوند، می تواند در هر نقطه ای از مستطیل قرار گیرد. در هر مورد، هنگامی که قطعات دوباره توزیع می شوند، یک سوراخ ظاهر می شود و اندازه آن به اندازه زاویه تشکیل شده توسط خطوط برش با اضلاع مستطیل بستگی دارد.

این پارادوکس نسبتاً ساده است، اما به دلیل این واقعیت که حتی با یک مطالعه سطحی نیز مشخص است که اضلاع مستطیل دوم باید کمی بزرگتر از اضلاع مستطیل اول باشد، چیزهای زیادی از دست می دهد.

یک روش پیچیده تر برای برش مربع به چهار قسمت، که یک سوراخ داخلی ایجاد می کند، در شکل نشان داده شده است. 75.

این بر اساس پارادوکس صفحه شطرنج است که این فصل را باز می کند. توجه داشته باشید که هنگام توزیع مجدد قطعات، باید دو عدد از آنها را با قسمت پشتی به سمت بالا برگردانید. همچنین توجه داشته باشید که وقتی قسمت A را دور می اندازیم، مثلث قائم الزاویه ای می گیریم که از سه قسمت تشکیل شده است که می توان داخل آن سوراخ ایجاد کرد.

مربع های سه تکه

آیا راهی برای برش مربع به سه قسمت وجود دارد که بتوان آن را دوباره مرتب کرد و مربعی با سوراخ در داخل آن ایجاد کرد؟ پاسخ مثبت خواهد بود. یک راه حل زیبا بر اساس پارادوکس مورد بحث در فصل قبل است.

به جای چیدمان ویژه تصاویر در تاقچه ها و برش در یک خط مستقیم (افقی)، تصاویر در یک خط مستقیم قرار می گیرند و برش به صورت تاقچه ها انجام می شود. نتیجه شگفت انگیز است: نه تنها تصویر ناپدید می شود، بلکه یک سوراخ در جایی که ناپدید شده ظاهر می شود.

مربع های دو تکه

آیا با دو قسمت هم میشه همین کار رو کرد؟

فکر نمی‌کنم در این حالت بتوان با افزایش نامحسوس ارتفاع یا عرض مربع، سوراخی داخلی در یک مربع به دست آورد. با این حال، نشان داده شده است که پارادوکس با سوراخ در یک مربع که به دو قسمت تقسیم شده است را می توان بر اساس اصلی که در پارادوکس جنگجوی در حال ناپدید شدن اعمال می شود، ساخت. در این مورد، به جای قرار دادن شکل ها در یک مارپیچ یا پله، آنها به شدت در یک دایره قرار می گیرند، در حالی که برش به صورت مارپیچ یا پله انجام می شود. در مورد دوم، ظاهر یک چرخ دنده با دندانه هایی در اندازه های مختلف است. هنگامی که این چرخ می چرخد، یک شکل ناپدید می شود و یک سوراخ به جای آن ظاهر می شود.

قسمت های ثابت و چرخان فقط در موقعیتی که سوراخ ظاهر می شود به طور منظم به یکدیگر متصل می شوند. در موقعیت اولیه، اگر برش پله ای باشد، شکاف های کوچکی در هر دندان قابل مشاهده است، یا اگر برش به صورت مارپیچی باشد، یک شکاف دایره ای پیوسته قابل مشاهده است.

اگر مستطیل اصلی مربع نباشد، می توان آن را به دو قسمت تقسیم کرد و سپس با تغییر بسیار کمی در ابعاد خارجی آن، سوراخی در داخل آن ایجاد کرد. در شکل 76 یک گزینه را نشان می دهد.

هر دو قسمت از نظر شکل و اندازه یکسان هستند. ساده ترین راه برای نشان دادن این پارادوکس به شرح زیر است: قطعات را از مقوا جدا کنید، آنها را به شکل مستطیل بدون سوراخ تا کنید، آنها را روی یک ورق کاغذ قرار دهید و آنها را در اطراف محیط با مداد دنبال کنید. حالا با تا زدن متفاوت قطعات، می بینید که هنوز از خط کشیده شده فراتر نمی روند، البته در وسط مستطیل یک سوراخ ایجاد شده است.

البته به دو قسمت خود می‌توانیم قسمت سومی را اضافه کنیم که به شکل نوار ساخته شده است، که وقتی به یکی از اضلاع مستطیل اعمال می‌شود، آن را به مربع تبدیل می‌کند. بنابراین ما روش دیگری برای برش مربع به سه قسمت داریم و یک سوراخ داخلی ایجاد می کنیم.

گزینه های منحنی و سه بعدی

مثال‌هایی که ما آورده‌ایم به وضوح نشان می‌دهد که حوزه پارادوکس‌ها با تغییر در منطقه تازه شروع به توسعه کرده است. آیا اشکال منحنی مانند دایره یا بیضی وجود دارد که بتوان آنها را تکه تکه کرد و سپس آنها را دوباره مرتب کرد تا سوراخ های داخلی ایجاد شود بدون اینکه شکل محسوسی ایجاد شود؟

آیا فیگورهای سه بعدی وجود دارند که مختص به سه بعد باشند، یعنی پیامدهای پیش پاافتاده فیگورهای دو بعدی نباشند؟ پس از همه، روشن است که برای هر شکل تخت، که در این فصل با آن آشنا شدیم، می توانید به سادگی با برش دادن آن از مقوای نسبتاً ضخیم، که ارتفاع آن برابر با "طول بعد سوم" است، "بعدی" اضافه کنید).

آیا می توان یک مکعب یا مثلاً یک هرم را به روشی نه چندان پیچیده به قطعات تقسیم کرد تا با ترکیب آنها به روشی جدید، فضای خالی قابل توجهی در داخل ایجاد شود؟

پاسخ این خواهد بود: اگر تعداد قطعات را محدود نکنید، نشان دادن چنین ارقام فضایی اصلا دشوار نیست. این در مورد یک مکعب کاملاً واضح است.

در اینجا می توان به پوچی درونی دست یافت حداقل تعدادبخش هایی که با آن می توان به این امر دست یافت، پیچیده تر هستند. مطمئناً می توان آن را از شش قسمت ساخت. این امکان وجود دارد که با تعداد کمتری بتوان به این امر دست یافت.

چنین مکعبی را می توان به روش زیر به طور مؤثر نشان داد: آن را از جعبه ای که دقیقاً مانند یک مکعب ساخته شده است، بیرون بیاورید، آن را به قطعات جدا کنید، یک توپ در داخل آن آشکار شود، قطعات را دوباره در یک مکعب جامد قرار دهید و نشان دهید که (بدون توپ) ) هنوز جعبه را محکم پر می کند. ما پیشنهاد می کنیم که چنین چهره هایی، هم مسطح و هم فضایی، و همچنین از نظر سادگی و ظرافت شکل متمایز می شوند، باید زیاد باشند. کاشفان آینده این حوزه جذاب، از کشف آنها لذت خواهند برد.

بخش ها: ریاضیات

هدف درس:

تعمیم و نظام مندی دانش کسب شده.
گسترش درک دانش آموزان از حل مسائل شامل یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر.

پیشرفت درس

مرحله درس 1

معرفی معلم:هر فردی گهگاه در موقعیتی قرار می گیرد که باید بهترین راه را برای حل یک مشکل پیدا کند.

به عنوان مثال: مهندسان فرآیند سعی می کنند تولید را به گونه ای سازماندهی کنند که تا حد امکان محصولات بیشتری به دست آورند، طراحان می خواهند ابزارهایی را روی یک فضاپیما به گونه ای برنامه ریزی کنند که جرم دستگاه حداقل باشد و غیره.

می توان گفت که مشکلات یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر وجود دارد کاربرد عملی.

برای اثبات حرفم میخوام از داستان ل.ن. تولستوی "مرد چقدر زمین نیاز دارد" درباره دهقان پاخوم است که از باشقیرها زمین خرید.

- قیمتش چقدر میشه؟ - می گوید پخم.
- ما یک قیمت داریم: 1000 روبل. در روز
پخوم نفهمید.
- یک روز چه معیاری است؟ چند ده دهم خواهد بود؟
او می گوید: «ما نمی دانیم چگونه این را بشماریم. و ما در یک روز می فروشیم. چقدر در روز هزینه می کنید متعلق به شما است و قیمت آن 1000 روبل است.
پخوم تعجب کرد.
او می‌گوید: «اما این، زمین‌های زیادی را در یک روز پوشش می‌دهد.»
سرکارگر خندید.
او می گوید: «همه مال تو. - فقط یک توافق: اگر در همان روز به جایی که شروع کرده اید برنگردید، پول شما تمام شده است.
پخم می‌گوید: «اما چگونه می‌توانم جایی را که عبور کنم، مشخص کنم؟»
- و ما در جایی که شما انتخاب می کنید می ایستیم. ما می ایستیم، و شما می روید، یک دایره درست می کنید، یک سوهان با خود ببرید و در صورت لزوم توجه کنید، در گوشه های سوراخ، یک دسته از چمن قرار دهید. سپس با گاوآهن از این سوراخ به آن سوراخ می رویم. هر دایره ای را که می خواهید بردارید، فقط به مکانی که از قبل از غروب آفتاب شروع کرده اید بازگردید. هرچه دور بزنی همه مال توست.

رقمی که پخوم به دست آورد در شکل نشان داده شده است. این چه شکلی است؟ (ذوزنقه مستطیلی)

سوال:به نظر شما پخم بیشترین مساحت را دریافت کرد؟ (با توجه به اینکه کرت ها معمولا مستطیل شکل هستند)؟ امروز در کلاس متوجه خواهیم شد.

برای حل این مشکل باید به یاد داشته باشیم که حل مشکلات شدید شامل چه مراحلی است؟

وظیفه به زبان تابع ترجمه شده است.
ابزارهای تجزیه و تحلیل به دنبال بزرگترین یا کوچکترین مقدار هستند.
دریابید که نتیجه به دست آمده چه معنای عملی دارد.

وظیفه شماره 1 (بیایید به عنوان یک کلاس تصمیم بگیریم)

محیط مستطیل 120 سانتی متر است تا اضلاع مستطیل بیشتر باشد.

برگردیم به مسئله ای که درس را با آن شروع کردیم. آیا پخم بیشترین مساحت را دریافت کرد (با توجه به اینکه کرت ها معمولاً مستطیل شکل هستند)؟ ما با دانش آموزان بحث می کنیم که بزرگترین منطقه ای که می تواند توسط پخم بدست آید.

مرحله درس 2

وظایفی که از قبل روی تابلو نوشته شده اند همراه با توضیح هستند (دو مورد از آنها وجود دارد).

وظیفه شماره 1

دریابید که در چه شرایطی مصرف قلع برای ساخت قوطی های استوانه ای با ظرفیت معین کمترین مقدار خواهد بود.
من می خواهم توجه بچه ها را به این واقعیت جلب کنم که صدها میلیون قوطی در کشور ما تولید می شود و صرفه جویی در مصرف قلع حداقل 1٪ به ما امکان می دهد میلیون ها قوطی را نیز تولید کنیم.

وظیفه شماره 2

قایق ها در 3 کیلومتری نزدیکترین نقطه A ساحل قرار دارند. آتش سوزی در نقطه B واقع در 5 کیلومتری A وجود دارد. قایقران می خواهد به کمک بیاید، بنابراین باید در کمترین زمان ممکن به آنجا برسد. قایق با سرعت 4 کیلومتر در ساعت حرکت می کند و مسافر با سرعت 5 کیلومتر در ساعت حرکت می کند. قایقران در کدام نقطه از ساحل باید فرود بیاید؟

مرحله درس 3

کار در گروه با حفاظت بعدی از وظایف.

وظیفه شماره 1

یکی از وجوه یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل مربع است. مجموع طول یال های بیرون آمده از یک راس متوازی الاضلاع برابر با 12 است. بزرگترین حجم ممکن آن را بیابید.

وظیفه شماره 2

برای نصب تجهیزات یک پایه با حجم 240 dm 3 به شکل موازی مستطیل شکل مورد نیاز است. پایه پایه که روی زمین نصب می شود مستطیل است. طول مستطیل سه برابر عرض است. دیوار عقب بلندتر غرفه در دیوار کارگاه تعبیه خواهد شد. هنگام نصب پایه، دیوارهای آن که در کف یا دیوار نصب نشده اند، با جوشکاری به یکدیگر متصل می شوند. ابعاد پایه ای که در آن طول کل جوش کوتاه ترین خواهد بود را تعیین کنید.

وظیفه شماره 3

تیری با سطح مقطع مستطیل شکل از یک چوب گرد بریده شده است. اگر شعاع مقطع تیر چوبی 30 سانتی متر باشد، ابعاد مقطع تیر را بیابید.

وظیفه شماره 4

از یک ورق مقوا مستطیلی با اضلاع 80 سانتی متر و 50 سانتی متر، باید با بریدن مربع ها در امتداد لبه ها و تا زدن لبه های حاصل، یک جعبه مستطیلی بسازید. قد جعبه چقدر باید باشد تا بیشترین حجم را داشته باشد؟ این جلد را پیدا کنید.

مرحله درس 4

حل مسائل ارزیابی انتخابی.

وظیفه شماره 1

از یک سیم به طول 80 سانتی متر باید یک مستطیل با بیشترین مساحت درست کنید. ابعاد آن را بیابید.

وظیفه شماره 2

مجموع طول لبه های یک منشور مثلثی منظم 18√3 است. بزرگترین حجم ممکن چنین منشوری را بیابید.

وظیفه شماره 3

قطر یک متوازی الاضلاع مستطیلی که یکی از وجوه جانبی آن مربع است برابر با 2√3 است. بزرگترین حجم ممکن چنین متوازی الاضلاعی را بیابید.

مرحله درس 5

مثال 1 . از یک سیم به طول 20 سانتی متر باید یک مستطیل با بیشترین مساحت درست کنید. ابعاد آن را بیابید.

راه حل:بیایید یک ضلع مستطیل را با x سانتی متر نشان دهیم، سپس دومی (10-x) سانتی متر خواهد بود، مساحت S(x)=(10-x)*x=10x-x 2 ;

S/(x)=10-2x; S/(x)=0; x=5;

با توجه به شرایط مسئله x (0;10)

بیایید علامت مشتق را در بازه (0;5) و در فاصله (5;10) پیدا کنیم. مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد. بنابراین: x=5 حداکثر نقطه، S(5)=25cm 2 – بالاترین ارزش. بنابراین، یک ضلع مستطیل 5 سانتی متر است، طرف دیگر 10x=10-5=5 سانتی متر است.

مثال 2. قطعه ای به مساحت 2400 متر مربع باید به دو قسمت مستطیلی تقسیم شود تا طول حصار کوتاه ترین باشد. اندازه کرت ها را بیابید.

راه حل:بیایید یک طرف طرح را با x m نشان دهیم، سپس دومی m خواهد بود، طول حصار P(x) = 3x+ است.

P / (x) = 3- ; P / (x) = 0; 3 x 2 = 4800; x=40. ما با توجه به شرایط مشکل فقط یک مقدار مثبت می گیریم.

با توجه به شرایط مسئله x (0; )

بیایید علامت مشتق را در بازه (0;40) و روی فاصله (40; ?) پیدا کنیم. مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد. از این رو x=40 حداقل نقطه است، بنابراین P(40)=240m کوچکترین مقدار است، به این معنی که یک ضلع آن 40 متر و طرف دیگر = 60 متر است.

مثال 3. زمین مستطیل شکل از یک طرف مجاور ساختمان است. با اندازه محیط معین 1 متر، لازم است منطقه را حصار بکشید تا منطقه تا حد امکان بزرگ باشد.

راه حل:

بیایید یک ضلع از مساحت مستطیل را با x m نشان دهیم، سپس دومی (-2x)m، ناحیه S(x)= (-2x)x = x -2x2 خواهد بود.

S/(x)= -4x; S/(x)=0; -4x x = ;

با توجه به شرایط مسئله x (0; )

بیایید علامت مشتق را در بازه (0; ) و در فاصله (; ) پیدا کنیم. مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد. از این رو x = حداکثر نقطه. بنابراین، یک طرف طرح = m، دوم -2x = m.

مثال 4. از یک ورق مقوا مستطیلی با اضلاع 80 سانتی متر و 50 سانتی متر، باید با بریدن مربع ها در امتداد لبه ها و تا زدن لبه های حاصل، یک جعبه مستطیلی بسازید. قد جعبه چقدر باید باشد تا بیشترین حجم را داشته باشد؟

راه حل:اجازه دهید ارتفاع جعبه (این سمت مربع برش است) را با x متر نشان دهیم، سپس یک طرف پایه (80-2x) سانتی متر، دوم (50-2x) سانتی متر، حجم V(x) خواهد بود. = x(80-2x)(50-2x) =4x 3 -260x 2 +4000x;

V / (x) = 12x 2 -520x+4000; V/(x)=0; 12x 2 -520x+4000=0; x 1 = 10; x 2 =

با توجه به شرایط مسئله x (0; 25); x 1 (0; 25)، x 2 (0; 25)

بیایید علامت مشتق را در بازه (0؛ 10) و در فاصله (10؛ 25) پیدا کنیم. مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد. بنابراین x = 10 حداکثر نقطه است. بنابراین، ارتفاع جعبه = 10 سانتی متر است.

مثال 5. زمین مستطیل شکل از یک طرف مجاور ساختمان است. با اندازه محیط معین 20 متر، لازم است منطقه را حصار بکشید تا منطقه تا حد امکان بزرگ باشد.

راه حل:

بیایید یک ضلع مستطیل را با x m نشان دهیم، سپس دومی (20 -2x) m، مساحت S(x)= (20-2x)x=20x -2x2 خواهد بود.

S / (x) = 20 -4x; S/(x)=0; 20 -4x =0; x = = 5;

با توجه به شرایط مسئله x (0; 10)

بیایید علامت مشتق را در بازه (0؛ 5) و در فاصله (5؛ 10) پیدا کنیم. مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد. بنابراین x = 5 حداکثر نقطه است. بنابراین، یک طرف طرح = 5 متر، دوم 20 -2x = 10 متر.

مثال 6 . برای کاهش اصطکاک مایع در برابر دیواره ها و پایین کانال، لازم است ناحیه خیس شده توسط آن تا حد امکان کوچک شود. لازم است ابعاد یک کانال مستطیلی باز با سطح مقطع 4.5 متر مربع را پیدا کنید که در آن ناحیه خیس شده کوچکترین باشد.

راه حل:

اجازه دهید عمق خندق را با x m نشان دهیم، سپس عرض آن m، P(x)=2x+ خواهد بود.

P / (x) = 2- ; P / (x) = 0; 2x 2 = 4.5; x=1.5. ما با توجه به شرایط مشکل فقط یک مقدار مثبت می گیریم.

با توجه به شرایط مسئله x (0; )

بیایید علامت مشتق را در بازه (0;1.5) و روی فاصله (1.5;؟) پیدا کنیم. مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد. از این رو x=1.5 حداقل نقطه است، بنابراین، P(1.5)=6m کوچکترین مقدار است، به این معنی که یک طرف خندق 1.5 متر و طرف دیگر = 3 متر است.

مثال 7. زمین مستطیل شکل از یک طرف مجاور ساختمان است. با اندازه محیط معین 200 متر، لازم است منطقه را حصار بکشید تا منطقه تا حد امکان بزرگ باشد.

"کاربرد مشتق در حل مسئله"

(کلاس دهم)

سیستم روش‌شناختی فعالیت‌های معلم در این درس، شکل‌گیری توانایی دانش‌آموزان را برای برنامه‌ریزی و انجام گام به گام مستقل در نظر می‌گیرد. کار تحقیقاتی. دانش آموز حق دارد با معلم مشورت کند، مناظره کند، نصیحت یا نکاتی را از معلم دریافت کند تا به کودک در درک انواع راه حل ها و تعیین راه حل صحیح کمک کند.

در طول درس، بحث در مورد مطالب نظری برگزار می‌شود، کلاس به گروه‌هایی تقسیم می‌شود تا از تنوع روش‌های استدلالی که پیشنهاد می‌کنند اطمینان حاصل شود و پس از آن، مقبول‌ترین آنها انتخاب می‌شود.

در کنار فعالیت های مستقل، توصیه می شود از وظایف متمایز در درس استفاده شود. سطوح مختلفو بر اساس آن آنها را ارزیابی کنید.

تجزیه و تحلیل نتایج دانش آموزانی که این وظایف را انجام می دهند، علاوه بر اطلاعاتی در مورد تسلط آنها، تصویری از مشکلات اصلی دانش آموزان، شکاف های اصلی آنها را به معلم می دهد، که به ترسیم راه های اصلی برای حل مشکلات کمک می کند.

هدف درس:تسلط بر مهارت های به کارگیری مستقل دانش، مهارت ها و توانایی ها به صورت پیچیده و انتقال آنها به شرایط جدید با استفاده از روش تحقیق.

وظایف:

آموزشی و شناختی:ادغام، نظام‌بندی و تعمیم دانش و مهارت‌های مربوط به تسلط بر مفهوم "بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع"؛ کاربرد عملی مهارت ها و توانایی های در حال توسعه.

رشدی:توسعه مهارت‌ها برای کار مستقل، بیان ایده‌ها به وضوح، و انجام خودارزیابی فعالیت‌های یادگیری در کلاس درس.

ارتباط: توانایی شرکت در بحث، گوش دادن و شنیدن.

پیشرفت درس

لحظه سازمانی

1. هر فردی گهگاه در موقعیتی قرار می گیرد که نیاز به یافتن بهترین راه حل مسئله دارد و ریاضیات وسیله ای برای حل مسائل سازماندهی تولید و جستجوی راه حل های بهینه می شود. یک شرط مهم برای افزایش راندمان تولید و بهبود کیفیت محصول، اجرای گسترده است روش های ریاضیبه فناوری

تکرار

در میان مسائل ریاضیات، نقش مهمی به مسائل فوق العاده اختصاص داده شده است. وظایف برای یافتن بزرگترین و کوچکترین ارزش، بهترین، سودآورترین، مقرون به صرفه ترین. نمایندگان انواع تخصص ها باید با چنین مشکلاتی دست و پنجه نرم کنند: مهندسان فرآیند سعی می کنند تولید را سازماندهی کنند تا هرچه بیشتر محصولات تولید شود، طراحان می خواهند دستگاهی را روی یک فضاپیما برنامه ریزی کنند تا جرم دستگاه حداقل باشد، اقتصاددانان تلاش می کنند. برنامه ریزی برای پیوستن کارخانه ها به منابع مواد اولیه به گونه ای که هزینه های حمل و نقل به حداقل ممکن برسد. می توان گفت که مشکلات یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر کاربرد عملی زیادی دارد. امروز در کلاس به حل چنین مشکلاتی خواهیم پرداخت.

تقویت مطالب آموخته شده

2. دو دانش آموز "قوی" برای حل مسائل به هیئت مدیره فراخوانده می شوند (10 دقیقه).

شاگرد اول:یک مخزن بدون درب به شکل متوازی الاضلاع مستطیل شکل که قاعده آن مربع و حجم آن 108 سانتی متر مکعب است داده شده است. مخزن با چه اندازه ای به کمترین مقدار مواد برای ساخت آن نیاز دارد؟

راه حل:اجازه دهید ضلع قاعده را x سانتی متر نشان دهیم و ارتفاع متوازی الاضلاع را بیان کنیم. بیایید علامت مشتق را در فواصل زمانی پیدا کنیم. مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد. بنابراین x=6 حداقل نقطه است، بنابراین S(6)=108 cm2 کوچکترین مقدار است. این بدان معنی است که طرف پایه 6 سانتی متر است، ارتفاع آن 12 سانتی متر است.

شاگرد دوم:مستطیلی با بیشترین مساحت در دایره ای به شعاع 30 سانتی متر محاط شده است. ابعاد آن را بیابید.

راه حل:یک ضلع مستطیل را x سانتی متر نشان می دهیم، سپس مساحت مستطیل را بیان می کنیم. بیایید علامت مشتق را در فاصله (0;30) و در فاصله (30;60) پیدا کنیم. مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد. بنابراین x=30 حداکثر نقطه است. بنابراین، یک ضلع مستطیل 30 و دیگری 30 است.

3.در این زمان شمایک امتحان متقابل در مورد "کاربرد مشتقات" وجود دارد (برای هر پاسخ صحیح 1 امتیاز تعلق می گیرد). هر دانش آموز پاسخ می دهد و پاسخ خود را به همسایه میز خود می دهد تا بررسی کند.

سوالات بر روی یک برد قابل حمل نوشته شده است، فقط پاسخ داده می شود:

به یک تابع گفته می شود که در یک بازه معین افزایش می یابد اگر ...

به یک تابع گفته می شود که در یک بازه معین کاهش می یابد اگر ...

نقطه x 0 نقطه حداقل نامیده می شود اگر ...

نقطه x 0 حداکثر نقطه نامیده می شود اگر ...

نقاط ثابت یک تابع را نقاط...

شکل کلی معادله مماس را بنویسید

معنای فیزیکی مشتق

نتیجه گیری

4. کلاس به گروه تقسیم می شود. گروه ها وظایفی را برای یافتن حداقل و حداکثر یک تابع انجام می دهند.

5. کلمه به دانش آموزان "قوی" داده می شود. دانش آموزان در کلاس راه حل های خود را بررسی می کنند (10 دقیقه).

6. مسائل انتخابی برای هر گروه داده شده است (10 دقیقه).

1 گروه.

به علامت "3".

برای تابع f(x)=x 2 *(6-x) کوچکترین مقدار را در قسمت پیدا کنید.

راه حل: f(x)=x 2 *(6-x)=6x 2 +x 3; f / (x) = 12x-3x 2; f/(x)=0; 12x-3x 2 =0; x 1 = 0; x 2 = 4;

f(0)=0; f(6)=0; f(4)=32-max.

در علامت "4".

از یک سیم به طول 20 سانتی متر باید یک مستطیل با بیشترین مساحت درست کنید. ابعاد آن را بیابید.

راه حل: یک ضلع مستطیل را با x سانتی متر نشان می دهیم، سپس دومی (10-x) سانتی متر، مساحت S(x)=(10-x)*x=10x-x 2 خواهد بود. S/(x)=10-2x; S/(x)=0; x=5. با توجه به شرایط مسئله x (0;10). بیایید علامت مشتق را در بازه (0;5) و در فاصله (5;10) پیدا کنیم. مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد. از این رو: x=5 حداکثر نقطه است، S(5)=25 cm2 بزرگترین مقدار است. بنابراین، یک ضلع مستطیل 5 سانتی متر است، دومی 10x=10-5=5 سانتی متر است.

در علامت "5".

قطعه ای به مساحت 2400 متر مربع باید به دو قسمت مستطیلی تقسیم شود تا طول حصار کوتاه ترین باشد. اندازه کرت ها را بیابید.

راه حل: بیایید یک طرف طرح را با x m نشان دهیم، طول حصار را بنویسیم و مشتق P / (x) = 0 را پیدا کنیم. 3x 2 =4800; x 2 = 1600; x=40. ما با توجه به شرایط مشکل فقط یک مقدار مثبت می گیریم.

بیایید علامت مشتق را در فاصله (0;40) و روی فاصله (40;؟) پیدا کنیم. مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد. از این رو x=40 حداقل نقطه است، بنابراین P(40)=240 کوچکترین مقدار است، به این معنی که یک ضلع 40 متر و طرف دیگر 60 متر است.

گروه 2.

به علامت "3".

برای تابع f(x)=x 2 +(16-x) 2، کوچکترین مقدار قطعه را پیدا کنید.

راه حل: f / (x)=2x-2(16-x)x=4x-32; f/(x)=0; 4x-32=0; x=8; f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128 دقیقه.

در علامت "4".

زمین مستطیل شکل از یک طرف مجاور ساختمان است. با توجه به ابعاد محیطی بر حسب متر، لازم است منطقه را حصار بکشید تا منطقه تا حد امکان بزرگ باشد.

در علامت "5".

اجازه دهید ارتفاع جعبه (این سمت مربع بریده شده است) را با x متر نشان دهیم، سپس یک طرف پایه (80-2x) سانتی متر، دوم - (50-2x) سانتی متر، حجم V(x) خواهد بود. )=x(80-2x)(50-2x) )=4x 3، 260x2 +4000x; V / (x) = 12x 2 -520x+4000; V/(x)=0; 12x 2 -520x+4000=0.

با توجه به شرایط مسئله x (0;25); x 1 (0;25)، x 2 (0;25).

بیایید علامت مشتق را در بازه (0;10) و در فاصله (10;25) پیدا کنیم. مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد. بنابراین x=10 حداکثر نقطه است. بنابراین ارتفاع جعبه = 10 سانتی متر است.

گروه 3.

به علامت "3".

برای تابع f(x)=x*(60's) بزرگترین مقدار را در بخش پیدا کنید.

راه حل: f(x)=x*(60-x)=60x-x 2; f / (x)=60-2x; f/(x)=0; 60-2x=0; x=30; f(0)=0; f(60)=0; f(30)=900-max.

در علامت "4".

زمین مستطیل شکل از یک طرف مجاور ساختمان است. با اندازه محیط معین 20 متر، لازم است منطقه را حصار بکشید تا منطقه تا حد امکان بزرگ باشد.

بیایید یک ضلع مستطیل را با x m نشان دهیم، سپس دومی (20-2x) m، مساحت S(x)=(20-2x)x=20x-2x 2 خواهد بود. S/(x)=20-4x; S/(x)=0; 20-4x=0; x=5. با توجه به شرایط مسئله x € (0;10). بیایید علامت مشتق را در بازه (0;5) و در فاصله (5;10) پیدا کنیم. مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد. بنابراین x=5 حداکثر نقطه است. بنابراین، یک طرف طرح = 5 متر، دوم - 20-2 * 5 = 10 متر.

در علامت "5".

برای کاهش اصطکاک مایع در برابر دیواره ها و پایین کانال، لازم است ناحیه خیس شده توسط آن تا حد امکان کوچک شود. لازم است ابعاد یک کانال مستطیلی باز با سطح مقطع 4.5 متر مربع را پیدا کنید که در آن ناحیه خیس شده کوچکترین باشد.

اجازه دهید عمق خندق را با x m نشان دهیم، P / (x) = 0. 2x2 =4.5; x=1.5. ما با توجه به شرایط مشکل فقط یک مقدار مثبت می گیریم. بیایید علامت مشتق را در بازه (0;1.5) و روی فاصله (1.5;؟) پیدا کنیم. مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد. از این رو x=1.5 حداقل نقطه است، بنابراین، P(1.5) = 6 m کوچکترین مقدار است، به این معنی که یک طرف خندق 1.5 متر و طرف دیگر 3 متر است.

گروه 4.

به علامت "3".

برای تابع f(x)=x 2 (18-x) بزرگترین مقدار را در بخش پیدا کنید.

f(x)=x 2 (18-x)=18x 2 -x 3; f / (x) = (18x 2 - x 3) / ; f/(x)=0; 36x-3x 2 =0; x 1 = 0; x 2 = 12 f(0) = 0; f(18)=0; f(12)=864-max.

در علامت "4".

زمین مستطیل شکل از یک طرف مجاور ساختمان است. با اندازه محیط معین 200 متر، لازم است منطقه را حصار بکشید تا منطقه تا حد امکان بزرگ باشد.

بیایید یک ضلع مساحت مستطیل را با x m نشان دهیم، سپس ضلع دوم (200-2x) m، مساحت S(x)=(200-2x)x=200x-2x 2 خواهد بود. S/(x)=200-4x; S/(x)=0; 200-4x=0; x=200/4=50. با توجه به شرایط مسئله x (0;100). بیایید علامت مشتق را در فاصله (0;50) و در فاصله (50;100) پیدا کنیم. مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد. بنابراین x=50 حداکثر نقطه است. بنابراین، یک طرف طرح = 50 متر، دوم - 200-2x = 100 متر.

در علامت "5".

لازم است یک جعبه باز به شکل موازی مستطیل شکل با پایه مربع با کمترین حجم در صورتی که برای ساخت آن 300 سانتی متر مربع صرف شود.

اجازه دهید یک طرف پایه را با x سانتی متر نشان دهیم و حجم را بیان کنیم، سپس V / (x) = 0 300-3x 2 = 0. x 2 = 100; x=10. ما با توجه به شرایط مشکل فقط یک مقدار مثبت می گیریم.

بیایید علامت مشتق را در بازه (0;10) و در فاصله (10;0) پیدا کنیم. مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد. بنابراین x=10 حداقل نقطه است، بنابراین، V(10)=500cm 3 کوچکترین مقدار است، به این معنی که ضلع پایه 10 سانتی متر است، ارتفاع آن 50 سانتی متر است.

سوالات برای کلاس

7. نمایندگان گروه ها راه حل مسائل انتخاب شده را توضیح می دهند (10 دقیقه).

8. با در نظر گرفتن نكات در گرم كردن و كار گروهي، نمرات درس تعلق مي گيرد.

جمع بندی درس

مشق شب

حل مسئله یک امتیاز بالاتر؛ دانش آموزانی که تکلیف را با "5" تکمیل می کنند از انجام تکالیف معاف هستند.

تجزیه و تحلیل نتایج دانش آموزانی که این وظایف را انجام می دهند، علاوه بر اطلاعات در مورد تسلط آنها، تصویری از مشکلات اصلی دانش آموزان، شکاف های اصلی آنها را به معلم می دهد، که به ترسیم راه های اصلی برای از بین بردن آنها کمک می کند.

	FOMKINA تاتیانا فدوروونا
کارت ویزیت
عنوان شغلی	مدرس زبان و ادبیات روسی
محل کار	مؤسسه آموزشی شهرداری "متوسطه دبیرستانشماره 9 شهر اورنبورگ
سابقه کار در دفتر

امتیاز مسابقه
موضوع تجربه تدریس	شکل گیری صلاحیت زبانی دانش آموزان بر اساس رویکرد سیستمی فعالیت برای آموزش زبان روسی طبق مجتمع آموزشی S.I. لوووی
جوهر سیستم روش شناختی معلم که منعکس کننده ایده های پیشرو تجربه است	ماهیت سیستم روش شناختی معلم در سازماندهی فعالیت های آموزشی به عنوان حرکت از یک مسئله زبانی (به دانش آموزان اجازه می دهد تا توجه دانش آموزان را به ماهیت زبانی معنی دار یک املای خاص جلب کنند) به یک روش عمل (بر اساس) است. در یک قانون، دسترسی به فرهنگ لغت)، و سپس به یک نتیجه (عملکرد رایگان با قوانین در هنگام نوشتن یا استفاده از فرهنگ لغت املا).
کار برای انتشار تجربه خود، ارائه سیستم روش شناختی در سطوح مختلف (اشکال، محصولات فکری)	سابقه کار Fomkina T.F. خلاصه شده در سال 1388 در سطح موسسه آموزشی شهرداری "دبیرستان شماره 9" و تصویب شورای روش. در سال 2009 و 2010 در بین معلمان شهر اورنبورگ در سطح شهرداری نمایندگی می شود. تاتیانا فدوروونا در منطقه اجرا کرد انجمن های روش شناختیدر مورد موضوعات: "استفاده از فناوری اطلاعات و ارتباطات در دروس زبان و ادبیات روسی به عنوان ابزاری برای توسعه صلاحیت زبانی"، "رویکردی مبتنی بر فعالیت برای ساخت استانداردهای آموزشی".
اثربخشی اجرای سیستم روش شناختی	شکل گیری انگیزه مثبت پایدار و افزایش علاقه دانش آموزان به موضوع. پویایی مثبت در نگرش دانش آموزان نسبت به معلم، درس های زبان و ادبیات روسی، توسعه توانایی دانش آموزان برای انجام فعالیت های پیش بینی و فعال سازی فرآیندهای شناختی. افزایش قابل توجه کیفیت کارهای خلاقانهانشا، که نتایج امتحانات نهایی تایید می شود: در سال 2007، بر اساس نتایج GIA، عملکرد تحصیلی 100٪ بود، تعداد کسانی که با "4" و "5" وظایف را انجام دادند، 87٪ بود. در سال 2008 نتایج آزمون دولتی یکپارچهعملکرد تحصیلی - 100٪، تعداد کسانی که وظایف را در "4" و "5" انجام دادند - 92٪، بالاترین امتیاز - 87. در سال 2009، طبق نتایج آزمون یکپارچه دولتی، عملکرد تحصیلی 100٪ بود، تعداد کسانی که وظایف را با "4" و "5" انجام دادند، 58٪، بالاترین امتیاز 96 بود. افزایش تعداد دانش آموزان شرکت کننده در همایش ها، مسابقات و المپیادهای علمی و عملی: X کنفرانس علمی و عملی منطقه ای دانشجویان "شما یک اورنبرگر هستید" (محل سوم)، پانزدهم همایش شهرستانی دانشجویان "روشنفکران قرن بیست و یکم" (دیپلم "پژوهش های مختلف خانواده")، مسابقه نامه نگاری همه روسی "شناخت و خلاقیت"، 2010 (مقام سوم، برنده)، مسابقات منطقه ای درون مدرسه ای و مکاتبه ای "پدری"، 2009 (مقام سوم)، VI المپیاد بین المللیدر علوم پایه، 2010 (دیپلم های درجه یک و دو)، مسابقه بین المللی بازی "توله خرس روسی"، 2010 (مقام پانزدهم در منطقه). نظارت فعالیت های آموزشینشان می دهد سطح بالاسطح یادگیری دانش آموزان تاتیانا فدوروونا فومکینا: زبان روسی - 69٪ (2009)، ادبیات - 77٪ (2009).

مواد حاصل از تجربه کاری

درس یادگیری دانش جدید

با تمایز چند سطحی آموزش

"نه با اسم"

(کلاس پنجم)

یادداشت های درسی ارائه شده مطابق با "برنامه زبان روسی برای کلاس های 5-6" توسط S.I. لوووی (M.; "Mnemosyne"، 2008). این درس با هدف توسعه مهارت های زبانی، زبانی و گفتاری دانش آموزان است. مطالب موجود در درس ماهیت آموزشی، توسعه ای و آموزشی دارد.

اهداف درس:

1) مهارت های ارتباطی را توسعه دهید: یک سؤال را تنظیم کنید و به آن پاسخ دهید موضوع گرامر; انجام تعامل گفتاری در یک گروه تلفن همراه؛ متن های خود را در مورد یک موضوع خاص ایجاد کنید.

2) برای تشکیل صلاحیت زبانی و زبانی: قوانین املایی را بدانید نه با اسم بتوانید از یک الگوریتم برای اعمال استفاده کنید این قانوندر عمل؛ املا را تکرار کنید « نه با فعل" , قانون اسمی؛

3) نگرش مراقبتی نسبت به کلمه به عنوان یک ارزش معنوی مردم پرورش دهید.

تجهیزات:تجهیزات چند رسانه ای، ارائه ویدئو، کارت های مرجع، آزمون، فایل های با یک کار تحقیقاتی.

پیشرفت درس

لحظه سازمانی

با سلام خدمت همکاران گرامی بله بله دقیقا همکاران من شما را تصادفی اینطور صدا نکردم امروز ما یک کار مشترک انجام خواهیم داد: حل مشکلات زبانی، کشف اسرار املای کلمات. از این گذشته ، به گفته لو نیکولایویچ تولستوی ، کلمه چیز بزرگی است... با یک کلمه می توان به عشق خدمت کرد، اما با یک کلمه می توان به دشمنی و نفرت خدمت کرد. (پیگراف به درس).

گرم کردن زبانی "بله - نه"

این مهارت تسلط بر کلمات است که به شما کمک می کند تا با گرم کردن زبانی که "بله - نه" نامیده می شود کنار بیایید. قوانین این گرم کردن به شرح زیر است: من قانون را حدس می زنم و شما سعی می کنید با پرسیدن سؤالات اصلی که باید به گونه ای فرموله شوند که با "بله" یا "خیر" پاسخ دهم آن را حدس بزنید. امروز پاسخ های شما را با استفاده از نشانه ها ارزیابی خواهم کرد. از من سوال بپرس

دانش آموزان از معلم سوال می پرسند. به عنوان مثال:

1. ما این قانون را در کلاس 5 آموزش دادیم؟ (بله)

2. آیا این یک قانون در مورد املای کلمات است؟ (نه)

3. آیا این قاعده در مورد قسمت هایی از گفتار است؟ (بله)

4. آیا این قاعده در مورد اسامی است؟ (بله)

- آفرین! حدس زدی!

به روز رسانی دانش

حالا بیایید به یاد بیاوریم که اسم چیست. اما بیایید یک به یک در مورد آن صحبت کنیم، مانند ورزشکاران در یک مسابقه، باتوم را به یکدیگر بسپاریم. هر کسی که بخواهد می تواند هنگام پاسخگویی از آن استفاده کند کارت های کمک. من پاسخ های شما را با نشانه ها ارزیابی خواهم کرد ( پاسخ دانش آموز).

کار بزرگی کرد! برای اینکه بتوانیم اسم ها را از سایر قسمت های گفتار متمایز کنیم، به آگاهی از قوانین مربوط به اسم ها نیاز داریم.

ما این مهارت را با انجام دادن آزمایش خواهیم کرد دیکته توزیع شفاهی.

کلمات را با دقت بخوانید (با کلیک روی ماوس روی صفحه پروژکتور تصویر محو می شود).

اما آن چیست؟ چه اتفاقی برای تصویر افتاد؟ بچه ها یه اشتباهی شده!

او را بگیر! (تکنیک اشتباه را بگیرید)

«خشم» باید با هم نوشته شود.چرا؟

این فعل است که بدون استفاده نمی شود نه.

(کلیک ماوس)

ورزش:کلمات را با توجه به قسمت های گفتار به دو گروه تقسیم کنید. (دانش آموزان تکلیف را کامل می کنند)

1. با چه بخش هایی از گفتار مواجه شدید؟ (اسم و افعال)

2. اسم ها را نام ببرید.

3- افعال را نام ببرید.

4. چگونه NOT را با فعل املا می کنید؟

هدف گذاری

بنابراین، دانستن قوانین مربوط به اسم ها و املای NOT با افعال به ما کمک می کند تا با آن مقابله کنیم موضوع جدید، که به نظر می رسد: "نه با اسم"آن را در دفتر خود یادداشت کنید.

من رشته افکارمان را در آن نوشتم "فکر کردنورق"، که از سه ستون "می دانم"، "می خواهم بدانم"، "من متوجه شدم" تشکیل شده است.

در ستون "میدونم" قانونی داده شده است که امروز به آن تکیه خواهیم کرد. این یک قانون در مورد نوشتن NOT با فعل است .

در ستون "میخوام بدونم" سوال روز فرموله شد: "ببینید چه زمانی NOT با یک اسم نوشته می شود و چه زمانی - جداگانه."

در ستون "من فهمیدم" پاسخ این سوال را می نویسیم.

اما ابتدا بیایید آن را انجام دهیم کار واژگان.

بچه ها کی هستن نادانو نادان؟به این چه آدم هایی می گوییم؟ (پاسخ دانش آموزان)

این کلمات و آنها را بنویسید معانی لغوی. حالا با آنها عبارات یا جملات بسازید (اختیاری).

یادگیری مطالب جدید

بچه ها نظرتون چیه، چرا کلمات "جاهل" و "جاهل" با هم نوشته شده اند؟ (چون بدون NOT استفاده نمی شوند)گزارش دهید

برندگان اولویتملیپروژه « آموزش و پرورش". تجربه به دست آمده در خود تحلیلی و مقایسه دستاوردهای خود با دستاوردهای همکاران به دست آمده است جدیدآموزشی ...

تجربه در ایجاد منابع اینترنتی توسط معلمان منطقه اورنبورگ

چکیده پایان نامه

سیستم ها آموزش و پرورش V موسسه آموزشی; شناسایی محدوده توزیع پیشرفتهآموزشیتجربه... آموزش عمومی مدرسه"برنده انتخاب رقابتی در داخل شد اولویتملیپروژه « آموزش و پرورش". در...

خرستینا نادژدا میخایلوونا، معلم کار رشدی با کودکان، موسسه آموزشی غیردولتی "مرکز کودکان "سرزمین عجایب"، ریازان [ایمیل محافظت شده]

کاربرد عناصر TRIZ در درس ریاضیات

حاشیه نویسی. مقاله استفاده از عناصر ساختار درس خلاق در درس ریاضیات در سیستم آموزشی نوآورانه NFTMTRIZ را مورد بحث قرار می دهد. نویسنده پیشنهاد می کند توسعه روش شناختیدرس ریاضی در کلاس پنجم، که نشان می دهد چگونه می توان توانایی های خلاقانه دانش آموزان را در درون خود پرورش داد برنامه درسی مدرسه. کلمات کلیدی: فعالیت های آموزشی جهانی، تفکر خلاق، رویکرد سیستمی-فعالیتی، درس خلاق، تأمل.

ریاضیات علمی است که برای همه حیاتی است. کودک از سنین پایین با دنیایی از اعداد، اشکال و ... احاطه شده است و در عین حال این جهان بسیار پیچیده و چندوجهی است. بسیاری از کودکان که در یادگیری مطالب با مشکل مواجه می شوند، علاقه خود را به موضوع از دست می دهند و "جهل" مانند یک گلوله برفی جمع می شود. بنابراین، معلم با مشکل روبرو می شود: نه تنها آموزش، بلکه القای علاقه، و بنابراین به کودک ابزاری برای تسلط مستقل بر دانش جدید (فعالیت های یادگیری جهانی) می دهد. هیجان انگیز، با استفاده از انواع روش های آموزشی، برای توسعه سیستماتیک تفکر خلاقیت کودک، توانایی کار با یک مشکل و حل آن، نتیجه گیری، جستجوی رویکردهای جدید، دیدن زیبایی نتایج استاندارد آموزشی ایالتی فدرال (FSES) اصلی آموزش عمومیمورخ 17 دسامبر 2010. مبتنی بر رویکرد فعالیت سیستمی، با ارزش شخصیت آزاد و مسئولیت پذیر دانش آموز است. این استاندارد حکم می‌کند که از سیستم کلاسی جان آموس کومنیوس دور شویم، که در آن معلم «داستان‌گو» است و دانش‌آموزان «بازگوکننده» هستند، مانند: «طوفان فکری»، بحث، فعالیت های پروژهدر دنیایی که دائماً در حال تغییر است، معلم باید چه نتایجی به دست آورد تا در دانش آموزان وطن پرستی، عشق به میهن، تاریخ، زبان و فرهنگ مردم خود را القا کند؟ نگرش مسئولانه نسبت به یادگیری، توانایی خودسازی و خودآموزی مبتنی بر انگیزه یادگیری و دانش، انتخاب آگاهانه حرفه. فرم شایستگی ارتباطی; توانایی در تعیین اهداف، جستجوی راههای رسیدن به آنها، تسلط بر اصول اولیه خودکنترلی و ... همچنین دانش آموز باید دانش و شایستگی کافی داشته باشد، بتواند در قبال اعمال و پیامدهای آن مسئولیت پذیر باشد، به قانون احترام بگذارد. یک شهروند آزاد و مسئولیت پذیر باشید. حرکت رو به جلو علم و فناوری منجر به افزایش تعداد اختراعات و مشاغل جدید می شود برای دستیابی به همه این نتایج، یک معلم نباید فقط دانش را منتقل کند، او باید «چگونه یاد بگیرد، معلمی که به یک درس می‌رود، باید بفهمد که دیگر تنها نتایج اصلی نیست». نتایج شخصی و فرا موضوعی را تشکیل می دهند. فرمول نتایج تغییر کرده است، زیرا کودک اکنون باید بر روش های عمل تسلط یابد، یعنی. فعالیت های آموزشی جهانی که عبارتند از نتایج فرا موضوعی. تنها مجموعه ای از اقدامات جهانی این امکان را در دانش آموز ایجاد می کند که بتواند به عنوان یک سیستم یاد بگیرد نقشه فناوریدرس این امکان را فراهم می کند که به وضوح ردیابی شود که چگونه و در چه مرحله ای اقدامات آموزشی جهانی خاص شکل می گیرد. برای دستیابی به اهداف، معلم می تواند با استفاده از عناصر یک سیستم آموزشی خلاق برای شکل گیری مداوم تفکر خلاق (CPTM)، که حاوی ابزارهایی از نظریه حل مسئله اختراعی (TRIZ) است، کمک کند تفکر فانتزی، سیستماتیک و دیالکتیکی، به کارگیری ساختار یک درس خلاقانه در مدرسه، به شما این امکان را می دهد که درس را روشن تر، استرس کمتری برای کودک ایجاد کنید، کودک را در طول درس متمرکز نگه دارید و مهمتر از همه، به او آموزش های آماده ارائه نکنید. به او فرصت می دهد تا خودش آن را به دست آورد هنگام خواندن شرایط، از آنجایی که کافی نیست، "تاری" است و ممکن است حاوی اطلاعات اضافی باشد. انواع روش های راه حل منجر به تخریب اینرسی روانی می شود - عادت به اعمال استاندارد در یک موقعیت آشنا یا میل به فکر کردن و عمل مطابق با تجربه انباشته شده مجموعه ای از پاسخ های ممکن به آموزش تفکر و عزت نفس به کودک کمک می کند ما نمی توانیم در مورد رها کردن کامل وظایف بسته صحبت کنیم. آنها در مقادیر کم خوب هستند، زمانی که شما فقط باید یک فرمول یا خاصیت خاص را بدست آورید. اما توضیح مطالب جدید نمی تواند بدون مشکل باشد. به هر حال، اولین سوالی که در ذهن بچه ها بعد از خواندن یک موضوع در کلاس ایجاد می شود این است: "چرا من به این نیاز دارم؟" یا "این کجا برای من مفید خواهد بود؟" خلاقیتبچه ها یک درس ریاضی کلاس پنجم را با عناصر ساختار یک درس خلاقانه در نقشه فنی یک درس ریاضی کلاس پنجم با موضوع "مساحت یک مستطیل" ارائه می کنم. واحدهای مساحت" نوع درس: درس یادگیری مطالب جدید. اهداف درس: 1. موضوع: ایجاد تصور دانش آموزان از مساحت یک شکل، ایجاد ارتباط بین واحدهای اندازه گیری مساحت، آشنا کردن دانش آموزان با فرمول های مساحت مستطیل و مربع 2. شخصی: توانایی تعیین روش های عمل در چارچوب شرایط و الزامات پیشنهادی را توسعه دهید، اقدامات خود را مطابق با تغییر وضعیت تنظیم کنید. متا سوژه: توسعه توانایی دیدن مسئله ریاضیدر زمینه یک وضعیت مشکل، در زندگی اطراف برنامه ریزی شده:

دانش آموزان درک درستی از مساحت ارقام و ویژگی های آن به دست می آورند، یاد می گیرند که بین واحدهای اندازه گیری مساحت ارتباط برقرار کنند، فرمول هایی را برای مساحت مستطیل و مربع به کار ببرند نتیجه گیری؛ دانش آموزان توسعه خواهند یافت علاقه شناختیاز طریق لحظات بازی "معجزه کوچک" مهارت های ارتباطی برای کار در گروه و جفت به دست می آورند: A.G. مرزلیاک، وی.بی. پولونسکی، M.S. یاکر.ریاضی پنجم دبستان. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی. 2014.

مراحل درس اهداف مرحله فعالیت های معلم UUD 1. ایجاد یک روحیه روانی مطلوب برای درس، بررسی آمادگی برای درس آموزشی، سازماندهی توجه کودکان با بازی کردن تاس: ابتدا 1 تاس بزرگ در یک جعبه وجود دارد، پس از زدن درب جعبه در آن، 8 تاس ظاهر می شوند - در درس گذشته چه کردیم؟ کار با مستطیل ها وارد ریتم کاری درس شوید.

بچه ها در حال تلاش برای حل این ترفند هستند.

شخصی: خودسازماندهی: برنامه ریزی برای همکاری آموزشی با معلم و همسالان یک مستطیل تصاویر در یک پروژکتور چند رسانه ای نمایش داده می شود. برای رسیدن به باغ خود، صاحب زمین آبی باید از قطعه قرمز همسایه خود عبور کند. چه باید کرد؟ ورود به سایت ها

شکل 1 از تجربه می دانیم که زمین های مساوی مساحت دارند – چه نتیجه ای می توانیم بگیریم؟ مشکل: مردی تصمیم گرفت کف خانه اش را رنگ کند. اما کف شکل غیر معمولی دارد. اما او نمی داند چه مقدار رنگ مورد نیاز است. مساحت شکل کوچکتر 12 متر مربع است، مساحت بزرگتر 20 متر مربع است.

آنها نسخه هایی از نحوه حل اختلاف ارائه کردند. آنها به همراه معلم مورد مناسب را انتخاب می کنند: آبی باید تکه ای از زمین قرمز را بردارد و در ازای آن یک قطعه مساوی به او بدهد.

آنها نتیجه می گیرند: ارقام مساوی دارای مساحت های مساوی هستند یک رقم برابر است با مجموع اعداد و ارقام که از آن تشکیل شده است توانایی دفاع از موقعیت شناختی: توسعه تفکر خلاق.

شکل 2 مکالمه اکتشافی با عناصر روش آزمون و خطا. روی میز معلم یک خط کش، یک قطب نما و یک نقاله وجود دارد، ما در مورد مساحت صحبت کردیم، اما چگونه می توانیم آن را اندازه گیری کنیم؟ بیایید مساحت تخته خود را اندازه گیری کنیم - برای اندازه گیری زوایای چه چیزی داریم بخش واحد به چنین مربعی چه می گوییم؟ برای اندازه گیری یک مساحت، باید شمارش کنید که چند واحد مربع در آن قرار می گیرد؟

بچه ها همه ابزارهای ممکن را مرور می کنند و به این نتیجه می رسند که کافی نیستند.

– خط کش، بخش واحد – زاویه واحد – یکی از دانش آموزان با استفاده از یک مربع واحد از قبل آماده شده، مساحت تخته را محاسبه می کند مربع واحد در دوارا قرار می گیرد که به این معنی است که مساحت تخته 2 متر مربع است نوع فعالیت مشکلات برای رشد توانایی های خلاقانه 1. یک جفت اسب 20 کیلومتر دوید. هر اسب چند کیلومتر دوید؟ (20 کیلومتر) 2. 4 خرگوش در قفس بود. چهار نفر یکی از این خرگوش ها را خریدند و یک خرگوش در قفس ماند. چگونه ممکن است این اتفاق بیفتد؟ (یک خرگوش به همراه یک قفس خریده شد) 3. در دو کیف دو عدد سکه و در یک کیف دو برابر دیگری سکه وجود دارد. چگونه می تواند این باشد؟ (یک کیف پول درون دیگری قرار دارد) کلاس به گروه های 6 نفره تقسیم می شود، در گروه ها معلم یک کاپیتان را انتخاب می کند که پس از بحث در مورد مشکل، پاسخ صحیح را انتخاب می کند. 1 دقیقه برای بحث در نظر گرفته شده است.

شخصی: تنظیم کننده فعالیت های آموزشی: تعامل با شرکا در فعالیت های مشترک.

4. دو پسر و دو پدر 3 تخم مرغ خوردند. هر نفر چند تخم مرغ خورد؟ (هر کدام یک تخم مرغ). بازی: "گوش راست همسایه سمت چپ را با آرنج دست چپ خود لمس کنید." 4. پازل.

سیستمی از معماهای پیچیده را تصور کنید که در اشیاء واقعی تجسم یافته است متر 800 سانتی متر 3. قایق در 5 ساعت 40 کیلومتر گذشت. در عرض چند ساعت 24 کیلومتر را با همان سرعت طی می کند

پاسخ های صحیح

شکل 3 فقط پاسخ ها در دفتر یادداشت می شوند، سپس آنها دفترچه ها را با همکار خود مبادله می کنند و با یکدیگر چک می کنند. در پایان، پاسخ های صحیح بر روی صفحه نمایش ظاهر می شود: به معنای شکل گیری: خودتنظیمی حالات عاطفی و عملکردی، توانایی ارتباطی: مهارت در یافتن راه حل. توسعه تفکر خلاق.

5. گرم کردن فکری. توسعه تفکر منطقیو خلاقیت. 1. ضلع یک ورق کاغذ مستطیلی دارای طول عدد صحیح (به سانتی متر) و مساحت ورق 12 سانتی متر مربع است. چند مربع با مساحت 4 سانتی متر مربع را می توان از این مستطیل برش داد 2. نقاشی زیر از طریق پروژکتور روی تخته نمایش داده شده است. شکل 4 یک سوراخ مستطیلی در داخل مستطیل ABCD بریده شده است. چگونه می توان شکل به دست آمده را با استفاده از یک برش مستقیم به دو شکل تقسیم کرد. مهارت های همکاری با معلم و همسالان: فعالیت های پژوهشی مهارت.

حاوی مطالب برنامه دوره آموزشیو شکل گیری تفکر سیستماتیک و توسعه توانایی های خلاقانه را تضمین می کند مشکل با برد اگر یک ضلع تخته 2 متر و ضلع دیگر آن 1 متر باشد، تخته مستطیل شکل است، می توان آن را به مربع های 2 × 1 واحد تقسیم کرد. بنابراین، اگر a و b اضلاع مجاور مستطیل باشند، مساحت تخته چقدر است؟ چگونه مساحت چنین مستطیلی را پیدا کنیم؟

مسئله: چگونه مساحت یک چهارضلعی منتظم را که تمام ضلع ها و زوایای آن برابر هستند پیدا کنیم؟

واحدهای جدید اندازه گیری مساحت در حال معرفی هستند: (مساحت)، هکتار. 1 a = 10 متر * 10 متر = 100 متر مربع

1 هکتار = 100 متر * 100 متر = 10000 متر مربع

چه اندازه گیری هایی به چنین واحدهای بزرگی از مساحت نیاز دارند؟

S=a فرمول را در دفترچه یادداشت خود بنویسید. دانش‌آموزان در گروه‌هایی که قبلاً در یک گرم‌آپ روان‌شناختی تشکیل شده‌اند، مشکل را مطرح می‌کنند، فقط یک گروه متخصص می‌شوند (پس از گوش دادن به نسخه‌های ارائه‌شده، آنها را پردازش می‌کنند و یکی را پیشنهاد می‌کنند که به نظر آنها درست است). در مورد راه حل مسئله بحث می شود سپس در دفترچه ها فرمول حاصل را برای مساحت مربع S = a 2 یادداشت می کنیم

- برای اندازه گیری مساحت قطعات زمین، روستاها، استادیوم ها، و غیره. شخصی: تنظیم فعالیت های آموزشی: توانایی کار در یک گروه، شنیدن و احترام به نظرات دیگران، توانایی دفاع از موقعیت مهارت های توسعه تفکر خلاق.

7. ایجاد انگیزه و رشد فکری از طریق کامپیوتر.

تست بر روی کامپیوتر معلم تعداد خطاها را کنترل می کند (تصویر زیر جدول است).

دانش‌آموزان به صورت جفتی روی رایانه کار می‌کنند، آزمون شخصی: تنظیم فعالیت‌های آموزشی: توانایی دو نفره کار کردن، شنیدن و احترام به نظرات دیگران. شناختی: یافتن راه حلی برای یک مشکل. خلاصه.تکالیف.خلاصه درس.ارائه بازخورددر درس، معلم پیشنهاد می کند که اگر این درس را کسل کننده می بینند، دست بزنند.

تکلیف: مربعی با ضلع 8 سانتی متری را پیدا کنید. با استفاده از قطعات چند رنگ، فرضیه من را توضیح دهید و سپس رد کنید: 8 * 8 = 65 شکل 6 دانش آموزان درس، اقدامات خود در درس و اقدامات همسالان خود را ارزیابی می کنند.

– فرمول مساحت یک مستطیل، مربع، واحد اندازه گیری مساحت، در خانه، آزمایشی با محلول مربعی = 8 * 64 سانتی متر مربع انجام می دهیم. شکل 7 Sp = (8+5) * 5 = 65 cm2

چنین محاسباتی به این دلیل به دست می آید که هنگام جمع آوری یک مستطیل شکاف ایجاد می شود: خودسازی آگاهی اخلاقی و جهت گیری دانش آموزان در زمینه روابط اخلاقی: توسعه تنظیم فعالیت های آموزشی توانایی بیان افکار خود با کامل بودن و دقت کافی.

پیوندها به منابع 1. ایالت فدرال استاندارد آموزشیآموزش عمومی پایه قانون فدرال فدراسیون روسیه 17 دسامبر 2010 شماره 1897FZ.2.M.M.Zinovkina. NFTMTRIZ: آموزش خلاق قرن بیست و یکم. مسکو، 2007. -313s.